离散数学及其应用-屈婉玲 (3)
屈婉玲离散数学第三章讲解学习
牢记 P 系统中各条推理规则 熟练掌握构造证明的直接证明法、附加前提证明法和归谬
法 会解决实际中的简单推理问题
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练习1：判断推理是否正确
1. 判断下面推理是否正确: (1) 前提：pq, q 结论：p
解 推理的形式结构: (pq)qp 方法一：等值演算法
自然推理系统: 无公理, 即AX(I)= 公理推理系统 推出的结论是系统中的重言式, 称作定理
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自然推理系统P
定义3.3 自然推理系统 P 定义如下:
1. 字母表
(1) 命题变项符号：p, q, r, …, pi, qi, ri, … (2) 联结词符号：, , , , (3) 括号与逗Fra bibliotek：(, ), ，
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练习2：构造证明
2. 在系统P中构造下面推理的证明： 如果今天是周六，我们就到颐和园或圆明园玩. 如果颐和 园游人太多，就不去颐和园. 今天是周六，并且颐和园游 人太多. 所以, 我们去圆明园或动物园玩.
证明： (1) 设 p：今天是周六，q：到颐和园玩，
r：到圆明园玩，s：颐和园游人太多 t：到动物园玩 (2) 前提：p(qr), sq, p, s 结论：rt
(6) 化简规则
AB ∴A
(8) 假言三段论规则 AB BC
∴AC
(5) 附加规则
A ∴AB
(7) 拒取式规则 AB B ∴A
(9) 析取三段论规则 AB B ∴A
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推理规则
(10) 构造性二难推理规则 AB CD AC
∴BD (12) 合取引入规则
A B ∴AC
(11) 破坏性二难推理规则 AB CD
离散数学答案-屈婉玲版-第二版-高等教育出版社课后答案
离散数学答案屈婉玲版第二版高等教育出版社课后答案第一章部分课后习题参考答案16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。
（1）p∨(q∧r)⇔0∨(0∧1) ⇔0（2）（p↔r）∧(﹁q∨s) ⇔（0↔1）∧(1∨1) ⇔0∧1⇔0.（3）（⌝p∧⌝q∧r）↔(p∧q∧﹁r) ⇔（1∧1∧1）↔ (0∧0∧0)⇔0(4)（⌝r∧s）→(p∧⌝q) ⇔（0∧1）→(1∧0) ⇔0→0⇔117．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。
并且，如果3是无理数，则2也是无理数。
另外6能被2整除，6才能被4整除。
”答：p: π是无理数 1q: 3是无理数0r: 2是无理数 1s:6能被2整除 1t: 6能被4整除0命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。
19．用真值表判断下列公式的类型：（4）(p→q) →(⌝q→⌝p)（5）(p∧r) ↔(⌝p∧⌝q)（6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)答：（4）p q p→q ⌝q ⌝p ⌝q→⌝p (p→q)→(⌝q→⌝p)0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 11 0 0 1 0 0 11 1 1 0 0 1 1所以公式类型为永真式（5）公式类型为可满足式（方法如上例）（6）公式类型为永真式（方法如上例）第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1) ⌝(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)⇔(⌝p∨(p∨q))∨(⌝p∨r)⇔⌝p∨p∨q∨r⇔1所以公式类型为永真式(3)P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r)0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1所以公式类型为可满足式4.用等值演算法证明下面等值式：(2)(p→q)∧(p→r)⇔(p→(q∧r))(4)(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨q) ∧⌝(p∧q)证明（2）(p→q)∧(p→r)⇔ (⌝p∨q)∧(⌝p∨r)⌝p∨(q∧r))p→(q∧r)（4）(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨(⌝p∧q)) ∧(⌝q∨(⌝p∧q)(p∨⌝p)∧(p∨q)∧(⌝q∨⌝p) ∧(⌝q∨q)1∧(p∨q)∧⌝(p∧q)∧1(p∨q)∧⌝(p∧q)5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值(1)(⌝p→q)→(⌝q∨p)(2)⌝(p→q)∧q∧r(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)解：（1）主析取范式(⌝p →q)→(⌝q ∨p)⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p)(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p)⇔ (⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∧p)∨(⌝q ∧⌝p)∨(p ∧q)∨(p ∧⌝q)(⌝p ∧⌝q)∨(p ∧⌝q)∨(p ∧q)⇔320m m m ∨∨⇔∑(0,2,3)主合取范式：(⌝p →q)→(⌝q ∨p)⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p)(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∨(⌝q ∨p))∧(⌝q ∨(⌝q ∨p))⇔1∧(p ∨⌝q)⇔(p ∨⌝q) ⇔ M 1⇔∏(1)(2) 主合取范式为：⌝(p →q)∧q ∧r ⇔⌝(⌝p ∨q)∧q ∧r⇔(p ∧⌝q)∧q ∧r ⇔0所以该式为矛盾式.主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7)矛盾式的主析取范式为 0(3)主合取范式为：(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)⌝(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)(⌝p ∧(⌝q ∨⌝r))∨(p ∨q ∨r)(⌝p ∨(p ∨q ∨r))∧((⌝q ∨⌝r))∨(p ∨q ∨r))⇔1∧1⇔1所以该式为永真式.永真式的主合取范式为 1主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14. 在自然推理系统P中构造下面推理的证明：(2)前提：p→q,⌝(q∧r),r结论：⌝p(4)前提：q→p,q↔s,s↔t,t∧r结论：p∧q证明：（2）①⌝(q∧r) 前提引入②⌝q∨⌝r ①置换③q→⌝r ②蕴含等值式④r 前提引入⑤⌝q ③④拒取式⑥p→q 前提引入⑦￢p（3）⑤⑥拒取式证明（4）：①t∧r 前提引入②t ①化简律③q↔s 前提引入④s↔t 前提引入⑤q↔t ③④等价三段论⑥（q→t）∧(t→q) ⑤置换⑦（q→t）⑥化简⑧q ②⑥假言推理⑨q→p 前提引入⑩p ⑧⑨假言推理(11)p∧q ⑧⑩合取15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理：(1)前提：p→(q→r),s→p,q结论：s→r证明①s 附加前提引入②s→p 前提引入③p ①②假言推理④p→(q→r) 前提引入⑤q→r ③④假言推理⑥q 前提引入⑦r ⑤⑥假言推理16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：(1)前提：p→⌝q,⌝r∨q,r∧⌝s结论：⌝p证明：①p 结论的否定引入②p→﹁q 前提引入③﹁q ①②假言推理④￢r∨q 前提引入⑤￢r ④化简律⑥r∧￢s 前提引入⑦r ⑥化简律⑧r∧﹁r ⑤⑦合取由于最后一步r∧﹁r 是矛盾式,所以推理正确.第四章部分课后习题参考答案3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:(1) 对于任意x,均有2=(x+)(x).(2) 存在x,使得x+5=9.其中(a)个体域为自然数集合.(b)个体域为实数集合.解：F(x): 2=(x+)(x).G(x): x+5=9.(1)在两个个体域中都解释为)∀，在（a）中为假命题，在(b)中为真命题。
离散数学-03-一阶逻辑
3.1.4 一阶逻辑公式与分类
解释和赋值的直观涵义
例 公式x(F(x)G(x)) 指定1 个体域:全总个体域, F(x): x是人, G(x): x是黄种人 真/假命题？ 假命题 指定2 个体域:实数集, F(x): x>10, G(x): x>0 真/假命题？ 真命题
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3.1.4 一阶逻辑公式与分类
离散数学（第3版） 屈婉玲 耿素云 张立昂 编著 清华大学出版社出版
第3章 一阶逻辑
上海大学 谢江
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第3章 一阶逻辑
• 3.1 一阶逻辑基本概念 • 3.2 一阶逻辑等值演算
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3.1 一阶逻辑基本概念
• 3.1.1 命题逻辑的局限性 • 3.1.2 个体词、谓词与量词
– 个体常项、个体变项、个体域、全总个体域 – 谓词常项、谓词变项 – 全称量词、存在量词
n元谓词P(x1, x2,…, xn): 含n个个体变项的谓词, 是定义在 个体域上, 值域为{0,1}的n元函数 一元谓词: 表示事物的性质 多元谓词(n2): 表示事物之间的关系 0元谓词: 不含个体变项的谓词,即命题常项或命题变项 0元谓词是命题？ 命题均可表示成0元谓词？
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3.1.2 个体词、谓词与量词
• 3.1.3 一阶逻辑命题符号化
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3.1 一阶逻辑基本概念(续)
• 3.1.4 一阶逻辑公式与分类
– 一阶语言L （字母表、项、原子公式、合式 公式） – 辖域和指导变元、约束出现和自由出现 – 闭式 – 一阶语言L 的解释 – 永真式、矛盾式、可满足式 – 代换实例
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3.1.1 命题逻辑的局限性
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3.1.3 一阶逻辑命题符号化
一阶逻辑命题符号化
离散数学最全课后答案(屈婉玲版)
