§1.1-向量与矩阵的定义及运算
向量与矩阵的乘法
向量与矩阵的乘法向量与矩阵乘法是两个基本的概念，这两个概念在线性代数中非常重要。
本文将介绍向量与矩阵乘法的定义、性质以及如何计算它们的乘积。
一、向量的定义向量是由一组标量组成的有序列表，它们按照特定的顺序排列。
在数学中，通常将向量用列向量的形式表示，其形式如下：a = [a1,a2,a3,…,an]T其中，a1,a2,a3,…,an都是标量，这些标量按照顺序排列。
T表示向量的转置，它将列向量转换为行向量。
二、矩阵的定义矩阵是由一组标量组成的矩形数组，它们按照特定的顺序排列。
通常用方阵的形式表示，其形式如下：A =[a11,a12,a13,…,a1n;a21,a22,a23,…,a2n;…;am1,am2,am3,…,amn]其中，a11,a12,a13,…,a1n;a21,a22,a23,…,a2n;…;am1,am2,am3,…,amn都是标量。
三、向量与矩阵的乘法定义在数学中，当一个向量乘以一个矩阵时，我们将结果称为矩阵向量积。
向量与矩阵的乘法的定义如下：设A是一个m×n的矩阵，而b是一个n维列向量，那么定义矩阵向量积为：c=Ab其中，c是一个m维列向量，它的每一维就是A的每一行与b对应维数的乘积之和。
四、向量与矩阵的乘法性质（1）向量与矩阵的乘法是一种线性变换。
（2）矩阵乘法不满足交换律。
（3）矩阵乘法满足结合律。
（4）矩阵乘法是满足分配律的。
五、向量与矩阵的乘法计算在进行向量与矩阵的乘法计算时，需要按照矩阵乘法的定义逐一计算。
例如，计算一个3维列向量和一个3×3矩阵的乘积如下：[ a1 ] [ a11,a12,a13 ][ a2 ] [ a21,a22,a23 ] = [ a1×a11+a2×a21+a3×a31 ] [ a3 ] [ a31,a32,a33 ] [ a1×a12+a2×a22+a3×a32 ][ a1×a13+a2×a23+a3×a33 ]最后，需要注意的是，在进行向量与矩阵的乘法时，向量的维数要与矩阵的行数相同，才能进行相乘。
向量与矩阵运算
向量与矩阵运算在高中数学学科中，向量与矩阵运算是一项重要的内容。
向量与矩阵的概念与运算规则不仅在数学中有广泛的应用，而且在物理、工程、计算机科学等领域也有着重要的地位。
本文将详细介绍向量与矩阵的定义、基本运算以及一些常见应用。
一、向量的定义与基本运算向量是有方向和大小的量，通常用箭头表示。
向量可表示为一个有序的数字组成的列，也可以视为从原点指向某一点的箭头。
例如，向量A可以表示为(A1, A2, ..., An)。
向量的基本运算包括加法和数乘。
向量的加法是对应元素相加，即A +B = (A1 + B1, A2 + B2, ..., An + Bn)，其中A和B为同维数的向量。
数乘是将向量的每个元素都乘以一个实数，即kA = (kA1, kA2, ..., kAn)，其中k为实数。
二、矩阵的定义与基本运算矩阵是一个按照矩形排列的数表，通常用大写字母表示。
矩阵有行与列组成，用m×n表示，其中m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。
矩阵的基本运算包括矩阵加法、矩阵数乘和矩阵乘法。
矩阵的加法是对应元素相加，即A + B = [aij + bij]，其中A和B为同维数的矩阵。
矩阵的数乘是将矩阵的每个元素都乘以一个实数，即kA = [kaij]。
矩阵的乘法是一种复合运算，需要满足乘法的规则。
若A为m×n 的矩阵，B为n×p的矩阵，则AB为m×p的矩阵。
