等比数列性质教案

材
分
难点
掌握等比数列的性质并能综合应用.
析
课时数 1 教 法
教学手段 教学过程设计
教学 环节
教师活动
等比数列的性质的研究方法与等差数列的性质的研 究方法也是相似的，你能否根据研究等差数列也通过类 比的方法来研究等比数列的性质呢？请尝试完成下表. (一)新 知探 究
学生活动
一．与函数的关系类比 等差数列
源。 错误!未找到引用源。).
特别地，当错误!未找到引用源。
特别地，当错误!未找到引用源。时，
时，错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。 是等差数列， 是等比数列，且公比为错误!未找到引用
且公差为错误!未找到引用源。
源。 .
错误!未找到引用源。.
证
证明：令错误!未找到引用源。，则 错误!未找到引用源。（是与
【答案】25
【解析】∵ 错误!未找到引用源。得错误!未找到引用源。
∴ 错误!未找到引用源。 ∴ 错误!未找到引用源。
∴ 错误!未找到引用源。 ∴ 错误!未找到引用源。
又 错误!未找到引用源。
∴ 错误!未找到引用源。是首项为错误!未找到引用源。，
公差为 1 的等差数列
∴ 错误!未找到引用源。
(二)典 例突
∴ a2a3a4＝错误!未找到引用源。＝63＝216.
快速抢答 小组讨论，展示成果. 快速求解，自主回答.
教学过程设计
教学 环节
教师活动
典例突破（三）等比数列性质的应用 2 例 3. 等比数列{an}的各项均为正数，且错误!未找到 引用源。，错误!未找到引用源。，则错误!未找到引用源。 _____.
为递减数列．
到引用源。
二．性质类比
等差数列
等比数列
数性
若 m+n=p+q，则 am＋an＝ap＋aq .
列 质 1 特别地，若 m+n=2p，则 am＋an＝2ap .
中
若 m+n=s+t，则错误!未找到引用 源。.
特别地，若 m+n=2p，则错误!未找到引用源。 .
的 项证 与明
证明：等式左边错误!未找到引用源。， 等式右边错误!未找到引用源。， ∵ m+n=s+t ∴ 等式左边错误!未找到引用源。等式右边
采用观察、思考、类比、归纳、探究得出结论的方法进行教学，体 过程与方法 会等比数列与指数函数的关系；通过自主探究、合作交流获得对等比数
列的性质的认识．
情感、态度 标
探索并掌握等比数列的性质，能在具体的问题情境中，发现数列的
与价值观 等比关系，提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数的关系
教
重点
理解等比数列的性质．
明 n 无关的常数），所以错误!未找到引用源。.
若错误!未找到引用源。是等差
若错误!未找到引用源。是等比数
性 数列，公差为错误!未找到引用源。. 列，公比为错误!未找到引用源。，则错
质 3 则错误!未找到引用源。也是等差数 误!未找到引用源。也是等差数列，且公
列，且公差为错误!未找到引用源。. 比仍为错误!未找到引用源。.
C．错误!未找到引用源。 D．错误!未找到引用
源。
学生活动 自主求解，快速抢答.
答案：B
典例突破（二）等比数列性质的应用 1 例 2. 若等比数列{an}中，a3＝2，a11＝8，则 a7＝ ________.
【答案】4 【解析】∵ {an}是等比数列 ∴ 错误!未找到引用 源。
又 错误!未找到引用源。 ∴ 错误!未 找到引用源。
课题
§2.4.2 等比数列性质
周次 课型
教
学
目
第 ____ 周 星期 ____
时间
___________ 月 ____ 日
① 新授课（√）② 习题课（ ）③ 复习课（ ）④ 讲评课（ ）⑤ 实验课（ ）
1．结合等差数列的性质，类比出等比数列的性质．
知识与技能
2．理解等比数列的性质． 3．掌握等比数列的性质并能综合应用.
③ 若 2 为等比中项，则 22＝(2＋d)·(2－d)， 解之得 d＝0(舍去)．
综上可知此三数为－4,2,8.
教学 环节
(三)作 业布
置
教学过程设计 教师活动 完成“一课一练”.
学生活动
可 (四)板
书设
擦
区 计
错误!未找到引用源。，解得错误!未找到引用源。或 错误!未找到引用源。， ∴ 这四个数为 1，－2,4,10 或错误!未找到引用源。，－2， －5，－8.
学生活动 板书解题过程
(二)典 例突
破
【解题反思】当几个数成等比数列时，如何设最合 适？
答：（1）三个数成等比数列，常设为错误!未找到引用源。， a，aq (a≠0)．
【解题反思】等比数列{an}中，利用等比中项求某 一项时，如何确定该项的符号？
答：等比数列{an}中，奇数项的符号一定相同，偶 数项的符号一定相同. 所以，要 确定某项的符号，只需看同类的项（奇数项或偶数项） 的符号. 如果没有同类的项的符号，就要根据公比的正 负判断.
