北京大学量子力学教材 习题集

p2 V (r ) ，试用纯矩阵的方法，证明下列求和规则 5、设 H 2
2 E n E m x nm
n

2 2
（提示：求
H, X, H, X, X 然后求矩阵元 m H, X , X m ）
2
6、若矩阵 A，B，C 满足 A
（1）证明： AB BA
x0 0xa x0
（1）求粒子的能级和对应的波函数； （2）若粒子处于 n ( x ) 态，证明： x
a / 2,
x x
2
6 a2 1 2 2 . 12 n
3、若在 x 轴的有限区域，有一位势，在区域外的波函数为
如
C S11 A S12 D B S 21 A S 22 D
a 1 2

e

a2x2 i t 2 2
（2）氢原子基态：
r , t
e
r i E 2t a0
2、求一维无限深位阱（0≤ x ≤a）中粒子的坐标和动量在能量表象中的矩阵元。
ˆ x 的矩阵表示。 3、求在动量表象中角动量 L
4、在（ l
2
ˆ x 的可能值及相应几率。 , l z ）表象中，求 l 1 的空间中的 L
3、设氢原子处于状态
r , ,
求氢原子能量，角动量平方和角动量分量的可能值，以及这些可能值出现的几率 和这些力学量的平均量。
4、证明
1 2 1 ,r 2 r r
1 2 ,r 2
5、设氢原子处于基态，求电子处于经典力学不允许区域
率。




E V T 0 的几
（1）
2 2 2
q, p i, f (q)是q 的可微函数，证明
3、证明
ˆ , [B ˆ ]] [B ˆ ,A ˆ ]] [C ˆ ,[A ˆ ,B ˆ ,C ˆ , [C ˆ ]] 0 [A
ˆ, B ˆ 是厄密算符 4、如果， A
（1）证明
ˆ B ˆ ,B ˆ n , iA ˆ 是厄密算符； A
r
其中， Z e 表示原子实的电荷， A
Z e A 2 r r
0 ，证明，电子在原子实电场中的能量为 e 4 z 2 2 2 1
E nl
n l 2
而 l 为 l 的函数， 讨论 l 何时较小， 求出 l 小时，E nl 公式， 并讨论能级的简并度。

e e
（提示，考虑 f ( )
A
ˆ B 1 A ˆ ,B ˆ A 2 e ˆ

ˆ
e A e B e A B , 证明
ˆ
df A, B f 然后积分） d
6
ˆ 和A ˆ 7、设 是一小量，算符 A
1
存在，求证
从而证明： i u ni p x xu nj d

ij 2
9、一维谐振子处在基态
x

a e 1/ 2
a
2x 2 / 2
求： （1）势能的平均值 A （2）动能的平均值 T

1 m 2 X 2 ; 2
2 Px / 2m;
（3）动量的几率分布函数 其中 a

m
L x iL y , 证明


2 2
11、设粒子处于 Ylm ( , ) 状态，利用上题结果求 l x , l y 12、利用力学量的平均值随时间的变化，求证一维自由运动的 X 2 随时间的变
7
化为：
X X
2 t 2
0

2
2 1 1 2 XP X p X X 0 x 0 p x 0 t2C CB 2iA
AC CA 0 ；
（2）在 A 表象中，求 B 和 C 矩阵表示。
p2 x 7、设 H V ( x ), 分别写出 x 表象和 Px 表象中 x, p x 及 H 的矩阵表示。 2
2 0 0 在正交基矢 1 , 2 和 3 展开的态空间中， 某力学量 A a 0 0 1 求 8、 0 1 0


论？（其中 k 为实数） 4、一维运动的粒子处于
Axe x x 0
的状态，其中
x0 x0
0, 求归一化系数 A 和粒子动量的几率分布函数。
0
5、证明：从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的，即求证
其中
j/
6、一维自由运动粒子，在 t
12
在态

