均值不等式应用题

均值不等式应用

2为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2米的无盖长方体沉淀箱（如图），污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a 米，高度为b 米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a 、b 的乘积ab 成反比，现有制箱材料60平方米，问当a 、b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A 、B 孔的面积忽略不计）？

3.．某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造

价20元，求： （1）仓库面积S 的最大允许值是多少？

（2）为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？

4. 如图，某海滨浴场的岸边可近似的看成直线，位于岸边A 处的救生员发现海中B 处有人求救，救生员没有直接从A 处游向B 处，而沿岸边自A 跑到距离B 最近的D 处，然后游向B 处，若救生员在岸边的行速为6米/秒，在海中的行进速度为2米/秒， ⑴分析救生员的选择是否正确；

⑵在AD 上找一点C ，是救生员从A 到B 的时间为最短，并求出最短时间。

5. 某工厂去年的某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元（科技成本），并计划以后每年比上一年多投入

100万元（科技成本），预计产量年递增10万只，第n 次投入后，每只产品的固定成本为

1

)(+=

n k

n g （k ＞0，k 为常数，Z ∈n 且n ≥0），若产品销售

价保持不变，第n 次投入后的年利润为

)(n f 万元．

（1）求k 的值，并求出

)(n f 的表达式；

（2）问从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元?

6. 已知水渠在过水断面面积为定值的情况下，过水湿周越小，其流量越大． 现有以下两种设计，如图：

图①的过水断面为等腰△ABC ，AB ＝BC ，过水湿周

BC

AB l +=1．图②的过水断面为等腰梯形ABCD ，AB ＝CD ，AD ∥BC ，∠BAD ＝60°，过水湿周

CD BC AB l ++=2．

若△ABC 与梯形ABCD 的面积都为S ，

图① 图②

300米

C

D

B

（1）分别求

1l 和2l 的最小值；

（2）为使流量最大，给出最佳设计方案．

7某渔业公司今年初用98万购进一艘渔船用于捕捞.第一年需各种费

用12万元，从第二年开始每年包括维修费在内，所需费用均比上一年增加4万元，该船捕捞总收入预计每年50万元.

1） 该船捕捞几年开始韦杰盈利（即总收入减去成本及所有费用之差为正）？ 2）

该船捕捞若干年后，处理方案有两种：

① 年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出； ② 盈利总额达到最大时，以8万元的价格卖出.

问哪一种方案较为合算？并说明理由.

8. 某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元．

（1）问第几年开始获利?

（2）若干年后，有两种处理方案：

方案一：年平均获利最大时，以26万元出售该渔船

方案二：总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船．问哪种方案合算．

9近年来，某企业每年消耗电费约24万元, 为了节能减排, 决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网, 安装这种供电设备的工本费(单位: 万元)与太阳

能电池板的面积(单位: 平方米)成正比, 比例系数约为0.5. 为了保证正常用电, 安装后采用太阳能和电能互补供电的模式. 假设在此模式下, 安装后该企业每年消耗的电费

C （单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积x (单位:平方米)之间的函数关系是()(0,20100

k

C x x k x =

≥+为常数). 记F 为该村安装这

种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和.

（1）试解释

(0)C 的实际意义, 并建立F 关于x 的函数关系式；

（2）当

x 为多少平方米时, F 取得最小值？最小值是多少万元？

10某啤酒厂为适应市场需要，2011年起引进葡萄酒生产线，同时生产啤酒和葡萄酒，2011年啤酒生产量为16000吨，葡萄酒生产量1000吨．该厂计划从2012年起每年

啤酒的生产量比上一年减少50%，葡萄酒生产量比上一年增加100%，试问：

（1）哪一年啤酒与葡萄酒的年生产量之和最低？

（2）从2011年起（包括2011年），经过多少年葡萄酒的生产总量不低于该厂啤酒与葡萄酒生产总量之和的

2

3

？（生产总量是指各年年产量之和）

．

11某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x 年后数控机床的盈利额为y 万元.

（1）写出y 与x 之间的函数关系式；

（2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）； (3 ) 使用若干年后，对机床的处理方案有两种：

(i )当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；

(ii )当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床，问用哪种方案处理较为合算？请说明你的理由. 1. 汽车每小时的运费成本是 a+bV²（V≤C ）；

全程运输成本是 (a+bV²)(S/V) ＝ (aS/V) + (bSV) ≥ 2S√(ab) ； 当 aS/V = bSV ，即 V = √(a/b) 时，等号成立。