广义递推最小二乘辨识
各类最小二乘算法
β N −1 H* = N 0
β N −2
β 2( N −1) WN = 0
β 2( N −2)
0 ⋱ 1
三、递推算法 ∵
k θ(k ) = ∑ β i =1
∧
2(k −i) h (i )h T (i )
2随着采样次数的增多数据量不断增加ls估计有可能出现所谓的数据饱和现象导致递推算法不能接近参数真二关于数据饱和现象的分析所谓数据饱和现象就是随着时间的推移采集到的数据越来越多新数据所提供的信息被淹没在老数据的海洋之中
Ⅴ 各种最小二乘类参数辨识算法 §1 概 述
最小二乘类参数辨识算法（一次完成算法、递推算法） 最小二乘类参数辨识算法 （一次完成算法 、 递推算法 ） 是一种 最基本和常用的参数估计方法。但研究和应用表明， 最基本和常用的参数估计方法。 但研究和应用表明， 这一算 法仍存在明显的不足。 法仍存在明显的不足。 一、LS 算法的主要不足之处 1、当模型噪声为有色噪声时，LS 估计不再是无偏估计、一致 、当模型噪声为有色噪声时， 估计不再是无偏估计、 估计。 估计。 2、随着采样次数的增多，数据量不断增加，LS估计有可能出 、随着采样次数的增多，数据量不断增加， 估计有可能出 现所谓的“数据饱和”现象， 现所谓的“数据饱和”现象，导致递推算法不能接近参数真 值。
于是有： 于是有：
α P ( k ) P − 1 ( k − 1) = I − P ( k ) h ( k ) h T ( k )
则：
ˆ θ ( k ) = P ( k ) H * T Z * = P ( k ) α H * −1T Z * −1 + h ( k ) z ( k ) k k k k
现代控制理论_第14章_最小二乘法辨识
y n 2 ai y n 2 i bi u n 2 i n 2
i 1 i 0
n
y n N ai y n N i bi u n N i n N
即
y k ai y k i bi u k i v k ai v k i
i 1 i 0 i 1
n
n
n
(14-3)
假设v k k 1,2,, n 是均值为零的独立分布的平稳随机序列，且与 序列u k k 1,2,, n 相互独立。设
ˆ 表示 y 的最优估值，则有 设ˆ 表示 的最优估值， y
ˆ ˆ y
(14-12)
式中
ˆ n 1 y a ˆ ˆ y n 2 ˆ ˆ y , b ˆ ˆ y n N
T 的展开式如下所示：
y n 1 y n y n y n 1 y 1 y 2 T u n 1 u n 2 u n 1 u n u 2 u 1 y n N 1 n 1 y n N 2 n 2 yN u n N u n N 1 n N uN
1
因为ˆ 有解与 T 正定等价，所以可以保证 T 正定来确定对输 入 u k 序列的要求。由式(14-9)可知
Y U
(14-20)
则
YT U YT U Y T Y U T T T U Y U U U
基于广义最小二乘法的系统参数辨识与仿真
基于广义最小二乘法的系统参数辨识与仿真摘要：系统辨识是自动控制学科的一个重要分支，由于其特殊作用，已经广泛应用于各种领域，尤其是复杂系统或参数不容易确定的系统的建模。
过去，系统辨识主要用于线性系统的建模，经过多年的研究，已经形成成熟的理论。
但随着社会、科学的发展，非线性系统越来越受到人们的关注，其控制与模型之间的矛盾越来越明显，因而非线性系统的辨识问题也越来越受到重视，其便是理论不断发展和完善。
本文重点介绍了系统参数辨识中广义最小二乘法的基本原理，具体说明了基于广义最小二乘法参数辨识在Matlab中的实现方法，结合实例给出相应的仿真程序及结果分析。
关键词：系统辨识；参数辨识；广义最小二乘法；Matlab1.引言所谓辨识就是通过测取研究对象在人为输入作用下的输出响应，或正常运行时的输入输出数据记录，加以必要的数据处理和数学计算，估计出对象的数学模型。
这是因为对象的动态特性被认为必然表现在它的变化着的输入输出数据之中，辨识只不过是利用数学的方法从数据序列中提炼出对象的数学模型而已。
在系统辨识领域中，最小二乘法是最基本最常用的方法。
可用于动态、静态、线性、非线性系统。
