三次函数的性质
三次函数的性质和图像
投资决策分析：在金融领域，三次函数可以用于分析投资组合的风险和回 报，以及股票价格的预测。
资源分配问题：在资源分配问题中，三次函数可以用来解决如何将有限的 资源分配到各个领域，以最大化整体效益的问题。
在其他领域的应用
物理学：三次函数在描述物理现象和解决物理问题中有着广泛的应用，例如振动、波动、 热传导等。
经济学：三次函数在经济学中用于描述经济现象和预测经济趋势，例如预测股票价格、 消费需求等。
生物学：三次函数在生物学中用于描述生长曲线、繁殖率等，例如描述细菌生长、动物 繁殖等。
计算机科学：三次函数在计算机科学中用于图像处理、信号处理等，例如图像的缩放、 旋转和平移等。
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三次函数与其他函数的 比较
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单调性
单调递增：当导数大于0时，函数在对应区间内单调递增 单调递减：当导数小于0时，函数在对应区间内单调递减 单调性的判断：通过求导数并分析导数的符号来判断单调性 单调性的应用：利用单调性研究函数的极值、最值等问题
极值点
极值点的定义：三次函数图像上函数值发生变化的点 极值点的位置：函数图像上凹凸部分的分界点 极值点的求法：通过导数求出极值点的横坐标，再代入原函数求出纵坐标 极值点的性质：极值点处的函数值大于或小于其邻近点的函数值
与指数函数的比较
定义域：三次函数 定义域为全体实数， 而指数函数定义域 为正实数
函数值：三次函数 在定义域内连续且 可导，而指数函数 在定义域内连续但 不可导
单调性：三次函数 可以具有单调递增 、递减或先增后减 等变化趋势，而指 数函数在定义域内 单调递增
奇偶性：三次函数 既可能是奇函数也 可能是偶函数，而 指数函数是偶函数
三次函数的特性总结
三次函数的特性总结三次函数，也被称为三次方程或者三次方程函数，是指具有三次幂的多项式函数。
它的一般形式可以表示为：f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d其中，a、b、c、d为函数的系数，且a不等于0。
在本文中，我们将总结三次函数的几个主要特性。
1. 零点和因式分解三次函数的零点即为函数与x轴交点的横坐标。
为了求解零点，我们可以利用因式分解的方法。
对于一个三次函数f(x)，如果x=a是它的零点，那么(x-a)就是它的一个因式。
通过将函数进行因式分解，我们可以更方便地确定它的零点。
2. 对称性三次函数有两个常见的对称性质：关于y轴的对称和关于原点的对称。
对于一个三次函数f(x)，如果f(-x) = f(x)，则该函数具有关于y轴的对称性。
如果f(-x) = -f(x)，则该函数具有关于原点的对称性。
3. 变化趋势三次函数的变化趋势可以通过函数的导数和导数的二次项来判断。
函数的导数表示了函数的变化速率，导数的符号则表示了函数的增减性。
如果函数的导数大于0，那么函数在该点上升；如果导数小于0，则函数在该点下降。
其次，导数的二次项可以用来判断函数的拐点位置。
如果导数的二次项大于0，则函数有一个拐点，该拐点位于导数为0的点处。
4. 最值点对于三次函数而言，它可能存在最大值或最小值点。
为了找到函数的最值点，我们可以计算函数的导数，令导数为0，并求解对应的x值。
通过找到导数等于0的点，我们可以确定函数的局部最值点。
5. 图像特征三次函数的图像通常呈现出“S”形状曲线。
当a>0时，函数的图像开口向上，底部为最小值点；当a<0时，函数的图像开口向下，顶部为最大值点。
同时，函数可能经过x轴的一次或两次。
通过观察函数的图像特征，我们可以初步判断函数的性质和行为。
总结起来，三次函数作为一种多项式函数，具有许多独特的特性。
通过研究它的零点、对称性、变化趋势、最值点以及图像特征，我们可以更好地理解和利用三次函数的性质。
三次函数性质总结
三次函数的图像及性质
形如32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的函数叫做三次函数，其中x 是自变量，,,,a b c d 是常数。
它具有以下性质：
1、图像、单调区间与极值
三次函数求导以后是二次函数，2()32f x ax bx c '=++，它的零点个数决定了三次函数的极值情况与单调区间，下面是三次函数及其对应的导函数全部共六种图像：
x
x 0
a >0a <
2、零点个数
若方程()0f x '=的判别式0∆≤，则()f x 在R 上是单调函数，无极值，值域为(,)-∞+∞，故有唯一的零点。
若方程()0f x '=的判别式0∆>，方程有两个不等的实根1x 、2x ， 它们是函数()f x 的极值点，则：
（i ）当12()()0f x f x ⋅>时，()f x 有一个零点；
x
x
x
x
（ii ）当12()()0f x f x ⋅=时，()f x 有两个零点；
x
x
x
x
（iii ）当12()()0f x f x ⋅<时，()f x 有三个零点。
x
3、对称中心
三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠一定有对称中心。
其对称中心的横坐标为3b x a
=-。
4、过平面内一点能作三次函数图像切线的条数
2条
1条。
三次函数的性质
三次函数的性质
三次函数是指满足某一条件的函数，它是一类定义在实数域上的函数。
三次函数的标准形式则是 y=ax+bx+cx+d，其中a、b、c和d 为常数，x为变量。
下面就具体介绍下三次函数的性质。
