时间序列关联维数快速算法及实现
correlation_dimension
第2章 关联维第2章关联维 (1)2.1 引言 (2)2.2 G-P关联维算法的计算和缺陷 (2)2.3高斯核关联维的计算和应用 (4)2.4非主观关联维的计算 (5)2.5海杂波的关联维及其应用 (6)2.6本章小结 (6)2.7后记 (6)2.1 引言时间序列经过相空间重构后，就可以进行混沌不变量的计算来判断是否具有混沌特性。
常用的混沌不变量有关联维[1] 、Kolmogorov 熵[2] 和Lyapunov 指数[3] 等，本章重点介绍关联维和Kolmogorov 熵的计算和应用。
本章中各节主要内容如下：2.2节介绍经典的G-P 关联维算法的实现和缺陷，2.3节介绍高斯核关联维算法的计算及其应用，2.4节介绍非主观参数选择的G-P 关联维算法，2.5节介绍海杂波关联维的计算及其在目标检测中的应用，2.6节为本章小结。
2.2 G-P 关联维算法的计算和缺陷混沌是非周期与非随机的动力学过程，表面上看和研究不平滑、不可微分几何结构的分形学没有联系，但大量研究表明混沌时间序列构造的吸引子就是分形集，分形维数是刻划动力系统是否具有混沌特征的定量指标之一。
对于分形维数，比较严格的数学定义是豪斯道夫维数，但是由于数据量的限制难以在实际中应用。
最早用于计算分形维数的简单方法是计盒法，但是计盒法针对高维系统计算速度太慢，并易受噪声的影响[4] 。
关联维数是比较有效的分形维计算方法，自从1983年Grassberger 和Procaccia 提出从时间序列计算关联维2D [1] 和Kolmogorov 熵[2] 的方法后，就被大量研究人员广泛地使用。
它的具体定义如下：设点12,,,N X X X 是相空间内吸引子上的点，用()r i B X 表示以参考点i X 为中心、半径是的球形盒子，盒子的形状不会影响维数的计算，盒子r ()r i B X 的概率测度为()(1,11N r i i j j i j P B X H r X X N =≠=−⎡⎤⎣⎦−∑)− (2.1) 其中•是Euclidean 范数，而为Heaviside 阶跃函数H()1000x H x x ≥⎧=⎨<⎩ (2.2) 则关联维数为()20ln lim ln r C r D r→= (2.3) 其中为关联积分如下 ()C r()()1,11(1)N N i j i i j j C r H r X X N N =≠==−−=−∑∑相点间距离小于r的相点对数目所有相点对数目(2.4) 当时，关联积分与之间存在标度关系0r →()C r r ()2D C r r ∝，即有()(01,11lim lim (1)N N i j r N i i j j C r H r X X N N →→∞=≠==−∑∑)−− (2.5) 因此，从理论上说作出对ln 的变化图，则图中曲线的斜率就等于关联维数。
数据库中的时间序列数据处理与分析方法
数据库中的时间序列数据处理与分析方法随着数据的快速增长，企业对时间序列数据（Time Series Data）的处理和分析需求也越来越高。
时间序列数据具有时间上的连续性和依赖性，因此需要特殊的处理和分析方法。
本文将介绍数据库中常用的时间序列数据处理和分析方法，以帮助读者更好地理解和应用。
一、时间序列数据的特点时间序列数据是指按照时间顺序排列的数据集合，其具有以下特点：1. 时间依赖性：时间序列中的每个数据点都与过去或未来的数据点有关联，因此需要有效的时间排序和索引方法。
2. 趋势性：时间序列数据可能会存在长期趋势，例如股票价格随时间的变化。
因此，需要对数据进行趋势性分析和预测。
3. 季节性：时间序列数据可能会呈现出一定的周期性变化，例如销售额在每年的节假日期间增加。
因此，需要对季节性进行建模和分析。
二、时间序列数据的处理方法1. 数据清洗：时间序列数据常常存在缺失值、异常值等问题，需要进行数据清洗。
常用的方法包括插值填充缺失值、平滑异常值等。
2. 数据聚合和离散化：时间序列数据可能以不同的时间粒度进行采样，需要进行数据聚合和离散化。
常用的方法包括平均聚合、最大最小值聚合等。
3. 数据平滑：时间序列数据可能存在较为明显的噪声，需要进行平滑处理。
常用的方法包括移动平均、指数平滑等。
4. 数据变换：时间序列数据常常需要进行一些变换才能满足分析的需求。
常用的方法包括差分、对数变换等。
