山东省潍坊市2018届高三一模考试数学(理)试题含答案

山东省潍坊市2018届高三下学期一模考试数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数z 满足()142i zi+=+，则z=（ ）A ．3i -+B ．32i- C ．3i + D ．1i +2.已知集合{{}2,20A xx B xxx =<=-->，则A B ⋂=（ ）A．{x x -<< B．{1xx -<<C．{}1xx -<- D ．{}12xx -<<3.若函数()xxf x aa-=-（0a>且1a ≠）在R 上为减函数，则函数()lo g 1ayx =-的图象可以是（ ）A． B． C．D ．4.已知,x y 满足约束条件10330210x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则函数z=的最小值为（ ）A ．12B2C ．1 D5.A B C ∆的内角,,A B C 的对边分別为,,a b c ，已知()c o s 2c o s ,2,1b A c a B c a =-==，则A B C∆的面积是（ ） A ．12B2C ．1 D6.对于实数,a b ，定义一种新运算“⊗”：ya b=⊗，其运算原理如程序框图所示，则5324=⊗+⊗（ ）A ．26B ．32C ．40D ．46 7.若函数()()3lo g 2,0,0x x f x g x x ->⎧⎪=⎨<⎪⎩为奇函数，则()()3f g -=（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．08.如图，网格纸上正方形小格的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π 9.已知函数()()2s in 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为4π，其图象关于直线23xπ=对称.给出下面四个结论： ①函数()f x 在区间40,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上先增后减；②将函数()f x 的图象向右平移6π个单位后得到的图象关于原点对称；③点,03π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心；④函数()f x 在[],2ππ上的最大值为1.其中正确的是（ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④10.甲、乙、丙、丁四位同学参加一次数学智力竞赛，决出了第一名到第四名的四个名次.甲说:“我不是第一名”；乙说:“丁是第一名”；丙说:“乙是第一名”；丁说:“我不是第一名”.成绩公布后，发现这四位同学中只有一位说的是正确的.则获得第一名的同学为（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 11.双曲线()222210,0x y a b ab-=>>的左右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线交曲线左支于,A B 两点,2F A B ∆是以A 为直角顶点的直角三角形，且230A F B∠=︒.若该双曲线的离心率为e ，则2e=（ ）A ．11+．13+．16-．191-12.函数()1yfx=+的图象关于直线1x =-对称，且()y f x =在[)0,+∞上单调递减.若[]1,3x ∈时，不等式()()()2ln 323ln 32f m x x f fx m x --≥-+-恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．1ln 66,26e +⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1ln 36,26e +⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1ln 66,6e +⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1ln 36,6e +⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 实数,a b 满足2221a b+=，则a b 的最大值为 ．14.()(511x +-展开式中2x 的系数为 ． (用数字填写答案）15．已知抛物线()20y a xa =>的准线为l ，若l 与圆()22:31C xy-+=则a=．16．正四棱柱1111A B C DA B C D -中，底面边长为2，侧棱11A A =，P 为上底面1111ABCD 上的动点，给出下列四个结论： ①若3P D =，则满足条件的P 点有且只有一个；②若P D =P 的轨迹是一段圆弧；③若//P D 平面1A C B ，则P D 与平面11A C C A④若//P D 平面1A C B ，则平面B D P 截正四棱柱1111A B C DA B C D -的外接球所得图形面积最大值为2512π.其中所有正确结论的序号为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知410S =，且139,,a a a 成等比数列.（1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .18.如图，直三棱柱111A B C A B C -中，14,2,45C C A B A C B A C ===∠=︒，点M 是棱1A A 上不同于1,A A 的动点.（1）证明:1B CB M⊥；（2）若平面1M B C 把此棱拄分成体积相等的两部分，求此时二面角1MB C A--的余弦值.19.某公司新上一条生产线，为保证新的生产线正常工作，需对该生产线进行检测.现从该生产线上随机抽取100件产品，测量产品数据，用统计方法得到样本的平均数14μ=，标准差2σ=，绘制如图所示的频率分布直方图.以频率值作为概率估计值.（1）从该生产线加工的产品中任意抽取一件，记其数据为X ，依据以下不等式评判（P 表示对应事件的概率）：①()0.6826P X μσμσ-<<+≥②()220.9544P X μσμσ-<<+≥ ③()330.9974P X μσμσ-<<+≥评判规则为：若至少满足以上两个不等式，则生产状况为优，无需检修；否则需检修生产线，试判断该生产线是否需要检修； （2）将数据不在()2,2μσμσ-+内的产品视为次品，从该生产线加工的产品中任意抽取2件，次品数记为Y ，求Y 的分布列与数学期望E Y . 