组合数学(西安电子科技大学(第二版))第二章母函数_版24样版演示课件.ppt
组合数学(第二版)递推关系
递推关系
其次,证明an 是通解.若给定一组初始条件
可以仿照齐次方程通解的证明方法,证得相应于条件式 (3.2.11)的解一定可以表示为式 (3.2.10)的形式.
关于 的求法已经解决,这里的主要问题是求式(3.2.2) 的特解an * .遗憾的是寻求特 解还没有一般通用的方法.然而, 当非齐次线性递推关系的自由项f(n)比较简单时,采用 下面的 待定系数法比较方便.
递推关系 【例 3.4.2】 棋盘染色问题:给一个具有1行n 列的1×n
棋盘(见图3.4.1)的每一个 方块涂以红、蓝二色之一,要求相 邻的两块不能都染成红色,设不同的染法共有an 种,试 求an.
图 3.4.1 1×n 棋盘
递推关系
递推关系
【例3.4.3】 交替子集问题:有限整数集合Sn={1,2,…,n} 的一个子集称为交替的, 如果按上升次序列出其元素时,排列 方式为奇、偶、奇、偶、…….例如{1,4,7,8}和 {3,4,11}都是, 而{2,3,4,5}则不是.令gn表示交替子集的数目(其中包括空集), 证明
且有gn=Fn+2.
递推关系
证 显然,g1=2,对应S1 的交替子集为⌀和{1}.g2=3,对应S2 的交替子集为⌀、 {1}、{1,2}.
将Sn 的所有子集分为两部分: (1)Sn-1={1,2,…,n-1}的所有子集; (2)Sn-1的每一个子集加入元素n 后所得子集. 例如,n=4,S4={1,2,3,4}的所有子集划分为两类,即 (1)⌀、{1}、{2}、{3}、{1,2}、{1,3}、{2,3}、{1,2,3}; (2){4}、{1,4}、{2,4}、{3,4}、{1,2,4}、{1,3,4}、 {2,3,4}、{1,2,3,4}.
组合数学课件--第二章第五节 指数型母函数
4
2.11：指数型母函数
为了便于计算，利用上述特点，形式地引进函数。
x1 x1 x x 2 x2 G e ( x) (1 )(1 ) 1! 2! 3! 1! 2! 展开后三次方项
3! 3! 3! x1 x2 x1 x2 x ( ) 1!2! 2!1! 3! 1!2! 2!1! 3! x x 2 x3 x x2 G e ( x) (1 )(1 ) 1! 2! 3! 1! 2! 1 1 1 3 3! 3! 3! x 3 ( )x ( ) 1!2! 2!1! 3! 1!2! 2!1! 3! 3!
e
4x
x x2 x3 1 4 42 43 ... 1! 2! 3!
排列数是4n。
11
2.11：指数型母函数
例4 求1,3,5,7,9这5个数字组成的n位数个数， 要求其中3出现的次数为偶数，其它数字出现的次 数无限制。（用指数型母函数求解）
解：设满足条件的r位数的数目为ar,则序 列a0,a1,a2,…的母函数为：
C (m, k )(e x ) m k (1) k
k 0
m
(m k ) h k C (m, k )[ x ]( 1) h! k 0 h 0
m h
20
2.11：指 )( m k ) ] h! h 0 k 0
k h
m
h
an (1) k C (m, k )( m k ) n
k 0
m
21
n个球放进m个盒子放法总结:
n个球放进m个盒子里，球是否有区别，盒 子是否有区别，是否允许空盒，共有八种情况：
1、有区别,有区别，有空盒
x x Ge ( x) (1 x ...) m 2! 3!
