《应用概率统计》复习题及答案
工程硕士《应用概率统计》复习题
考试要求：开一页；题目类型：简答题和大题；考试时间：100分钟。
1. 已知 0.5,)( 0.4,)( 0.3,)(===B A P B P A P 求)(B A P ⋃。
解：因为 0.7,0.3-1)(-1(A)===A P P 又因为, ,-- A B A B A A B A AB ⊂== 所以 0.2,0.5-7.0)( -(A))(A ===B A P P B P
故 0.9.0.2-0.40.7P(AB)-P(B)(A))(A =+=+=⋃P B P
2.设随机变量)1(,9
5
)1(),,4(~),,2(~≥=≥Y P X P p b Y p b X 求并且。
解：
.
8165
31-1-10)(Y -11)(Y ),3
1,4(~,31,94-1-1-10)(X -1)1(,9
5)1(),,2(~422====≥=====≥=≥）（故从而解得）所以（）（而且P P b Y p p p P X P X P p b X
3．随机变量X 与Y 相互独立，下表中给出了X 与Y 的联合分布的部分数值，请将表中其
4．设随机变量Y 服从参数2
1=λ的指数分布，求关于x 的方程0322
=-++Y Yx x 没有实根的概率。
解：因为当时没有实根时，即0128Y -Y 03)-4(2Y -Y 2
2
<+<=∆，故所求的概率为}6Y P{20}128Y -P{Y 2
<<=<+，而Y 的概率密度
⎪⎩
⎪⎨⎧≤>=0,00
,21f(y)21-y y e y ，从而36221
-621-1dy 21f(y)dy 6}Y {2e e e P y ===<<⎰⎰
5．设离散型随机变量X 的可能取值为 -1，0，1，3，相应的概率依次为,16
7
165163161，，， 求概率)2(≤X P 。
解：由题意可知,16
73}P{X ,1651}P{X ,1630}P{X ,161-1}P{X =======
= 所以.16
9
167-
13}P{X -11}P{X 0}P{X -1}P{X 2)|X P(|=====+=+==≤
9. 现有两箱同类产品，第一箱装50件，其中有10件一等品；第二箱装30件，其中有18
件一等品。
现从两箱中任取一箱，再从取出的箱中任取一件产品，求： (1) 取到的产品是一等品的概率；
(2) 已知取到的是一等品，问它来自第一箱的可能性有多大？ 解：设A 表示“这个产品是一等品”，
B 1表示“这个产品来自第一箱”，B 1表示“这个产品来自第一箱”， 则易得 2
1
)P (B )(B ,533018)B |P(A ,515010)B |P(A 2
121======P . (1)由全概率公式有
.5
2
21532151)(B )B |P(A )(B )B |P(A P(A)2211=⨯+⨯=+=P P
（2）由贝叶斯公式有
.41
5
22151(A))P(B )B |P(A A)|P(B 111=⨯
=⋅=P
10. 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为
⎩
⎨⎧>>=+-其它，00
,0,),()32(y x ke y x f y x
（1）求常数k 的值；（2）求（X ，Y ）的分布函数F (x ，y )； （3）判断X 与Y 是否相互独立；（4）求)12(≤+Y X P 。
解：（1）利用概率密度的性质
从而得6,k ,6
dxdy ke y)dxdy (x,10
3y -2x ---==
==⎰
⎰
⎰
⎰
+∞
+∞
+∞
∞
+∞
∞
k
f
⎩
⎨
⎧>>=+-其它，00
,0,6),()32(y x e y x f y x . （2）由定义
⎩⎨⎧>>=⎪⎩⎪⎨⎧>>==⎰⎰⎰⎰
∞∞
.
0,
0,y 0,x ),
e -)(1e
-(1.
,0,0,0,
dvdu 6e v)dvdu (u,y)F(x,3y
-2x
-00
3v -2u ---其它其它x y x
y
y x f
（3）（X ，Y ）关于X 和Y 的边缘概率密度分别为
.0,
0,
18-)(,
.0,0,12-)()32()32(⎩
⎨
⎧>=⎩⎨⎧>=+-+-其它
，其它，y e y f x e x f y x y y x x 显然(y))(y)(x ,y x f x f f ≠，所以X 与Y 不相互独立。
（4）（X ，Y ）的取值区域如图所示，
故.5135.04-316y)dxdy f(x,1)2Y P(X 2-10
2
3-
-2-3-2-1
1
2y x ≈+===
≤+⎰
⎰⎰⎰≤+x
y x e
e dy e dx
11. 设 X 1, X 2, …, X n 是取自总体 X 的一个样本，),(~2
σμN X ，6
32ˆ3
211X X X +
+=μ，442ˆ3212X X X ++=μ
，3
33ˆ3213X X
X ++=μ。
(1) 判断321ˆˆˆμμμ
，，中哪些是μ的无偏估计；
(2) 上述的无偏估计量中哪个更有效？ 解 ⑴ 设 由于
故 都是总体均值 的无偏估计量；
(2)
因为 所以 更有效。
其中参数θ>0未知，
12. 设总体X 的分布律如图所示，
今有样本，1,1,1,3,2,1,3,2,2,1,2,2,3,1,1,2,试求θ的矩估计和最大似然估计。
解：(1),3-3)2-(132)E(θθθθθ=++=4
7
)33261(7161=⨯+⨯+⨯=x
令x =)E(θ得473-3=
θ，解得θ的矩估计为12
5ˆ=θ
. (2)设似然函数),32-(13)2-(1d )
dL(,)2-(1)L(2213
13
θθθθ
θθθθ==则
)632()ˆ(3
211X X X D D ++=μ
2
22218
73619141σσσσ=++=)442()ˆ(3212X X
X D D ++=μ
)333()ˆ(3
213X X X D D ++=μ
2
2228316116141σσσσ=++=2
2223
1919191σσσσ=++=2)(σ=X D 321ˆ,ˆ,ˆμμμμ
=)ˆ(1μ
E )6
32(3
21X X X E ++μ
μμμ=++=613121=)ˆ(3μE =)ˆ(2μE μμμμ=++=414121)4
42(321X X X E ++)3
33(321X X X E ++μ
μμμ=++=3131313ˆμ),ˆ()ˆ()ˆ(123μμμ
D D D <<
因为,02-,10>>θθ令
,0d )dL(得=θθθ的最大似然估计为32