这种方法只适用于噪声是不相关随机序列时才是无偏估计，但大多数情况下噪声却是相关随机序列。
所以本文讨论克服最小二乘法有偏估计的一种方法—广义最小二乘法。
2.系统辨识一般而言，建立系统的数学模型有两种方法：激励分析法和系统辨识法。
前者是按照系统所遵循的物化（或社会、经济等）规律分析推导出模型。
后者则是从实际系统运行和实验数据处理获得模型。
如图1所示，系统辨识就是从系统的输入输出数据测算系统数学模型的理论和方法。
更进一步的定义是L.A.Zadeh曾经与1962年给出的，即“系统辨识是在输入和输出的基础上，从系统的一类系统范围内，确立一个与所实验系统等价的系统。
”另外，系统辨识还应该具有3个基本要素，即模型类、数据和准则。
被辨识系统模型根据模型形式可分为参数模型和非参数模型两大类。
第四章-最小二乘参数辨识方法及原理
脉冲传递函数描述：
Y ( z ) b0 b1 z 1 bn z n B( z 1 ) G( z) = 1 n 1 U ( z ) 1 a1 z an z A( z )
2.随机模型
v(k )
u(k )
G (k )
x(k )
y(k )
观测值可表示为：
本章的学习目的
1、掌握最小二乘参数辨识方法的基本原理
2、掌握常用的最小二乘辨识方法 3、熟练应用最小二乘参数辨识方法进行模型参数辨识 4、能够编程实现最小二乘参数辨识
回
顾
辨识目的：根据过程所提供的测量信息，在某种准则意 义下，估计模型的未知参数。 Input
Process 目 的
Output
工程实践
88 1010
95.7 1032
表 1 热敏电阻的测量值
t (C ) R ()
20.5 765
26 790
32.7 826
40 850
51 873
61 910
73 942
80 980
88 1010
95.7 1032
R a bt
N N N N ˆ Ri 2 R a 702ti.762i ti ti i 1 i 1 a i 1 i 1 ˆ 2 N N ˆ N. t i2 t i b 3 4344 i 1 i 1 N N N N Ri t i Ri t i i 1 i 1 b i 1 ˆ R 943 .1682 N N 2 N ti ti i 1 i 1
上述N个方程可写成下列向量－矩阵形式
y (n) y (1) u (n 1) y (n 1) y (n 2) y (n 1) y (2) u ( n 2) y (n N ) y (n N 1) y ( N ) u (n N )
广义最小二乘法和递推最小二乘法
广义最小二乘法和递推最小二乘法
广义最小二乘法和递推最小二乘法是最小二乘法算法的改进版本。
最小二乘法
是一种常见的统计学技术，它有效地估计未知参数集，也可以用于回归分析。
本文旨在详细介绍广义最小二乘法和递推最小二乘法。
首先让我们了解最小二乘法。
最小二乘法（Least Squares）是一种最常用的
方法，其中未知参数的估计量是穷举法的最优估计，这是一种很有效的技术。
最小二乘法的求解过程中，以平方的残差来最小化两个估计量的差异，以求得最优参数。
然而，最小二乘法有时也会出现缺陷，其中一个原因是可能会把噪声干扰包含
在结果中，另一个原因是它依赖被观测值的方差，而方差受因素影响。
因此，有了广义最小二乘法。
广义最小二乘法是在最小二乘法的基础上改进的算法。
在广义最小二乘法中，
我们通过加入惩罚参数来最小化残差，以对噪声进行抑制。
惩罚参数的加入，使得预测变更的安全降低，同时噪声的影响也可以得以抑制。
因此，广义最小二乘法在回归分析中也有广泛的应用。
此外，基于最小二乘法的另一种增强方法是“递推最小二乘法”。
递推最小二
乘法是将最小二乘法算法进行改良，从而改善对噪声的抑制能力。
和广义最小二乘法一样，递推最小二乘法也需要惩罚参数的加入。
递推最小二乘法也通过持续更新未知参数，来达到最小化残差的目的，从而能有效地抑制噪声。
以上就是本文要陈述的关于广义最小二乘法和递推最小二乘法的改进方法以及
它们的比较。
从技术上讲，广义最小二乘法和递推最小二乘法都比最小二乘法更能抑制噪声和拟合回归曲线，因此，它们在回归分析中都有广泛的应用。
(完整word版)多种最小二乘算法分析+算法特点总结