矩阵AB的第i行第j列元素可以表示为：ABij = aij * bij，其中aij表示A矩阵的第i行第j 列元素，bij表示B矩阵的第i行第j列元素。
三、向量与矩阵的应用向量与矩阵运算在许多实际问题中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 物理学：在物理学中，向量和矩阵可以用来描述物体的运动和力的作用。
例如，位移向量可以用来描述物体的位置变化，力矩矩阵可以用来描述物体受到的力的作用。
2. 工程学：向量和矩阵可以用来描述工程中的各种变量和关系。
第一章 向量与矩阵的基本运算
B bij 43 ,
故
0 1 0 1 2 1 C AB 1 1 3 0 0 5 1 4 3 1 5 6 7 10 2 6 . 2 17 10
行矩阵(Row Matrix): 只有一行的矩阵 A a1 , a2 ,, an ,
a1 a2 列矩阵(Column Matrix): 只有一列的矩阵 B , 称为列矩阵(或列向量). a n
方阵(Square Matrix): 行数与列数都等于 n 的矩阵， 称为 n 阶 方阵.也可记作 An . 例如：
12 1 3 8 5 9 1 6 9 5 0 4 3 3 6 2 81
负矩阵：
a11 a21 A a m1
a12 a22 am 1
a1 n a2 n aij 称为矩阵A amn
简记为A aij
m n
或 Amn
实矩阵: 元素是实数 复矩阵： 元素是复数
1 0 3 5 例如： 是一个 2 4 实矩阵, 9 6 4 3
13 6 2i 是一个 3 3 复矩阵, 2 2 2 2 2 2
1 2 4 A、B 为
m n 矩阵， , 为数）
1 A A; 2 A A A; 3 A B A B.
矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.
4.
矩阵与矩阵相乘
B 定义： 设 A aij 是一个 m s 矩阵， bij 是一个 s n 矩阵，那末规定矩阵 A与矩阵 B的乘积 是一个 m n 矩阵 C c ，其中
向量矩阵概念与运算
1 向量的概念与运算 2 矩阵的概念与运算 3 逆矩阵 4 分块矩阵 5 矩阵的初等变换与初等矩阵 6 矩阵的秩 7 向量组的线性相关性 8 向量组的正交化
下页
第1节 向量的概念与运算
1.1 向量的概念
定义1 n个数a1，a2， ，an组成的有序数组 (a1, a2, , an)， 称为n维向量，记为a，其中a i (i=1,2,…,n)叫做向量的第i个分量.
i =1
例如，设a=(-1, 1, 0, 2)T，b=(2, 0, -1, 3)T , 则a与b
的内积为 (a , b ) =(-1)2+10+0(-1)+23 =4 .
下页
内积的性质
设a，b，g为Rn中的任意向量，k为常数. (1) ( a,b ) =(b,a ) ； (2) (ka,b ) = k ( a,b ) ； (3) (a+b,g ) = ( a,g ) + ( b, g ) ； (4) ( a,a ) 0，当且仅当a=o时，有( a,a ) =0 .
下页
负矩阵
称矩阵
-a11 -a12 -a1n -a21 -a22 -a2n
为A的负矩阵,记作 –A.
零矩阵
-am1 -am2 -amn
所有元素均为0的矩阵称为零矩阵，记为O.
行矩阵与列矩阵
只有一行的矩阵称为行矩阵，只有一列的矩阵称为列矩阵.常用小
例4．n维单位向量组e1，e2，，en，是两两 正交的：(ei ,ej ) =0 (ij) .
下页
标准正交向量组
定义6 如果m个非零向量组 a1，a2，，am两两正交， 即 (ai ,aj )=0(ij)，则称该向量组为正交向量组.
