三角形的边 ppt课件
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三角形三边关系ppt课件
高层建筑 高层建筑的结构设计中，经常采用三角形支撑结 构，利用三角形三边关系来增强建筑的稳定性和 抗风能力。
建筑设计软件 现代建筑设计软件中集成了三角形三边关系的计 算功能，帮助建筑师快速准确地完成设计。
地理测量中距离计算
三角测量法
01
在地理测量中，利用三角形三边关系和已知的两个角度或两条
边长，可以计算出未知的距离或角度。
04
与三角形三边关系相关的数学定理
勾股定理及其逆定理
01
02
03
勾股定理
在直角三角形中，直角边 的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边满足勾 股定理，则这个三角形是 直角三角形。
应用举例
通过勾股定理可以判断一 个三角形是否为直角三角 形，以及求解直角三角形 的未知边长。
余弦定理及其推论
特殊情况下的三边关系
等边三角形
三边长度相等，任意两边之和等 于两倍的第三边，任意两边之差
等于0。
等腰三角形
有两边长度相等，这两边之和大于 第三边，同时这两边之差等于0。
直角三角形
满足勾股定理，即直角边的平方和 等于斜边的平方。同时也满足任意 两边之和大于第三边和任意两边之 差小于第三边的条件。
03
三角形三边关系应用举例
判断三条线段能否构成三角形
定理应用：任意两边之和大于第三边，任 意两边之差小于第三边。
实例分析：如线段a=3cm, b=4cm, c=5cm，因为a+b>c, a+c>b, b+c>a， 所以能构成三角形。
2. 验证是否满足定理条件。
判断步骤 1. 测量或计算三条线段的长度。
余弦定理
在任意三角形中，任意一 边的平方等于其他两边平 方和减去这两边与它们夹 角的余弦的积的两倍。
建筑设计软件 现代建筑设计软件中集成了三角形三边关系的计 算功能，帮助建筑师快速准确地完成设计。
地理测量中距离计算
三角测量法
01
在地理测量中，利用三角形三边关系和已知的两个角度或两条
边长，可以计算出未知的距离或角度。
04
与三角形三边关系相关的数学定理
勾股定理及其逆定理
01
02
03
勾股定理
在直角三角形中，直角边 的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边满足勾 股定理，则这个三角形是 直角三角形。
应用举例
通过勾股定理可以判断一 个三角形是否为直角三角 形，以及求解直角三角形 的未知边长。
余弦定理及其推论
特殊情况下的三边关系
等边三角形
三边长度相等，任意两边之和等 于两倍的第三边，任意两边之差
等于0。
等腰三角形
有两边长度相等，这两边之和大于 第三边，同时这两边之差等于0。
直角三角形
满足勾股定理，即直角边的平方和 等于斜边的平方。同时也满足任意 两边之和大于第三边和任意两边之 差小于第三边的条件。
03
三角形三边关系应用举例
判断三条线段能否构成三角形
定理应用：任意两边之和大于第三边，任 意两边之差小于第三边。
实例分析：如线段a=3cm, b=4cm, c=5cm，因为a+b>c, a+c>b, b+c>a， 所以能构成三角形。
2. 验证是否满足定理条件。
判断步骤 1. 测量或计算三条线段的长度。
余弦定理
在任意三角形中，任意一 边的平方等于其他两边平 方和减去这两边与它们夹 角的余弦的积的两倍。
《三角形的边》PPT教学课件1人教版
A
△ADC的角有_∠__A_D_C__, _∠__C__, _∠__D_A__C_；
以AB为边的三角形有_△__A_B_D__，_△__A__B_C_；
以D为顶点的三角形有△__A_B__D_,_△__A_D__C；
∠C是△ADC 的_A_D__边的对角;
B
D
C
BD是△ABD中∠_B_A_D_ 的对边.
接所组成的图形叫做三角形.
