概率论练习题

解 p(B | A) p(B | A) 4 p(B) 6
说明：事件A发生与否对事件B发生的概率没 有影响.
有 p(AB) P(A)P(B)
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一、两个事件的独立性
1、定义 设 A，B 是两事件，如果满足等式 P(AB) P(A)P(B)
则称事件 A，B 相互独立，简称A，B 独立.
说明 A与B 独立是指其中一个事件 发生的概率 与另一事件是否发生 无关 实际中如何判断独立？
P( A1 A2 A3) 1 P( A1A2 A3) 1 P( A1)P( A2 )P( A3) 1 0.1 0.2 0.15 0.997
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例4 （保险赔付）设有n个人向保险公司购买人身意 外保险（保险期1年），假定投保人在1年内发生意外 的概率为0.01，求：（1）该保险公司赔付的概率； （2）多大的n使得以上的赔付概率超过1/2.
4
又由题意知 P( AB) P(BC ) P( AC ) 1 , 4
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故有
PAB PAPB 1 4
PBC
P
BP
C
1
4
PAC PAPC 1 4
则三事件A, B, C 两两独立.
由于 P( ABC ) 1 1 P( A)P(B)P(C ) 48
因此 A、B、C 不相互独立.
P(A0)=0.8×0.7×0.9=0.504 P(A1)=0.2×0.7×0.9+0.8×0.3×0.9+0.8×0.7×0.1=0.398 P(A2)=0.2×0.3×0.9+0.2×0.7×0.1+0.8×0.3×0.1=0.092 P(A3)=0.2×0.3×0.1=0.006 P(B)=0×0.054+0.398×0.2+0.092×0.6+0.006×0.9=0.1402
例如：设 A、B、C、D独立，则 AB与C D独立
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三、例题讲解
例1 设 A，B，C满足P(ABC) P(A)P(B)P(C)，则
(A)A，B，C 独立 (B)A，B独立
D
(C)AB与C 独立 (D)以上结论均不正确
例2 A，B是任意两个概率大于零 且小于1的事件，
则下列事件中一定与事 件A独立的是
则称事件 A，B，C 两两相互独立
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2、三事件相互独立的定义
定义 设A，B，C是三个事件，如果满足等式
P( AB) P( A)P(B)，
P(BC) P(B)P(C)，
P( AC) P( A)P(C)，
P( ABC) P( A)P(B)P(C)，
则称事件 A，B，C 相互独立
注意 三个事件相互独立
C
2 n
Cn3
Cnn
2n
n 1
n个事件相互独立
n个事件两两独立
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推论： 若 A1，A2， ，An (n 2)相互独立，则
(1) 它们中任何一部分事件 也相互独立
(2)将其中任意多个事件换成它们的对立事件，所得的 n 个事件独立 (3)事件经某种运算 (交、并、求逆 )后所得的不含相同 事件的事件组是相互独 立的.
1
1 2 n
2
系统1
系统2
n
解 设事件Ai “第 i 个元件正常工作” i 1，2 ，n
串联： P( A1A2 An ) p n
并联：P( A1 A2 An ) 1 P(A1 A2 An ) 1 (1 p)n
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串联： P( A1A2 An ) p n
并联： P( A1 A2 An ) 1 (1 p)n
可靠性：1 [ p (1 p)]n pn Cn1 pn1(1 p)
Cnk pnk (1 p)k (1 p)n pn (1 p)n 正数
pn (1 p)n 1， 即 pn 1 (1 p)n，
结论：并联可靠性高于串联
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思考：两事件独立与两事件互斥的关系
两事件独立 两事件互斥 例如
A、B互斥但不独立
互斥与独立是没有关系的两个“关系” 独立一般不互斥
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根据对独立与互斥理解、掌握， 请你做个小练习.
设A、B为互斥事件，且 P(A)>0，P(B)>0，
下面四个结论中，正确的是：
(A) P(B|A)>0 (C) P(A|B)=0
(B) P(A|B)=P(A) (D) P(AB)=P(A)P(B)
解 设 Ai={第i个投保人发生意外} i=1 , 2 , …n
1) P(A1 A2 An ) 1 P( A1A2 An ) 1 0.99n
2)
当1 0.99n
1 时，n 2
lg 2 2 lg99
684.16
说明：小概率事件在大量重复后几乎必然发生
绝不能轻视小概--- 率事件
例5 设有n个元件分别依串联、并联两种情形组成 系统1和2，已知每个元件正常工作的概率为p，分 别求系统1、2的可靠性.