1.1．略1.2．略1.3．略1.4．略1.5．略1.6．略1.7．略1.8．略1.9．略1.10．略1.11．略1.12．将下列命题符号化, 并给出各命题的真值:(1)2+2＝4 当且仅当3+3＝6. (2)2+2＝4 的充要条件是3+3≠6. (3)2+2≠4与3+3＝6 互为充要条件. (4)若2+2≠4, 则3+3≠6, 反之亦然.(1)p↔q, 其中, p: 2+2＝4, q: 3+3＝6, 真值为1.(2)p↔⌝q, 其中, p: 2+2＝4, q: 3+3＝6, 真值为0.(3) ⌝p↔q, 其中, p: 2+2＝4, q: 3+3＝6, 真值为0.(4) ⌝p↔⌝q, 其中, p: 2+2＝4, q: 3+3＝6, 真值为1.1.13．将下列命题符号化, 并给出各命题的真值:(1)若今天是星期一, 则明天是星期二. (2)只有今天是星期一, 明天才是星期二. (3)今天是星期一当且仅当明天是星期二. (4)若今天是星期一, 则明天是星期三.令p: 今天是星期一; q: 明天是星期二; r: 明天是星期三.(1) p→q ⇔ 1.(2) q→p ⇔ 1.(3) p↔q ⇔ 1.(4) p→r 当p ⇔ 0 时为真; p ⇔ 1 时为假.1.14．将下列命题符号化.(1) 刘晓月跑得快, 跳得高.(2)老王是山东人或河北人.(3)因为天气冷, 所以我穿了羽绒服. (4)王欢与李乐组成一个小组.(5)李辛与李末是兄弟.(6)王强与刘威都学过法语. (7)他一面吃饭, 一面听音乐. (8)如果天下大雨, 他就乘班车上班. (9)只有天下大雨, 他才乘班车上班. (10)除非天下大雨, 他才乘班车上班. (11)下雪路滑, 他迟到了.(12)2 与4 都是素数, 这是不对的.(13)“2或4 是素数, 这是不对的”是不对的.(1)p∧q, 其中, p: 刘晓月跑得快, q: 刘晓月跳得高.(2)p∨q, 其中, p: 老王是山东人, q: 老王是河北人.(3)p→q, 其中, p: 天气冷, q: 我穿了羽绒服.(4)p, 其中, p: 王欢与李乐组成一个小组, 是简单命题.(5)p, 其中, p: 李辛与李末是兄弟.(6)p∧q, 其中, p: 王强学过法语, q: 刘威学过法语.(7)p∧q, 其中, p: 他吃饭, q: 他听音乐.(8)p→q, 其中, p: 天下大雨, q: 他乘班车上班.(9)p→q, 其中, p: 他乘班车上班, q: 天下大雨.(10)p→q, 其中, p: 他乘班车上班, q: 天下大雨.(11)p→q, 其中, p: 下雪路滑, q: 他迟到了.12) ⌝ (p∧q)或⌝p∨⌝q, 其中, p: 2 是素数, q: 4 是素数.(13) ⌝⌝ (p∨q)或p∨q, 其中, p: 2 是素数, q: 4 是素数.1.15．设p: 2+3=5.q: 大熊猫产在中国.r: 复旦大学在广州. 求下列复合命题的真值:(1)(p↔q) →r(2)(r→ (p∧q)) ↔ ⌝p(3) ⌝r→ (⌝p∨⌝q∨r)(4)(p∧q∧⌝r) ↔ (( ⌝p∨⌝q) →r)(1)真值为0.(2)真值为0.(3)真值为0.(4)真值为1.注意: p, q 是真命题, r 是假命题.1.16．略1.17．略1.18．略1.19．用真值表判断下列公式的类型:(1)p→ (p∨q∨r)(2)(p→⌝q) →⌝q(3) ⌝ (q→r) ∧r(4)(p→q) → (⌝q→⌝p)(5)(p∧r) ↔ ( ⌝p∧⌝q)(6)((p→q) ∧ (q→r)) → (p→r)(7)(p→q) ↔ (r↔s)(1), (4), (6)为重言式.(3)为矛盾式.(2), (5), (7)为可满足式.1.20．略1.21．略1.22．略1.23．略1.24．略1.25．略1.26．略1.27．略1.28．略1.29．略1.30．略1.31．将下列命题符号化, 并给出各命题的真值:(1)若3+＝4, 则地球是静止不动的.(2)若3+2＝4, 则地球是运动不止的. (3)若地球上没有树木, 则人类不能生存.(4)若地球上没有水, 则 3 是无理数.(1)p→q, 其中, p: 2+2＝4, q: 地球静止不动, 真值为0.(2)p→q, 其中, p: 2+2＝4, q: 地球运动不止, 真值为1.(3) ⌝p→⌝q, 其中, p: 地球上有树木, q: 人类能生存, 真值为1.(4) ⌝p→q, 其中, p: 地球上有水, q: 3 是无理数, 真值为1.习题二2.1. 设公式A = p→q, B = p⌝∧q, 用真值表验证公式A 和B 适合德摩根律:⌝(A∨B) ⇔ ⌝A⌝∧B.p q A =p→q B =p⌝∧q⌝(A∨B)⌝A⌝∧B0 0 1 0 0 00 1 1 0 0 01 0 0 1 0 01 1 1 0 0 0因为⌝(A∨B)和⌝A⌝∧B 的真值表相同, 所以它们等值.2.2. 略2.3. 用等值演算法判断下列公式的类型, 对不是重言式的可满足式, 再用真值表法求出成真赋值.(1) ⌝ (p∧q→q)(2)(p→ (p∨q)) ∨ (p→r)(3)(p∨q) → (p∧r)(1) ⌝ (p∧q→q)⇔ ⌝ (⌝(p∧q) ∨ q) ⇔ ⌝ (⌝p ∨ ⌝q ∨ q) ⇔ p∧q∧⌝q ⇔ p∧0 ⇔ 0 ⇔ 0. 矛盾式.(2)重言式.(3) (p∨q) → (p∧r) ⇔ ⌝(p∨q) ∨ (p∧r) ⇔ ⌝p⌝∧q ∨ p∧r 易见, 是可满足式, 但不是重言式. 成真赋值为: 000, 001, 101, 111p q r←p ∍ ←q (p∍r0 0 0 1 1 1 1 00 0 1 1 1 1 1 00 1 0 1 0 0 0 00 1 1 1 0 0 0 01 0 0 0 0 1 0 01 0 1 0 0 1 1 11 1 0 0 0 0 0 01 1 1 0 0 0 1 12.4. 用等值演算法证明下面等值式:(1) p⇔ (p∧q) ∨ (p∧⌝q)(3) ⌝ (p↔q) ⇔ (p∨q) ∧⌝ (p∧q)(4) (p∧⌝q) ∨ (⌝p∧q) ⇔ (p∨q) ∧⌝ (p∧q)(1) (p∧q) ∨ (p∧⌝q) ⇔ p ∧ (q⌝∨q) ⇔ p ∧ 1 ⇔ p.(3) ⌝ (p↔q)⇔⌝ ((p→q) ∧ (q→p))⇔⌝ ((⌝p∨q) ∧ (⌝q∨p))⇔ (p∧⌝q) ∨ (q∧⌝p)⇔ (p∨q) ∧ (p∨⌝p) ∧ (⌝q∨q) ∧ (⌝p∨⌝q)⇔ (p∨q) ∧⌝ (p∧q)(4) (p∧⌝q) ∨ (⌝p∧q)⇔ (p∨⌝p) ∧ (p∨q) ∧ (⌝q∨⌝p) ∧ (⌝q∨q)⇔ (p∨q) ∧⌝ (p∧q)2.5. 求下列公式的主析取范式, 并求成真赋值:(1)( ⌝p→q) → (⌝q∨p)(2) ⌝ (p→q) ∧q∧r(3)(p∨ (q∧r)) → (p∨q∨r)(1)(⌝p→q) → (⌝q∨p)⇔ ⌝(p∨q) ∨ (⌝q∨p)⇔ ⌝p∧⌝q ∨ ⌝q ∨ p⇔ ⌝p∧⌝q ∨ ⌝q ∨ p(吸收律)⇔ (p⌝∨p)⌝∧q ∨ p∧(q⌝∨q)⇔ p⌝∧q ⌝∨p⌝∧q ∨ p∧q ∨ p⌝∧q⇔ m10 ∨ m00 ∨ m11 ∨ m10⇔ m0 ∨ m2 ∨ m3⇔ ∑(0, 2, 3).成真赋值为00, 10, 11.(2)主析取范式为0, 无成真赋值, 为矛盾式.(3)m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7, 为重言式.2.6. 求下列公式的主合取范式, 并求成假赋值:(1) ⌝ (q→⌝p) ∧⌝p(2)(p∧q) ∨ (⌝p∨r)(3)(p→ (p∨q)) ∨r(1) ⌝ (q⌝→p) ∧ ⌝p⇔ ⌝(⌝q⌝∨p) ∧ ⌝p⇔ q∧p ∧ ⌝p⇔ q∧0⇔ 0⇔ M0∧M1∧M2∧M3这是矛盾式. 成假赋值为00, 01, 10, 11.(2)M4, 成假赋值为100.(3)主合取范式为1, 为重言式.2.7. 求下列公式的主析取范式, 再用主析取范式求合取范式:(1)(p∧q) ∨r(2)(p→q) ∧ (q→r)(1)m1∨m3∨m5∨m6∨m7⇔M0∧M2∧M4(2)m0∨m1∨m3∨m7⇔M2∧M4∧M5∧M62.8. 略2.9. 用真值表求下面公式的主析取范式.(2) (p→q) → (p⌝↔q)p q(p q) (p ← q)0 0 1 0 0 10 1 1 1 1 01 0 0 1 1 11 1 1 0 0 0(2)从真值表可见成真赋值为01, 10. 于是(p → q) → (p⌝ ↔ q) ⇔ m1 ∨ m2.2.10. 略2.11. 略2.12. 略2.13. 略2.14. 略2.15. 用主析取范式判断下列公式是否等值:(1)(p→q) →r 与q→ (p→r)(2)(p→q) →r⇔ ⌝(⌝p∨q) ∨ r⇔ ⌝(⌝p∨q) ∨ r⇔ p⌝∧q ∨ r⇔ p⌝∧q∧(r⌝∨r) ∨ (p⌝∨p) ∧ (q⌝∨q)∧r⇔ p⌝∧q∧r ∨ p⌝∧q∧⌝r ∨p∧q∧r ∨ p∧⌝q∧r ∨ ⌝p∧q∧r ∨ ⌝p∧⌝q∧r= m101 ∨ m100 ∨ m111 ∨ m101 ∨ m011 ∨ m001⇔ m1 ∨ m3 ∨ m4 ∨ m5 ∨ m7= ∑(1, 3, 4, 5, 7).而q→(p→r)⇔ ⌝q ∨ (⌝p∨r)⇔ ⌝q ∨ ⌝p ∨r⇔ (⌝p∨p)⌝∧q∧(⌝r∨r) ∨ ⌝p∧(⌝q∨q)∧(⌝r∨r)∨ (⌝p∨p)∧(⌝q∨q)∧r⇔ (⌝p⌝∧q∧⌝r)∨(⌝p⌝∧q∧r)∨(p⌝∧q∧⌝r)∨(p⌝∧q∧r)∨(⌝p∧⌝q∧⌝r)∨(⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧q∧⌝r)∨(⌝p∧q∧r)∨(⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧q∧r)∨(p∧⌝q∧r)∨(p∧q∧r)= m0 ∨ m1 ∨ m4 ∨ m5∨ m0 ∨ m1 ∨ m2 ∨ m3∨ m1 ∨ m3 ∨ m5 ∨ m7⇔ m0 ∨ m1 ∨ m2 ∨ m3 ∨ m4 ∨ m5 ∨ m7⇔ ∑(0, 1, 2, 3, 4, 5, 7).两个公式的主吸取范式不同, 所以(p→q) →rœq→ (p→r).2.16. 用主析取范式判断下列公式是否等值:(1)(p→q) →r 与q→ (p→r)(2) ⌝ (p∧q)与⌝ (p∨q)(1)(p→q) →r) ⇔m1∨m3∨m4∨m5∨m7q→ (p→r) ⇔m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m7所以(p→q) →r) œq→ (p→r)(2)⌝ (p∧q) ⇔m0∨m1∨m2⌝ (p∨q) ⇔m0所以⌝ (p∧q) œ⌝ (p∨q)2.17. 用主合取范式判断下列公式是否等值:(1)p→ (q→r)与⌝ (p∧q) ∨r(2)p→ (q→r)与(p→q) →r(1)p→ (q→r) ⇔M6⌝ (p∧q) ∨r⇔M6所以p→ (q→r) ⇔ ⌝ (p∧q) ∨r(2)p→ (q→r) ⇔M6(p→q) →r⇔M0∧M1∧M2∧M6所以p→ (q→r) œ(p→q) →r2.18. 略2.19. 略2.20.将下列公式化成与之等值且仅含{⌝, →} 中联结词的公式.(3) (p∧q)↔r.注意到A↔B ⇔ (A→B)∧(B→A)和A∧B ⇔ ⌝(⌝A⌝∨B) ⇔ ⌝(A⌝→B)以及A∨B ⇔ ⌝A→B. (p∧q)↔r⇔ (p∧q → r) ∧ (r → p∧q)⇔ (⌝(p⌝→q) → r) ∧ (r → ⌝(p⌝→q))⇔ ⌝((⌝(p⌝→q) → r) → ⌝(r → ⌝(p⌝→q)))注 联结词越少, 公式越长.2.21. 证明:(1) (p↑q) ⇔ (q↑p), (p↓q) ⇔ (q↓p).(p↑q) ⇔ ⌝(p∧q) ⇔ ⌝(q∧p) ⇔ (q↑p).(p↓q) ⇔ ⌝(p∨q) ⇔ ⌝(q∨p) ⇔ (q↓p).2.22. 略2.23. 略2.24. 略2.25. 设A, B, C 为任意的命题公式.(1)若A∨C⇔B∨C, 举例说明A⇔B 不一定成立. (2)已知A∧C⇔B∧C, 举例说明A⇔B 不一定成立. (3)已知⌝A⇔⌝B, 问: A⇔B 一定成立吗?(1) 取A = p, B = q, C = 1 (重言式), 有A∨C ⇔ B∨C, 但A œB.(2) 取A = p, B = q, C = 0 (矛盾式), 有A∧C ⇔ B∧C, 但A œB.好的例子是简单, 具体, 而又说明问题的. (3)一定.2.26. 略2.27.某电路中有一个灯泡和三个开关A,B,C. 已知在且仅在下述四种情况下灯亮:(1)C 的扳键向上, A,B 的扳键向下.(2)A 的扳键向上, B,C 的扳键向下.(3)B,C 的扳键向上, A 的扳键向下.(4)A,B 的扳键向上, C 的扳键向下.