13ˆ=θ
. 13. 某灯泡生产车间为考察灯泡的寿命（单位：小时），从生产的一批灯泡中随机抽取25只，测得平均寿命1980x =小时，样本方差36002
=S 小时。
假设灯泡的寿命X 服从正态分布()2
,N
μσ，求：
(1)总体方差2
σ的置信水平为95%的置信区间；
(2)在显著性水平5.00=α条件下能否认为这批灯泡的平均寿命为2000小时？ 解：（1）因为n=25，1980x =，S=60，0.050.95-1==α，
2.0639(24)t 1)-(n 0.0252/==αt ，
所以，μ的置信水平为95%的置信区间为
2004.7668)
,(1955.2332 2.0639256019802.0639,2560-19801)-(n 1),-(n -2/2/=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯+⨯=⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛+ααt n s
x t n s x
（2）设该批灯泡的寿命为X ，其均值为μ， 检验假设1980H 1980H 10≠=μμ：：
该检验假设的拒绝域为
2/n
s/1998-x αμZ ≥=
，
由题设条件有n=25，2000x =，S=60， 1.96Z 0.0252/==αZ ， 故6
125
60/1998-2000=
=
μ， 显然96.16
1
<=
μ，接受假设1980H 0=μ：，拒绝假设1980H 1≠μ：，
即在显著性水平5.00=α条件下能认为这批灯泡的平均寿命为2000小时。
概率统计复习题答案
概率统计复习题（同济大学浙江学院）一、知识要点 1.古典概率计算公式设Ω为样本空间，A 为事件，则事件A 发生的概率为().A A n P A n ⎛⎫= ⎪ ⎪Ω⎝⎭概率公式⑴和的概率公式 ()()()().P A B P A P B P A B=+-当,A B 互不相容时()A B ⇔=∅ ()()().P A B P A P B=+ 当,A B 独立时()()()()P AB P A P B ⇔= ()()()()().P A B P A P B P A PB=+-⑵条件概率公式 ()()()|.P AB P A B P B =⑶乘法公式 ()()()|.P AB P A B P A = ⑷全概率公式及逆概率公式设12,,,n A A A 为完备事件组，B 为任意一事件，则()()()1|;ni i i P B P A P B A ==∑()()()(|)|.i i i P B A P A P A B P B =2.6个常用分布和数字特征 名称分布形式期望 方差()2E X01-p()1p p -p 二项分布()()1n kk kn P X k C p p -==-np()1np p -np泊松分布()e !kP X k k λλ-==λ λ 2λλ+均匀分布()1, ,0, else.a x b f x b a⎧<<⎪=-⎨⎪⎩ 2a b+ ()212b a -指数分布()e , 0,0, else.x x f x λλ-⎧>=⎨⎩1λ21λ22λ正态分布()()2221e 2πxf x μσσ--=μ2σ22σμ+3.正态分布概率计算⑴若()2,X N μσ ，则().b a P a X b μμσσ--⎛⎫⎛⎫<<=Φ-Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⑵若()2,,,X N Y aX b μσ=+ 则()22,.Y N a b a μσ+ 4.二维连续型随机变量的边缘密度函数设(),X Y 为二维连续型随机变量，(),f x y 为其联合密度函数，则边缘密度函数分别为()()()(),d ,,d .X Y f x f x y y f y f x y x ∞∞-∞-∞==⎰⎰随机变量(),X Y 是独立的()()(),.X Y f x y f x f y ⇔= 5.数字特征 ⑴数学期望①离散型 ()1.ni i i E X x p ==∑②连续型 ()()d .E X xf x x ∞-∞=⎰③函数的期望离散型，设X 是离散型随机变量，()Y g X =为随机变量的函数，则()()1.ni i i E Y g x p ==∑连续，设X 是连续随机变量，()Y g X =为随机变量的函数，则()()()d .E X g x f x x ∞-∞=⎰二维连续型 设(),X Y 是二维连续型随机变量，(),f x y 是其联合密度函数，(),Z g x y =为随机变量的函数，则()()()d ,,d .E Z x f x y g x y y ∞∞-∞-∞=⎰⎰④期望性质 ()()();E aX bY aE X bE Y +=+ 当,X Y 独立时， ()()().E XY E X E Y = ⑵方差①计算公式 ()()()22;D X E X E X =-②方差性质 当,X Y 独立时，()()()22.D aX bY a D X b D Y +=+ ⑶协方差 设(),X Y 为二维随机变量，协方差为()()()()cov ,,X Y E XY E X E Y =-此时有 ()()()()2cov ,.D X Y D X D Y X Y ±=+±⑷相关系数 设(),X Y 为二维随机变量，相关系数为()()()()cov ,,.X Y X Y X Y ρσσ=6.中心极限定理设12,,,,n X X X 为独立同分布的随机变量，()()2,,i i E X D X μσ==则()1lim .n i i n X n P x n μσ=→∞⎛⎫- ⎪⎪=Φ ⎪⎪⎝⎭∑ 即 ()()1.ni i X n P a b b a n μσ=⎛⎫-⎪⎪<<≈Φ-Φ ⎪ ⎪⎝⎭∑ 6.统计量⑴样本均值 设12,,,n X X X 为独立同分布的随机变量，()()2,,i i E X D X μσ==()()211,,,n i i i i E X D X X X n μσ====∑则()()21,.E X D X nμσ==②样本方差 22221111(),().1n n i n i i i S X X S X X n n ===-=--∑∑ 关系 2222211,().1n nn n i i i i n S S nS X X X nX n ====-=--∑∑⑵2χ分布 设12,,,n X X X 为独立同分布的随机变量且()0,1,i X N 21nii X=∑服从自由度为n 的2χ分布.