16 广义逆阵与线性方程组求解及最小二乘法
矩阵论-广义逆与线性方程组
满足
0
x0
min Axb
x,
其中，• 为Cn中内积诱导的范数.
3.方程组不相容时，需要求出这样的x
满足
0
Ax0 -b
min xC n
Ax b
,
这时，称x0为方程组的最小二乘解.
4.一般,矛盾的方程组的最小二乘解并不唯一，需要求出具有
极小范数的向量x0，即x0使 x0
min min Ax-b
例3
求Ax=b的极小范数解,其中A=
1 0
2 -1
-1
2
,
b
1 2 .
解：由r(A)=r(A,b)=2知方程组相容.
5 4
有例2知,
A
+
=
1 14
6 3
2
,
从而极小范数解为
8
5 4
13
x
A
+
b
1 14
6 3
82
1 2
1 14
10 19
.
三、不相容线性方程组的最小二乘解与A{1,3}
第四节 广义逆与线性方程组
考察非齐次线性方程组
Ax=b
(1)
其中A Cmn , b Cm给定, x Cn待定.
若存在x Cn使(1)式成立，则称此方程组相容,否则称为 不相容或矛盾.
关于方程组(1)的几个问题： 1.方程组(1)相容的条件是什么？相容时，如何求其通解？
2.方程组相容时，如何求其通解中极小范数解？即解x
X=A(1) DB(1) +Y-A(1)AYBB(1).(2) 其中Y Cnq为任意.
证明：：若AA(1)DB(1)B D,令X=A(1)DB(1)则满足AXB=D. :若AXB=D有解,则D=AXB=AA(1) AXBB(1) B=AA(1) DB(1) B.
高等工程数学--矩阵的广义逆
FGG H (GGH )1 ( F H F )1 F H FG
FG A
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第18讲 矩阵的广义逆及其应用
高等工程数学
一、广义逆的定义与性质
A AA G F FGG F
GH (GG H )1 ( F H F )1 F H FGG H (GG H )1 ( F H F )1 F H G (GG ) ( F F ) F A
Ir O GA O O
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第18讲 矩阵的广义逆及其应用
高等工程数学
二、广义逆的求解
Ir O AG GA O O
所以有 1) AGA A；
2) GAG G；
3) (AG)H AG； 4) (GA)H GA. 即G是A的广义逆
高等工程数学
一、广义逆的定义与性质
m n 设 ，则 A的加号逆 A存在且唯 定理1 A
证明
一 由例 3 知，对任意矩阵 A 都存在广义逆A . 下证唯一性. 假设 F 与 G 都是 A的广义逆，则由广义逆的定义有:
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F FAF F(AF)H FFHAH
FFH(AGA)H
H H H H 1 1
AA FGG F
FGG (GG ) ( F F ) F
H H H 1 1 H
F ( F H F )1 F H
所以有
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( AA )H AA
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第18讲 矩阵的广义逆及其应用
高等工程数学
一、广义逆的定义与性质
A A G F FG
16 广义逆阵与线性方程组求解及最小二乘法
知
于是Байду номын сангаас而 这与是的极小范数解矛盾. 唯一性:若有,则 即 ; 又,则
因此,即. 引理7 集合A{1,4}由矩阵方程
（6.4.11）
的所有解X组成,其中.
证：若X满足方程（6.4.11）,则
,等式1)成立;
,等式4)成立.
所以,
.
反之, 若,则有
定理6.29 设,则 （6.4.12）
证 方程（6.4.11）的通解为
作业：P344－346，1，2，5
四. 矛盾方程组的极小范数解与广义逆矩阵
虽然最小二乘解不是唯一的,但是极小范数最小二乘解却是唯一的, 并且可由Moore-Penrose逆表出.
定理6.33 设,则是方程组(6.4.1)的唯一极小范数最小二乘解.反 之, 设,若对所有是方程组(6.4.1)的极小范数最小二乘解.则.