组合数学讲义 2章 母函数
第二章 母函数及其应用问题：对于不尽相异元素的部分排列和组合，用第一章的方2.0.1）。
新方法：母函数方法。
基本思想：把离散的数列同多项式或幂级数一一对应起来，算。
2.1 母 函 数（一） 母函数 （1）定义【定义2.1.1】 对于数列{}n a ，称无穷级数()∑∞=≡0n n n x a x G 为该数列的（普通型）母函数，简称普母函数或母函数。
（2）例【例2.1.1】 有限数列rn C （r ＝0,1,2, …,n ）的普母函数是。
()x G ＝nn n n n nx C x C x C C ++++ 2210＝()nx +1【例2.1.2】 无限数列{1，1，…，1，…}的普母函数是()x G ＝ +++++n x x x 21＝x-11（3）说明● n a 可以为有限个或无限个；● 数列{}n a 与母函数一一对应，即给定数列便得知它的母函数；反之，求得母函数则数列也随之而定；例如，无限数列{0，1，1，…，1，…}的普母函数是+++++nx x x 20＝xx-1● 这里将母函数只看作一个形式函数，目的是利用其有关运算性质完成计数问题，故不考虑“收敛问题”，而且始终认为它是可“逐项微分”和“逐项积分”的。
（4）常用母函数（二） 组合问题 （1）组合的母函数定理2.1.1 组合的母函数：设{}m m e n e n e n S ⋅⋅⋅=,,,2211 ,且n 1＋n 2＋…＋n m ＝n ，则S 的r 可重组合的母函数为()x G ＝∏∑==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛mi n j j i x 10＝∑=n r rr x a 0(2.1.1) 其中，r 可重组合数为rx 之系数r a ，r ＝0,1,2, …,n .理论依据：多项式的任何一项与组合结果一一对应（见例2.1.3）定理2.1.1的优点：● 将无重组合与重复组合统一起来处理； ● 使处理可重组合的枚举问题变得非常简单。
（2）特例推论1 {}n e e e S ,,,21 =，则r 无重组合的母函数为G (x )＝ (1＋x )n (2.1.2)组合数为r x 之系数r n C 。
组合数学课件 第二章母函数与递推关系
2 3
[h(3) 2h(2)] x
§2.2
递推关系
根据(2-2-1)，
h(1) 1, h(2) 2h(1) 1, h(3) 2h(2) 1, 2 3 (1 2 x) H ( x) x x x x /(1 x)
§2.2
递推关系
Hanoi问题是个典型的问题，第一步要设 计算法，进而估计它的复杂性，集估计工作量。 算法： N=2时 第二步把下面的一个圆盘移到 C上 第一步先把最上面的一个圆盘套在 B上 最后把 B上的圆盘移到C上 到此转移完毕
A
B
C
§2.2
递推关系
假定n-1个盘子的转移算法已经确定。 对于一般n个圆盘的问题， 先把上面的n-1个圆盘经过C转移到B。 第二步把A下面一个圆盘移到C上 最后再把B上的n-1个圆盘经过A转移到C上
§2.2
递推关系
解法1： 令
an n 位十进制数中出现5的数的个数，
bn n
位十进制数中出现奇数个5的数
的个数。 故有：
an 9an1 bn1 { bn 9bn1 an1 a1 8, b1 1
(2 2 2)
§2.2
递推关系
(2-2-2)式中的 an 9an 1 bn 1表达了 含有偶数个5的n位十进制数的两个组成部分。 9an 1 表达由含有偶数个5的n-1位十进制数 pn 取5以外的0，1，2，3，4， p1 p2 pn1 ，令 6，7，8，9九个数中的一个数构成的。 bn 1 项 表示当 p1 p2 pn1 是含有奇数个5的n-1位十 进制数，令 pn 5 而得 p1 p2 pn是含偶数个 5的n位十进制数。 bn 9bn1 an1也有类似解释。
组合数学(西安电子科技大学(第二版))习题3
习题三（递推关系）1．解下列递推关系：（1）120171000,1n n n a a a a a ---+=⎧⎨==⎩ （2）12016900,1n n n a a a a a --++=⎧⎨==⎩ （3）20100,2n n a a a a -+=⎧⎨==⎩ （4）120121n n n a a a a a --=-⎧⎨==⎩ （5）123012990,1,2n n n n a a a a a a a ---=+-⎧⎨===⎩ 解：（1）对应的特征方程为：27100x x -+=，解得122,5x x ==。
所以齐次递推方程的通解为：25n n n a A B =+，代入初始条件，得：00a A B =+=，1251a A B =+=，解得：11,33A B =-=， 故 112533n n n a =-+。
