因动点产生的相似三角形问题 - 专题
完整版相似三角形的动点问题题型整理
相似三角形的动点问题一、动点型例1如图，已知等边三角形ABC中，点D, E, F分别为边AB , AC, BC的中点，M为直线BC上一动点，△ DMN为等边三角形(点M的位置改变时，△ DMN也随之整体移动).(1)如图1,当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE 上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；(2)如图2,当点M在BC上时，其它条件不变，(1 )的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；(3)若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由.例2、如图，在矩形ABCD中，AB=12cm , BC=8cm .点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动. 点E、G的速度均为2cm/s,点F的速度为4cm/s, 当点F追上点G (即点F与点G重合)时，三个点随之停止移动.设移动开始后第t秒时，△ EFG的面积为S ( cm2)(1 )当t=1秒时，S的值是多少？(2)写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围(3)若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、为顶点的三角形与以点F、C、G 为顶点的三角形相似？请说明理由.圜②图③迁移应用1如图，已知△ ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q 到达点C 时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t( s),(1 )当t= 2时，判断△ BPQ的形状，并说明理由；(2 )设厶BPQ的面积为S (cm2)，求S与t的函数关系式；(3)作QR//BA交AC于点R,连结PR,当t为何值时，△ APR s^ PRQ?2、如图，在直角梯形ABCD 中，AB // DC，/ D=90o, AC丄BC, AB=10cm,BC=6cm, F 点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/秒的速度在线段BC 上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒(0<t<5).1) 求证：△ ACD BAC;2) 求：DC的长；3) 试探究：△ BEF可以为等腰三角形吗？若能，求t的值；若不能，请说明理由.3、如图，在直角梯形ABCD 中，AD // BC,/ B=90° , AD=6 , BC=8 , AB=3 . 3，点M是BC的中点.点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动.在点P，Q的运动过程中，以PQ为边作等边三角形EPQ，使它与梯形ABCD在射线BC的同侧.点P, Q同时出发，当点P返回到点M时停止运动，点Q也随之停止.设点P, Q运动的时间是t秒(t > 0)(1 )设PQ的长为y，在点P从点M向点B运动的过程中，写出y与t之间的函数关系式 (不必写t 的取值范围)；(2)当BP=1时，求△ EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积;(3)随着时间t的变化，线段AD会有一部分被△ EPQ覆盖, 刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出t的取值范围；若不能，请说明理由.、动点加动线例1、如图，在Rt△ABC中，/ C=90 ° , AC=3 , AB=5 .点P从点C出发沿CA以每秒1 个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A 出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动.伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D,交折线QB-BC-CP于点E.点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒(t> 0).(1 )当t=2时，AP= __________ ，点Q到AC的距离是 ___________________ ;(2)在点P从C向A运动的过程中，求△ APQ的面积S与t的函数关系式；(不必写出t 的取值范围(3)在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值.若不能，请说明理由;迁移应用1、如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm , BC=6cm .某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s 的速度向A点匀速运动，问：是否存在时刻t，使以A、M、N为顶点的三角形与△ ACD相似？若存在，求t的值. (4)当DE经过点C时，请直接写出t的值.2、如图，正方形 ABCD 的边长为4, E 是BC 边的中点，点 P 在射线AD 上，过P 作PF 丄 AE 于 F .(1) 求证：△ PFAABE ;(2) 当点P 在射线AD 上运动时，设PA=x ，是否存在实数x ，使以P , F , E 为顶点的三角 3、如图，已知 A (8, 0), B (0, 6)，两个动点 P 、Q 同时在△ OAB 的边上按逆时针方 向(T O f A T B T O f)运动，开始时点 P 在点B 位置，点Q 在点O 位置，点P 的运动速 度为每秒2个单位，点Q 的运动速度为每秒1个单位.(1) 在前3秒内，求△ OPQ 的面积S 与时间t 之间的关系式；并求出△ OPQ 的最大面积；(2) 在前10秒内，秋P 、Q 两点之间的最小距离，并求此时点 P 、Q 的坐标；(3) 在前15秒内，探究PQ 平行于△ OAB —边的情况，并求平行时点 P 、Q 的坐标.4、已知：如图，在平面直角坐标系中，△ ABC 是直角三角形，/ ACB ，点A 、C 的坐标分 (1) 求过点A 、B 的直线的函数表达式;(2) 在X 轴上找一点D,连接DB ,使得△ ADB 与厶ABC 相似(不包括全等)，并求点形也与△ ABE 相似？若存在，请求出x 的值;若不存在，说明理由.SEC别为 A(-3,0) , C(1,O), BC 3AC 4x的坐标；(3)在(2)的条件下，如P、Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ,设AP=DQ=m，问是否存在这样的m使得△ APQ与厶ADB相似，如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由.OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点BC折叠，使点B落在边OA的点D处.已知折叠CE= 5 5，且-EA5、如图，四边形在Y轴上，将边DA (1) 判断OCD与厶ADE是否相似？请说明理由;(2) 求直线CE与x轴交点P的坐标;(3) 是否存在过点D的直线L ,使直线L、直线CE与x轴所围成的三角形和△ CDE相似?如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由.6、A ABC中，AB=AC=5 , BC=6，点P从点B开始沿BC边以每秒1的速度向点C运动，点Q从点C开始沿CA边以每秒2的速度向点A运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交BC于点E.点P, Q分别从B, C两点同时出发，当点Q运动到点A时，点Q、p停止运动，设它们运动的时间为x.1) ____________ 当x= 秒时，射线DE经过点C;2) 当点Q运动时，设四边形ABPQ的面积为y,求y与x的函数关系式;3) 当点Q运动时，是否存在以的P、Q、C为顶点的三角形与△ PDE相似？若存在，求出值；若不存在，请说明理由.7、如图，梯形ABCD 中，AD // BC, AB=CD=20cm , AD=40cm，/ D=120 °，点P、Q 同时从C点出发，分别以2cm/s和1cm/s的速度沿着线段CB和线段CD运动，当Q到达点D, 点P也随之停止运动.设运动时间为t (s)(1 )当t为何值时，△ CPQ与厶ABP相似；(2)设厶APQ与梯形ABCD重合的面积为S,求S与t的函数关系式，写出自变量的取值范围.8、如图，直角梯形ABCD 中，AB // DC,/ DAB=90 ° , AD=2DC=4 , AB=6 .动点M 以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动.当点M到达点B时，两点同时停止运动. 过点M作直线I // AD , 与线段CD的交点为E,与折线A-C-B的交点为Q.点M运动的时间为t (秒)(1 )当t=0.5时，求线段QM的长；(2)当O v t V2时，如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值;CQ(3) 当t>2时，连接PQ交线段AC于点R.请探究—Q是否为定值，若是，试求这个定RQ值；若不是，请说明理由.DE PC卫眩B9、如图1,直角梯形ABCD 中，/ A= / B=90° , AD=AB=6cm , BC=8cm，点E 从点A 出发沿AD方向以1cm/s的速度向中点D运动；点F从点C出发沿CA方向以2cm/s的速度11向终点A运动，当点E、点F中有一点运动到终点，另一点也随之停止.设运动时间为ts.(1 )当t为何值时，△ AEF和厶ACD相似？(2)如图2,连接BF，随着点E、F的运动，四边形ABFE可能是直角梯形？若可能，请求出t的值及四边形ABFE的面积；若不能，请说明理由；(3)当t为何值时，△ AFE的面积最大？最大值是多少？11, 4)，动点P在线段OA上从点O出发以每秒1 10、如图，在平面直角坐标系中.四边形OABC是平行四边形•直线I经过0、C两点.点A的坐标为(8, 0),点B的坐标为(12个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A T C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线0 —C-B相交于点M .当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒(t> 0).^MPQ的面积为S.(1 )点C的坐标为__________________ ，直线l的解析式为________________________ 。