三、时间序列数据的分析方法1. 趋势性分析：对于时间序列数据的趋势性分析，可以使用线性回归、指数平滑、移动平均等方法。
这些方法可以较好地描述并预测数据中的长期趋势。
2. 季节性分析：对于存在季节性的时间序列数据，可以使用季节性分解法、ARIMA模型等方法来建模和分析。
这些方法可以揭示数据中的季节性规律，并进行季节性预测。
3. 预测模型：对于时间序列数据的未来值预测，可以使用相关性分析、ARIMA模型、神经网络等方法。
这些方法可以基于过去的数据来预测未来的趋势和变化。
人民币兑美元汇率混沌动力学预测模型
人民币兑美元汇率混沌动力学预测模型应用混沌理论对人民币兑美元汇率系统进行建模及预测。
建立了两个混沌动力学模型，即人民币兑美元汇率的日收益序列预测模型和人民币兑美元的日汇率序列预测模型。
实证结果表明，两个模型的预测结果都好于均值模型的预测。
其中，前者的预测均方根误差比较大，而后者的预测均方根误差非常小,表明两个模型中，后者更适合于人民币兑美元汇率的预测。
标签：汇率混沌预测2005年7月21日,中国人民银行宣布了改变人民币汇率形成机制的公告，我国开始实行以市场供求为基础、参考一篮子货币进行调节、有管理的浮动汇率制度。
由于人民币汇率不再盯住单一美元，因此，人民币汇率的变动趋势更加复杂化，汇率的波动带来的风险也大大超过以往，而汇率的频繁波动及由此带来的外汇风险对于国际金融、贸易和投资都具有关键性的影响作用，因此，正确预测人民币汇率的变化也变得越来越重要。
虽然人民币汇率不再盯住单一美元，但美元仍在一篮子货币中占有最大的比重。
因此正确预测人民币兑美元汇率走势将有助于我们有效的规避外汇风险。
人民币兑美元汇率系统是一个具有混沌特性的系统。
而混沌理论认为，由于混沌系统对初值的敏感性使得对其进行长期预测是不可能的。
但是，在短期内，系统运动轨迹发散应较小，从而利用观测资料进行短期预报是可行的。
因此，本文应用混沌理论对人民币兑美元汇率系统进行短期建模及预测的尝试。
一、理论与方法1.相空间重构理论相空间重构是对汇率序列进行混沌预测研究的基础，通过相空间重构可以找出隐藏在混沌吸引子中的演化规律，使序列数据能够纳入某种可描述的框架之下。
相空间重构是由Packard和Takens提出的，其目的是在高维相空间中恢复混沌吸引子。
系统任一分量的演化是由与之相互作用的其它分量所决定的。
因此，这些相关分量的信息就隐含在任一分量的发展过程中。
这样，就可以从某一分量的一批时间序列中提取和恢复系统原来的规律，这种规律是高维空间下的一种轨迹。
Packard等建议用原始系统中的某变量的延迟坐标来重构相空间，Takens则证明可以找到一个合适的嵌入维，即如果延迟坐标的维数是动力系统的维数，在这个嵌入维空间里可以把有规律的轨迹（吸引子）恢复出来。
从混沌时间序列同时计算关联维和Kolmogorov熵
从混沌时间序列同时计算关联维和Kolmogorov熵
赵贵兵;石炎福;段文锋;余华瑞
【期刊名称】《计算物理》
【年(卷),期】1999(16)3
【摘要】在ＧＰ算法的基础上提出用最小二乘法从时间序列同时计算出关联维
和Ｋｏｌｍｏｇｏｒｏｖ熵的方法。
对混沌系统，从本方法得出的关联维是最优的，同时也得到了Ｋｏｌｍｏｇｏｒｏｖ熵的稳定估计。
并用Ｒｏｓｌｅｒ吸引子和Ｌｏｒｅｎｚ吸引子为例证实了这一算法。
【总页数】7页(P309-315)
【关键词】时间序列;关联维;Kolmogorov熵;算法
【作者】赵贵兵;石炎福;段文锋;余华瑞
【作者单位】四川联合大学化工系
【正文语种】中文
【中图分类】O41;O414.2
【相关文献】
1.关联维数和Kolmogorov熵在变速箱状态判别中的关联性 [J], 毛向东;袁惠群;
孙华刚
2.混沌时间序列的Kolmogorov熵的应用研究 [J], 王平立;宋斌;王玲
3.基于Kolmogorov熵时间序列分析的垂直上升管中油水两相流流型表征 [J], 金宁德;聂向斌;任英玉;张明学
4.矿井涌水量时间序列混沌特性的Kolmogorov熵判别 [J], 肖江;连生土;唐依民;张焕英
5.一种利用小波包分析计算混沌时间序列Kolmogorov熵的方法 [J], 单华宁;王平立;王执铨
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高效处理时间序列数据的技巧和方法