A顶点
如图，顶点A所对的边BC用 a表示
c
∠B所对的边是__A__C___
AB边 所对的角是__∠__C___
B 顶点
a
b
C 顶点
三角形的有关概念
顶点: 点A 点B 点C
三边: BC
AC
AB
a
b
c
内角: ∠A ∠ B ∠ C
A
c
b
B
a
C
三角形的有关概念
顶点: 点A 点B 点C
课堂小结
三角形 的定义
三角形 具有稳 定性
知识
三角形 的分类
三角形 的三边 关系
课堂小结
方程 分类讨 例 有两根长度分别为5 cm和8 cm的木棒，用长度为2 cm的木棒与它们能组成三角形吗？为什么？长度为13 cm的木棒呢？
三角形两边的和大于第三边
思想 △ADC的角有___________________；
用四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗?
AB+BC>AC
解：∵5+2<8，
在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗?
BD是△ABD中∠____ 的对边.
△ADC的角有_∠__A_D_C__, _∠__C__, _∠__D_A__C_；
以AB为边的三角形有_△__A_B_D__，_△__A__B_C_；
以D为顶点的三角形有△__A_B__D_,_△__A_D__C；
∠C是△ADC 的_A_D__边的对角;
B
D
C
BD是△ABD中∠_B_A_D_ 的对边.
接所组成的图形叫做三角形.
A顶点
如图，顶点A所对的边BC用 a表示
c
∠B所对的边是__A__C___
AB边 所对的角是__∠__C___
B 顶点
a
b
C 顶点
三角形的有关概念
顶点: 点A 点B 点C
三边: BC
AC
AB
a
b
c
内角: ∠A ∠ B ∠ C
A
c
b
B
a
C
三角形的有关概念
顶点: 点A 点B 点C
课堂小结
三角形 的定义
三角形 具有稳 定性
知识
三角形 的分类
三角形 的三边 关系
课堂小结
方程 分类讨 例 有两根长度分别为5 cm和8 cm的木棒，用长度为2 cm的木棒与它们能组成三角形吗？为什么？长度为13 cm的木棒呢？
三角形两边的和大于第三边
思想 △ADC的角有___________________；
用四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗?
AB+BC>AC
解：∵5+2<8，
在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗?
BD是△ABD中∠____ 的对边.
11.1.1 三角形的边 课件(共24张PPT)
若一个三角形的两边长分别是2和4，第三
边的长可能是( B )
A.2
B.4
C.6
D.8
解析:设第三边的长为x，由三角形的三边关系，得
4-2<ⅹ<4+2，即2<ⅹ<6.观察四个选项，知B项正确.
特别提醒
“两边的和”“两边的差”中的“两边”是指三角形的任
意两边。
总结
根据三角形的三边关系可得三角 形的任意一边总是大于另两边之 差，小于另两边之和，据此通过 列不等式(组)求出三角形的待求 边长的取值范围.
( D)
A.2，2，4
B.5，6，12
C.5，7，2
D.6，8，10
思路分析:根据“三角形两边之和大于第三
边”可以判断长度为各个选项中数值的三
条线段是否能组成三角形。
3.若一个等腰三角形中的两边长分别是 4cm和8cm，则此三角形的周长为( B)
A.16cm B.20cm C.16cm或20cm
解析:当腰长是4cm时，则三角形的三边长分别 是4cm，4cm，8cm,4+4=8，不满足三角形的三 边关系，舍去；当腰长是8cm时，三角形的三 边长分别是8cm,8cm,4cm,8+4>8，符合三角形 的三边关系，此时三角形的周长是20cm.