1、首先，三次函数的最大和最小值，由于三次函数的曲线的形状受参数a的变化影响较大，当a>0时，函数准心在x轴上有1个极值点，它位于 f(x)=ax+bx+cx+d, x=-b/(3a)这个立方根上，由此可以知道，a>0时函数有1个极小值点；当a<0时，函数准心在x轴上有1个极大值点，它位于 f(x)=ax+bx+cx+d, x=-b/(3a)这个立方根上，由此可以知道，a<0时函数有1个极大值点。
2、其次，三次函数的翻转，由于三次函数的曲线的形状受参数a的变化影响较大，当a>0时，曲线上的点沿着y轴正方向递减；当a<0时，曲线上的点沿着y轴正方向递减，这就是三次函数的翻转。
3、再次，三次函数的对称，由于三次函数的曲线的形状受参数a的变化影响较大，当a=0时，三次函数具有对称性，即函数围绕x 轴对称。
4、最后，三次函数的拐角，由于三次函数的曲线的形状受参数a的变化影响较大，当a>0时，函数的拐点处的斜率由正数变为负数，拐点处的斜率由负数变为正数；当a<0时，函数的拐点处的斜率由正数变为负数，拐点处的斜率由负数变为正数，这就是三次函数的拐角。
综上所述，三次函数的形状受参数a的变化影响较大，它具有极值、翻转、对称和拐角等性质，是求解函数最重要的一类函数。
了解
三次函数的性质，对求解函数会有很大帮助。
三次函数性质总结.
三次函数性质的探索我们已经学习了一次函数，知道图象是单调递增或单调递减，在整个定义域上不存在最大值与最小值，在某一区间取得最大值与最小值．那么，是什么决定函数的单调性呢？利用已学过的知识得出：当k>0时函数单调递增；当k<0时函数单调递增；b决定函数与y轴相交的位置．其中运用的较多的一次函数不等式性质是：()0>f在[m，n]上恒成立的充要条件x()0>fm()0>fn接着，我们同样学习了二次函数，图象大致如下：图1 图2利用已学知识归纳得出：当时(如图1)，在对称轴的左侧单调递减、右侧单调递增，对称轴上取得最小值；当时(图2)，在对称轴的左侧单调递增、右侧单调递减，对称轴上取得最大值．在某一区间取得最大值与最小值．其中a决定函数的开口方向，a、b同时决定对称轴，c决定函数与y轴相交的位置．总结：一次函数只有一个单调性，二次函数有两个单调性，那么三次函数是否就有三个单调性呢？三次函数专题一、定义：定义1、形如32(0)y ax bx cx d a =+++≠的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）。
定义2、三次函数的导数232(0)y ax bx c a '=++≠，把2412b ac ∆=-叫做三次函数导函数的判别式。
由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题，已经成为高考命题的一个新的热点和亮点。
特别是文科。
系列探究1：从最简单的三次函数3x y =开始反思1：三次函数31y x =+的相关性质呢？ 反思2：三次函数31y x =-+的相关性质呢？ 反思3：三次函数()311y x =-+的相关性质呢？（2012天津理）（4）函数22)(3-+=x x f x在区间(0,1)内的零点个数是 B （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3系列探究2：探究一般三次函数)0()(23>+++=a d cx bx ax x f 的性质：先求导2()32(0)f x ax bx c a '=++>1．单调性：（1）若22120b ac =-≤△()，此时函数()f x 在R 上是增函数；（2）若22120b ac =->△()，令2()320f x ax bx c '=++=两根为12,x x 且12x x <，则()f x 在12(,),()x x -∞+∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减。
三次函数及其简单性质
26.（12 浙江理 17）设 a R ，若 x 0 时，均有[(a 1)x 1](x2 ax 1) 0 ，则 a ___________.（ 3 ） 2
27（. 17
江苏理
11）已知函数
f
(x)
x3
2x
ex
1 ex
，其中 e 是自然对数的底数.若
f
(a 1)
2x, x a
②若 f (x) 无最大值，则实数 a 的取值范围是_______________.（ (,1) ）
23.（15 安徽理 15）设 x3 ax b 0 ，其中 a ， b 均为实数.下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根
的是_________________.（写出所有正确条件的编号）（①③④⑤）
A. [2,10]
B. [1,8]
C. [2,2]
D. [0,9]
16.已知函数 f (x) (x a)3 3x a(a 0) 在[1, b] 上的值域为[2 2a,0] ，则 b 的取值范围是（ ）
A. [0,3]
B. [0,2]
C. [2，3]
D. (1,3]
17.（11 天津文 20）函数 f (x) ax3 3 x2 1(a 0) ，当 x [ 1 , 1 ] 时 f (x) 0 ，则 a 的范围是（ ）
不可能的是···········································································（ ）
A. S 1且 T 0
B. S 1且 T 1
C. S 2且 T 2
D. S 2且 T 3
三次函数的性质
三次函数的性质三次函数是一类重要的数学函数，它是利用一次函数、二次函数和多项式联立来构造的一类数学函数。
三次函数的性质多变，常用的有三次函数的单调性性质、最值性质、奇偶性质、对称性质、递增递减性质等。