变式 2.（1）若 a5＝2，a15＝8，则 a10＝________. （2）在 错误!未找到引用源。 和 错误!未找到引用源。 之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三 个数的乘积为________________．
【解析】由已知，设这三个数为 a－d，a，a＋d， 则 a－d＋a＋a＋d＝6，解得 a＝2.
∴ 这三个数可表示为 2－d,2,2＋d， ① 若 2－d 为等比中项，则有(2－d)2＝2(2＋d)，解 之得 d＝6，或 d＝0(舍去)．此时三个数为－4,2,8.
小组讨论，展示成果. 快速解答
② 若 2＋d 是等比中项，则有(2＋d)2＝2(2－d)，解 之得 d＝－6，或 d＝0(舍去)．此时三个数为 8,2，－4.
【答案】①②⑤⑥
学生活动 自主回答解题思路和结果
个别回答 口答
教学过程设计
教学 环节
教师活动
典例突破（四）等差、等比数列的综合应用 例 4. 有四个实数，前三个数依次成等比，它们的积 是－8，后三个数依次成等差，它们的积为－80，求出这 四个数．
【解析】由题意设这四个数为错误!未找到引用源。，b， bq，a，则有
函
a1－d 是该直线在 y 轴上的截距.
点.
数
的
当 错误!未找到引用源。 时，数列 当 错误!未找到引用源。 时，数列为常
关
为常数列；
数列；
系
单 调 当 错误!未找到引用源。 时，数列 当 错误!未找到引用源。 时，错误!未找
性 为递增数列；
到引用源。
当 错误!未找到引用源。 时，数列 当 错误!未找到引用源。 时，错误!未找
证
证明：令错误!未找到引用源。，则 错误!未找到引用源。（是与 n 无关的常
明 数），所以 错误!未找到引用源。.
教学
教学过程设计 教师活动
学生活动
环节
典例突破（一）等比数列通项公式与指数函数的联系 例 1. 已知错误!未找到引用源。是互异的正数，错
误!未找到引用源。 是错误!未找到引用源。的等差中项， 错误!未找到引用源。 是错误!未找到引用源。的正的等 比中项，则 错误!未找到引用源。 与 错误!未找到引用 源。 的大小关系是（ ）
等比数列
当错误!未找到引用源。 时，错
当错误!未找到引用源。 时，错误!
误!未找到引用源。 是关于序号 n 的 未找到引用源。 是关于序号 n 的指
图 一次函数错误!未找到引用源。，其图 数型函数错误!未找到引用源。，其图像
像 象是直线错误!未找到引用源。上一 是曲线
与 系列孤立的点，d 为该直线的斜率， 错误!未找到引用源。，上一系列孤立的
破
错误!未找到引用源。.
【解题反思】若数列{an}是正项等比数列，{错误! 未找到引用源。an}是等差数列吗？若是，首项和公差各 是多少？若不是，请说明理由.
答：{错误!未找到引用源。an}一定是等差数列，首 项是错误!未找到引用源。a1，公差是错误!未找到引用源。 (错误!未找到引用源。)
变式 3. 已知{an}是在正项等比数列，则下列说法正 确的是_____________. ① 数列{a2n}是等比数列；② 数列{2an}是等比数列；③ 数列{lgan}是等比数列；④ 数列{nan}是等比数列；⑤ 数 列{an+ an+1 }是等比数列；⑥ 数列错误!未找到引用源。 是等比数列.
2
3
n
小组讨论，展示成果.
教学过程设计
教学 环节
教师活动
变式 1. 在 1，4 两个数之间插入两个数错误!未找到
引用源。，使它们成等差数列，再在 1，4 两个数之间插
(二)典 例突
破
入两个数错误!未找到引用源。，使它们成等比数列，则 下列关系一定成立的是（ ）
A．错误!未找到引用源。 B．错误!未找到引用 源。
【解析】设插入的三个数依次为 a2，a3，a4，其中
设 a1＝错误!未找到引用源。，a5＝错误!未找到引用源。.
∵ 这 5 个数成等比数列
∴ a2a3a4＝错误!未找
到引用源。.
又 错误!未找到引用源。＝a1a5＝错误!未找到引用源。× 错误!未找到引用源。＝36，a3>0 ∴ a3＝错误!未找 到引用源。
A．错误!未找到引用源。 B．错误!未找到引用源。 (二)典 C．错误!未找到引用源。 D．无法确定
例突 【答案】A
破 【解析】若错误!未找到引用源。则
由等差数列和等比数
b
列与函数的关系，由两
A
个数列的图像（如图）