西城区2018-2019学年度第一学期期末九年级数学试题
北京市西城区九年级数学2018-2019学年上学期期末试卷(带答案解析)
；
②将抛物线 C1 向右平移使它经过点 F，此时得到的抛物线记为 C2，直接写出抛物线 C2 的
表达式．
24．
（6 分）如图，AB 是⊙O 的直径，△ABC 内接于⊙O．点 D 在⊙O 上，BD 平分∠ABC
交 AC 于点 E，DF⊥BC 交 BC 的延长线于点 F．
（1）求证：FD 是⊙O 的切线；
23．
（6 分）如图，直线 l：y＝﹣2x+m 与 x 轴交于点 A（﹣2，0）
，抛物线 C1：y＝x2+4x+3
与 x 轴的一个交点为 B（点 B 在点 A 的左侧），过点 B 作 BD 垂直 x 轴交直线 l 于点 D．
（1）求 m 的值和点 B 的坐标；
（2）将△ABD 绕点 A 顺时针旋转 90°，点 B，D 的对应点分别为点 E，F．
（x﹣4）
（2）
（x+2）＞0 的解集为
②不等式（x﹣9）
（x﹣8）
（x﹣7）2＞0 的解集为
．
．
26．
（6 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y＝ax2﹣4ax+3a．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）当 a＞0 时，设抛物线与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 左侧）
，顶点为 C，若△ABC
A．
（3，5）
B．
（1，5）
【考点】H3：二次函数的性质．
）
C．
（3，1）
D．
（﹣1，5）
菁优网版权所有
【解答】解：因为 y＝3（x﹣1）2+5 是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（1，5）
．
【精品初三期末试卷】2018-2019学年北京市西城区初三第一学期期末数学试卷+答案
北京市西城区2018-2019学年度第一学期期末试卷九年级数学2019.1一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，如果AC =3，AB =5，那么sin B 等于（ ）．A .35B . 45C . 34D . 432.点1(1,)A y ，2(3,)B y 是反比例函数6y x=-图象上的两点，那么1y ，2y 的大小关系是（ ）．A .12y y >B .12y y =C .12y y <D .不能确定 3.抛物线2(4)5y x =--的顶点坐标和开口方向分别是（ ）. A .(4,5)-，开口向上 B .(4,5)-，开口向下 C .(4,5)--，开口向上 D .(4,5)--，开口向下4.圆心角为60︒，且半径为12的扇形的面积等于（ ）.A .48πB .24πC .4πD .2π 5.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，如果∠ACD =34°，那么∠BAD 等于（ ）． A ．34° B ．46° C ．56° D ．66°6.如果函数24y x x m =+-的图象与x 轴有公共点，那么m 的取值范围是（ ）.A .m ≤4B .<4mC . m ≥4-D .>4m -7.如图，点P 在△ABC 的边AC 上，如果添加一个条件后可以得到△ABP ∽△ACB ，那么以下添加的条件中，不．正确的是（ ）． A ．∠ABP =∠C B ．∠APB =∠ABCC ．2AB AP AC =⋅D ．AB ACBP CB=8.如图，抛物线32++=bx ax y (a ≠0)的对称轴为直线1x =， 如果关于x 的方程082=-+bx ax (a ≠0)的一个根为4，那么 该方程的另一个根为（ ）．A ．4-B ．2-C ．1D ． 3二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 抛物线23y x =+与y 轴的交点坐标为 .10. 如图，在△ABC 中，D ，E 两点分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，如果23=DB AD ，AC =10，那么EC = .11. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，第一象限内的点(,)P x y 与点(2,2)A 在同一个反比例函数的图象上，PC ⊥y 轴于点C ，PD ⊥x 轴于点D ，那么矩形ODPC 的面积等于 .12.如图，直线1y kx n =+(k ≠0)与抛物22y ax bx c =++(a ≠0) 分别交于(1,0)A -，(2,3)B -两点，那么当12y y >时，x 的取值范围是 .13. 如图，⊙O 的半径等于4，如果弦AB 所对的圆心角等于120︒，那么圆心O 到弦AB 的距离等于 .14.2017年9月热播的专题片《辉煌中国——圆梦工程》展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列.在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨BD 的中点为E ，最长的斜拉索CE 长577 m ，记CE 与大桥主梁所夹的锐角CED ∠为α，那么用CE 的长和α的三角函数表示主跨BD 长的表达式应为BD = (m) .15.如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，其中点B 的坐标为(4,0)B ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，CE ∥AB ，并与抛物线的对称轴交于点E .现有下列结论：①0a >；②0b >；③420a b c ++<；④4AD CE +=.其中所有正确结论的序号是 .16. 如图，⊙O 的半径为3，A ，P 两点在⊙O 上，点B 在⊙O 内，4tan 3APB ∠=，AB AP ⊥.如果OB ⊥OP ，那么OB 的长为 .三、解答题（本题共68分，第17－20题每小题5分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分）17．计算：22sin30cos 45tan60︒+︒-︒．18．如图，AB ∥CD ，AC 与BD 的交点为E ，∠ABE=∠ACB ．（1）求证：△ABE ∽△ACB ；（2）如果AB=6，AE=4，求AC ，CD 的长．19．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1C ：22y x x =-+．（1）补全表格：抛物线顶点坐标 与x 轴交点坐标 与y 轴交点坐标22y x x =-+(1,1)(0,0)（2）将抛物线1C 向上平移3个单位得到抛物线2C ，请画出抛物线1C ，2C ，并直接回答：抛物线2C 与x 轴的两交点之间的距离是抛物线1C 与x 轴的两交点之间距离的多少倍．20．在△ABC 中，AB=AC=2，45BAC ∠=︒．将△ABC 绕点A 逆时针旋转α度（0<α<180）得到△ADE ，B ，C 两点的对应点分别为点D ，E ，BD ，CE 所在直线交于点F ． （1）当△ABC 旋转到图1位置时，∠CAD = （用α的代数式表示），BFC ∠的 度数为 ︒；（2）当α=45时，在图2中画出△ADE ，并求此时点A 到直线BE 的距离．21．运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h （m ）与它的飞行时间t （s ）满足二次函数关系，t 与h 的几组对应值如下表所示．t （s ）0 0.5 1 1.5 2 … h （m ）0 8.75 15 18.75 20…（1）求h 与t 之间的函数关系式（不要求写t 的取值范围）； （2）求小球飞行3 s 时的高度；（3）问：小球的飞行高度能否达到22 m ？请说明理由．22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，双曲线k y x =（k ≠0）与直线12y x =的交点为(,1)A a -，(2,)B b 两点，双曲线上一点P 的横坐标为1，直线P A ，PB 与x 轴的交点分别为点M ，N ，连接AN ． （1）直接写出a ，k 的值；（2）求证：PM=PN ，PM PN ⊥．图1 图223．如图，线段BC 长为13，以C 为顶点，CB 为一边的α∠满足5cos 13α=．锐角△ABC 的顶点A 落在α∠的另一边l 上，且 满足4sin 5A =．求△ABC 的高BD 及AB 边的长，并结合你的计算过程画出高BD 及AB 边．（图中提供的单位长度供补全图形使用）24．如图，AB 是半圆的直径，过圆心O 作AB 的垂线，与弦AC 的延长线交于点D ，点E 在OD上，=DCE B ∠∠．（1）求证：CE 是半圆的切线；（2）若CD=10，2tan 3B =，求半圆的半径．25．已知抛物线G ：221y x ax a =-+-（a 为常数）． （1）当3a =时，用配方法求抛物线G 的顶点坐标； （2）若记抛物线G 的顶点坐标为(,)P p q ．①分别用含a 的代数式表示p ，q ；②请在①的基础上继续用含p 的代数式表示q ； ③由①②可得，顶点P 的位置会随着a 的取值变化而变化，但点P 总落在 的图象上． A ．一次函数 B ．反比例函数 C ．二次函数（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G 改为抛物 线H ：22y x ax N =-+（a 为常数），其中N 为含a 的代数式，从而使这个新抛物线H 满足：无论a 取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上．请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H 的函数表达式： （用含a 的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式y kx b =+（k ，b 为常数，k ≠0）中，k= ，b= ．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线M ：2(0)y ax bx c a =++≠经过(1,0)A -，且顶点坐标为(0,1)B ．（1）求抛物线M 的函数表达式；（2）设(,0)F t 为x 轴正半轴．．．上一点，将抛物线M 绕点F 旋转180°得到抛物线1M ． ①抛物线1M 的顶点1B 的坐标为 ；②当抛物线1M 与线段AB 有公共点时，结合函数的图象，求t 的取值范围．27．如图1，在Rt △AOB 中，∠AOB =90°，∠OAB =30°，点C 在线段OB 上，OC =2BC ，AO 边上的一点D 满足∠OCD =30°．将△OCD 绕点O 逆时针旋转α度（90°<α<180°）得到△OC D ''，C ，D 两点的对应点分别为点C '，D '，连接AC '，BD '，取AC '的中点M ，连接OM ． （1）如图2，当C D ''∥AB 时，α= °，此时OM 和BD '之间的位置关系为 ； （2）画图探究线段OM 和BD '之间的位置关系和数量关系，并加以证明．28．在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 两点的坐标分别为(2,2)A ，(2,2)B -．对于给定的线段AB 及点P ，Q ，给出如下定义：若点Q 关于AB 所在直线的对称点Q '落在△ABP 的内部（不含边界），则称点Q 是点P 关于线段AB 的内称点． （1）已知点(4,1)P -．①在1(1,1)Q -，2(1,1)Q 两点中，是点P 关于线段AB 的内称点的是____________； ②若点M 在直线1y x =-上，且点M 是点P 关于线段AB 的内称点，求点M 的横坐标M x 的取值范围；（2）已知点(3,3)C ，⊙C 的半径为r ，点(4,0)D ，若点E 是点D 关于线段AB 的内称点，且满足直线DE 与⊙C 相切，求半径r 的取值范围．北京市西城区2018—2019学年度第一学期期末试卷九年级数学参考答案及评分标准一、选择题（本题共16分，每小题2分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ACABCCDB二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．（0，3）． 10．4． 11．4．12．－1＜x ＜2． 13．2．14．1154cos α（或2CE ·cos α）． 15．②④． 16．1．三、解答题（本题共68分，第17—20题每小题5分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分） 17．解：2sin30°＋cos 245°－tan60°．2122()322=⨯+-（3分）1132=+-（4分）332=-．（5分） 18．（1）证明：如图．∵∠ABE ＝∠ACB ，∠A ＝∠A ， ∴△ABE ∽△ACB ．（2分） （2）解：由（1）得AB AEAC AB=．（3分） ∴AB 2＝AC ·AE ． ∵AB ＝6，AE ＝4，∴29AB AC AE==．（4分） ∵AB ∥CD ，∴△CDE ∽△ABE ．∴CD CE AB AE=．∴()651542AB CE AB AC AECDAE AE⋅⋅-⨯====．（5分）19．解：（1）（0，0），（2，0）．（2分）（2）画图见图．（4分）2倍．（5分）20．解：（1）α－45°，45．（2分）（2）画图如图．（3分）连接BE，设AC与BE交于点G．由题意可知，∠BAC＝∠CAE＝45°，AB＝AC＝AE＝2．∴∠BAE＝90°，AG⊥BE，BG＝EG．∴点A到直线BE的距离即为线段AG的长．（4分）∴2222BE ABAG===．（5分）∴当α＝45°时，点A到直线BE的距离为2．21．解：（1）∵t＝0时，h＝0，∴设h与t的函数关系式为h＝at2＋bt（a≠0）．（1分）∵t＝1时，h＝15；t＝2时，h＝20，∴15,4220.a ba b+=⎧⎨+=⎩（2分）解得5,20.ab=-⎧⎨=⎩（3分）∴h 与t 之间的函数关系式为h ＝－5t 2＋20t ．（4分）（2）小球飞行3秒时，t ＝3（s ），此时h ＝－5×32＋20×3＝15（m ）．（5分）答：此时小球的高度为15m ．（3）方法一：设t （s ）时，小球的飞行高度达到22m ．则－5t 2＋20t ＝22．即5t 2－20t ＋22＝0．∵Δ＝（－20）2－4×5×22＜0，∴此方程无实数根．所以小球的飞行高度不能达到22m ．（6分）方法二：∵h ＝－5t 2＋20t ＝－5（t －2）2＋20，∴小球飞行的最大高度为20m ．∵22＞20，∴小球的飞行高度不能达到22m ．（6分）22．解：（1）a ＝－2，k ＝2．（2分）（2）证明：∵双曲线2y x=上一点P 的横坐标为1． ∴点P 的坐标为P （1，2）．（3分）∴直线PA ，PB 的函数表达式分别为y ＝x ＋1，y ＝－x ＋3．∴直线PA ，PB 与x 轴的交点坐标分别为M （－1，0），N （3，0）． ∴22PM =，22PN =，MN ＝4．（4分）∴PM ＝PN ，（5分）PM 2＋PN 2＝MN 2．∴∠MPN ＝90°．∴PM ⊥PN ．（6分）说明：其他正确的解法相应给分．23．解：如图，作BD ⊥l 于点D ．（1分）∴Rt △CBD 中，∠CDB ＝90°，BC ＝13，5cos cos 13C α==， ∴5cos 13513CD BC C =⋅=⨯=，（2分） 222213512BD BC CD =-=-=．（3分） 在Rt △ABD 中，∠ADB ＝90°，BD ＝12，4sin 5A =，∴12154sin 5BD AB A===．（4分） 1294tan 3BD AD A ===． 作图：以点D 为圆心，9为半径作弧与射线l 交于点A ，连接AB ．（5分）24．（1）证明：如图，连接OC ．∵AB 是半圆的直径，AC 是半圆的弦，∴∠ACB ＝90°．（1分）∵点D 在弦AC 的延长线上，∴∠DCB ＝180°－∠ACB ＝90°．∴∠DCE ＋∠BCE ＝90°．∵OC ＝OB ，∴∠BCO ＝∠B ．∵∠DCE ＝∠B ，∴∠BCO ＋∠BCE ＝90°，即∠OCE ＝90°．（2分）∴CE ⊥OC ．∴CE 是半圆的切线．（3分）（2）解：设半圆的半径长为r ．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，2tan 3B =， 设AC ＝2k ，则BC ＝3k ，2213AB AC BC k =+=． ∴2sin 1313AC B AB ==． ∵OD ⊥AB ，∴∠D ＋∠A ＝90°．∵AB 是半圆的直径．∴∠ACB ＝90°，∠B ＋∠A ＝90°．∴∠D ＝∠B ． ∴2sin sin 1313D B ==． 在Rt △AOD 中，∠AOD ＝90°，2sin 1313D =，又∵CD ＝10， ∴132132(210)13OA k AD k ==+． ∴13k ＝4（2k ＋10）．解得k ＝8．经检验，k ＝8是原方程的解． ∴134132r k ==．（5分） 25．解：（1）当a ＝3时，抛物线G 为y ＝x 2－6x ＋2．∴y ＝x 2－6x ＋2＝x 2－2×3x ＋32－32＋2＝（x －3）2－7．（1分）此时抛物线G 的顶点坐标为（3，－7）．（2分）（2）①y ＝x 2－2ax ＋a －1＝（x 2－2ax ＋a 2）－a 2＋a －1＝（x －a ）2－a 2＋a －1．∵抛物线G 的顶点坐标为P （p ，q ），∴2, 1.p a q a a =⎧⎨=-+-⎩（3分） ②由①得q ＝－p 2＋p －1．（4分）③C ．（5分）（3）答案不唯一，如新抛物线H 的函数表达式为y ＝x 2－2ax ＋a 2＋a ，k ＝1，b ＝0．（6分）26．解：（1）∵抛物线M 的顶点坐标为B （0，1），∴设抛物线M 的函数表达式为y ＝ax 2＋1．（1分）∵抛物线M 经过点A （－1，0），∴a ×（－1）2＋1＝0．解得a ＝－1．（2分）∴抛物线M 的函数表达式为y ＝－x 2＋1．（3分）（2）①B 1（2t ，－1）．（4分）②由题意可知抛物线M 1的顶点B 1的坐标为B 1（2t ，－1），二次项系数为1，∴抛物线M 1的函数表达式为y ＝（x －2t ）2－1（t ＞0）．当抛物线M 1经过点A （－1，0）时（如图），（－1－2t ）2－1＝0．解得t 1＝－1，t 2＝0．当抛物线M 1经过点B （0，1）时（如图），（2t ）2－1＝1． 解得22t =±．结合图象分析，因为t ＞0，所以当抛物线M 1与线段AB 有公共点时，t 的取值范围是202t <≤．（6分）27．解：（1）150．（1分）OM ⊥BD ′．（2分）（2）OM ⊥BD ′，32OM BD '=． 证明：如图，取AO 的中点E ，连接ME ，延长MO 交BD ′于点N ．∵E ，M 分别为AO ，AC ′的中点，∴EM ∥OC ′，2OC EM '=． ∴∠OEM ＋∠AOC ′＝180°．∵∠AOB ＝∠C ′OD ′＝90°，∴∠BOD ′＋∠AOC ′＝180°．∴∠OEM ＝∠BOD ′．①（3分）∵∠OAB ＝∠OC ′D ′＝30°， ∴3232AOEO AO OB OB OC EM OC OD OD ====''''， 即EO EM OB OD ='．②（4分） 由①②得△EOM ∽△OBD ′．（5分）∴∠1＝∠2，322OM EO AO BD OB OB ==='，即32OM BD '=．（6分） ∵点N 是MO 的延长线与BD ′的交点，∠AOB ＝90°，∴∠1＋∠3＝180°－∠AOB ＝90°．∴∠2＋∠3＝90°．∴OM ⊥BD ′．（7分）说明：其他正确的解法相应给分．28．解：（1）①Q 1．（见图）（1分）②如图，点P （4，－1）关于AB 所在直线的对称点为P ′（0，－1），（2分）此时点P ′恰好在直线y ＝x －1上．∵点M 是点P 关于线段AB 的内称点，∴点M 关于AB 所在直线的对称点M ′落在△ABP 的内部（不含边界）．又∵点M 在直线y ＝x －1上，∴点M 应在线段P ′G 上（点G 为线段AB 与直线y ＝x －1的交点），且不与两个端点P ′，G 重合． ∴0＜x M ＜2．（3分）（2）如图．∵点E 是点D 关于线段AB 的内称点，∴点E 关于AB 所在直线的对称点E ′应在△ABD 的内部（不含边界）．∵点D 关于AB 所在直线的对称点为原点O ，∴点E 应在△ABO 的内部（不含边界）．（4分）∵A （2，2），C （3，3），D （4，0）， 可得2AC =，22AD =，10CD =．∴AC 2＋AD 2＝CD 2．∴∠CAD ＝90°．∴AC ⊥AD ．此时直线DA 与以AC 为半径的⊙C 相切，半径2AC =．（5分）当直线DE 与以CD 为半径的⊙C 相切，D 为切点时，⊙C 的半径最大，最大值为10． ∴符合题意的⊙C 的半径r 的取值范围是210r <≤．（7分）。