结论 设12,,,n X X X 为独立同分布的随机变量且()20,,i X N σ 21nii c X=∑服从自由度为n 的2χ分布21.c σ⇔=⑶t 分布 若()()20,1,,X N Y n χ 则()/Xt n Y n7.估计量与估计方式 ⑴矩估计与矩估计方法⑵极大似然估计与极大似然估计方法 设总体()2,,X N μσ结论 X 是总体参数μ的极大似然估计；当μ已知时，211()ni i X n μ=-∑是2σ的极大似然估计，当μ未知时，211()ni i X X n =-∑是2σ的极大似然估计.⑶无偏性若ˆθ是θ的估计量，且()ˆE θθ=，称ˆθ是θ的无偏估计. 结论 2S 是2σ的无偏估计.⑷四种情况下的单正态总体的区间估计①2σ已知时μ的区间估计：1/21/2,X u X u n n αασσ--⎡⎤--⎢⎥⎣⎦②2σ未知时μ的区间估计：()()1/21/21,1S S X t n X t n n n αα--⎡⎤--+-⎢⎥⎣⎦ ③μ已知时2σ的区间估计()()2211221/2/2()(),n ni i i i X X n n ααμμχχ==-⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑ ④μ未知时2σ的区间估计()()()()22221122221/2/21/2/2()(),,1111n ni i i i n n X X X X nS nS n n n n ααααχχχχ==--⎡⎤--⎢⎥⎡⎤⎢⎥=⎢⎥----⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦∑∑ 二、填充题1. 设,A B 为二个随机事件, ,B A A B ⊂= 则Ω, ()P A B = 1 .2. 从1,2,3,4,5中任取3个数字, 则3个数中不含1的概率为343525C C =.3. 把3个不同的球随机地放入3个不同的盒中,则出现两个空盒的概率为33139=. 4. 甲乙两射手独立地向一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，则目标被命中的概率为()()110.610.50.8---=, 现已知目标被命中, 则是甲命中的概率为0.60.750.8=.5. 设()()0.4,0.7,P A P A B == 若A 与B 互不相容,则()P B = 0.3,()P A B -=()()0.4P A P AB -=； 若A 与B 相互独立,则()P B =0.5 ,()P A B -= 0.2 . 6. 设,,A B C为三个随机事件,已知()()()1,4P A P B P C ===()()()1,016P AB P BC P AC ===,则,,A B C 至少有一发生的概率()P A B C = 58, ,,A B C 都不发生的概率()P ABC =38.7. 设()()()111,,,432P A P B A P A B ===则()P A B = 13；()P AB = 1/12 . 8. 设随机变量X 只可能取-1,0,1,2这4个值, 且取这4个值的概率依次为1357,,,24816c c c c,则常数c =3716 9. 设X 服从参数为λ的泊松分布(λ＞0),且()()102,2P X P X ===则λ= 2 ,()2E X = 6 .10. 设随机变量()2~3,0.2,,X B Y X =则()4P Y ==()20.096P X ==. 11. 设随机变量X 的分布律为且2,Y X Y =的概率函数为01433781616Y P,Y 的分布函数为()Y F y ,则()3Y F = ()9316P Y ≤=.12.设随机变量X 的分布律为X -21xP14p14且()1,E X =则x = 4 .13.设随机变量,X Y 相互独立,()()~16,0.5,~9,X B Y P 则()21E X Y -+=-9,()21D X Y -+=()()440D X D Y +=.14. 设随机变量X 的分布函数()F x =201e ,00,x x x -≥⎧-⎨<⎩,其密度函数为()f x ,则()2f =42e -.X -112P183811671615.设随机变量X 的密度函数为()f x = 1,20,a x aa ⎧-<<⎪⎨⎪⎩其余, 其中0a >,要使()1P X >=31,则a = 3 .16.设随机变量X 的密度函数为()()221ex x f x A --+=,则A =1π,~X 11,2N ⎛⎫⎪⎝⎭,()2E X = ()()232D XE X +=⎡⎤⎣⎦,()1P X >=0.5 ,令()21Y X =-,则Y 的密度函数()Y f y =221,2πy e y --∞<<+∞. 17.随机变量()1,1,1,4,9,2X Y N ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,则()X f x =()2181e ,8πx x ---∞<<+∞,()Y f y =()21181,18πy e y ---∞<<+∞,()cov ,X Y = 3 ,()D X Y += 19 ,()D X Y -=7 .18. 已知()()()25,1,,0.4D X D Y X Y ρ===,则()D X Y += 30 ,()D X Y -= 22 .19.设总体()()18~1,3,,,X R X X - 是来自总体X 的样本, X 为样本均值, 则E ()X =()1E X =,()D X =()116D X n =, ()2E S = 43. 20.设独立同分布的随机变量序列1,,,n X X ()()2,,,i i E X D X μσ==则1lim n i n i P X n n μσ→∞=⎧⎫-≤=⎨⎬⎩⎭∑()11211ni i X n P n μσ=⎛⎫- ⎪⎪≤≈Φ- ⎪ ⎪⎝⎭∑. 21.设总体()()170,0.25,,,X N X X 是来自总体X 的样本, 要使α721ii X =∑～()2n χ, 则α= 4 ,自由度 7n = . 22.设总体()()2123,,,,X N X X X μσ 是来自总体X 的样本,则当α= 0.5 时,1231136X X X μα=++是未知参数μ的无偏估计.23.用天平称量某物体的质量9次,得(),4.15g x =已知秤重结果服从N （21.0,μ）,则μ的置信度为0.95的置信区间为[]15.335,15.465. 