第五章 损失分布及风险评估模型

k=0，1，2，…称为泊松分布， ， ， ， 称为泊松分布 称为泊松分布， 记为P（ ） 记为 （λ） 【例1】 】
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λ e P{ X = k } = k!
k
−λ
3 正态分布
正态分布是一种连续性分布， 正态分布是一种连续性分布，风险 事故造成的损失金融较好地服从正 态分布。 态分布。 为两个实数， 若 −∞< µ <∞,σ > 0为两个实数，则由 1 x − µ 下列密度函数 1 −
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f (x)
2
确定的随机变量X的分布称为正态 确定的随机变量 的分布称为正态 分布， 分布，记为 N（µ，σ2）。 （ ，
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σ
2π
e
2
σ

第二节 风险评估模型
一 大数定律与中心极限定理 二 损失频率的估算 三 损失幅度的估算
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一 大数定律与中心极限定理
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yy
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二 常用的损失分布及性质
1 二项分布 2 泊松分布 3 正态分布
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1 二项分布
假设在n次独立重复的试验中， 假设在 次独立重复的试验中，每次试验只 次独立重复的试验中 有可能有两种结果（ 或 ）， ），每一次试验 有可能有两种结果（0或1），每一次试验 中出现结果1的概率为 的概率为p， 中出现结果 的概率为 ，令X为n次试验中 为 次试验中 出现1的次数 则随机变量X的分布为 的次数， 的分布为： 出现 的次数，则随机变量 的分布为：
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贝叶斯公式
P( Ai | B ) = P ( A iB ) P(B )
A) = = ∑ P( A )P(B | A ) ∑ P( A )P(B | A )
i n n i =1 i i i =1 i i
P ( A iB )
P( Ai)P(B |
贝叶斯公式是在“结果”事件 已 贝叶斯公式是在“结果”事件B已 知的情况下， 原因” A i 知的情况下，“原因”事件 的条 P( A ) 件概率。 件概率。概率论中把 称为先验 概率， P( 称为后验概率。 概率，而把Ai | B) 称为后验概率。
i
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2 随机变量与概率分布
随机变量（ 随机变量（random variable） ）
指这样一个变量（通常用 来表示 来表示）， 指这样一个变量（通常用X来表示）， 对于过程中的每一个结果， 对于过程中的每一个结果，都有一个 由可能性决定的唯一的数值与之对应。 由可能性决定的唯一的数值与之对应。
2 3
3 5
4 6
5 4
26
6 3
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三 损失幅度的估算
1 2 3 4 每次风险事故所致损失 一定时期总损失 均值与标准差的估算 所需暴露单位的数量
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每次风险事故所致损失
【例6】一个村庄每次遭受洪水灾 】 害而导致的损失金额如下表所示。 害而导致的损失金额如下表所示。
2 n n 2 2 i =1 i i i =1 i i
2
2
+∞
2
2
−−∞
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4 统计推断
统计推断
抽取部分样本进行观察， 抽取部分样本进行观察，经过整 理分析， 理分析，然后对所研究的对象做 出推断，得出一般的结论， 出推断，得出一般的结论，这就 是统计推断。 是统计推断。
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一定时期总损失
【例7】已知某一风险每年损失 】 次数的概率分布和每次损失金额 的概率分布如下表。 的概率分布如下表。
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3 均值与标准差的估算
（1）样本容量较大，已知样本均值和 ）样本容量较大， 抽样误差，估计总体均值。 抽样误差，估计总体均值。
p{ X = k } =
该分布称为二项分布，记为 （ ， ）。 该分布称为二项分布，记为B（n，p）。 E（X）=np （ ） D（X）=np（1-p） （ ） （ ）
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C p (1 − p )
k k n
n−k
k = 1, 2 , L n
2 泊松分布
如果随机变量X的取值为 ， ， 如果随机变量 的取值为0，1， 的取值为 2，…，则概率分布 ， ，
），P（ 则P（B|A）= P（B）， （A|B） （ ） （ ）， ） =P（A） （ ） 则P（AB）= P（A）×P（B） （ ） （ ） （ ）