（2）对应的特征方程为：2690x x ++=，解得：123x x ==-，所以，齐次递推方程的通解为：()(3)n n a A Bn =+-，代入初始条件，00a A ==，1()(3)1a A B =+-=，解得：10,3A B ==-，故1(3)3n n a n =--。
（3）对应的特征方程为：210x +=，解得：12,x i x i ==-，所以，齐次递推方程的通解为：()()n n n a A i B i =+-，代入初始条件，00a A B =+=，12a A i B i =-=，解得：,A i B i =-=，故 11()()n n n a i i --=+-。
（4）对应的特征方程为：2210x x -+=，解得：121x x ==，所以，齐次递推方程的通解为：n a A Bn =+，代入初始条件，01a A ==，11a A B =+=，解得：1,0A B ==，故 1n a =。
（5）对应的特征方程为：32990x x x --+=，解得：1231,3,3x x x ===-，所以，齐次递推方程的通解为：3(3)n n n a A B C =++-，代入初始条件，00a A B C =++=，1331a A B C =+-=，2992a A B C =++=， 解得，111,,4312A B C =-==-，故 1113(3)412n n n a -=-+--2．求由A ，B ，C ，D 组成的允许重复的排列中AB 至少出现一次的排列数。
1.2.2组合(2)优秀课件2020-2021学年高中数学人教A版选修2-2
C.C83C72 C73C82
D.C83C72C111
4、从7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，
则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有（ ）D
A.C52 A33
B.2C53 A33
C.A53
D.2C52 A33 A53
课堂练习：
5、在如图7x4的方格纸上（每小方格均为正方形） （1）其中有多少个矩形？ （2）其中有多少个正方形？
例5、8双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任 意取出4只，试求满足如下条件各有多少种情况：
（1）4只鞋子恰有两双；
（2） 4只鞋子没有成双的；
（3） 4只鞋子只有一双。
课堂练习：
1、把6个学生分到一个工厂的三个车间实习，每个车间2人， 若甲必须分到一车间，乙和丙不能分到二车间，则不同的分
法有 9 种 。
复习巩固：
1、组合定义:
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一 组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
2、组合数:
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数 ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号
Cnm 表示.
3、组合数公式:
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2) m!
(4)抽出的3件中至多有一件是次品的抽法有多少种？
说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类 法或间接法求解。
练习.在产品检验中，常从产品中抽出一部分进行检查. 现有100件产品，其中3件次品，97件正品.要抽出5件 进行检查，根据下列各种要求，各有多少种不同的抽 法？
(1)无任何限制条件； (2)全是正品；
(3)只有2件正品；
《组合数学》课件第2章
1 jn
1i j n
命题 3（加法的结合律） 如果1≤m≤n， 则
aj aj aj aj aj
1 jn
1 jm m jn
1 jm
m jn
第二章 基本计数原理
命题 4（乘法交换律）
ai aj aj ai
1 jm 1 jn
1 jn 1im
命题 5（乘法对加法的分配律）
推论
a aj aaj
1 jn
j0
第二章 基本计数原理
3. 双下标
(a11 a12 a1n ) (a21 a22 a2n ) (am1 am2 amn )
a1 j a2 j amj ( aij )
1 jn
1 jn
1 jn
1im 1 jn
4. 给定数42的所有因子之和
1+2+3+6+7+14+21+42= k
注: 本例指围棋，现代围棋采用十九路，即有19×19=361 个交叉点可落黑子、 白子或留空。
第二章 基本计数原理