三、计算题1. 罐中有12粒围棋子,其中8粒白的,4粒黑的,从中任取3粒,求：（1）取到的都是白子的概率；（2）取到2粒白子,1粒黑子的概率；（3）至少取到1粒黑子的概率；（4）取到3粒颜色相同棋子的概率.解：3321331288484,,,,A B C A D n C n C n C C n n n n C C ====-=+()()()()1428413,,,55555511P A P B P C P D ==== 2. 设某种动物活到20岁的概率为0.8, 活到25岁的概率为0.4,问年龄为20岁的这种动物活到25岁的概率为多少？ 解：()()()250.425|200.5200.8P X P X X P X >>>===> 3. 某小组共10人,得到一张足球票,他们决定用摸彩来决定谁去看球赛,（1）已知前4人都没有摸到,求第5人摸到的概率；（2）求第5人摸到的概率.解：()()()512345111|,610P A A A A A P A P A ===4. 某工厂中,三台机器分别生产某种产品总数的25%,35%,40%,它们生产的产品中分别有5%,4%,2%的次品,将这些产品混合在一起,今随机地取一产品,问它是次品的概率是多少？又问这次品是由哪台机器生产的概率最大？ 解：()()()()()()()112233|||0.0345P B P A P B A P A P B A P A P B A =++=()()()()()()()()()()()()111222333|25|69|28|69|16|69P A P B A P A B P B P A P B A P A B P B P A P B A P A B P B ======5. 有两箱同种类型的零件,第一箱装10只零件,其中5只一等品；第二箱装10只零件,其中6只一等品.今从两箱中任选一箱,然后从该箱中取零件两只,求（1）取到的两只零件都是一等品的概率；（2）在取到的两只零件都是一等品的条件下,求二两零件是取自第一箱的概率.解：()()()()()11222256221010||111541655222109210918P B P A P B A P A P B A C C C C =+⨯⨯=⋅+⋅=⋅+⋅=⨯⨯()()()()1111|29|5518P A P B A P A B P B ===6. 一大楼装有5个同类型的供水设备,调查表明在任一时刻,每个设备被使用的概率为0.1,问同一时刻,（1）恰有2个设备被使用的概率是多少？（2）至少有3个设备被使用的概率是多少？（3）至多有3个设备被使用的概率是多少？（4）至少有1个设备被使用的概率是多少？解：()~5,0.1X B ,由计算公式()()1.n kk k n P X k C p p -==-()20.0729P X ==,()30.0085P X ≥=,()30.9995P X ≤=,()()1100.4095P X P X ≥=-==7. 15个同类型的零件中有2个是次品,从中不放回地抽取产品,每次一个. （1） 抽取3次,以X 表示取出的次品数,求X 的概率函数和分布函数； （2） 以Y 表示直到取得正品为止抽取的次数,求Y 的概率函数.解：（1）121312112213122121321133151413351514133515141335rXP ⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=()0, 022,013534,12351, 2x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩（2）123132132111515141514Y P⋅⋅⋅8. 一口袋中装有5只乒乓球,编号分别为1,2,3,4,5,从中随机地取3个,以X 表示3个球中的最大号码,以Y 表示3个球中的最小号码,（1）分别求出,X Y 的概率函数和分布函数,（2）求出,X Y 的联合概率函数.解：222222332442333333555555345123136631,101010101010rr XY C C C C C C P P C C C C C C ====== \123130010214010103215101010X Y 9. 设每分钟通过某交通道口的汽车流量X 服从参数为λ的泊松分布,且已知在一分钟内无车辆通过与恰有一辆车通过的概率相同,求在一分钟内至少有三辆车通过的概率.解：()()011P X P X λ===⇒=,()()1531212P X P X e -≥=-≤=-10. 抛3次均匀硬币,以X 表示正面向上的次数,以Y 表示正面向上次数与反面向上次数差的绝对值,（1）求(),X Y 的联合分布律和边缘分布律；（2）,X Y 是否相互独立,为什么？（3）求()()(),,cov ,.E X D X X Y解：（1）01231~3,,133128888rXX B P ⎛⎫⎪⎝⎭ \13100813310, 3184432081308rX Y Y P （2）()()()0,1001,,P X Y P X P Y X Y ===≠==所以不相互独立。
应用概率统计期末复习题及答案
第七章课后习题答案7.2 设总体X ~ N(12,4), X^XzJII’X n 为简单随机样本,求样本均值与总体均值之 差的绝对值大于1的概率.X解：由于 X ~ N(12,4),故 X 一 ~ N(0,1)/V n1 (2 0.8686 1) 0.2628107.3 设总体X 〜N(0,0.09),从中抽取n 10的简单随机样本，求P X ：1.44i 1X i 0 X i 0X i ~N(0,°.09),故亠-X0r~N(0,1)X所以~ N(0,1)，故UnP{ X1} 1 P{ X1}解: 由于X ~ N (0,0.09),所以10所以X i 22是)〜(10)所以10 10X ： 1.44 Pi 1i 1X i 2(倉1.44 P0.09216 0.17.4 设总体X ~ N( , 2), X 1,X 2,|||,X n 为简单随机样本2,X 为样本均值，S 为样本方差，问U n X2服从什么分布?解:(X_)22( n )2X __ /V n,由于 X ~ N( , 2)， 2~ 2(1)。
1 —n7.6 设总体X ~ N( , 2), Y〜N( , 2)且相互独立，从X,Y中分别抽取m 10, n215的简单随机样本，它们的样本方差分别为S2,M，求P(S2 4S； 0)。