20.如图，椭圆()2222:10x y Ca b ab+=>>的左右焦点分别为12,F F ，左右顶点分别为,,A B P 为椭圆C 上任一点（不与A B 、重合）.已知12P F F ∆的内切圆半径的最大值为2-，椭圆C 的离2.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 过点B 且垂直于x 轴，延长A P 交l 于点N ，以B N 为直径的圆交B P 于点M ，求证:O M N 、、三点共线.21.函数()()()sin ,1c o s xxf x e x gx x x ==+-.（1）求()f x 的单调区间； （2）对120,,0,22x x ππ⎡⎤⎡⎤∀∈∀∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，使()()12f xg x m+≥成立，求实数m 的取值范围；（3）设()()2sin 2sin x h x fx n xx=⋅-⋅在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一零点，求正实数n 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xO y 中，直线l 的参数方程为1c o s s in x t y t αα=+⎧⎨=⎩）（t 为参数，0απ≤<），在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2211sin ρθ=+.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设点M 的坐标为()1,0，直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求11M AM B+的值.23.选修4-5：不等式选讲 设函数()()()210,f x a x x aa g x xx=++->=+.（1）当1a=时，求不等式()()g x f x ≥的解集；（2）已知()32f x ≥，求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:CCDBB 6-10:CBCCA 11、12：DB 二、填空题414. 120 15.1216.①②③三、解答题17. （1）设{}n a 的公差为d ，由题设可得，123194610a d a a a +=⎧⎪⎨=⋅⎪⎩，∴()()12111461028a d a d a a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩，解得11,1a d ==.∴na n=.（2）令3n nn c =，则12nnT c c c =+++231123133333n nn n --=+++++，①231112133333n nn n nT +-=++++，②①－②得：21211133333n n n nT +⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭1111331313n n n +⎛⎫- ⎪⎝⎭=--1112233nn n +=--⨯， ∴323443nnn T +=-⨯.18.（1）解:在A B C ∆中，由余弦定理得，24822c o s 454B C =+-⨯⨯︒=，∴2B C=，则有2228A B B CA C+==，∴90A B C ∠=︒，∴B C A B ⊥， 又∵11,B C B B B B A B B⊥⋂=，∴B C ⊥平面11A B B A ， 又1B M ⊂平面11A B B A ，∴1B CB M⊥.（2）解：由题设知，平面把此三棱柱分成两个体积相等 的几何体为四棱锥1C A B B M-和四棱锥111B A M C C -.由（1）知四棱1C A B B M-的高为2B C=，∵111122482A B C A B CV -=⨯⨯⨯=三棱柱，∴1142C A B B MV V -==四棱锥柱，又11112433C A B B MA B BM A B BMV S B C S -=⋅==四棱锥梯形梯形，∴14622A B B MA M S +==⨯梯形，∴2A M =.此时M 为1A A 中点，以点B 为坐标原点，1,,B A B C B B 的方向为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系B x y z-.∴()()()()12,0,0,0,2,0,0,0,4,2,0,2A C B M . ∴()()()110,2,4,2,0,2,2,2,0C B B MA C=-=-=-，设()1111,,n x y z=是平面1C B M 的一个法向量，∴111100n C B n B M ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111240220y z x z -+=⎧⎨-=⎩，令11z =，可得()11,2,1n=，设()2222,,n x y z=是平面1A C B 的一个法向量，∴21200n C B n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2222240220y z x y -+=⎧⎨-+=⎩，令21z =，可得()22,2,1n=，∴121212c o s,1836nn n n n n ⋅===⋅所以二面角1MB C A--18.19.解：（1）由题意知，14,2μσ==，由频率分布直方图得()()()12160.290.1120.80.6826P X P X μσμσ-<<+=<<=+⨯=>，()()()2210180.80.040.0320.940.9544P X P X μσμσ-<<+=<<=++⨯=<，()()()338200.940.0150.00520.980.9974P X P X μσμσ-<<+=<<=++⨯=>，∵不满足至少两个不等式成立，∴该生产线需检修. （2）由（1）知()47220.9450P X μσμσ-<<+==，所以任取—件是次品的概率为30.0650=，所以任取两件产品得到的次品数Y 可能值为0，1,2，则()24722090502500P Y ⎛⎫===⎪⎝⎭；()1247314115051250P Y C ==⋅=；()2392502500P Y ⎛⎫===⎪⎝⎭；∴Y 的分布列为∴22091419301225001250250025E Y=⨯+⨯+⨯=.20.