矩阵和向量
向量的加法、减法、数乘
向量加法：将两个向量对应元素相加，得到新的向量 向量减法：将两个向量对应元素相减，得到新的向量 向量数乘：将向量的每个元素乘以一个常数，得到新的向量 向量点乘：将两个向量对应元素相乘，得到新的向量 向量叉乘：将两个向量对应元素相乘，得到新的向量
向量的外积、内积和混合积
解最优解
数值分析：使用矩阵和向量进 行数值分析，如数值积分、数
值微分等
在数学建模中的应用
线性方程组求解：利用矩阵和向量的运算，可以快速求解线性方程组 优化问题：矩阵和向量可以用于解决优化问题，如线性规划、非线性规划等 概率统计：矩阵和向量可以用于概率统计中，如随机变量、协方差矩阵等 图论：矩阵和向量可以用于图论中，如最短路径、最小生成树等
矩阵和向量的扩 展知识
矩阵的秩
矩阵的秩是矩阵中 线性无关的行（或 列）的最大数目
矩阵的秩等于其 行向量组的秩
矩阵的秩等于其 列向量组的秩
矩阵的秩等于其 非零特征表示向 量的长度，是向量 的绝对值
向量的方向：表示 向量的方向，是向 量的指向
向量的模和方向的 关系：模和方向共 同决定了向量的位 置和方向
向量的坐标：向量中每个元素的位置
向量的长度：向量中元素的平方和的平 方根
向量的方向：向量中元素的符号和顺序
向量的基本性质
向量的长度：表示向量的大小，也称为 模
向量的方向：表示向量的方向，也称为 方向余弦
向量的加法：两个向量相加，得到新的 向量
向量的减法：两个向量相减，得到新的 向量
向量的数乘：向量与标量相乘，得到新 的向量
外积：两个向量 的叉乘，结果是 一个向量，其方 向垂直于两个向 量所在的平面
内积：两个向量 的点乘，结果是 一个标量，表示 两个向量的夹角 大小
向量与矩阵的定义及运算
例 2证 明 ： 任 意 n 维 向 量 ( kk ,2 , , k ) 是 向 量 1 n 一 个 线 性 组 合 。 证明：由向量的线性运算，得 (k1 , k2 , , kn ) ( k1 ,0, ,0) (0, k2 ,0, ,0)
k1 (1,0, 也即是＝ ki i .
例 1 ( 1 , 1 , 2 ) , ( 1 , 2 , 0 ) , ( 1 , 0 , 3 ) , 1 2 3
解 ： (1 , 1 ,2 )2 (1 ,2 ,0 )1 2 (1 ,0 , 3 ) (1 , 1 ,2 )(2 ,4 ,0 )(1 2 ,0 , 3 6 ) (121 2 , 140 ,203 6 ) (1 1 , 5 , 3 4 ).
4
( 4 ) 分 量 全 为 零 的 向 量 ( 0 , 0 , , 0 ) 称 为 零 向 量 ， 记 作 0 ( 应 注 意 区 别 数 零 和 零 向 量 ) ；
( 5 ) 称 ( a , a , , a ) 为 的 负 向 量 ， 记 作 . 1 2 n 向 量 的 加 法 以 及 数 与 向 量 的 数 乘 统 称 为 向 量 的 线 性 运 算 。
i 1 n
组 ( 1 , 0 , , 0 ) , ( 0 , 1 , , 0 ) , , ( 0 , , 0 , 1 ) 的 1 2 n
(0, kn (0,
,0, kn ) ,0) ,0,1),
,0) k2 (0,1,0,
n 称 ε ε ， L ， ε 为 n 维 线 性 空 间 R 的 基 本 向 量 组 . 1 ， 2 n
11
补 例 ： 已 知 α + β （ 2 ， 1 ， 5 ， 2 ， 0 ） ， α β （ 3 ， 0 ， 1 ， 1 ， 4 ） ， 求 α ， β .
向量与矩阵PPT课件
相当于对矩 A施 阵行第一种初等：行变
把A的第i 行与第 j 行对调 (ri rj).
类似地，
以 n阶初等 En(i矩 ,j)右 阵乘A 矩 ，阵
AE n(i,
a11 j)a 21
a1j a2j
a1i
a2i
a1n a2n
am1 amj ami amn
相当于对矩 A施 阵行第一种初等：列变 把A的第i 列与第 j列对调 (ci cj).