北京西城区2019年初三上年末考试数学试题及解析
北京西城区2019年初三上年末考试数学试题及解析九年级数学2018.1作图题用下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意旳、 1、抛物线2(2)1y x =-+旳顶点坐标是 A 、(21)， B 、(21)-，C 、(21)-，D 、(21)--，2、如图，⊙O 是△ABC 旳外接圆，假设o 100AOB ∠=，那么∠ACB 旳度数是 A 、40° B 、50° C 、60° D 、80°3、假设两个圆旳半径分别为2和1，圆心距为3，那么这两个圆旳位置关系是A 、内含B 、内切C 、相交D 、外切4、以下图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形旳是 ABCD5、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，假设BC ＝1，AC ＝2，那么sin A 旳值为A B C 、12D 、26、如图，抛物线2y ax bx c =++(0)a ≠旳对称轴为直线12x =-、以下结论中，正确旳选项是 A 、a ＜0B 、当12x <-时，y 随x 旳增大而增大C 、0a b c ++>D 、当12x =-时，y 旳最小值是44c b-7、如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 顶点旳横、纵坐标差不多上整数、假设将△ABC 以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF ，那么旋转中心旳坐标是 A 、(00)， B 、(10)， C 、(11)-， D 、(2.50.5)， 8、假设抛物线()2231y x m m =-+-〔m 是常数〕与直线1y x =+有两个交点，且这两个交点分别在抛物线对称轴旳两侧，那么m 旳取值范围是 A 、2m < B 、2m > C 、94m <D 、94m > 【二】填空题〔此题共16分，每题4分〕9、如图，△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，假设2AD =，3DB =，1DE =，那么BC 旳长是、10、把抛物线2=y x 向右平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线=y 、11、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，BC ＝2、将△ABC 绕点C 逆时针旋转α角后得到△A ′B ′C ，当点A 旳对应点A'落在AB 边上时，旋转角α旳度数是度，阴影部分旳面积为、12、在平面直角坐标系xOy 中，过点(65)A ，作AB ⊥x 轴于点B 、半径为(05)r r <<旳⊙A与AB 交于点C ，过B 点作⊙A 旳切线BD ，切点为D ，连接DC 并延长交x 轴于点E .〔1〕当52r =时，EB 旳长等于；〔2〕点E 旳坐标为〔用含r 旳代数式表示〕、 【三】解答题〔此题共30分，每题5分〕 13、计算：2sin603tan302tan60cos45︒+︒-︒⋅︒、 14、：二次函数23y x bx =+-旳图象通过点(25)A ，、〔1〕求二次函数旳【解析】式；〔2〕求二次函数旳图象与x 轴旳交点坐标；〔3〕将〔1〕中求得旳函数【解析】式用配方法化成2()y x h k =-+旳形式、15、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠A ＝90°，点P 在AD 边上，且PC PB ⊥、假设AB＝6，DC ＝4，PD ＝2，求PB 旳长、 16、列方程或方程组解应用题：“美化都市，改善人民居住环境”是都市建设旳一项重要内容、某市近年来，通过植草、栽树、修建公园等措施，使城区绿地面积不断增加，2017年底该市城区绿地总面积约为75公顷，截止到2018年底，该市城区绿地总面积约为108公顷，求从2017年底至2018年底该市城区绿地总面积旳年平均增长率、 17、如图，为了估算某河旳宽度，在河对岸边选定一个目标点A ，在近岸取点B ，C ，D ，使得AB ⊥BD ，∠ACB ＝45°，∠ADB ＝30°，同时点B ，C ，D 在同一条直线上、假设测得CD ＝30米，求河宽AB 〔结果上，EF ∥AB 、假设EF ＝16，直截了当写出EF 20分，每题5分〕19、设二次函数2143y x x =-+旳图象为C 1、二次函数22(0)y ax bx c a =++≠旳图象与C 1关于y 轴对称、〔1〕求二次函数22y ax bx c =++旳【解析】式； 〔2〕当3x -<≤0时，直截了当写出2y 旳取值范围； 〔3〕设二次函数22(0)y ax bx c a =++≠图象旳顶点为点A ，与y 轴旳交点为点B ，一次函数3y kx m =+(k ，m 为常数，k ≠0)旳图象通过A ，B 两点，当23y y <时，直截了当写出x 旳取值范围、20、如图，在矩形ABCD 中，E 是CD 边上任意一点〔不A B CO与点C ，D 重合〕，作AF ⊥AE 交CB 旳延长线于点F 、 〔1〕求证：△ADE ∽△ABF ；〔2〕连接EF ，M 为EF 旳中点，AB ＝4，AD ＝2，设DE ＝x ， ①求点M 到FC 旳距离〔用含x 旳代数式表示〕；②连接BM ，设2BM y =，求y 与x 之间旳函数关系式，并直截了当写出BM 旳长度旳最小值、21、如图，AB 是⊙O 旳直径，点C 在⊙O 上，连接BC ，AC ，作OD ∥BC 与过点A 旳切线交于点D ，连接DC 并延长交AB 旳延长线于点E 、 〔1〕求证：DE 是⊙O 旳切线；〔2〕假设23CE DE =，求cos ABC ∠旳值、22、阅读下面材料：定义：与圆旳所有切线和割线．．．．．．．问题：⊙O 旳半径为1，画一个⊙O 旳关联图形、在解决这个问题时，小明以O 为原点建立平面直角坐标系xOy 进行探究，他发觉能画出专门多⊙O 旳关联图形，例如：⊙O 本身和图1中旳△ABC 〔它们差不多上封闭旳图形〕，以及图2中以O 为圆心旳〔它是非封闭旳图形〕，它们差不多上⊙O 旳关联图形、而图2中以P ，Q 为端点旳一条曲线就不是⊙O 旳关联图形、 参考小明旳发觉，解决问题：〔1；①⊙O 旳外切正多边形 ②⊙O 旳内接正多边形③⊙O 旳一个半径大于1旳同心圆〔2〕假设图形G 是⊙O 旳关联图形，同时它是封闭旳，那么图形G 旳周长旳最小值是﹏﹏﹏﹏； 〔3〕在图2中，当⊙O 旳关联图形旳弧长最小时，通过D ，E 两点旳直线为y =﹏﹏； 〔4〕请你在备用图中画出一个⊙O 旳关联图形，所画图形旳长度l 小于〔2〕中图形G旳周长旳最小值，并写出l 旳值〔直截了当画出图形，不写作法〕、【五】解答题〔此题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分〕23、：二次函数2314y x mx m =-++〔m 为常数〕、〔1〕假设那个二次函数旳图象与x 轴只有一个公共点A ，且A 点在x 轴旳正半轴上、 ①求m 旳值；②四边形AOBC 是正方形，且点B 在y 轴旳负半轴上，现将那个二次函数旳图象平移，使平移后旳函数图象恰好通过B ，C 两点，求平移后旳图象对应旳函数【解析】式；（DmE（DmE〔2〕当0≤x ≤2时，求函数2314y x mx m =-++旳最小值〔用含m 旳代数式表示〕、24、：△ABC ，△DEF 差不多上等边三角形，M 是BC 与EF 旳中点，连接AD ，BE .〔1〕如图1，当EF 与BC 在同一条直线上时，直截了当写出AD 与BE 旳数量关系和位置关系； 〔2〕△ABC 固定不动，将图1中旳△DEF 绕点M 顺时针旋转α〔o 0≤α≤o 90〕角，如图2所示，推断〔1〕中旳结论是否仍然成立，假设成立，请加以证明；假设不成立，说明理由；〔3〕△ABC 固定不动，将图1中旳△DEF 绕点M 旋转α〔o 0≤α≤o 90〕角，作DH ⊥BC于点H 、设BH ＝x ，线段AB ，BE ，ED ，DA 所围成旳图形面积为S 、当AB ＝6，DE ＝2时，求S 关于x 旳函数关系式，并写出相应旳x 旳取值范围、25、：二次函数224y ax ax =+-(0)a ≠旳图象与x 轴交于点A ，B 〔A 点在B 点旳左侧〕，与y 轴交于点C ，△ABC 旳面积为12、〔1〕①填空：二次函数图象旳对称轴为； ②求二次函数旳【解析】式； 〔2〕点D 旳坐标为〔－2，1〕，点P 在二次函数图象上，∠ADP 为锐角，且tan 2ADP ∠=，求点P 旳横坐标； 〔3〕点E 在x 轴旳正半轴上，o 45OCE ∠>，点O 与点O '关于EC 所在直线对称、作ON⊥EO '于点N ，交EC 于点M 、假设EM ·EC ＝32，求点E 旳坐标、北京市西城区2018-2018学年度第一学期期末九年级数学试卷参考【答案】及评分标准2018.1【三】解答题〔此题共30分，每题5分〕13、解：2sin603tan302tan60cos45︒+︒-︒⋅︒、2322=- ......................................... 4分= ....................................................... 5分14、解：〔1〕∵二次函数23y x bx =+-旳图象通过点A (2，5)，∴4235b +-=、 ............................................. 1分 ∴2b =、∴二次函数旳【解析】式为223y x x =+-、 ...................... 2分 〔2〕令0y =，那么有2230x x +-=、解得13x =-，21x =、∴二次函数旳图象与x 轴旳交点坐标为(3,0)-和(1,0)、 ............. 4分 〔3〕223y x x =+-2(21)4x x =++-2(1)4x =+-、 .............................................. 5分15、解：∵在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A =90°，∴∠D =90°、∴90DCP DPC ∠+∠=︒、 ∵PC PB ⊥，∴∠BPC =90°，90DPC APB ∠+∠=︒、 ∴∠DCP =∠APB 、 ......................... 2分 ∴t an an t DCP APB =∠∠、 在Rt △PCD 中，CD =2，PD =4， ∴1tan 2PD DCP CD ∠==、在Rt △PBA 中，AB =6， ∴tan AB APB PA∠=、∴162PA =、 ∴12PA =、 ....................................................... 4分5分16x 、 .... 1分依题意，得75(1)108x +=、 ............................................ 2分整理，得236(1)25x +=、 ................................................. 3分 615x +=±、解得x 1=0.2=20%，x 2=－2.2〔舍去〕、 ..................................... 4分 答：从2017年底至2018年底该市城区绿地总面积旳年平均增长率是20%、 .... 5分 17、解：设河宽AB 为x 米、 ................................................ 1分∵AB ⊥BC ，AC B 〔2〕2或14、 .................................................... 5分【四】解答题〔此题共20分，每题5分〕 19、解：〔1〕二次函数2143y x x =-+图象旳顶点(2,1)-关于y 轴旳对称点坐标为(2,1)--，······················· 1分∴所求旳二次函数旳【解析】式为22(2)1y x =+-， ········ 2分即2243y x x =++、〔2〕1-≤2y ≤3、 ·························· 4分 〔3〕20x -<<、 ··························· 5分 20、〔1〕证明：∵在矩形ABCD 中，∠DAB =∠ABC =∠C =∠D =90°、∴90ABF D ∠=∠=︒、 ∵AF ⊥AE ，∴∠EAF =90DAE EAB DAB ∠+∠=∠=︒、 ∴90BAE BAF ∠+∠=︒、 ∴∠DAE =∠BAF 、∴△ADE ∽△ABF 、 ···················· 2分〔2〕解：①如图，取FC 旳中点H ，连接MH 、∵M 为EF 旳中点，∴MH ∥DC ，12MH EC =、∵在矩形ABCD 中，∠C =90°，∴MH ⊥FC ，即MH 是点M 到FC 旳距离、 ∵DE =x ，DC =AB =4、 ∴EC =4x -，H MDFA ECB∴12MH EC =122x =-、 即点M 到FC 旳距离为MH 122x =-、 ...........................3分 ②∵△ADE ∽△ABF ，∴DE BF AD AB =、 ∴24x BF =、 ∴2BF x =，FC =22x +，FH =CH =1x +、 ∴1HB BF HF x =-=-、 ∵122MH x =-， ∴在Rt △MHB 中，222221(2)(1)2MB BH MH x x =+=-+-25454x x =-+、 ∴25454y x x =-+〔04x <<〕， .............................. 4分当85x =时，BM 长旳最小值是、 .......................... 5分21、〔1〕证明：如图，连接OC 、∵AD 是过点A 旳切线，AB 是⊙O 旳直径， ∴AD ⊥AB ， ∴∠DAB =90°、 ∵OD ∥BC ，∴∠DOC =∠OCB ，∠AOD =∠ABC 、 ∵OC =OB ，∴∠OCB =∠ABC 、 ∴∠DOC =∠AOD 、在△COD 和△AOD 中， OC =OA ，∠DOC =∠AOD ， OD =OD ，∴△COD ≌△AOD 、 .................................................. 1分 ∴∠OCD=∠DAB =90°、 ∴OC ⊥DE 于点C 、 ∵OC 是⊙O 旳半径， ∴DE 是⊙O 旳切线、 ................................................ 2分〔2〕解：由23CE DE =，可设2(0)CE k k =>，那么3DE k =、................... 3分 ∴AD DC k ==、∴在Rt △DAE 中，AE =、∴tan E =AD AE =∵在Rt △OCE 中，tan 2OC OCE CE k==、2OC k=，∴OC OA ==∴在Rt △AOD中，OD 、.. ....................... 4分∴cos cos OA ABC AOD OD ∠=∠=、.. ............................... 5分 22、解：〔1〕①③； ..... 2分〔2〕2π； ...... 3分〔3〕x -- . 4分〔4〕【答案】不唯一，所画图形是非封闭旳，长度l 满足2π+≤l ＜2π、 例如：在图1中l 2=π+，在图2中l =6、 .... 5分阅卷说明：在〔1〕中，只填写一个结果得1分，有错误结果不得分；在〔4〕中画图正确且图形长度都正确得1分，否那么得0分、【五】解答题〔此题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分〕23、解：〔1〕①∵二次函数2314y x mx m =-++旳图象与x 轴只有一个公共点A ，∴∆2341(1)04m m =-⨯⨯+=、 .................................. 1分整理，得2340m m --=、 解得，14m =，21m =-、 又点A 在x 轴旳正半轴上， ∴0m >、 ∴m =4、 ....................................................... 2分 ②由①得点A 旳坐标为(20)，、∵四边形AOBC 是正方形，点B 在y 轴旳负半轴上， ∴点B 旳坐标为(02)-，，点C 旳坐标为(22)-，、 .................... 3分设平移后旳图象对应旳函数【解析】式为2y x bx c =++(b ，c 为常数)、 ∴2,42 2.c b c =-⎧⎨++=-⎩解得2,2.b c =-⎧⎨=-⎩∴平移后旳图象对应旳函数【解析】式为222y x x =--、 ............. 4分〔２〕函数2314y x mx m =-++旳图象是顶点为23(,1)244m m m -++，且开口向上旳抛物线、分三种情况：(ⅰ)当02m<，即0m <时，函数在0≤x ≤2内y 随x 旳增大而增大，现在函数旳最小值为314m +；(ⅱ)当0≤2m≤2，即0≤m ≤4时，函数旳最小值为23144m m -++；(ⅲ)当22m>，即4m >时，函数在0≤x ≤2内y 随x 旳增大而减小，现在函数旳图1 图2最小值为554m -+、综上，当0m <时，函数2314y x mx m =-++旳最小值为314m +；当04m ≤≤时，函数2314y x mx m =-++旳最小值为23144m m -++；当4m >时，函数2314y x mx m =-++旳最小值为554m -+、 ............. 7分24、〔1〕ADBE=，AD BE ⊥、............................................ 