一、三次函数的单调性性质三次函数满足单调性性质，即在函数定义域内函数值单调递增或单调递减，即“若y=f(x) 为某三次函数时，则若x在f(x)的定义域内，若x1<x2，则f(x1)≤f(x2)或f(x1)≥f(x2)”。
二、三次函数的最值性质三次函数满足最值性质，具体来说就是三次函数在定义域内只有一个极值点，这个极值点可以是函数的极大值点也可以是函数的极小值点，用数学符号表示为“若y=f(x) 为某三次函数，则若x为函数的极值点，有f(x)=0，其中f(x) 为函数的导数”。
三、三次函数的奇偶性质三次函数满足奇偶性质，即“当x为-x，函数值也变为它的相反数，即f(-x)=-f(x)，其中f(x) 为某三次函数”。
四、三次函数的对称性质三次函数满足对称性质，具体来说就是“若f(x) 为某三次函数，且a 为某实数，若x=af(x)=0，则f(x) 与x对称，即f(x)=0 且x=-a 也成立，即f(-a)=0”。
五、三次函数的递增递减性质三次函数满足递增递减性质，即“若y=f(x) 为某三次函数时，若x 位于f(x)定义域内，若f(x)>0，则若x0<x1<x2，有f(x0)<f(x1)<f(x2)；若f(x)<0，则若x0<x1<x2，有f(x0)>f(x1)>f(x2)”。
综上所述，三次函数的性质多变多样，它具有单调性性质、最值性质、奇偶性质、对称性质和递增递减性质，并且它们之间也有着相互联系。
所以要想理解三次函数这一重要的数学函数，就需要全面掌握它的这些性质。
三次函数在数学和科学上有着重要的应用，例如在数学归纳法中，通过分析三次函数的性质，可以更加有效地解决数学问题；在科学研究中，三次函数也可用来拟合一些曲线，从而进行有效的科学实验。
高考数学专题复习：三次函数图像与性质及其应用
三次函数的图像与性质及应用一. 基本命题原理对于三次函数而言，其导函数为一个二次函数，那么根据其导函数的基本性质，可将三次函数的图象和性质梳理如下： 1.根的个数（0>a ）.对于三次函数，其导函数为二次函数:，二次函数的判别式化简为：△=， （1）若，则恰有一个实根；（2）若,且，则0)(=x f 恰有一个实根； （3）若,且，则0)(=x f 有两个不相等的实根； （4）若,且，则0)(=x f 有三个不相等的实根.注：由图像可知：①0)(=x f 含有一个实根的充要条件是曲线)(x f y =与x 轴只相交一次， 即)(x f 在R 上为单调函数（或两极值同号），所以032≤−ac b （或032>−ac b ，且0)()(21>⋅x f x f ）.②0)(=x f 有两个相异实根的充要条件是曲线)(x f y =与x 轴有两个公共点且其中之一 为切点，所以032>−ac b ，且0)()(21=⋅x f x f .③0)(=x f 有三个不相等的实根的充要条件是曲线)(x f y =与x 轴有三个公共点，即)(x f 有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.故032>−ac b 且0)()(21<⋅x f x f .)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f )0(23)(2'≠++=a c bx ax x f ()0f x =d cx bx ax x f +++=23)()0(23)('2≠++=a c bx ax x f )3(412422ac b ac b −=−032≤−ac b 0)(=x f 032>−ac b 0)()(21>⋅x f x f 032>−ac b 0)()(21=⋅x f x f 032>−ac b 0)()(21<⋅x f xf2.极值情况：三次函数（0>a ）,导函数为二次函数，二次函数的判别式化简为：△=， （1） 若，则)(x f 在),(+∞−∞上为增函数；（2）若，则)(x f 在和上为增函数，)(x f 在),(21x x 上为减函数，其中. 证明：c bx ax x f ++=23)('2, △=)3(412422ac b ac b −=−，（1） 当0≤∆ 即032≤−ac b 时，0)('≥x f 在 R 上恒成立， 即)(x f 在),(+∞−∞为 增函数.（2） 当0>∆ 即032>−ac b 时，解方程0)('=x f ，得由0)('>x f 得1x x <或2x x >，)(x f 在),(1x −∞和),(2+∞x 上为增函数.由0)('<x f 得21x x x <<，)(x f 在),(21x x 上为减函数.总结以上得到结论:三次函数d cx bx ax x f +++=23)(（0>a ） （1）若032≤−ac b ，则)(x f 在R 上无极值；（2）若032>−ac b ，则)(x f 在R 上有两个极值；且)(x f 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值.d cx bx ax x f +++=23)()0(23)(2'>++=a c bx ax x f )3(412422ac b ac b −=−032≤−ac b 032>−ac b ),(1x −∞),(2+∞x aacb b x a ac b b x 33,332221−+−=−−−=aacb b x a ac b b x 33,332221−+−=−−−=3.对称中心三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的对称中心为点))3(,3(abf a b f −−，该点是三 次函数的拐点，此点的横坐标也是二阶导数的零点.4.