均值不等式应用题

均值不等式应用2为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2米的无盖长方体沉淀箱（如图），污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a 米，高度为b 米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a 、b 的乘积ab 成反比，现有制箱材料60平方米，问当a 、b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A 、B 孔的面积忽略不计）？3.．某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求： （1）仓库面积S 的最大允许值是多少？（2）为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？4. 如图，某海滨浴场的岸边可近似的看成直线，位于岸边A 处的救生员发现海中B 处有人求救，救生员没有直接从A 处游向B 处，而沿岸边自A 跑到距离B 最近的D 处，然后游向B 处，若救生员在岸边的行速为6米/秒，在海中的行进速度为2米/秒， ⑴分析救生员的选择是否正确；⑵在AD 上找一点C ，是救生员从A 到B 的时间为最短，并求出最短时间。

5. 某工厂去年的某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元（科技成本），并计划以后每年比上一年多投入100万元（科技成本），预计产量年递增10万只，第n 次投入后，每只产品的固定成本为1)(+=n kn g （k ＞0，k 为常数，Z ∈n 且n ≥0），若产品销售价保持不变，第n 次投入后的年利润为)(n f 万元．（1）求k 的值，并求出)(n f 的表达式；（2）问从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元?6. 已知水渠在过水断面面积为定值的情况下，过水湿周越小，其流量越大． 现有以下两种设计，如图：图①的过水断面为等腰△ABC ，AB ＝BC ，过水湿周BCAB l +=1．图②的过水断面为等腰梯形ABCD ，AB ＝CD ，AD ∥BC ，∠BAD ＝60°，过水湿周CD BC AB l ++=2．若△ABC 与梯形ABCD 的面积都为S ，图① 图②300米CDB（1）分别求1l 和2l 的最小值；（2）为使流量最大，给出最佳设计方案．7某渔业公司今年初用98万购进一艘渔船用于捕捞.第一年需各种费用12万元，从第二年开始每年包括维修费在内，所需费用均比上一年增加4万元，该船捕捞总收入预计每年50万元.1） 该船捕捞几年开始韦杰盈利（即总收入减去成本及所有费用之差为正）？ 2）该船捕捞若干年后，处理方案有两种：① 年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出； ② 盈利总额达到最大时，以8万元的价格卖出.问哪一种方案较为合算？并说明理由.8. 某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元．（1）问第几年开始获利?（2）若干年后，有两种处理方案：方案一：年平均获利最大时，以26万元出售该渔船方案二：总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船．问哪种方案合算．9近年来，某企业每年消耗电费约24万元, 为了节能减排, 决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网, 安装这种供电设备的工本费(单位: 万元)与太阳能电池板的面积(单位: 平方米)成正比, 比例系数约为0.5. 为了保证正常用电, 安装后采用太阳能和电能互补供电的模式. 假设在此模式下, 安装后该企业每年消耗的电费C （单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积x (单位:平方米)之间的函数关系是()(0,20100kC x x k x =≥+为常数). 记F 为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和.（1）试解释(0)C 的实际意义, 并建立F 关于x 的函数关系式；（2）当x 为多少平方米时, F 取得最小值？最小值是多少万元？10某啤酒厂为适应市场需要，2011年起引进葡萄酒生产线，同时生产啤酒和葡萄酒，2011年啤酒生产量为16000吨，葡萄酒生产量1000吨．该厂计划从2012年起每年啤酒的生产量比上一年减少50%，葡萄酒生产量比上一年增加100%，试问：（1）哪一年啤酒与葡萄酒的年生产量之和最低？（2）从2011年起（包括2011年），经过多少年葡萄酒的生产总量不低于该厂啤酒与葡萄酒生产总量之和的23？（生产总量是指各年年产量之和）．11某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x 年后数控机床的盈利额为y 万元.（1）写出y 与x 之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）； (3 ) 使用若干年后，对机床的处理方案有两种：(i )当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；(ii )当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床，问用哪种方案处理较为合算？请说明你的理由. 1. 汽车每小时的运费成本是 a+bV²（V≤C ）；全程运输成本是 (a+bV²)(S/V) ＝ (aS/V) + (bSV) ≥ 2S√(ab) ； 当 aS/V = bSV ，即 V = √(a/b) 时，等号成立。

已知 a ＜bC² ，可得：√(a/b) ＜ C ，满足 V≤C 。

所以，要使全程运输成本最小，汽车应该以 √(a/b) 的速度行驶。

2解法一：设经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数为y ，则由条件y =abk(k ＞0为比例系数)其中a 、b 满足2a +4b +2ab =60 ① 要求y 的最小值，只须求ab 的最大值.由①(a +2)(b +1)=32(a ＞0,b ＞0)且ab =30–(a +2b )应用重要不等式a +2b =(a +2)+(2b +2)–4≥124)22)(2(2=-++b a∴ab ≤18，当且仅当a =2b 时等号成立将a =2b 代入①得a =6,b =3. 故当且仅当a =6,b =3时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.3．解：设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，则顶部面积为xy S =依题设，32002045240=+⨯+xy y x ，由基本不等式得xy xy xy y x 2012020904023200+=+⋅≥S S 20120+=，01606≤-+∴S S ，即0)6)(10(≤+-S S ，故10≤S ，从而100≤S所以S 的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是y x 9040=且100=xy ，求得15=x ，即铁栅的长是15米。