解：S2P(S24S2 0) P(S24S；) P 12 4由于X ~ N( , 2), Y~ N( , 2)且相互独立S2所以S12~ F(10 1,15 1)，又由于F°oi(9,14) 4.03 S2 即P F 4 0.01x第八章课后习题答案8.1 设总体X 的密度函数为f (x) C x ( 1) xC ： C 0为已知,1。
X 1,X 2,|||,X n 为简单随机样本，(1) 的矩估计量。
⑵求的极大似然估计量。
解: (1) E(X) C xf(x)dx 1)dx x [1(1)]dx8.4 数,C C X dx (2)似然函数L(X 1,X 2,|”X n ；取对数(0C 1 f i (x)i 1C x i (1)nC n (nX i ) (1)i 1方程两侧对求导得g 皿d令^InL n d即极大似然估计量为设总体X 的密度函数为n Inn In Ci 1f(x)In n In CnnIn C x i 0nInX j nInCi 1In0,0,n1) iIn xnIn x i n In Ci 1其中 0是已知常0是未知参数，X 1,X 2,|||,X n 为简单随机样本：求 的极大似然估计量。
应用概率统计习题答案
应用概率统计习题答案应用概率统计习题答案概率统计是一门应用广泛的数学学科，它研究的是随机现象的规律性。
在实际应用中，我们经常会遇到各种各样的概率统计习题。
解答这些习题需要一定的数学知识和技巧，同时也需要一些实际问题的分析能力。
下面，我们将通过一些例题来探讨应用概率统计习题的解答方法。
例题一：某班级有60名学生，其中30人喜欢音乐，40人喜欢运动，20人既喜欢音乐又喜欢运动。
现从该班级随机抽取一名学生，求该学生既不喜欢音乐也不喜欢运动的概率。
解答：首先，我们可以利用概率的加法原理求出既喜欢音乐又喜欢运动的学生人数。
根据题意，既喜欢音乐又喜欢运动的学生人数为20人。
然后，我们可以利用概率的互斥事件求出不喜欢音乐的学生人数和不喜欢运动的学生人数。
根据题意，不喜欢音乐的学生人数为60-30=30人，不喜欢运动的学生人数为60-40=20人。
最后，我们可以利用概率的乘法原理求出既不喜欢音乐也不喜欢运动的学生人数。
根据题意，既不喜欢音乐也不喜欢运动的学生人数为60-20-30+20=30人。
所以，该学生既不喜欢音乐也不喜欢运动的概率为30/60=0.5。
例题二：某超市销售某种商品，已知每天销售该商品的数量服从正态分布，均值为100，标准差为20。
求该超市一天销售该商品数量不超过80的概率。
解答：首先，我们需要将题目中给出的均值和标准差转化为标准正态分布。
根据正态分布的性质，我们可以利用标准正态分布表来求解该概率。
首先，我们需要计算出该超市一天销售该商品数量不超过80的标准得分。
根据题意，该标准得分为(80-100)/20=-1。
然后，我们可以查找标准正态分布表，找到标准得分为-1对应的概率值。
根据查表结果，我们可以得到该概率值为0.1587。
所以，该超市一天销售该商品数量不超过80的概率为0.1587。
通过以上两个例题，我们可以看出，在解答应用概率统计习题时，我们需要掌握概率的基本原理和统计分布的性质。
同时，我们还需要运用一些数学方法和技巧，如加法原理、乘法原理、互斥事件等。
【精选】国家开放大学电大本科《应用概率统计》2029-2030期末试题及答案(试卷号：1091)
国家开放大学电大本科《应用概率统计》2029-2030期末试题及答案（试卷号：1091）1-袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球。
今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 ______________________ .2.设/（x,y）是二维随机变量（X,y）的联合密度函数，儿愆）与/, （y）分别是关于X与丫的边缘概率密度，且X与丫相互独立，则有/（x ,、）为_________________ .3.在每次试验中，事件A发生的概率等于0.5.利用契比雪夫不等式估计:在1000次独立试验中，事件A发生的次数在400和600次在之间的概率> __________________ o4.已知某一产品的某一指标X〜NQ Z,（0.5）2），若要使样本均值与总体期望值的误差不小于0.1,则至少应抽取容量为_________________ 的样本。
（设置信度为95% ）5.当r e.ol < |r|<r0.05时，则变量丫为X的线性相关关系____________________ 。
二、判断题（回答对或错，每小题3分，共15分）6.设随机变筮X〜N（l,l），其概率密度为/（x），且分布函数为F（x），则P<X<l}=P{X21}=0.5 成立」）7.设两个相互独立的随机变量的方差分别为4和2,随机变量3X-2Y的方差是16.（）8.设随机变量丁服从自由度为〃的，分布，则随机变量丁2服从F”.（）9.在假设检验中，记Hi为备择假设，则称“若Hi不真，接受H,”为犯第一类错误。
（）10.K A I=^O<»=1«2,3）为因素在A的三个不同水平试验指标之和。
（）三、计算题（每小题10分，共50分）11.一个祀子是一个半径为2米的圆盘,设每次射击均能中祀，且击中靶上任一同心圆盘的概率与该圆盘的面积成正比，以X记弹着点与圆心的距离，求X的分布函数。
【精选】国家开放大学电大本科《应用概率统计》2023-2024期末试题及答案(试卷号：1091)
国家开放大学电大本科《应用概率统计〉2023-2024期末试题及答案(试卷号：1091)1. 设事件A 与B 相互独立,若已知P (A U B)=0. 6, P(A)=0. 4,则P(B)= ------------------------------- •2. 已知随机变量X 〜N(1,22),X|,X2，…，X.为取自X 的简琳随机样本，则统计匿士兰服从参数为 _____________________ 的正态分布。
2/而3. 设/Cr,y)是二维随机变量(X,V)的联合密度函数，fx(工)与分别是关于x与Y 的边缘概率密度，且X 与Y 相互独立，则有/■(］，»)= ------------------------ °4. 设随机变St 序列X,,X 2,-,X n ,…相互独立，服从相同的分布，且E(X») = “ ‘ D(X*)=(T 2> 0以=1,2,…)，由莱维一林德伯格中心极限定理可知，当”充分大时，Sx*将近似地服从正态分布 ___________________________ . 5. 离差平方和始= __________________________ •6. X 】，X2，・・・，X“是取自总体N(")的样本，则X = rS x - ®从N(0,l )分布。
