瑞典圆弧法简要原理
瑞典圆弧法的土坡稳定性分析
东北农业大学
水利与建筑学院
土木工程1001 班
作业组成员: 段晶晶A07110442
徐欣欣
赵越
题兴博
任曼妮
王潇涵
王畑月
王梦莹
1、瑞典圆弧法
这个方法首先是由瑞典的彼得森所提出，故称瑞典圆弧法。
（1）基本假设：均质粘性土坡滑动时，其滑动面常近似为圆弧形状，假定滑动面以上的土体为刚性体，即设计中不考虑滑动土体内部的相互作用力，假定土坡稳定属于平面应变问题。
2、瑞典圆弧法基本原理和公式
(1) 基本原理
瑞典圆弧滑动面条分法，是将假定滑动面以上的土体分成n个垂直土条，对作用于各土条上的力进行力和力矩平衡分析，求出在极限平衡状态下土体稳定的安全系数。
该法由于忽略土条之间的相互作用力的影响，因此是条分法中最简单的一种方法。
（2）基本公式：取圆弧滑动面以上滑动体为脱离体，土体绕圆心O下滑的滑动力矩为Ms＝Wa，阻止土体滑动的力是滑弧AED 上的抗滑力，其值等于土的抗剪强度τf与滑弧AED长度L的乘积，故其抗滑力矩为
Mr＝
安全系数K＝抗滑力矩/滑动力矩＝
Mr/Ms>1
式中：L——滑弧弧长；
R——滑弧半径；
α——滑动土体重心离滑弧圆心的水平距
离。
该法适应于粘性土坡。
后经费伦纽斯改进，提出φ＝θ的简单土坡最危险的滑弧是通过坡角的圆弧，其圆心O是为位于图9－3中AO与BO两线的交点，可查表确定。
瑞典圆弧法
整体圆弧法（瑞典圆弧法） 讨论 1. 当0时，n是l(x,y)的函数，无法得到 Fs的理论解 2. 其中圆心O及半径R是任意假设的，还 必须计算若干组（O, R）找到最小安全系 数 ———最可能滑动面 3. 适用于饱和粘土
条分法
1．原理
整体圆弧法 ：
n是l(x,y)的函数
0
l
条分法是将滑动土体竖直分成若干土 条，把土条当成刚体，分别求作用于 各土条上的力对圆心的滑动力矩和抗 滑力矩，然后按下式求土坡的稳定安 全系数Fs ：
一般情况下，Fs偏小10%左右工程应用中偏于安全
瑞典简单条分法的特点
(1)忽略条间力的作用 (2)满足滑动土体整体力矩平衡条件 (3)不满足条块的静力平衡条件 (4)满足极限平衡条件 (5)得到的安全系数偏低，误差偏于安全
毕肖甫（Bishop）法
di O i R
Ti
bi
i
W
Hi+1
Hi Pi
sin i tgi mi cos i Fs
其中
条分法
共n条土的未知量数目 Hi+1 Wi •Wi是已知的 Pi+1 Pi •作用在土条体底部的力与作用点： hi+1 hi Ni Ti ti 共3n个 H i •作用在边界上的力及作用点： Ti Ni Pi Hi hi 共3(n-1)个 （两端边界是已知的） •假设总体安全系数为Fs (且每条Fs都相等) Fs 共1个 •未知数合计=3n+3(n-1)+1=6n-2
粘性土坡稳定分析
均质粘性土坡的稳定分析
强度参数：粘聚力C，内摩擦角 破坏形式：危险滑裂面位置在土坡深处，对于均 匀土坡，在平面应变条件下，其滑动面可用一圆 弧（圆柱面）近似。 O R
瑞典圆弧法
瑞典圆弧法根据实际观测，比较均质的黏性土坝、厚心墙坝和厚斜墙坝，坝坡失稳时滑裂面形状接近不完整的圆柱形。
简化为平面问题，滑裂面的形式接近圆弧状。
瑞典圆弧法就是建立在这个滑裂面基础上的，其基本假定为：①假定滑动土体处于平面应变状态；②假定可能的滑裂面为一圆弧，滑动土体为刚体。
按照刚体极限平衡理论，滑裂面上的抗滑安全系数（K）为式中，MR为滑裂面上所提供的抗滑力矩；MS为滑动力矩。
求K的计算过程是：假定若干个圆弧滑裂面，分别求出其上的抗滑安全系数（Kj），其中最小值（Kmin）即为抗滑安全系数，与Kmin 相对应的圆弧滑裂面为最危险滑裂面。