例 5 求含有数字1的4位数的个数。 解 先求不含有1的4位数的个数，即求由{0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}9个数字组成的4位数的个数（第一位不得出现0）。由乘法原 理，
2a1 b1,2a2 b2 ,,2an bn ,2an1 bn1
第二章 基本计数原理
例 3 某次会议有n位代表参加，已知每一位代表至少认识 其余n-1位中的一位，则n位代表中至少有两位认识的人数相等。
证明 n位代表认识的人数有1, 2, …, n-1， 由鸽巢原理知至少 两位代表认识的人数相等。
第二章 基本计数原理
· 对（2.1.10 №1 定义数组A(1∶N, 1∶N)； №2 对i=1, N, 输入A(i, i)；
组合与二项式23页PPT
m n
m
nmn(n1)(nm 2)L! (nm1)
m
C
m n
n-m n!!m!，Cnn Cn0 1
组合数的性质：
C C 性质1：
m
nm
n
n
C C C 性质2：
m m m1
n1
n
n
解决排列组合问题的方法有：
优限法： 有特殊位置、元素 捆绑法： 相邻 插入法 ： 不相邻 先取后排： 有组合又有排列
N=m1+m2+…+mn 种不同的方法。
分步计数原理
完成一件事，需要分成n个步骤 ，做第一步有m1种不同的方法，做 第二步有m2种不同的方法，……， 做第n步有mn种不同的方法，那么 完成这件事有
N=m1×m2×…×mn 种不同的方法。
排列定义：
从 n 个不同元素中，任取 m (m≤n) 个元素，按照一定的顺序 排成一列，叫做从 n 个不同元素 中取出 m 个元素的一个排列。
例4. 1-90C110+902C210-903C310+… +(-1)k90kCk10+…+9010C1010 除以88的余数是( B )
(A)-1 (B)1 (C)-87 (D)87
9，（ 05江苏）设 k1,2,3,4,5，
则( x 2 ) 5 的展开式中 x k 的系
数不可能是
（C ）
目的要求： 1、分类计数原理与分步计数原理。 2、排列、排列数。 3、组合、组合数、组合数的性质。 4、解决排列组合问题的方法有那 些？
分类计数原理
完成一件事，有n类办法,在第一 类办法中有m1种不同的方法,在第二 类办法中有m2种不同的方法，…… ，在第n类办法中有mn种不同的方法 。那么完成这件事共有
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2.1母函数
例 确定苹果、香蕉、橘子和梨的n-组合的个数，其中在每个n组合中要求：苹果的个数必须是偶数，香蕉的个数必须是5的倍 数，橘子的个数最多4个，梨的个数为0或1个。
解：生成函数为:
G( x) (1 x2 x4 ....)( x0 x5 ....)( 1 x x2 x3 x4 )(1 x)
例 从n双互不相同的五指袜子中取出r只，要求没有任何两只是 成对的，共有多少种不同的取法？
解：生成函数为: G( x) (1 2 x)n C n, r 2r xr n0
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2.1母函数
例 某班有甲乙丙三个小组，人数分别为5，6，9。把5本相同的 书分给甲、乙、丙3个小组，再发到个人手上，每人最多发一本。 考虑将分给某组的某本书发给该组的同学A与将其发给同学B被 认为是不同的分法（每个同学最多一本），而且甲、乙两组最 少1本，甲组最多5本，乙组最多6本，丙组最少2本，最多9本， 问有多少种不同的分配方案？ 解：
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2.1母函数
G(
x)
5 i 1
5 i
x
i
6 i 1
6i
xi
9 i2
9 i
x
i
5 1
6 1
9 2
x
4
15
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2.1母函数
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2.1母函数
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2.1母函数
例 设有2个红球，1个黑球，1个白球，问 （1）共有多少种不同的选取方法，试加以枚举？ （2）若每次从中任取3个，有多少种不同的取法？
解：设想用x，y，z分别代表红、黑、白三种球，两个红球的取
G(x)=(1+x2+x4)(x+x3+x5)(x6+x7)(x8+x9)
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2.1母函数