专题4.2 相似三角形中的动点问题(强化)(解析版)
专题4.2 相似三角形中的动点问题【例题精讲】【例1】如图，ABC D 中，8AB =厘米，16AC =厘米，点P 从A 出发，以每秒2厘米的速度向B 运动，点Q 从C 同时出发，以每秒3厘米的速度向A 运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，设运动的时间为t ．（1）用含t 的代数式表示：AP = 2t ，AQ = ．（2）当以A ，P ，Q 为顶点的三角形与ABC D 相似时，求运动时间是多少？【解答】解：（1）2AP t =，163AQ t =-．（2）PAQ BAC Ð=ÐQ ，\当AP AQ AB AC =时，APQ ABC D D ∽，即2163816t t -=，解得167t =；当AP AQ AC AB =时，APQ ACB D D ∽，即2163168t t -=，解得4t =．\运动时间为167秒或4秒．【例2】如图，在矩形ABCD 中，12AB cm =，8BC cm =．点E 、F 、G 分别从点A 、B 、C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E 、G 的速度均为2/cm s ，点F 的速度为4/cm s ，当点F 追上点G （即点F 与点G 重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t 秒时，EFG D 的面积为2()S cm （1）当1t =秒时，S 的值是多少？（2）写出S 和t 之间的函数解析式，并指出自变量t 的取值范围；（3）若点F 在矩形的边BC 上移动，当t 为何值时，以点E 、B 、F 为顶点的三角形与以点F 、C 、G 为顶点的三角形相似？请说明理由．【解答】解：（1）如图1，当1t =秒时，2AE =，10EB =，4BF =，4FC =，2CG =，由EBF FCG GCBE S S S S D D =--梯形，111()222EB CG BC EB BF FC CG =´+--g g g 111(102)810442222=´+´-´´-´´224()cm =；（2）①如图1，当02t ……时，点E 、F 、G 分别在边AB 、BC 、CD 上移动，此时2AE t =，122EB t =-，4BF t =，84FC t =-，2CG t =，EBF FCGGCBE S S S S D D =--梯形111()222EB CG BC EB BF FC CG =´+--g g g 1118(1222)4(122)2(84)222t t t t t t =´´-+-´--´-283248(02)t t t =-+……．②如图2，当点F 追上点G 时，428t t =+，解得4t =，当24t <<时，点E 在边AB 上移动，点F 、G 都在边CD 上移动，此时48CF t =-，2CG t =，2(48)82FG CG CF t t t =-=--=-，11(82)883222S FG BC t t ==-=-+g g ．即832(24)S t t =-+<<．（3）如图1，当点F 在矩形的边BC 上的边移动时，在EBF D 和FCG D 中，90B C Ð=Ð=°，①若EB BF FC CG =，即1224842t t t t-=-，解得23t =．所以当23t =时，EBF FCG D D ∽，②若EB BF GC CF =即1224284t t t t -=-，解得32t =．所以当32t =时，EBF GCF D D ∽．综上所述，当23t =或32t =时，以点E 、B 、F 为顶点的三角形与以F 、C 、G 为顶点的三角形相似．【题组训练】2．如图，在Rt ABC D 中，90C Ð=°，8AC cm =，6BC cm =．现在有动点P 从点B 出发，沿线段BA 向终点A 运动，动点Q 从点A 出发，沿折线AC —CB 向终点运动．如果点P 的速度是1/cm s ，点Q 的速度是1/cm s ．它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t 秒．（1）如图1，Q 在AC 上，当t 为多少秒时，以点A 、P 、Q 为顶点的三角形与ABC D 相似？（2）如图2，Q 在CB 上，是否存着某时刻，使得以点B 、P 、Q 为顶点的三角形与ABC D 相似？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）如图1，当90AQPÐ=°时，AQP ACBD D∽，\AQ AP AC AB=．在Rt ABCD中，由勾股定理，得10() AB cm ===．BP t=Q，AQ t=，10PA t\=-，\10810t t-=，409t\=，如图2，当90APQÐ=°时，APQ ACBD D∽，\AQ AP AB AC=，\10108t t-=，509t=．综上所述，409t =或509时，以点A 、P 、Q 为顶点的三角形与ABC D 相似；（2）如图3，当BPQ BAC D D ∽时，BP BQ AB BC=．14BQ t =-Q ，BP t =，\14106t t -=，354t \=，当BQP BAC D D ∽时，\BQ BP BA BC=，214t \=（舍去），354t \=时，Q 在CB 上，以点B 、P 、Q 为顶点的三角形与ABC D 相似．3．如图，在ABC D 中，20BA BC cm ==，30AC cm =，点P 从点A 出发，沿AB 以4/cm s 的速度向点B 运动，同时点Q 从点C 出发，沿CA 以3/cm s 的速度向点A 运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为x s ．（1）当//PQ BC 时，求x 的值．（2）APQ D 与CQB D 能否相似？若能，求出AP 的长；若不能，请说明理由．【解答】解：（1）当//PQ BC 时，::AP AB AQ AC =，4AP x =Q ，303AQ x =-，\4303 2030x x-=，解得：103x=；即当103x=，//PQ BC；（2）能，①当APQ CQBD D∽时，有AP AQ CQ BC=，即：4303 320x xx-=，解得：109x=，404()9AP x cm\==，②当APQ CBQD D∽时，有AP QA BC CQ=，即：4303 203x xx-=，解得：5x=或10x=-（舍去），420()PA x cm\==，综上所述，当409AP cm=或20cm时，APQD与CQBD相似．4．在Rt ABCD中，90CÐ=°，20AC cm=，15BC cm=，现有动点P从点A出发，沿AC 向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4/cm s，点Q的速度是2/cm s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求：（1）当3t=时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？（2）若CPQD的面积为S，求S关于t的函数关系式．（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与ABCD相似？【解答】解：由题意得4AP t =，2CQ t =，则204CP t =-，（1）当3t =时，2048CP t cm =-=，26CQ t cm ==，由勾股定理得10PQ cm ===；（2）由题意得4AP t =，2CQ t =，则204CP t =-，因此Rt CPQ D 的面积为221(204)2(204)2S t t t t cm =´-´=-；（3）分两种情况：①当Rt CPQ Rt CAB D D ∽时，CP CQ CA CB =，即20422015t t -=，解得3t =；②当Rt CPQ Rt CBA D D ∽时，CP CQ CB CA =，即20421520t t -=，解得4011t =．因此3t =或4011t =时，以点C 、P 、Q 为顶点的三角形与ABC D 相似．5．如图，在ABC D 中，8AB cm =，16BC cm =，动点P 从点A 开始沿AB 边运动，速度为2/cm s ；动点Q 从点B 开始沿BC 边运动，速度为4/cm s ；如果P 、Q 两动点同时运动，那么何时QBP D 与ABC D 相似？【解答】解：设经过t 秒时，以QBP D 与ABC D 相似，则2AP t =厘米，(82)BP t =-厘米，4BQ t =厘米，PBQ ABC Ð=ÐQ ，\当BP BQ BA BC =时，BPQ BAC D D ∽，即824816t t -=，解得2()t s =；当BP BQ BC BA =时，BPQ BCA D D ∽，即824168t t -=，解得0.8()t s =；即经过2秒或0.8秒时，QBP D 与ABC D 相似．6．如图，在等腰ABC D 中，10AB AC cm ==，16BC cm =．点D 由点A 出发沿AB 方向向点B 匀速运动，同时点E 由点B 出发沿BC 方向向点C 匀速运动，它们的速度均为1/cm s ．连接DE ，设运动时间为()(010)t s t <<，解答下列问题：（1）当t 为何值时，BDE D 的面积为27.5cm ；（2）在点D ，E 的运动中，是否存在时间t ，使得BDE D 与ABC D 相似？若存在，请求出对应的时间t ；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）分别过点D 、A 作DF BC ^、AG BC ^，垂足为F 、G 如图//DF AG \，DF BD AG AB=10AB AC ==Q ，168BC BG =\=，6AG \=．AD BE t ==Q ，10BD t \=-，\10610DF t -=解得3(10)5DF t =-17.52BDE S BE DF D =×=Q \3(10)155t t -×=解得5t =．答：t 为5秒时，BDE D 的面积为27.5cm ．（2）存在．理由如下：①当BE DE =时，BDE BCA D D ∽，\BE BD AB BC =即101016t t -=，解得5013t =，②当BD DE =时，BDE BAC D D ∽，BE BD BC AB =即101610t t -=，解得8013t =．答：存在时间t 为5013或8013秒时，使得BDE D 与ABC D 相似．7．如图，Rt ABC D ，90C Ð=°，10AC cm =，8BC cm =．点P 从点C 出发，以2/cm s 的速度沿CA 向点A 匀速运动，同时点Q 从点B 出发，以1/cm s 的速度沿BC 向点C 匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止．