高效处理时间序列数据的技巧和方法高效处理时间序列数据是数据分析和机器学习中的一个重要任务。
时间序列数据是按照时间顺序排列的数据集合，通常用于分析和预测未来的趋势和模式。
在处理时间序列数据时，我们需要考虑数据的特殊性，如数据的相关性、季节性、趋势性等。
下面是处理时间序列数据的一些常用技巧和方法。
1.数据可视化：对于时间序列数据，首先要进行数据可视化，以便了解数据的特征和趋势。
常用的数据可视化方法包括折线图、柱状图、散点图等。
2.平稳化处理：时间序列数据往往具有非平稳性，即数据的均值和方差随时间变化。
为了消除非平稳性，可以使用平稳化处理技术，例如差分法，即对时间序列数据进行一阶或二阶差分，使数据具有平稳性。
3.特征提取：在时间序列数据中，我们可以提取一些有用的特征变量，例如均值、标准差、最大值、最小值、峰度、偏度等。
这些特征可以用于构建模型和进行数据分析。
4.时间序列分解：时间序列分解是一种将原始时间序列数据分解为趋势、季节性和残差三个部分的方法。
这种分解可以帮助我们更好地理解时间序列数据的变化模式。
5.平滑技术：平滑技术是一种消除噪声和趋势变化的方法，常用的平滑技术有移动平均法、指数平滑法和加权平均法等。
6.时间序列建模：时间序列建模是通过建立数学模型来描述和预测时间序列数据的方法。
常用的时间序列模型包括自回归移动平均模型（ARMA）、自回归整合移动平均模型（ARIMA）和季节性自回归整合移动平均模型（SARIMA）等。
7.预测方法：通过建立时间序列模型，我们可以进行时间序列数据的预测。
常用的预测方法包括回归分析、指数平滑法、ARIMA模型、神经网络模型等。
8.异常检测：时间序列数据中可能存在异常值，这些异常值可能会对建模和预测结果产生不良影响。
因此，我们需要对时间序列数据进行异常检测，以剔除异常值或采取合适的处理方法。
9.交叉验证：在建立时间序列模型时，我们需要对模型进行验证。
由于时间序列数据具有时间依赖性，传统的交叉验证方法并不适用。
机器学习中的时间序列算法分析
机器学习中的时间序列算法分析随着各种智能设备和物联网的不断普及，大量的时间序列数据呈现出爆炸式增长的趋势。
时间序列数据是指随着时间而变化的数据，例如气温、人口数量、股票价格、交通流量等。
对于这些数据的分析和预测是实现智能化和精细化管理的关键。
机器学习中的时间序列算法是一种可行的解决方案，它通过对过去的数据进行学习和分析，在未来的预测中提供参考。
一、时间序列算法的基本原理在机器学习中，时间序列算法是一种监督学习方法，其基本原理是利用历史数据，通过学习和建模，预测未来的趋势和变化。
时间序列算法的处理对象是序列数据，其特点是时间维度是关键的，一个数据点的值与前后数据点形成的前后关系是重要的。
时间序列算法的过程一般包括以下几个步骤：数据采集：从各种数据源采集时间序列数据，包括传感器、设备、网络等。
数据预处理：对采集的原始数据进行预处理和清洗，包括缺失值的填充、异常点的剔除、数据平滑等。
特征提取：从预处理后的数据中提取有意义的特征，包括均值、方差、周期性、趋势性等。
建模训练：根据特征提取的结果，选取合适的模型进行训练，包括ARIMA模型、LSTM模型等。
预测分析：利用训练好的模型对未来的数据进行预测，并对预测结果进行分析和评估。
二、时间序列算法的常见模型1. ARIMA模型ARIMA模型，即自回归移动平均模型，是一种经典的时间序列预测模型，它主要包括三个部分：自回归过程、差分过程和移动平均过程。
ARIMA模型的主要作用是对数据的平稳性进行测试、对时间序列数据进行差分运算、并通过ARIMA（p，d，q）的方法进行预测。
ARIMA模型的核心是AR和MA模型，其中AR（p）代表自回归模型，MA（q）代表移动平均模型。
AR模型利用过去的值来预测未来的值，而MA模型利用过去的预测误差来预测未来的值。
ARIMA模型在时间序列预测和分析中有着广泛的应用。
2. LSTM模型LSTM模型，即长短期记忆网络模型，是一种神经网络模型，它通过对序列数据的状态进行记忆，实现了对长期依赖性的建模。
关联维数快速算法及其在机械故障诊断中的应用
收稿 日期 ：２ ０ ０ ２ 修改稿收到 日期 ：０９—１ ０ ９— ７— ７ ２０ ０—１ ５
第一作者 庞 茂 男 ， 博士后 ， 讲师 ， ７ 年生 １ ８ ９
第１ ２期
庞
茂等 ：关联维数快速算法及其在机械故障诊断 中的应用