证: 取,由定理6.32的证明和式(6.4.17)知, 方程组(6.4.1)的最小 二乘解是
证: 根据定理6.33并利用习题6.2中第14题的结果知,线性方程组 (6.4.22)的唯一极小范数最小二乘解为
从而矩阵方程(6.4.5)的极小范数最小二乘解为 证毕
矛盾方程（组）的解---最小二乘法
一、从实验数据处理谈起
设有一组实验数据(t1，s1)，(t2，s2)，……，(tn，sn)， 希望由实验数据拟合给定规律，从而测出待测量的有关参 数。
假定规律为：，由于存在误差，令 ， 则：Ax=b实际无解，或者说矩阵方程Ax=b成为矛盾 方程（不自洽、非相容），虽说无解，但在物理上看，我们 需要而且也理当有“解”。怎么办？ 一般处理是，定义一种目标函数，例如： 使误差最小化。wi=1(i=1～n)时
2、 最小二乘法（解） 对于矛盾方程Ax=b，最小二乘法是求其“解”的一种方 法。即求使的解。 引理：,A{1,3}由如下方程的通解构成： 其中，A(1,3)为A{1,3}中的某个矩阵。 证：1。方程既然相容，设X是其某个解，则 即方程的解必在A{1,3}中。
矩阵的广义逆和极小二乘解法
矩阵的广义逆和极小二乘解法矩阵是线性代数中非常基础的概念之一，其应用非常广泛，涉及到各个领域，如计算机科学、工程学、物理学、统计学等等。
然而，在矩阵的运算之中，我们常常会遇到矩阵的求逆问题。
然而，实际上，在一些情况下，矩阵并没有逆矩阵，这时候，我们就需要引入矩阵的广义逆(Generalized Inverse)，来解决问题。
1.矩阵的广义逆在一些情况下，我们无法找到一个矩阵A的逆矩阵，这时候，我们可以引入矩阵的广义逆概念。
对于矩阵A，如果存在一个矩阵B，使得B满足以下条件:AB = A,BA = B,(AB)^T = AB,(BA)^T = BA，那么我们称矩阵B是矩阵A的广义逆。
矩阵A不一定存在逆矩阵，但是一定存在广义逆矩阵。
矩阵的广义逆具有如下性质:(1)A A+ A=A;(2) A+A A+= A+;(3) (A A+)A= A;(4) (A+A)A+= A+.在数值计算中，广义逆矩阵的应用非常广泛，常常用于求解那些没有精确解的问题，如线性回归、最小二乘法等等。
2. 矩阵的极小二乘法矩阵的极小二乘法(Least Squares)是一种数据拟合方法，用于寻找一条曲线(or 平面)最能拟合给定的数据点。
假设我们有n个数据点(x, y)，我们想寻找一条形如y = A + Bx的线性函数，使得它最能拟合这n个数据点。
在这个问题中，我们令y为坐标轴上的纵坐标，x为坐标轴上的横坐标，A为垂直截距，B为斜率。
同时，我们假设y和x之间的关系是线性关系，即y ≈ A + Bx。
对于给定的n个数据点(x1, y1), (x2,y2),…, (xn, yn)，我们可以将其表示为一个矩阵形式:y = [y1 y2 … yn]^T,X = [1 x1; 1 x2; … ; 1 xn];其中y是一个n维列向量，X是一个n行2列的矩阵，对于每一行i，它表示为[1 xi]。
我们的目的是寻找一个2维列向量β，使得它最能拟合y，即：y ≈ Xβ在这里，我们考虑一个误差函数，它描述了我们模型的预测值与真实值之间的差异。
广义逆矩阵与线性最小二乘
广义逆矩阵与线性最小二乘广义逆矩阵及其应用是线性代数中一个重要的研究方向。
在许多实际问题中，我们需要找到一种方法来解决超定方程组的问题。
而广义逆矩阵就是解决这类问题的有效工具之一。
本文将介绍广义逆矩阵的定义和性质，并探讨其在线性最小二乘问题中的应用。
一、广义逆矩阵的定义广义逆矩阵，也被称为伪逆矩阵，是矩阵理论中的一种扩展。
对于任意的实矩阵A，它的广义逆矩阵记作A⁺。
如果存在一个矩阵B，满足以下条件：1）ABA=A；2）BAB=B；则矩阵B为A的广义逆矩阵。
二、广义逆矩阵的性质广义逆矩阵具有以下性质：1）(A⁺)⁺=A，即广义逆矩阵的广义逆矩阵等于原矩阵本身；2）(AB)⁺=B⁺A⁺，即矩阵乘法的广义逆等于矩阵广义逆的乘法；3）(Aᵀ)⁺=(A⁺)ᵀ，即转置矩阵的广义逆等于广义逆的转置；4）如果A是满秩矩阵，则A⁺=A⁻¹，即广义逆矩阵等于逆矩阵。