(71 ("17- 设甲、乙、丙人进行象棋比赛，考虑事件A =｛甲胜乙负｝，则同为《甲负乙胜｝.() 8- 设随机变量X 和丫的方差存在且不为零，若D(X+Y)=D(X)+O(y)成立，则X 和 丫一定不相关。
()9- 若C 是常数，则有E(C) = C° ()10.已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松分布，即P ｛x=4｝=£_eT"=0,l,2, K !…，则随机变蛰Z=3X-2的数学期望E(Z)为8。
() 11.已知随机变量X 服从二项分布B(n,p)，且E(X)=6,D(X)=3. 6,试求二项分布 的参数“ r p 的值。
应用概率统计大学数学2试卷(A卷)附答案
2011-２012学年第 2 学期 考试科目： 大学数学Ⅱ一、填空题(本大题共6小题，每小题３分,共18分）1． 设A 、B 为两个随机事件，已知()0.3,()0.4,()0.5P A P B P A B ===,则()P AB =_____＿_＿___＿_＿.2. 设随机变量X 服从参数为３的泊松分布，则(1)P X ≥= _＿＿__＿_＿______. 3． 设二维离散型随机变量),(Y X 的联合分布律为:),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，则(1,3)F =＿＿＿_＿__＿______．4. 设随机变量X 表示1００次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为0．２， 则2X 的数学期望是＿__＿___＿______.5. 设X 、Y相互独立，且都服从标准正态分布，则~Z =＿＿__＿_________． (要求写出分布及其参数).6. 设由来自总体~(,0.81)X N μ,容量为9的样本得到样本均值5=X ，则未知参数μ的置信度为９5%的置信区间为＿_＿＿＿______________．( 0.025 1.96u =) 二、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）１. 某人花钱买了C B A 、、三种不同的奖券各一张.已知各种奖券中奖是相互独立的, 中奖的概率分别为,02.0)(,01.0)(,03.0)(===C p B P A p 如果只要有一种奖券中奖此人就一定赚钱, 则此人赚钱的概率约为( ）. ﻩ A. 0．０5ﻩB ． ０．06ﻩC. ０.0７ﻩﻩD ． ０.０82． 设A 、B 为两个随机事件，且B A ⊂，()0>B P ，则下列选项必然正确的是( ）. A. ()()B A P A P < Ｂ. ()()B A P A P >Ｃ． ()()B A P A P ≤ Ｄ. ()()B A P A P ≥ 3. 下列各函数中可以作为某个随机变量X 的分布函数的是( )．1,0x ⎧≤⎪0,0x <⎧⎪C ． x x F sin )(= Ｄ． 211)(x x F +=４． 设随机变量()2~2,3X N ，随机变量25Y X =-+， 则~Y ( ）.A. (1,41)N B ． (1,36)N Ｃ. (1,18)N - D. (1,13)N -5． 设某地区成年男子的身高()100,173~N X ，现从该地区随机选出20名男子,则这20名男子身高平均值的方差为( ）.A ． 100 Ｂ. 1０ C. 5 D ． 0.５6. 设12,,,n X X X ⋅⋅⋅是取自总体X 的一个样本, X 为样本均值，则不是总体期望μ的无偏估计量的是（ )．A ． X B. 123X X X +- Ｃ. 1230.20.30.5X X X ++ D. 1nii X=∑三、计算题(本大题共4小题，共40分)1.(本题８分)已知一批产品中90%是合格品，检查时,一个合格品被误认为是次品的概率为０．０５，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02,求: (1)一个产品经检查后被认为是合格品的概率； (2)一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.2.(本题8分）设离散型随机变量X 只取1,2,３三个可能值，取各相应值的概率分别是21,,4a a -，求:(1)常数a ； （2） 随机变量X 的分布律； (3) 随机变量X 的分布函数()F x .3.(本题１0分）设随机变量X 的密度函数为：()1()2x f x e x -=-∞<<+∞.(1) 求{1}P X <； (2) 求2Y X =的密度函数.4．(本题1４分)设随机变量X 与Y 相互独立，它们的密度函数分别为1,03()30,X x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他, 33,0()0,0y Y e y f y y -⎧>=⎨≤⎩ 试求：(1) (,)X Y 的联合密度函数; (2) ()P Y X <; (3)()D X Y -．四、解答题（本大题共3小题，每小题８分，共2４分）1． 从一台车床加工的一批轴料中抽取１5件测量其椭圆度，计算得样本方差220.025s =,已知椭圆度服从正态分布,问该批轴料椭圆度的总体方差与规定的方差200.0004σ=有无显著差异（取检验水平0.05α=）?(20.025(14)26.1χ=, 20.975(14) 5.63χ=, 20.025(15)27.5χ=，20.975(15) 6.26χ=)2. 某粮食加工厂用４种不同的方法贮藏粮食，一段时间后,分别抽样化验其含水率,每种方法重复试验次数均为5次，所得粮食含水率的方差分析表的部分数据如下. (0.05(4,19) 5.01F=，0.01(4,16) 4.77F=，0.01(3,16) 5.29F=) (１) 完成下面的方差分析表．（２) 给出分析结果．3． 有人认为企业的利润水平和它的研究费用间存在着近似的线性关系. 