三次方程根与系数得关系（1）已知实系数多项式32()x ax bx cx d ϕ=+++有三个根,设为123,,.x x x123122331123,,.b c dx x x x x x x x x x x x a a a++=−++==−（2）由三次方程根与系数的关系：32()()()()().x a x b x c x a b c x ab bc ca x abc +++=+++++++5.对称中心处的切线拐点是函数凸凹性发生转换的点，即由凸转凹，或者由凹转凸，即0)(0''=x f ，当0x x <时，0)(''<x f 或0)(''>x f ，当0x x >时，0)(''>x f 或0)(''<x f .如图，点A 为函数)(x f 的拐点，做点A 处的切线，可以看到，具有单个拐点的函数)(x f y =可以看作是1个凸函数和1个凹函数通过拐点进行缝合，它们在缝合点处具有相同的切线l ，这条切线l 将平面分别两个半平面，一半包含一个凸函数，另一半包含一个凹函数二．典例应用★应用1.函数的性质考察.例 2.已知曲线3()3f x x x λ=−+在点(,())A m f m 处的切线与曲线的另外一个交点为,B P 为线段AB 的中点,O 为坐标原点.（1）求()f x 的极小值并讨论()f x 的奇偶性.（2）当函数()f x 为奇函数时,直线OP 的斜率记为k ,若34k −,求实数m 的取值范围. 解析：（1）2()333(1)(1)f x x x x '=−=+−，当11x −<<时,()0f x '<；当1x >时，()0f x '>.当0λ=时3()3f x x x =−,显然3()3()f x x x f x −=−+=−，所以()f x 为奇函数.当0λ≠时(1)2,(1)2f f λλ−=+=−+，显然(1)(1)f f −≠. 且(1)(1)20f f λ−+=≠，所以()f x 为非奇非偶函数.（2）2()33f x x '=−,所以曲线在点(,())A m f m 处的切线方程为()()32333()y m m m x m λ−−+=−−，其与原曲线方程33y x x λ=−+，联立化简得:2()(2)0x m x m −+=.从而()32,86(0)B m m m m λ−−++≠.所以3732,22m m m P λ⎛⎫−++− ⎪⎝⎭,3732m m k m λ−−=.由于(0,2),18m k ∀∈； 即当(0,2)m ∈时，都有32721m m λ−.令3()721h m m m =−,则2()212121(1)(1)h m m m m '=−=+−，易知当01m <<时,()0h m '<；当12m <<时,()0h m '>.即()h m 在(0,1)上递减，在(1,2)上递增，所以当(0,2)m ∈时,min ()(1)14h m h ==−，所以2147λλ−⇔−，从而实数λ的取值范国为(,7]−∞−. 注：可以看到，切点的横坐标恰好便是方程①的二重根.例3.（切割线定理）如果我们将上述的内容再结合三次函数韦达定理，就可以得到更多有趣的结论.如图，过切点A ))(,(A A x f x 的切线与三次函数)(x f y =的图象交于B 点，同时，过))(,(00x f x 的割线AD 与三次函数)(x f y =的图象交于C A D ,,三点. 我们有以下结论：三次函数切割线定理. （1）abx x B A −=+2； （2）D C B A x x x x +=+； （3）A F E x x x 2=+.证明：显然，方程①整理可得：0)())((000'23=+−−+++x f x x x f d cx bx ax .结合上述重根个数定理以及韦达定理可得：abx x B A −=+2，结论（1）证毕. （2）设直线AD 的方程为m kx y +=，代入)(x f y =的表达式结合韦达定理可得：abx x x D C A −=++,再联立a b x x B A −=+2，可证得：D C B A x x x x +=+.（3）同理，如图a bx x x E E B −=++，再联立a b x x B A −=+2，可得：A F E x x x 2=+.练习1.（2016年天津卷）设函数R b a b ax x x f ∈−−−=,,)1()(3. （1）求)(x f 的单调区间；（2）若)(x f 存在极值点0x x =，且)()(10x f x f =，其中10x x ≠，求证：3201=+x x . 解析：（2）过极值点0x x =做函数)(x f 图象的切线)(0x f y =，其与)(x f y =交点横坐标为1x x =. 将函数b ax x x f −−−=3)1()(展开可得：)1()3(3)(23+−−+−=b x a x x x f 由上述切割线定理可知：3201=+x x ，证毕.练习2. 下列关于三次函数32()(0)()f x ax bx cx d a x R =+++≠∈叙述正确的是（ ） ①函数()f x 的图象一定是中心对称图形； ②函数()f x 可能只有一个极值点； ③当03bx a≠−时，()f x 在0x x =处的切线与函数()y f x =的图象有且仅有两个交点； ④当03bx a≠−时，则过点()()00,x f x 的切线可能有一条或者三条． A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④由上述结论易得：A.★应用2.三次函数的切线个数例4．已知函数()33f x x x =−．（1）求()f x 在区间[]()0,0m m >上的最大值和最小值； （2）在曲线2yx 上是否存在点P ，使得过点P 可作三条直线与曲线()y f x =相切？