三、广义逆矩阵的应用1. 线性最小二乘线性最小二乘问题是指在一组超定方程中，通过最小化误差的平方和，找到最佳的解。
设A为一个m×n的实矩阵，b为一个m维实向量，我们的目标是找到一个n维实向量x，使得||Ax-b||²取得最小值。
利用广义逆矩阵，线性最小二乘问题可以转化为求解如下方程的问题：A⁺Ax = A⁺b其中，A⁺表示A的广义逆矩阵。
解x = A⁺b即可得到最小二乘解。
2. 线性方程组的逼近解对于一个不一定可逆的矩阵A，我们可以通过广义逆矩阵来逼近求解线性方程组Ax=b。
即使A不是方阵，也可以通过广义逆矩阵来找到一个近似解。
通过求解A⁺Ax=A⁺b，我们可以得到一个逼近解x = A⁺b。
这在实际问题中往往是非常有用的，特别是当我们无法求解方程组的精确解时。
四、总结广义逆矩阵是一种重要的工具，在线性代数中广泛应用于解决超定方程组的问题。
它具有许多重要的性质，使得它成为线性最小二乘和逼近解的有力工具。
通过合理利用广义逆矩阵，我们可以在实际问题中找到最佳的解，为相关领域的研究和应用提供了新的途径。
广义逆与线性方程组解
⼴义逆与线性⽅程组解4-2 ⼴义逆与线性⽅程组解⼴义逆是对任何矩阵(不要求是⽅阵)定义的⼀种逆矩阵。
故名为⼴义逆。
⼀⼴义逆矩阵A－1）定义：设A为n×m矩阵，秩R(A)= r<min(m,n), 满⾜如下⽅程的GAGA = A （4－2－1） 定义为A的⼴义逆，G为m×n矩阵，并记为A－，⼀般不唯⼀，称为A－型⼴义逆。
仅当A为m阶⾮奇异⽅阵，凯利逆A－必然满⾜定义式（4-2-1），故A-1是A的⼴义逆。
存在凯利逆时，⼴义逆A－= A-1 唯⼀。
2) A－型⼴义逆有如下性质：（1）（其中之⼀，即）（2）（3）（4）（4）若矩阵P正定，则（6） G为ATA的⼴义逆，则GT也是ATA的⼴义逆。
3）⼴义逆A－的计算 A－的计算有许多种⽅法，这⾥仅介绍⼀种常⽤的简便⽅法。
当的秩R(A) = r <min(n,m), 可得矩阵 A分块写成 其中R（A11）= r, A11为⾮奇异⽅阵。
则其⼴义逆为（4－2－2） 在证明此A－为A的⼴义逆之前，先证明如下等式：（4－2－3） 根据A的奇异性质，R(A)=R(A11)= r,故有(A21 A22) = M(A11 A12) 此式说明 (A21 A22) ⾏是 M(A11 A12) 的线形组合，令 M =,则（4-2-3）式成⽴，按定义式有 可见（4-2-2）式确为A的⼀个⼴义逆例4－1. 设有矩阵R(A) = 2取, 则== A⼆⼴义逆 A+1.定义 如果对A－作某些限制，就可得到⼀种唯⼀的⼴义逆，称为伪逆，并⽤A+表⽰。
A+定义伪满⾜下列四个⽅程：（4－2－4）的⼴义逆。
伪逆A+也称为Moore-Penrose⼴义逆。
A+唯⼀，证明如下。
设G1和G2为两个A+,按定义（4-2-4）式有由此，由⼴义逆A+也是⼀个A－，是⼀个同时满⾜（4-2-4）式种等式的⼴义逆，其逆唯⼀。
除凯利逆A-1和伪逆A+外，⼴义逆A－不唯⼀。
2．⼴义逆A+的计算 在⼀般情况下，，在测量计算A+常⽤如下⽅法：（1）当A为对⾓阵时，则有，（4－2－4）例4-2设，则（2）（4－2－6）证：(4-2-6)式中(AAT)－和(ATA)－虽不唯⼀，但A+唯⼀。
广义逆的计算与最小二乘估计
广义逆的计算与最小二乘估计
广义逆的计算与最小二乘估计是具有重要应用价值的估计方法。
它
们在数值计算中有着广泛的用途和广泛的应用领域。
（1）什么是广义逆？
广义逆（Generalized Inverse）是一种数值计算方法，用于估计未知数据。
广义逆的计算是指对给定的m × n成像矩阵A，计算出一个n × m
合成矩阵B，使得AB有效地估计未知数据（满足B×A为单位矩阵）。
（2）什么是最小二乘法？
最小二乘法（Least Squares）是数值计算中的另一种常见方法，专门用
于估计未知参数向量x。
其方法是以尽量减小误差的平方和C(x)为目标函数，选取最佳参数向量x，以最小化残差向量e=Ax-b，等效地解决
未知参数误差拟合问题。
（3）广义逆的计算与最小二乘估计的比较
1）准确性比较：在数值计算中，广义逆的计算和最小二乘估计的准确
性基本一致，取决于矩阵A的数据量，以及其均一性等。