瑞典圆弧法计算简图瑞典圆弧法计算简图见图（a），ab为任一滑动圆弧。
计算时，将假定的滑动面以上的土体划分成若干个铅直土条，不计土条间相互作用力，滑动土体中任一条块（i）所受的力有：条块自重（Gi），根据条块各部位所处的位置不同，采用不同的容重，如浸润线以上的土体采用湿容重，浸润线以下、下游水位以上的土体采用饱和容重，下游水位以下的土体采用浮容重；自重的作用线通过条块的中心线、水平地震惯性力（Qi）、滑裂面上的孔隙水压力（uili，ui为土条底部单位面积上的孔隙水压力，li为土条底部的长度）。
不计土条间相互作用力，可计算出作用于各土条底面上的法向力Ni=Gicosαi-Qisinαi，切向力Ti=Gisinαi+Qicosαi，若按有效应力分析法，瑞典圆弧分析法的稳定安全系数为式中，ci、?i为土料的有效抗剪强度指标，其余符号如图（b）所示。
若按总应力分析法，ci、?i为相应于总应力法的抗剪强度指标，略去uili项，其稳定安全系数为若需考虑坝体渗透压力（W?i）的影响，需先绘出滑动土体内的流网，求出各土条的渗透坡降（ji），再计算土条的渗透压力（W?i）。
计算时先确定坝体浸润线的位置，假定条块上的渗透压力（W?i）的方向与条块底部平行，见图（b）。
渗透压力的简化计算可采用替代容重法，即坝体浸润线以上的滑动土体采用湿容重；下游水位以下的滑动土体采用浮容重；浸润线以下，下游水位以上的滑动土体在计算滑动力矩时用饱和容重，计算抗滑力矩时用浮容重。
瑞典圆弧法坝体稳定性分析在尾矿库工程中的应用
瑞典圆弧法坝体稳定性分析在尾矿库工程中的应用摘要：坝体稳定性计算是尾矿库安全评价中的一项重要内容。
运用圆弧条分法对尾矿库坝体稳定性进行分析，建立计算几何模型，计算出坝体安全性系数，对尾矿库堆积坝进行安全评价能有效的反映坝体稳定性现状。
关键词：圆弧法尾矿库坝体稳定计算应用一、前言尾矿库坝体边坡稳定性分析应遵循以定性分析为基础，以定量计算为重要辅助手段，进行综合评价的原则。
因此，根据工程地质条件、可能的破坏模式以及已经出现的变形破坏迹象对边坡的稳定性状态做出定性判断，并对其稳定性趋势做出估计，是边坡稳定分析的重要内容。
根据已经出现的变形破坏迹象对边坡稳定性状态做出定性判断时，应十分重视坡体后缘出现的微小张裂现象，并结合坡体可能的破坏模式对其成因作细致分析。
若坡体侧边出现斜列裂缝，或在坡体中下部出现剪出或隆起变形时，可做出不稳定的判断。
二、尾矿库坝体稳定性计算方法对尾矿库坝体稳定性的分析计算一般是将其当作边坡来处理，沿用传统的土力学的传统理论进行分析。
尾矿坝的稳定性分析方法主要有极限平衡法和数值法。
数值法有离散元法、边界元法、有限元法等；极限平衡法有瑞典圆弧法、毕肖普法、陆军工程师团法、萨尔玛法和摩根斯坦—普莱斯法等。
极限平衡法其原理简单，实用性强，能够直接提供坝体稳定性的定量结果，所以应用较广。
极限平衡法依据的是边坡上的滑体或滑体分块的力学平衡原理(即静力平衡原理)来分析边坡在各种破坏模式下的受力状态，以及边坡滑体上的抗滑力和下滑力之间的关系来对边坡的稳定性进行评价的计算方法。
由于它概念清晰，容易理解和掌握，且分析后能直接给出反映边坡稳定性的安全系数值，因此极限平衡法是边坡稳定性分析计算中主要的方法，也是在工程实践中应用最多的方法之一。
其中瑞典圆弧法（简称瑞典法或费伦纽斯法）亦称Fellenious法，是边坡稳定分析领域最早出现的一种方法。
在瑞典圆弧法分析粘性边坡稳定性的基础上，瑞典学者Fellenius 提出了圆弧条分析法，也称瑞典条分法。
瑞典圆弧法
分析BCDE块的平衡
BC
P1= W1sin 1—(W1cos1 tg)/Fs
代入EDA块的平衡方程,滑动力 与抗滑力