下面是某10个企业的利润水平（x ）与研究费用(y )的调查资料：102101=∑=i ix，2390101=∑=i i y ,10661012=∑=i ix ,6243001012=∑=i iy ,25040101=∑=i i i y x建立研究费用y 与企业利润水平x 的回归直线方程.2０１1-20１2学年第 2 学期 大学数学Ⅱ 华南农业大学期末考试试卷（A 卷)－参考答案 一、1. 0.8; 2. 31e --； 3.518; 4. 4１6 ; 5． )1(t ; 6. (4.４１２，5．5８8） 二、1. Ｂ ２. Ｃ 3． A 4. B ５. C ６． D 三、1. 解 设A =“任取一产品,经检验认为是合格品” B =“任取一产品确是合格品” 依题意()0.9,()0.1,()0.95,()0.02P B P B P A B P A B ==== （2分)则(１)()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+0.90.950.10.020.857.=⨯+⨯=(５分) （2） ()(|)0.90.95(|)0.9977()0.857P B P A B P B A P A ⨯===． （８分)2. 解 (１) 由2114a a -+=得1231().22舍去或a a ==- （3分) (2) X 的分布律为(5分)（3) X 的分布函数为0,10,111,12,1244()113,23,234241111,3,3424x x x x F x x x x x <⎧<⎧⎪⎪⎪≤<⎪≤<⎪⎪⎪==⎨⎨+≤<⎪⎪≤<⎪⎪⎪⎪≥++≥⎩⎪⎩ (８分） 3. 解（1）111011{1}{11}12x x P X P X e dx e dx e---<=-<<===-⎰⎰. （3分)（2)当0y ≤时,()()()20F y P Y y P X y =<=<=; （5分） 当0y >时,()()(2xx F y P X y P X dx dx --=<=<<== (８分) 所以2Y X =的密度函数为0,0()()0y f y F y y ≤⎧⎪'==>. (1０分)4. 解 (1）因为随机变量X 与Y 相互独立， ( 1分）所以它们的联合密度函数为：3,03,0(,)()()0,y X Y e x y f x y f x f y -⎧≤≤>==⎨⎩其他 (3分）330(1)x e dx -=-⎰3390181()333x x e e --=+=+()9183e -=+ (８分) （３)解：由密度函数可知~(0,3),~(3)X U Y E (10分)所以，22(30)311(),(),12439D X D Y -==== (１２分） 由X 与Y 相互独立，得3131()()()4936D X Y D X D Y -=+=+=(14分) 四、１． 解 检验假设 20:0.0004H σ=，21:0.0004H σ≠. （１分）依题意,取统计量:2222(1)~(1)n S n χχσ-=-，15n =. （3分)查表得临界值：220.0252(1)(14)26.1n αχχ-==,220.97512(1)(14) 5.63n αχχ--==, (5分）计算统计量的观测值得： 22140.02521.8750.0004χ⨯==. （6分） 因2220.9750.025(14)(14)χχχ<<，故接受原假设0H ，即认为总体方差与规定的方差无显著差异． (8分） 2． 解 (１)(2) 解 因为F =５．6６81>0.01(3,16) 5.29F =,所以拒绝0H ,即认为不同的贮藏方法对粮食含水率的影响在检验水平0.01α=下有统计意义. (8分)3． 解 2.10=x ,239=y (２分)6.252.10101066221012=⨯-=-=∑=x n x l i i xx (3分)6622392.101025040101=⨯⨯-=-=∑=y x n y x l i i i xy (4分)故1662ˆ25.8625.6xy xx l l β==≈;01ˆˆ23925.8610.224.77y x ββ=-=-⨯=- (6分)。
应用概率统计习题十一答案
习题11答案11.1 一种物质吸附另一种物质的能力与温度有关.在不同温度下吸附的重量Y ，测得结果列于下表中.设对于给定x ,Y 为正态变量,方差与x 无关. C mg 试求吸附量Y 关于温度x 的一元回归方程.解: 其中9n =，由此得 3.36667x =，10.1222y =，2(1)8 1.637513.1xx x S n s =-=⨯=，2(1)814.3114.4yy y S n s =-=⨯=38.3867xy S =则 38.3867ˆ 2.930313.1xyxx S b S === ˆˆ0.2568ay bx =-= 故y 关于温度x 的一元回归方程为ˆ0.2568 2.9303yx =+ 11.2 合成纤维抽丝工段第一导丝盘的速度是影响丝的质量的重要参数,今发现它和电流的周波有密切关系,生产中测量数据如下表设对周波x ,速度Y 是正态变量,方差与x 无关,求速度Y 关于周波x 的一元回归方程,并对回归方程进行显著性检验,求出050.5x =处y 的预报值0ˆy和预报区间（0.05α=）.解: （1）其中10n =，由此得49.61x =，16.86y =，20.221x s =，20.027y s =2(1)90.221 1.989xx x S n s =-=⨯=，1018364.921049.6116.860.674xy i ii S x y nx y ==-=-⨯⨯=∑ 则 0.674ˆ0.33891.989xyxx S b S ==≈ ˆˆ0.0471a y bx =-= 故y 关于x 的一元回归方程为ˆ0.04710.3389yx =+ （2）由于 1.989xx S =，ˆ0.3389b= 故22ˆ()(0.3389) 1.9890.2284xxS b S 回==⨯= 2(1)90.02710.244yy y S n s =-=⨯=22ˆ()0.244(0.3389) 1.9890.0156e yy xxQ S b S =-=-⨯= yy S 的自由度为9，e Q 的自由度为8故方差分析表为方差来源 平方和 自由度 均方 F 比 回 归 0.22839 1 0.22839 117.08 残差误差 0.01561 8 0.00195合 计 0.24400 9由于0.05α=，0.05117.08 5.32(1,8)F F =>=，故回归效果显著（3）预设值00.04710.338950.517.16345y =+⨯=（4）由于0.025(8) 2.306t =，49.61x =，050.549.610.89x x -=-=20.0156ˆ0.019528e Q n σ===-，ˆ0.044σ=故0()(50.5) 2.3060.12419x δδ==⨯= 所以预报区间为（17.16345-0.12419,17.6345+0.12419）即为（17.03926,17.28764）。