第一部分：程序设计思路、辨识结果分析和算法特点总结 (3)一：RLS遗忘因子法 (3)RLS遗忘因子法仿真思路和辨识结果 (3)遗忘因子法的特点: (4)二：RFF遗忘因子递推算法 (4)仿真思路和辨识结果 (4)遗忘因子递推算法的特点： (6)三:RFM限定记忆法 (6)仿真思路和辨识结果 (6)RFM限定记忆法的特点： (7)四:RCLS偏差补偿最小二乘法 (7)仿真思路和辨识结果 (7)RCLS偏差补偿最小二乘递推算法的特点： (9)五：增广最小二乘法 (9)仿真思路和辨识结果 (9)RELS增广最小二乘递推算法的特点: (11)六：RGLS广义最小二乘法 (11)仿真思路和辨识结果 (11)RGLS广义最小二乘法的特点： (13)七：RIV辅助变量法 (14)仿真思路和辨识结果 (14)RIV辅助变量法的特点： (15)八：Cor-ls相关最小二乘法（二步法） (15)仿真思路和辨识结果 (15)Cor—ls相关最小二乘法（二步法)特点： (17)九：MLS多级最小二乘法 (17)仿真思路和辨识结果 (17)MLS多级最小二乘法的特点: (21)十:yule_walker辨识算法 (21)仿真思路和辨识结果 (21)yule_walker辨识算法的特点: (22)第二部分：matlab程序 (23)一：RLS遗忘因子算法程序 (23)二：RFF遗忘因子递推算法 (24)三:RFM限定记忆法 (26)四:RCLS偏差补偿最小二乘递推算法 (29)五:RELS增广最小二乘的递推算法 (31)六；RGLS 广义最小二乘的递推算法 (33)七:Tally辅助变量最小二乘的递推算法 (37)八：Cor-ls相关最小二乘法（二步法) (39)九:MLS多级最小二乘法 (42)十yule_walker辨识算法 (46)第一部分:程序设计思路、辨识结果分析和算法特点总结一：RLS遗忘因子法RLS遗忘因子法仿真思路和辨识结果仿真对象如下：其中, v(k ）为服从N（0,1)分布的白噪声。
随机干扰系统的辅助模型递推广义增广最小二乘辨识方法
（）ｆ ０ １２ … ｝ ｔ ：＝ ，， ， 来估计系统（ ） １ 的参数 ａ， ， ， ｂ ｃ
ｄ 和 ， 进行仿 真研 究 。 并
考虑下列有色噪声干扰随机系统的辨识问题 ，
＝
１ 算法推导
文献［ ］ １ 针对输 出误差模 型， 出了基于辅助 提
模 型 的最 小 二乘 方法 ， 里 把 这 种 方 法 加 以推 广 ， 这 用 于研究 量测 一般 有 色 噪声 干 扰 随 机 系统 的辨 识 ， 并推 导相 应 的辅 助 模 型 递 推 广 义 增 广 最 ／ － 辨 ｂＺ 乘 识 的算 法 。“ Ａ＝： 或 “ ＝ 表 示 “ ” ： Ａ” Ａ记 作 （ 义 定
（） （）ｃ ） Ｄ（） ，（ 均 为单 位 后 移 算 子 ， ， （ ， 和 ） 的多项 式 ， 且
Ａ ＝１＋ａ １＋口 ＋… ＋口 （） Ｉ－ ２一 ｎ Ｂ（ ）＝ｂ １＋６ ＋… ＋６ ｌ． ２ ， ，
） ，
）（ ） ２
定义 参数 向量 ， ０ 与信 息 向量 ，ｔ ， （） ０和 ｚ （） ｔ
＠
２ ０ Ｓｉ ｅｈ Ｅ ｇｇ ０ ８ ｅ．Ｔｅ ． ｎｎ ．
随机干扰系统的辅助模 型递推广义 增广 最 小 二乘 辨 识方 法
谢 莉 王冬青 丁 锋
（ 江南大学控制科学 与工程研究中心， 无锡 ２ ４ ２ ； １ １２ 青岛大学 自动化工程学 院 青岛 ２６ ７ ） ， ６ ０ １
维普资讯
第 ８卷 第 ｌ ４期
２０ ０ ８年 ７月
科
学
技
术
与
工
程
Ｖｏ． Ｎｏ １ Ｊ ｌ．２ ０ １８ ．４ ｕｙ ０ ８
１７ ・８９ ２ ０ ）４３ ４ －３ ６ １１ １ （０ ８ １ －９４ ０ ・
广义最小二乘法的推导
广义最小二乘法的推导1. 引言广义最小二乘法（Generalized Least Squares, GLS）是一种用于解决线性回归问题的方法。
与最小二乘法相比，GLS可以处理数据中存在异方差（heteroscedasticity）和自相关（autocorrelation）的情况，提高了回归模型的准确性和效果。