定理2 s个n维向量 1,...s 线性相关的充要条
件是其中至少有一个向量可由其它向量线性表出。 i k 1 1 k 2 2 . . k i 1 .i 1 k i 1 i 1 . . k s . s
定理 3 若向量组 1,...s线性无关，而向量组1,... s,
线性相关，则 必可由向量组 1,...s线性表出，
逆矩阵
逆矩阵的概念与性质 可逆矩阵的判定与求法 矩阵的初等变换 用初等行变换求逆矩阵
3.3 矩阵的初等变换
定义 3.3 对矩阵进行下列三种变换，称为 矩阵的初等行变换：
交换矩阵两行的位置； 用一个非零数乘矩阵的某一行； 把某一行的倍加到另一行上. 把定义3.3中的“行”换成“列”，就得到矩阵
当m=1时，矩阵只有一行，即
A a 1a 1 2a 1 n
叫做行矩阵. 当n=1时，矩阵只有一列，即
叫做列矩阵.
a 11
A
a 21
a
n
1
元素全部是零的矩阵叫做零矩阵，记作0.
在n阶方阵中，从左上角到右下角的对角线 叫方阵的主对角线，从右上角到左下角的对 角线叫方阵的次对角线.
k (k1,...kn )
(a1,... an ),
(a1 b1,...an bn )
矩阵与向量的运算
矩阵与向量的运算矩阵与向量是线性代数中的重要概念，它们的运算涉及到了许多实际问题的解决。
在本文中，我们将探讨矩阵与向量的运算规则，并以实际应用为例，展示它们在不同领域的重要性。
一、矩阵与向量的基本概念矩阵是由m行n列的数按照一定顺序排列而成的矩形数表，用大写字母表示，如A。
向量是由n个数按照一定顺序排列而成的数表，用小写字母表示，如x。
矩阵中的每个数称为元素，向量中的每个数称为分量。
矩阵与向量的运算包括加法、减法和数乘三种基本运算。
二、矩阵与向量的加法矩阵与向量的加法是指将同型矩阵或向量的对应元素相加得到一个新的矩阵或向量。
例如，对于两个同型矩阵A和B，它们的加法规则为：A + B = (a_ij + b_ij)，其中a_ij和b_ij分别表示A和B的第i行第j列的元素。
同样地，对于两个同型向量x和y，它们的加法规则为：x + y = (x_i + y_i)，其中x_i和y_i分别表示x和y的第i个分量。
三、矩阵与向量的减法矩阵与向量的减法是指将同型矩阵或向量的对应元素相减得到一个新的矩阵或向量。
例如，对于两个同型矩阵A和B，它们的减法规则为：A - B = (a_ij - b_ij)，其中a_ij和b_ij分别表示A和B的第i行第j列的元素。
同样地，对于两个同型向量x和y，它们的减法规则为：x - y = (x_i - y_i)，其中x_i和y_i分别表示x和y的第i个分量。
四、矩阵与向量的数乘矩阵与向量的数乘是指将矩阵或向量的每个元素乘以一个常数得到一个新的矩阵或向量。
例如，对于一个矩阵A和一个常数k，它们的数乘规则为：kA = (ka_ij)，其中a_ij表示A的第i行第j列的元素。
同样地，对于一个向量x和一个常数k，它们的数乘规则为：kx = (kx_i)，其中x_i表示x的第i个分量。
五、矩阵与向量的乘法矩阵与向量的乘法是指将一个矩阵的每一行与一个向量进行点乘得到一个新的向量。
例如，对于一个矩阵A和一个向量x，它们的乘法规则为：Ax = (a_i1x_1 +a_i2x_2 + ... + a_inx_n)，其中a_ij表示A的第i行第j列的元素，x_i表示x的第i个分量。
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(10)若kA 0，则k 0,或者A 0.