B AB
A
P( AB) P( A)P(B) 二者之间没
AB
有必然联系
若P( A) 1 , P(B) 1
2
2
P(AB) 1 P(A)P(B) 4
A、B独立但不互斥
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AB ，则P(AB) 0.
而 P(A)P(B) 1 1 1 22 4
A B
故 P( AB) P( A)P(B)
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推广 设A1，A2， ，An是n(n 2)个事件，如果对于 其中任意一组事件Ai1，Ai2， Ais (2 s n)，都有
P( Ai1 Ai2 Ais ) P( Ai1 )P( Ai2 ) P( Ais )
则称 A1, A2 , , An 为相互独立的事件. 思考：要使 n 个事件相互独立，应有多少个 等式同时成立？
C
( A) A B
(B) ( A B)( A B)
(C) ( A B)( A B)
(D)A B
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例3 某车间有3台车床，在1小时内不需要工人维护 的概率依次为0.9，0.8，0.85，求1小时内3台车床至少 有一台不需要维护的概率.
解 记 Ai={第 i 台不需要维护} i =1 , 2 , 3
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思考：若A、B 独立，则
P( A | B) P( A) P(A | B ) P( A)
P(A | B) P( A | B ) 1
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二、多个事件相互独立的定义
1、三个事件两两独立的定义
定义 设A，B，C是三个事件，如果满足等式 P(AB) P(A)P(B)， P(BC) P(B)P(C)， P(AC) P(A)P(C)，
1、n（n 2)个事件独立的定义，需 2n n 1成立 2、几个重要的定理、推论
3、实际应用中独立事件的判断 没有联系或联系甚微
4、独立与互斥的关系
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练习 某种仪器由三个部件组装而成，假设各部件
质量互不影响且优质品率依次为0.8,0.7,0.9.已知如果3 个部件都是优质品，则组装后的仪器一定合格；如果 有1个部件不是优质品，则组装后的仪器不合格率为 0.2,；如果有2个……为0.6；如果3个都不是……为0.9. 求(1)仪器的不合格率; (2)如果已发现一台仪器不合 格，问它有1个部件不是优质品的概率多大？
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P(B)=0×0.054+0.398×0.2+0.092×0.6+0.006×0.9=0.1402
P(A1|B)=
P ( BA1 ) P(B)
P(B1)P( A | B1)
3
P(Bk )P( A｜Bk )
k 0
0.398 0.2 796 0.1402 1402
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二者之间没有联系或联系甚微来自---2、几个重要定理 P(B A) P(B) (P(A) 0)
定理1 A，B相互独立 P(A B) P(A) (P(B) 0)
定理2 若A、B 相互独立，则下列各对事件
A与B，A与B，A与B 也相互独立 .
结论 若A与B独立，则其中一个事件 与另一事件
的逆事件独立
设A、B为独立事件，且 P(A)>0，P(B)>0，
下面四个结论中，正确的是：
(A) P(B|A)>0 (C) P(A|B)=0
(B) P(A|B)=P(A)
(D) P(AB)=P(A)P(B)
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小结
事件独立性是概率论中的一个重要概念. 不难 发现，当事件相互独立时，乘法公式变得十分简单， 因而也就特别重要和有用.
三个事件两两独立
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伯恩斯坦反例
一个均匀的正四面体,其第一面染成红色,第 二面染成白色 ,第三面染成黑色 ,而第四面同时 染上红、白、黑三种颜色.现以A，B，C 分别记 投一次四面体出现红,白,黑颜色朝下的事件,问 A，B，C是否相互独立?
解 由于在四面体中红,白,黑分别出现两面 因此 P( A) P(B) P(C) 2，
第四节 事件的独立性 一、两个事件独立性 二、多个事件独立性 三、例题讲解 四、小结、作业
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一般地，p(B | A) P(B)
如果 p(B | A) P(B)， A与B什么关系 ?
引例 1个袋子中有4个白球、2个黑球，有放回连取
2次，每次1个.A “第一次取到白球”，B “第二 次取到白球”求P(B)，P(B | A)，P(B | A).
解 设 B ={仪器不合格}，
Ai={仪器上有i个部件不是优质品}, i=0，1,2,3 A0 ，A1 ，A2 ，A3 构成完备事件组
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所以 B=BA0 +BA1 +BA2 +AB3 P(B)=P(A0)P(B |A0)+ P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B |A2)
+ P(A3)P(B |A3) P(B |A0)=0, P(B|A1)=0.2, P(B |A2)=0.6, P(B |A3)=0.9,