三角形,梯形的中位线
三角形、梯形的中位线
为什么？
A
M 40
20 C
N B
A
如图1，在△ABC中，DE是中位线
（1）若∠ADE=60°，
D B B D A 4
E
则∠B=
60
度，为什么？
（2）若BC=8 cm， 图1
C 则DE=
4
cm，为什么？
如图2，在△ABC中，D、E、F分 别是各边中点
F
AB=6 cm，AC=8 cm，BC=10 cm，
A
H D
B
F
C
F C
G
平行四边形 ①顺次连接四边形四边中点所得的四边形是————————. ②顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边形 菱形 是————. ③顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四 矩形 边形是————. ④顺次连接对角线相等且互相垂直的四边形四边中点所 正方形 得的四边形是—————.
看谁更聪明！
①顺次连接平行四边形四边中点所得的四边形是平行四边形 ————————.
菱形 ②顺次连接等腰梯形四边中点所得的四边形是——————. 菱形 ③顺次连接矩形四边中点所得的四边形是——————.
矩形 ④顺次连接菱形四边中点所得的四边形是——————. 正方形 ⑤顺次连接正方形四边中点所得的四边形是—————.
则△DEF的周长=
5 E
3
C
图2
12
cm.
例1. 在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA 的中点，四边形EFGH是平行四边形吗？为什么？
【解析】四边形EFGH是平行四边形. 连接AC,连接BD， ∵E、F分别是AB、BC的中点 ∴EF∥AC，EF=
1 2
A E
三角形和梯形中位线
三角形和梯形中位线【知识点精要】1．三角形的中位线连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。
它与三角形中线是不同的概念，三角形的中线有三条，其端点一个是中点，一个是顶点；三角形的中位线有三条，两个端点都是中点．2．三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半．这个定理是一个题设，两个结论，表示了两线段间的位置关系（平行）与数量关系（倍分）．3．梯形的中位线连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．注意：梯形的中位线是连结两腰中点的线段．而不是连结两底的中点的线段．4．梯形的中位线定理梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半，这个定理也表明了几条线段间的位置关系及数量关系．5．梯形的面积公式设梯形面积为S ，上底为a ，下底为b ，中位线长为l ，则有S =12(a + b )h = lgh ，l =12(a + b )， 即梯形的面积也等于中位线与高的乘积．【例题】例1．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AM = MB ，DN = NC ．求证：MN ∥BC ，MN =12(BC + AD )．例2．求证：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形．例3．已知：三角形的各边分别为6cm 、8cm 和10cm ，求连结各边中点所成三角形的周长．例4．如图，等腰梯形ABCD的周长是80cm，如果它的中位线EF与腰长相等，它的高是12cm．求这个梯形的面积．例5．已知梯形ABCD，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，A′、B′、C′、D′分别是AO、BO、CO、DO的中点．求证：（1）四边形A′B′C′D′是梯形；（2）梯形ABCD的周长等于梯形A′B′C′D′周长的2倍．例6．如图，已知MN是梯形ABCD的中位线，AC、BD与MN交于F、E，AD = 30cm，BC = 40cm．求EF的长．例7．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，E是腰AD的中点，且BC = AB + DC．求证：BE⊥CE．例8．如图，在△ABC中，∠B = 2∠C，AD⊥BC于D，M为BC的中点．求证：DM =12 AB．【练习与作业】一、选择题1．梯形ABCD中，AD∥BC，过A作AE∥DC，交BC于E，已知梯形周长为30cm，AD = 5cm，则△ABE的周长为（）A．25cm B．20cm C．15cm D．10cm2．梯形ABCD中，AB∥CD，AB = 2cm，CD = 8cm，M、N分别为对角线AC、BD中点，则MN 的长为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm3．顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形一定是（）A．菱形B．