概率统计试题及答案
概率统计试题及答案在概率统计学中，试题和答案的准确性和清晰度非常重要。
下面将给出一系列关于概率统计的试题和详细的解答，以帮助读者更好地理解和应用概率统计的基本概念和技巧。
试题一：基础概率计算某餐厅有3个主菜，每个主菜又有4种不同的配菜。
如果顾客在选择主菜和配菜时是随机的，那么一个顾客会选择哪种搭配的概率是多少？解答一：根据概率统计的基本原理，计算顾客选择搭配的概率可以使用“事件数除以样本空间”的方法。
在这个问题中，总共有3个主菜和4种配菜，所以样本空间的大小为3 × 4 = 12。
而一个顾客选择一种特定的搭配可以有1种选择，因此事件数为1。
因此，顾客选择某种搭配的概率为1/12。
试题二：概率的加法规则某班级有25名男生和15名女生。
从中随机选择一名学生，那么选择一名男生或选择一名女生的概率分别是多少？解答二：根据概率统计的加法规则，选择一名男生或选择一名女生的概率可以通过计算每个事件的概率然后相加来得到。
在这个问题中，男生和女生分别属于两个互斥事件，因此可以直接相加。
男生的概率为25/40，女生的概率为15/40。
因此，选择一名男生或选择一名女生的概率为25/40 + 15/40 = 40/40 = 1。
试题三：条件概率计算某电子产品的退货率是0.05，而该产品是有瑕疵的情况下才会退货。
对于一台已经退货的产品，有0.02的概率是有瑕疵的。
那么一台被退货且有瑕疵的电子产品占所有退货产品的比例是多少？解答三：根据条件概率的定义，求一台被退货且有瑕疵的电子产品占所有退货产品比例的问题，可以用有瑕疵且被退货的产品数除以所有被退货的产品数来得到。
假设有1000台电子产品被退货，根据退货率的定义，有5%的产品会被退货，即退货的产品数为0.05 * 1000 = 50台。
而在这50台退货产品中，有2%有瑕疵，即有瑕疵且被退货的产品数为0.02 * 50 = 1台。
因此，一台被退货且有瑕疵的电子产品占所有退货产品的比例为1/50，即0.02。
概率与统计复习题答案
概率与统计复习题答案一、单项选择题1. 随机变量X服从标准正态分布，下列哪个值是X的期望值？A. 0B. 1C. -1D. 2答案：A2. 已知随机变量X服从二项分布B(n, p)，其中n=10，p=0.5，求X的方差。
A. 5B. 10C. 15D. 20答案：A3. 一组数据的平均数是5，中位数是4，众数是3，这组数据的分布是：A. 对称分布B. 右偏分布C. 左偏分布D. 均匀分布答案：C二、填空题1. 如果一个随机变量X服从泊松分布，其概率质量函数为P(X=k)=λ^k/k!e^(-λ)，其中λ是分布的参数，那么当λ=2时，P(X=1)的值为______。
答案：e^(-2)2. 在统计学中，一组数据的标准差是衡量数据分散程度的指标，其计算公式为SD=√(Σ(xi-μ)^2/N)，其中Σ表示求和符号，xi表示每个数据点，μ表示数据的平均值，N表示数据点的总数。
若一组数据的平均值为6，数据点总数为10，则这组数据的标准差为______。
答案：根据具体数据计算得出三、计算题1. 已知随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，其中μ=3，σ^2=4，求P(1<X<5)。
答案：根据正态分布的性质，可以通过查表或计算得到具体概率值。
2. 某工厂生产的零件长度服从正态分布，其平均长度为10cm，标准差为0.5cm。
若要求零件长度在9.5cm到10.5cm之间的概率不低于95%，问是否满足要求？答案：根据正态分布的性质，可以计算出零件长度在9.5cm到10.5cm之间的概率，然后与95%进行比较，判断是否满足要求。
四、简答题1. 请简述什么是中心极限定理，并说明其在实际统计分析中的应用。
答案：中心极限定理指出，大量独立同分布的随机变量之和（或平均值）将近似服从正态分布，无论原始分布的形状如何。
在实际统计分析中，中心极限定理允许我们使用正态分布的性质来近似分析其他分布的数据，从而简化计算和分析过程。
应用概率统计试卷
学生姓名： 学号： 专业年级： 成绩： 一、一、填空题（每小题2分，本题共16分） 1、设随机变量()~1,4X N -，则{}3P X >-=。
（ 已知标准正态分布函数值：()()()00.500,10.8413,20.9772f f f ===）2、设随机变量X 服从泊松分布且具有方差2，那么X 的分布律为的分布律为。
3、设一维连续型随机变量X 的概率密度函数为()2,010,Xx x f x <<ì=íî其余，则随机变量，则随机变量2XY =的概率密度函数为的概率密度函数为。
4、以下是利用MINITAB 对变量X 和Y 的线性相关性作回归分析所得结果，由此判定回归的线性相关性作回归分析所得结果，由此判定回归 方程是方程是。
The regression equation isy = 0.63 + 0.040 x Analysis of VarianceSource DF SS MS F P Regression 1 0.178 0.178 0.13 0.725 Residual Error 9 12.200 1.356 Total 10 12.3785、设总体()1210~0,1,,,...X N X X X 是它的一个样本，则2222213579X X X X X ++++服从服从 分布。
分布。
6、设正态总体的均方差3s =，该总体的一个容量为9的样本的样本均值 3.5x =，则，则 总体均值的置信水平为95%的置信区间是的置信区间是 。
7、在双因素有交互作用的方差分析中，设因素A 有3个水平，因素B 有2个水平，每个个水平，每个 处理作两次重复试验，则试验误差平方和的自由度E df =。
8、设Y 关于X 的线性回归方程为01Y X b b =+，则 01,b b ==。
（ 10,780,88,3,24xx yy xy L L L x y ===== ）二、单项选择题（每小题2分，本题共18分）分） 1、设()()()0.8,0.4,|0.6,P A P B P A B ===则()()|P B A =。