设F 为1 表示灯亮, p,q,r 分别表示A,B,C 的扳键向上. (a)求F 的主析取范式.(b)在联结词完备集{⌝, ∧}上构造F. (c)在联结词完备集{⌝, →,↔}上构造F.(a)由条件(1)-(4)可知, F 的主析取范式为F⇔ (⌝p∧⌝q∧r) ∨ (p∧⌝q∧⌝r) ∨ (⌝p∧q∧r) ∨ (p∧q∧⌝r)⇔m1∨m4∨m3∨m6⇔m1∨m3∨m4∨m6(b)先化简公式F⇔ (⌝p∧⌝q∧r) ∨ (p∧⌝q∧⌝r) ∨ (⌝p∧q∧r) ∨ (p∧q∧⌝r)⇔⌝q∧ ((⌝p∧r) ∨ (p∧⌝r)) ∨q∧ ((⌝p∧r) ∨ (p∧⌝r))⇔ (⌝q∨q) ∧ ((⌝p∧r) ∨ (p∧⌝r))⇔ (⌝p∧r) ∨ (p∧⌝r)⇔⌝ (⌝ (⌝p∧r) ∧⌝ (p∧⌝r)) (已为{⌝, ∧}中公式)(c)F⇔ (⌝p∧r) ∨ (p∧⌝r)⇔⌝⌝ (⌝p∧r) ∨ (p∧⌝r)⇔⌝ (⌝p∧r) → (p∧⌝r)⇔ (p∨⌝r) →⌝ (⌝p∨r)⇔ (r→p) →⌝ (p→r) (已为{⌝, →,↔}中公式)2.28.一个排队线路, 输入为A,B,C, 其输出分别为F A,F B,F C. 本线路中, 在同一时间内只能有一个信号通过, 若同时有两个和两个以上信号申请输出时, 则按A,B,C 的顺序输出. 写出F A,F B,F C 在联结词完备集{⌝, ∨}中的表达式.根据题目中的要求, 先写出F A,F B,F C 的真值表(自己写) 由真值表可先求出他们的主析取范式, 然后化成{⌝, ∧}中的公式F A⇔m4∨m5∨m6∨m7⇔p (已为{⌝, ∧}中公式)F B⇔m2∨m3⇔⌝p∧q (已为{⌝, ∧}中公式)F C⇔m1⇔⌝p∧⌝q∧r (已为{⌝, ∧}中公式)2.29. 略2.30. 略习题三3.1. 略3.2. 略3.3. 略3.4. 略3.5. 略3.6. 判断下面推理是否正确. 先将简单命题符号化, 再写出前提, 结论, 推理的形式结构(以蕴涵式的形式给出)和判断过程(至少给出两种判断方法):(1)若今天是星期一, 则明天是星期三；今天是星期一. 所以明天是星期三. (2)若今天是星期一, 则明天是星期二；明天是星期二. 所以今天是星期一. (3)若今天是星期一, 则明天是星期三；明天不是星期三. 所以今天不是星期一. (4)若今天是星期一, 则明天是星期二；今天不是星期一. 所以明天不是星期二. (5)若今天是星期一, 则明天是星期二或星期三. (6)今天是星期一当且仅当明天是星期三；今天不是星期一. 所以明天不是星期三.设p: 今天是星期一, q: 明天是星期二, r: 明天是星期三. (1)推理的形式结构为(p→r) ∧p→r此形式结构为重言式, 即(p→r) ∧p⇒r 所以推理正确. (2)推理的形式结构为(p→q) ∧q→p 此形式结构不是重言式, 故推理不正确. (3)推理形式结构为(p→r) ∧⌝r→⌝p此形式结构为重言式, 即(p→r) ∧⌝r⇒⌝p故推理正确. (4)推理形式结构为(p→q) ∧⌝p→⌝q此形式结构不是重言式, 故推理不正确.(5)推理形式结构为p→ (q∨r)它不是重言式, 故推理不正确. (6)推理形式结构为(p⇒r) ∧⌝p→⌝r此形式结构为重言式, 即(p⇒r) ∧⌝p⇒⌝r故推理正确.推理是否正确, 可用多种方法证明. 证明的方法有真值表法, 等式演算法. 证明推理正确还可用构造证明法.下面用构造证明法证明(6)推理正确.前提: p⇒r, ⌝p结论: ⌝r证明: ①p⇒r 前提引入②(p→r) ∧ (r→p) ①置换③r→p ②化简律④⌝p 前提引入⑤⌝r ③④拒取式所以, 推理正确.3.7. 略3.8. 略3.9. 用三种方法(真值表法, 等值演算法, 主析取范式法)证明下面推理是正确的:若a 是奇数, 则a 不能被2 整除. 若a 是偶数, 则a 能被2 整除. 因此, 如果a 是偶数, 则a 不是奇数.令p: a 是奇数; q: a 能被2 整除; r: a 是偶数. 前提: p → ⌝q, r → q.结论: r → ⌝p.形式结构: (p → ⌝q) ∧ (r → q) → (r → ⌝p).……3.10.略3.11.略3.12.略3.13.略3.14.在自然推理系统P 中构造下面推理的证明:(1)前提: p→ (q→r), p, q结论: r∨s(2)前提: p→q, ⌝ (q∧r), r结论: ⌝p(3)前提: p→q结论: p→ (p∧q)(4)前提: q→p, q⇒s, s⇒t, t∧r结论: p∧q(5)前提: p→r, q→s, p∧q结论: r∧s(6)前提: ⌝p∨r, ⌝q∨s, p∧q结论: t→ (r∨s) (1)证明:①②p→(q→r)p前提引入前提引入③④q→rq①②假言推理前提引入⑤r③④假言推理⑥r∨s⑤附加律(2)证明:①②③⌝ (q∧r)⌝q∨⌝rr前提引入①置换前提引入④⑤⑥⌝qp→q⌝p②③析取三段论前提引入④⑤拒取式(3)证明:①p→q前提引入②⌝p∨q①置换③(⌝p∨q) ∧ (⌝p∨p)②置换④⌝p∨ (p∧q)③置换⑤p→ (p∧q) ④置换也可以用附加前提证明法, 更简单些.(4)证明:①②③④⑤s⇒t(s→t) ∧ (t→s)t→st∧rt前提引入①置换②化简前提引入④化简⑥s③⑤假言推理⑦⑧⑨⑩q⇒s(s→q) ∧ (q→s)s→qq前提引入⑦置换⑧化简⑥⑥假言推理○11 q →p前提引入○12 ○13 pp∧q⑩○11 假言推理⑩○12 合取(5)证明:①②p→rq→s前提引入前提引入③④p∧qp前提引入③化简⑤q③化简⑥r①④假言推理⑦s②⑤假言推理⑧r∧s⑥⑦合取(6)证明:①②t⌝p∨r附加前提引入前提引入③④p∧qp前提引入③化简⑤r②④析取三段论⑥r∨s⑤附加说明: 证明中, 附加提前t, 前提⌝q∨s 没用上. 这仍是正确的推理.3.15.在自然推理系统P 中用附加前提法证明下面各推理:(1)前提: p→ (q→r), s→p, q结论: s→r(2)前提: (p∨q) → (r∧s), (s∨t) →u结论: p→u(1)证明:①②ss→p附加前提引入前提引入③p①②假言推理④⑤⑥p→ (q→r)q→rq前提引入③④假言推理前提引入⑦r⑤⑥假言推理(2)证明:①②Pp∨q附加前提引入①附加③(p∨q) → (r∧s) 前提引入④⑤r∧sS②③假言推理④化简⑥⑦⑧s∨t(s∨t) →uu⑤附加前提引入⑥⑦假言推理3.16.在自然推理系统P 中用归谬法证明下面推理:(1)前提: p→⌝q, ⌝r∨q, r∧⌝s结论: ⌝p(2)前提: p∨q, p→r, q→s结论: r∨s(1)证明:①②Pp→⌝q结论否定引入前提引入③④⑤⑥⑦⌝q⌝r∨q⌝rr∧⌝sr①②假言推理前提引入③④析取三段论前提引入⑥化简⑧⌝r∧r⑤⑦合取⑧为矛盾式, 由归谬法可知, 推理正确.(2)证明:①⌝ (r∨s)结论否定引入②p∨q前提引入③p→r前提引入④q→s前提引入⑤r∨s②③④构造性二难⑥⌝ (r∨s) ∧ (r∨s)①⑤合取①②③④⑤⑥⑦pp q(rq(rss ←q←qr①②假言推理前提引入前提引入⑥为矛盾式, 所以推理正确.3.17.P53 17. 在自然推理系统P 中构造下面推理的证明:只要A 曾到过受害者房间并且11 点以前没用离开, A 就犯了谋杀罪. A 曾到过受害者房间. 如果A 在11 点以前离开, 看门人会看到他. 看门人没有看到他. 所以A 犯了谋杀罪.令p: A 曾到过受害者房间; q: A 在11 点以前离开了; r: A 就犯了谋杀罪; s:看门人看到A.前提: p⌝∧q → r, p, q → s, ⌝s.结论: r.前提: p⌝∧q → r, p, q → s, ⌝s; 结论: r.证明:①⌝s 前提引入②q → s 前提引入③⌝q ①②拒取④p 前提引入⑤p⌝∧q ③④合取⑥p⌝∧q → r 前提引入⑦r ⑤⑥假言推理3.18.在自然推理系统P 中构造下面推理的证明.(1)如果今天是星期六, 我们就要到颐和园或圆明园去玩. 如果颐和园游人太多, 我们就不去颐和园玩.今天是星期六. 颐和园游人太多. 所以我们去圆明园玩.(2)如果小王是理科学生, 他的数学成绩一定很好. 如果小王不是文科生, 他必是理科生. 小王的数学成绩不好. 所以小王是文科学生.(3)明天是晴天, 或是雨天；若明天是晴天, 我就去看电影；若我看电影, 我就不看书. 所以, 如果我看书,则明天是雨天.(1)令p: 今天是星期六; q: 我们要到颐和园玩; r: 我们要到圆明园玩; s:颐和园游人太多.前提: p→ (q∨r), s → ⌝q, p, s.结论: r.前提引入前提引入p p→q∨rq∨rs s → ⌝q⌝qr④⑤假言推理(1)的证明树③⑥析取三段论① p →r 前提引入 ② ⌝r 前提引入 ③ ⌝p ①②拒取式 ④ ⌝q →p 前提引入 ⑤q③④拒取式(2) 令 p : 小王是理科生, q : 小王是文科生, r : 小王的数学成绩很好. 前提: p →r , ⌝q →p , ⌝r 结论: q 证明:⌝qp →q⌝p⌝r →p(2)的证明树 r(3)令 p : 明天是晴天, q : 明天是雨天, r : 我看电影, s : 我看书. 前提: p ∨q , p →r , r →⌝s结论: s →q 证明:① ② s r →⌝s 附加前提引入 前提引入 ③ ⌝r ①②拒取式 ④ p →r 前提引入 ⑤ ⌝p ③④拒取式 ⑥ p ∨q 前提引入 ⑦q⑤⑥析取三段论习题四4.1. 将下面命题用0 元谓词符号化:(1)小王学过英语和法语. (2)除非李建是东北人, 否则他一定怕冷.(1) 令F(x): x 学过英语; F(x): x 学过法语; a: 小王. 符号化为F(a)∧F(b).或进一步细分, 令L(x, y): x 学过y; a: 小王; b1: 英语; b2: 法语. 则符号化为L(a, b1)∧L(a, b2).(2) 令F(x): x 是东北人; G(x): x 怕冷; a: 李建. 符号化为⌝F(a)→G(a) 或⌝G(a)→F(a).或进一步细分, 令H(x, y): x 是y 地方人; G(x): x 怕冷; a: 小王; b: 东北. 则符号化为⌝H(a, b)→G(a) 或⌝G(a)→ H(a, b).4.2. 在一阶逻辑中将下面命题符号化, 并分别讨论个体域限制为(a),(b)时命题的真值:(1)凡有理数都能被2 整除.(2)有的有理数能被2 整除. 其中(a)个体域为有理数集合, (b)个体域为实数集合.(1)(a)中, ∀xF(x), 其中, F(x): x 能被2 整除, 真值为0.(b)中, ∀x(G(x) ∧F(x)), 其中, G(x): x 为有理数, F(x)同(a)中, 真值为0. (2)(a)中, ∃xF(x), 其中, F(x): x 能被2 整除, 真值为1.(b)中, ∃x(G(x) ∧F(x)), 其中, F(x)同(a)中, G(x): x 为有理数, 真值为1.4.3. 在一阶逻辑中将下面命题符号化, 并分别讨论个体域限制为(a),(b)时命题的真值:(1)对于任意的x, 均有x2-2=(x+ 2 )(x- 2 ).(2)存在x, 使得x+5=9.其中(a)个体域为自然数集合, (b)个体域为实数集合.(1)(a)中, ∀x(x2-2=(x+ 2 x- 2 真值为1.(b)中, ∀x(F(x) → (x2-2=(x+ 2 x- 2 其中, F(x): x 为实数, 真值为1. (2)(a)中, ∃x(x+5=9), 真值为1.(b)中, ∃x(F(x) ∧ (x+5=9)), 其中, F(x): x 为实数, 真值为1.4.4. 在一阶逻辑中将下列命题符号化:(1)没有不能表示成分数的有理数.(2)在北京卖菜的人不全是外地人.(3)乌鸦都是黑色的. (4)有的人天天锻炼身体.没指定个体域, 因而使用全总个体域.(1) ⌝∃x(F(x) ∧⌝G(x))或∀x(F(x) →G(x)), 其中, F(x): x 为有理数, G(x): x 能表示成分数.(2) ⌝∀x(F(x) →G(x))或∃x(F(x) ∧⌝G(x)), 其中, F(x): x 在北京卖菜, G(x): x 是外地人.(3) ∀x(F(x) →G(x)), 其中, F(x): x 是乌鸦, G(x): x 是黑色的.(4) ∃x(F(x) ∧G(x)), 其中, F(x): x 是人, G(x): x 天天锻炼身体.4.5. 