将 时 间序 列 中 的 所 有 点 对顺 序 分 成 ： 。 （ ，
离 的方 法 ； 于数据 结构 的多尺 度 树算 法 ， 用二 元 树 基 运
关联积分 ｃ ｒ 反映了吸引子 中点 间距 的分布概 （） 率， 故在 ｒ 时 ｃ ｒ与 ｒ （） 存在如下关系 ：
ｌ ｉ ｒ ｃ ｍＣ（）ｏ ｒ
ｒ
（） ４
从 而得 到关联 维数 ：
Ｄ＝ 粥 ：１ ３
有关 联 的 向量对 个 数在 所 有 Ⅳ个 向量 的 种 配对 中
点对来提高计算速度 ， 即在这 Ⅳ Ｎ一 ）２个点集 中选 （ １／ 取部分点对进行计算来减小计算量。因此如何选取计 算距离的点对将直接影 响该方法 的计算量和精度。根 据关联 维 数 定 义 ， ｒ 为 所 有 点 对 上 的 （ Ｃ（ ） ｒ一 ｌ平均值 ， ｛ ） 则共有 Ⅳ（ Ｎ一１ ／ 一Ⅳ ／ 个点对 ， ）２ ２２
（ ５ ）
实际计算过程中， 不 可能取到无穷小 ， ｒ 通常是求 得在某一给定嵌入维数下一系列点， 然后作 出关联积 分曲线 ， 由关联积分曲线判断无标度区范围 ， 对落在元
标 度 区间 内的点 进 行 线 性 回归 ， 到 的直 线 斜 率 即 关 得
存储一个点 ， 通过迭代方式可以快速寻找到相邻点对 ； 运用区间阈值累加法和区间维值累加法来减少运算量 等 ＿ 。本 文在 分 析 关 联 积 分 计 算 量 基 础 上 ， 关 联 ３ Ｊ 从
时间序列数据的降维技术
时间序列数据的降维技术第一部分时间序列数据概述 (2)第二部分降维技术的重要性 (4)第三部分主成分分析(PCA)应用 (8)第四部分自相关函数(ACF)方法 (10)第五部分动态时间规整(DTW)算法 (14)第六部分隐马尔可夫模型(HMM)应用 (18)第七部分深度学习在降维中的应用 (21)第八部分降维技术的挑战与展望 (25)第一部分时间序列数据概述时间序列数据的降维技术摘要：随着信息技术的快速发展，时间序列数据在多个领域得到了广泛应用。
然而，这些数据往往具有高维度特性，给后续的数据处理和分析带来了挑战。
本文将首先对时间序列数据进行概述，然后探讨几种有效的降维技术，以期为相关研究提供参考。
一、时间序列数据概述时间序列数据是指按照时间顺序排列的一系列观测值，通常用于记录某一现象或对象在不同时间点的状态。
这类数据在金融、气象、生物、工业制造等多个领域有着广泛的应用。
例如，股票价格的变化、气温的波动、人体生理参数的监测以及设备运行状态的监控等都可以用时间序列数据来表示。
时间序列数据的特点包括：1.有序性：时间序列中的数据是按照时间先后顺序排列的，每个时间点对应一个或多个观测值。
2.连续性：时间序列通常是连续的，即相邻两个观测值之间的时间间隔相同。
3.相关性：时间序列中的数据往往存在一定的自相关性，即当前观测值与过去某个时间段内的观测值之间存在关联。
4.非平稳性：时间序列可能表现出非平稳的特性，即其统计特性（如均值、方差）随时间的推移而变化。
5.高维度：时间序列数据通常具有较高的维度，这会导致数据处理和分析的难度增加。
二、时间序列数据的降维技术由于时间序列数据的高维度特性，在进行后续分析之前，往往需要对数据进行降维处理。
降维技术可以有效地减少数据的复杂性，降低计算成本，同时有助于提高分析结果的准确性。
以下是几种常见的时间序列数据降维技术：1.主成分分析（PCA）：PCA 是一种线性降维方法，通过将原始数据变换到一个新的坐标系，使得数据在新坐标系下的方差最大化。
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装 甲 兵 工 程 学 院 学 报
Journal of A cademy of A r m ored Force E ngineering
D ec. 2007 V o. l 21 N o . 6
文章编号 : 1672 1497( 2007) 06 0058 04
时间间隔 , k 是整数。
第 6期
张小明等 : 时间序列关联维数快速算法及实现
59
N m = N - (m - 1) , 从这 N m 个点中任意选定 1 个参考点 X i , 计算其余 N m - 1 个点到 X i 的距离 dij = d (X i - X j ) = #X i - X j #, 联积分函数
Nm - 1 Nm
∃ ∃ H ( ri= 1 j = i+ 1
dij ),