例 求不定方程k1+k2+k3+k4=20的解数。其中, 限制k1可取0,2,4; k2可取1,3,5; k3可取6,7;k4可取8,9。 G(x)=(1+x2+x4)(x+x3+x5)(x6+x7)(x8+x9)
法与x0，x1，x2对应起来，即红球的可能取法与1＋x＋x2中x的 各次幂一一对应，亦即x0＝1表示不取，x表示取1个红球，x2表 示取两个。对其它球，依此类推。则母函数 G(x,y,z) ＝(1＋x＋x2) (1＋y) (1＋z) ＝1＋(x＋y＋z)＋(x2＋xy＋xz＋yz)＋(x2y＋x2z＋xyz)＋( x2yz)
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2.1母函数
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2.1母函数
例 甲、乙、丙3人把n（n≥3）本相同的书搬到办公室，要求甲
和乙搬的本数一样多，问共有多少种分配的方法？
解：G( x) 1 x2 x4 x2k 1 x x2 xk
Cn1 x Cn2 x2
C
n n
xn
1 x
n
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2.1母函数
例 无限数列{1，1，…，1，…}的普母函数是
1 x x2 xn 1
1 x
例 无限数列{1，2，…，n，…}的普母函数是
1
2x
3
x
2
(n
1)
x
n
(1
1 x)2
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2.1母函数
1 1 x2
1 1 x5
1 x5 1 x
1
x
1
1 x2
n0
n1 xn
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2.1母函数
例 从n双互不相同的袜子（每双袜子中的两只相同）中取出r只， 要求没有任何两只是成对的，共有多少种不同的取法？
解：生成函数为: G( x) (1 x)n Cn, r xr n0
= (1+x2+x4) (1+x2+x4)x(1+x)x6(1+x)x8 = (1+x2+x4)2(1+x)2x15 = (1 +x +x2 +x3 +x4 +x5)2x15 只需要多项式(1 +x +x2 +x3 +x4 +x5)2展开式中x5的系数就等于x20 的系数，由多项式定理：C20=6.
16
93
15
62
92
5 2
6 1
9 2
x5Biblioteka 5 5
6 6
9 9
x
20
1080x4 7380x5 x20
母函数及其应用
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排列组合问题
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2.1母函数
定义2.1.1 对于数列{an}，称无穷级数
Gx an xn n0
为该数列的（普通型）母函数，简称普母函数或母函数。同时称
{an}为G(x)的生成数列。
例 有限数列C(n,r)，r＝0,1,2, …,n的普母函数是
Cn0
由x3的系数即得所求方案数为3。
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2.1母函数
例 求不定方程k1+k2+k3+k4=20的解数。其中, 限制k1可取0,2,4; k2可取1,3,5; k3可取6,7;k4可取8,9。 解：设不定方程k1+k2+k3+k4=k的解组数目为ck，本例中m=4, k=20。 注意到对ki(i=1,2,3,4)的限制，序列{ck}对应的生成函数为:
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2.1母函数
例 求不定方程3k1+4k2+2k3+5k4=n的非负整数解的个数。
g(x) (1 x3 x6 ....)(1 x4 x8 ...) (1 x2 x4 ....)(1 x5 x10 ...) 1111 1 x3 1 x2 1 x4 1 x5
若令x＝y＝z＝1，就得所有不同的选取方案总数为 G(1,1,1) ＝1＋3＋4＋3＋1＝12
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2.1母函数
例 设有2个红球，1个黑球，1个白球，问 （1）共有多少种不同的选取方法，试加以枚举？ （2）若每次从中任取3个，有多少种不同的取法？ 解：若只考虑每次取3个的方案数，而不需枚举，则令y＝x，z ＝x，便有 G(x) ＝ (1＋x＋x2) (1＋x) (1＋x) ＝ 1＋3x＋4 x2＋3 x3＋ x4