若存在，求出其横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 解析：（2）假设存在符合条件的点()2,P a a，切点设为()300,3x xx −.所以，根据导数几何意义可得：()2300200333a x x x a x −−=−−即322002330x ax a a −++=①故问题转化为关于0x 的方程①存在三个不同实根．令()322233g x x ax a a =−++，则()()2666g x x ax x x a '=−=−；当0a =时，()260g x x ='≥，()g x 单调递增，不合题意；当0a >时，易知()g x 在(),0−∞单调递增，在()0,a 单调递减，在(),a +∞单调递增，从而()()000g g a ⎧>⎪⎨<⎪⎩，即2323030a a a a a ⎧+>⎨−++<⎩解得：a >0a <时，易知()g x 在(),a −∞单调递增，在(),0a 单调递减，在()0,+∞单调递增从而()()000g a g ⎧>⎪⎨<⎪⎩，即3223030a a a a a ⎧−++>⎨+<⎩解得：3a −<<，综上，存在符合条件的点()2,P a a，其横坐标的取值范围为⎛⎫−⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 注.三次函数的切线条数是三次函数中典型应用之一，其实质就是在讨论三次方程根的个数，是一类非常典型的函数与方程综合问题，颇受命题人青睐.★应用3.三次方程的根与韦达定理同样是2020年全国三卷23题，不等式选做题，依然以三次方程根与系数的关系命制而 成，下面予以分析，希望各位读者在高三备考时重视对三次方程根与系数关系的认识程度， 有备无患！例5．设直线y t =与曲线()23C y x x =−：的三个交点分别为()()()A a t B b t C c t ，，，，，，且a b c <<．现给出如下结论：①abc 的取值范围是()04，；②222a b c ++为定值；③6a b c ++=. 其中正确结论的为解析：设()()232369y f x x x x x x ==−=−+，则()23129f x x x '=+-，令()0f x '=，解得：1x =或3x =；当1x <或3x >时，0fx，当13x <<时，()0f x '<；∴()f x 在)1,(−∞上是增函数，在（1，3）上是减函数，在（3，+∞）上是增函数；当1x =时，()f x 取得极大值()14f =，当3x =时，()f x 取得极小值()30f =；作出函数()f x 的图象如图所示：∵直线y t =与曲线()23C y x x =−：有三个交点，由图象知04t ＜＜. 令()()232369g x x x t x x x t =−=+---，则a b c ，，是()0g x =的三个实根．∴()()()3269x x x t x a x b x c +=-----，即()()323269x x x t x a b c x ab ac bc x abc −+−=−+++++−，∴6a b c ++=，9ab bc ac ++=，abc t =，①③正确；∴()()2222218a b c a b c ab bc ac ++=++++=-，∴②正确；综上，正确的命题序号是①②③．故答案为：①②③．★应用4.三次方程根的分布下面这道题目是2020年三卷的导数压轴题，其实质考察了三次函数的零点分布.但其却 具有非常丰厚的数学背景，即三次方程根的三角形式，也是此题的命题原理.为此，此题 先用函数思想求解，再给出其命题背景.例6.（2020全国3卷）设函数c bx x x f ++=3)(，曲线)(x f y =在点))21(,21(f 处的切线与y 轴垂直. （1）求b ；（2）若)(x f 有一个绝对值不大于1的零点，证明:)(x f 所有的零点的绝对值都不大于1.解析：（1）因为'2()3f x x b =+，由题意，'1()02f =，即21302b ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭,则34b =−.（2）由（1）可得33()4f x x x c =−+，故'2311()33()()422f x x x x =−=+−，令'()0f x >，得12x >或12x <−；令'()0f x <，得1122x −<<，所以()f x 在11(,)22−上单调递减，在1(,)2−∞−，1(,)2+∞上单调递增，且111111(1),(),(),(1)424244f c f c f c f c −=−−=+=−=+，若()f x 所有零点中存在一个绝对值大于1的零点0x ，则(1)0f −>或(1)0f <，即14c >或14c <−.当14c >时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c −=−>−=+>=−>=+>，又32(4)6434(116)0f c c c c c c −=−++=−<，由零点存在性定理知()f x 在(4,1)c −−上存在唯一一个零点0x ，即()f x 在(,1)−∞−上存在唯一一个零点，在(1,)−+∞上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；当14c <−时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c −=−<−=+<=−<=+<，又32(4)6434(116)0f c c c c c c −=++=−>，由零点存在性定理知()f x 在(1,4)c −上存在唯一一个零点0'x ，即()f x 在(1,)+∞上存在唯一一个零点，在(,1)−∞上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；综上，()f x 所有零点的绝对值都不大于1.