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全概率公式与贝叶斯公式
全概率公式 贝叶斯公式
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全概率公式
互斥， 设事件组A1, A2,L An互斥，且
风险管理
第五章 损失分布及风险评估模型
第一节 损失分布 第二节 风险评估模型
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第一节 损失分布
一 概率论与数理统计的相关基 本概念 二 常用的损失分布及性质
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一 概率论与数理统计的相关基本概念 1 2 3 4 5
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概率的运算规则 随机变量与概率分布 随机变量的数字特征 统计推断 相关
概率分布
表示随机变量每个值的概率的图、 表示随机变量每个值的概率的图、表 或公式。 或公式。
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3 随机变量的数字特征
E ( X ) = ∑ xk pk 离散型随机变量X 离散型随机变量 k =1 的数学期望 ∞ E( X ) = ∫−∞ xf ( x)dx 连续型随机变量X 连续型随机变量 的数学期望 离散型随机变量X 离散型随机变量 的方差 σ 2 = D ( X ) = E( X − E( X )) = ∑ p ( X − E( X )) = ∑ p ( X − µ) 连续型随机变量X 连续型随机变量X 的方差 σ 2 = D ( X ) = E ( X − E ( X )) = ∫ ( X − µ ) f ( X )dX
二 损失频率的估算
1 运用二项分布来进行估算 2 运用泊松分布进行风险估算
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运用二项分布来进行估算
【例4】某企业有5幢建筑物，根据过去的资 料可以知道，其中任何一幢在一年内发生火 灾的概率都是0.1，且相互独立。一幢建筑 物在一年内发生两次火灾的概率极小，可以 忽略不计。计算下一年该企业 （1）不发生火灾的概率； （2）两幢以上建筑物发生火灾的概率； （3）火灾次数的均值与方差。
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运用泊松分布进行风险估算
【例5】某市在过去两年内由于 】 司机酒后开车发生交通事故的记 录如下表所示。 录如下表所示。试用泊松分布估 算一个月内的事故发生频率。 算一个月内的事故发生频率。
每 发 此 事 的 数X 月 生 类 故 次 频 数f
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0 2
1 1
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1 概率的运算规则
加法法则 乘法法则 全概率公式与贝叶斯公式
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加法法则
一般情况下， 或 的概率为 一般情况下，A或B的概率为
P（A+B）=P（A）+P（B）（ ） （ ） （ ） P（AB） （ ）
特殊情况下，如果事件 与 互 特殊情况下，如果事件A与B互 斥，即P（AB）=0 （ ）
大数定律 中心极限定理
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大数定律
大数定律是用来阐述大量随机 现象平均结果稳定性的一系列 定理的统称。 定理的统称。
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大数定律
为随机变量X的取 设 xi(i =1,2,Ln) 为随机变量 的取 的数学期望， 值，µ 为X的数学期望，则对于 的数学期望 任意小数ε>0，都有 任意小数 ，
则P（A+B）=P（A）+P（B） （ ） （ ） （ ）
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乘法法则
一般情况下， 与 的概率为 一般情况下，A与B的概率为
P（AB）=P（A）P（B|A）=P （ ） （ ） （ ） （B）P（A|B） ） （ ）
如果A与B是相互独立的，即A的 是相互独立的， 如果 与 是相互独立的 的 发生与B的发生无关 的发生无关， 发生与 的发生无关，
Z分布 分布
（2）样本容量较小，总体为正态分布 ）样本容量较小， 未知时， 而σ未知时，估计总体均值。 未知时 估计总体均值。
t分布 分布
（3）样本容量较小，总体为正态分布 ）样本容量较小， 估计总体方差。 时，估计总体方差。
卡方分布
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所需暴露单位的数量
【例9】某企业的风险管理人员， 】某企业的风险管理人员， 希望有95％ 希望有 ％的可靠程度使该企 业面临的汽车实际损失率与设定 的预期损失率（30％） ％）之差不 的预期损失率（30％）之差不 超过2％， ％，如果损失概率分布为 超过 ％，如果损失概率分布为 正态分布， 正态分布，试求该企业要有多少 辆汽车才能达到此要求？ 辆汽车才能达到此要求？
lim
n → ∞
P
∑ x
i = 1
n
i