在一阶逻辑中将下列命题符号化:(1)火车都比轮船快. (2)有的火车比有的汽车快. (3)不存在比所有火车都快的汽车. (4)“凡是汽车就比火车慢”是不对的.因为没指明个体域, 因而使用全总个体域(1) ∀x∀y(F(x) ∧G(y) →H(x,y)), 其中, F(x): x 是火车, G(y): y 是轮船, H(x,y):x 比y 快.(2) ∃x∃y(F(x) ∧G(y) ∧H(x,y)), 其中, F(x): x 是火车, G(y): y 是汽车, H(x,y):x 比y 快.(3) ⌝∃x(F(x) ∧∀y(G(y) →H(x,y)))或∀x(F(x) →∃y(G(y) ∧⌝H(x,y))), 其中, F(x): x 是汽车, G(y): y 是火车, H(x,y):x 比y 快.(4) ⌝∀x∀y(F(x) ∧G(y) →H(x,y))或∃x∃y(F(x) ∧G(y) ∧⌝H(x,y) ), 其中, F(x): x 是汽车, G(y): y 是火车, H(x,y):x 比y 慢.4.6. 略4.7. 将下列各公式翻译成自然语言, 个体域为整数集®, 并判断各命题的真假.(1) ∀x∀y∃z(x - y = z);(2) ∀x∃y(x⋅y = 1).(1) 可选的翻译:①“任意两个整数的差是整数.”②“对于任意两个整数, 都存在第三个整数, 它等于这两个整数相减.”③“对于任意整数x 和y, 都存在整数z, 使得x - y = z.”选③, 直接翻译, 无需数理逻辑以外的知识. 以下翻译意思相同, 都是错的:“有个整数, 它是任意两个整数的差.”“存在一个整数, 对于任意两个整数, 第一个整数都等于这两个整数相减.”❶ “存在整数z, 使得对于任意整数x 和y, 都有x - y = z.”这3 个句子都可以符号化为∃z∀x∀y(x - y = z).0量词顺序不可随意调换.(2) 可选的翻译:①“每个整数都有一个倒数.”②“对于每个整数, 都能找到另一个整数, 它们相乘结果是零.”③“对于任意整数x, 都存在整数y, 使得x⋅y = z.”选③, 是直接翻译, 无需数理逻辑以外的知识.4.8. 指出下列公式中的指导变元, 量词的辖域, 各个体变项的自由出现和约束出现:(3)∀x∃y(F(x, y) ∧ G(y, z)) ∨ ∃xH(x, y, z)∀x∃y(F(x,y)∧ G(y,z))∨ ∃x H(x,y,z)前件∀x∃y(F(x, y)∧G(y, z)) 中, ∀ 的指导变元是x, ∀ 的辖域是∃y(F(x, y)∧G(y, z)); ∃ 的指导变元是y, ∃ 的辖域是(F(x, y)∧G(y, z)).后件∃xH(x, y, z) 中, ∃ 的指导变元是x, ∃ 的辖域是H(x, y, z).整个公式中, x 约束出现两次, y 约束出现两次, 自由出现一次; z 自由出现两次.4.9. 给定解释I 如下:(a)个体域D I 为实数集合\.(b)D I 中特定元素↓a =0.(c)特定函数↓f (x,y)=x-y, x,y∈D I.(d)特定谓词↓F(x,y): x=y,↓G(x,y): x<y, x,y∈D I. 说明下列公式在I 下的含义, 并指出各公式的真值:(1)∀x∀y(G(x,y) →⌝F(x,y))(2) ∀x∀y(F(f(x,y),a) →G(x,y))(3) ∀x∀y(G(x,y) →⌝F(f(x,y),a))(4) ∀x∀y(G(f(x,y),a) →F(x,y))(1) ∀x∀y(x<y→x≠y), 真值为1.(2) ∀x∀y((x-y=0) →x<y), 真值为0.(3) ∀x∀y((x<y) → (x-y≠0)), 真值为1.(4) ∀x∀y((x-y<0) → (x=y)), 真值为0.4.10.给定解释I 如下:(a)个体域D=Æ(Æ为自然数).(b)D 中特定元素↓a=2.(c)D 上函数↓f (x,y)=x+y,↓g (x,y)=x·y.(d)D 上谓词↓F (x,y): x=y.说明下列公式在I 下的含义, 并指出各公式的真值:(1) ∀xF(g(x,a),x)(2) ∀x∀y(F(f(x,a),y) →F(f(y,a),x))(3) ∀x∀y∃z(F(f(x,y),z)(4) ∃xF(f(x,x),g(x,x))(1) ∀x(x·2=x), 真值为0.(2) ∀x∀y((x+2=y) → (y+2=x)), 真值为0.(3) ∀x∀y∃z(x+y=z),真值为1.(4) ∃x(x+x=x·x),真值为1.4.11.判断下列各式的类型:(1) F(x, y) → (G(x, y) → F(x, y)).(3) ∀x∃yF(x, y) → ∃x∀yF(x, y).(5) ∀x∀y(F(x, y) → F(y, x)).(1) 是命题重言式p → (q → p) 的代换实例, 所以是永真式.(3) 在某些解释下为假(举例), 在某些解释下为真(举例), 所以是非永真式的可满足式.(5) 同(3).4.12.P69 12. 设I 为一个任意的解释, 在解释I 下, 下面哪些公式一定是命题?(1) ∀xF(x, y) → ∃yG(x, y).(2) ∀x(F(x) → G(x)) ∧ ∃y(F( y) ∧ H( y)).(3) ∀x(∀yF(x, y) → ∃yG(x, y)).(4) ∀x(F(x) ∧ G(x)) ∧ H( y).(2), (3) 一定是命题, 因为它们是闭式.4.13.略4.14.证明下面公式既不是永真式也不是矛盾式:(1) ∀x(F(x) →∃y(G(y) ∧H(x,y)))(2) ∀x∀y(F(x) ∧G(y) →H(x,y))(1) 取个体域为全总个体域.解释I1: F(x): x 为有理数, G(y): y 为整数, H(x,y): x<y在I1 下: ∀x(F(x) →∃y(G(y) ∧H(x,y)))为真命题, 所以该公式不是矛盾式.解释I2: F(x),G(y)同I1, H(x,y): y 整除x.在I2 下: ∀x(F(x) →∃y(G(y) ∧H(x,y)))为假命题, 所以该公式不是永真式.(2) 请读者给出不同解释, 使其分别为成真和成假的命题即可.4.15.(1) 给出一个非闭式的永真式.(2) 给出一个非闭式的永假式.(3) 给出一个非闭式的可满足式, 但不是永真式.(1) F(x) ∨ ⌝F(x).(2) F(x) ∧ ⌝F(x).(3) ∀x(F(x, y) → F(y, x)).习题五5.1. 略5.2. 设个体域D={a,b,c}, 消去下列各式的量词:(1) ∀x∃y(F(x) ∧G(y))(2) ∀x∀y(F(x) ∨G(y))(3) ∀xF(x) →∀yG(y)(4) ∀x(F(x,y) →∃yG(y))(1) ∀x∃y(F(x) ∧G(y))⇔∀xF(x) ∧∃yG(y)⇔ (F(a) ∧F(b)) ∧F(c)) ∧ (G(a) ∨G(b) ∨G(c))(2) ∀x∀y(F(x) ∨G(y))⇔∀xF(x) ∨∀yG(y)⇔ (F(a) ∧F(b) ∧F(c)) ∨ (G(a) ∧G(b) ∧G(c))(3) ∀xF(x) →∀yG(y)⇔ (F(a) ∧F(b) ∧F(c)) → (G(a) ∧G(b) ∧G(c))(4) ∀x(F(x,y) →∃yG(y))⇔∃xF(x,y) →∃yG(y)⇔ (F(a,y) ∨F(b,y) ∨F(c,y)) → (G(a) ∨G(b) ∨G(c))5.3. 设个体域D={1,2}, 请给出两种不同的解释I1 和I2, 使得下面公式在I1 下都是真命题, 而在I2 下都是假命题.(1) ∀x(F(x) →G(x))(2) ∃x(F(x) ∧G(x))(1)I1: F(x):x≤2,G(x):x≤3F(1),F(2),G(1),G(2)均为真, 所以∀x(F(x) →G(x))⇔ (F(1) →G(1) ∧ (F(2) →G(2))为真.I2: F(x)同I1,G(x):x≤0则F(1),F(2)均为真, 而G(1),G(2)均为假,∀x(F(x) →G(x))为假. (2)留给读者自己做.5.4. 略5.5. 给定解释I 如下:(a)个体域D={3,4}.(b)↓f (x)为↓f (3)=4,↓f (4)=3. (c)↓F(x,y)为↓F(3,3)=↓F(4,4)=0,↓F(3,4)=↓F(4,3)=1.试求下列公式在I 下的真值:(1)∀x∃yF(x,y)(2)∃x∀yF(x,y)(3) ∀x∀y(F(x,y) →F(f(x),f(y)))(1)∀x∃yF(x,y)⇔ (F(3,3) ∨F(3,4)) ∧ (F(4,3) ∨F(4,4))⇔ (0∨1) ∧ (1∨0) ⇔1(2)∃x∀yF(x,y)⇔ (F(3,3) ∧F(3,4)) ∨ (F(4,3) ∧F(4,4))⇔ (0∧1) ∨ (1∧0) ⇔0(3) ∀x∀y(F(x,y) →F(f(x),f(y)))⇔ (F(3,3) →F(f(3),f(3)))∧ (F(4,3) →F(f(4),f(3)))∧ (F(3,4) →F(f(3),f(4)))∧ (F(4,4) →F(f(4),f(4)))⇔ (0→0) ∧ (1→1) ∧ (1→1) ∧ (0→0) ⇔15.6. 略5.7. 略5.8. 在一阶逻辑中将下列命题符号化, 要求用两种不同的等值形式.(1) 没有小于负数的正数.(2) 相等的两个角未必都是对顶角.(1) 令F(x): x 小于负数, G(x): x 是正数. 符合化为:∃⌝x((F(x) ∧ G(x)) ⇔ ∀x(G(x) → ⌝G(x)).(2) 令F(x): x 是角, H(x, y): x 和y 是相等的, L(x, y): x 与y 是对顶角. 符合化为:⌝∀x∀y(F(x) ∧ F(y) ∧ H(x, y) → L(x, y))⇔ ∃x∃y(F(x) ∧ F(y) ∧ H(x, y) ∧ ⌝L(x, y))⇔ ∃x(F(x) ∧ (∃y(F(y) ∧ H(x, y) ∧ ⌝L(x, y))).5.9. 略5.10.略5.11.略5.12.求下列各式的前束范式.(1) ∀xF(x) → ∀yG(x, y);(3) ∀xF(x, y) ↔ ∃xG(x, y);(5) ∃x1F(x1, x2) → (F(x1) → ∃⌝x2G(x1, x2)).前束范式不是唯一的.(1) ∀xF(x) → ∀yG(x, y)⇔ ∃x(F(x) → ∀yG(x, y))⇔ ∃x∀y(F(x) → G(x, y)).(3) ∀xF(x, y) ↔ ∃xG(x, y)⇔ (∀xF(x, y) → ∃xG(x, y)) ∧ (∃xG(x, y) → ∀xF(x, y))⇔ (∀x1F(x1, y) → ∃x2G(x2, y)) ∧ (∃x3G(x3, y) → ∀x4F(x4, y))⇔ ∃x1∃x2(F(x1, y) → G(x2, y)) ∧ ∀x3∀x4(G(x3, y) → F(x4, y))⇔ ∃x1∃x2∀x3∀x4((F(x1, y) → G(x2, y)) ∧ (G(x3, y) → F(x4, y))).5.13.将下列命题符号化, 要求符号化的公式全为前束范式:(1) 有的汽车比有的火车跑得快.(2) 有的火车比所有的汽车跑得快.(3) 说所有的火车比所有的汽车跑得快是不对的.(4) 说有的飞机比有的汽车慢是不对的.(1) 令F(x): x 是汽车, G( y): y 是火车, H(x, y): x 比y 跑得快.∃x(F(x) ∧ ∃y(G( y) ∧ H(x, y))⇔ ∃x∃y(F(x) ∧ G( y) ∧ H(x, y)).(2)令F(x): x 是火车, G( y): y 是汽车, H(x, y): x 比y 跑得快.∃x(F(x) ∧ ∀y(G( y) → H(x, y)))⇔ ∃x∀y(F(x) ∧ (G( y) → H(x, y))).0错误的答案: ∃x∀y(F(x) ∧ G( y) → H(x, y)).(3)令F(x): x 是火车, G( y): y 是汽车, H(x, y): x 比y 跑得快.⌝∀x(F(x) → ∀y(G( y) → H(x, y)))⇔ ⌝∀x∀y(F(x) → (G( y) → H(x, y)))⇔ ⌝∀x∀y(F(x) ∧ G( y) → H(x, y)) (不是前束范式)⇔ ∃x∃y(F(x) ∧ G( y) ∧ H(x, y)).(4)令F(x): x 是飞机, G( y): y 是汽车, H(x, y): x 比y 跑得慢.