应用5.三次函数的拐点切线 例7.已知函数()321132f x x ax bx =++在区间[)(]1,1,1,3−内各有一个极值点. （1）求24a b −的最大值；（2）当248a b −=时，设函数()y f x =在点()()1,1A f 处的切线为l ，若在点A 处穿过()y f x =的图象（即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧），求函数()f x 的表达式. 解析：（1）因为函数()321132f x x ax bx =++在区间[)(]1,1,1,3−内分别有一个极值点， 所以b ax x x f ++='2)(在区间[)(]1,1,1,3−内分别有一个实根，设两实根为1x ，2x （1x <2x ），则b a x x 4212−=−，且4012≤−<x x ，于是4402≤−<b a ，16402≤−<b a ，且当11−=x ，32=x ，即2−=a ，3−=b 时等号成立，故24a b −的最大值是16（2）由b a f ++='1)1(知)(x f 在点()()1,1A f 处的切线l 的方程是)1)(1()1(−'=−x f f y ，即a x b a y 2132)1(−−++=，因为切线l 在点A 处穿过()y f x =的图象所以]2132)1[()()(a x b a x f x g −−++−=在1=x 两边附近的函数值异号，则1=x 不是)(x g 的极值点，而a x b a bx ax x x g 2132)1(2131)(23++++−++=，且)1)(1(1)1()(22a x x a ax xb a b ax x x g ++−=−−+=++−++='，若a −−≠11，则1=x 和a x −−=1都是)(x g 的极值点，所以a −−=11，即2−=a ，又由248a b −=得1−=b ，故x x x x f −−=2331)(.五．习题演练习题1．已知函数()()23f x x x =−，若()()()f a f b f c ==，其中a b c <<，则（ ）A ．12a <<B ．6a b c ++=C ．2a b +>D ．abc 的取值范围是()0,4 解析：因为()()23f x x x =−，所以()231293(3)(1)f x x x x x =−=−−'+，令()0f x '=，解得：1x =或3x =，当0f x 时，3x >或1x <，所以()f x 单调递增区间为(),1−∞和()3,+∞；当()0f x '<时，13x <<，所以()f x 单调递减区间为()1,3；且(3)0f =，(1)(4)4f f ==，如图：设()()()f a f b f c t ===，则04t <<，0134a b c <<<<<<，故选项A 错误； 又()()()()f x t x a x b x b −=−−−，所以()23()()()x x t x a x b x c −−=−−−，即323269()()x x x t x a b c x ab ac bc x abc −+−=−+++++−，对照系数得6a b c ++=，故选项B 正确；(0,4)abc t =∈，故选项D 正确；因为34c <<，所以36()4a b <−+<，解得23a b <+<，故选项C 正确，综上，正确的选项为BCD.故选：BCD习题2.已知函数()313f x x tx t =++． （1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有三个不同的零点1x 、2x 、3x ,求t 的取值范围,并证明：123x x x ++<解析：（1）2()f x x t =+'①当0t 时,()0f x ',则()f x 在R 上单调递增,无递减区间；②当0t <时, ()f x 在(上单调递减,在(,)∞∞−+上单调递增（2）由（1）知函数f (x )有三个零点,则0t <∵()f x 在(上单调递减,在(,)∞∞−+上单调递增∴()f x 的极大值为2(3f t =−且极大值大于0,极小值为23f t =+∵()f x 有三个不同的零点123,,x x x ,∴203f t =+< 解得94t <−,故t 的取值范围为9,4⎛⎫−∞− ⎪⎝⎭． 又∵(0)0f t =<,当x →+∞时,有()f x →+∞,当x →−∞时,有()f x →−∞．∴设123x x x <<,由零点存在性定理知1230x x x <<<． ∴12x x +<又∵31233f t t t =++=−(0f => 3x <<因此123x x x ++习题3已知函数()3134f x x ax =−+,()lng x x =−． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）用{}min ,m n 表示,m n 中较小者,记函数()()(){}min ,h x f x g x =,（0x >）．若函数()h x 在0,上恰有3个零点,求实数a 的取值范围．解析：（1）()3134f x x ax =−+,x ∈R ,()233f x x a '=−当0a ≤时,0f x ,()f x 在R 上为单调递增，当0a >时,()(3f x x x '=,令0f x ,得x <x ()f x 单调递增令0f x ,得x <()f x 单调递减，综上：当0a ≤时,()f x 在(),−∞+∞为增函数当0a >时,()f x 在(,−∞和)+∞为增函数,在(为减函数 （2）当(1,)x ∈+∞时,()ln 0g x x =−<,从而()min{(),()}()0h x f x g x g x =≤<,∴()h x 在（1,+∞）无零点.