E W1 T1
Fs =抗滑力/滑动力
需要迭代
N1
W2
P1 D
1
A
T2
N2
共七十四页
2 无粘性土土坡的稳定(wěndìng)分 析
四. 无粘性土的非线性强度(qiángdù)指标 对滑动面的影响
共七十四页
安全系数 的定义 (ānquán xìshù)
土坡沿着某一滑裂面的安全系数F是这样定义
(dìngyì)的，将土的抗剪强度指标降低为c’/F, tan’/F, 则土体沿着此滑裂面处处达到极限
平衡，即
=c’e+’e tan’e c’e = c’/F
tan’e = tan’/F
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2 无粘性土土坡的稳定(wěndìng)分析
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1 概述
一、土坡：具有(jùyǒu)倾斜面的土体
2．人工(réngōng)土坡
¤ 挖方：沟、渠、坑、池
露 天 矿
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1 概述
一、土坡：具有(jùyǒu)倾斜面的土体
人工 土坡 2．
(réngōng)
¤ 填方：堤、坝、路基、堆料
共七十四页
人工 土坡 1 概述(ɡài shù)
2．
2. 其中圆心O及半径R是任意(rènyì)假设的，还
必须计算若干组（O, R）找到最小安全系
数
———最可能滑动面
3. 适用于饱和粘土
共七十四页
3 粘性土坡-条分法基本原理
二、条分法的基本原理及分析
(fēnxī)
原理 1．
瑞典圆弧法计算的安全系数
瑞典圆弧法计算的安全系数瑞典圆弧法的基本原理是通过将边坡划分成一系列圆弧段，然后分别计算每一个圆弧段的稳定性，最后将这些结果整合起来获得整个边坡的安全系数。
它考虑了边坡的斜率、土方的自重、抗剪强度、摩擦角等因素，并根据这些参数计算圆弧段的抗剪强度与抗剪应力，从而判断边坡是否稳定。
在进行瑞典圆弧法计算时，首先需要确定边坡的几何形状和土质特征，这包括边坡的高度、底宽、顶宽、斜率以及土方的平均抗剪强度和平均摩擦角等参数。
然后，需要将整个边坡划分成多个圆弧段，每个圆弧段的宽度应尽可能保持一致。
接着，根据圆弧段的宽度和高度，可以计算出圆弧段的半径。
然后，根据所选定的圆弧段的参数和土方的特性，可以计算出该段的抗剪强度和抗剪应力。
接下来，需要计算圆弧段的安全系数。
这可以通过将土方的抗剪强度除以抗剪应力来得到。
如果该比值大于1，则表示边坡在该段具有足够的稳定性；如果该比值小于1，则表示边坡在该段不稳定。
最后，对所有圆弧段的安全系数进行整合，可以得到整个边坡的总安全系数。
如果总安全系数大于1，则表示边坡在整体上是稳定的；如果总安全系数小于1，则表示边坡在整体上是不稳定的。
瑞典圆弧法的优点是对边坡进行了细致的划分，能够准确地评估每一个圆弧段的稳定性，从而提供了一个较为精确的边坡稳定性评估结果。
然而，该方法也存在一些限制和假设，比如它假设土方是均匀连续的，并且没有考虑地下水等因素的影响。
总之，瑞典圆弧法是一种常用的边坡稳定性评估方法，它通过将边坡划分成多个圆弧段，并针对每一个段进行稳定性计算，最终得出整个边坡的安全系数。
虽然该方法在实际应用中存在一定的限制，但它仍然是一种较为准确和可靠的土方边坡稳定性评估方法。
瑞典圆弧法公式推导
瑞典圆弧法公式推导好的，以下是为您生成的文章：咱今天来聊聊瑞典圆弧法公式的推导，这玩意儿在工程和地质领域还挺重要的。
我记得有一次，我跟着一个工程队去实地考察一处山坡。
那山坡看着普普通通，可对于工程师们来说，这里面藏着好多需要解决的问题。