2分 〔2〕证明：连接DM ，AM 、在等边三角形ABC 中，M 为BC 旳中点，∴AM BC ⊥，1302BAM BAC ∠=∠=︒，AMBM=∴90BME EMA ∠+∠=︒、同理，DMEM =90AMD EMA ∠+∠=︒、∴AM DM BM EM=，AMD BME ∠=∠、 ·· 3分 ∴△ADM ∽△BEM 、 ∴AD DM BE EM= ........................................ 4分 延长BE 交AM 于点G ，交AD 于点K 、 ∴MAD MBE ∠=∠，BGM AGK ∠=∠、 ∴90GKA AMB ∠=∠=︒、 ∴AD BE ⊥、 .............................................. 5分〔3〕解：(ⅰ)当△DEF 绕点M 顺时针旋转α(o 0≤α≤o 90)∵△ADM ∽△BEM ， ∴2()3ADM BEM S AD S BE∆∆==、 ∴13BEM ADM S S ∆∆=∴ABM ADM BEM DEM S S S S S ∆∆∆∆=+--23ABM ADM DEM S S S ∆∆∆=+-121133)12322x =⨯⨯⨯⨯--⨯ =+∴S =〔3≤x ≤3+〕、 .............................. 6分 (ⅱ)当△DEF 绕点M 逆时针旋转α(o 0≤α≤o 90)角时，可证△ADM ∽△BEM ， ∴21()3BEM ADM S BM S AM ∆∆==、 ∴13BEM ADM S S ∆∆=、∴ABM BEM ADM DEM S S S S S ∆∆∆∆=+--23ABM ADM DEM S S S ∆∆∆=--21)32x =⨯⨯-=∴S =(3-≤x ≤3)、综上，S +(3x ≤3+、 .......................... 7分25、解：〔11分.............. 2分〔2〕如图，作(ⅰ)在Rt △ADF 中，o 90AFD ∠=，得tan 2ADF DF∠==、延长DF 与抛物线交于点P 1，那么P 1点为所求、 ∴点P 1旳坐标为(24)--，、 .................................... 3分 (ⅱ)当点P 在直线AD 旳上方时，延长P 1A 至点G 使得AG =AP 1，连接DG ，作GH⊥x 轴于点H ，如下图、 可证△GHA ≌△1PFA 、 ∴HA =AF ，GH =P 1F ，GA =P 1A 、 又∵(40)A -，，1(2P --，∴点G 旳坐标是(64)-，、在△ADP 1中，DA =DP 1＝５，1AP =，∴22211DA AP DP +=、∴1o 90DAP ∠=、∴DA ⊥1GP 、 ∴1DG DP =、 ∴1ADG ADP ∠=∠、∴1tan tan ADG ADP ∠=∠=P 点为所求、作DK 2S ∥GK 交DK 于点S 、设P 24)x +-，那么222141522S x x x x P =+--=+-，2DS x =--、由2P S DS =，3GK =，4DK =，得215224x x x +---=、 综5分 〔3o 90=、6分 ∴CT MT =、∵在Rt △ETO 中，o 90ETO ∠=，cos ET OEC OE∠=， 在Rt △COE 中，o 90COE ∠=，cos OE OEC EC∠=， ∴OE ET EC OE=、 ∴2OE ET EC =⋅()EM TM EC =+⋅EM EC TM EC =⋅+⋅32TM EC =+⋅、同理2OC CT EC =⋅TM EC =⋅16=、∴2321648OE =+=、∵0OE >，∴OE =，....................................... 8分。
北京市西城区九级第一学期期末数学试题(含答案)
北京市西城区2018— 2018学年度第一学期期末试卷九年级数学 2018.1一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．二次函数()257y x =-+的最小值是 A ．7- B ．7 C ．5-D ．52．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =4，则cos A 的值为A ．35B ．53C ．45D ．343．如图，⊙C 与∠AOB 的两边分别相切，其中OA 边与⊙C 相切于点P ．若∠AOB =90°，OP =6，则OC 的长为A ．12B ．C ．．4．将二次函数265y x x =-+用配方法化成2()y x h k =-+的形式，下列结果中正确的是 A ．2(6)5y x =-+ B ．2(3)5y x =-+C ．2(3)4y x =--D ．2(3)9y x =+-5．若一个扇形的半径是18cm ，且它的弧长是12π cm ，则此扇形的圆心角等于 A ．30° B ．60° C ．90°D ．120°6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(1-，2)，AB ⊥x 轴于点B ．以原点O 为位似中心，将△OAB 放大为 原来的2倍，得到△OA 1B 1，且点A 1在第二象限，则点A 1 的坐标为 A ．(2-，4)B ．(12-，1)C ．(2，4-)D ．(2，4)7．如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东37°方向，距离灯塔40 海里的A 处，它沿正北方向航行一段时间后， 到达位于灯塔P 的正东方向上的B 处．这时，B 处与 灯塔P 的距离BP 的长可以表示为 A ．40海里B ．40tan37°海里C ．40cos37°海里D ．40sin37°海里8．如图，A ，B ，C 三点在已知的圆上，在△ABC 中， ∠ABC =70°，∠ACB =30°，D 是 的中点， 连接DB ，DC ，则∠DBC 的度数为 A ．30° B ．45° C ．50°D ．70°9．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x 元后，每星期售出商品的总销售额为y 元，则y 与x 的关系式为A ．60(30020)y x =+B ．(60)(30020)y x x =-+ C．300(6020)y x =- D ．(60)(30020)y x x =--10．二次函数228y x x m =-+满足以下条件：当21x -<<-时，它的图象位于x 轴的下方；当67x <<时，它的图象位于x 轴的上方，则m 的值为 A ．8 B ．10- C ．42-D ．24-二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．若34a b =，则a bb+的值为． 12．点A (3-，1y )，B (2，2y )在抛物线25y x x =-上，则1y 2y ．（填“>”，“<”或“=”）13．△ABC 的三边长分别为5，12，13，与它相似的△DEF 的最小边长为15，则△DEF 的周长为．14．如图，线段AB 和射线AC 交于点A ，∠A =30°，AB =20．点D 在射线AC 上，且∠ADB 是钝角，写出一个满足条件 的AD 的长度值：AD =．15．程大位所著《算法统宗》是一部中国传统数学重要的著作．在《算法统宗》中记载：“平地秋千未起，踏板离地一尺．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？” 【注释】1步=5尺． 译文：“当秋千静止时，秋千上的踏板离地有1尺高，如将秋千的踏板往前推动两步（10尺）时，踏板就和人一样高，已知这个人身高是5尺．美丽的姑娘和才子们，每天都来争荡秋千，欢声笑语终日不断．好奇的能工巧匠，能算出这秋千的绳索长是多少吗？”如图，假设秋千的绳索长始终保持直线状态，OA 是秋千的静止状态，A 是踏板，CD 是地面，点B 是推动两步后踏板的位置，弧AB是踏板移动的轨迹．已知AC =1尺，CD =EB =10尺，人的身高BD =5尺．设绳索长OA =OB =x 尺，则可列方程为． BAC16．阅读下面材料：在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：小敏的作法如下：老师认为小敏的作法正确．请回答：连接OA ，OB 后，可证∠OAP =∠OBP =90°，其依据是；由此可证明直线P A ，PB 都是⊙O 的切线，其依据是．三、解答题（本题共72分，第17﹣26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．计算：24cos30tan60sin 45︒⋅︒-︒．18．如图，△ABC 中，AB =12，BC =15，AD ⊥BC 于点D ，∠BAD 求tan C 的值．19．已知抛物线223y x x =-++与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 的左侧．（1）求A ，B 两点的坐标和此抛物线的对称轴；（2）设此抛物线的顶点为C ，点D 与点C 关于x 轴对称，求四边形ACBD 的面积．20．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =∠BDC ．（2）若AB =12，AD =8，CD =15，求DB 的长．21．某小区有一块长21M ，宽8M 的矩形空地，如图所示．社区计划在其中修建两块完全相同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都留有宽度为x M 的人行通道．如果这两块绿地的面积之和为60平方M ，人行通道的宽度应是多少M ？22．已知抛物线1C ：2124y x x k =-+与x 轴只有一个公共点．（1）求k 的值；（2）怎样平移抛物线1C 就可以得到抛物线2C ：222(1)4y x k =+-？请写出具体的平移方法；（3）若点A （1，t ）和点B （m ，n ）都在抛物线2C ：222(1)4y x k =+-上，且n t <，直接写出m 的取值范围．23．如图，AB 是⊙O 的一条弦，且AB =C ，E 分别在⊙O 上，且OC ⊥AB 于点D ，∠E =30°，连接OA ． （1）求OA 的长；（2）若AF 是⊙O 的另一条弦，且点O 到AF 的距离为直接写出∠BAF 的度数．24．奥林匹克公园观光塔由五座高度不等、错落有致的独立塔组成．在综合实践活动课中，某小组的同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔的高度（测角仪高度忽略不计）．他们的操作方法如下：如图，他们先在B 处测得最高塔塔顶A 的仰角为45°，然后向最高塔的塔基直行90M 到达C 处，再次测得最高塔塔顶A 的仰角为58°．请帮助他们计算出最高塔的高度AD 约为多少M ．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）25．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径．PC 是⊙O 的切线，C 为切点，PD ⊥AB 于点D ，交AC 于点E ．（1）求证：∠PCE =∠PEC ； （2）若AB =10，ED =3，sin A =3，求PC 的长．26．阅读下面材料：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线1y ax b =+双曲线2ky x=交于A （1，3）和B （3-，1-）两点． 观察图象可知：①当3x =-或1时，12y y =； ②当30x -<<或1x >时，12y y >，即通过观察函 数的图象，可以得到不等式kax b x+>的解集． 有这样一个问题：求不等式32440x x x +-->的解集．某同学根据学习以上知识的经验，对求不等式32440x x x +-->的解集进行了探究． 下面是他的探究过程，请将（2）、（3）、（4）补充完整： （1）将不等式按条件进行转化 当0x =时，原不等式不成立；当0x >时，原不等式可以转化为2441x x x +->； 当0x <时，原不等式可以转化为2441x x x+-<；（2）构造函数，画出图象设2341y x x =+-，44y x=中分别画出这两个函数的图象．双曲线44y x=如图2所示，请在此坐标系中 画出抛物线．．．．．2341y x x =+-；（不用列表）（3）确定两个函数图象公共点的横坐标观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解读式验证可知：满足34y y =的所有x 的值为；（4）借助图象，写出解集结合（1）的讨论结果，观察两个函数的图象可知：不等式32440x x x +-->的解集为．27．如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数212y x bx c =-++的图象经过点A （1，0），且当0x =和5x =时所对应的函数值相等．一次函数3y x =-+与二次函数212y x bx c =-++的图象分别交于B ，C 两点，点B 在第一象限．（1）求二次函数21y x bx c =-++的表达式；（2（328．在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC = 4，M 为AB 的中点．D 是射线BC 上一个动点，连接AD ，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AE ，连接ED ，N 为ED 的中点，连接AN ，MN ．（1）如图1，当BD =2时，AN =_______，NM 与AB 的位置关系是____________； （2）当4<BD <8时，①依题意补全图2；②判断（1）中NM 与AB 的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；（3）连接ME ，在点D 运动的过程中，当BD 的长为何值时，ME 的长最小？最小值是多少？请直接写出结果．图1 图2 备用图29．在平面直角坐标系xOy中，过⊙C上一点P作⊙C的切线l．当入射光线照射在点P处时，产生反射，且满足：反射光线与切线l的夹角和入射光线与切线l的夹角相等，点P 称为反射点．规定：光线不能“穿过”⊙C，即当入射光线在⊙C外时，只在圆外进行反射；当入射光线在⊙C内时，只在圆内进行反射．特别地，圆的切线不能作为入射光线和反射光线．光线在⊙C外反射的示意图如图1所示，其中∠1=∠2．图1 图2 图3（1）自⊙C内一点出发的入射光线经⊙C第一次反射后的示意图如图2所示，P1是第1个反射点．请在图2中作出光线经⊙C第二次反射后的反射光线；（2）当⊙O的半径为1时，如图3，①第一象限内的一条入射光线平行于x轴，且自⊙O的外部照射在其上点P处，此光线经⊙O反射后，反射光线与y轴平行，则反射光线与切线l的夹角为__________°；，0)出发的入射光线，在⊙O内不断地反射．若第1个反射点P1在②自点A(1第二象限，且第12个反射点P12与点A重合，则第1个反射点P1的坐标为______________；（3）如图4，点M的坐标为(0，2)，⊙M的半径为1．第一象限内自点O出发的入射光线经⊙M反射后，反射光线与坐标轴无公共点，求反射点P的纵坐标的取值范围．图4北京市西城区2018— 2018学年度第一学期期末试卷九年级数学参考答案及评分标准2018.1一、选择题（本题共30分，每小题3分）三、解答题（本题共72分，第17﹣26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．解：原式=24………………………………………………………3分=162-=112．…………………………………………………………………………5分18．解：∵AD⊥BC于点D，∴∠ADB=∠ADC=90°．∵在Rt△ABD中，AB=12，∠BAD=30°，∴BD=12AB=6，…………………………………1分AD=AB·cos∠BAD =12·cos30°=2分∵BC=15，∴CD= BC－BD=15－6=9．………………………………………………………3分∴在Rt△ADC中，tan C=ADCD……………………………………………………4分=9=3．………………………………………5分19．解：（1）令0=y ，则2230x x -++=．解得 11-=x ，32=x ．………………………………………………………1分 ∵点A 在点B 的左侧，∴A （1-，0），B （3，0）．…………………………………………………2分 对称轴为直线1=x ．…………………………………………………………3分 （2）∵当1x =时，4=y ，∴顶点C 的坐标为（1，4）．…………………………………………………4分∵点C ，D 关于x 轴对称，∴点D 的坐标为（1，4-）．∵AB =4，∴=ACB DCB ACBD S S S ∆∆+四边形1442162=⨯⨯⨯=．………………………………5分20．（1）证明：∵AD ∥BC ，∴∠ADB=∠DBC ．……………………1分 ∵∠A =∠BDC ，∴△ABD ∽△DCB ．……………………3分（2）解：∵△ABD ∽△DCB ，∴AB ADDC DB=．…………………………………………………………4分 ∵AB =12，AD =8，CD =15， ∴12815DB=． ∴DB =10．………………………………………………………………5分21．解：根据题意，得 (213)(82)60x x --=．…………………………………………2分整理得 211180x x -+=．解得 12x =，29x =．…………………………………………………………3分 ∵9x =不符合题意，舍去，∴2x =．……………………………………………………………………………4分答：人行通道的宽度是2M ．……………………………………………………5分 22．解：（1）∵抛物线1C ：2124y x x k =-+与x 轴有且只有一个公共点，∴方程2240x x k -+=有两个相等的实数根．∴2(4)420k ∆=--⨯=．……………………………………………………1分 解得 2k =．…………………………………………………………………2分（2）∵抛物线1C ：21242y x x =-+22(1)x =-，顶点坐标为（1，0），抛物线2C ：222(1)8y x =+-的顶点坐标为（-1，-8）， ………………3分∴将抛物线1C 向左平移2个单位长度，再向下平移8个单位长度就可以得到抛物线2C ．…………………………………………………………………4分（3）31m -<<．……………………………………………………………………5分 23．解：（1）∵OC ⊥AB 于点D ，∴AD =DB ， ……………………………………1分∠ADO =90°．∵AB =∴AD =∵∠AOD =2∠E ，∠E =30°，∴∠AOD =60°．………………………………………………………………2分∵在Rt △AOD 中，， ∴OA =︒=∠60sin 32sin AOD AD =4．………………………………………………3分 （2）∠BAF =75°或15°．……………………………………………………………5分24．解：（1）∵在Rt △ADB 中，∠ADB =90°，∠B =45°，∴∠BAD =90°—∠B =45°． ∴∠BAD =∠B ．∴AD =DB ．……………………………1分 设AD =x ，∵在Rt △ADC 中，tan ∠ACD =ADDC，∠ACD =58°， ∴DC =tan 58x．………………………………………………………………3分∵DB = DC + CB =AD ，CB =90，∴tan 58x+90=x ．……………………………………………………………4分将tan58°≈1.60代入方程，解得x ≈240．…………………………………………………………………5分答：最高塔的高度AD 约为240M ．