当x =1时,若512a ≤,则5(1)304f a =−≥,(1)min{(1),(1)}(1)0h f g g ===,故x =1是()h x 的零点；若512a >,则5(1)304f a =−<,(1)min{(1),(1)}(1)0h f g f ==<,故x =1不是()h x 的零点.当(0,1)x ∈时,()ln 0g x x =−>,所以只需考虑()f x 在)1,0(的零点个数.（ⅰ）若0a ≤或1a ≥,则()2()3f x x a '=−在)1,0(无零点,故()f x 在)1,0(单调,而1(0)4f =,5(1)34f a =−,所以当1a ≥时,()f x 在)1,0(有一个零点；当0a ≤时,()f x 在)1,0(无零点.（ⅱ）若01a <<,则()f x 在）单调递减,在单调递增,故当x ,()f x 取的最小值,最小值为124f =−.①若f ＞0,即0＜a ＜14,()f x 在)1,0(无零点.②若f =0,即14a =,则()f x 在)1,0(有唯一零点；③若f ＜0,即114a <<,由于1(0)4f =,5(1)34f a =−,所以当15412a <<时,()f x 在)1,0(有两个零点；当5112a <<时,()f x 在)1,0(有一个零点. 综上,当14a <或512a >时,()h x 由一个零点；当14a =或512a =时,()h x 有两个零点；当15412a <<时,()h x 有三个零点. 所以a 的取值范围是15,412⎛⎫ ⎪⎝⎭习题4．已知函数()()()32111032f x x a x ax a =+−−>． （1）求函数f （x ）的极值；（2）当a ＞1时，记f （x ）在区间[－1,2]的最大值为M ，最小值为m ．已知12,33M m ⎛⎫ ⎪⎝+⎭∈．设f （x ）的三个零点为x 1，x 2，x 3，求()122331f x x x x x x ++的取值范围． 解析：（1）()()()()211f x x a x a x x a '=+−−=−+，令0f x ，解得x a <−或1x >，令()0f x '<，解得1a x −<<，所以()f x 在(),a −∞−，()1,+∞上单调递增，在(),1a −上单调递减，当x a =−时取得极大值，()3322321111132262f f a a a a a a a =−=−+−+=+极大值， 当1x =时取得极小值，()11111132262f f a a a ==+−−=−−极小值，所以()f x 的极大值为321162a a +，极小值为1162a −−. （2）因为1a >，所以()f x 在()1,1−上单调递减，()1,2上单调递增，()11162m f a ==−−， 因为()3521263f a −=−>，()222233f a =−<，所以()35126M f a =−=−， 111352362263a a <−−+−<，解得4533a <<，设123x x x <<，令()()2111032f x x x a x a ⎡⎤=+−−=⎢⎥⎣⎦，所以20x =，313x x a =−，()()3212233193322f x x x x x x f a a a ++=−=−−， 329322y a a =−−在45,33⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，当32934025,223a a ⎛⎫−−∈−− ⎪⎝⎭，所以()122331f x x x x x x ++的取值范围为4025,3⎛⎫−− ⎪⎝⎭.。
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• 2．极值与最值的关系 • (1)函数的最值是一个整体性的概念．函数极值是函数在某
一点及其附近的局部性概念，具有相对性；而函数的最值则 是表示函数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数 值的比较．
• (2)函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值 或最小值只能各有一个，具有唯一性，而极大值和极小值可 能多于一个，也可能没有，例如：常数函数就既没有极大值 也没有极小值．
课后作业： 1．指出下列函数的单调区间和极值点 (1) f (x) x3 2x2 2x 7 (2) f (x) 2x3 6x2 7 (3) f (x) 2x3 6ax2 7 (a 0) 21. .已知函数f (x) x3 ax2 (a 6)x 1
有极大值和极小值, 求a的取值范围。
增区间: (-∞, +∞)
减区间: (-∞, x1), (x2, +∞)
增区间: (x1, x2)
减区间: (-∞, +∞)
减区间: (-∞, +∞)
引例（1）的变式：
已知函数f (x) x3 2x2 ax 1
（1）若函数 f (x) 在R上无极值， 求a的取值范围；
（2）若函数 f (x)有3个单调区间， 求a的取值范围；
•已知函数f (x) x3 bx2 cx d (b, c, d为常数）， 当k (,0) (4,)时，f (x) k 0只有一个实根； 当k (0,4)时，f (x) k 0有3个相异实根。 现给出以下四个命题：
① f (x) 4和f '(x) 0有一个相同的实根