α
A
b
C
如图:△ABC有三条边，三个内角，三个顶点。
顶点:相邻两边的 公共端点是 三角形的顶 点。
3.三角形的表示
顶点A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读 作“三角形ABC”。
注意:在△ABC中，∠A的对边可以用BC表 示，也可以用a表示；∠B对边可以用AC 表示，也可以用b表示；∠C的对边可以用 AB表示，也可以用c表示。
《三角形的边》三角形PPT优质课件
C、因为3+4＜8，所以不能构成三角形，故C错误；
D、因为3+3＞4，所以能构成三角形，故D正确．
故选：D．
知识巩固
2.若三角形的三边长分别为3,2-2x，5，则x的取值范围是多少？
-3＜x＜0
解析：由三角形的三边关系可知，
5-3 ＜2-2x ＜5+3
解得-3＜x＜0，
典例剖析
2a
已知△ABC的三边长分别是a、b、c，化简|a+b-c|-|b-a-c|=______。
一个三角形的三边关系：
三角形任何两边的和大于第三边，任何两边的差小于第三边。
典例剖析
三角形的两边分别为3和7，第三边长为偶数，求第三边的长。
解：∵ ︳两边之差︳<第三边 <两边之和
∴ 7-3<第三边<7+3
即4<第三边<10
又∵ 第三边为偶数
∴ 三边的长为6或8
方法点拨
在三角形第三边未知的情况下，判段第三条边可能有两种情况。三角形三边的关系：三角形
×（18-4）=7cm，所以能围成三角形。
例：如图，点P是△ABC内一点，连接BP，并
延长交AC于点D。
（1）试探究线段AB+BC+CA与线段2BD的大
小关系；
（2）试探就AB+AC与PB+PC的大小关系。
解：（1）∵根据三角形三边关系可得AB+AD＞BD，BC+AD＞BD，
∴AB+AD+BC+AD＞2BD，
一个三角形,若不符合就不可能构成一个三角形。
解：（1）设底边长为xcm，则腰长为2xcm，
x+2x+2x=18，可得：x=3.6cm
D、因为3+3＞4，所以能构成三角形，故D正确．
故选：D．
知识巩固
2.若三角形的三边长分别为3,2-2x，5，则x的取值范围是多少？
-3＜x＜0
解析：由三角形的三边关系可知，
5-3 ＜2-2x ＜5+3
解得-3＜x＜0，
典例剖析
2a
已知△ABC的三边长分别是a、b、c，化简|a+b-c|-|b-a-c|=______。
一个三角形的三边关系：
三角形任何两边的和大于第三边，任何两边的差小于第三边。
典例剖析
三角形的两边分别为3和7，第三边长为偶数，求第三边的长。
解：∵ ︳两边之差︳<第三边 <两边之和
∴ 7-3<第三边<7+3
即4<第三边<10
又∵ 第三边为偶数
∴ 三边的长为6或8
方法点拨
在三角形第三边未知的情况下，判段第三条边可能有两种情况。三角形三边的关系：三角形
×（18-4）=7cm，所以能围成三角形。
例：如图，点P是△ABC内一点，连接BP，并
延长交AC于点D。
（1）试探究线段AB+BC+CA与线段2BD的大
小关系；
（2）试探就AB+AC与PB+PC的大小关系。
解：（1）∵根据三角形三边关系可得AB+AD＞BD，BC+AD＞BD，
∴AB+AD+BC+AD＞2BD，
一个三角形,若不符合就不可能构成一个三角形。
解：（1）设底边长为xcm，则腰长为2xcm，
x+2x+2x=18，可得：x=3.6cm
直角三角形三边的关系课件
2. 如果一个直角三角形的两条边长分别是3厘米和4厘米， 那么这个三角形的周长是多少厘米?