25．（1）证明：连接OC ，如图1．∵ PC 是⊙O 的切线，C 为切点，∴OC ⊥PC ．……………………………1分∴∠PCO =∠1+∠2=90°．∵PD ⊥AB 于点D ，∴∠EDA =90°．∴∠A +∠3=90°．∵OA =OC ，∴∠A =∠1．∴∠2=∠3．∵∠3=∠4，∴∠2=∠4．即∠PCE =∠PEC ．…………………………………………………………2分（2）解：作PF ⊥EC 于点F ，如图2．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°．∵在Rt △ABC 中，AB =10，3sin 5A =， ∴BC =AB ·sin A =6．∴AC =22BC AB -=8．………………………………………………………3分∵在Rt △AED 中，ED =32， ∴AE =sin ED A =52． ∴EC=AC －AE =112． ∵∠2=∠4，∴PE=PC ．∵PF ⊥EC 于点F ，∴FC=124分 ∠PFC =90°．图1 图2∴∠2+∠5=90°．∵∠A +∠2=∠1+∠2=90°．∴∠A =∠5．∴sin ∠5 =35． ∴在Rt △PFC 中，PC =sin 5FC ∠=1255．……………………………………5分26．解：（2）抛物线如图所示； ……………………1分（3）x =4-，1-或1； ……………………3分（4）41x -<<-或1x >．……………………5分27．解：（1）∵二次函数212y x bx c =-++， 当0x =和5x =时所对应的函数值相等， ∴二次函数212y x bx c =-++的图象的对称 轴是直线52x =． ∵二次函数212y x bx c =-++的图象经过点A （1，0）， ∴10,25.2b c b ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=⎪⎩……………………………………………………………1分 解得 2,5.2c b =-⎧⎪⎨=⎪⎩∴二次函数的表达式为215222y x x =-+-．………………………………2分 （2）过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，如图1．∵一次函数3y x =-+与二次函数212y x bx c =-++的图象分别交于B ，C 两点， ∴2153222x x x -+=-+-． 解得 12x =，25x =．………………3分∴交点坐标为（2，1），（5，2-）．∵点B 在第一象限，∴点B 的坐标为（2，1）．∴点D 的坐标为（2，0）．在Rt △ABD 中，AD =1，BD =1，∴AB 2．…………………………………………………4分（3）结论：四边形ABCN 的形状是矩形．………………………………………5分证明：设一次函数3y x =-+的图象与x 轴交于点E ，连接MB ，MN ，如图2．∵点B 绕点M 旋转∴M 是线段BN 的中点．∴MB = MN ．∵M 是线段AC 的中点，∴MA = MC．∴四边形ABCN 是平行四边形．……∵一次函数3y x =-+ 当0y =时，3x =．∴点E 的坐标为（3，0）．∴DE =1= DB ．∴在Rt △BDE 中，∠DBE =∠DEB =45°．同理∠DAB =∠DBA =45°．∴∠ABE =∠DBA +∠DBE =90°．∴四边形ABCN 是矩形．……………………………………………7分28．解：（1 …………………………2分（2）①补全图形如图所示； ………………3分②结论：（1）中NM 与AB 的位置关系不变．证明：∵∠ACB =90°，AC =BC ，∴∠CAB =∠B =45°．∴∠CAN +∠NAM =45°．∵AD 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AE ，∴AD =AE ，∠DAE =90°．∵N 为ED 的中点，∴∠DAN =12∠DAE =45°， AN ⊥DE ． ∴∠CAN +∠DAC =45°，∠AND =90°．∴∠NAM =∠DAC ．………………………………………………4分在Rt △AND 中，AN AD =cos ∠DAN在Rt △ACB 中，AC AB =cos ∠CAB∵M 为AB 的中点， ∴AB =2AM． ∴22AC AC AB AM ==∴AM AC ． ∴AN AD =AM AC． ∴△ANM ∽△ADC ．∴∠AMN =∠ACD ．∵点D 在线段BC 的延长线上， ∴∠ACD =180°－∠ACB =90°．∴∠AMN =90°． ∴NM ⊥AB ．………………………………………………………5分（3）当BD 的长为 6 时，7分29．解：（1）所得图形，如图1所示．……………………1分（2）①45°； ………………………………………3分②(，12)或(12-)； ……………5分 （3）①如图2，直线OQ 与⊙M 相切于点Q ，点Q 在第一象限，连接MQ ，过点Q 作QH ⊥x 轴于点H ．∵直线OQ 与⊙M 相切于点Q ，∴MQ ⊥OQ ．∴∠MQO =90°．∵MO =2，MQ =1， ∴在Rt △MQO 中，sin ∠MOQ=21=MO MQ ． ∴∠MOQ =30°．M Q∴OQ =OM ﹒cos ∠MOQ =3．∵QH ⊥x 轴，∴∠QHO =90°．∵∠QOH =90°-∠MOQ =60°，∴在Rt △QOH 中，QH = OQ ﹒sin ∠QOH =23．…………………………6分 ②如图3，当反射光线PN 与坐标轴平行时，连接MP 并延长交x 轴于点D ，过点P 作PE ⊥OD 于点E ，过点O 作OF ⊥PD 于点F ．∵直线l 是⊙M 的切线，∴MD ⊥l ．∴∠1+∠OPD =∠2+∠NPD =90°．∵∠1=∠2，∴∠OPD =∠NPD ．∵PN ∥x 轴，∴∠NPD =∠PDO ．∴∠OPD =∠PDO ．∴OP =OD ．∵OF ⊥PD ，∴∠MFO =90°，PF =FD ．∵cos OMF ∠=MFMOMO MD =，设PF =FD =x ，而MO =2，MP =1， ∴12212x x +=+．解得x =∵0x >，∴34x -+=．∵PE ⊥OD ，∴∠PED =90°=∠MOD ．∴PE ∥MO ．∴∠EPD =∠OMF ．∴cos ∠EPD = cos ∠OMF ． ∴MO MFPD PE=． ∴PD MO MFPE ⋅= =122xx +⋅(1)x x =+=158-．…………………………………………………………7分． 可知，当反射点P 从②中的位置开始，在⊙M 上沿逆时针方向运动，到与①中的点Q 重合之前，都满足反射光线与坐标轴无公共点，所以反射点P 的纵坐标的取值范围是15382P y <．………………………………8分。
【推荐】2019秋北京市西城区九年级上册期末考试数学试题有答案.doc
北京市西城区第一学期期末试卷九年级数学一、选择题（本题共16分，每小题2分）1. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，如果AC =3，AB =5，那么sin B 等于（ ）．A .35B . 45C . 34D . 432.点1(1,)A y ，2(3,)B y 是反比例函数6y x=-图象上的两点，那么1y ，2y 的大小关系是（ ）． A .12y y > B .12y y = C .12y y < D .不能确定 3.抛物线2(4)5y x =--的顶点坐标和开口方向分别是（ ）. A .(4,5)-，开口向上 B .(4,5)-，开口向下 C .(4,5)--，开口向上 D .(4,5)--，开口向下 4.圆心角为60︒，且半径为12的扇形的面积等于（ ）. A .48π B .24π C .4π D .2π5.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，如果∠ACD =34°，那么∠BAD 等于（ ）． A ．34°B ．46°C ．56°D ．66°6.如果函数24y x x m =+-的图象与轴有公共点，那么m 的取值范围是（ ）. A .m ≤4 B .<4m C . m ≥4- D .>4m -7.如图，点P 在△ABC 的边AC 上，如果添加一个条件后可以得到△ABP ∽△ACB ，那么以下添加的条件中，不．正确的是（ ）． A ．∠ABP =∠C B ．∠APB =∠ABC C ．2AB AP AC =⋅ D ．AB ACBP CB=8.如图，抛物线32++=bx ax y (a ≠0)的对称轴为直线1x =，如果关于的方程082=-+bx ax (a ≠0)的一个根为4，那么该方程的另一个根为（ ）．A ．4-B ．2-C ．1D ． 3二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 抛物线23y x =+与y 轴的交点坐标为 .10. 如图，在△ABC 中，D ，E 两点分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ， 如果23=DB AD ，AC =10，那么EC = .11. 如图，在平面直角坐标系Oy 中，第一象限内的点(,)P x y与点(2,2)A 在同一个反比例函数的图象上，PC ⊥y 轴于 点C ，PD ⊥轴于点D ，那么矩形ODPC 的面积等于 .12.如图，直线1y kx n =+(≠0)与抛物22y ax bx c =++(a ≠0) 分别交于(1,0)A -，(2,3)B -两点，那么当12y y >时，的 取值范围是 .13. 如图，⊙O 的半径等于4，如果弦AB 所对的圆心角等于120︒，那么圆心O 到弦AB 的距离等于 .14.2017年9月热播的专题片《辉煌中国——圆梦工程》展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列.在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨BD 的中点为E ，最长的斜拉索CE 长577 m ，记CE 与大桥主梁所夹的锐角CED ∠为α，那么用CE 的长和α的三角函数表示主跨BD 长的表达式应为BD = (m) .15.如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与y 轴交于点C ，与轴 交于A ，B 两点，其中点B 的坐标为(4,0)B ，抛物线的对称轴交 轴于点D ，CE ∥AB ，并与抛物线的对称轴交于点E .现有下列结论： ①0a >；②0b >；③420a b c ++<；④4AD CE +=.其中所有正确结论的序号是 .16. 如图，⊙O 的半径为3，A ，P 两点在⊙O 上，点B 在⊙O 内， 4tan 3APB ∠=，AB AP ⊥.如果OB ⊥OP ，那么OB 的长为 .三、解答题（本题共68分，第17－20题每小题5分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分） 17．计算：22sin30cos 45tan60︒+︒-︒．18．如图，AB ∥CD ，AC 与BD 的交点为E ，∠ABE=∠ACB ．（1）求证：△ABE ∽△ACB ；（2）如果AB=6，AE=4，求AC ，CD 的长．19．在平面直角坐标系Oy 中，抛物线1C ：22y x x =-+．（1）补全表格：（2）将抛物线1C 向上平移3个单位得到抛物线2，请画出抛物线1，2，并直接 回答：抛物线2C 与x 轴的两交点之间的距离是抛物线1C 与x 轴的两交点之间 距离的多少倍．20．在△ABC 中，AB=AC=2，45BAC ∠=︒．将△ABC 绕点A 逆时针旋转α度（0<α<180）得到△ADE ，B ，C 两点的对应点分别为点D ，E ，BD ，CE 所在直线交于点F ．（1）当△ABC 旋转到图1位置时，∠CAD = （用α的代数式表示），BFC ∠的 度数为 ︒；（2）当α=45时，在图2中画出△ADE ，并求此时点A 到直线BE 的距离．21．运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h （m ）与它的飞行时间t （s ）满足二次函数关系，t 与h 的几组对应值如下表所示．t （s ） 0 h （m ）8.75（2）求小球飞行3 s 时的高度；（3）问：小球的飞行高度能否达到22 m ？请说明理由．22．如图，在平面直角坐标系Oy 中，双曲线k y x =（≠0）与直线12y x=的交点为(,1)A a -，(2,)B b 两点，双曲线上一点P 的横坐标为1，直线P A ，PB 与轴的交点分别为点M ，N ，连接AN ． （1）直接写出a ，的值；（2）求证：PM=PN ，PM PN ⊥．23．如图，线段BC 长为13，以C 为顶点，CB 为一边的α∠满足5cos 13α=．锐角△ABC 的顶点A 落在α∠的另一边l 上，且 满足4sin 5A =．求△ABC 的高BD 及AB 边的长，并结合你的 计算过程画出高BD 及AB 边．（图中提供的单位长度供补全图 形使用）24．如图，AB 是半圆的直径，过圆心O 作AB 的垂线，与弦AC 的延长线交于点D ，点E 在OD 上，=DCE B ∠∠．（1）求证：CE 是半圆的切线； （2）若CD=10，2tan 3B =，求半圆的半径．25．已知抛物线G ：221y x ax a =-+-（a 为常数）．（1）当3a =时，用配方法求抛物线G 的顶点坐标； （2）若记抛物线G 的顶点坐标为(,)P p q ．①分别用含a 的代数式表示p ，q ；②请在①的基础上继续用含p 的代数式表示q ；③由①②可得，顶点P 的位置会随着a 的取值变化而变化，但点P 总落在 的图象上． A ．一次函数 B ．反比例函数 C ．二次函数（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G 改为抛物线H ：22y x ax N =-+（a 为常数），其中N 为含a 的代数式，从而使这个 新抛物线H 满足：无论a 取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上．请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H 的函数表达式：（用含a 的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式y kx b =+（，b 为常数，≠0）中，= ，b= ．26．在平面直角坐标系Oy 中，抛物线M ：2(0)y ax bx c a =++≠经过(1,0)A -，且顶点坐标为(0,1)B ． （1）求抛物线M 的函数表达式；（2）设(,0)F t 为轴正半轴．．．上一点，将抛物线M 绕点F 旋转180°得到抛物线1M ． ①抛物线1M 的顶点1B 的坐标为 ；②当抛物线1M 与线段AB 有公共点时，结合函数的图象，求t 的取值范围．27．如图1，在Rt △AOB 中，∠AOB =90°，∠OAB =30°，点C 在线段OB 上，OC =2BC ，AO 边上的一点D 满足∠OCD =30°．将△OCD 绕点O 逆时针旋转α度（90°<α<180°）得到△OC D ''，C ，D 两点的对应点分别为点C '，D '，连接AC '，BD '，取AC '的中点M ，连接OM ． （1）如图2，当C D ''∥AB 时，α= °，此时OM 和BD '之间的位置关系为 ； （2）画图探究线段OM 和BD '之间的位置关系和数量关系，并加以证明．28．在平面直角坐标系Oy 中，A ，B 两点的坐标分别为(2,2)A ，(2,2)B -．对于给定的线段AB 及点P ，Q ，给出如下定义：若点Q 关于AB 所在直线的对称点Q '落在△ABP 的内部（不含边界），则称点Q 是点P 关于线段AB 的内称点．（1）已知点(4,1)P -．①在1(1,1)Q -，2(1,1)Q 两点中，是点P 关于线段AB 的内称点的是____________；②若点M 在直线1y x =-上，且点M 是点P 关于线段AB 的内称点，求点M 的横坐标M x 的取值范围； （2）已知点(3,3)C ，⊙C 的半径为r ，点(4,0)D ，若点E 是点D 关于线段AB 的内称点，且满足直线DE与⊙C相切，求半径r的取值范围．。
【推荐】2019秋北京市西城区九年级上册期末数学试卷(有答案).doc
北京市西城区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果AC＝3，AB＝5，那么sin B等于（）A．B．C．D．2．点A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数y＝图象上的两点，那么y1，y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能确定3．抛物线y＝（﹣4）2﹣5的顶点坐标和开口方向分别是（）A．（4，﹣5），开口向上B．（4，﹣5），开口向下C．（﹣4，﹣5），开口向上D．（﹣4，﹣5），开口向下4．圆心角为60°，且半径为12的扇形的面积等于（）A．48πB．24πC．4πD．2π5．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝34°，那么∠BAD等于（）A．34°B．46°C．56°D．66°6．如果函数y＝2+4﹣m的图象与轴有公共点，那么m的取值范围是（）A．m≤4B．m＜4C．m≥﹣4D．m＞﹣47．如图，点P在△ABC的边AC上，如果添加一个条件后可以得到△ABP∽△ACB，那么以下添加的条件中，不正确的是（）A ．∠ABP ＝∠CB ．∠APB ＝∠ABC C ．AB 2＝AP •ACD ．8．如图，抛物线y ＝a 2+b +3（a ≠0）的对称轴为直线＝1，如果关于的方程a 2+b ﹣8＝0（a ≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为（ ）A ．﹣4B ．﹣2C ．1D ．3二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．抛物线y ＝2+3与y 轴的交点坐标为 ．10．如图，在△ABC 中，D ，E 两点分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，如果＝，AC ＝10，那么EC ＝ ．11．如图，在平面直角坐标系Oy 中，第一象限内的点P （，y ）与点A （2，2）在同一个反比例函数的图象上，PC ⊥y 轴于点C ，PD ⊥轴于点D ，那么矩形ODPC 的面积等于 ．12．如图，直线y 1＝+n （≠0）与抛物线y 2＝a 2+b +c （a ≠0）分别交于A （﹣1，0），B （2，﹣3）两点，那么当y 1＞y 2时，的取值范围是 ．13．如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于120°，那么圆心O到弦AB 的距离等于．14．2017年9月热播的专题片《辉煌中国﹣﹣圆梦工程》展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列．在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨BD的中点为E，最长的斜拉索CE长577m，记CE与大桥主梁所夹的锐角∠CED为α，那么用CE的长和α的三角函数表示主跨BD长的表达式应为BD＝（m）．15．如图，抛物线y＝a2+b+c（a≠0）与y轴交于点C，与轴交于A，B两点，其中点B 的坐标为B（4，0），抛物线的对称轴交轴于点D，CE∥AB，并与抛物线的对称轴交于点E．