解：（1）由题意知:2c a=，∴2ca=，又222b a c=-，∴2ba=，设12P F F ∆的内切圆半径为r ， 则()12121212P F FS P F P F F F r ∆=++⋅，()()1222a c r a c r=+⋅=+，故当12P F F ∆面积最大时，r 最大， 即P点位于椭圆短轴顶点时，2r =-∴()(2a c b c +-=，把,22cb ==代入，解得2,ab ==，∴椭圆方程为22142xy+=.（2）由题意知，直线A P 的斜率存在，设为k ， 则所在直线方程为()2yk x =+，联立()222142y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y，得()2222218840k x k x k+++-=，则有()2284221p k x k-⋅-=+，∴222421pk x k-=+，()24221p p k y k x k=+=+，得22284,2121k kB P k k ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭，又()2,4N k ， ∴()2,4O N k =，则2222161602121k k O N B P kk-⋅=+=++，∴O NB P⊥而M 在以B N 为直径的圆上， ∴M N B P⊥，∴,,O MN三点共线.21.解：（1）()()sin c o s sin c o s sin 4xxxxf x e x e x ex x x π⎛⎫'=+=+=+ ⎪⎝⎭，当224k x k ππππ≤+≤+，即32,244x k k ππππ⎡⎤∈-++⎢⎥⎣⎦时，()()0,f x fx '≥单调递增；当2224k x k πππππ+≤+≤+，即372,244x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦时，()()0,f x fx '<单调递减；综上，()f x 的单调递增区间为32,2,44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，()fx 的单调递减区间为372,2,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（2）()()12f xg x m+≥，即()()12f x m g x ≥-，设()()t x m g x =-， 则原问题等价于()()m inm in,0,2f x t x x π⎡⎤≥∈⎢⎥⎣⎦，一方面由（1）可知，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x '≥，故()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，∴()()m in00f x f==另—方面：()()1c o s xt x m xx =-++，()()c o s 1s in xt x x x x '=-+++，由于[]c o s 1,0xx -∈-≥∴c o s 0xx -+>，又()1sin 0xx +≥，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()0t x '>，()t x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，()()m in01t x t m ==-+所以10m-+≤，1m≤-（3）()2s in 2,0,2xh x x en x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，()()()22cos 2212cos 2xxxh x e xen x x en x'=+-=+-.①若01n <≤，则()()0,h x h x '>单调递增，()()00h x h >=无零点，②若1n>时，设()()212c o s 2xk x x e n x =+-，则()()224s in 20xk x ex n x '=++>，故()k x 单调递增，∵()0220k n =-<，221022k e πππ⎛⎫⎛⎫=+⋅> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()00k x =，因此当()00,x x ∈时，()0k x <，即()()0,h x h x '<单调递减；当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0k x >即()()0,h x h x '>单调递增.故当()00,x x ∈时，()()00h x h <=无零点，当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()200,02h x h e πππ⎛⎫<=> ⎪⎝⎭，存在唯一零点，综上，1n >时，有唯一零点.22.解:（I )曲线2221sin ρθ=+，即222sin 2ρρθ+=，∵222,sin x y yρρθ=+=，∴曲线C 的直角坐标方程为2222xy+=即2212xy+=.（2）将1c o s s in x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入2222x y+=并整理得()221sin 2co s 10t t αβ++-=，∴1212222co s 1,1sin 1sin t t t t ααα-+=-⋅=++，∴121211M A M B A Bt t M AM BM A M BM A M Bt t +-+===⋅⋅-⋅，∵121sin t t α-===+，∴2111s in 11s in M A M Bαα++==+23.解:（1）当1a =时，不等式()()g x f x ≥即211xx x x +≥++-，当1x<-时，222,30x x x x x +≥-+≥，∴0x ≥ 或3x ≤-，∴此时，3x ≤-， 当11x -≤≤时，222,0x x xx +≥+≥，∴1x ≥或2x ≤-，∴此时，1x =，当1x>时，222,0x x x x x +≥-≥，∴1x ≥或0x ≤此时，1x>，∴不等式的解集为{3x x ≤-或}1x ≥.（2）()()()()111,,1111,,11,,a x a x a f x a x x a a x a x a aa x a x a ⎧-++-<-⎪⎪⎪=++-=-++-≤≤⎨⎪⎪+-+>⎪⎩若01a <≤则()()2m in1fx fa a==+，∴2312a +≥，解得:2a ≥2a≤-12a ≤≤，若1a>则()m in11322fx f a a a ⎛⎫=-=+>>⎪⎝⎭，∴1a >，综上所述，a .2。