28
例 设矩阵A、B、C满足等式 3(A+C)=2(B－C)，其中
A
2 1
3 3
6 5
,
B
3 1
2 3
4 5
,
求C.
解：由等式可得 5C 2B 3A
23 21
22 2 (3)
b1 j
(ai1
ai 2
L
ain
)
b2 M
j
= A的第i行乘 B的第j列
bnj
故可以把乘法规则总结为：左行乘右列.
36
注意：(1) 只有当第一个矩阵的列数等 于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才 能相乘.
例如
1 3 5
2 2 8
3 1 9
1 6
6 0
8 1
不存在.
(2) 乘积矩阵C的行数＝左矩阵的行数， 乘积矩阵C的列数＝右矩阵的列数.
ka11
(kaij )sn
ka21
M
kas1
ka12 ka22
M
ka s 2
L ka1n
L
ka2n
M M
L
kasn
为数k与A的数乘，记作kA.
25
(4) 负矩阵:将矩阵A=(aij)s×n的各元 素取相反符号，得到的矩阵称为矩阵A
的负矩阵，记为－A. 即
a11 a12 L a1n
(aij )sn
a21 M
a22 M
L M
a2n
M
as1
as2
L
asn
26
矩阵的线性运算性质
(1) A B B A;
(2)(A B)C A(BC);
(3)A 0 A；
(4) A(A)0;
(5) 1A A;
27
(6) k(lA) (kl)A;
(7) k( A B) kA kB;
(8)(k l)A kA lA;
则称向量 与 相等，记作 .
(2) 加法(addition): 称向量(a1+b1,...,an+bn)
为 与 的和，记作
4
(a1 b1, a2 b2 , , an bn ).
+
B
O A
(3) 数量乘法(scalar multiplication):
设k为数，称向量(ka1,ka2，...,kan)为k与
37
矩阵A,B乘积的行数、列数间的关系是
(s, n)×(n, m)=(s, m)
用图示表示就是
nm
m
s n =s
例设
0 3 4
1
A
1
0
0 1 5
1 3 1
2
0
,
4
B
1 3 1
2 1 2
1
,
计算AB.
1
1
38
解 A (aij )34 , B (bij )43,
C (cij )33 .
2
2
2
ai1Ei1 ai2 Ei2 ai3 Ei3
i 1
i 1
i 1
32
aij Eij .
j1 i1
31
三、矩阵的乘法
引例
设甲、乙、 丙三位同学的高数平时、 期中、期末成绩为矩阵A, 平时、期中、 期末成绩所占比例为矩阵B, 这三位 同学的高数总成绩用矩阵C表示.
80 70 75
丙同学的高数总成绩为
600.3 800.3 900.4 78 33
引例(续)
75
C
80
.
78
还可以利用矩阵的某种运算得到 上述总成绩.
34
定义6
设A=(aij)s×n是一个s×n矩阵， B=(bij)n×m 是一个n×m矩阵, A的列数等于B的行数.
用cij表示A的第i行与B的第j列的对应分量 乘积之和，
第一章 向量与矩阵的基本运算
§1.1 向量与矩阵的定义及运算
定义1 既有大小,又有方向的量称为向量 (vector),又称矢量. n维向量可以用n个数 构成的有序数组来表示. 记作
(a1 ,a2 ,,an )
称为n维行向量； 若记作
2
a1
a2
an
则称为n维列向量.
并称数 ai 为 的第
例:有理数集Q,实数集R,复数集C都是数域,
分别称为有理数域,实数域,复数域. 而整数
集Z不是数域. 我们主要用到的是实数域和
复数域.
任意数域中含有1,故含有Z,从而 含有Q. 因此Q是最小的数域.
13
引例1 某商场9月份电视机销售统计表
21寸 29寸 34寸 48寸
长虹 15 40 37 7 康佳 21 30 40 10
A
90
70
80
,
60 80 90
0.3
B
0.3
.