在本文中，我们将详细推导广义最小二乘法的数学原理和推导过程。
首先，我们将介绍最小二乘法的基本概念和原理，然后讨论广义最小二乘法的推导过程，并最后给出一个示例来说明广义最小二乘法的应用。
2. 最小二乘法最小二乘法是一种常用的用于拟合线性回归模型的方法。
其基本思想是通过最小化残差平方和来选择最优的回归系数。
对于一个具有n个数据点的线性回归模型：Y=Xβ+ε其中，Y是n维的因变量向量，X是n行p列的自变量矩阵，β是p维的系数向量，ε是n维的误差向量。
最小二乘法的目标是找到最优的β，使得残差平方和最小：εTεminβ通过对目标函数求导，并令导数等于零，可以得到最优解的闭式解表达式：β̂=(X T X)−1X T Y其中，β̂表示最优的回归系数。
3. 广义最小二乘法最小二乘法假设误差项具有同方差且不相关的性质，然而在实际问题中，数据往往存在异方差和自相关的情况。
为了解决这些问题，我们引入广义最小二乘法。
3.1 异方差问题当误差项具有异方差性质时，最小二乘法的估计结果可能是偏误的。
为了解决异方差问题，我们可以对误差项进行加权处理。
假设误差项的方差为σi2，我们可以使用加权最小二乘法来估计回归系数。
目标函数可以表示为：minεT Wεβ其中，W是一个对角矩阵，对角线元素为σi−2。
通过对目标函数求导，并令导数等于零，可以得到最优解的闭式解表达式：β̂GLS=(X T WX)−1X T WYβ̂GLS表示广义最小二乘法的估计系数。
3.2 自相关问题当误差项存在自相关性质时，最小二乘法的估计结果也可能是偏误的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
广义递推最小二乘辨识一、实验目的1 通过实验掌握广义最小二乘辨识算法；2 运用MATLAB编程，掌握算法实现方法。
二、实验原理广义最小二乘法的基本思想是基于对数据先进行一次滤波预处理，然后利用普通最小二乘法对滤波后的数据进行辨识。
如果滤波模型选择得合适，对数据进行了较好的白色化处理，那么直接利用普通最小二乘法就能获得无偏一致估计。
广义最小二乘法所用的滤波模型实际上就是一种动态模型，在整个迭代过程中不断靠偏差信息来调整这个滤波模型，使它逐渐逼近于一个较好的滤波模型，以便对数据进行较好的白色化处理，使模型参数估计称为无偏一致估计。
理论上说，广义最小二乘法所用的动态模型经过几次迭代调整后，便可对数据进行较好的白化处理，但是，当过程的输出噪信比比较大或模型参数比较多时，这种数据白色化处理的可靠性就会下降。
此时，准则函数可能出现多个局部收敛点，因而辨识结果可能使准则函数收敛于局部极小点上而不是全局极小点上。
这样，最终的辨识结果往往也会是有偏的。
其收敛速度比较慢，需要经过多次迭代计算，才能得到较准确的参数估计值。
一般情况下，经过多次迭代后，估计值便会收敛到稳态值。
但在某些情况下（如噪声比较低时）存在局部极小值，估计值不一定收敛到准则函数的全局极小值上。
为了防止参数估计值收敛到局部极小值，最好选定初值接近最优解，一般可以用最小二乘法的批处理估计值作为初值。
如果系统是时变的，或为了克服数据饱和现象，可以在两次RLS算法中分别引进遗忘因子。
三、实验内容<1> 数据获取：实验数据按照表9-1，为二阶线性离散系统的输入输出数据<2> 数据处理：为了提高辨识精度，实验者必须对原始数据进行剔除坏数据、零均值化、工频滤波等处理。
实验进行了白化滤波处理。
<3> 辨识算法：利用处理过的数据（取适当的数据长度），选择某种辨识方法（如RLS递推最小二乘法、RELS、RIV或RML等参数估计算法及F-检验或AIC定阶法），估计出模型参数和阶次，同时分析辨识结果。
本实验采用广义递推最小二乘法进行系统辨识。
三、广义递推最小二乘法（RLS ）原理广义最小二乘法是用迭代的松弛算法对最小二乘估计的一种改进，它的基本思想是引入一个白化滤波器，把相关噪声转换为白噪声，基于对观测数据先进行一次滤波处理然后利用普通最小二乘法对滤波后的数据进行辨识。
广义最小二乘法的计算步骤如下：1 给定初始条件：包括给定的输入输出数据或者产生的数据序列，初始状态矩阵P0，被辨识参数的初始值（取一个充分小的实向量），滤波器参数与矩阵初值。