（1）求经过几秒后，PCQ D 的面积等于ABC D 面积的25？（2）经过几秒，PCQ D 与ABC D 相似？【解答】解：（1）设经过x 秒，PCQ D 的面积等于ABC D 面积的25，1122(8)108225x x -=´´´g g ，解得：124x x ==，答：经过4秒后，PCQ D 的面积等于ABC D 面积的25；（2）设经过t 秒，PCQ D 与ABC D 相似，因为C C Ð=Ð，所以分为两种情况：①PC CQ BC AC=，28810t t -=，解得：167t =；②PC CQ AC BC=，28108t t -=，解得：4013t =；答：经过167秒或4013秒时，PCQ D 与ABC D 相似．8．如图，在Rt ABC D 中，90ACB Ð=°，8AC =，6BC =，CD AB ^于点D ．点P 从点D 出发，沿线段DC 向点C 运动，点Q 从点C 出发，沿线段CA 向点A 运动．两点同时出发．速度都为每秒1个单位长度，当点P 运动到C 时，两点都停止．设运动时间为t 秒．（1）求线段CD 的长；（2）设CPQ D 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t ，使得:9:100CPQ ABC S S D D =？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）90ACB Ð=°Q ，8AC =，6BC =，10AB \===，Q1122AC BC AB CD =g g ，\11861022CD ´´=´，解得： 4.8CD =；（2） 6.4AD ===，过点Q 作QH CD ^于H ，如图所示：CD AB ^Q ，//QH AD \，CHQ CDA \D D ∽，\QH CQ AD AC =，即6.48QH t =，0.8QH t \=，2110.8(4.8)0.4 1.9222S QH CP t t t t \==´´-=-+g ；11862422ABC S AC BC D ==´´=Q g ，:9:100CPQ ABC S S D D =，即：20.4 1.92924100t t -+=，整理得：2524270t t -+=，解得：13t =，2 1.8t =，\在运动过程中存在某一时刻t ，使得:9:100CPQ ABC S S D D =，t 的值为：3或1.8．9．如图，16AB cm =，12AC cm =，动点P 、Q 分别以每秒2cm 和1cm 的速度同时开始运动，其中点P 从点A 出发，沿AC 边一直移到点C 为止，点Q 从点B 出发沿BA 边一直移到点A 为止，（点P 到达点C 后，点Q 继续运动）（1）请直接用含t 的代数式表示AP 的长和AQ 的长，并写出自变量的取值范围．（2）当t 等于何值时，APQ D 与ABC D 相似？【解答】解：（1）由题意得：12(06)y t t =……，216(016)y t t =-……；（2）当06t ……时，①若//QP BC ，则有AQP ABC D D ∽，\AQ AP AB AC=，16AB cm =Q ，12AC cm =，2AP tcm =，(16)AQ t cm =-，\1621612t t -=，解得：4811t =，②当A A Ð=Ð，若AQP C Ð=Ð，则有AQP ACB D D ∽，所以AQ AP AC AB =，即1621216t t -=，解得： 6.4t =（不符合题意，舍去）；当616t ……时，点P 与C 重合，A A Ð=ÐQ ，只有当AQC ACB Ð=Ð时，有AQC ACBD D ∽，\AQ AC AC AB =，\16121216t -=，解得：7t =，综上所述：在06t ……中，当4811t =时，AQP ABC D D ∽，在616t ……中，当7t =时，AQC ACB D D ∽．10．如图所示，在矩形ABCD 中，12AB cm =，6BC cm =．点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2/cm 秒的速度移动，点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1/cm 秒的速度移动，如果P 、Q 同时出发，用t （秒)表示移动的时间(06)t ……，那么：（1）点Q 运动多少秒时，APQ D 的面积为25cm ；（2）当t 为何值时，QAP D 与ABC D 相似？【解答】解：（1）当运动时间为t s 时，2AP t =cm ，(6)AQ t cm =-，依题意得：12(6)52t t ´-=，整理得：2650t t -+=，解得：11t =，25t =．答：当t 为1或5时，QAP D 的面积等于25cm ；（2）2AP t =Q cm ，DQ t =cm ，12AB cm =，6AD cm =，(6)AQ t cm \=-，A A Ð=ÐQ ，\①当AQ AP BC AB =时，AQP BCA D D ∽，\62612t t -=，解得：3t =；②当AQ AP AB BC =时，AQP BAC D D ∽，\62126t t -=，解得： 1.2t =．\当3t =或1.2时，APQ D 与ABC D 相似．11．如图，在ACB D 中，30AC cm =，25BC cm =．动点P 从点C 出发，沿CA 向终点A 匀速运动，速度是2/cm s ；同时，动点Q 从点B 出发，沿BC 向终点C 匀速运动，速度是1/cm s ．当CPQ D 与CAB D 相似时，求运动的时间．【解答】解：设运动的时间为t s ，①当CPQ CAB D D ∽时，CP CQ CA CB =，即2253025t t -=．解得758t =；②当CPQ CBA D D ∽时，CP CQ CB CA =，即2252530t t -=．解得12517t =．综上所述，运动时间为758s 或12517s ．12．如图，在Rt ABC D 中，90ACB Ð=°，5AC cm =，60BAC Ð=°，动点M 从点B 出发，在BA 边上以每秒2cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点N 从点C 出发，在CB 边上以每秒的速度向点B 匀速运动，设运动时间为t 秒(05)t ……，连接MN ．（1）若BM BN =，求t 的值；（2）若MBN D 与ABC D 相似，求t 的值．【解答】解：（1）Q 在Rt ABC D 中，90ACB Ð=°，5AC =，60BAC Ð=°，30B \Ð=°，210AB AC \==，BC =．由题意知：2BM t =，CN =，BN \=，BM BN =Q ，2t \=，解得：15t ==．（2）分两种情况：①当MBN ABC D D ∽时，则MB BN AB BC =，即210t =解得：52t =．②当NBM ABC D D ∽时，则BN BM AB BC ==，解得：157t =．综上所述：当52t =或157t =时，MBN D 与ABC D 相似．13．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图①，在ABC D 中，CD 为角平分线，40A Ð=°，60B Ð=°，求证：CD 是ABC D 的完美分割线；（2）如图②，在ABC D 中，2AC =，BC =CD 是ABC D 的完美分割线，且ACD D 是以CD 为底边的等腰三角形，求完美分割线CD 的长．【解答】解：（1）40A Ð=°Q ，60B Ð=°，80ACB \Ð=°，ABC \D 不是等腰三角形，CD Q 平分ACB Ð，1402ACD BCD ACB \Ð=Ð=Ð=°，40ACD A \Ð=Ð=°，ACD \D 是等腰三角形，40BCD A Ð=Ð=°Q ，CBD ABCÐ=ÐBCD BAC \D D ∽，CD \是BAC D 的完美分割线；（2）BCD BAC D D Q ∽，\BC BD BA BC=，2AC AD ==Q ，BC =，设BD x =，则2AB x =+，\=解得1x =-±0x >Q ，1BD x \==-+，BCD BAC D D Q ∽，\CD BD AC BC=，2AC =Q ，BC =1BD =-2CD \==14．如图，在平面直角坐标系中，已知12OA =厘米，6OB =厘米，点P 从点O 开始沿OA 边向点A 以1厘米/秒的速度移动．点Q 从点B 开始沿BO 边向点O 以1厘米/秒的速度移动．如果P 、Q 同时出发，用t （秒)表示移动的时间(06)t ……，那么，当t 为何值时，POQ D 与AOB D 相似？【解答】解：①若POQ AOB D D ∽时，OQ OP OB OA =，即6612t t -=，整理得：122t t -=，解得：4t =．②若POQ BOA D D ∽时，OQ OP OA OB =，即6126t t -=，整理得：62t t -=，解得：2t =．06t Q ……，4t \=和2t =均符合题意，\当4t =或2t =时，POQ D 与AOB D 相似．15．如图，矩形ABCD 中，20AB =，10BC =，点P 为AB 边上一动点，DP 交AC 于点Q ．（1）求证：APQ CDQ D D ∽；（2）P 点从A 点出发沿AB 边以每秒1个单位长度的速度向B 点移动，移动时间为t 秒，t 为何值时，DP AC ^．【解答】（1）证明：Q 四边形ABCD 是矩形，//CD AB \，DCQ QAP \Ð=Ð，PDC QPA Ð=Ð，APQ CDQ \D D ∽；（2）解：当5t=时，DP AC^；90ADCÐ=°Q，DP AC^，90AQD AQP ABC\Ð=Ð=Ð=°，90 CAB APQ CAB ACB\Ð+Ð=Ð+Ð=°，APQ ACB\Ð=Ð，DAP ABC\D D∽，\DA AP AB BC=，\10 2010t=解得：5t=，即当5t=时，DP AC^．16．如图，在AOBD中，90AOBÐ=°，12OA cm=，AB=，点P从O开始沿OA边向点A以2/cm s（厘米/秒）的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1/cm s的速度移动，如果P，Q同时出发，用x（秒)表示时间(06)x……，那么：（1）点Q运动多少秒时，OPQD的面积为25cm；（2）当x为何值时，以P、O、Q为顶点的三角形与AOBD相似？【解答】解：（1）90AOBÐ=°Q，222BO AB AO\=-，6BO\=，在Rt OPQ D 中，6OQ x =-，2OP x =，OPQ D Q 的面积为25cm ；\152OQ OP =g ，即1(6)252x x -=g ，解得11x =，25x =；（2）当OPQ OAB D D ∽时，OP OQ OA OB =，即26126x x -=，解得3x =秒；当OPQ OBA D D ∽，OP OQ OB OA =，即26612x x -=，解得65x =秒．综上所述，当3x =秒或65秒时，以P 、O 、Q 为顶点的三角形与AOB D 相似．