则对应式 ( 5)、 ( 6), 有 2 Cm ( r) = ∗ N m (N m - 1 )
N -1 N
m
2 关联和的快速计算
从 G P算法可以看出 , 关联维数需要计算的点 对距离的数量较大, 并且随着数据量的增加, 计算耗 时呈指数级增加 , 在实际计算中 , 当时间序列长度为 20 480 点时, G P算法计算关联维数耗时达 32 m in,
i= 1 j = i+ 1
60
装甲兵工程学院学报
第 21 卷
这样, 采用式 ( 7) 、 ( 8)进行关联和 Cm ( r) 的计算 , 在 计算机编程中就较易实现 , 其程序的处理速度也比 采用式 ( 4)算法快数倍。 2 . 2 点对的最近邻搜索 方法一 : 计算相空间中所有点对的距离, 其时间 2 [ 4] 复杂度为 O (N ) , 可以看出该方法非常耗时, 尤 其是对于大数据量。 方法二 : 只计算小于阈值 r 的距离 , 如图 1( a) , 随着 r 的减小 , 所计算的数据量将大幅减少。但其 计算效率仍不足以满足在线评价的需要。
∃ ∃H
i= 1 j = i+ 1
m
m- 1
r-
∃
| x i+ l | - x j+ l | ,
( 7)
i= 0
Cm ( r ) =
N m - 1 Nm
2 ∗ N m (N m - 1 ) r - 0% m ax { | x i+ l | - x j+ l | } . l% m - 1 ( 8)
∃ ∃H
D 2 (m , r2 )
, j= 1 i
∃H r-
Nm
m- 1
∃
(x i+ l - x j+ l
, r> 0 . ( 4)
[ 3]
i= 0
式 ( 4) 是求关联维数时常用到的递推公式 , 但这样计算, 在时间序列长度较大时, 运算量会非常 大, 并且在计算机编程运算中 , 由于过多的中间重复 运算和计算的舍入误差 , 会出现意想不到的问题。 式 ( 4) 中的空间点间距计算是建立在欧氏空间 R 的球形领域 , 若采用 R 空间中与球形领域中距 离拓扑等价的菱形领域中的距离公式 , 或者采用方 形领域中的距离公式, 则 m 维相空间中的点 X i、 Xj
时间序列关联维数快速算法及实现
张小明
1
刘建敏
1
乔新勇
1
许世永
2
( 1. 装甲兵工程团公司 第 70研究所 , 大同 037036 )
摘
要 : 针对关联维数计 算耗时量大的问题 , 通过改进 点对距离的度量方 法 , 以及采 用 K NN 技术 进行点对的搜索
2 1 /2
当 N ∋ ( 时, C m ( r ) ) 1 。可以看出: 关联积分 Cm ( r )反映了吸引子中点间距离的分布概率, 因此有 D (m, r ) r 2 Cm ( r) = , r % dm ax, dm ax 式中 D 2 (m, r) 是与 m 及 r 有关的常数。对小距离 r1 和 r2, 有 C m ( r2 ) /Cm ( r1 ) = r2 dm ax
N
无法满足在线评估的要求。 在关联维数的计算和相空间 重构参数的选择 中, 计算量最大的部分就是关联和的计算, 关联和表 示了点的空间相关性 , 其本质就是 2 个任意点的距 离小于 r 的概率 , 这是关联维数计算的最主要部分, 也是最耗时的部分 , 主要包含距离计算和点对搜索。 因此 , 笔者从这 2方面入手, 对 G P 算法进行改进, 提高其计算效率。 2 . 1 点对距离的度量 由式 ( 1)得点 X i、 X j 之间的距离为 d ij = d 2 (X i - X j ) = # X i - X j # =
Abstract : Ai m ing at the m atter o f ti m e consu m ing in ca lculating the correlation d i m ensio n , by i m prov ing the m ethod o fm easuring the point po in t d istance , and by using the K N earest N eighbor Search techno logy to ca lculate the correlat ion sum, w e increase the ca lculat ing speed g reat ly. The actua l computation in dicates th at