现有下列结论：①a＞0；②b＞0；③4a+2b+c＜0；④AD+CE＝4．其中所有正确结论的序号是．16．如图，⊙O的半径为3，A，P两点在⊙O上，点B在⊙O内，tan∠APB＝，AB⊥AP．如果OB⊥OP，那么OB的长为．三、解答题（本题共68分，第17-20题每小题5分，第21、22题每小题5分，第23、24题每小题5分，第25、26题每小题5分，第27、28题每小题5分）17．计算：2sin30°+cos245°﹣tan60°．18．如图，AB∥CD，AC与BD的交点为E，∠ABE＝∠ACB．（1）求证：△ABE∽△ACB；（2）如果AB＝6，AE＝4，求AC，CD的长．19．在平面直角坐标系Oy中，抛物线C1：y＝﹣2+2．（1）补全表格：1212抛物线C2与轴的两交点之间的距离是抛物线C1与轴的两交点之间距离的多少倍．20．在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°．将△ABC绕点A逆时针旋转α度（0＜α＜180）得到△ADE，B，C两点的对应点分别为点D，E，BD，CE所在直线交于点F．（1）当△ABC旋转到图1位置时，∠CAD＝（用α的代数式表示），∠BFC的度数为°；（2）当α＝45时，在图2中画出△ADE，并求此时点A到直线BE的距离．21．运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h（m）与它的飞行时间t（s）满足二次函数关系，t与h的几组对应值如下表所示．（2）求小球飞行3s时的高度；（3）问：小球的飞行高度能否达到22m？请说明理由．22．如图，在平面直角坐标系Oy中，双曲线y＝（≠0）与直线y＝的交点为A（a，﹣1），B（2，b）两点，双曲线上一点P的横坐标为1，直线PA，PB与轴的交点分别为点M，N，连接AN．（1）直接写出a，的值；（2）求证：PM＝PN，PM⊥PN．23．如图，线段BC长为13，以C为顶点，CB为一边的∠α满足cosα＝．锐角△ABC的顶点A落在∠α的另一边l上，且满足sin A＝．求△ABC的高BD及AB边的长，并结合你的计算过程画出高BD及AB边．（图中提供的单位长度供补全图形使用）24．如图，AB是半圆的直径，过圆心O作AB的垂线，与弦AC的延长线交于点D，点E 在OD上，∠DCE＝∠B．（1）求证：CE是半圆的切线；（2）若CD＝10，tan B＝，求半圆的半径．25．已知抛物线G：y＝2﹣2a+a﹣1（a为常数）．（1）当a＝3时，用配方法求抛物线G的顶点坐标；（2）若记抛物线G的顶点坐标为P（p，q）．①分别用含a的代数式表示p，q；②请在①的基础上继续用含p的代数式表示q；③由①②可得，顶点P的位置会随着a的取值变化而变化，但点P总落在的图象上．A．一次函数B．反比例函数C．二次函数（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G改为抛物线H：y＝2﹣2a+N（a为常数），其中N为含a的代数式，从而使这个新抛物线H满足：无论a取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上．请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H的函数表达式：（用含a的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式y＝+b（，b为常数，≠0）中，＝，b ＝．26．在平面直角坐标系Oy中，抛物线M：y＝a2+b+c（a≠0）经过A（﹣1，0），且顶点坐标为B（0，1）．（1）求抛物线M的函数表达式；（2）设F（t，0）为轴正半轴上一点，将抛物线M绕点F旋转180°得到抛物线M1．①抛物线M1的顶点B1的坐标为；②当抛物线M1与线段AB有公共点时，结合函数的图象，求t的取值范围．27．（7分）如图1，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，点C在线段OB上，OC＝2BC，AO边上的一点D满足∠OCD＝30°．将△OCD绕点O逆时针旋转α度（90°＜α＜180°）得到△OC′D′，C，D两点的对应点分别为点C′，D′，连接AC′，BD′，取AC′的中点M，连接OM．（1）如图2，当C′D′∥AB时，α＝°，此时OM和BD′之间的位置关系为；（2）画图探究线段OM和BD′之间的位置关系和数量关系，并加以证明．28．在平面直角坐标系Oy中，A，B两点的坐标分别为A（2，2），B（2，﹣2）．对于给定的线段AB及点P，Q，给出如下定义：若点Q关于AB所在直线的对称点Q′落在△ABP的内部（不含边界），则称点Q是点P关于线段AB的内称点．（1）已知点P（4，﹣1）．①在Q1（1，﹣1），Q2（1，1）两点中，是点P关于线段AB的内称点的是；②若点M在直线y＝﹣1上，且点M是点P关于线段AB的内称点，求点M的横坐标M的取值范围；（2）已知点C（3，3），⊙C的半径为r，点D（4，0），若点E是点D关于线段AB的内称点，且满足直线DE与⊙C相切，求半径r的取值范围．北京市西城区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果AC＝3，AB＝5，那么sin B等于（）A．B．C．D．【分析】直接利用锐角三角函数关系得出sin B的值．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，∴sin B＝＝．故选：A．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确把握定义是解题关键．2．点A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数y＝图象上的两点，那么y1，y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能确定【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，把A点和B点坐标代入反比例函数解析式可计算出y1，y2，从而可判断它们的大小．【解答】解：∵A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数y＝图象上的两点，∴y1＝﹣＝﹣6，y2＝﹣＝﹣2，∴y1＜y2．故选：C．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（为常数，≠0）的图象是双曲线，图象上的点（，y）的横纵坐标的积是定值，即y＝；双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称．3．抛物线y＝（﹣4）2﹣5的顶点坐标和开口方向分别是（）A．（4，﹣5），开口向上B．（4，﹣5），开口向下C．（﹣4，﹣5），开口向上D．（﹣4，﹣5），开口向下【分析】根据y＝a（﹣h）2+，a＞0时图象开口向上，a＜0时图象开口向下，顶点坐标是（h，），对称轴是＝h，可得答案．【解答】解：由y＝（﹣4）2﹣5，得开口方向向上，顶点坐标（4，﹣5）．故选：A．【点评】本题考查了二次函数的性质，利用y＝a（﹣h）2+，a＞0时图象开口向上，在对称轴的左侧，y随的增大而减小，在对称轴的右侧，y随的增大而增大；a＜0时图象开口向下，在对称轴的左侧，y随的增大而增大，在对称轴的右侧，y随的增大而减小，顶点坐标是（h，），对称轴是＝h，4．圆心角为60°，且半径为12的扇形的面积等于（）A．48πB．24πC．4πD．2π【分析】直接根据扇形的面积公式进行计算．【解答】解：根据扇形的面积公式，得S＝＝24π（cm2）．故选：B．【点评】本题主要是考查了扇形的面积公式，掌握扇形的面积公式是解题的关键．5．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝34°，那么∠BAD等于（）A．34°B．46°C．56°D．66°【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ADB＝90°，又由∠ACD＝34°，可求得∠ABD的度数，再根据直角三角形的性质求出答案．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ACD＝34°，∴∠ABD＝34°∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝56°，故选：C．【点评】此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．6．如果函数y＝2+4﹣m的图象与轴有公共点，那么m的取值范围是（）A．m≤4B．m＜4C．m≥﹣4D．m＞﹣4【分析】根据已知得出方程2+4﹣m＝0有两个的实数解，即△≥0，求出不等式的解集即可．【解答】解：∵函数y＝2+4﹣m的图象与轴有公共点，∴方程2+4﹣m＝0有两个的实数解，即△＝42﹣4×1×（﹣m）≥0，解得：m≥﹣4，故选：C．【点评】本题考查了二次函数与轴的交点问题和一元二次方程的根的判别式，能得出关于m'的不等式是解此题的关键．7．如图，点P在△ABC的边AC上，如果添加一个条件后可以得到△ABP∽△ACB，那么以下添加的条件中，不正确的是（）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．AB2＝AP•AC D．【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．【解答】解：A、当∠ABP＝∠C时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；B、当∠APB＝∠ABC时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；C、当AB2＝AP•AC即＝时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；D、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．故选：D．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．8．如图，抛物线y＝a2+b+3（a≠0）的对称轴为直线＝1，如果关于的方程a2+b﹣8＝0（a ≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为（）A．﹣4B．﹣2C．1D．3【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点可得答案．【解答】解∵关于的方程a2+b﹣8＝0，有一个根为4，∴抛物线与轴的一个交点为（4，0），∵抛物线的对称轴为＝1，∴抛物线与轴的另一个交点为（﹣2，0），∴方程的另一个根为＝﹣2．故选：B．【点评】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，解题的关键数熟练掌握二次函数的对称性．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．抛物线y＝2+3与y轴的交点坐标为（0，3）．【分析】把＝0代入解析式求出y，根据y轴上点的坐标特征解答即可．【解答】解：当＝0时，y＝3，则抛物线y＝2+3与y轴交点的坐标为（0，3），故答案为：（0，3）【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，掌握y轴上点的横坐标为0是解题的关键．10．如图，在△ABC中，D，E两点分别在AB，AC边上，DE∥BC，如果＝，AC＝10，那么EC＝4．【分析】由DE∥BC，推出＝＝，可得EC＝AC，由此即可解决问题．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝＝，∵AC＝10，∴EC＝×10＝4，故答案为4．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．11．如图，在平面直角坐标系Oy中，第一象限内的点P（，y）与点A（2，2）在同一个反比例函数的图象上，PC⊥y轴于点C，PD⊥轴于点D，那么矩形ODPC的面积等于4．【分析】根据点A的坐标可得出的值，进而得出矩形ODPC的面积．【解答】解：设点A（2，2）在反比例函数y＝的图象上，可得：，解得：＝4，因为第一象限内的点P（，y）与点A（2，2）在同一个反比例函数的图象上，所以矩形ODPC的面积等于4，故答案为：4【点评】此题考查反比例函数系数的几何意义，关键是根据点A的坐标可得出的值．12．如图，直线y1＝+n（≠0）与抛物线y2＝a2+b+c（a≠0）分别交于A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点，那么当y1＞y2时，的取值范围是﹣1＜＜2．【分析】根据图象得出取值范围即可．【解答】解：因为直线y1＝+n（≠0）与抛物线y2＝a2+b+c（a≠0）分别交于A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点，所以当y1＞y2时，﹣1＜＜2，故答案为：﹣1＜＜2【点评】此题考查二次函数与不等式，关键是根据图象得出取值范围．13．如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于120°，那么圆心O到弦AB 的距离等于2．【分析】由圆心角∠AOB＝120°，可得△AOB是等腰三角形，又由OC⊥AB，再利用含30°角的直角三角形的性质，可求得OC的长．【解答】解：如图，∵圆心角∠AOB＝120°，OA＝OB，∴△OAB是等腰三角形，∵OC⊥AB，∴∠ACO＝90°，∠A＝30°，∴OC＝．故答案为：2【点评】此题考查了垂径定理、含30°角的直角三角形的性质．注意根据题意作出图形是关键．14．2017年9月热播的专题片《辉煌中国﹣﹣圆梦工程》展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列．在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨BD的中点为E，最长的斜拉索CE长577m，记CE与大桥主梁所夹的锐角∠CED为α，那么用CE的长和α的三角函数表示主跨BD长的表达式应为BD＝1154cosα（m）．【分析】根据题意和特殊角的三角函数可以解答本题．【解答】解：由题意可得，BD＝2CE•cosα＝2×577×cosα＝1154cosα，故答案为：1154cosα．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用特殊角的三角函数解答．15．如图，抛物线y＝a2+b+c（a≠0）与y轴交于点C，与轴交于A，B两点，其中点B 的坐标为B（4，0），抛物线的对称轴交轴于点D，CE∥AB，并与抛物线的对称轴交于点E．现有下列结论：①a＞0；②b＞0；③4a+2b+c＜0；④AD+CE＝4．其中所有正确结论的序号是②④．【分析】根据图象的开口方向、与和y轴的交点、对称轴所在的位置，判断即可．【解答】解：①该函数图象的开口向下，a＜0，错误；②∵a＜0，﹣＞0，∴b＞0，正确；③把＝2代入解析式可得4a+2b+c＞0，错误；④∵AD＝DB，CE＝OD，∴AD+OD＝DB+OD＝OB＝4，可得：AD+CE＝4，正确．故答案为：②④【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．根据二次函数y＝a2+b+c系数符号判断抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与轴交点的个数．16．如图，⊙O的半径为3，A，P两点在⊙O上，点B在⊙O内，tan∠APB＝，AB⊥AP．如果OB⊥OP，那么OB的长为1．【分析】如图，连接OA，作AM⊥OB交OB的延长线于M，作PN⊥MA交MA的延长线于N．则四边形POMN是矩形．想办法求出OM、BM即可解决问题；【解答】解：如图，连接OA，作AM⊥OB交OB的延长线于M，作PN⊥MA交MA的延长线于N．则四边形POMN是矩形．∵∠POB＝∠PAB＝90°，∴P、O、B、A四点共圆，∴∠AOB＝∠APB，∴tan∠AOM＝tan∠APB＝＝，设AM＝4，OM＝3，在Rt△OMA中，（4）2+（3）2＝32，解得＝（负根已经舍弃），∴AM＝，OM＝，AN＝MN﹣AM＝∵∠MAB+∠ABM＝90°，∠MAB+∠PAN＝90°，∴∠ABM＝∠PAN，∵∠AMB＝∠PNA＝90°，∴△AMB∽△PNA，∴＝，∴＝，∴BM＝，∴OB＝OM﹣BM＝1．故答案为1【点评】本题考查点与圆的位置关系，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形，特殊四边形解决问题．三、解答题（本题共68分，第17-20题每小题5分，第21、22题每小题5分，第23、24题每小题5分，第25、26题每小题5分，第27、28题每小题5分）17．计算：2sin30°+cos245°﹣tan60°．【分析】根据特殊角的三角函数值，即可解答．【解答】解：原式＝2×+（）2﹣＝1+﹣＝﹣．【点评】考查了特殊角的三角函数值，属于识记性题目，基础题．18．如图，AB∥CD，AC与BD的交点为E，∠ABE＝∠ACB．（1）求证：△ABE∽△ACB；（2）如果AB＝6，AE＝4，求AC，CD的长．【分析】（1）根据相似三角形的判定证明即可；（2）利用相似三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵∠ABE＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ABE∽△ACB；（2）∵△ABE∽△ACB，∴，∴AB2＝AC•AE，∵AB＝6，AE＝4，∴AC＝，∵AB∥CD，∴△CDE∽△ABE，∴，∴．【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定证明△ABE∽△ACB．19．在平面直角坐标系Oy中，抛物线C1：y＝﹣2+2．（1）补全表格：1212抛物线C2与轴的两交点之间的距离是抛物线C1与轴的两交点之间距离的多少倍．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）利用描点法即可解决问题；【解答】解：（1）y＝﹣2+2与轴的交点为（0，0）和（2，0）故答案为（0，0）和（2，0）；（2）抛物线C1，C2如图所示，抛物线C2与轴的两交点之间的距离是抛物线C1与轴的两交点之间距离的2倍【点评】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的性质、平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20．在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°．将△ABC绕点A逆时针旋转α度（0＜α＜180）得到△ADE，B，C两点的对应点分别为点D，E，BD，CE所在直线交于点F．（1）当△ABC旋转到图1位置时，∠CAD＝α﹣45°（用α的代数式表示），∠BFC 的度数为45°；（2）当α＝45时，在图2中画出△ADE，并求此时点A到直线BE的距离．