17．如图、在ABC D 中，90ACB Ð=°，4AC =，3BC =，点P 在线段AB 上以每秒1个单位的速度从点B 向点A 运动，同时点Q 在线段AC 上以同样的速度从点A 向点C 运动，运动的时间用t （单位：秒）表示．（1）求线段AB 的长；（2）求当t 为何值时，APQ D 与ABC D 相似？【解答】解：（1）90ACB Ð=°Q ，4AC =，3BC =，5AB \==；（2）Q 点P 在线段AB 上以每秒1个单位的速度从点B 向点A 运动，同时点Q 在线段AC 上以同样的速度从点A 向点C 运动，5AP AB BP t \=-=-，AQ t =，当90APQ Ð=°时，APQ ABC D D ∽，则::AQ AB AP AC =，:55:4t t \=-，259t \=；当90PQA Ð=°时，APQ ABC D D ∽，::AQ AC AP AB \=，:45:5t t \=-209t \=，当259t =或209时，经检验，它们都符合题意，此时AQP ABC D D ∽相似．18．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 是BC 边的中点，点P 在射线AD 上，过P 作PF AE ^于F ．（1）求证：PFA ABE D D ∽；（2）当点P 在射线AD 上运动时，设PA x =，是否存在实数x ，使以P ，F ，E 为顶点的三角形也与ABE D 相似？若存在，请求出x 的值；若不存在，说明理由．【解答】（1）证明：//AD BC Q ，PAF AEB \Ð=Ð．90PFA ABE Ð=Ð=°Q ，PFA ABE \D D ∽．（2）解：若EFP ABE D D ∽，则PEF EAB Ð=Ð．//PE AB \．\四边形ABEP 为矩形．2PA EB \==，即2x =．若PFE ABE D D ∽，则PEF AEB Ð=Ð．PAF AEB Ð=ÐQ ，PEF PAF \Ð=Ð．PE PA \=．PF AE ^Q ，\点F 为AE 的中点．AE ==Q12EF AE \==．Q PE EFAE EB ==5PE \=，即5x =．\满足条件的x 的值为2或5．20．如图，在ABC D 中，90ACB Ð=°，CD AB ^，（1）图1中共有 3 对相似三角形，写出来分别为 （不需证明）；（2）已知10AB =，8AC =，请你求出CD 的长；（3）在（2）的情况下，如果以AB 为x 轴，CD 为y 轴，点D 为坐标原点O ，建立直角坐标系（如图2)，若点P 从C 点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB 运动，点Q 出B 点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA 运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t 秒，是否存在点P ，使以点B 、P 、Q 为顶点的三角形与ABC D 相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）图1中共有3对相似三角形，分别为：ABC ACD D D ∽，ABC CBD D D ∽，ACD CBD D D ∽．故答案为3，ABC ACD D D ∽，ABC CBD D D ∽，ACD CBD D D ∽；（2）如图1，在ABC D 中，90ACB Ð=°Q ，10AB =，8AC =，6BC \==．ABC D Q 的面积1122AB CD AC BC ==g g ，68 4.810AC BC CD AB ´\===g ；（3）存在点P ，使以点B 、P 、Q 为顶点的三角形与ABC D 相似，理由如下：在BOC D 中，90COB Ð=°Q ，6BC =， 4.8OC =，3.6OB \==．分两种情况：①当90BQP Ð=°时，如图2①，此时PQB ACB D D ∽，\BP BQ AB BC =，\6106t t -=，解得 2.25t =，即 2.25BQ CP ==，6 2.25 3.75BP BC CP \=-=-=．在BPQ D 中，由勾股定理，得3PQ ===，\点P 的坐标为(1.35,3)；②当90BPQ Ð=°时，如图2②，此时QPB ACB D D ∽，\BP BQ BC AB=，\6610t t -=，解得 3.75t =，即 3.75BQ CP ==，6 3.75 2.25BP BC CP =-=-=．过点P 作PE x ^轴于点E ．QPB ACB D D Q ∽，\PE BQ CO AB =，即 3.754.810PE =，1.8PE \=．在BPE D 中， 1.35BE ===，3.6 1.35 2.25OE OB BE \=-=-=，\点P 的坐标为(2.25,1.8)．综上可得，点P 的坐标为(1.35,3)或(2.25,1.8)．。
因动点产生的相似三角形问题---专题
因动点产生的相似三角形问题关键词：动点、相似三角形动点：运动的点或者说是不确定的点，有时题目中会明确指出动点，有时题目中相关点的坐标含有参数，换言之就是在不同的条件下会有不同的位置，或者满足条件的位置有多个。
相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个或多个三角形，两个三角形相似的判定定理一般说来有3个，定理1：两个角对应相等，两三角形相似 ‘AA ” 定理2：两边对应成比例且夹角相等 “SAS ” 定理3：三边对应成比例。
“SSS ”相似三角形的判定这3个定理，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等． 判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验．如果已知∠A ＝∠D ，探求△ABC 与△DEF 相似，只要把夹∠A 和∠D 的两边表示出来，按照对应边成比例，分AB DE AC DF =和AB DFAC DE=两种情况列方程． 应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）． 两个直角三角形相似的判定方法（1）有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似． （2）两条直角边对应成比例的两个直角三角形相似． （3）斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似．如果要讨论相似的两个三角形中有一个是直角三角形：如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题．由动点产生的相似三角形问题一般在函数和几何图中出现，其中以函数表现居多。
题型一般有是否存在点P，使得：①△PDE∽△ABC②以P、D、E为顶点的三角形与△ABC相似或者通过动点产生相似解决有关问题一般以大题为主，也有出现在填空后两题。
函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题过程：①求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。
中考数学压轴题---因动点产生的相似三角形问题[含答案]
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因动点产生的相似三角形问题例1（2011年上海市闸北区中考模拟第25题）直线113y x =-+分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转90°后得到△COD ，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A 、C 、D 三点．(1) 写出点A 、B 、C 、D 的坐标；(2) 求经过A 、C 、D 三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G 的坐标；(3) 在直线BG 上是否存在点Q ，使得以点A 、B 、Q 为顶点的三角形与△COD 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．图1满分解答（1）A (3，0)，B (0，1)，C (0，3)，D (－1，0)．（2）因为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (3，0)、C (0，3)、D (－1，0) 三点，所以930,3,0.a b c c a b c ++=⎧⎪=⎨⎪-+=⎩ 解得1,2,3.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩所以抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，顶点G 的坐标为(1，4)．（3）如图2，直线BG 的解析式为y ＝3x ＋1，直线CD 的解析式为y ＝3x ＋3，因此CD //BG ．因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以AB ⊥CD ．因此AB ⊥BG ，即∠ABQ ＝90°． 因为点Q 在直线BG 上，设点Q 的坐标为(x ，3x ＋1)，那么22(3)10BQ x x x =+=±．Rt △COD 的两条直角边的比为1∶3，如果Rt △ABQ 与Rt △COD 相似，存在两种情况： ①当3B Q B A =时，10310x ±=．解得3x =±．所以1(3,10)Q ，2(3,8)Q --．②当13B Q B A=时，101310x ±=．解得13x =±．所以31(,2)3Q ，41(,0)3Q -．图2 图3考点伸展第（3）题在解答过程中运用了两个高难度动作：一是用旋转的性质说明AB ⊥BG ；二是22(3)10BQ x x x =+=±．我们换个思路解答第（3）题：如图3，作GH ⊥y 轴，QN ⊥y 轴，垂足分别为H 、N ．通过证明△AOB ≌△BHG ，根据全等三角形的对应角相等，可以证明∠ABG ＝90°． 在Rt △BGH 中，1sin 110∠=，3cos 110∠=．①当3B Q B A=时，310B Q =．在Rt △BQN 中，sin 13QN BQ =⋅∠=，cos 19BN BQ =⋅∠=． 当Q 在B 上方时，1(3,10)Q ；当Q 在B 下方时，2(3,8)Q --． ②当13B Q B A=时，1103B Q =．同理得到31(,2)3Q ，41(,0)3Q -．例2（2011年上海市杨浦区中考模拟第24题）Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数(0)k y k x =≠在第一象限内的图像与BC 边交于点D （4，m ），与AB 边交于点E （2，n ），△BDE 的面积为2．