2 利用式1()()()f z k C z z k -= 1()()()f u k C z u k -=计算滤波后的输入输出序列。
3 对于二阶离散系统，利用式()[(1),(2),(1),(2)]T f f f f f h k z k z k u k u k =------构造()f h k 。
4 利用()(1)()[()()(1)]T f f k k K k z k h k k θθθ=-+--1()(1)()[1()(1)()]f Tf f f f f K k P k h k h k P k h k -=-+-()[()()](1)Tf f f f P k I K k h k P k =--三个式子递推计算辨识矩阵()k θ5 利用式()()()()T e k z k h k k θ=-计算()e k ，并根据()[(1),(2)]T e h k e k e k =----构造()e h k 。
6 利用()(1)()[()()(1)]T e e e e k k K k e k h k k θθθ=-+--1()(1)()[1()(1)()]e T e e e e e K k P k h k h k P k h k -=-+-()[()()](1)T e e e e P k I K k h k P k =--三个式子递推计算()e k θ。
7 返回第二步进行迭代计算，直至获得满意的辨识结果。
四、实验步骤<1> 输入输出数据：u=[1.147,0.201 ,-0.787 ,-1.584 -1.052, 0.866 ,1.152 ,1.573 ,0.626, 0.433 ...-0.958,0.810, -0.044, 0.947, -1.474, -0.719, -0.086, 1.099, 1.450, 1.151...0.485,1.633, 0.043 ,1.326, 1.706, -0.340, 0.890,0.433, -1.177, -0.390...-0.982,1.435 ,-0.119 ,-0.769, -0.899, 0.882,-1.008, -0.844, 0.628,-0.679 ...1.541,1.375, -0.984, -0.582, 1.609,0.090, -0.813, -0.428 ,-0.848,-0.410...0.048,-1.099 ,-1.108 ,0.259,-1.627, -0.528, 0.203, 1.204,1.691, -1.235...-1.228,-1.267, 0.309,0.043, 0.043, 1.461, 1.585, 0.552,-0.601, -0.319...0.744 0.829,-1.626, -0.127, -1.578, -0.822, 1.469, -0.379,-0.212, 0.178...0.493 -0.056, -0.1294, 1.228, -1.606, -0.382, -0.229, 0.313,-0.161, -0.810...-0.277 0.983, -0.288, 0.846, 1.325, 0.723, 0.713, 0.643 0.463,0.786...1.161,0.850, -1.349, -0.596, 1.512, 0.795, -0.713, 0.453,-1.604, 0.889...-0.938, 0.056, 0.829,-0.981, -1.232, 1.327, -0.681,0.114,-1.135, 1.284...-1.201 0.758, 0.590, -1.007, 0.390, 0.836,-1.52, -1.053, -0.083, 0.619...0.840 -1.258, -0.354, 0.629, -0.242,1.680, -1.236, -0.803,0.537, -1.100...1.417,-1.024, 0.671, 0.688,-0.123, -0.952, 0.232, -0.793,-1.138, 1.154...0.206,1.196, 1.013,1.518, -0.553, -0.987, 0.167, -1.445,0.630, 1.255...0.311,-1.726,0.975, 1.718, 1.360, 1.667, 1.111, 1.018, 0.078,-1.665...