三角变换与解三角形

第2讲 三角变换与解三角形
一、选择题
1．(2010·福建卷)计算1－2sin 222.5°的结果等于 ( ) A.12 B.22 C.33 D.32 解析：1－2sin 222.5°＝cos 45°＝22
. 答案：B
2．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝ ( ) A ．－43 B.54 C ．－34 D.45
解析：sin 2θ＋sin θ·cos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2
tan 2θ＋1，又
tan θ＝2，故原式＝4＋2－24＋1＝45.
答案：D
3．已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为 ( ) A ．75° B ．60° C ．45° D ．30° 解析：由题知，12×4×3×sin C ＝33，∴sin C ＝3
2.
又0<C <π2，∴C ＝π
3.
答案：B
4．(2010·威海模拟)已知方程
x 2＋4ax ＋3a ＋1＝0(a >0)的两根为
tan α、tan β，且α、β∈
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2，则tan
α＋β2
的值是
( )
A.12 B ．－2 C.43 D.1
2或－2
解析：∵a >0，∴tan α＋tan β＝－4a <0，tan α·tan β＝
3a ＋1>0，又∵α、β∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2，
∴α、
β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则α＋β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π2，0，∴tan(α＋β)＝
tan α＋tan β
1－tan α·tan β＝－4a
1－(3a ＋1)
＝
43
，∴tan(α＋β)＝2tan
α＋β
2
1－tan
2
α＋β
2
＝4
3，整理得2tan 2α＋β2＋3tan α＋β2－2＝0，解得tan α＋β2
＝－2或1
2
(舍去)．故选B.
答案：B
5．(2010·北京卷)某班设计了一个八边形的班徽(如图)，它
由腰长为1，顶角为α的四个
等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成．该八
边形的面积为 ( )
A ．2sin α－2cos α＋2
B ．sin α－3cos α＋3
C ．3sin α－3cos α＋1
D ．2sin α－cos α＋1 解析：等腰三角形的面积为12×1×1·sin α＝1
2sin α，
等腰三角形的底边长为a ＝12＋12－2×1×1×cos α
＝
2－2cos α，所以八边形面积为：4×1
2
sin α＋a 2
＝2sin α＋2－2cos α. 答案：A 二、填空题
6．(2010·北京卷)在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，∠C ＝2π
3，则a ＝________.
解析：由正弦定理b sin B ＝c sin C ，即1sin B ＝3sin 2π3，sin B ＝12，又b <c ，∴∠B ＝π
6
.
∴∠A ＝π
6.∴a ＝1.
答案：1 7．已知△ABC
的三个内角A ，B ，C 满足cos A (sin B ＋cos
B )＋cos
C ＝0，则∠A ＝________.
解析：由题意得
cos A (sin B ＋cos B )－cos(A ＋B )＝0，整
理得sin B (cos A ＋sin A )＝0，
因为sin B >0，所以cos A ＋sin A ＝0，tan A ＝－1，
又A ∈(0，π)，所以∠A ＝3π
4
.
答案：34
π
8．某工程设计员为了测量某地的地势，向正东方向走了x 千米后，他向右转150°，然 后朝新方向走了3千米，这时他距离出发点恰好为3千米，则x 的值为________．
解析：如图，设此人从A 出发，则AB ＝x ，BC ＝3，AC ＝3，∠ABC ＝30°，由正 弦定理得BC sin ∠CAB ＝AC sin 30°，故∠CAB ＝60°或120°，当∠CAB ＝60°时，∠ACB ＝
90°，AB ＝23；当∠CAB ＝120°时，∠ACB ＝30°，故AB ＝ 3. 答案：23或3
9．(2010·江苏卷)在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若b a ＋a
b ＝6cos C ，
则tan C tan A ＋tan C tan B
的值是________． 解析：∵b a ＋a
b ＝6cos C ，由余弦定理得a 2＋b 2ab ＝
6·a 2＋b 2－c 22ab ，∴a 2＋b 2＝32
c 2，
∴tan C tan A ＋tan C tan B ＝
sin C cos C ⎝ ⎛⎭⎪⎫
cos A sin A ＋cos B sin B ＝sin C cos C ·sin C sin A sin B
＝c 2ab ·
a 2＋
b 2－
c 22ab
＝2c 2
a 2＋
b 2－
c 2
＝
2c 2
32
c 2－c 2＝4.
答案：4
三、解答题
10．(2010·辽宁卷)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2a sin A＝
(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.
(1)求A的大小；
(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．
解：(1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c ＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc，由
余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，
故cos A＝－1
2，A＝120°.
(2)由(1)得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin B sin C.
又sin B＋sin C＝1，得sin B＝sin C＝1 2.
因为0°<B<90°，0°<C<90°，故B＝C. 所以△ABC是等腰的钝角三角形．
11．(2010·天津卷)在△ABC中，AC
AB＝
cos B
cos C.
(1)证明B＝C；
(2)若cos A＝－1
3，求sin⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
4B＋
π
3的值．
(1)证明：在△ABC 中，由正弦定理及已知得sin B
sin C ＝
cos B
cos C
.于是sin B cos C －cos B sin C ＝0， 即sin(B －C )＝0.
因为－π<B －C <π，从而B －C ＝0. 所以B ＝C .
(2)解：由A ＋B ＋C ＝π和(1)得A ＝π－2B ， 故cos 2B ＝cos(π－A )＝－cos A ＝1
3
.
又0<2B <π，于是sin 2B ＝1－cos 2
2B ＝22
3
.
从而sin 4B ＝2sin 2B cos 2B ＝42
9，
cos 4B ＝cos 2
2B －sin 2
2B ＝－7
9
.
所以sin ⎝⎛⎭⎫4B ＋π3＝sin 4B cos π3＋cos 4B sin π3 ＝42－73
18
.
12．已知向量m ＝(－1，cos ωx ＋3sin ωx )，n ＝(f (x )，cos ωx )，其中ω>0，且m ⊥n ，
又函数f (x )的图象任意两相邻对称轴间距为3
2π.
(1)求ω的值；
(2)设α是第一象限角，且f ⎝⎛⎭⎫32α＋π2＝23
26，求sin ⎝⎛⎭
⎫α＋π
4cos ()
4π＋2α的值．
解：(1)由题意得m ·n ＝0，所以，
f (x )＝cos ωx ·(cos ωx ＋3sin ωx )＝1＋cos 2ωx 2＋3sin 2ωx
2＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋12 根据题意知，函数f (x )的最小正周期为3π， 又ω>0，所以ω＝1
3
(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋π6＋1
2
所以f ⎝⎛⎭⎫32α＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＋12＝cos α＋12＝23
26 解得cos α＝5
13
因为α是第一象限角，故sin α＝12
13
，
所以sin ⎝⎛⎭
⎫α＋π
4cos (4π＋2α)＝sin ⎝⎛⎭
⎫α＋π
4cos 2α＝22(cos α－sin α)
＝－13
14 2.。