⌝ ∃x(F(x) ∧ ∃y(G( y) ∧ H(x, y)))⇔ ⌝ ∃x∃y(F(x) ∧ G( y) ∧ H(x, y)) (不是前束范式)⇔ ∀x∀y ⌝ (F(x) ∧ G( y) ∧ H(x, y))⇔ ∀x∀y(F(x) ∧ G( y) → ⌝H(x, y)).5.14.略5.15.在自然推理系统F 中构造下面推理的证明:(1) 前提: ∃xF(x) → ∀y((F(y) ∨ G(y)) → R(y)), ∃xF(x)结论: ∃xR(x).(2) 前提: ∀x(F(x) → (G(a) ∧R(x))), ∃xF(x)结论: ∃x(F(x) ∧R(x))(3) 前提: ∀x(F(x) ∨G(x)), ⌝∃xG(x)结论: ∃xF(x)(4) 前提: ∀x(F(x) ∨G(x)), ∀x(⌝G(x) ∨⌝R(x)), ∀xR(x)结论: ∀xF(x)①∃xF(x) → ∀y((F(y) ∨ G(y)) → R(y)) 前提引入②∃xF(x) 前提引入③∀y((F(y) ∨ G(y)) → R(y)) ①②假言推理④(F(c) ∨ G(c)) → R(c) ③UI⑤F(c) ①EI⑥F(c) ∨ G(c) ⑤附加⑦⑧R(c)∃xR(x)④⑥假言推理⑦EG(2) 证明:①∃xF(x) 前提引入②F(c) ①EI③∀x(F(x) → (G(a) ∧ (R(x))) 前提引入④F(c) → (G(a) ∧R(c)) ④UI⑤G(a) ∧R(c) ②④假言推理⑥R(c) ⑤化简⑦F(c) ∧R(c) ②⑥合取⑧∃x(F(x) ∧R(x)) ⑥E G(3) 证明:①⌝∃xG(x) 前提引入②∀x⌝G(x) ①置换③⌝G(c)②UI④∀x(F(x) ∨G(x) 前提引入⑤F(c) ∨G(c) ④UI⑥F(c) ③⑤析取三段论⑦∃xF(x) ⑥E G(4) 证明:①∀x(F(x) ∨G(x)) 前提引入②F(y) ∨G(y) ①UI③∀x(⌝G(x) ∨⌝R(x)) 前提引入④⌝G(y) ∨⌝R(y)③UI⑤∀xR(x) 前提引入⑥R(y) ⑤UI⑦⌝G(y) ④⑥析取三段论⑧F(y) ②⑦析取三段论⑥∀xF(x) U G5.16.略5.18.略5.19.略5.20.略5.21.略5.22.略5.23.在自然推理系统F 中, 证明下面推理:(1) 每个有理数都是实数, 有的有理数是整数, 因此有的实数是整数.(2) 有理数, 无理数都是实数, 虚数不是实数, 因此虚数既不是有理数, 也不是无理数.(3) 不存在能表示成分数的无理数, 有理数都能表示成分数, 因此有理数都不是无理数.(1)设F(x):x 为有理数, R(x):x 为实数, G(x):x 是整数.前提: ∀x(F(x) →R(x)), ∃x(F(x) ∧G(x))结论: ∃x(R(x) ∧G(x))证明:①∃x(F(x) ∧G(x)) 前提引入②F(c) ∧G(c) ①EI③F(c) ②化简④G(c) ②化简⑤∀x(F(x) →R(x)) 前提引入⑥F(c) →R(c) ⑤UI⑦R(c) ③⑥假言推理⑧R(c) ∧G(c) ④⑦合取⑥∃x(R(x) ∧G(x)) ⑧EG(2)设: F(x):x 为有理数, G(x):x 为无理数, R(x)为实数, H(x)为虚数前提: ∀x((F(x) ∨G(x)) →R(x)), ∀x(H(x) →⌝R(x))结论: ∀x(H(x) → (⌝F(x) ∧⌝G(x)))证明:①∀x((F(x) ∨G(x) →R(x)) 前提引入②F(y) ∨G(y)) →R(y) ①UI③∀x(H(x) →⌝R(x)) 前提引入④H(y) →⌝R(y)③UI⑤⌝R(y) →⌝ (F(y) ∨G(y)) ②置换⑥H(y) →⌝ (F(y) ∨G(y)) ④⑤假言三段论⑦H(y) → (⌝F(y) ∧⌝G(y)) ⑥置换⑧∀x(H(x) → (⌝F(x) ∧⌝G(x)))⑦UG(3)设: F(x):x 能表示成分数, G(x):x 为无理数, H(x)为有理数前提: ∀x(G(x) →⌝F(x)), ∀x(H(x) →F(x))结论: ∀x(H(x) →⌝G(x))证明:①∀x(H(x) →F(x)) 前提引入②H(y) →F(y) ①UI③∀x(G(x) →⌝F(x)) 前提引入④G(y) →⌝F(y)③UI⑤F(y) →⌝G(y) ④置换⑥H(y) →⌝G(y) ②⑤假言三段论⑦∀x(H(x) →⌝G(x))⑥UG5.24.在自然推理系统F 中, 构造下面推理的证明:每个喜欢步行的人都不喜欢骑自行车. 每个人或者喜欢骑自行车或者喜欢乘汽车. 有的人不喜欢乘汽车, 所以有的人不喜欢步行. (个体域为人类集合)令F(x): x 喜欢步行, G( x): x 喜欢骑自行车, H(x): x 喜欢乘汽车.前提: ∀x(F(x) → ⌝G(x)), ∀x(G(x) ∨ H(y)), ∃x⌝H(x).结论: ∃x⌝F(x).①∀x(G(x) ∨ H(y)) 前提引入②G(c) ∨ H(c) ①UI③∃x⌝H(x) 前提引入④⌝H(c) ③UI⑤G(c) ②④析取三段⑥∀x(F(x) → ⌝G(x)) 前提引入⑦F(c) → ⌝G(c) ⑥UI⑧⌝F(c) ⑤⑦拒取⑨∃x⌝F(x) ⑧EG5.25.略习题六6.1. 选择适当的谓词表示下列集合:(1)小于5 的非负整数(2)奇整数集合(3)10 的整倍数的集合(1){x|x∈®∧0≤x<5}(2){x|x=2k+1∧k∈®}(3){x|x=10k∧k∈®}6.2. 用列元素法表示下列集合:(1)S1＝{x|x 是十进制的数字}(2)S2＝{x|x＝2∨x＝5}(3)S3＝{x|x＝x∈®∧3<x<12}(4)S4＝{x|x∈\∧x2－1＝0∧x>3}(5)S5＝{〈x, y>|x, y∈®∧0≤x≤2∧-1≤y≤0}(1) S1={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}(2) S2={2,5}(3) S3={4,5,6,7,8,9,10,11}(4) S4=∅(5) S5={〈0, -1〉,〈1, -1〉,〈2, -1〉,〈0,0〉,〈1,0〉,〈2,0〉}6.3. 略6.4. 设F 表示一年级大学生的集合, S 表示二年级大学生的集合, M 表示数学专业学生的集合, R 表示计算机专业学生的集合, T 表示听离散数学课学生的集合, G 表示星期一晚上参加音乐会的学生的集合, H 表示星期一晚上很迟才睡觉的学生的集合. 问下列各句子所对应的集合表达式分别是什么? 请从备选的答案中挑出来.(1)所有计算机专业二年级的学生在学离散数学课. (2)这些且只有这些学离散数学课的学生或者星期一晚上去听音乐会的学生在星期一晚上很迟才睡觉.(3)听离散数学课的学生都没参加星期一晚上的音乐会.(4)这个音乐会只有大学一, 二年级的学生参加. (5)除去数学专业和计算机专业以外的二年级学生都去参加了音乐会.备选答案:①T⊆G∪H ②G∪H⊆T ③S∩R⊆T④H＝G∪T ⑤T∩G＝∅ ⑥F∪S⊆G⑦G⊆F∪S ⑧S- (R∪M) ⊆G ⑥G⊆S- (R∩M)答案:(1)③S∩R⊆T(2)④H=G∪T(3) ⑤T∩G=∅(4)⑦G⊆F∪S(5) ⑧S- (R∪M) ⊆G6.5. 确定下列命题是否为真:(1) ∅⊆∅(2) ∅∈∅(3) ∅⊆{∅}(4) ∅∈{∅}(5){a, b}⊆{a, b, c, {a, b, c}}(6){a, b}∈{a, b, c, {a, b }}(7){a, b} {a, b, {{a, b}}}(8){a, b}∈{a, b, {{a, b}}}(1) 真(2)假(3) 真(4) 真(5) 真(6) 真(7) 真(8) 假6.6. 略6.7. 略6.8. 略6.9. 略6.10.略6.11.略6.12.略6.13.略6.14.略6.15.略6.16.略6.17.略6.18.略6.19.略6.20.略6.21.略6.22.略6.23.略6.24.略6.25.略6.26.略6.27.略6.28.略6.29.略6.30.略6.31.略6.32.略6.33.略6.34.略6.35.略6.36.略6.37.略6.38.略6.39.略6.40.略6.41.略6.42.略6.43.略6.44.略6.45.略习题七7.1. 已知A={∅,{∅}},求A×P(A).A×P(A)={ 〈 ∅,∅〉,〈∅,{∅}〉,〈∅,{{∅}}〉,〈∅,{∅,{∅}}〉,〈{∅},∅〉,〈{∅},{∅}〉,〈{∅},{{∅}}〉, 〈{∅},{∅,{∅}}〉}7.2. 对于任意集合A,B,C, 若A×B⊆A×C,是否一定有B⊆C 成立? 为什么?不一定, 因为有反例: A=∅,B={1},C={2},B⊆C,A×B=∅=A×C.7.3. 设A, B, C, D 是任意集合,(1) 求证(A∩B)×(C∩D)=(A×C)∩(B×D).(2) 下列等式中哪个成立? 那些不成立?对于成立的给出证明, 对于不成立的举一反例.(A∪B)×(C∪D)=(A×C)∪(B×D)(A-B)×(C-D)=(A×C) - (B×D)(1) ∀〈x,y〉〈x,y〉∈(A∩B)×(C∩D) ⇔x∈A∩B∧y∈C∩D⇔ (x∈A∧x∈B) ∧ (y∈C∧y∈D) ⇔ (x∈A∧y∈C) ∧ (x∈B∧y∈D)⇔〈x,y〉∈(A×B) ∧〈x,y〉∈(C×D) ⇔〈x,y〉∈A×B∩C×D(A∩B)×(C∩D)=(A×C)∩(B×D)(2)都不成立, 反例: A={1,2},B={2,3},C={1,2},D={2,3}(A∪B)×(C∪D)={1,2,3}×{1,2,3}⊃(A×C)∪(B×D)(A-B)×(C-D)={1}×{1}⊂(A×C) - (B×D)7.4. 略7.5. 设A, B 为任意集合, 证明若A×A=B×B, 则A=B.∀x,x∈A⇔〈x,x〉∈A×A⇔〈x,x〉∈B×B⇔x∈BA=B7.6. 列出从集合A={1, 2}到B={1}的所有的二元关系.R1=∅ ,R2={〈1,1〉},R2={〈2,1〉},R3={〈1,1〉,〈2,1〉}.7.7. 列出集合A={2, 3, 4}上的恒等关系I A, 全域关系E A, 小于或等于关系L A, 整除关系D A.I A={〈2,2〉,〈3,3〉,〈4,4〉}E A=A×A={〈2,2〉,〈2,3〉,〈2,4〉,〈3,2〉,〈3,3〉,〈3,4〉,〈4,2〉,〈4,3〉,〈4,4〉}L A={〈2,2〉,〈2,3〉,〈2,4〉,〈3,3〉,〈3,4〉,〈4,4〉}D A={〈2,2〉,〈2,4〉,〈3,3〉,〈4,4〉}7.8. 列出集合A={∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}}}上的包含关系.R⊆={〈∅,∅〉,〈∅,{∅}〉,〈∅,{∅,{∅}}〉,〈∅,{∅,{∅},{∅,{∅}}}〉,〈{∅},{∅}〉,〈{∅},{∅,{∅}}〉,〈{∅},{∅,{∅},〈∅,{ ∅}〉}〉,〈{∅,{∅}}, {∅,{∅}}〉,〈{∅,{∅}},{∅,{∅},{∅,{∅}}}〉, 〈{∅,{∅},{∅,{∅}}},{∅,{∅},{∅,{∅}}}〉}7.9. 设A={1, 2, 4, 6}, 列出下列关系R:(1) R={〈x, y〉|x, y∈A∧x+y≠2}(2) R={〈x, y〉|x, y∈A∧|x-y|=1}(3) R={〈x, y〉|x, y∈A∧x/y∈A}(4) R={〈x, y〉|x, y∈A∧y 为素数}(1)R={〈1,2〉,〈1,4〉,〈1,6〉,〈2,1〉,〈2,2〉,〈2,4〉,〈2,6〉,〈4,1〉,〈4,2〉,〈4,4〉,〈4,6〉,〈6,1〉,〈6,2〉,〈6,4〉,〈6,6〉}=E A-{〈1,1〉}(2)R={〈1,2〉,〈2,1〉}(3)R={〈1,1〉,〈2,2〉,〈4,4〉,〈6,6〉,〈2,1〉,〈4,2〉,〈4,1〉}(4)R={〈1,2〉,〈2,2〉,〈4,2〉,〈6,2〉}7.10.略7.11.R i 是X 上的二元关系, 对于x∈X 定义集合R i(x)={y|xR i y}.显然Ri(x) ⊆X. 