2）算法对比：在数字计算中，最小二乘估计的算法主要是基于泰勒公
式展开求解，而广义逆的算法主要是基于矩阵分解或者特征分解的方
法去近似求解。
3）应用范围：广义逆的计算适用范围更广泛，但最小二乘估计对数据
集的要求更高，而且最小二乘估计是无偏的，所以更适用于误差数据
的拟合。
综上所述，广义逆的计算与最小二乘估计是具有重要应用价值的估计方法，它们在数值计算中有着广泛的用途和广泛的应用领域。
在算法本身和应用范围上，它们各有优势，从而在实际数值计算中可选择合适的方法，达到更好的结果。
线性流形上广义反次对称矩阵反问题的最小二乘解
线性流形上广义反次对称矩阵反问题的最小二乘解*肖庆丰1，张忠志2，胡锡炎1(1. 湖南大学 数学与计量经济学院，湖南 长沙 410082;2．东莞理工学院软件学院，广东 东莞 523106)E-mail ：qfxiao@摘 要：讨论了线性流形上广义反次对称矩阵反问题的最小二乘解及其逼近问题，得到了最小二乘解的一般表达式。
给出了线性流形上矩阵反问题可解的充分必要条件，得到了最佳逼近问题解的表达式。
关键词：线性流形；广义反次对称矩阵；最小二乘解；最佳逼近。
中图分类号：0241.6文献标识码：A由于矩阵反问题在计算物理、航空工程、振动设计、系统设计等领域有着广泛的应用，因此，这个问题日益为人们所重视。
近年来，已取得一系列成果。
文[1，2]研究了实对称、双对称矩阵反问题的最小二乘解，文[3]就一类次反对称矩阵反问题的最小二乘解进行了研究。
本文在线性流形上讨论广义反次对称矩阵反问题的最小二乘解，推广了文[3]的结果。
令R表示所有nxm 型实矩阵集合，SR，ASR分别表示n 阶实对称与实反对称矩阵集合；OR 表示n 阶正交矩阵的全体组成的集合；KSR 、KASR分别表示n 阶实次对称与实反次对称矩阵集合；A 表示矩阵的Moore-Penrose 广义逆；I n 表示n 阶单位阵；nxmnxnnxnnxnnxnnxn+A 表示矩阵A 的Frobenius 范数；rank(A)、tr(A)分别表示矩阵A 的秩与迹。
A=（a ij ）,B=（b ij ）mn R ×∈，表示A 与B 的Hadamard 积，其定义为B A ∗)(ij ij b a B A =∗；<A ，B>表示A 与B 的内积，定义为〈A ，B 〉=tr(B T A)，由此内积诱导的范数为><=><=A A tr A ,A A T显然，上述范数为Frobenius 范数，R构成一个完备的内积空间。
nxm记e i 为n 阶单位阵I n 的第i 列，取，虽然S )e ,e ,e (S 11n n n L −=n 是对称正交阵。
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(6.4.3) 其中是欧氏范数.称该极值问题为求矛盾方程组的最小二乘问题,相 应的解称为最小二乘解. ⑷一般地,矛盾方程组的最小二乘解是不唯一的.但其中具有极小范 数的解
(6.4.19) 的解,因而方程组(6.4.1)的极小范数最小二乘解就是方程组 (6.4.19)的极小范数解.由定理6.30和定理6.9得, 方程组(6.4.19)的唯 一极小范数最小二乘解是
反之,若对所有是方程组(6.4.1)的极小范数最小二乘解,则有
从而. 需要指出的是,若方程组(6.4.1)相容,则最小二乘解与一般意义下
才是唯一的.因为,若是最小二乘解,则对于任意,也是最小二乘解. 推论 是方程(6.4.1)的最小二乘解的充要条件是, 为
的解. 证: 因为
(6.4.18)
由(6.4.17)知, 是方程(6.4.1)的最小二乘解的充要条件是
所以. 方程组(6.4.18)成为矛盾方程组(6.4.1)的法方程(或正规方程组)
证: 根据定理6.33并利用习题6.2中第14题的结果知,线性方程组 (6.4.22)的唯一极小范数最小二乘解为
从而矩阵方程(6.4.5)的极小范数最小二乘解为 证毕
矛盾方程（组）的解---最小二乘法
一、从实验数据处理谈起
设有一组实验数据(t1，s1)，(t2，s2)，……，(tn，sn)， 希望由实验数据拟合给定规律，从而测出待测量的有关参 数。
依次取为的各列,得 由引理7, .