1 1 1 1 2 3 中测量 A 的可能值，几率和平均值。 2 2 2
13
第七章 自
旋
1、设 为常数，证明 e 2、若
i z
cos i z sin 。
1 x i y , 证明 2 0 2 3、 在 z 表象中， 求 n 的本征态， nsin con, sin sin , cos 是 (, )
6.64 10 24 克 ；
（3）飞行速度为 100 米/秒，质量为 40 克的子弹。 2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对，如果两光子的能量相等， 问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？ 3、利用 de Broglie 关系，及园形轨道为各波长的整数倍，给出氢原子能量 可能值。
ˆ B ˆ 1 A ˆ 1B ˆ 1 2 A ˆ 1 2 A ˆ 1B ˆ 1B ˆ 1 ˆ ) 1 A ˆA ˆA ˆA (A
8、如 u ni 是能量 E n 的本征函数（ i为简并指标 ） ，证明
u ni xp x p x x u nj dx 0
V1( x )
1 2 kx 2
k0
（1）若弹性系数 k 突然变为 2k ，即势场变为
4
V2( X ) kx 2
随即测量粒子的能量，求发现粒子处于新势场 V2 基态几率； （2）势场 V1 突然变成 V2 后，不进行测量，经过一段时间 后，势场又恢复成 V1 ， 问 取什么值时，粒子仍恢复到原来 V1 场的基态。 8、设一维谐振子处于基态，求它的 x
2
, p 2 x ，并验证测不准关系。
5
第四章
量子力学中的力学量
1、
若H

1 2 2 2 px py pz V( x ,y ,z ) 2 i V , x


证明： [ H , Px ]
[ H , x ] i
2、设
px ,
q, p f (q) 2ihpf , （2） p , p f (q ) p f ; i
9、粒子作一维运动，其哈密顿量
2 px H0 Vx 2m
的能级为 E n ，试用 Feynmen
(0)
Hellmann 定理，求 Px m
H H0
的能级 E n 。
10、设有两个一维势阱
V1 x V2 x
若粒子在两势阱中都存在束缚能级，分别为 E1n , E 2n （1）证明 E1n （提示：令 V
12、计算氢原子中 3D
14、设带电粒子在相互垂直的均匀电场 E 及均匀磁场 B 中运动，求其能谱和波
函数（取磁场方向为 Z 轴方向，电场方向为 X 轴方向） 。
11
第六章
量子力学的矩阵形式及表象理论
1、列出下列波函数在动量表象中的表示
（1）一维谐振子基态：
x, t
1
3 a n
n 1,2
E 2n
, x 1 V1 V2
1 2 2 KX 1 Kb 2 2
x b x b
（2）若粒子的势场
V( X )
中运动，试估计其束缚能总数的上、下限
10
11、证明在规范变换下
j
1 ˆ ˆ P ˆ q A P 2 c
这即“出射”波和“入射”波之间的关系，
3
S11
证明：
2 2
S12 S 22
2 2
1 1
S 21
S11S12 S 21S 22 0
这表明 S 是么正矩阵 4、试求在半壁无限高位垒中粒子的束缚态能级和波函数
VX 0 V 0
5、求粒子在下列位场中运动的能级
1
第二章
波函数与波动力学
1、设
x
1 a 2x 2 Ae 2
a为常数
（1）求归一化常数 （2） x 2、求 1 3、若
?, p x ? .
1 1 e ikr 和 2 e ikr 的几率流密度。 r r
A e kx Be kx , 求其几率流密度，你从结果中能得到什么样的结
x0 0xa xa
x0 x0
VX 1 2 2 x 2
6、粒子以动能 E 入射，受到双 势垒作用
Vx V0 ( x ) ( x a )
求反射几率和透射几率，以及发生完全透射的条件。
7、质量为 m 的粒子处于一维谐振子势场 V1 ( x) 的基态，
ˆB ˆ 是厄密算符的条件。 （2）求出 A
5、证明：
ˆ ˆ e L ˆ 1 L ˆ, 1 L ˆ ˆ,A ˆ, L ˆ ,A ˆ, L ˆ, L ˆ ,A eL A A L 2! 3! ˆ ,B ˆ 都对易，证明 6、如果 A , B 与它们的对易子 A

ˆ B

ˆ
0 时，波函数为
x , 0 x
求：
( x, t ) ?
2
2
第三章
一维定态问题
1、粒子处于位场