（1）求m 与n 的数量关系； （2）当tan ∠A ＝12时，求反比例函数的解析式和直线AB 的表达式；（3）设直线AB 与y 轴交于点F ，点P 在射线FD 上，在（2）的条件下，如果△AEO 与△EFP 相似，求点P 的坐标．图1满分解答（1）如图1，因为点D （4，m ）、E （2，n ）在反比例函数ky x =的图像上，所以4,2.m k n k =⎧⎨=⎩ 整理，得n ＝2m ．（2）如图2，过点E 作EH ⊥BC ，垂足为H ．在Rt △BEH 中，tan ∠BEH ＝tan ∠A ＝12，EH ＝2，所以BH ＝1．因此D (4，m )，E (2，2m )，B (4，2m ＋1)．已知△BDE 的面积为2，所以11(1)2222B D E H m ⋅=+⨯=．解得m ＝1．因此D (4，1)，E (2，2)，B (4，3)．因为点D （4，1）在反比例函数k y x=的图像上，所以k ＝4．因此反比例函数的解析式为4y x=．设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，代入B (4，3)、E (2，2)，得34,22.k b k b =+⎧⎨=+⎩ 解得12k =，1b =．因此直线AB 的函数解析式为112y x =+．图2 图3 图4（3）如图3，因为直线112y x =+与y 轴交于点F（0，1），点D 的坐标为（4，1），所以FD // x 轴，∠EFP ＝∠EAO ．因此△AEO 与△EFP 相似存在两种情况：①如图3，当E A EF A O F P =时，2552FP =．解得FP ＝1．此时点P 的坐标为（1，1）．②如图4，当E A F P A OE F=时，2525F P =．解得FP ＝5．此时点P 的坐标为（5，1）．考点伸展本题的题设部分有条件“Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图1所示”，如果没有这个条件限制，保持其他条件不变，那么还有如图5的情况：第（1）题的结论m 与n 的数量关系不变．第（2）题反比例函数的解析式为12y x=-，直线AB 为172y x =-．第（3）题FD 不再与x 轴平行，△AEO 与△EFP 也不可能相似．图5例3（2010年义乌市中考第24题）如图1，已知梯形OABC ，抛物线分别过点O （0，0）、A （2，0）、B （6，3）． （1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M 的坐标；（2）将图1中梯形OABC 的上下底边所在的直线OA 、CB 以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O 1、A 1、C 1、B 1，得到如图2的梯形O 1A 1B 1C 1．设梯形O 1A 1B 1C 1的面积为S ，A 1、 B 1的坐标分别为 (x 1，y 1)、(x 2，y 2)．用含S 的代数式表示x 2－x 1，并求出当S =36时点A 1的坐标；（3）在图1中，设点D 的坐标为(1，3)，动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC 运动，动点Q 从点D 出发，以与点P 相同的速度沿着线段DM 运动．P 、Q 两点同时出发，当点Q 到达点M 时，P 、Q 两点同时停止运动．设P 、Q 两点的运动时间为t ，是否存在某一时刻t ，使得直线PQ 、直线AB 、x 轴围成的三角形与直线PQ 、直线AB 、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．图1 图2（1）抛物线的对称轴为直线1x =，解析式为21184y x x =-，顶点为M （1，18-）．（2） 梯形O 1A 1B 1C 1的面积12122(11)3()62x x S x x -+-⨯3==+-，由此得到1223s x x +=+．由于213y y -=，所以22212211111138484y y x x x x -=--+=．整理，得212111()()384x x x x ⎡⎤-+-=⎢⎥⎣⎦．因此得到2172x x S -=． 当S =36时，212114,2.x x x x +=⎧⎨-=⎩ 解得126,8.x x =⎧⎨=⎩ 此时点A 1的坐标为（6，3）．（3）设直线AB 与PQ 交于点G ，直线AB 与抛物线的对称轴交于点E ，直线PQ 与x 轴交于点F ，那么要探求相似的△GAF 与△GQE ，有一个公共角∠G ．在△GEQ 中，∠GEQ 是直线AB 与抛物线对称轴的夹角，为定值．在△GAF 中，∠GAF 是直线AB 与x 轴的夹角，也为定值，而且∠GEQ ≠∠GAF ． 因此只存在∠GQE ＝∠GAF 的可能，△GQE ∽△GAF ．这时∠GAF ＝∠GQE ＝∠PQD ． 由于3tan 4G A F ∠=，tan 5DQ t PQD QPt∠==-，所以345t t=-．解得207t =．图3 图4考点伸展第（3）题是否存在点G 在x 轴上方的情况？如图4，假如存在，说理过程相同，求得的t 的值也是相同的．事实上，图3和图4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3．例4（2010年上海市宝山区中考模拟第24题）如图1，已知点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线22y m x m x n =++上．（1）求m 、n ；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，若四边形A A ′B ′B 为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB ′ 的交点为C ，试在x 轴上找一个点D ，使得以点B ′、C 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似．图1满分解答(1) 因为点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线22y m x m x n =++上，所以444,20.m m n m m n -+=⎧⎨++=⎩ 解得43m =-，4n =．(2)如图2，由点A (-2，4) 和点B (1，0)，可得AB ＝5．因为四边形A A ′B ′B 为菱形，所以A A ′＝B ′B ＝ AB ＝5．因为438342+--=x x y ()2416133x =-++，所以原抛物线的对称轴x ＝－1向右平移5个单位后，对应的直线为x ＝4．因此平移后的抛物线的解析式为()3164342,+--=x y ．图2(3) 由点A (-2，4) 和点B ′ (6，0)，可得A B ′＝45． 如图2，由AM //CN ，可得''''B N B C B MB A=，即2'845B C =．解得'5B C =．所以35AC =．根据菱形的性质，在△ABC 与△B ′CD 中，∠BAC ＝∠CB ′D ．①如图3，当''A B B C A C B D =时，55'35B D=，解得'3B D =．此时OD ＝3，点D 的坐标为（3，0）．②如图4，当''A B B D A CB C=时，5'355B D =，解得5'3B D =．此时OD ＝133，点D 的坐标为（133，0）．图3 图4考点伸展在本题情境下，我们还可以探求△B ′CD 与△ABB ′相似，其实这是有公共底角的两个等腰三角形，容易想象，存在两种情况．我们也可以讨论△B ′CD 与△C B B ′相似，这两个三角形有一组公共角∠B ，根据对应边成比例，分两种情况计算．例5（2009年临沂市中考第26题）如图1，抛物线经过点A (4，0)、B （1，0)、C （0，－2）三点． （1）求此抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上的一个动点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以A 、P 、M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的 点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC 上方的抛物线是有一点D ，使得△DCA 的面积最大，求出点D 的坐标．图1满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A (4，0)、B （1，0)两点，设抛物线的解析式为)4)(1(--=x x a y ，代入点C 的 坐标（0，－2），解得21-=a ．所以抛物线的解析式为22521)4)(1(212-+-=---=x x x x y ．（2）设点P 的坐标为))4)(1(21,(---x x x ．①如图2，当点P 在x 轴上方时，1＜x ＜4，)4)(1(21---=x x PM ，x AM -=4．如果2==CO AO PM AM ，那么24)4)(1(21=----xx x ．解得5=x 不合题意．如果21==COAO PMAM ，那么214)4)(1(21=----xx x ．解得2=x ．此时点P 的坐标为（2，1）．②如图3，当点P 在点A 的右侧时，x ＞4，)4)(1(21--=x x PM ，4-=x AM ．解方程24)4)(1(21=---x x x ，得5=x ．此时点P 的坐标为)2,5(-．解方程214)4)(1(21=---x x x ，得2=x 不合题意．③如图4，当点P 在点B 的左侧时，x ＜1，)4)(1(21--=x x PM ，x AM -=4．解方程24)4)(1(21=---x x x ，得3-=x ．此时点P 的坐标为)14,3(--．解方程214)4)(1(21=---xx x ，得0=x ．此时点P 与点O 重合，不合题意．综上所述，符合条件的 点P 的坐标为（2，1）或)14,3(--或)2,5(-．图2 图3 图4（3）如图5，过点D 作x 轴的垂线交AC 于E ．直线AC 的解析式为221-=x y ．设点D 的横坐标为m )41(<<m ，那么点D 的坐标为)22521,(2-+-m mm ，点E 的坐标为)221,(-m m ．所以)221()22521(2---+-=m m mDE m m2212+-=．因此4)221(212⨯+-=∆m mS DAC m m 42+-=4)2(2+--=m ．当2=m 时，△DCA 的面积最大，此时点D 的坐标为（2，1）．图5 图6考点伸展第（3）题也可以这样解：如图6，过D 点构造矩形OAMN ，那么△DCA 的面积等于直角梯形CAMN 的面积减去△CDN 和△ADM 的面积．设点D 的横坐标为（m ，n ）)41(<<m ，那么42)4(21)2(214)22(21++-=--+-⨯+=n m m n n m n S ．由于225212-+-=m mn ，所以m m S 42+-=．