我们站在山坡下，工程师拿着各种仪器测量，一边记录一边讨论。
我在旁边好奇地看着，心里想着，这山坡到底稳不稳定呢？这时候就用到瑞典圆弧法啦。
瑞典圆弧法是用来分析土坡稳定性的一种方法。
咱们先来说说它的基本原理。
想象一下，在一个土坡上，有一个潜在的圆弧滑动面。
这个滑动面就像一个切开的蛋糕片，我们要研究的就是这个“蛋糕片”在什么情况下会滑动。
推导瑞典圆弧法公式，得先搞清楚几个关键的力。
比如说，土坡上的土体自重，这可是个重要的力。
还有土体内的摩擦力和粘聚力，它们也在影响着土坡的稳定性。
咱们假设这个圆弧滑动面的圆心为 O ，半径为 R 。
把滑动土体分成若干个竖向的土条。
对于每个土条，我们来分析它受到的力。
土条的自重Wi 是很容易算出来的，就是土条的体积乘以土的重度。
但这只是开始哦。
土条侧面会有法向力和切向力。
法向力 Ni 可以通过对滑动面的法线方向进行力的分解得到。
切向力 Ti 呢，就是 Ni 乘以土的内摩擦角的正切值。
还有，别忘了土条底部的抗滑力。
这包括摩擦力和粘聚力产生的阻力。
摩擦力就是 Ni 乘以土的内摩擦角的正切值，粘聚力产生的阻力就是土条底部长度乘以粘聚力 c 。
接下来，就是关键的一步啦。
我们要建立一个关于整个滑动土体的平衡方程。
把所有土条的力都加起来，让抗滑力的总和等于下滑力的总和，就能得到瑞典圆弧法的公式。
在推导的过程中，要特别注意各种力的方向和大小，一个不小心就容易出错。
回到之前说的那个山坡考察现场，工程师们就是根据这些原理和公式，计算出山坡的稳定性系数。
如果系数小于 1 ，那就说明山坡有滑动的危险，得采取措施加固；如果系数大于 1 ，相对就比较安全。
其实，瑞典圆弧法公式的推导就像是搭积木，一块一块地把各种力组合起来，最终搭建成一个能判断土坡稳定与否的“城堡”。
瑞典圆弧法假定
瑞典圆弧法假定瑞典圆弧法假定是一种常用于地形测量和图形制图的数学模型。
其基本原理是将地球表面近似为一个椭球体，在该椭球体上描述地球表面的形状和特征。
瑞典圆弧法假定的优点在于可以将地球表面上的各种数据精确地投影到平面地图上。
但是，这种假定也存在一些不足之处。
下面我们来详细介绍一下瑞典圆弧法假定的相关内容。
一、背景介绍瑞典圆弧法假定是由瑞典的一个工程师和测量学家Albrecht Hesselgren所提出的。
其主要目的是为了解决1801年瑞典政府要求进行国土测量的问题。
在这一时间背景下，人们急需一种能够准确描述地球表面的方法。
二、瑞典圆弧法假定的原理瑞典圆弧法假定以WGS84（World Geodetic System 1984）为基础，用一个椭球面来代替实际的椭球体，将地球进行逼近描述。
在该模型中，地球的表面外形被描述为一种高程偏差形式，称作大地水准面。
使用该模型，大地水准面上的点可以被用三个参数确定：椭球面的半长轴、椭球面的扁率以及大地水准面在椭球面上的起点。
三、瑞典圆弧法假定的优点1. 精度高：瑞典圆弧法假定将地球表面近似为一个椭球面，将地球上的各种数据精确地投影到平面地图上。
2. 易于使用：这种假定比较直观，一般用户可以很容易地理解并使用。
3. 适用范围广：瑞典圆弧法假定可以应用于地球表面的各种数据类型，比如高程数据、气象数据、人口数据等等。
四、瑞典圆弧法假定的不足之处1. 依赖于参数：瑞典圆弧法假定依赖于三个参数，其中某些参数可能需要在不同的地域和时间上进行不同的设定，为数据的准确性带来不稳定性。
2. 不适用于局部区域：瑞典圆弧法假定的适用范围较为广泛，但在一些局部区域上，其精度也会受到一定的影响，可能会出现偏差。
3. 不适用于较大区域：在覆盖较大区域上，瑞典圆弧法假定的精度可能会降低，无法满足高精度的需要。