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂 拥而出 或留恋 财物， 要当机 立断， 披上浸 湿的衣 服或裹 上湿毛 毯、湿 被褥勇 敢地冲 出去
勾股定理的无字证明
赵爽弦图
c b
a
a
①
②
cb
证明：s总=4s1+s2
4*1ab ba2 2
大正方形的面积可以表示为 (a+b)2 。
又可以表示为
4
ab 2
c2．
对比两种表示方法，看看能不能
得到勾股定理的结论．
(a+b)2= 4 ab C2 2
c2 = a2+ b2
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂 拥而出 或留恋 财物， 要当机 立断， 披上浸 湿的衣 服或裹 上湿毛 毯、湿 被褥勇 敢地冲 出去
1
(a+b)(a+b) =
(a2+b2)+ ab
21
S梯形 =
2
1
c2 +2 ·
1
ab =
c2+ab
德 证 法
2
2
2
即：在Rt△ABC中，∠C=90°
c2 = a2 + b2
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂 拥而出 或留恋 财物， 要当机 立断， 披上浸 湿的衣 服或裹 上湿毛 毯、湿 被褥勇 敢地冲 出去
已知 1=S 12,=S3S3,=2S4,=4,S求 5、 S6、 S7的值
S2 S1 S5
S3
S4
S6
S7
结论:
S1+S2+S3+S4 =S5+S6 =S7
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂 拥而出 或留恋 财物， 要当机 立断， 披上浸 湿的衣 服或裹 上湿毛 毯、湿 被褥勇 敢地冲 出去
勾股定理的无字证明
赵爽弦图
c b
a
a
①
②
cb
证明：s总=4s1+s2
4*1ab ba2 2
大正方形的面积可以表示为 (a+b)2 。
又可以表示为
4
ab 2
c2．
对比两种表示方法，看看能不能
得到勾股定理的结论．
(a+b)2= 4 ab C2 2
c2 = a2+ b2
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂 拥而出 或留恋 财物， 要当机 立断， 披上浸 湿的衣 服或裹 上湿毛 毯、湿 被褥勇 敢地冲 出去
1
(a+b)(a+b) =
(a2+b2)+ ab
21
S梯形 =
2
1
c2 +2 ·
1
ab =
c2+ab
德 证 法
2
2
2
即：在Rt△ABC中，∠C=90°
c2 = a2 + b2
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂 拥而出 或留恋 财物， 要当机 立断， 披上浸 湿的衣 服或裹 上湿毛 毯、湿 被褥勇 敢地冲 出去
已知 1=S 12,=S3S3,=2S4,=4,S求 5、 S6、 S7的值
S2 S1 S5
S3
S4
S6
S7
结论:
S1+S2+S3+S4 =S5+S6 =S7
人教版八年级数学上册数学课件：11.1.1三角形的边(共16张PPT)
A.9
B.12
C.15
D.12或15
3.已知三角形的三边长为连续整数,且周长为12cm,则它的最
短边长为( B )
A.2cm
B.3cm
C.4cm D.5cm
2020/7/14
13
二、填空题：
5.若五条线段的长分别是2cm,3cm,4cm,5cm,则以其中三
条线段为边可构成___3___个三角形。
6.若等腰三角形的两边长分别为3和7,则它的周长为_1_7_____; 若等腰三角形的两边长分别是3和4,则它的周长为 10或11 。
11、如图，点P是⊿ABC内一点，试证明： AB+AC>PB+PC.
2020/7/14
15
作业：
课本P8，第1，2题
2020/7/14
16
2.已知等腰三角形两边长分别为5和6，则这个三角 形的周长为（ ）
A.11 或17
B.16
C.17
D.16
2020/7/14
11
当堂训练题
3.一个等腰三角形的一边长为6cm，周长为20cm，求其他两 边的长. 4.已知等腰三角形的一边长为5，一边长为6，求它的周长. 拓展题： 若a,b,c表示ΔABC的三边长，则
第十一章 三角形
2020/7/14
1
11.1.1 三角形的边
2020/7/14
2
学习目标
1.理解、识记三角形的概念及分类； 2.理解并能正确运用“三角形两边的和大于第
三边”的性质.
2020/7/14
3
自学指导
认真看课本（第十一章引言--P4练习前）要求：
1.什么是三角形，思考“首尾顺次相接”是什么含义；
三角形的三边关系课件
本节课知识点总结回顾
三角形的基本概念和性质
01
三角形是由三条不在同一直线上的线段首尾顺次连接所组成的
封闭图形。
三角形三边关系定理
02
三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
三角形按边的分类
03
根据三角形的边长关系，可以将三角形分为等边三角形、等腰
三角形和一般三角形。
学生自我评价报告展示
交通网络优化
三角形的三边关系还可以应用于交通网络的优化。通过分析交通网络中各个节 点之间的连接关系，可以合理规划道路布局，提高交通网络的通行效率和便捷 性。
其他领域应用举例
机械设计
在机械设计中，三角形的稳定性原理被用于设计各种支撑 结构和连接件。例如，三角形的支架可以用于支撑机械部 件，确保其稳定性和可靠性。
对于多边形，可以将其划分成若 干个三角形，然后利用三角形的 三边关系定理来推断多边形的边 长关系。
实际应用
在建筑、工程等领域中，经常需 要利用三角形的三边关系定理来 解决实际问题，如测量距离、设 计结构等。同时，对于多边形边 长关系的探索也可以为相关领域 的研究提供新的思路和方法。
THANK YOU
02
三角形三边关系定理
三角形两边之和大于第三边
对于任意三角形ABC，有AB + BC > AC，AC + BC > AB，AB
+ AC > BC。
三角形两边之和大于第三边是三 角形的基本性质之一，也是判断 三条线段能否构成三角形的必要
条件。
若三条线段满足三角形两边之和 大于第三边的条件，则它们可以 构成一个三角形；反之，则不能。
当两点之间直线距离不可达时， 可以通过构造三角形并利用三 边关系找到最短路径。
三角形-ppt课件
图9
14.如图9， 是 的外角， 平分 ，若 ， ，则 _ ___.