例6（2009年上海市闸北区中考模拟第25题）如图1，△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，cos A ＝310．D 为射线BA 上的点（点D 不与点B 重合），作DE //BC 交射线CA 于点E .．(1) 若CE ＝x ，BD ＝y ，求y 与x 的函数关系式，并写出函数的定义域；(2) 当分别以线段BD ，CE 为直径的两圆相切时，求DE 的长度；(3) 当点D 在AB 边上时，BC 边上是否存在点F ，使△ABC 与△DEF 相似？若存在，请求出线段BF 的长；若不存在，请说明理由．图1 备用图备用图满分解答（1）如图2，作BH⊥AC，垂足为点H．在Rt△ABH中，AB＝5，cosA＝310A HA B=，所以AH＝32＝12AC．所以BH垂直平分AC，△ABC 为等腰三角形，AB＝CB＝5．因为DE//BC，所以A B A CD BE C=，即53y x=．于是得到53y x=，（0x>）．（2）如图3，图4，因为DE//BC，所以D E A EB C A C=，M N A NB C A C=，即|3|53D E x-=，1|3|253xM N-=．因此5|3|3xD E-=，圆心距5|6|6xM N-=．图2 图3 图4在⊙M中，115226Mr B D y x===，在⊙N中，1122Nr C E x==．①当两圆外切时，5162x x+5|6|6x-=．解得3013x=或者10x=-．如图5，符合题意的解为3013x=，此时5(3)15313xD E-==．②当两圆内切时，5162x x-5|6|6x-=．当x＜6时，解得307x=，如图6，此时E在CA的延长线上，5(3)1537xD E-==；当x＞6时，解得10x=，如图7，此时E在CA的延长线上，5(3)3533xD E-==．图5 图6 图7（3）因为△ABC 是等腰三角形，因此当△ABC 与△DEF 相似时，△DEF 也是等腰三角形．如图8，当D 、E 、F 为△ABC 的三边的中点时，DE 为等腰三角形DEF 的腰，符合题意，此时BF ＝2.5．根据对称性，当F 在BC 边上的高的垂足时，也符合题意，此时BF ＝4.1．如图9，当DE 为等腰三角形DEF 的底边时，四边形DECF 是平行四边形，此时12534B F =．图8 图9 图10 图11考点伸展第（3）题的情景是一道典型题，如图10，如图11，AH 是△ABC 的高，D 、E 、F 为△ABC 的三边的中点，那么四边形DEHF 是等腰梯形．例7（2008年杭州市中考第24题）如图1，在直角坐标系xOy 中，设点A （0，t ），点Q （t ，b ）．平移二次函数2tx y -=的图象，得到的抛物线F 满足两个条件：①顶点为Q ；②与x 轴相交于B 、C 两点（∣OB ∣<∣OC ∣），连结A ，B ．（1）是否存在这样的抛物线F ，使得OC OB OA ⋅=2？请你作出判断，并说明理由；（2）如果AQ ∥BC ，且tan ∠ABO ＝23，求抛物线F 对应的二次函数的解析式．满分解答（1）因为平移2tx y -=的图象得到的抛物线F 的顶点为Q （t ，b ），所以抛物线F 对应的解析式为b t x t y +--=2)(．因为抛物线与x 轴有两个交点，因此0>b t ．令0=y ，得-=t OB tb ，+=t OC tb ．所以-=⋅t OC OB (|||||tb )( +t tb )|-=2|t22|OA ttb ==．即22b t t t-=±．所以当32t b =时，存在抛物线F 使得||||||2OC OB OA ⋅=．（2）因为AQ //BC ，所以t ＝b ，于是抛物线F 为t t x t y +--=2)(．解得1,121+=-=t x t x ． ①当0>t 时，由||||OC OB <，得)0,1(-t B ．如图2，当01>-t 时，由=∠ABO tan 23=||||OB OA =1-t t ，解得3=t ．此时二次函数的解析式为241832-+-=x x y ．如图3，当01<-t 时，由=∠ABO tan 23=||||OB OA =1+-t t ，解得=t 53．此时二次函数的解析式为-=y 532x ＋2518x ＋12548．图2 图3②如图4，如图5，当0<t 时，由||||OC OB <，将t -代t ,可得=t 53-，3-=t ．此时二次函数的解析式为=y 532x＋2518x －12548或241832++=x x y ．图4 图5考点伸展第（2）题还可以这样分类讨论：因为AQ //BC ，所以t ＝b ，于是抛物线F 为2()y t x t t =--+．由3tan 2O A A B O O B∠==，得23O B O A =．①把2(,0)3B t 代入2()y t x t t =--+，得3t =±（如图2，图5）．②把2(,0)3B t -代入2()y t x t t =--+，得35t =±（如图3，图4）．。
1.因动点产生的相似三角形问题-教师版
第一部分 函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题例1如图1，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx （a ＞0）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO ＝BO ＝2，∠AOB ＝120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM ，求∠AOM 的大小；（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标．图1思路点拨1．第（2）题把求∠AOM 的大小，转化为求∠BOM 的大小．2．因为∠BOM ＝∠ABO ＝30°，因此点C 在点B 的右侧时，恰好有∠ABC ＝∠AOM ． 3．根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论△ABC 与△AOM 相似．满分解答（1）如图2，过点A 作AH ⊥y 轴，垂足为H ． 在Rt △AOH 中，AO ＝2，∠AOH ＝30°， 所以AH ＝1，OH ＝3．所以A (1,3)-．因为抛物线与x 轴交于O 、B (2,0)两点， 设y ＝ax (x －2)，代入点A (1,3)-，可得33a =． 图2 所以抛物线的表达式为23323(2)333y x x x x =-=-． （2）由2232333(1)3333y x x x =-=--， 得抛物线的顶点M 的坐标为3(1,)3-．所以3tan 3BOM ∠=． 所以∠BOM ＝30°．所以∠AOM ＝150°． （3）由A (1,3)-、B (2,0)、M 3(1,)3-， 得3tan 3ABO ∠=，23AB =，233OM =． 所以∠ABO ＝30°，3OAOM=．因此当点C 在点B 右侧时，∠ABC ＝∠AOM ＝150°． △ABC 与△AOM 相似，存在两种情况： ①如图3，当3BA OA BC OM ==时，23233BA BC ===．此时C (4,0)． ②如图4，当3BC OABA OM==时，33236BC BA ==⨯=．此时C (8,0)．图3 图4考点伸展在本题情境下，如果△ABC 与△BOM 相似，求点C 的坐标．如图5，因为△BOM 是30°底角的等腰三角形，∠ABO ＝30°，因此△ABC 也是底角为30°的等腰三角形，AB ＝AC ，根据对称性，点C 的坐标为(－4,0)．图5例2如图1，已知抛物线211(1)444b y x b x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．图1思路点拨1．第（2）题中，等腰直角三角形PBC 暗示了点P 到两坐标轴的距离相等．2．联结OP ，把四边形PCOB 重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b 的式子表示．3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q 最大的可能在经过点A 与x 轴垂直的直线上．满分解答（1）B 的坐标为(b , 0)，点C 的坐标为(0,4b )． （2）如图2，过点P 作PD ⊥x 轴，PE ⊥y 轴，垂足分别为D 、E ，那么△PDB ≌△PEC ． 因此PD ＝PE ．设点P 的坐标为(x, x)． 如图3，联结OP ．所以S 四边形PCOB ＝S △PCO ＋S △PBO ＝1152428b x b x bx ⨯⋅+⨯⋅=＝2b ．解得165x =．所以点P 的坐标为(1616,55)．图2 图3 （3）由2111(1)(1)()4444b y x b x x x b =-++=--，得A (1, 0)，OA ＝1．①如图4，以OA 、OC 为邻边构造矩形OAQC ，那么△OQC ≌△QOA ．当BA QA QA OA=，即2QA BA OA =⋅时，△BQA ∽△QOA ． 所以2()14bb =-．解得843b =±．所以符合题意的点Q 为(1,23+)．②如图5，以OC为直径的圆与直线x＝1交于点Q，那么∠OQC＝90°。
中考复习 因动点产生相似三角形
例2如图1，已知抛物线 （b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C．
（1）点B的坐标为______，点C的坐标为__________（用含b的代数式表示）；
（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
在Rt△BFF′中，由FF′＝BF′，得 ．
解得x＝2m．所以F′ ．所以BF′＝2m＋2， ．
由 ，得 ．解得 ．
综合①、②，符合题意的m为 ．
考点伸展
第（4）题也可以这样求BF的长：在求得点F′、F的坐标后，根据两点间的距离公式求BF的长．
例4如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．
解方程 ，得 ．此时点P的坐标为 ．
解方程 ，得 ．此时点P与点O重合，不合题意．
综上所述，符合条件的点P的坐标为（2，1）或 或 ．
图2图3图4
（3）如图5，过点D作x轴的垂线交AC于E．直线AC的解析式为 ．
设点D的横坐标为m ，那么点D的坐标为 ，点E的坐标为 ．所以 ．
因此 ．
当 时，△DCA的面积最大，此时点D的坐标为（2，1）．
（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；
（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；
因动点产生的相似三角形问题(类型一)