when th e ti m e ser ie s le ngth is 20 480 , the ti m e consu m pt ion of ca lculating th e correlation di m ensio n using the i m proved a lg orithm is 1 /60 o f that of usin g the G P algor ith m. K ey w ord s : ti m e series; correlat io n di m ensio n ; G P a lg orithm; K Nearest N eighbor Search 分形维数是定量刻画混沌吸引子 奇 异 程度 的一个重要参数 , 在众多的分形维数中, 关联维数对 吸引子的不均匀性反应敏感 , 更能反映吸引子的动 [ 1] 态结构 。系统的不确定性成分越多, 关联维数越 大 ; 系统的确定性成分越多 , 关联维数越小。因此 , 关联维数可用于定量 描述非线性系统 的运动。但 是 , 由 于 常 用 的 G P 算 法 ( G rassberger P rocacc ia algorithm ) 计算关联维数耗时 , 而且人为影响因素较 多 , 使得关联维数在实际中得不到广泛应用。 在关联维数的计算过程中, 关联和的计算所占 比重最大, 直接影响着关联维数的计算速度。笔者 通过改进点对距离的度量方法, 以及采用 K NN 技
d ij = d 1 (X i - X j ) = d ij = d( (X i - X j ) =
∃
| x i+ l - x j+ l |,
( 5)
l= 0
0% l% m- 1
m ax { | x i+ l - x j+ l | }.
( 6) 另外 , 由于 # X i - X j # = # X j - X i # , 且考虑 到当 i = j 时, # X i - X j # = 0 , 故关联积分的表达式为 C m ( r) = 2 N m (N m - 1)
[ 2- 3]
。设 { x k !k = 1 , 2 , ∀, N }
是观测某一系统得到的时间序列 , 对该时间序列进 m 行相空间重构 , 将其嵌入 m 维欧氏空间 R 中 , 得到 一个点 (或向量 )集 J (m ), 其元素记作 X n (m, ) = ( x n, xn+ , ∀, x n+ (m - 1) ), 式中 n= 1 , 2 , ∀, Nm , = k t 称作时间延迟, t是 2 次相邻采样的
m m
/
r1 d m ax
D 2 ( m, r1 )
,
对上式两边同时取对数, 得 lnCm ( r 2 ) - lnCm ( r1 ) = ln r2 dm ax
D (m, r )
2 2
- ln r 1 dm ax
D ( m, r )
2 1
,
之间的距离可分别表示为
m- 1
当 | r1 - r2 |很 小时 , D 2 (m, r2 ) ) D 2 (m, r1 )。因此 , 由 上式可得 d lnCm ( r) D 2 (m, r) = , d lnr 即 D 2 (m, r ) 是 lnCm ( r ) lnr 曲 线的斜 率。当 r ∋ 0 时 , 可得到 D 2 (m ) = rli mD (m, r ), ∋0 D 2 (m )不随相空间维数 m 的升高而改变时的值 D 2 = m li m D 2 (m ) ∋( 就是该时间序列的关联维数。 ( 3)
Fast A lgorithm for Calculating the Correlation D i m ension of T i m e Series
ZHANG X ia o m ing
1
L IU Jian m in
1
QI AO X in yong
1
XU Sh i yong
2
(1 . D epartm ent ofM echan ical Eng ineering, A cadem y of A r m ored Force Eng ineering, Bei jing 100072 , Ch in a ; 2 . N o. 7 R esearch Inst itu te, Ch ina N orth I ndu stries G roup C orporat ion, D atong 037036, C h ina)