【分析】（1）如图1，利用旋转的性质得∠BAD＝∠CAE＝α，AB＝AD，AE＝AC，则∠CAD＝α﹣45°；再利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠ABD＝∠ACE，所以∠BFC＝∠BAC＝45°．（2）如图2，△ADE为所作，BE与AC相交于G，利用旋转的性质得点D与点C重合，∠CAE＝45°，AE＝AB＝2，则△ABE为等腰直角三角形，所以BE＝AB＝2，再证明AG⊥BE，然后根据等腰直角三角形的性质求出AG的长即可．【解答】解：（1）∵△ABC绕点A逆时针旋转α度（0＜α＜180）得到△ADE，如图1，∴∠BAD＝∠CAE＝α，AB＝AD，AE＝AC，而∠BAC＝45°，∴∠CAD＝α﹣45°；∵AB＝AD，AE＝AC，∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣∠BAD）＝（180°﹣α）＝90°﹣α，∠ACE＝∠AEC＝（180°﹣α）＝90°﹣α，∴∠ABD＝∠ACE，∴∠BFC＝∠BAC＝45°．故答案为α﹣45°；45°；（2）如图2，△ADE为所作，BE与AC相交于G，∵△ABC绕点A逆时针旋转45度得到△ADE，而AB＝AC，∠BAC＝45°，∴点D与点C重合，∠CAE＝45°，AE＝AB＝2，∴△ABE为等腰直角三角形，∴BE＝AB＝2，而AG平分∠BAE，∴AG⊥BE，∴AG＝BE＝，即此时点A到直线BE的距离为．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰直角三角形的性质和旋转的性质．21．运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h（m）与它的飞行时间t（s）满足二次函数关系，t与h的几组对应值如下表所示．（2）求小球飞行3s时的高度；（3）问：小球的飞行高度能否达到22m？请说明理由．【分析】（1）设h与t之间的函数关系式为h＝at2+bt（a≠0），然后再根据表格代入t ＝1时，h＝15；t＝2时，h＝20可得关于a、b的方程组，再解即可得到a、b的值，进而可得函数解析式；（2）根据函数解析式，代入t＝3可得h的值；（3）把函数解析式写成顶点式的形式可得小球飞行的最大高度，进而可得答案．【解答】解：（1）∵t＝0时，h＝0，∴设h与t之间的函数关系式为h＝at2+bt（a≠0），∵t＝1时，h＝15；t＝2时，h＝20，∴，解得，∴h与t之间的函数关系式为h＝﹣5t2+20t；（2）小球飞行3秒时，t＝3（s），此时h＝﹣5×32+20×3＝15（m）．答：小球飞行3s时的高度为15米；（3）∵h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，∴小球飞行的最大高度为20m，∵22＞20，∴小球的飞行高度不能达到22m．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握配方法化顶点解析式．22．如图，在平面直角坐标系Oy 中，双曲线y ＝（≠0）与直线y ＝的交点为A （a ，﹣1），B （2，b ）两点，双曲线上一点P 的横坐标为1，直线PA ，PB 与轴的交点分别为点M ，N ，连接AN ． （1）直接写出a ，的值；（2）求证：PM ＝PN ，PM ⊥PN ．【分析】（1）依据双曲线y ＝（≠0）与直线y ＝的交点为A （a ，﹣1），B （2，b ）两点，可得点A 与点B 关于原点对称，进而得到a ，的值；（2）根据双曲线y ＝上一点P 的横坐标为1，可得点P 的坐标为（1，2），进而得到直线PA ，PB 的函数表达式分别为y ＝+1，y ＝﹣+3，求得直线PA ，PB 与轴的交点坐标分别为M （﹣1，0），N （3，0），即可得到PM ＝PN ，PM ⊥PN ．【解答】解：（1）∵双曲线y ＝（≠0）与直线y ＝的交点为A （a ，﹣1），B （2，b ）两点，∴点A 与点B 关于原点对称， ∴a ＝﹣2，b ＝1，∴把A （﹣2，﹣1）代入双曲线y ＝，可得＝2；（2）证明：∵双曲线y ＝上一点P 的横坐标为1， ∴点P 的坐标为（1，2），∴直线PA ，PB 的函数表达式分别为y ＝+1，y ＝﹣+3，∴直线PA ，PB 与轴的交点坐标分别为M （﹣1，0），N （3，0），∴PM ＝2，PN ＝2，MN ＝4，∴PM ＝PN ，PM 2+PN 2＝MN 2，∴∠MPN＝90°，∴PM⊥PN．【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题以及勾股定理的逆定理的运用，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解．解决问题的关键是掌握待定系数法求一次函数解析式．23．如图，线段BC长为13，以C为顶点，CB为一边的∠α满足cosα＝．锐角△ABC的顶点A落在∠α的另一边l上，且满足sin A＝．求△ABC的高BD及AB边的长，并结合你的计算过程画出高BD及AB边．（图中提供的单位长度供补全图形使用）【分析】先利用直角作出BD，再用勾股定理求出BD，再用锐角三角函数求出AB，AD，即可得出结论．【解答】解：如图，作BD⊥l于点D，在Rt△CBD中，∠CDB＝90°，BC＝13，∴cos C＝cosα＝，∴CD＝BC•cos C＝13×＝5，BD＝＝12，在Rt△ABD中，BD＝12，sin A＝，∴tan A＝，∴AB＝＝15，AD＝＝9，作图，以点D为圆心，9为半径作弧与射线l交于点A，连接AB，【点评】此题是解直角三角形，主要考查了基本作图，勾股定理，锐角三角函数，解本题的关键是求出AB和AD．24．如图，AB是半圆的直径，过圆心O作AB的垂线，与弦AC的延长线交于点D，点E 在OD上，∠DCE＝∠B．（1）求证：CE是半圆的切线；（2）若CD＝10，tan B＝，求半圆的半径．【分析】（1）利用同角的余角相等判断出∠BCO＝∠B，进而判断出∠BCO+∠BCE＝90°，即可得出结论；（2）先求出sin B，再利用同角的余角相等判断出∠D＝∠B即可得出结论．【解答】解：（1）连接OC，∵AB是半圆的直径，AC是半圆的弦，∴∠ACB＝90°，∵点D在弦AC的延长线上，∴∠DCB＝180°﹣∠ACB＝90°，∴∠DCE+∠BCE＝90°，∵OC＝OB，∴∠BCO＝∠B，∵∠DCE＝∠B，∴∠BCO+∠BCE＝90°，即：∠OCE＝90°，∴CE⊥OC，∵点C在半圆上，∴CE是半圆的切线；（2）解：如图1，在Rt△ABC中，tan B＝，设AC＝2，则BC＝3，根据勾股定理得，AB＝，∴sin B＝＝，∵OD⊥AB，∴∠D+∠A＝90°，∵AB是半圆的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B+∠A＝90°，∴∠D＝∠B，∴sin D＝sin B＝，在Rt△CDF中，sin D＝＝，∴cos B＝设CF＝2m，DE＝m，根据勾股定理得，DF2﹣CF2＝CD2，∴13m2﹣4m2＝100，∴m＝﹣（舍）或m＝，∴CF＝，在Rt△BOF中，BF＝＝，∴BC＝BF+CF＝+＝3，∴＝8，∴OB＝＝4【点评】此题主要考查了切线的性质，同角的余角相等，勾股定理，圆的性质，解本题的关键是判断出∠BCO＝∠B．25．已知抛物线G：y＝2﹣2a+a﹣1（a为常数）．（1）当a＝3时，用配方法求抛物线G的顶点坐标；（2）若记抛物线G的顶点坐标为P（p，q）．①分别用含a的代数式表示p，q；②请在①的基础上继续用含p的代数式表示q；③由①②可得，顶点P的位置会随着a的取值变化而变化，但点P总落在C的图象上．A．一次函数B．反比例函数C．二次函数（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G改为抛物线H：y＝2﹣2a+N（a为常数），其中N为含a的代数式，从而使这个新抛物线H满足：无论a取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上．请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H的函数表达式：y＝2﹣2a+a2+a（用含a的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式y＝+b（，b为常数，≠0）中，＝1，b＝0．【分析】（1）将a＝1代入函数解析式，然后化为顶点式即可解答本题；（2）①将题目中的函数解析式化为顶点式即可用含a的代数式表示p、q；②根据①中的结果可以解答本题；③根据①②可以解答本题；（3）答案不唯一，只要符合要就即可．【解答】解：（1）当a＝3时，y＝2﹣6+3﹣1＝2﹣6+2＝（﹣3）2﹣7，∴此时抛物线的顶点坐标为（3，﹣7）；（2）①y＝2﹣2a+a﹣1＝（﹣a）2﹣a2+a﹣1，∵抛物线G的顶点坐标为P（p，q），∴p＝a，q＝﹣a2+a﹣1；②由①可得，q＝﹣p2+p﹣1；③由①②可得，顶点P的位置会随着a的取值变化而变化，但点P总落在二次函数图象上，故答案为：C；（3）符合以上要求的新抛物线H的函数表达式：y＝2﹣2a+a2+a，∵y＝2﹣2a+a2+a＝（﹣a）2+a，∴顶点坐标为（a，a），∴它的顶点所在的一次函数图象的表达式y＝，∴＝1，b＝0，故答案为：y＝2﹣2a+a2+a，1，0．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数与一次函数在图象上的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答．26．在平面直角坐标系Oy中，抛物线M：y＝a2+b+c（a≠0）经过A（﹣1，0），且顶点坐标为B（0，1）．（1）求抛物线M的函数表达式；（2）设F（t，0）为轴正半轴上一点，将抛物线M绕点F旋转180°得到抛物线M1．①抛物线M1的顶点B1的坐标为（2t，﹣1）；②当抛物线M1与线段AB有公共点时，结合函数的图象，求t的取值范围．【分析】（1）根据待定系数法，可得答案；（2）①根据旋转的性质，可得B与B′关于F点对称，根据中点公式，可得答案；②根据图象过A，B点，可得点的坐标符合解析式，根据图象，可得答案．【解答】解：（1）由抛物线M的顶点坐标为B（0，1），设抛物线的解析式为y＝a2+1，将A（﹣1，2）代入解析式，得a×（﹣1）2+1＝0，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣2+1，（2）①由旋转的性质，得B1（，y）与B（0，1）关于F（t，0）对称，＝t，＝0，解得＝2t，y＝﹣1，B1（2t，﹣1）；故答案为：（2t，﹣1）；②如图1，由题意，得顶点是B1（2t，﹣1），二次项系数为1，∴抛物线M1的解析式为y＝（﹣2t）2﹣1 （t＞0），当抛物线M1经过A（﹣1，0），时（﹣1﹣t）2﹣1＝0，解得t1＝﹣1，t2＝0．当抛物线M1经过B（0，1）时，（2t）2﹣1＝1，解得t＝，结合图象分析，∵t＞0，∴当抛物线M1与线段AB有公共点时，t的取值范围0＜t≤．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用待定系数法是解（1）的关键；利用旋转得出B与B′关于F点对称是解（2）①的关键，利用象过A，B点得出点的坐标的坐标符合解析式是解②关键．27．如图1，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，点C在线段OB上，OC＝2BC，AO边上的一点D满足∠OCD＝30°．将△OCD绕点O逆时针旋转α度（90°＜α＜180°）得到△OC′D′，C，D两点的对应点分别为点C′，D′，连接AC′，BD′，取AC′的中点M，连接OM．（1）如图2，当C′D′∥AB时，α＝150°，此时OM和BD′之间的位置关系为垂直；（2）画图探究线段OM和BD′之间的位置关系和数量关系，并加以证明．【分析】（1）根据平行线的性质得到∠ABD′+∠C′D′B＝180°，根据周角的定义即可得到结论；（2）取AO的中点E，连接ME，延长MO交BD′于N，根据三角形的中位线的性质得到EM∥OC′，EM＝OC′，根据相似三角形的性质得到∠AOM＝∠2，，根据垂直的定义即可得到结论．【解答】解：（1）∵C′D′∥AB，∴∠ABD′+∠C′D′B＝180°，∵∠ABO＝∠C′D′O＝60°，∴∠OBD′+∠BD′O＝60°，∴∠BOD′＝120°，∴∠BOC′＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝150°，∴α＝150°，此时，OM⊥BD′；故答案为：150，垂直；（2）OM⊥BD′，OM＝BD′，证明：取AO的中点E，连接ME，延长MO交BD′于N，∵AC′的中点M，∴EM∥OC′，EM＝OC′，∴∠OEM+∠AOC′＝180°，∵∠AOB＝∠C′OD′＝90°，∴∠BOD′+′AOC′＝180°，∴∠OEM＝∠BOD′，∵∠OAB＝∠OC′D′＝30°，∴＝＝＝，∴，∴△EOM∽△OBD′，∴∠AOM＝∠2，，即OM＝BD′，∵∠AOB＝90°，∴∠AOM+∠3＝180°﹣∠AOB＝90°，∴∠2+∠3＝90°，∴OM⊥BD′．【点评】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．28．在平面直角坐标系Oy中，A，B两点的坐标分别为A（2，2），B（2，﹣2）．对于给定的线段AB及点P，Q，给出如下定义：若点Q关于AB所在直线的对称点Q′落在△ABP的内部（不含边界），则称点Q是点P关于线段AB的内称点．（1）已知点P（4，﹣1）．①在Q1（1，﹣1），Q2（1，1）两点中，是点P关于线段AB的内称点的是点Q1；②若点M在直线y＝﹣1上，且点M是点P关于线段AB的内称点，求点M的横坐标M的取值范围；（2）已知点C（3，3），⊙C的半径为r，点D（4，0），若点E是点D关于线段AB的内称点，且满足直线DE与⊙C相切，求半径r的取值范围．【分析】（1）①利用内对称点的意义即可得出结论；②先判断出点O关于直线AB的对称点P'在直线y＝﹣1上，即可判断出结论；（2）判断出DE与圆C相切时，圆C最大的半径和最小的位置，计算即可得出结论．【解答】解：（1）作出图形，由内对称点的意义得，点P关于线段AB的内称点的是Q1，故答案为Q1；②如图2，。
2019.01西城区九年级期末数学试卷与答案(可打印修改)
2019 年北京市西城区初三期末数学试卷 2019.1一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．抛物线的顶点坐标是 ( ).23(1)5y x =-+ A ．（3，5）B ．（1，5）C ．（3，1） D ．（，5）1-2．如果4x =3y ，那么下列结论正确的是 ( ).A ．B ．C ．D ．，34x y =43x y=43x y =4x =3y =3．如图，圆的两条弦AB ，CD 相交于点E ，且，∠A =40°，则∠CEB 的度数为( ).»»AD CB =A ．50°B ．80°C ．70°D ．90°3题 5题 6题4．下列关于二次函数的说法正确的是 ( ).22y x =A ．它的图象经过点（，）1-2-B ．它的图象的对称轴是直线2x =C ．当x <0时，y 随x 的增大而减小D ．当x =0时，y 有最大值为05．如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ．若BC =24， ，则AD 的长为 12cos 13=B ( ).A ．12B ．10C ．6D ．5 6．如图，△ABC 的内切圆⊙O 与AB ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F ，且AD =2，BC =5，则△ABC 的周长为 ( ).A ．16B ．14C ．12D ．107．下表是小红填写的实践活动报告的部分内容：设铁塔顶端到地面的高度FE 为xm ，根据以上条件，可以列出的方程为 ( ).A ．tan 50°B ．cos 50° (10)x x =-(10)x x =-C ．tan 50°D ．sin 50°10x x -=(10)x x =+8．抛物线经过点（，0），且对称轴为直线1x =，其2y ax bx c =++2-部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①0ac >；②1640a b c ++=；③若0m n >>，则1x m =+时的函数值大于1x n =-时的函数值；④点(,0)2c a-一定在此抛物线上．其中正确结论的序号是 ( ).A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．如图所示的网格是正方形网格，点A ，O ，B 都在格点上，tan ∠AOB 的值为 ．9题 11题 13题10．请写出一个开口向下，且与y 轴的交点坐标为（0，2）的抛物线的表达式： ．11．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，且DE ∥BC ．若AD =2，AB =3，DE =4，则BC 的长为 ．12．草坪上的自动喷水装置的旋转角为200°，且它的喷灌区域是一个扇形．若它能喷灌的扇形草坪面积为5π平方米，则这个扇形的半径是 米．13．如图，抛物线与直线相交于 点A （，），B （1，） ，则2y ax bx =+y mx n =+3-6-2-关于x 的方程的解为 ．2ax bx mx n +=+14．如图，舞台地面上有一段以点O 为圆心的 ，某同学要站在的中点C 的位置»AB »AB 上．于是他想：只要从点O 出发，沿着与弦AB 垂直的方向走到上，就能找到»AB 的中点C ． 老师肯定了他的想法．»AB （1）请按照这位同学的想法，在图中画出点C ；（2）这位同学确定点C 所用方法的依据是___________．14题 15题 16题15．如图，矩形纸片ABCD 中，AB >AD ，E ，F 分别是AB ，DC 的中点，将矩形ABCD 沿EF 所在直线对折，若得到的两个小矩形都和矩形ABCD 相似，则用等式表示AB 与AD 的数量关系为 ．16．如图，⊙O 的半径是5，点A 在⊙O 上．P 是⊙O 所在平面内一点，且AP =2，过点P 作直线l ，使l ⊥PA ．（1）点O 到直线l 距离的最大值为 ；（2）若M ，N 是直线l 与⊙O 的公共点，则当线段MN 的长度最大时，OP 的长为 ．三、解答题（本题共68分，第17－22题，每小题5分，第23－26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．计算：．24sin 3045tan 60-+o o o 18．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =∠ACB ．点E ，F 分别在AB ，BC 上，且∠EFB =∠D ．（1）求证：△EFB ∽△CDA ；（2）若AB =20，AD =5，BF =4，求EB 的长．19．已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表所示：（1）求这个二次函数的表达式；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（3）当时，直接写出y 的取值范围．42x -<<-20．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，OC =4，AC =（1）求点O 到AC 的距离；（2）求∠ADC 的度数．21．一名同学推铅球，铅球出手后行进过程中离地面的高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系，其图象如图所示．