矩形C．梯形D．平行四边形4．顺次连结等腰梯形各边中点所得四边形一定是（）A．菱形B．矩形C．梯形D．正方形5．顺次连结四边形各边中点得到一个菱形，则原四边形是（）A．菱形B．矩形C．梯形D．两条对角线相等的四边形6．一个梯形的中位线长为l，两对角线互相垂直，则这梯形的高为（）A．l B．2l C．12l D．不能确定其大小7．梯形的中位线长为20cm，高为4cm，则梯形面积为（）A．40cm2B．60cm2C．80cm2D．100cm2 8．若等腰梯形两底差等于一腰长，那长它的腰与下底的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．75°9．过Y ABCD对角线交点O，作OE∥AD，交AB于点E，则OE等于（）A．EB B．12AB C．OB D．12BC10．已知△ABC的周长为50cm，中位线DE = 8cm，EF = 10cm，则另一条中位线DF的长是（）A．5cm B．7cm C．9cm D．10cm11．已知梯形中位线长为26cm，上，下底的比为1：3，则梯形的上、下底之差是（）A．26cm B．13cm C．39cm D．19.5cm12．已知△ABC周长为16，D、E分别是AB、AC的中点，那么△ADE的周长等于（）A．1 B．2 C．4 D．8二、填空题13．梯形中位线长9cm，上底长8cm，下底长cm．14．等腰梯形的中位线长6cm，腰长4cm，它的周长是．15．等腰梯形的中位线长30cm，一底角为60°，且一条对角线平分这个角，则此梯形的周长为cm．16．等腰梯形的对角线平分锐角，又分中位线成7cm和9cm两部分，则梯形周长是．17．四边形的两条对角线长分别是12cm和10cm，顺次连结各边中点所得的四边形的周长是．18．已知等腰梯形的腰长与中位线长相等，周长是32cm，则腰长为cm．19．已知梯形中位线长80cm，下底与上底的差为40cm，则梯形上底是，下底是．20．已知梯形上、下底的比是4：5，中位线长是18cm，则梯形上底是，下底是．21．等腰梯形的腰长为5cm，高为3cm，中位线长为8cm，则上、下底的长分别是．22．梯形的下底是20cm，上底是下底的34，则中位线长是．23．△ABC的三条中位线构成三角形的周长是6cm6cm，则△ABC周长是．24．三角形的一条中位线，把三角形分成两部分，其中三角形的面积是梯形面积的倍．25．已知梯形上、下底的比是4：5，中位线长是18cm，则下底是．三、解答题26．梯形ABCD中，AD∥BC，中位线MN为10cm，过顶点B作BE∥CD交AD于E，AE = 2cm，求梯形上、下底的长．27．如图，AA′∥EE′，AB = BC = CD = DE，A′B′ = B′C′ = C′D′ = D′E′，AA′ = 28mm，EE′ = 36mm，求BB′、CC′、DD′的长．28．已知：一个等腰梯形的高是2m，它的中位线长是5m，一个底角是45°．求这个梯形的面积和上、下底边的长．29．已知等腰梯形的两底差是4，中位线长是6，腰长是4，求等腰梯形的面积．30．等腰梯形的对角线分它的中位线成两部分，长分别为8，20，腰长为24，求梯形各内角度数．31．如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB的中线，MN是中位线．求证：CD = MN．32．已知M、N分别是Y ABCD的AB、CD边的中点，CM交BD于E，AN交BD于F．求证：BE = EF = FD．33．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别是AB 、DC 的中点．求证：GH =12(BC – AD )．34．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC = 3AD ，E 、F 分别是对角线AC 、BD 的中点．求证：四边形ADEF 是平行四边形．35．如图，M 、E 、F 分别是△ABC 的边BC 、AC 、AB 的中点，AD ⊥BC 于D ．求证：四边形DEFM 为等腰梯形．36．如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为E，DF⊥BC于F，垂足为F，MN是梯形中位线．求证：DF = MN．。
三角形和梯形的中位线
G
H
F
B
M
C
10.四边形ABCD，AC,BD交与点O，且AC=BD,点E,F 分别是AB,CD的中点，连接EF交AC、BD于G、H,试 说明OG=OH
A E H B O G F C D
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD垂直相交于 点O，MN是梯形ABCD的中位线，∠1＝30 °求证：AC＝MN
EF为中
F H C G
B 腰直角三角形,四边形ACGD为平行四边形, 所以DH= 1/2 BG=
分析：过点D作AC的平行线,交BC的延长线于G.则△BDG为等
1/2 (BC+CG)= 1/2 (BC+AD). 又EF= 1/2 (BC+AD),故EF=DH
.