② f (x) 0和f '(x) 0有一个相同的实根 3 f (x) 3 0的任一实根大于f (x) 1 0的任一实根 ④ f (x) 5 0的任一实根小于f (x) 2 0的任一实根 其中正确的命题是 ①②④
已知函数f (x) x3 2x2 ax 1
（3）若函数f(x)在x=1处取得极值，
Ⅰ）判断函数f(x)的图像与x轴的 交点有几个？
Ⅱ）关于x的三次方程f(x)+m=0有三个 不同的实根，求m的取值范围；
Ⅲ）若函数g(x)=x3-2x2+3x+1与函数 h(x)=2x+m的图像只有一个公共点， 求m的取值范围。
o
x2
x1 x
三次函数与其导函数图象之间的关系
判
f′(x)
别 式
=
3ax2+ 2bx+c 图
象
△>0
a>0 △=0
△<0
△>0
a<0 △=0 △<0
f(x)= ax3+b x2+cx
单 调 区 间
增区间: (-∞, x1), (x2, +∞)
减区间: (x1, x2)
+d 大
致
图
象
增区间: (-∞, +∞)
课堂练习
课堂小结
1.知识与方法：
本节课我们运用了导数工具对三次函数进行初步研究：
（1）了解三次函数图像形状 （2）了解三次函数的性质（单调性、极值、图像与x轴
交点情况等） （3）初步掌握三次函数的有关题型：
①单调性与极值问题 ② 图像交点与三次方程根的问题
2.数学思想：
体会分类与整合思想、函数与方程的思想、 数形结合的思想、及划归与转化的思想在 解题 中的重要作用。
故 fx在 R 上单调递增，不可能在 x＝1 处取得极值，
当ab＝＝－4，11 时，经检验知符合题意， 故 a，b 的值分别为 4，－11.
二、函数的最大值与最小值 1．利用导数求函数最值的方法 函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不间断的曲 线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数 的最值必在极值点或区间端点处取得． 例如，如图，曲线为函数f(x)的 图象，定义域为[a，b]，则易得 f(x2)，f(x4)是极大值，f(x1)，f(x3)， f(x5)是极小值，比较极大值及端点 的函数值知函数的最大值是f(b)，比较极小值及端点的函数值 知函数的最小值是f(x3)．
三次函数的单调区间和极值
求函数极值的步骤：
（1）求定义域； （2）求导数； （3）求驻点，即求方程 f '(x) 0 的根； （4）列表：用 f '(x) 0 的根将定义域
分成若干区间，列表； （5）求极值：由各个区间内导数的符
号判断极值的情况。
设F(x) ax3 bx2 cx d (a 0) 则F(x) 3ax2 2bx c 方程F(x) 0中 设△=4b2—12ac
• 注意：(1)求可导函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值，最小 值步骤：
• ①求f(x)在开区间(a，b)内所有使f′(x)＝0的点；
• ②计算函数f(x)在区间内使f′(x)＝0的所有点和端点的 函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小 值．
• (2)若函数f(x)在闭区间[a，b]上是单调函数，则可直接 利用单调性法求函数的最值，即若f(x)在[a，b]上递增， 则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a)；若f(x)在[a，b]上 递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b)．
• (3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得，有 极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能 成为最值，最值只要不在端点处取必定是极值．
(4)开区间上的连续函数不一定有最值．例如y＝
1 x
在区间
(0,1)上是连续的，如图，但在该区间上，函数y＝1x 既没有最大
值也没有最小值．
(5)求函数的最值与函数的极值不同的是，在求可导函数 的最值时，不需对各导数为零的点讨论其是极大值还是极小 值，只需将导数为零的点和端点的函数值进行比较即可．
3.
选作题：
4.设函数 f (x) x3 9 x2 6x a ,若方程 f(x)=0 有
2
且仅有一个实根，求 a 的取值范围．
变式： （1）若方程 f(x)=0 有三个不同的实根，求 a 的取值范围 （2）若函数y=f(x)图象与直线y=4 有三个不同的交点，求 a 的取值范围
（3）设函数 g(x)=2x+b-a.若f(x)、g(x)图像只有一 个公
导数的图像
a 0时
△<0
y
o
x
△=0
y
o x0 x
△>0
y
x1 x2
oபைடு நூலகம்
x
△≤0时
y=F(x)的大致图像
y
o
x
△>0时y=F(x)的大致图像
y
x2
o x1 x
导数的图像
a 0时
△<0
y
o
x
△=0
y
x0
o
x
△>0
y
x1 x2
o
x
△≤0时 y=F(x)的大致图像
y
o
x
△>0时y=F(x)的大致图像
y
共点，求b的取值范围.
例 2：若函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2 在 x＝1 处取得极值 10，试求 a，b 的值．
[解答] f′x＝3x2＋2ax＋b，依题意得ff′11＝＝100，， 即a22a＋＋ab＋＝b－＝39，， 解得ab＝＝－4，11 或ba＝＝－3，3，
由于当 a＝－3，b＝3 时，f′x＝3x2－6x＋3≥0，