已知铅球落地时的水212123y x x c =-++平距离为10m ．（1）求铅球出手时离地面的高度；x ...3-2-1-01...y (03)-4-3-0…（2）在铅球行进过程中，当它离地面的高度为m 时，求此时铅球的水平距离．111222．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，以OC ，OD 为邻边作平行四边形OCED ，连接OE ．（1）求证：四边形OBCE 是平行四边形；（2）连接BE 交AC 于点F ．若AB =2，∠AOB =60°，求BF 的长．23．如图，直线l ：与x 轴交于点A （，0），抛物线1C ：243y x x =++与2y x m =-+2-x 轴的一个交点为B （点B 在点A 的左侧）．过点B 作BD 垂直x 轴交直线l 于点D ．（1）求m 的值和点B 的坐标；（2）将△ABD 绕点A 顺时针旋转90°，点B ，D 的对应点分别为点E ，F ．①点F 的坐标为____________；②将抛物线1C 沿x 轴向右平移使它经过点F ，此时得到的抛物线记为2C ，直接写出抛物线2C 的表达式．24．如图，AB 是⊙O 的直径，△ABC 内接于⊙O ．点D 在⊙O 上，BD 平分∠ABC 交AC 于点E ，DF ⊥BC 交BC 的延长线于点F ．（1）求证：FD 是⊙O 的切线；（2）若BD =8，sin ∠DBF =，求DE 的长．3525．小明利用函数与不等式的关系，对形如（n 为正整数）的不12()()()0--->n x x x x x x L 等式的解法进行了探究．（1）下面是小明的探究过程，请补充完整： ①对于不等式，观察函数的图象可以得到如下表格：30x ->3y x =-x 的范围3x >3x <由表格可知不等式的解集为．30x ->3x > ②对于不等式，观察函数的图象可以得到如下表格：(3)(1)0x x -->(3)(1)y x x =--由表格可知不等式的解集为___________________．(3)(1)0x x --> ③对于不等式，请根据已描出的点画出函数的(3)(1)(1)0x x x --+>图象；(3)(1)(1)y x x x =--+观察函数的图象补全下面的表格：(3)(1)(1)y x x x =--+y 的符号＋－x 的范围3x >13x <<1x <y 的符号＋－＋x 的范围3x >13x <<11x -<<1x <-y 的符号＋－由表格可知不等式的解集为___________________．(3)(1)(1)0x x x --+>…小明将上述探究过程总结如下：对于解形如（n 为12()()()0--->n x x x x x x L 正整数）的不等式，先将，，…，按从大到小的顺序排列，再划分x 的范1x 2x n x 围，然后通过列表格的办法，可以发现表格中y 的符号呈现一定的规律，利用这个规律可以求这样的不等式的解集．（2）请你参考小明的方法，解决下列问题：①不等式的解集为_________________；(6)(4)(2)(2)0x x x x ---+>②不等式的解集为__________________．2(9)(8)(7)0x x x --->26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线243y ax ax a =-+．（1）求抛物线的对称轴；（2）当a >0时，设抛物线与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），顶点为C ，若△ABC 为等边三角形，求a 的值；（3）过点T （0，t ）（其中1-≤t ≤2）且垂直y 轴的直线l 与抛物线交于M ，N 两点，若对于满足条件的任意t 值，线段MN 的长都不小于1，结合函数图象，直接写出a 的取值范围．27．如图，在△ABC中，AB=AC．△ADE∽△ABC，连接BD，CE．（1）判断BD与CE的数量关系，并证明你的结论；（2）若AB=2，AD=，∠BAC=105°，∠CAD=30°．①BD的长为____________；②点P，Q分别为BC，DE的中点，连接PQ，写出求PQ长的思路．28．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和图形W ，如果以P 为端点的任意一条射线与图形W 最多只有一个公共点，那么称点P 独立于图形W ．（1）如图1，已知点A (2-，0)，以原点O 为圆心，OA 长为半径画弧交x 轴正半轴于点B ．在1(0,4)P ，2(0,1)P ，3(0,3)P -，4(4,0)P 这四个点中，独立于的点是»AB ________；（2）如图2，已知点C (3-，0)，D (0，3)，E (3，0)，点P 是直线l ：28y x =+上的一个动点．若点P 独立于折线CD －DE ，求点P 的横坐标的取值范围； P x （3）如图3，⊙H 是以点H (0，4)为圆心，半径为1的圆．点T (0，t )在y 轴上且，以点T 为中心的正方形KLMN 的顶点K 的坐标为(0，)，将正方形3t >-3t +KLMN 在x 轴及x 轴上方的部分记为图形W ．若⊙H 上的所有点都独立于图形W ，直接写出t 的取值范围．一、选择题（本题共16分，每小题2分）三、解答题（本题共68分，第17－22题，每小题5分，第23－26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）17．解：原式= …………………………………………………3分2142⨯-+=213-+=4． …………………………………………………………………………5分18．（1）证明：∵AD ∥BC ，∴∠DAC =∠ACB ． …………………1分 ∵∠B =∠ACB ，∴∠B =∠DAC ． ………………………2分 ∵∠EFB =∠D ，∴△EFB ∽△CDA ． …………………3分（2）解：∵△EFB ∽△CDA ， ∴． …………………………………………………………………4分EB BFCA AD=∵∠B =∠ACB ， ∴AB =AC ．∵AB =20，AD =5，BF =4， ∴．4205EB =∴EB =16． ……………………………………………………………………5分19．解：（1）设二次函数的表达式为， …………………………………1分2(1)4y a x =+-将点（1，0）代入，得，20(11)4a =+-解得．1a = 所以二次函数的表达式为．2(1)4y x =+-………………………………………………………2分 （2）图象如图所示； …………………………………3分（3）． ………………………………………5分35y -<<20．解：（1）过点O 作OE ⊥AC 于点E ，如图1， …………1分则∵AC =∴CE = ……………………………………2分 在Rt △OCE 中，OC =4，∴OE =．==∴点O 到AC 的距离为．………………………3分 （2）连接OA ，如图2．∵由（1）知，在Rt △OCE 中，CE =OE ， ∴∠OCE =∠EOC =45°．∵OA =OC ，∴∠OAC =∠OCA =45°． ∴∠AOC =90°．∴∠B =45°． ……………………………………4分∴∠ADC =180°－∠B =180°－45°=135°． ………………5分21．解：（1）∵铅球落地时的水平距离为10米，∴当x =10时，y =0． ∴． ………………………………………………1分21201010123c =-⨯+⨯+解得 ． …………………………………………………………………2分53c =∴．21251233y x x =-++∵当x =0时，y =，53∴铅球出手时离地面的高度为m ． ………………………………………3分53（2）∵，212511123312x x -++= 即，2890x x --=解得或． …………………………………………………………4分9x =1x =-∵不符合题意，舍去，1x =- ∴此时铅球的水平距离为9m ． ………………………………………………5分22．（1）证明：∵四边形OCED 是平行四边形，∴CE ∥OD ，即CE ∥BO ， …………………………………………………1分CE =OD ．∵矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，∴BO =OD ． ………………………………………………………………2分∴CE =BO ．∴四边形OBCE 是平行四边形． …………………………………………3分（2）解：过点B 作BH ⊥AC 于点H ，如图．∵矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，∴OA =OB =OC ．∵∠AOB =60°，AB =2，∴AB =OA =OB =OC =2．∴OH =OA =1，BH =2sin 分12∵四边形OBCE 是平行四边形，∴OF =OC =1．12在Rt △BHF 中，HF =HO +OF =1+1=2，∴BF …………………………………5分==23．解：（1）∵直线l ：与x 轴交于点A （，0），2y x m =-+2-∴，解得． ………………………………………1分02(2)m =-⨯-+4m =- 令y =0，即，2430x x ++= 解得 或． ……………………………………………………2分3x =-1x =- ∵点B 在点A 的左侧，∴点B 的坐标为（，0）． …………………………………………………3分3-（2）①（0，1）； (4)分②或． …………………………………6分2(1y x =-2(1y x =-24．（1）证明：连接OD ，如图1．∵OB =OD ，∴∠1=∠2．…………………………………1分∵BD 平分∠ABC ，∴∠1=∠3．∴∠2=∠3． …………………………………2分∵DF ⊥BF ，∴∠F =90°．∴∠3＋∠BDF =90°．∴∠2＋∠BDF =90°，即∠ODF =90°．∴OD ⊥DF ．∴FD 是⊙O 的切线． ………………………………………………………3分（2）解：连接AD ，如图2．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB =90°． …………………………4分∵∠1=∠3，sin ∠3=sin ∠DBF =，35∴sin ∠1=．35∴在Rt △ABD 中，．35=设AD =3x ，则AB =5x ，BD ．4x ==∴．34=∵BD =8，∴AD ==6． ………………………………………………………………5分384⨯∵∠3=∠4，∴∠4=∠1．∵在Rt △AED 中，∴DE ==． ………………………………6分tan 4tan 1AD AD ⋅∠=⋅∠39642⨯=25．解：（1）②或； ……………………………………………………………1分3x >1x <③图象如图所示；………………………………………………2分补全表格如下：………………………………………………………………………………3分 解集为：或；……………………………………………4分3x >11x -<< （2）①或或； ……………………………………………5分6x >24x <<2x <-②或或． ………………………………………………6分9x >78x <<7x <26．解：（1）∵，422ax a-=-=∴抛物线的对称轴为直线x =2． ……………………………………………1分（2）令y =0，即，2430ax ax a -+= 解得 或． …………………………………………………………2分1x =3x =∴点A ，B 的坐标分别为（1，0），（3，0）． ∴AB =2．当a >0时，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，如图． ∵△ABC 为等边三角形，∴AC =2，∠CAD =60°．∴CD =2sin60°=．…………………………3分∴顶点C的坐标为（2，．∴．22423a a a ⨯-⨯+=x 的范围3x >13x <<11x -<<1x <-y 的符号＋－∴………………………………………………………………………4分a =（3）或． ……………………………………………………………6分83a ≤-43a ≥27．解：（1）BD =CE ； …………………………1分证明：如图1，∵△ADE ∽△ABC ，．AEAC = ∵AB =AC ，∴AD =AE ． ………………………2分 ∵∠1+∠3=∠2+∠3，∴∠CAE =∠BAD ．在△BAD 和△CAE 中，AB =AC ，∠BAD =∠CAE ，AD =AE ，∴△BAD ≌△CAE ．∴BD =CE ． ………………………3分（2）① …………………………………5分 ②求PQ 长的思路如下：a ．连接AP ，AQ ，如图2；b ．由AB =AC ，AD =AE ，点P ，Q 分别为BC ，DE 的中点，可得AP ⊥BC ，AQ ⊥DE ，BAC DAE ；c ．由△ADE ∽△ABC ，可知，即；AP AB AQ AD =AP AQ AB AD =再由（1）知∠BAC =∠DAE ，则∠1=∠2，可得∠PAQ =∠BAD ，从而得到△APQ ∽△ABD ；d Rt △AQD 中，，则由BD 的长和∠2的度数，=cos 2AQ AD∠=可求PQ 的长． ………………………………………………7分28．解：（1），； ………………………………………………………………………2分2P 3P（2）如图，∵C (3-，0)，D (0，3)，∴设直线CD 的表达式为， 3y kx =+将点C 代入，得，解得．033k =-+1k =∴直线CD 的表达式为．3y x =+ 设直线CD 与直线l 相交于点F ，则 解得 3,28,y x y x =+⎧⎨=+⎩5,2.x y =-⎧⎨=-⎩∴点F 的坐标为（，）．…………3分5-2-∵点E 的坐标为（3，0)，同理可求直线DE 的表达式为，3y x =-+ 直线DE 与直线l 的交点G 的坐标为（，）．………………………4分53-143∵点P 独立于折线CD －DE ， ∴点P 的横坐标的取值范围是或．……………………5分P x 5P x <-53P x >-（3）或．…………………………………………7分31t -<<17t <<31t -<<-17t +<<-。
西城区初三上册数学期末试卷
2019年西城区初三上册数学期末试卷以下是查字典数学网为您推荐的2019年西城区初三上册数学期末试卷，希望本篇文章对您学习有所帮助。
2019年西城区初三上册数学期末试卷九年级数学2019.1考生须知1.本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分120分。
考试时间120分钟。
2.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
3.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
一、选择题(本题共32分，每小题4分)下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.1.二次函数的最小值是A. B.1 C. D.22.如图，⊙O是△ABC的外接圆，若ABC=40，则AOC的度数为A.20B.40C.60D.803.两圆的半径分别为2和3，若圆心距为5，则这两圆的位置关系是A.相交B.外离C.外切D.内切4.三角尺在灯泡的照射下在墙上形成的影子如图所示.若，则这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是A.5∶2B.2∶5C.4∶25D.25∶45.如图，正方形ABCD的内切圆和外接圆的圆心为，EF与GH是此外接圆的直径，EF=4，ADGH，EFGH，则图中阴影部分的面积是A.C.36.袋子里有三枚除颜色外都相同的棋子，其中有两枚是红色的，一枚是绿色的.从中随机同时摸出两枚，则摸出的两枚棋子颜色相同的概率是A. B. C. D.7.如图，直线与轴、轴分别交于、两点，△AOB绕点顺时针旋转90后得到△，则点的对应点的坐标为A.(3，4)B.(7，4)C.(7，3)D.(3，7)8.如图，△ABC中，B=60，ACB=75，点D是BC边上一个动点，以AD为直径作⊙O，分别交AB、AC于点E、F，若弦EF长度的最小值为1，则AB的长为A. B. C. 1.5 D.二、填空题(本题共16分，每小题4分)9.扇形的半径为9，且圆心角为120，则它的弧长为_______.10.已知抛物线经过点、，则与的大小关系是_______.11.如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，且OP=2，APB=60.若点C在⊙O上，且AC= ，则圆周角12.已知二次函数的图象与x轴交于(1,0)和( ,0)，其中，与轴交于正半轴上一点.下列结论：① ;② ;③ ;④ .其中所有正确结论的序号是_______.三、解答题(本题共30分，每小题5分)13.计算：.14.已知抛物线.(1)用配方法将化成的形式;(2)将此抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，求平移后所得抛物线的解析式.15.如图，在Rt△ABC中，C=90，点D在AC边上.若DB=6，AD= CD，sinCBD= ，求AD的长和tanA的值.16.如图，AB是⊙O 的直径，CD是⊙O的一条弦，且CDAB于点E.(1)求证：BCO=(2)若CD= ，AE=2，求⊙O的半径.17.如图，△ABC中，ACB=90，AC=BC=6，点P为AC边中点，点M是BC边上一点.将△CPM沿直线MP翻折，交AB于点E，点C 落在点D处，BME=120.(1)求CMP的度数;(2)求BM的长.18.如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45方向，距离灯塔100海里的A处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东30方向上的B处.(1)B处距离灯塔P有多远?(2)圆形暗礁区域的圆心位于PB的延长线上，距离灯塔200海里的O 处.已知圆形暗礁区域的半径为50海里，进入圆形暗礁区域就有触礁的危险.请判断若海轮到达B处是否有触礁的危险，并说明理由.新课标第一网四、解答题(本题共20分，每小题5分)19.已知抛物线.(1)它与x轴的交点的坐标为_______;(2)在坐标系中利用描点法画出它的图象;(3)将该抛物线在轴下方的部分(不包含与轴的交点)记为G，若直线与G 只有一个公共点，则的取值范围是_______.20.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，COB=2PCB.(1)求证：PC是⊙O的切线;(2)点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若MN MC=8，求⊙O的直径.21.平面直角坐标系中，原点O是正三角形ABC外接圆的圆心，点A在轴的正半轴上，△ABC的边长为6.以原点O为旋转中心将△ABC沿逆时针方向旋转角，得到△，点、、分别为点A、B、C的对应点.(1)当=60时，①请在图1中画出△ ;②若AB分别与、交于点D、E，则DE的长为_______;(2)如图2，当AB时，分别与AB、BC交于点F、G，则点的坐标为_______，△FBG的周长为_______，△ABC与△重叠部分的面积为_______.22.阅读下面的材料：小明在学习中遇到这样一个问题：若1m，求二次函数的最大值.他画图研究后发现，和时的函数值相等，于是他认为需要对进行分类讨论.他的解答过程如下：∵二次函数的对称轴为直线，由对称性可知，和时的函数值相等.