9.已知:在梯形ABCD中,AD//BC,E、F分别是AB、CD
S=½（AD+BC)h=EF×h
B
C
EF∥AD ∥BC EF=1/2(AD+BC)
铁匠师傅要把一块周长为30cm的等边三角形铁皮，裁成四 块形状大小完全相同的小三角形铁皮, 你能帮助他想出办法吗？ 15 说说你的想法。你能知道每块小三角形铁皮的周长是____ CM
A
1
EFBG NhomakorabeaC
知识链接:斜拉桥是利用一组组钢索，把桥面重力传递到耸立的两侧的高 塔上的桥梁,它不需要建造桥墩。 如图，某斜拉桥的一组钢索a,b ,c,d,e共五条，它们互相平行，钢索与桥 面的固定点P1，P2，P3，P4，P5以及A1, A2 ,A3, A4, A5中每相邻两点等 距离，问至少需要知道几根钢索的长，才能计算出其余钢索的长？
●F
∵DH、EF 不平行
∴四边形DHEF是梯形
三角形梯形中位线
重点讲解(三角形梯形中位线)知识归纳知识结构重难点分析解题思想释疑解难学法建议知识归纳1．三角形的中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半．作用：从位置关系看，可以证两直线平行；从数量关系看，可以证线段的相等或倍分．2．梯形的中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．作用：可以证明两直线平行；可以证明一条线段是另两条线段的和．3．梯形的面积等于中位线与高的积．．返回知识结构本节首先给出了中位线的概念，在中位线概念的基础上又给出三角形的中位线和梯形中位线两个概念，并对中位线的性质进行证明（运用同一法证明三角形中位线性质和添加辅助线转化成三角形中位线问题证明梯形中位线性质）以及应用．返回重难点分析本节的重点是中位线定理.三角形中位线定理和梯形中位线定理不但给出了三角形或梯形中线段的位置关系，而且给出了线段的数量关系，为平面几何中证明线段平行和线段相等提供了新的思路.本节的难点是中位线定理的证明.中位线定理的证明教材中采用了同一法，同一法学生初次接触，思维上不容易理解，而其他证明方法都需要添加2条或2条以上的辅助线，添加的目的性和必要性，同以前遇到的情况对比有一定的难度.返回解题思想1．注意区别三角形中位线与中线，避免概念混淆.2．学会构造全等三角形证明三角形和梯形的中位线定理.3．灵活运用三角形中位线定理和梯形中位线定理证明求解几何问题.返回释疑解难1．三角形中位线定理的证明方法的关键三角形中位线定理的证明方法关键在于添加辅助线．其证明方法很多，除教科书上的方法以外，还可用下面的方法来证明：①如图所示，延长中位线DE至F，使，连结CF，则，有ADFC，所以FC BD，则四边形BCFD是平行四边形，DF BC，因为，所以DE．②如图所示，延长DE至F，使，连结CF、DC、AF，则四边形ADCF为平行四边形，有AD CF，所以FC BD，那么四边形BCFD为平行四边形，DF BC，因为，所以DE．③如图所示，过C作交DE的延长线于F，则，有FC AD，那么FC BD，则四边形BCFD为平行四边形，DF BC，因为，所以DE ．2．怎样认识梯形中位线梯形中位线是连结两腰中点的线段，而不是连结两底的线段．梯形中位线定理的证明，关键是如何添加辅助线，把梯形中位线转化为三角形的中位线．3．怎样理解中位线定理三角形中位线定理和梯形中位线定理都有一个特点：在同一个题设下，有两个结论，一个结论表明位置关系的，另一个结论是表明数量关系的，在应用这两个定理时，不一定同时需要两个结论．4．怎样认识平行线等分线段定理与中位线定理的关系在学习了梯形、三角形中位线概念之后，可以把平行线等分线段定理的两个结论分别看成是梯形、三角形中位线的判定定理．