4. ⑴由A 直接游向B 处的时间为2150245sin 3000==t （秒）。

由A 经D 到B 的时间为200230063002=+=t （秒），而2002150>， 因此，救生员的选择是正确的。

⑵设∠BCD=α，则CD=300cot α，BC=asin 300，AC=300-300cot α。

于是从A 经C 到B 的时间为αααααsin 150sin cos 5050sin 23006cot 300300+-=+-=t =)sin cos sin 31(50ααα-+=)2tan 12tan22tan 12tan 131(50222a++--+ααα=)2tan22tan11(50αα++≥)221(50+=210050+当且仅当2tan12tan2αα=，即22tan ,222tan==αα时，上式等号成立。

此时，CD=275tan 300=α（米）时，t 取得最小值为210050+秒。

因此，点C 应选在沿岸边AD ，距D 点275米处，才能使救生员从A 到B 所用时间最短，最短时间为210050+秒。

5. （1）由1)(+=n kn g ，当n ＝0时，由题意，可得k ＝8，所以)10100()(n n f +=n n 100)1810(-+-． （2）由0001100)1810)(10100()(=-+-+=n n n n f 80-52092800001)191(800001)110(=⨯-≤+++-=++n n n n ．当且仅当1+n19+=n ，即n ＝8时取等号，所以第8年工厂的利润最高，最高为520万元6. （1）在图①中，设∠θ=ABC ，AB ＝BC ＝a ．则θsin 212a S =，由于S 、a 、θsin 皆为正值，可解得S S a 2sin 2≥=θ．当且仅当1sin =θ，即θ＝90°时取等号．所以S a l 2221≥=，1l 的最小值为S22．在图②中，设AB ＝CD ＝m ，BC ＝n ，由∠BAD ＝60°可求得AD ＝m ＋n ，m n m n S 23)(21⋅++=，解得232mm S n -=．m n m l 222=+= SS m mS m m S 432322332232=≥+=-+，2l 的最小值为S432．当且仅当2332mmS =，即334Sm =时取等号． （2）由于432>，则2l 的最小值小于1l 的最小值．所以在方案②中当2l 取得最小值时的设计为最佳方案7. 1）设n 年后盈利额为y 元()215012498240982n n y n n n n -⎡⎤=-+⨯-=-+-⎢⎥⎣⎦令0y >，得317n ≤≤，∴从第3年开始盈利. …8分2） ①平均盈利982404012y n n n =--+≤-= 这种情况下，盈利总额为12726110⨯+=万元，此时7n =.…12分②()2210102102y n =--+≤，此时10n =.这种情况下盈利额为1028110+=.两种情况的盈利额一样，但方案①的时间短，故方案①合算.8. （1）由题意知，每年的费用以12为首项，4为公差的等差数列． 设纯收入与年数n 的关系为f （n ），则++-=1612[50)(n n f …9840298)]48(2-+-=-++n n n ．由题知获利即为f （n ）＞0，由0984022>-+-n n ，得-10511051+<<n ．∴ 2.1＜n ＜17.1.而n∈N ，故n ＝3，4，5， (17)∴ 当n ＝3时，即第3年开始获利．（2）方案一：年平均收入)49(240)(nn n n f +-==．由于1449249=≥+nn n n ，当且仅当n ＝7时取“＝”号． ∴1214240)(=⨯-≤nn f （万元）． 即第7年平均收益最大，总收益为12×7＋26＝110（万元）．方案二：f （n ）＝22n -＋40n -98＝-22)10(-n ＋102．当n ＝10时，f （n ）取最大值102，总收益为102＋8＝110（万元）．比较如上两种方案，总收益均为110万元，而方案一中n ＝7，故选方案一．9【解】（1）(0)C 的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用，即未安装电阳能供电设备时全村每年消耗的电费，由(0)24100kC ==,得2400k =，所以24001800150.50.5,0201005F x x x x x =⨯+=+≥++；（2）因为18000.5(5)0.250.2559.755F x x =++-≥-=+.当且仅当18000.5(5)5x x =++，55x =时取等号，所以当x 为55平方米时, F 取得最小值为59.75万元.1010【解】设从2011年起，该车第n 年啤酒和葡萄酒年生产量分别为n a 吨和n b 吨，经过n 年后啤酒和葡萄酒各年生产量的总量分别为n A 吨和n B 吨．（1）设第n 年啤酒和葡萄酒生产的年生产量为n D 吨，根据题意，得116000(150%)n n a -=-=320002n，11000(1100%)n n b -=+=5002n ⨯，（*n N ∈），则n n n D a b =+=320002n+5002n⨯=64500(2)2n n +5008000≥⨯=， 当且仅当6422n n =，即3n =时取等号， 故2013年啤酒和葡萄酒生产的年生产量最低，为8000吨．（2）依题意，23n n n B A B ≥+，得2n n B A ≥，∵116000[1()]212320001212n n nn A --==⋅-，1000[12]1000(21)12n n n B -==--， ∴1000(21)n-≥213200022n n -⋅⨯，∵210n ->，∴62642n ≥=，∴6n ≥． 答：从第6年起，葡萄酒各年生产的总量不低于啤酒各年生产总量与葡萄酒各年生产总量之和的2311. 讲解 本例兼顾应用性和开放性, 是实际工作中经常遇到的问题.（1）98]42)1(12[50-⨯-+-=x x x x y=984022-+-x x .（2）解不等式984022-+-x x ＞0,得5110-＜x ＜5110+.∵ x ∈N ， ∴ 3 ≤x ≤ 17.故从第3年工厂开始盈利.（3）(i) ∵）xx x x x y 982(4098402+-=-+-= ≤40129822=⨯-当且仅当xx 982=时，即x=7时，等号成立. ∴ 到2008年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12×7+30=114万元. (ii)y=-2x +40x-98= -2（x-10） +102，∴当x=10时，y=102.故到2011年，盈利额达到最大值，工厂共获利102+12=114万元. 解答函数型最优化实际应用题，二、三元均值不等式是常用的工具.。