综上所述，瑞典圆弧法假定是一种常用的地形测量和图形制图的数学模型，其能够将地球表面上的各种数据精确地投影到平面地图上，但也存在一些不足之处，需要在实际应用中进行综合考虑。
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1．圆弧滑动面条分法
条分法常用于基坑边坡土方整体滑动的稳定验算。
(1) 基本原理
瑞典圆弧滑动面条分法，是将假定滑动面以上的土体分成n个垂直土条，对作用于各土条上的力进行力和力矩平衡分析，求出在极限平衡状态下土体稳定的安全系数。
该法由于忽略土条之间的相互作用力的影响，因此是条分法中最简单的一种方法。
边坡破坏时，土坡滑动面的形状取决于土质，对于粘土，多为圆柱面或碗形；对于砂土，则近似平面。
阻止滑动的抗滑力矩与促使滑动的滑动力矩之比，即为边坡稳定安全系数K，可得：
式中：——滑动圆弧的长度；
——滑动面上的平均抗剪强度；
R——以滑动圆心O为圆心的滑动圆弧的半径；
W——滑动土体的重量；
d——W作用线对滑动圆心O的距离；
A——滑动面积。
如K>1.0表示边坡稳定；K=1.0边坡处于极限平衡状态；K<1.0则边坡不稳定。
按上述原理进行计算，首先要确定最危险滑动圆弧的形状，即首先要找出最危险滑动圆弧的滑动圆心O，然后找坡角圆即可画出最危险滑动圆弧。
欲找出K值最小的最危险滑动圆弧，可根据不同的土质采用不同的方法：
a.内摩擦角的高塑性粘土
这种土的最危险滑动圆弧为坡脚圆，可按下述步骤求其最危险滑动圆弧的滑动圆心。
(a) 由此表，根据坡角查出坡度角和坡顶角。
(b) 在坡底和坡顶分别画出坡底角和坡顶角，两线的交点O，即最危险滑动圆弧的滑动圆心。
b．内摩擦角的土
这类土的最危险滑动圆弧的滑动圆心的确定，如下图所示，按下述步骤进行：
(a)按上述步骤求出O点；
(b)由A点垂直向下量一高度，该高度等于边坡的高度H，得C点，由C点水平向右量一距离，使其等于
4.5倍H而得D点，连接DO；
(c)在DO延长线上找若干点，作为滑动圆心，画出坡脚圆，试算K值，找出K值较小的E点；
(d)于E点画DO延长线的垂线，再于此垂线上找若干点作为滑动圆心，试算K值，直至找出K值最小的O′点，则O′点即最危险滑动圆弧的滑动圆心。
用上述方法计算，需要经过多次试算才能达到目的。
目前，已可用电子计算机迅速地找出滑动圆心。
(2) 圆弧滑动面条分法计算方法
当边坡由成层土组成时，则土的重力密度γ和抗剪强度τ都不同，需分别进行计算。
按条分法计算时，先找出滑动圆心O画出滑动圆弧，然后将滑动圆弧分成若干条，每条的宽度
，R为滑动半径。
任一分条的自重Wi，可分解为平行圆弧方向的切力Ti，和垂直圆弧的法向力Ni。
同时，在滑动圆弧面上还存在土的内聚力c。
Ti即滑动力，Ti与滑动半径R的乘积，即滑动力矩。
内聚力c和摩阻力（
为土的内摩擦角）即抗滑力，c和与滑动半径R的乘积cR和R即抗滑力矩。
因此，边坡稳定安全系数可按下式计算：
条分法
式中——分条的内聚力；——分条的圆弧长度；——分条土的内摩擦角；——分条土的重力密度；——分条宽度；
——分条高度(可取平均值)；——分条的坡角。
如果土质相同，分条宽度又相同时，则：
如果有地下水，则需考虑孔隙水压力u的影响，则按下式计算边坡稳定安全系数：
果存在地下水，则分子的值要减小，因而易使边坡失去稳定。
坡角坡底角坡顶角坡角坡底角坡顶角
90°
75°
60°
45°33°47′33°
32°
29°
28°
26°
40°
40°
40°
38°
35°
30°
26°34′
15°
11°19′
26°
25°
24°
25°
36°
35°
37°
37°。