-0.760, 1.184, -0.614, 0.994, -0.089, 0.947, 1.706, -0.395, 1.222, -1.351...0.231,1.425, 0.114, -0.689, -0.704, 1.070, 0.262, 1.610 ,1.489,-1.602...0.020, -0.601, -0.020, -0.601, -0.235, 1.245, 1.226, -0.204, 0.926, -1.297]; figure(1);stem(u)grid ontitle('图1 输入信号')y=[1.381 3.794 2.481 -0.280 -2.742 -1.554 2.129 2.691 3.427 2.199 ...1.679 -1.249 1.371 0.637 3.131 -0.819 0.235 1.2622.8493.374...2.346 0.6643.015 0.561 2.271 3.650 0.625 2.305 0.364 1.857...-0.912 -1.547 1.940 0.262 -0.379 -0.176 3.720 0.058 -0.752 1.983...-0.923 3.361 4.240 -0.074 -0.481 3.780 2.137 0.086 0.638 -0.971...-0.929 0.679 -0.664 -0.433 1.570 -2.785 -1.153 0.819 3.484 4.091...-2.375 -2.561 -2.778 2.911 1.362 0.735 3.118 3.770 2.381 -0.812...-1.635 0.589 1.550 -3.410 -1.249 -3.692 -2.358 2.552 -0.228 0.554...2.178 2.471 0.743 -0.004 2.504 -3.204 -1.800 -1.284 0.159 0.426...0.059 0.395 2.371 -0.157 2.248 3.297 2.329 2.780 2.375 1.873...2.4113.928 2.846 -2.215 -1.104 3.460 2.883 0.245 -0.231 -2.963...2.072 -0.845 -0.074 1.037 2.468 -3.679 2.149 -0.081 1.639 -1.291...2.548 -1.681 2.307 2.227 -1.558 0.008 2.055 -1.102 -1.427 0.350...2.736 2.965 -2.346 -1.510 0.809 -0.592 2.706 -1.941 2.275 2.802...-1.337 2.091 -2.585 0.013 1.217 0.691 -0.491 2.114 0.333 -0.482...3.388 2.082 3.7974.0795.036 1.250 -1.019 -0.160 -3.201 1.161...3.926 1.789 -2.703 2.125 5.0544.6785.236 -0.241 2.152 0.356 ...-3.519 2.213 1.527 -1.206 2.151 0.264 1.595 2.864 -0.539 1.982...-3.104 -0.264 2.433 0.009 -1.360 -0.521 3.319 1.445 3.105 3.783...-1.973 -0.138 -0.452 -0.586 -4.045 -1.743 2.577 3.849 0.367 1.324];<2>初始值设置，包括被辨识参数的初始值、误差序列以及滤波器参数初值；<3>迭代循环，辨识参数更新，根据误差调整滤波器参数，迭代计算被辨识参数，直至参数符合条件或迭代次数到。