如果X={-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}, 且令R1={〈x, y〉|x, y∈X∧x<y}R2={〈x,y〉|x, y∈X∧y-1<x<y+2}R3={〈x,y〉|x, y∈X∧x2≤y}求R1(0), R1(1), R2(0), R2(-1), R3(3).R1(0)={1,2,3,4}R1(1)={2,3,4}R2(0)={ -1,0}R2(-1)={ -2, -1}R3(3)= ∅7.12.设A={0, 1, 2, 3}, R 是A 上的关系, 且R={〈0, 0〉, 〈0, 3〉, 〈2, 0〉, 〈2, 1〉, 〈2, 3〉, 〈3, 2〉}给出R 的关系矩阵和关系图.7.13.设A = {〈1, 2〉, 〈2, 4〉, 〈3, 3〉}B = {〈1, 3〉, 〈2, 4〉, 〈4, 2〉}求A∪B, A∩B, dom A, dom(A∪B), ran A, ran B, ran(A∩B), fld(A-B).A∪B={〈1,2〉, 〈1,3〉, 〈2,4〉, 〈3,3〉, 〈4,2〉}A∩B={〈2,4〉}dom A={1,2,3}dom(A∪B)={1,2,3,4}r an A={2,3,4}r an B={3,4,2}r an(A∩B)={4}fld(A-B)={1,2,3}7.14.设R={〈0,1〉,〈0,2〉,〈0,3〉,〈1,2〉,〈1,3〉,〈2,3〉}求R○R,R-1 ,R†{0,1},R[{1,2}].R○R={〈0,2〉, 〈0,3〉, 〈1,3〉}R-1={〈1,0〉,〈2,0〉,〈3,0〉,〈2,1〉,〈3,1〉,〈3,2〉}R†{0,1}={〈0,1〉, 〈0,2〉, 〈0,3〉, 〈1,2〉, 〈1,3〉}R[{1,2}]={2,3}7.15.设A={〈∅,{∅,{∅}}〉,〈{∅},∅〉}求A-1,A2,A3,A†{∅},A[∅],A†∅,A†{{∅}},A[{{∅}}].A-1={〈{∅,{∅}},∅〉,〈∅,{∅}〉},A2={〈{∅},{∅,{∅}}〉},A3=∅,A†{∅}={〈∅,{∅,{∅}}〉},A[∅]={∅,{∅}},1 2A †∅=∅,A †{{∅}}={〈{∅},∅〉}, A [{{∅}}]=∅7.16.设 A ={a ,b ,c ,d }, R 1,R 2 为 A 上的关系, 其中R 1={〈a ,a 〉,〈a ,b 〉,〈b ,d 〉} R 2={〈a ,d 〉,〈b ,c 〉,〈b ,d 〉,〈c ,b 〉} 2 3求 R 1○R 2, R 2○R 1,R 1 ,R 2 .R 1○R 2={〈a ,a 〉,〈a ,c 〉,〈a ,d 〉}, R 2○R 1={〈c ,d 〉}, R 2={〈a ,a 〉,〈a ,b 〉,〈a ,d 〉}, R 3={〈b ,c 〉,〈b ,d 〉,〈c ,b 〉}237.17.设 A ={a ,b ,c }, 试给出 A 上两个不同的关系 R 1 和 R 2,使得 R 1 =R 1, R 2 =R 2.R 1={〈a ,a 〉,〈b ,b 〉}, R 2={〈b ,c 〉,〈c ,b 〉}7.18.证明定理 7.4 的(1), (2), (4).(1) F ○ (G ∪H )=F ○G ∪F ○H任取〈x ,y 〉,〈x ,y 〉∈F ○ (G ∪H )⇔∃t (〈x ,t 〉∈F ∧〈t ,y 〉∈G ∪H )⇔∃t (〈x ,t 〉∈F ∧ (〈t ,y 〉∈G ∨〈t ,y 〉∈H ))⇔∃t ((〈x ,t 〉∈F ∧〈t ,y 〉∈G ) ∨ (〈x ,t 〉∈F ∧〈t ,y 〉∈H )) ⇔∃t (〈x ,t 〉∈F ∧〈t ,y 〉∈G ) ∨∃t (〈x ,t 〉∈F ∧〈t ,y 〉∈H )) ⇔〈x ,y 〉∈F ○G ∨〈x ,y 〉∈F ○H ⇔〈x ,y 〉∈F ○G ∩F ○H 所以有 F ○ (G ∩H )⊆ F ○G ∩F ○H .(2) (G ∪H ) ○F =G ○F ∪H ○F 任取〈x ,y 〉,〈x ,y 〉∈(G ∪H ) ○F⇔∃t (〈x ,t 〉∈(G ∪H ) ∧〈t ,y 〉∈F )⇔∃t ((〈x ,t 〉∈G ∨〈t ,y 〉∈H ) ∧〈t ,y 〉∈F ))⇔∃t ((〈x ,t 〉∈G ∧〈t ,y 〉∈F ) ∨ (〈x ,t 〉∈H ∧〈t ,y 〉∈F )) ⇔∃t (〈x ,t 〉∈G ∧〈t ,y 〉∈F ) ∨∃t (〈x ,t 〉∈H ∧〈t ,y 〉∈F )) ⇔〈x ,y 〉∈G ○F ∨〈x ,y 〉∈H ○F ⇔〈x ,y 〉∈G ○F ∪H ○F(4) (G ∩H ) ○F ⊆G ○F ∩H ○F 任取〈x ,y 〉,〈x ,y 〉∈(G ∩H ) ○F⇔∃t (〈x ,t 〉∈(G ∩H ) ∧〈t ,y 〉∈F )⇔∃t ((〈x ,t 〉∈G ∧〈t ,y 〉∈H ) ∧〈t ,y 〉∈F ))⇔∃t ((〈x ,t 〉∈G ∧〈t ,y 〉∈F ) ∧ (〈x ,t 〉∈H ∧〈t ,y 〉∈F )) ⇒∃t (〈x ,t 〉∈G ∧〈t ,y 〉∈F ) ∧∃t (〈x ,t 〉∈H ∧〈t ,y 〉∈F )) ⇔〈x ,y 〉∈G ○F ∨〈x ,y 〉∈H ○F ⇔〈x ,y 〉∈G ○F ∪H ○F7.19.证明定理 7.5 的(2), (3).(2) F [A ∪B ]=F [A ]∪F [B ]任取 y ,。
离散数学(屈婉玲版)第三章部分答案
3.6从1到300的整数中（1）同时能被3、5、和7这3个数整除的数有A个。
（2）不能被3、5，也不能被7整除的数有B个。
（3）可以被3整除，但不能被5和7整除的数有C个。
（4）可被3或5整除，但不能被7整除的数有D个。
（5）只能被3、5和7之中的一个数整除的数有E个。
供选择的答案A、B、C、D、E：①2；②6；③56；④68；⑤80；⑥102；⑦120；⑧124；⑨138；⑩162。
解：设1到300之间的整数构成全集E，A、B、C分别表示其中可被3、5或7整除的数的集合。
文氏图如下图：在A∩B∩C中的数一定可以被3、5和7的最小公倍数105整除，即∣A∩B∩C∣=⎣300/105⎦=2，同样可得∣A∩B∣=⎣300/15⎦=20，∣A∩C∣=⎣300/21⎦=14，∣B∩C∣=⎣300/35⎦=8.然后将20-2=18，14-2=12，8-2=6分别填入邻近的3块区域.再计算∣A∣=⎣300/3⎦=100，∣B∣=⎣300/5⎦=60，∣C∣=⎣300/7⎦=42.所以∣A∪B∪C∣=162.所以本题的答案是：A=①2；B=⑨138；C=④68；D=⑦120；E=⑧124.3.10列元素法表示下列集合。
（1）A={ x | x ∈N ∧x2 ≤7}.（2）A={ x | x ∈N ∧|3-x|<3}.（3）A={ x | x ∈R ∧(x+1)2≤0}.（4）A={<x,y> |x,y∈N∧x+y≤4}.解：(1) A={0，1，2}.(2) A={1,2,3,4,5}.(3) A={-1}.(4) A={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<0,3>,<0,4>,<1,0>,<2,0>,<3,0>,<4,0>,<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<3,1>,<2,2>}.3.11求使得以下集合等式成立时，a,b,c,d应满足的条件。
离散数学习题解答(耿素云屈婉玲)北京大学出版社
习题一1.下列句子中,哪些是命题？在是命题的句子中,哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？（1）中国有四大发明.答：此命题是简单命题，其真值为1.（2）5是无理数.答：此命题是简单命题，其真值为1.（3）3是素数或4是素数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为1.x+<（4）235答：不是命题.（5）你去图书馆吗？答：不是命题.（6）2与3是偶数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（7）刘红与魏新是同学.答：此命题是简单命题，其真值还不知道.（8）这朵玫瑰花多美丽呀！答：不是命题.（9）吸烟请到吸烟室去！答：不是命题.（10）圆的面积等于半径的平方乘以π.答：此命题是简单命题，其真值为1.（11）只有6是偶数，3才能是2的倍数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（12）8是偶数的充分必要条件是8能被3整除.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（13）2008年元旦下大雪.答：此命题是简单命题，其真值还不知道.2.将上题中是简单命题的命题符号化.解:（1）p：中国有四大发明.（2）p:错误！未找到引用源。
是无理数.（7）p:刘红与魏新是同学.（10）p:圆的面积等于半径的平方乘以π.（13）p:2008年元旦下大雪.3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真值.（1）5是有理数.答：否定式：5是无理数. p：5是有理数.q：5是无理数.其否定式q的真值为1.（2）25不是无理数.答：否定式：25是有理数. p ：25不是无理数. q ：25是有理数. 其否定式q 的真值为1.（3）2.5是自然数.答：否定式：2.5不是自然数. p ：2.5是自然数. q ：2.5不是自然数. 其否定式q 的真值为1.（4）ln1是整数.答：否定式：ln1不是整数. p ：ln1是整数. q ：ln1不是整数. 其否定式q 的真值为1.4.将下列命题符号化，并指出真值. （1）2与5都是素数答：p ：2是素数，q ：5是素数，符号化为p q ∧，其真值为1.（2）不但π是无理数，而且自然对数的底e 也是无理数.答：p ：π是无理数，q ：自然对数的底e 是无理数，符号化为p q ∧，其真值为1. （3）虽然2是最小的素数，但2不是最小的自然数.答：p ：2是最小的素数，q ：2是最小的自然数，符号化为p q ∧⌝，其真值为1. （4）3是偶素数.答：p ：3是素数，q ：3是偶数，符号化为p q ∧，其真值为0. （5）4既不是素数，也不是偶数.答：p ：4是素数，q ：4是偶数，符号化为p q ⌝∧⌝，其真值为0. 5.将下列命题符号化，并指出真值. （1）2或3是偶数. （2）2或4是偶数. （3）3或5是偶数.（4）3不是偶数或4不是偶数. （5）3不是素数或4不是偶数.答: p ：2是偶数，q ：3是偶数，r :3是素数，s :4是偶数, t :5是偶数 (1) 符号化: p q ∨，其真值为1. (2) 符号化：p r ∨，其真值为1. (3) 符号化：r t ∨，其真值为0. (4) 符号化：q s ⌝∨⌝，其真值为1.(5) 符号化：r s ⌝∨⌝，其真值为0. 6.将下列命题符号化.（1）小丽只能从筐里拿一个苹果或一个梨.答：p ：小丽从筐里拿一个苹果，q ：小丽从筐里拿一个梨，符号化为: p q ∨. （2）这学期，刘晓月只能选学英语或日语中的一门外语课.答：p ：刘晓月选学英语，q ：刘晓月选学日语，符号化为: ()()p q p q ⌝∧∨∧⌝. 7.设p ：王冬生于1971年，q ：王冬生于1972年，说明命题“王冬生于1971年或1972年”既可以化答:列出两种符号化的真值表：p q0 0 0 00 1 1 11 0 1 11 1 0 1根据真值表,可以判断出,只有当p与q同时为真时两种符号化的表示才会有不同的真值,但结合命题可以发现,p与q不可能同时为真,故上述命题有两种符号化方式.8.将下列命题符号化,并指出真值.（1）只要错误！未找到引用源。
离散数学习题解答耿素云屈婉玲北京大学出版社