因动点产生的相似三角形问题（类型一）原理：相似定理SAS（两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似.）方法：1观察两三角形是否为特殊三角形，找出两三角形相等的角2、设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后运用相似对应边成比例来列方程求解。
题型一：直角三角形相似的问题例题11、如图，抛物线经过(40)(10)(02)，，，，，三点．A B C-（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点，过P作PM x⊥轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与OAC△相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标答案：练习.如图所示，已知抛物线21=-与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．y x（1）求A、B、C三点的坐标．（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG⊥x轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与∆PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．题型二存在公共角的两三角形相似问题例题如图，在平面指教坐标系内，已知A（0，6），B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向O移动，同时动点Q从B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向A移动，设点P、Q移动的时间为t秒。
（1）求直线AB的解析式；（2）当t为何值时，△APQ于△AOB相似？（3）当t为何值时，△APQ的面积为24/5个平方单位？答案：（1）设直线AB的解析式为y＝k x＋b由题意，得解得所以，直线AB的解析式为y＝－x＋6．（2）由AO＝6，BO＝8得AB＝10所以AP＝t，AQ＝10－2t1)当∠APQ＝∠AOB时，△APQ∽△AOB．所以＝解得t＝(秒)2)当∠AQP ＝∠AOB 时，△AQP ∽△AOB ．所以＝ 解得 t ＝(秒)（3）过点Q 作QE 垂直AO 于点E ．在Rt △AOB 中，Sin ∠BAO ＝ABBO ＝在Rt △AEQ 中，QE ＝AQ ・Sin ∠BAO ＝(10-2t )・＝8－t( 2分)S △APQ ＝21AP ・QE ＝t ・(8－t )＝－＋4t ＝524 解得t ＝2（秒）或t ＝3（秒）．练习：已知：如图，在平面直角坐标系中，A B C △是直角三角形，90ACB ∠= ，点A C ，的坐标分别为(30)A -，，(10)C ，，3tan 4BAC ∠=．（1）求过点A B ，的直线的函数表达式；点(30)A -，，(10)C ，，B (13)，，3944y x =+（2）在x 轴上找一点D ，连接D B ，使得A D B △与A B C △相似（不包括全等），并求点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，如P Q ，分别是A B 和A D 上的动点，连接PQ ，设A P D Q m ==，问是否存在这样的m 使得APQ △与AD B △相似，如存在，请求出m 的值；如不存在，请说明理由．题型三由平行得出角相等的三角形相似问题A COBxy例题：Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数(0)k y k x=≠在第一象限内的图像与BC 边交于点D （4，m ），与AB 边交于点E （2，n ），△BDE 的面积为2．（1）求m 与n 的数量关系；（2）当tan ∠A ＝12时，求反比例函数的解析式和直线AB 的表达式；（3）设直线AB 与y 轴交于点F ，点P 在射线FD 上，在（2）的条件下，如果△AEO 与△EFP 相似，求点P 的坐标．答案：（1）如图1，因为点D （4，m ）、E （2，n ）在反比例函数ky x =的图像上，所以4,2.m k n k =⎧⎨=⎩整理，得n ＝2m ．（2）如图2，过点E 作EH ⊥BC ，垂足为H ．在Rt △BEH 中，tan ∠BEH ＝tan ∠A ＝12，EH ＝2，所以BH ＝1．因此D (4，m )，E (2，2m )，B (4，2m ＋1)．已知△BDE 的面积为2，所以11(1)2222B D E H m ⋅=+⨯=．解得m ＝1．因此D (4，1)，E (2，2)，B (4，3)．因为点D （4，1）在反比例函数k y x=的图像上，所以k ＝4．因此反比例函数的解析式为4y x=．设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，代入B (4，3)、E (2，2)，得34,22.k b k b=+⎧⎨=+⎩ 解得12k =，1b =．因此直线AB 的函数解析式为112y x =+．图2 图3 图4（3）如图3，因为直线112y x=+与y轴交于点F（0，1），点D的坐标为（4，1），所以FD// x轴，∠EFP＝∠EAO．因此△AEO与△EFP相似存在两种情况：①如图3，当E A E FA O F P=时，2552FP=．解得FP＝1．此时点P的坐标为（1，1）．②如图4，当E A F PA O E F=时，2525F P=．解得FP＝5．此时点P的坐标为（5，1）．练习、设抛物线22y ax bx=+-与x轴交与两个不同的点A（-1，0）、B（m，0），与y轴交与点C，且∠ACB=90°（1）求m的值和抛物线的解析式（2）已知点D（1，n）在抛物线上，过点A的直线1y x=+交抛物线于另一点E。
专题3因动点产生的相似三角形问题
专题3:因动点产生的相似三角形问题例1 如图1，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．例2如图1，已知抛物线的方程C1：1(2)()=-+-(m＞0)与x轴交于y x x mm点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．例3 如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t 秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）如图2，连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值；（3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．例4如图1，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．（1）求y关于x的函数关系式；（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若12ym，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？。
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因动点产生的相似三角形问题关键词：动点、相似三角形动点：运动的点或者说是不确定的点，有时题目中会明确指出动点，有时题目中相关点的坐标含有参数，换言之就是在不同的条件下会有不同的位置，或者满足条件的位置有多个。
相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个或多个三角形，两个三角形相似的判定定理一般说来有3个，定理1：两个角对应相等，两三角形相似‘AA”定理2：两边对应成比例且夹角相等“SAS”定理3：三边对应成比例。
“SSS”相似三角形的判定这3个定理，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验．如果已知∠A＝∠D，探求△ABC与△DEF相似，只要把夹∠A和∠D的两边表示出来，按照对应边成比例，分AB DEAC DF=和AB DFAC DE=两种情况列方程．应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．两个直角三角形相似的判定方法（1）有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似．（2）两条直角边对应成比例的两个直角三角形相似．（3）斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似．如果要讨论相似的两个三角形中有一个是直角三角形：如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题．由动点产生的相似三角形问题一般在函数和几何图中出现，其中以函数表现居多。
题型一般有是否存在点P，使得：①△PDE∽△ABC②以P、D、E为顶点的三角形与△ABC相似或者通过动点产生相似解决有关问题一般以大题为主，也有出现在填空后两题。
函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题过程：①求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。
根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。
②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。
③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。
涉及知识点：全等相似的性质及判定，一元二次方程解法，直角三角形中锐角三角函数，勾股定理，求线段的长，要用到两点间的距离公式。