0.4
32
引例(续)
80 70 75
0.3
A
90
60
70 80
80
,
90
B
0.3
,
0.4
解: 甲同学的高数总成绩为
800.3 700.3 750.4 75
乙同学的高数总成绩为
900.3 700.3 800.4 80
注意：不同阶的零矩阵不同.
3. 行矩阵、列矩阵:
只有一行的矩阵 A (a11 , a12 , , a1n )
称为行矩阵A1×n (row matrix);
只有一列 的矩阵
a11
A
a21
an1
称为列矩阵An×1 (column matrix).
19
4. 对角矩阵：除主对角线上元素外， 其它元素都为零的n阶方阵.
6. 数量矩阵：若对角线元素为k (k 为常数),其余元素都为零的n阶矩阵， 称为n阶数量矩阵(scalar matrix)，记 为kE.
k
即
kE
k
k
22
矩阵的线性运算
定义5 设A=(aij)sn 和B=(bij)sn 是(数域P上) 两个sn (同型)矩阵，则
(1) 如果它们对应的元素分别相等，即 aij=bij, (i=1,2,…,s; j=1,2,…,n),
a22 a32
a23 a33
b2 b3
上述问题必须引进一些新的概念,如矩阵.
矩阵是一个非常重要的概念,不仅应用于
线性代数,而且深入数学,物理,计算机等
学科领域中.
15
定义4 数域P中sn个数排成的s行n 列的长方形数表
a11 a12 L a1n
a21
a22
L
a2n
M M M M
as1
as2
L
asn
称为数域P上的sn矩阵(matrix)，aij称 为矩阵A的第i行第j列元素(entry).
16
aij
行下标 列下标
元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素 是复数的矩阵称为复矩阵.本书中讨论的 矩阵如不特别声明，都是指实矩阵.
s n矩阵A记为Asn 或 A=(aij)sn , 在 不引起混淆时简记为A=(aij).
( i.e. aij=0, i≠j)
1
2
n
记为 diag1,2, ,n,
称为对角矩阵(diagonal matrix).
20
5. 单位矩阵：若对角线元素为1， 其它元素为零的矩阵，称为n阶单位矩 阵(identity matrix),记为En(或In),简记 为E.
1
即E11 Nhomakorabea21
(k1, k2 , , kn ) 是向量组
1 (1,0, ,0),2 (0,1,0, ,0), ,n (0, ,0,1)
的一个线性组合.
证明：由向量的线性运算，得
(k1, k2, , kn ) (k1,0, ,0) (0, k2,0, ,0) (0, ,0, kn )
称1， 2，L， n为n维向量空间Rn的基本向量组. 11
2 2
4 5
32 3 (1)
33 33
36 3 5
0 5 10
0 1 2
5
15
5
,
C
1
3
1 .
29
例5 设A=(aij)2×3, Eij表示第i行第j列元 素为1，其余元素为0的2×3矩阵 (i=1,2;j=1,2,3),如
0 1 0
E12
0
0
0
,
则A可表示为：
A (a11E11 a12 E12 a13 E13 )
即：
cij ai1b1 j ai2b2 j L ainbnj
n
aikbkj (i 1,2,L, s; j 1,2,L,m).
k 1
35
称矩阵C=(cij)s×m为矩阵A与B的乘积， 记为 C=AB. 注意：由矩阵乘法的定义
cij ai1b1 j ai 2b2 j L ainbnj
的数乘，记作
伸缩变换
k (ka1, ka2 , , kan ).
5
(4) 分量全为零的向量(0,...,0)称为零向 量，记作0.
(5) 称(－a1, －a2 ,..., －an)为 的负向量，
记作 .
向量的加法以及数与向量的数乘统称 为向量的线性运算.
对任意的n维向量 , , 及任意的数k, l, 向量的线性运算满足以下八条运算规律：
则称A与B相等，记作A=B.
23
(2) 加法：称矩阵
a11 b11 a12 b12 L a1n b1n
(aij
bij )sn