习题一1.下列句子中,哪些是命题？在是命题的句子中,哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？（1）中国有四大发明.答：此命题是简单命题，其真值为1.（2.答：此命题是简单命题，其真值为1.（3）3是素数或4是素数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为1.（4）235x+<答：不是命题.（5）你去图书馆吗？答：不是命题.（6）2与3是偶数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（7）刘红与魏新是同学.答：此命题是简单命题，其真值还不知道.（8）这朵玫瑰花多美丽呀！答：不是命题.（9）吸烟请到吸烟室去！答：不是命题.（10）圆的面积等于半径的平方乘以π.答：此命题是简单命题，其真值为1.（11）只有6是偶数，3才能是2的倍数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（12）8是偶数的充分必要条件是8能被3整除.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（13）2008年元旦下大雪.答：此命题是简单命题，其真值还不知道.2.将上题中是简单命题的命题符号化.解:（1）p：中国有四大发明.（2）p:是无理数.（7）p:刘红与魏新是同学.（10）p:圆的面积等于半径的平方乘以π.（13）p:2008年元旦下大雪.3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真值.（15.5是无理数. p5.q5.其否定式q 的真值为1.（225不是无理数.25是有理数. p25不是无理数. q25是有理数. 其否定式q的真值为1.（3）2.5是自然数.答：否定式：2.5不是自然数. p：2.5是自然数. q：2.5不是自然数. 其否定式q的真值为1.（4）ln1是整数.答：否定式：ln1不是整数. p：ln1是整数. q：ln1不是整数. 其否定式q的真值为1.4.将下列命题符号化，并指出真值.（1）2与5都是素数答：p：2是素数，q：5是素数，符号化为p q∧，其真值为1.（2）不但π是无理数，而且自然对数的底e也是无理数.答：p：π是无理数，q：自然对数的底e是无理数，符号化为p q∧，其真值为1.（3）虽然2是最小的素数，但2不是最小的自然数.答：p：2是最小的素数，q：2是最小的自然数，符号化为p q∧⌝，其真值为1.（4）3是偶素数.答：p：3是素数，q：3是偶数，符号化为p q∧，其真值为0.（5）4既不是素数，也不是偶数.答：p：4是素数，q：4是偶数，符号化为p q⌝∧⌝，其真值为0.5.将下列命题符号化，并指出真值.（1）2或3是偶数.（2）2或4是偶数.（3）3或5是偶数.（4）3不是偶数或4不是偶数.（5）3不是素数或4不是偶数.答: p：2是偶数，q：3是偶数，r:3是素数，s:4是偶数, t:5是偶数(1)符号化: p q∨，其真值为1.(2)符号化：p r∨，其真值为1.(3)符号化：r t∨，其真值为0.(4)符号化：q s⌝∨⌝，其真值为1.(5)符号化：r s⌝∨⌝，其真值为0.6.将下列命题符号化.（1）小丽只能从筐里拿一个苹果或一个梨.答：p：小丽从筐里拿一个苹果，q：小丽从筐里拿一个梨，符号化为: p q∨.（2）这学期，刘晓月只能选学英语或日语中的一门外语课.答：p：刘晓月选学英语，q：刘晓月选学日语，符号化为: ()()⌝∧∨∧⌝.p q p q7.设p：王冬生于1971年，q：王冬生于1972年，说明命题“王冬生于1971年或1972年”既可以化答:列出两种符号化的真值表：根据真值表,可以判断出,只有当p与q同时为真时两种符号化的表示才会有不同的真值,但结合命题可以发现,p与q不可能同时为真,故上述命题有两种符号化方式.8.将下列命题符号化,并指出真值.（1）只要,就有；（2）如果,则；（3）只有,才有；（4）除非,才有；（5）除非,否则；（6）仅当.答:设p:,则:;设q:,则:.符号化真值（1） 1（2） 1（3）0（4）0（5）0（6） 19.设p：俄罗斯位于南半球,q：亚洲人口最多,将下面命题用自然语言表述,并指出其真值：（1）；（2）；；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）.答:根据题意,p为假命题,q为真命题.自然语言真值（1）只要俄罗斯位于南半球,亚洲人口就最多 1（2）只要亚洲人口最多,俄罗斯就位于南半球0（3）只要俄罗斯不位于南半球,亚洲人口就最多 1（4）只要俄罗斯位于南半球，亚洲人口就不是最多 1（5）只要亚洲人口不是最多，俄罗斯就位于南半球 10 （6）只要俄罗斯不位于南半球，亚洲人口就不是最多（7）只要亚洲人口不是最多，俄罗斯就不位于南半1球10．设p：9是3的倍数,q：英国与土耳其相邻,将下面命题用自然语言表述,并指出真值：（1）；（2）；（3）；（4）.答:根据题意,p为真命题,q为假命题.自然语言真值（1）9是3的倍数当且仅当英语与土耳其相邻01 （2）9是3的倍数当且仅当英语与土耳其不相邻1 （3）9不是3的倍数当且仅当英语与土耳其相邻0 （4）9不是3的倍数当且仅当英语与土耳其不相邻11．将下列命题符号化,并给出各命题的真值：（1）若2+2=4,则地球是静止不动的；（2）若2+2=4,则地球是运动不止的；（3）若地球上没有树木,则人类不能生存；（4）若地球上没有水,则是无理数.答:命题1 命题2 符号化真值（1）p:2+2=4 q:地球是静止不动的0 （2）p:2+2=4 q:地球是静止不动的 1 （3）p:地球上有树木q:人类能生存 1 （4）p:地球上有树木q:人类能生存 1 12.将下列命题符号化,并给出各命题的真值：（1）2+2=4当且仅当3+3=6；（2）2+2=4的充要条件是3+36；（3）2+24与3+3=6互为充要条件；（4）若2+24,则3+36,反之亦然.答:设p:2+2=4,q:3+3=6.符号化真值(1) 1(2) 0(3) 0(4) 113.将下列命题符号化,并讨论各命题的真值：（1）若今天是星期一,则明天是星期二；（2）只有今天是星期一,明天才是星期二；（3）今天是星期一当且仅当明天是星期二；（4）若今天是星期一,则明天是星期三.答:设p:今天是星期一,q:明天是星期二,r:明天是星期三.符号化真值讨论(1) 不会出现前句为真,后句为假的情况(2) 不会出现前句为真,后句为假的情况(3) 必然为1(4) 若p为真,则真值为0;若p为假,则真值为1 14.将下列命题符号化：（1）刘晓月跑得快,跳得高；（2）老王是山东人或者河北人；（3）因为天气冷,所以我穿了羽绒服；（4）王欢与李乐组成一个小组；（5）李欣与李末是兄弟；（6）王强与刘威都学过法语；（7）他一面吃饭,一面听音乐；（8）如果天下大雨,他就乘班车上班；（9）只有天下大雨,他才乘班车上班；（10）除非天下大雨,否则他不乘班车上班；（11）下雪路滑,他迟到了；（12）2与4都是素数,这是不对的；（13）“2或4是素数,这是不对的”是不对的. 答:(5)p:李辛与李末是兄弟- -p:李辛与李末是兄弟(6)p:王强学过法语q:刘威学过法语-(7) p:他吃饭q:他听音乐-(8) p:天下大雨q:他乘车上班-(9) p:天下大雨q:他乘车上班- (10)p:天下大雨q:他乘车上班- (11) p:下雪q:路滑r:他迟到了(12)p:2是素数q:4是素数- (13)p:2是素数q:4是素数- 15.设p：2+3=5.q：大熊猫产在中国.r:太阳从西方升起.求下列符合命题的真值：（1）（2）（3）（4）解：p真值为1，q真值为1，r真值为0.（1）0，（2）0，（3）0，（4）116.当p,q的真值为0,r,s的真值为1时,求下列各命题公式的真值：（1）（2）（3）（4）解：（1）0，（2）0，（3）0，（4）117.判断下面一段论述是否为真：“是无理数.并且,如果3是无理数,则也是无理数.另外,只有6能被2整除,6才能被4整除.”解：p:是无理数q: 3是无理数r:是无理数s: 6能被2整除t：6能被4整除符号化为:，该式为重言式，所以论述为真。
离散数学习题解答耿素云屈婉玲)北京大学出版社
习题一1.下列句子中,哪些是命题？在是命题的句子中,哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？（1）中国有四大发明.答：此命题是简单命题，其真值为1.（2）5是无理数.答：此命题是简单命题，其真值为1.（3）3是素数或4是素数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为1.（4）235x+<答：不是命题.（5）你去图书馆吗？答：不是命题.（6）2与3是偶数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（7）刘红与魏新是同学.答：此命题是简单命题，其真值还不知道.（8）这朵玫瑰花多美丽呀！答：不是命题.（9）吸烟请到吸烟室去！答：不是命题.（10）圆的面积等于半径的平方乘以π.答：此命题是简单命题，其真值为1.（11）只有6是偶数，3才能是2的倍数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（12）8是偶数的充分必要条件是8能被3整除.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（13）2008年元旦下大雪.答：此命题是简单命题，其真值还不知道.2.将上题中是简单命题的命题符号化.解:（1）p：中国有四大发明.（2）p:是无理数.（7）p:刘红与魏新是同学.（10）p:圆的面积等于半径的平方乘以π.（13）p:2008年元旦下大雪.3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真值.（1）5是有理数.答：否定式：5是无理数. p：5是有理数.q：5是无理数.其否定式q的真值为1.（2）25不是无理数.答：否定式：25是有理数. p：25不是无理数. q：25是有理数. 其否定式q的真值为1.（3）2.5是自然数.答：否定式：2.5不是自然数. p：2.5是自然数. q：2.5不是自然数. 其否定式q的真值为1.（4）ln1是整数.答：否定式：ln1不是整数. p：ln1是整数. q：ln1不是整数. 其否定式q的真值为1.4.将下列命题符号化，并指出真值.（1）2与5都是素数答：p：2是素数，q：5是素数，符号化为p q∧，其真值为1.（2）不但π是无理数，而且自然对数的底e也是无理数.答：p：π是无理数，q：自然对数的底e是无理数，符号化为p q∧，其真值为1.（3）虽然2是最小的素数，但2不是最小的自然数.答：p：2是最小的素数，q：2是最小的自然数，符号化为p q∧⌝，其真值为1.（4）3是偶素数.答：p：3是素数，q：3是偶数，符号化为p q∧，其真值为0.（5）4既不是素数，也不是偶数.答：p：4是素数，q：4是偶数，符号化为p q⌝∧⌝，其真值为0.5.将下列命题符号化，并指出真值.（1）2或3是偶数.（2）2或4是偶数.（3）3或5是偶数.（4）3不是偶数或4不是偶数.（5）3不是素数或4不是偶数.答: p：2是偶数，q：3是偶数，r:3是素数，s:4是偶数, t:5是偶数(1)符号化: p q∨，其真值为1.(2)符号化：p r∨，其真值为1.(3)符号化：r t∨，其真值为0.(4)符号化：q s⌝∨⌝，其真值为1.(5)符号化：r s⌝∨⌝，其真值为0.6.将下列命题符号化.（1）小丽只能从筐里拿一个苹果或一个梨.答：p：小丽从筐里拿一个苹果，q：小丽从筐里拿一个梨，符号化为: ∨.p q（2）这学期，刘晓月只能选学英语或日语中的一门外语课.答：p：刘晓月选学英语，q：刘晓月选学日语，符号化为: ⌝∧∨∧⌝.p q p q()()7.设p：王冬生于1971年，q：王冬生于1972年，说明命题“王冬生于1971年或1972年”既可以化答:列出两种符号化的真值表：p q0 0 0 00 1 1 11 0 1 11 1 0 1根据真值表,可以判断出,只有当p与q同时为真时两种符号化的表示才会有不同的真值,但结合命题可以发现,p与q不可能同时为真,故上述命题有两种符号化方式.8.将下列命题符号化,并指出真值.（1）只要,就有；（2）如果,则；（3）只有,才有；（4）除非,才有；（5）除非,否则；（6）仅当.答:设p:,则:;设q:,则:.符号化真值（1） 1（2） 1（3）0（4）0（5）0（6） 19.设p：俄罗斯位于南半球,q：亚洲人口最多,将下面命题用自然语言表述,并指出其真值：（2）；；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）.答:根据题意,p为假命题,q为真命题.