15.已知 为正整数，若一个三角形的三边长分别是 ， ， ，则满足条件的 值有___个.
7
图10
16.将三角尺按如图10所示放置在一张矩形纸片上， ， ， ，则 的度数为_ _____.
三、解答题
C
A. B. C. D.
图4
7.如图4，已知直线 ， ， ，则 的度数为( ) .
B
A. B. C. D.
图5
8.将一副三角尺按图5所示位置摆放，点 在 上，其中 ， ， ， ， ，则 的度数是( ) .
A
A. B. C. D.
图6
9.如图6， ， 是 的高， 与 相交于点 ，则 与 之间的数量关系是( ) .
C
A. B. C. D.不能确定
图7
10.如图7，将 沿着 减去一个角后得到四边形 ，若 和 的平分线交于点 ， ，则 的度数是( ) .
B
A. B. C. D.
图11
17.如图11，在 中， 分别是 的高和角平分线.
（1）若 ， ，求 的度数.
[答案]
（2）写出 与 的数量关系,并证明你的结论.
[答案]
图12
18.如图12，在 中， ， 于点 .
（1）求证 .
证明： ， ， ，
（2）若 平分 分别交 于点 求证 .
第十一章 三角形
知识梳理、真题剖析
单元练习
知识梳理1
三角形
与三角形有关的边
（1）三角形的定义：由__________________的三条线段______________所组成的图形.（2）三边关系：三角形两边的和______第三边，两边的差______第三边.（3）三角形的高：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线________所得线段.（4）三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边______的线段.（5）三角形的重心：三角形三条______的交点.
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三角形的边
16
解：因为长为4厘米的边可能是腰，也可能是底边， 所以需要分情况讨论。
（1）如果4厘米长为底边，设腰长为X厘米， 则4+2X=18，解得X=7.
（2）如果4厘米长为腰，设底边长为X厘米， 则2X4+X=18,解得X=10.
因为4+4＜10，出现两边和小于第三边的情况， 所以不能围成腰长为4厘米的等腰三角形。
利用你发现的规律填空
C AB+AC
BC
AB+BC
AC
AC+BC
AB
C
B
c
(2)在一个三角形中,任意两边之和与第三边的长度有怎样的关系? 为什么?由此你能得到什么结论?