例1、(2014·浙江湖州，24，12分)已知在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，以P (1，1)为圆心的⊙P 与x 轴、y 轴分别相切于点M 和点N .点F 从点M 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连结PF ，过点P 作PE ⊥PF 交y 轴于点E .设点F 运动的时间是t 秒(t >0)．(1)若点E 在y 轴的负半轴上(如图所示)，求证：PE ＝PF ；(3)作点F 关于点M 的对称点F ′.经过M ，E ，F ′三点的抛物线的对称轴交x 轴于点Q ，连结QE .在点F 运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q ，O ，E 为顶点的三角形与以点P ，M ，F 为顶点的三角形相似，若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由． (1)证明 连结PM ，PN .∵⊙P 与x 轴、y 轴分别相切于点M 和点N ， ∴PM ⊥MF ，PN ⊥ON 且PM ＝PN ， ∴∠PMF ＝∠PNE ＝90°且∠NPM ＝90°. ∵PE ⊥PF ，∴∠1＝∠2＝90°－∠3.在△PMF 和△PNE 中，⎩⎨⎧∠1＝∠2，PM ＝PN ，∠PMF ＝∠PNE .∴△PMF ≌△PNE ，∴PE ＝PF . (2)解 分两种情况：①当t >1时，点E 在y 轴的负半轴上，如图1，由(1)得△PMF ≌△PNE ， ∴NE ＝MF ＝t ，PN ＝PM ＝1，∴b ＝OF ＝OM ＋MF ＝1＋t ，a ＝NE －ON ＝t －1.∴b －a ＝1＋t －(t －1)＝2， ∴b ＝2＋a .②当0<t ≤1时，如图2，点E 在y 轴的正半轴上或原点，同理可证△PMF ≌△PNE ，图1图2∴b＝OF＝OM＋MF＝1＋t，a＝OE＝ON－NE＝1－t，∴b＋a＝1＋t＋1－t＝2，∴b＝2－a.综上所述，当t>1时，b＝2＋a；当0<t≤1时，b＝2－a.(3)解存在，t的值是t ＝1＋174，t＝2，t＝2±2.如图3，(Ⅰ)当1＜t＜2时，∵F(1＋t，0)，F和F′关于点M对称，∴F′(1－t，0)．∵经过M，E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，∴Q(1－12t，0)∴OQ＝1－12t，由(1)得△PMF≌△PNE，∴NE＝MF＝t，∴OE＝t－1. 当△OEQ∽△MPF时，∴OEMP＝OQMF，∴t－11＝1－12tt，解得，t＝1＋174或t＝1－174(舍去)，当△OEQ∽△MFP时，OEMF＝OQ MP，∴t－1t＝1－12t1，解得，t＝2或t＝－2(舍去)．(Ⅱ)如图4，当t＞2时，∵F(1＋t，0)，F和F′关于点M对称，∴F′(1－t，0)．∵经过M，E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，∴Q(1－12t，0)．∴OQ＝12t－1.由(1)得△PMF≌△PNE 图3 图4∴NE ＝MF ＝t ， ∴OE ＝t －1.当△OEQ ∽△MPF ，OE MP ＝OQMF .∴t －11＝12t －1t ，无解．当△OEQ ∽△MFP 时，OE MF ＝OQMP ，∴t －1t ＝12t －11， 解得，t ＝2＋2或t ＝2－2<2舍去． (Ⅲ)如图5，当0<t ≤1时，∵F (1＋t ，0)，F 和F ′关于点M 对称， ∴F ′(1－t ，0)．∵经过M ，E ，F ′三点的抛物线的对称轴交x 轴于点Q ， ∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12t ，0，∴OQ ＝1－12t .由(1)得△PMF ≌△PNE ， ∴NE ＝MF ＝t ， ∴OE ＝1－t .当△QOE ∽△FMP 时，OQ MF ＝OEMP ，∴1－12tt ＝1－t 1， 即2t 2－3t ＋2＝0， 此方程无解．当△QOE ∽△PMF 时，OQ MP ＝OEMF ， ∴1－12t1＝1－tt ， 即t 2－4t ＋2＝0， 解得t 1＝2－2，t 2＝2＋2>1(舍去)． 所以当t ＝1＋174，t ＝2，t ＝2±2时，使得以点Q ，O ，E 为顶点的三角形与以点P ，M ，F 为顶点的三角形相似．图5例 2 （2014年衡阳28）（隐含动点）二次函数y ＝a x 2＋b x ＋c （a ≠0）的图象与x 轴交于A (－3, 0)、B (1, 0)两点，与y 轴交于点C (0,－3m )（m ＞0），顶点为D ．（1）求该二次函数的解析式（系数用含m 的代数式表示）；（3）如图2，当m 取何值时，以A 、D 、C 三点为顶点的三角形与△OBC 相似？图1 图23．讨论△ACD 与△OBC 相似，先确定△ACD 是直角三角形，再验证两个直角三角形是否相似．4．直角三角形ACD 存在两种情况．（1）因为抛物线与x 轴交于A (－3, 0)、B (1, 0)两点，设y ＝a (x ＋3)(x －1)． 代入点C (0,－3m )，得－3m ＝－3a ．解得a ＝m ．所以该二次函数的解析式为y ＝m (x ＋3)(x －1)＝mx 2＋2mx －3m ．图3 图4 图5（3）如图4，过点D 作y 轴的垂线，垂足为E ．过点A 作x 轴的垂线交DE 于F ． 由y ＝m (x ＋3)(x －1)＝m (x ＋1)2－4m ，得D (－1,－4m )． 在Rt △OBC 中，OB ∶OC ＝1∶3m ．如果△ADC 与△OBC 相似，那么△ADC 是直角三角形，而且两条直角边的比为1∶3m ．①如图4，当∠ACD ＝90°时，OA OC EC ED =．所以331mm =．解得m ＝1． 此时3CA OC CD ED ==，3OC OB =．所以CA OC CD OB=．所以△CDA ∽△OBC ．②如图5，当∠ADC ＝90°时，FA FD ED EC =．所以421m m=．解得m =．此时2DA FD DC EC m===32OC m OB ==．因此△DCA 与△OBC 不相似． 综上所述，当m ＝1时，△CDA ∽△OBC ．例3（2014益阳市21）（几何动点）如图1，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AD⊥AB，∠B＝60°，AB＝10，BC＝4，点P 沿线段AB从点A向点B运动，设AP＝x．（1）求AD的长；（2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；思路点拨1．第（2）题先确定△PCB是直角三角形，再验证两个三角形是否相似．图文解析（1）如图2，作CH⊥AB于H，那么AD＝CH．在Rt△BCH中，∠B＝60°，BC＝4，所以BH＝2，CH＝23．所以AD＝23．（2）因为△APD是直角三角形，如果△APD与△PCB相似，那么△PCB一定是直角三角形．①如图3，当∠CPB＝90°时，AP＝10－2＝8．所以APAD＝823＝433，而PCPB＝3．此时△APD与△PCB不相似．图2 图3 图4②如图4，当∠BCP＝90°时，BP＝2BC＝8．所以AP＝2．所以APAD＝223＝33．所以∠APD＝60°．此时△APD∽△CBP．综上所述，当x＝2时，△APD∽△CBP．例4 （2015湘西市26）如图1，已知直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y＝－x2＋bx＋c 经过A、B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以每秒1个单位的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以每秒2个单位的速度匀速运动，连结PQ，设运动时间为t秒．（1）求抛物线的解析式；（4）设抛物线顶点为M，连结BP、BM、MQ，问：是否存在t的值，使以B、Q、M为顶点的三角形与以O、B、P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．图1思路点拨3．△MBQ与△BOP都是直角三角形，根据直角边对应成比例分两种情况讨论．解析（1）由y＝－x＋3，得A(3, 0)，B(0, 3)．将A(3, 0)、B(0, 3)分别代入y＝－x2＋bx＋c，得930,3.b cc-++=⎧⎨=⎩解得2,3.bc=⎧⎨=⎩所以抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3．（2）在△APQ中，∠P AQ＝45°，AP＝3－t，AQ＝2t．分两种情况讨论直角三角形APQ：①当∠PQA＝90°时，AP＝2AQ．解方程3－t＝2t，得t＝1（如图2）．②当∠QP A＝90°时，AQ＝2AP．解方程2t＝2(3－t)，得t＝1.5（如图3）．图4 图5（4）由y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，得M(1, 4)．由A (3, 0)、B (0, 3)，可知A 、B 两点间的水平距离、竖直距离相等，AB ＝．由B (0, 3)、M (1, 4)，可知B 、M 两点间的水平距离、竖直距离相等，BM 所以∠MBQ ＝∠BOP ＝90°．因此△MBQ 与△BOP 相似存在两种可能：①当BM OBBQ OP =3t=．解得94t =（如图5）．②当BM OP BQ OB =3t=．整理，得t 2－3t ＋3＝0．此方程无实根．（2016•湖州）如图，已知二次函数y=-x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，1），点C（0，4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；（3）点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．【分析】（3）由题意分析可得∠MCP=90°，则若△PCM与△BCD相似，则要进行分类讨论，分成△PCM∽△BDC或△PCM∽△CDB两种，然后利用边的对应比值求出点坐标．【解答】解：（1）把点A（3，1），点C（0，4）代入二次函数y=﹣x2+bx+c得，解得∴二次函数解析式为y=﹣x2+2x+4，配方得y=﹣（x﹣1）2+5，∴点M的坐标为（1，5）；（3）连接MC，作MG⊥y轴并延长交AC于点N，则点G坐标为（0，5）∵MG=1，GC=5﹣4=1∴MC==，把y=5代入y=﹣x+4解得x=﹣1，则点N坐标为（﹣1，5），∵NG=GC，GM=GC，∴∠NCG=∠GCM=45°，∴∠NCM=90°，由此可知，若点P在AC上，则∠MCP=90°，则点D与点C必为相似三角形对应点①若有△PCM∽△BDC，则有∵BD=1，CD=3，∴CP===，∵CD=DA=3，∴∠DCA=45°，若点P在y轴右侧，作PH⊥y轴，∵∠PCH=45°，CP=∴PH==把x=代入y=﹣x+4，解得y=，∴P1（）；同理可得，若点P在y轴左侧，则把x=﹣代入y=﹣x+4，解得y=∴P2（）；②若有△PCM∽△CDB，则有∴CP==3∴PH=3÷=3，若点P在y轴右侧，把x=3代入y=﹣x+4，解得y=1；若点P在y轴左侧，把x=﹣3代入y=﹣x+4，解得y=7∴P3（3，1）；P4（﹣3，7）．∴所有符合题意得点P坐标有4个，分别为P1（），P2（），P3（3，1），P4（﹣3，7）．（2017怀化24.）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线25y ax bx与x轴交于A，5,0B两点，与y轴交于点C.1,0(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点D是y轴上的一点，且以,,B C D为顶点的三角形与ABC△相似，求点D的坐标；。