自然语言真值（1）只要俄罗斯位于南半球,亚洲人口就最多 1（2）只要亚洲人口最多,俄罗斯就位于南半球0（3）只要俄罗斯不位于南半球,亚洲人口就最多 11 （4）只要俄罗斯位于南半球，亚洲人口就不是最多（5）只要亚洲人口不是最多，俄罗斯就位于南半1球0 （6）只要俄罗斯不位于南半球，亚洲人口就不是最多（7）只要亚洲人口不是最多，俄罗斯就不位于南1半球10．设p：9是3的倍数,q：英国与土耳其相邻,将下面命题用自然语言表述,并指出真值：（2）；（3）；（4）.答:根据题意,p为真命题,q为假命题.自然语言真值0 （1）9是3的倍数当且仅当英语与土耳其相邻（2）9是3的倍数当且仅当英语与土耳其不1相邻1 （3）9不是3的倍数当且仅当英语与土耳其相邻（4）9不是3的倍数当且仅当英语与土耳其不相邻11．将下列命题符号化,并给出各命题的真值：（1）若2+2=4,则地球是静止不动的；（2）若2+2=4,则地球是运动不止的；（3）若地球上没有树木,则人类不能生存；（4）若地球上没有水,则是无理数.答:命题1 命题2 符号化真值（1）p:2+2=4 q:地球是静止不动的1 （2）p:2+2=4 q:地球是静止不动的（3）p:地球上有树q:人类能生存 1 木（4）p:地球上有树q:人类能生存 1 木12.将下列命题符号化,并给出各命题的真值：（1）2+2=4当且仅当3+3=6；（2）2+2=4的充要条件是3+36；（3）2+24与3+3=6互为充要条件；（4）若2+24,则3+36,反之亦然.答:设p:2+2=4,q:3+3=6.符号化真值(1) 1(2) 0(3) 0(4) 113.将下列命题符号化,并讨论各命题的真值：（1）若今天是星期一,则明天是星期二；（2）只有今天是星期一,明天才是星期二；（3）今天是星期一当且仅当明天是星期二；（4）若今天是星期一,则明天是星期三.答:设p:今天是星期一,q:明天是星期二,r:明天是星期三.符号化真值讨论(1) 不会出现前句为真,后句为假的情况(2) 不会出现前句为真,后句为假的情况(3) 必然为1(4) 若p为真,则真值为0;若p为假,则真值为114.将下列命题符号化：（1）刘晓月跑得快,跳得高；（2）老王是山东人或者河北人；（3）因为天气冷,所以我穿了羽绒服；（4）王欢与李乐组成一个小组；（5）李欣与李末是兄弟；（6）王强与刘威都学过法语；（7）他一面吃饭,一面听音乐；（8）如果天下大雨,他就乘班车上班；（9）只有天下大雨,他才乘班车上班；（10）除非天下大雨,否则他不乘班车上班；（11）下雪路滑,他迟到了；（12）2与4都是素数,这是不对的；（13）“2或4是素数,这是不对的”是不对的.答:命题1 命题2 命题3 符号化(1)p:刘晓月跑得快q:刘晓月跳得高-(2)p:老王是山东人q:老王是河北人-(3) p:天气冷q:我穿羽绒服-(4)p:王欢与李乐组成一个小组- -p:王欢与李乐组成一个小组(5)p:李辛与李末是兄弟- -p:李辛与李末是兄弟(6)p:王强学过法语q:刘威学过法语-(7) p:他吃饭q:他听音乐-(8) p:天下大雨q:他乘车上班-(9) p:天下大雨q:他乘车上班- (10)p:天下大雨q:他乘车上班- (11) p:下雪q:路滑r:他迟到了(12p:2是素数q:4是素数-)(13p:2是素数q:4是素数-)15.设p：2+3=5.q：大熊猫产在中国.r:太阳从西方升起.求下列符合命题的真值：（1）（2）（3）（4）解：p真值为1，q真值为1，r真值为0.（1）0，（2）0，（3）0，（4）116.当p,q的真值为0,r,s的真值为1时,求下列各命题公式的真值：（1）（2）（3）（4）解：（1）0，（2）0，（3）0，（4）117.判断下面一段论述是否为真：“是无理数.并且,如果3是无理数,则也是无理数.另外,只有6能被2整除,6才能被4整除.”解：p:是无理数q: 3是无理数r:是无理数s: 6能被2整除t：6能被4整除符号化为:，该式为重言式，所以论述为真。
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(6) 范式——析取范式与合取范式的总称
12
范式概念
说明： 单个文字既是简单析取式，又是简单合取式 形如 pqr, pqr 的公式既是析取范式，又是合取
范式
13
范式的性质
定理2.1 (1) 一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含有某 个命题变项和它的否定式. (2) 一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含有某个命题 变项和它的否定式.
(pr)(qr) （对分配律） 合取范式
18
极小项与极大项
定义2.4 在含有n个命题变项的简单合取式（简单析取式） 中，若每个命题变项均以文字的形式在其中出现且仅出现 一次，而且第i个文字出现在左起第i位上（1in），称这 样的简单合取式（简单析取式）为极小项（极大项）. 几点说明： n个命题变项有2n个极小项和2n个极大项 2n个极小项（极大项）均互不等值 用mi表示第i个极小项，其中i是该极小项成真赋值的十进
p0
（矛盾律）
0
（零律）
矛盾式
10
判断公式类型
(2) (pq)(qp) (pq)(qp) （蕴涵等值式） (pq)(pq) （交换律）
1 重言式
(3) ((pq)(pq))r
(p(qq))r （分配律）
p1r
（排中律）
pr
（同一律）
可满足式，101和111是成真赋值，000和010等是成假赋值.
今后在注明中省去置换规则 注意：用等值演算不能直接证明两个公式不等值
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等值演算的应用举例
证明两个公式不等值 例3 证明 p(qr) 与 (pq)r 不等值 证 方法一 真值表法, 见例1(2)
方法二 观察法. 观察到000, 010是左边的成真赋值，是右 边的成假赋值
方法三 先用等值演算化简公式，然后再观察 p(qr) pqr (pq)r (pq)r(pq)r 更容易看出前面的两个赋值分别是左边的成真赋 值和右边的成假赋值
等价等值式
AB(AB)(BA)
假言易位
ABBA
等价否定等值式 ABAB
归谬论
(AB)(AB) A
特别提示：必须牢记这16组等值式，这是继续学习的基础
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等值演算与置换规则
1. 等值演算——由已知的等值式推演出新的等值式的过程 2. 等值演算的基础：
(1) 等值关系的性质：自反性、对称性、传递性 (2) 基本的等值式 (3) 置换规则 3. 置换规则
设 (A) 是含公式 A 的命题公式，(B) 是用公式 B 置换 (A) 中所有的 A 后得到的命题公式 若 BA，则 (B)(A).
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等值演算的应用举例
证明两个公式等值 例2 证明 p(qr) (pq)r 证 p(qr)
p(qr) （蕴涵等值式，置换规则） (pq)r （结合律，置换规则） (pq)r （德摩根律，置换规则） (pq)r （蕴涵等值式，置换规则）
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2.2 析取范式与合取范式
基本概念 (1) 文字——命题变项及其否定的总称 (2) 简单析取式——有限个文字构成的析取式
如 p, q, pq, pqr, … (3) 简单合取式——有限个文字构成的合取式
如 p, q, pq, pqr, … (4) 析取范式——由有限个简单合取式组成的析取式
如 p, pq, pq, (pq)(pqr)(qr) (5) 合取范式——由有限个简单析取式组成的合取式
定理2.2 (1) 一个析取范式是矛盾式当且仅当它每个简单合 取式都是矛盾式. (2) 一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都 是重言式.
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命题公式的范式
定理2.3（范式存在定理） 任何命题公式都存在与之等值的析取范式与合取范式
公式A的析取(合取)范式与A等值的析取(合取)范式 求公式A的范式的步骤： (1) 消去A中的, （若存在）
ABAB AB(AB)(AB) (2) 否定联结词的内移或消去 A A (AB)AB (AB)AB
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命题公式的范式
(3) 使用分配律 A(BC)(AB)(AC) A(BC) (AB)(AC)
求合取范式 求析取范式
公式范式的不足不惟一
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求公式的范式
例5 求下列公式的析取范式与合取范式 (1) (pq)r (2) (pq)r
解 (1) (pq)r (pq)r （消去） pqr （结合律）
最后结果既是析取范式(由3个简单合取式组成的析取式)，又 是合取范式(由一个简单析取式组成的合取式)
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求公式的范式
(2) (pq)r
(pq)r （消去第一个）
(pq)r （消去第二个）
(pq)r
（否定号内移——德摩根律) 析取范式
2
等值式例题
例1 判断下列各组公式是否等值: (1) p(qr) 与 (pq) r
p q r qr p(qr) pq (pq)r
000 1
1
001 1
1
010 0
1பைடு நூலகம்
011 1
1
100 1
1
101 1
1
110 0
0
111 1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
结论: p(qr) (pq) r
3
等值式例题
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等值演算的应用举例
判断公式类型: A为矛盾式当且仅当A 0 A为重言式当且仅当A 1
例4 用等值演算法判断下列公式的类型 (1) q(pq) (2) (pq)(qp) (3) ((pq)(pq))r
解 (1) q(pq)
q(pq) （蕴涵等值式）
q(pq) （德摩根律）
p(qq) （交换律，结合律）
(2) p(qr) 与 (pq) r
p q r qr p(qr)
000 1
1
001 1
1
010 0
1
011 1
1
100 1
1
101 1
1
110 0
0
111 1
1
pq (pq)r
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
结论: p(qr) 与 (pq) r 不等值
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基本等值式
双重否定律 AA
幂等律
AAA, AAA
第二章 命题逻辑等值演算
主要内容 等值式与基本的等值式 等值演算与置换规则 析取范式与合取范式，主析取范式与主合取范式 联结词完备集
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2.1 等值式
定义2.1 若等价式AB是重言式，则称A与B等值，记作 AB，并称AB是等值式 几点说明： 不要把与混为一谈. A或B可以是任何命题公式, 公式中还可能有哑元出现. 例如 (pq) ((pq)(rr)) r为左边公式的哑元 用真值表可检查两个公式是否等值
交换律
ABBA, ABBA
结合律
(AB)CA(BC), (AB)CA(BC)
分配律
A(BC)(AB)(AC),
A(BC)(AB)(AC)
德摩根律 (AB)AB
(AB)AB
吸收律 A(AB)A, A(AB)A
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基本等值式
零律
A11, A00
同一律
A0A. A1A
排中律
AA1
矛盾律
AA0
蕴涵等值式
ABAB