若15，则时，的最大值为2;若m5，则时，的最大值为.请你参考小明的思路，解答下列问题：(1)当4时，二次函数的最大值为_______;(2)若p2，求二次函数的最大值;(3)若tt+2时，二次函数的最大值为31，则的值为_______.五、解答题(本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分)23.已知抛物线经过点( ，).(1)求的值;(2)若此抛物线的顶点为( ，)，用含的式子分别表示和，并求与之间的函数关系式;(3)若一次函数，且对于任意的实数，都有，直接写出的取值范围.24.以平面上一点O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB和△COD，其中ABO=DCO=30.(1)点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，连接FM、EM.①如图1，当点D、C分别在AO、BO的延长线上时，=_______;②如图2，将图1中的△AOB绕点O沿顺时针方向旋转角( )，其他条件不变，判断的值是否发生变化，并对你的结论进行证明; (2)如图3，若BO= ，点N在线段OD上，且NO=2.点P是线段AB 上的一个动点，在将△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最小值为_______，最大值为_______.25.如图1，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A、B两点，点C是AB的中点，CDAB且CD=AB.直线BE与轴平行，点F是射线BE上的一个动点，连接AD、AF、DF.(1)若点F的坐标为( ，)，AF= .①求此抛物线的解析式;②点P是此抛物线上一个动点，点Q在此抛物线的对称轴上，以点A、F、P、Q为顶点构成的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标;(2)若，，且AB的长为，其中.如图2，当DAF=45时，求的值和DFA的正切值.北京市西城区20192019学年度第一学期期末试卷(南区)九年级数学参考答案及评分标准2019.1一、选择题(本题共32分，每小题4分)题号1 2 3 4 5 6 7 8答案D D C B A D C B二、填空题(本题共16分，每小题4分)题号9 10 11 12答案615或75 ②④阅卷说明：第11题写对一个答案得2分.第12题只写②或只写④得2分;有错解得0分.三、解答题(本题共30分，每小题5分)13.解：原式4分. 5分14.解：(1)2分(2)∵抛物线的顶点坐标为，3分平移后的抛物线的顶点坐标为. 4分平移后所得抛物线的解析式为. . 5分15.解：如图1.在Rt△DBC中，C=90，sinCBD= ，DB=6，. 1分AD= CD= . 2分∵，3分AC= AD+CD=2+4=6，4分在Rt△ABC中，C=90，tanA= . 5分16.(1)证明：如图2.∵OC=OB，BCO=B. 1分∵D，BCO=D. 2分(2)解：∵AB是⊙O 的直径，且CDAB于点E，CE= CD= . 3分在Rt△OCE中，，设⊙O的半径为r，则OC=r，OE=OA AE=r 2，. 4分解得.⊙O 的半径为3. 5分17.解：如图3.(1)∵将△CPM沿直线MP翻折后得到△DPM，CMP=DMP . 1分∵BME=120，CMP=30. 2分(2)∵AC=6，点P为AC边中点，CP=3. 3分在Rt△CMP中，CP=3，MCP=90，CMP=30，CM= . 4分BM= . 5分18.解：(1)作PCAB于C.(如图4)在Rt△PAC中，PCA=90，CPA=90 45=45.. 2分在Rt△PCB中，PCB=90，PBC=30.答：B处距离灯塔P有海里. 3分(2)海轮若到达B处没有触礁的危险. 4分理由如下：而，. 5分B处在圆形暗礁区域外，没有触礁的危险.四、解答题(本题共20分，每小题5分)19.解：(1)它与x轴的交点的坐标为(-1，0)，(3，0); 1分(2)列表：x -1 0 1 2 3y 0 -3 -4 -3 0图象(如图5); 3分(3) 的取值范围是或. 5分阅卷说明：只写或只写得1分.20.(1)证明：∵OA=OC，ACO .COB=2ACO .又∵COB=2PCB，ACO=PCB . 1分∵AB是⊙O的直径，ACO +OCB=90 .PCB +OCB=90, 即OCCP.∵OC是⊙O的半径，PC是⊙O的切线. 2分(2)解：连接MA、MB.(如图6)∵点M是弧AB的中点，ACM=BAM.∵AMC=AMN，△AMC∽△NMA . 3分∵MCMN=8,. 4分∵AB是⊙O的直径，点M是弧AB的中点，AMB=90，AM=BM= .. 5分21.解：(1)①如图7所示; 1分②DE的长为; 2分(2)点的坐标为，△FBG的周长为6 ，△ABC与△重叠部分的面积为.5分阅卷说明：第(2)问每空1分.22.解：(1)当4时，二次函数的最大值为49;1分(2)∵二次函数的对称轴为直线，由对称性可知，和时函数值相等.若，则时，的最大值为17. 2分若，则时，的最大值为. 3分(3) 的值为1或-5 . 5分阅卷说明：只写1或只写-5得1分;有错解得0分.五、解答题(本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分)23.解：(1)∵抛物线经过点( ，)，. 1分. 5分(3) 的取值范围是且. 7分阅卷说明：只写或只写得1分.24.解：(1)① ; 1分②结论：的值不变.(阅卷说明：判断结论不设给分点)证明：连接EF、AD、BC.(如图8)∵Rt△AOB中，AOB=90，ABO=30，∵Rt△COD中，COD=90，DCO=30，又∵AOD=90BOD，BOC=90BOD，AOD=BOC.△AOD∽△BOC. 2分，2.∵点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，EF∥AD，FM∥CB，且，.，3分ADC=6，5.∵5+6=90，4+6=90，即4=90.EFM=90. 4分∵在Rt△EFM中，EFM=90，，EMF=30.. 5分(2)线段PN长度的最小值为，最大值为. 7分阅卷说明：第(2)问每空1分.25.解：(1)①∵直线BE与轴平行，点F的坐标为( ，)，点B的坐标为( ，)，FBA=90，BF=1.在Rt△ABF中，AF= ，点A的坐标为( ，).抛物线的解析式为. 1分②点Q的坐标为( ，)，( ，)，( ，). 4分阅卷说明：答对1个得1分.(2)∵，，解得，.点A的坐标为( ，)，点B的坐标为( ，).AB= ，即. 5分方法一：过点D作DG∥轴交BE于点G，AH∥BE交直线DG于点H，延长DH至点M，使HM=BF，连接AM.(如图9)∵DG∥轴，AH∥BE，四边形ABGH是平行四边形.∵ABF=90，四边形ABGH是矩形.同理四边形CBGD是矩形.AH=GB=CD=AB=GH= .∵HAB=90，DAF=45，2=45.在△AFB和△AMH中，AB=AH，ABF=AHM=90，BF=HM，△AFB≌△AMH. 6分3，AF=AM，M.2=45.在△AFD和△AMD中，AF=AM，FAD=MAD，AD=AD，△AFD≌△AMD.DFA=M，FD=MD.DFA=4. 7分∵C是AB的中点，DG=CB=HD= .设BF= ，则GF= ，FD=MD= .在Rt△DGF中，，，解得..8分方法二：过点D作DMAF于M.(如图10) ∵CDAB，DMAF，NCA=DMN=90.∵2，NAC=NDM.tanNAC=tanNDM.. 6分∵C是AB的中点，CD=AB= ，AC= ，.∵DAM=45，设CN= ，则DN= .在Rt△DNM中，，，(舍).CN= ，7分AN= .∵EB∥轴，EB 轴.∵CDAB，CD∥EB.AF= .MF= AF AM= .一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
北京市西城区2019— 2019学年度第一学期期末试卷九年级数学 2019.1一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．二次函数()257y x =-+的最小值是 A ．7-B ．7C ．5-D ．52．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =4，则cos A 的值为A ．35B ．53C ．45D ．343．如图，⊙C 与∠AOB 的两边分别相切，其中OA 边与⊙C 相切于点P ．若∠AOB =90°，OP =6，则OC 的长为A ．12B ．1C ．D ．4．将二次函数265y x x =-+用配方法化成2()y x h k=-+的形式，下列结果中正确的是 A ．2(6)5y x =-+B ．2(3)5y x =-+ C ．2(3)4yx =--D ．2(3)9yx =+-5．若一个扇形的半径是18cm ，且它的弧长是12π cm ，则此扇形的圆心角等于 A ．30° B ．60° C ．90° D ．120°6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(1-，2)， AB ⊥x 轴于点B ．以原点O 为位似中心，将△OAB 放大为 原来的2倍，得到△OA 1B 1，且点A 1在第二象限，则点A 1 的坐标为 A ．(2-，4) B ．(12-，1)C ．(2，4-)D ．(2，4)7．如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东37°方向，距离灯塔40 海里的A 处，它沿正北方向航行一段时间后， 到达位于灯塔P 的正东方向上的B 处．这时，B 处与 灯塔P 的距离BP 的长可以表示为A ．40海里B ．40tan37°海里C ．40cos37°海里D ．40sin37°海里8．如图，A ，B ，C 三点在已知的圆上，在△ABC 中， ∠ABC =70°，∠ACB =30°，D 是 的中点， 连接DB ，DC ，则∠DBC 的度数为A ．30°B ．45°C ．50°D ．70°9．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x 元后，每星期售出商品的总销售额为y 元，则y 与x 的关系式为A ．60(30020)y x =+B ．(60)(30020)y x x =-+C ．300(6020)y x =-D ．(60)(30020)y x x =-- 10．二次函数228yx x m=-+满足以下条件：当21x -<<-时，它的图象位于x 轴的下方；当67x <<时，它的图象位于x 轴的上方，则m 的值为A ．8B ．10-C ．42-D ．24-二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．若34a b =，则a b b+的值为 ．12．点A (3-，1y )，B (2，2y )在抛物线25yxx=-上，则1y2y ．（填“>”，“<”或“=”）13．△ABC 的三边长分别为5，12，13，与它相似的△DEF 的最小边长为15，则△DEF 的周长为 ．14．如图，线段AB 和射线AC 交于点A ，∠A =30°，AB =20．点D 在射线AC 上，且∠ADB 是钝角，写出一个满足条件 的AD 的长度值：AD = ．15．程大位所著《算法统宗》是一部中国传统数学重要的著作．在《算法统宗》中记载：“平地秋千未起，踏板离地一尺．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？” 【注释】1步=5尺． 译文：“当秋千静止时，秋千上的踏板离地有1尺高，如将秋千的踏板往前推动两步（10尺）时，踏板就和人一样高，已知这个人身高是5尺．美丽的姑娘和才子们，每天都来争荡秋千，欢声笑语终日不断．好奇的能工巧匠，能算出这秋千的绳索长是多少吗？” 如图，假设秋千的绳索长始终保持直线状态，OA 是秋千的静止状态，A 是踏板，CD 是地面，点B 是推动两步后踏板的位置，弧AB 是踏板移动的轨迹．已知AC =1尺，CD =EB =10尺，人的身高BD =5尺．设绳索长OA =OB =x 尺，则可列方程为 ．BAC16．阅读下面材料：在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：小敏的作法如下：老师认为小敏的作法正确．请回答：连接OA，OB后，可证∠OAP=∠OBP=90°，其依据是；由此可证明直线P A，PB都是⊙O的切线，其依据是．三、解答题（本题共72分，第17﹣26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．计算：24c os30ta n60sin45︒⋅︒-︒．18．如图，△ABC中，AB=12，BC=15，AD⊥BC于点D，∠BAD求tan C的值．19．已知抛物线223y x x=-++与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧．（1）求A，B两点的坐标和此抛物线的对称轴；（2）设此抛物线的顶点为C，点D与点C关于x轴对称，求四边形ACBD的面积．20．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠BDC．（1）求证：△ABD∽△DCB；（2）若AB=12，AD=8，CD=15，求DB的长．21．某小区有一块长21米，宽8米的矩形空地，如图所示．社区计划在其中修建两块完全相同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都留有宽度为x 米的人行通道．如果这两块绿地的面积之和为60平方米，人行通道的宽度应是多少米？22．已知抛物线1C ：2124y xx k=-+与x 轴只有一个公共点．（1）求k 的值；（2）怎样平移抛物线1C 就可以得到抛物线2C ：222(1)4y x k=+-？请写出具体的平移方法；（3）若点A （1，t ）和点B （m ，n ）都在抛物线2C ：222(1)4y x k=+-上，且nt<，直接写出m 的取值范围．23．如图，AB 是⊙O 的一条弦，且AB =C ，E 分别在⊙O 上，且OC ⊥AB 于点D ，∠E =30°，连接OA ． （1）求OA 的长；（2）若AF 是⊙O 的另一条弦，且点O 到AF 的距离为直接写出∠BAF 的度数．24．奥林匹克公园观光塔由五座高度不等、错落有致的独立塔组成．在综合实践活动课中，某小组的同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔的高度（测角仪高度忽略不计）．他们的操作方法如下：如图，他们先在B 处测得最高塔塔顶A 的仰角为45°，然后向最高塔的塔基直行90米到达C 处，再次测得最高塔塔顶A 的仰角为58°．请帮助他们计算出最高塔的高度AD 约为多少米．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）25．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径．PC 是⊙O 的切线，C 为切点，PD ⊥AB 于点D ，交AC 于点E ．（1）求证：∠PCE =∠PEC ； （2）若AB =10，ED =32，sin A =35，求PC 的长．26．阅读下面材料：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线1y a x b =+双曲线2k y x=交于A （1，3）和B （3-，1-）两点．观察图象可知：①当3x =-或1时，12y y =； ②当30x -<<或1x >时，12y y >，即通过观察函 数的图象，可以得到不等式k a x b x+>的解集． 有这样一个问题：求不等式32440x x x +-->的解集．某同学根据学习以上知识的经验，对求不等式32440x x x +-->的解集进行了探究． 下面是他的探究过程，请将（2）、（3）、（4）补充完整： （1）将不等式按条件进行转化当0x =时，原不等式不成立；当0x >时，原不等式可以转化为2441x x x +->； 当0x <时，原不等式可以转化为2441x x x+-<；（2）构造函数，画出图象设2341y x x =+-，44y x=中分别画出这两个函数的图象．双曲线44y x=如图2所示，请在此坐标系中画出抛物线．．．．．2341y x x =+-； （不用列表）（3）确定两个函数图象公共点的横坐标观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知：满足34y y =的所有x 的值为 ； （4）借助图象，写出解集结合（1）的讨论结果，观察两个函数的图象可知：不等式32440x x x +-->的解集为 ．27．如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数212yx b x c=-++的图象经过点A （1，0），且当0x =和5x =时所对应的函数值相等．一次函数3y x =-+与二次函数212y xb x c=-++的图象分别交于B ，C 两点，点B 在第一象限．（1）求二次函数212yx b x c=-++的表达式；（2）连接AB ，求AB 的长；（3）连接AC ，M 是线段AC 的中点，将点B 绕点M 旋转180°得到点N ，连接AN ，CN ，判断四边形ABCN 的形状，并证明你的结论．28．在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC = 4，M 为AB 的中点．D 是射线BC 上一个动点，连接AD ，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AE ，连接ED ，N 为ED 的中点，连接AN ，MN ．（1）如图1，当BD =2时，AN =_______，NM 与AB 的位置关系是____________； （2）当4<BD <8时，①依题意补全图2；②判断（1）中NM 与AB 的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；（3）连接ME ，在点D 运动的过程中，当BD 的长为何值时，ME 的长最小？最小值是多少？请直接写出结果．图1 图2 备用图29．在平面直角坐标系xOy中，过⊙C上一点P作⊙C的切线l．当入射光线照射在点P处时，产生反射，且满足：反射光线与切线l的夹角和入射光线与切线l的夹角相等，点P称为反射点．规定：光线不能“穿过”⊙C，即当入射光线在⊙C外时，只在圆外进行反射；当入射光线在⊙C内时，只在圆内进行反射．特别地，圆的切线不能作为入射光线和反射光线．光线在⊙C外反射的示意图如图1所示，其中∠1=∠2．图1 图2 图3 （1）自⊙C内一点出发的入射光线经⊙C第一次反射后的示意图如图2所示，P1是第1个反射点．请在图2中作出光线经⊙C第二次反射后的反射光线；（2）当⊙O的半径为1时，如图3，①第一象限内的一条入射光线平行于x轴，且自⊙O的外部照射在其上点P处，此光线经⊙O反射后，反射光线与y轴平行，则反射光线与切线l的夹角为__________°；②自点A(1 ，0)出发的入射光线，在⊙O内不断地反射．若第1个反射点P1在第二象限，且第12个反射点P12与点A重合，则第1个反射点P1的坐标为______________；（3）如图4，点M的坐标为(0，2)，⊙M的半径为1．第一象限内自点O出发的入射光线经⊙M反射后，反射光线与坐标轴无公共点，求反射点P的纵坐标的取值范围．图4。