三角形任意两边之和大于第三边 2020/10/22
三角形的边
9
1.下列长度的三条线段能否
组成三角形？为什么？
（1） 3，4，8 （2） 2，5，6
❖ （1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长 是多少？
❖ （2）能围成有一边的长为4厘米的等腰三角 形吗？为什么？
2020/10/22
三角形的边
15
❖ 解：设底边长为X厘米，则腰长为2X厘米
X+2X+2X=18 解得X=3.6 所以三边长分别为3.6厘米，7.2厘米，7.2 厘米。
2020/10/22
三角形的边
19
P75 1,2
2020/10/22
三角形的边
20
顶点B，顶点C。
边：三角形中三边 AB、BC、AC。
2020/10/22
三角形的边
6
试一试
A
1.图中有几个三角
E
形？用符号表示这
些三角形。
B
D
ΔABEΔABC ΔBECΔBCD
C ΔECD
2.以AB为边的三角形有哪些？△ABC、△ABE
3.以E为顶点的三角形有哪些？
△ ABE 、△BCE、 △CDE 4.以∠D为角的三角形有哪些？△ BCD、 △DEC
七年级《数学(下)》
下面请大家仔细观察一组图片，看看它们有什么共同特
2020/10/22
三角形的边
2
精品资料
观察下面的屋顶框架图
斜
斜
想
梁
梁
一
想
直
梁
： 1.你能从中找出四个不同的三角形吗？
2.与你的同伴交流各自找到的三角形。
3.这些三角形有什么共同的特点？
请同学们自学课本并回答有关问题。
2020/10/22
（不能 ） （能 ）
（3） 5，6，10
（能 ）
（4） 3，5，8
（不能 ）
思 判断三条线段能否组成三角形，是否一定要检验 考 三条线段中任何两条的和都大于第三条？根据你
刚才解题经验，有没有更简便的判断方法？
只要选取两条较短的线段，求出和再与
最长的线段比较 ，和较大，则可以；否
则不能组成三角形。
2020/10/22
三角形的边
4
你能回答吗
AA
1.这些三角形有什么共同的特点？
cF
三角形有三条边、三个内角 、三个
b GC
顶点 2.什么叫做三角形？
BB
Da E
C
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三
角形。
3.如何表示三角形？ 三角形可用符号“△”表示 如右图，三角形记作：△ABC
（注：表示三角形时，字母没有先后顺序）
5.说出其中ΔBCD的三个角 ∠BCD 、 ∠CBD 、∠D
2020/10/22
三角形的边
7
一小虫从B到C所走的路线中,哪条路线最短
A
C B
AB+AC > BC
BC+AB > AC
2020/10/22
三角形的边
8
议一议
A B
A B
A
(1) 元宵节的晚上，房梁上亮起了彩灯，装 有黄色彩灯的电线与装有红色彩灯的电线哪 根长呢？说明你的理由。
三角形的边
10
想一想
❖ 三角形按照三个角的大小都有哪些三角形呢？ （独立思考）
❖ （锐角三角形 直角三角形 钝角三角形） ❖ 三角形按照三条边长的大小关系又有哪些三角形
呢？（独立思考） ❖ （等边三角形 等腰三角形 不等边三角形） ❖ 三角形都可以怎样进行分类？（与同伴交流）
2020/10/22
三角形的边
11
三角形的分类
按角分
直角三角形
锐角三角形 钝角三角形
不等边三角形（不规则三角形）
按边分
只有两条边相等的
等腰三角形 等腰三角形
等边三角形
2020/10/22
三角形的边
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请用所学的数学知识解释：
.B
人 行 横 道
为什么经常有 行人斜穿马路 而不走人行横
道
.A
1.三角形任意两边之和大于第三边
2.两点之间的所有连线中，线段最短
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三角形的边
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你信吗？
有人说，自己步子大， 一步能走3米多，你相 信吗？说说你的理由！
3米
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答：不信。如果此人一步能走3米多，
由三角形三边的关系得，此人的腿长 要大于1.5米，这与实际情况相矛盾， 所以它一步不能走3米多。
三角形的边
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❖ 用一根长为18厘米的细铁丝围成一个等腰三 角形。
由以上结论可知，可以围成底边长是4厘米 的等腰三角形。
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三角形的边
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1.小明有长为2cm，4cm,5cm,7cm的四根木 条，任意选其中三根组成三角形，他能组 成几个三角形？
2.已知等腰三角形的一边等于7，一边等于8， 求它的周长。
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三角形的边
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4.三角形的边可以怎么表示？ 如图三角形中三边可表示为AB、BC、AC，顶点A所对的边BC也 可202表0/10/示22 为a，顶点B所对的边A三角C形表的边示为b，顶点C所对的边AB表5 示c
如果我说三角形有 三要素,你能猜出是哪 三要素吗?
A
c
B
a b
C
角：三角形中有三个角：∠A，∠B，∠C
顶点：三角形中有三个顶点，顶点A，