三. 矛盾方程组的最小二乘解与广义{1,3}-逆 引理8 设,集合A{1,3}由矩阵方程
（6.4.13） 的所有解X组成,其中.
证:类似引理7证明. 定理6.31设,则
（6.4.14） 证:方程（6.4.13）的通解为
令即得.# 定理6.32设则
(6.4.15) 是方程组（6.4.1）的最小二乘解,其中.反之,设,若对所有是方程组 （6.4.1）的最小二乘解,则. 证:因为
方程的通解为 显然最小二乘解并不一定都具有A(1,3)b的形式。 反之，若对于，即 推论：x是方程Ax＝b的最小二乘解的充要条件是，x为方程 的解。 证：，而，故
最小二乘解一般不唯一。 3、 极小范数最小二乘解 定理2 ：设 ，则x＝Ab是方程Ax＝b的极小范数最小二乘解。 反之，若存在，若对于所有，x＝Xb均成为方程Ax＝b的极小 范数最小二乘解，则X＝A。 证：最小二乘解满足Ax＝AA(1,3)b，其极小范数解唯 一，且为，反之，均成为唯一的极小范数最小二乘解，所 以：X＝A。 定理3：矩阵方程AXB＝D的极小范数最小二乘解唯一，且为 证明略（教材P86）
四. 矛盾方程组的极小范数解与广义逆矩阵
虽然最小二乘解不是唯一的,但是极小范数最小二乘解却是唯一的, 并且可由Moore-Penrose逆表出.
定理6.33 设,则是方程组(6.4.1)的唯一极小范数最小二乘解.反 之, 设,若对所有是方程组(6.4.1)的极小范数最小二乘解.则.
证: 取,由定理6.32的证明和式(6.4.17)知, 方程组(6.4.1)的最小 二乘解是
的解一致,而极小范数最小二乘解与极小范数解一致. 例6.10 取例6.4的矩阵A和,求方程组(6.4.1)的极小范数最小二乘
解.
解: 由例6.5的结果知, 方程组(6.4.1)的极小范数最小二乘解为
五.矩阵方程的极小范数最小二乘解
定理6.33的结果可以推广到矩阵方程组(6.4.5)的情形.设矩阵范数 为
(6.4.20) 又设是将矩阵A按行拉直所得的列向量,即
(6.4.21) 显然矩阵A的范数(6.4.20)等于对应向量的欧氏范数.利用矩阵直积 和拉直的关系,可将矩阵方程(6.4.5)化为线性方程组
(6.4.22) 定理6.34 若矩阵方程(6.4.5)不相容,则它的极小范数最小二乘解, 即满足
的唯一解为
假定规律为：，程（不自洽、非相容），虽说无解，但在物理上看，我们 需要而且也理当有“解”。怎么办？ 一般处理是，定义一种目标函数，例如： 使误差最小化。wi=1(i=1～n)时
2、 最小二乘法（解） 对于矛盾方程Ax=b，最小二乘法是求其“解”的一种方 法。即求使的解。 引理：,A{1,3}由如下方程的通解构成： 其中，A(1,3)为A{1,3}中的某个矩阵。 证：1。方程既然相容，设X是其某个解，则 即方程的解必在A{1,3}中。
2。设X为A的一个{1,3}-逆矩阵，则 即，A的{1,3}-逆矩阵必满足方程AX=AA(1,3) 令，则 定理：矩阵方程Ax=b的最小二乘解为 ，其中A(1,3)为A的任何 一个{1,3}-逆矩阵，反之，存在X，对于任何均有Xb成 Ax=b的最小二乘解，则。 证明： 所以，，
故取得极小值的条件是x为方程 的解。任取一个，我们 知道。而对于，有（但最小二乘解是否一定具有A(1,3)b的形 式呢？）
令即得. 定理6.30 设方程组（6.4.1）相容,则 是极小范数解,其中.反之,设,若对所有 是方程组（6.4.1）的极小范数解,则. 证: 若相容,则.由(6.4.10)知,对任意, 都是解,由推得,存在使得,所以 ,由引理6, 是方程（6.4.1）的唯一极小范数解.所有 反之,若对都是方程组（6.4.1）的极小范数解,则有
作业：P344－346，1，2，5
而 ，所以 (6.4.16)
其中为欧氏范数.显然,(6.4.16)取得极小值的充要条件是 (6.4.17)
任取,根据定理6.5之(6),有 ⑴
⑵ 所以 .因此当时,
即(6.4.17)成立. 反之,若对所有满足(6.4.17),即
则有,容易推得. 一般地,最小二乘解不是唯一的,仅当A是列满秩时, 最小二乘解
(6.4.4) 是唯一的,称为极小范数最小二乘解. 广义逆矩阵与线性方程组的求解有密切关系.利用广义逆矩阵可以 给出上述诸问题的解. 反之, 由线性方程组的解又可以确定广义逆矩 阵.
1. 线性方程组的相容性、通解与广义{1}-逆
定理6.26 设,则矩阵方程 (6.4.5)
相容的充要条件是 (6.4.6)
容易验证,所以方程组相容,其通解为
其中,任意. 因此, 由{1}-逆可构造相容方程组的解,反之由相容方程组的解也 可给出{1}-逆. 定理6.28 设.若对于使方程(6.4.1)相容的所有,都有解,则. 证：记为A的第j列，则方程组
相容.由于是方程组的解,即
从而
证毕
二. 相容线性方程组的极小范数解与广义{1,4}-逆 引理6 相容方程组(6.4.1)的极小范数解唯一,且这个唯一解在 中. 证: 设的极小范数解. 存在性:先证.反设, 则由
(6.4.8) 定理6.27 线性方程组(6.4.1)相容的充要条件是
(6.4.9) 且其通解为
(6.4.10) 注: ⑴由线性代数理论,方程组(6.4.1)的通解为 其中,是特解.此处,是(6.4.1)的特解,而是 ⑵由(6.4.9)可推得方程(6.4.1)相容的充要条件是. 例6.9 设
, 求解线性方程组. 解: 由例6.4,取有的一个{1}-逆
第十六讲
CH6.4 广义逆矩阵与线性方程组求解
考虑非齐线性方程组 (6.4.1)
其中给定.为待定向量, 如果存在向量使(6.4.1)成立,则称方程组 相容,否则称不相容或矛盾方程组.
问题: ⑴方程组(6.4.1)相容的条件是什么? 相容时求出其通解(如果解 不唯一的话); ⑵如果方程组(6.4.1)相容,其解可能有无穷个,求出具有极小范数 的解,即
其中. 当方程(6.4.5)相容时,其通解为 (6.4.7)
其中. 证: 充分性: 若条件(6.4.6)成立,显然是(6.4.5)的解.
必要性: 若是(6.4.5)的任意解, 则有 .
当方程(6.4.5)相容时, 容易验证(6.4.7)是它的解.
另外,若是方程(6.4.5)的任意解,则
这为(6.4.7)的形式,因而是方程(6.4.5)的通解. 推论 设,则
知
于是 而 这与是的极小范数解矛盾. 唯一性:若有,则 即 ; 又,则
因此,即. 引理7 集合A{1,4}由矩阵方程
（6.4.11）
的所有解X组成,其中.
证：若X满足方程（6.4.11）,则
,等式1)成立;
,等式4)成立.
所以,
.
反之, 若,则有
定理6.29 设,则 （6.4.12）
证 方程（6.4.11）的通解为