5．怎样计算不规则的多边形面积对于不规则的多边形面积计算问题，我们可以采取作适当的辅助线把它们分割成三角形、平行四边形或梯形，然后利用这些较熟悉的面积公式来计算任意多边形的面积．返回学法建议1．学习中要注意概念间的区别．（1）三角形的中位线与三角形的中线是两条不同的线段，一条是两边中点的连线段，一条是一个顶点与对边中点间的线段．（2）梯形的中位线与梯形两底中点的连线段不是同一概念．2．在学习中要注意定理间的联系．（1）平行线等分线段定理的两个推论，可分别看成是梯形、三角形中位线的判定定理；（2）当梯形上底长为零时，梯形的中位线定理就与三角形中位线定理一致，因此三角形中位线定理可以看成是梯形中位线定理的特例.3．在学习中要注意三角形中位线定理的其余几种证法和梯形中位线定理的证法，从中学习三角形、梯形的转化思想，积累作辅助线的经验．。
22.6三角形梯形的中位线
2.梯形的中位线
A
D
M
N
B
C
问题1：梯形中位线与梯形
上下两条底边有何位置关系？
问题2：梯形中位线与梯形 上下两条底边有何数量关系？
2.梯形的中位线
已知:如图在梯形ABCD中,AD ∥BC,AM＝MB,DN ＝NC，求证：MN ∥ BC，MN＝（12 BC＋AD）
A
D
M
N
B
CE
2.梯形的中位线
A
D
M
N
B
C
梯形中位线定理 梯形的中位
线平行于两底，并且等于两底
和的一半
3.基础练习 1.若梯形上底长4cm，下底长6cm，
则中位线长 5 cm
2.若梯形上底长4cm，中位线长 6cm，则下底长 8 cm
例7：
木工师傅制作了一把梯子，如图其中四边形AKLB是 梯形.已知AC=CE=EG=GK，BD=DF=FH=HL，AB=0.6m， CD=0.7m，求EF、GH、KL的长.
1.三角形的中位线
A
联结三角形两边的中点
的线段叫做三角形的中
D
E 位线
DE//BC
DE=
1 2
BC
B
C
三角形中位线定理 三角形的
中位线平行于第三边，并且等
于第三边的一半
2.梯形的中位线
A
D
M
N
B
C
联结梯形两腰的中点的线段 叫做梯形的中位线
2.梯形的中位线
判断：联结梯形一组对边中点的 线段是梯形的中位线吗？
KL=2EF-AB=2 0.8-0.6=1(m)
例8：
已知：梯形ABCD中，AD//BC，E为AB中点， AD+BC=DC.求证：DE ⊥ EC，DE平分<ADC，
三角形梯形中位线
三角形梯形中位线知识点：1．三角形中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
（1）三角形的中位线有三条，它们把三角形分成四个全等三角形。
（2）三角形的中位线与三角形的中线不同 （3）三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
定理符号语言表达：在△ABC 中，点D,E 分别是AB,AC 的中点， ；。
2．梯形中位线：1）定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线2）性质定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
定理符号语言表达：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ∵ ；∴ 。
注：在同一条件下，有两个结论，一个是位置关系，另一个数量关系；3）归纳总结出梯形的又一个面积公式：我们知道：S 梯=21(a+b)h 设中位线长为l ,则l = , 故 S= 梯形面积等于中位线与高的积3、中点四边形：1）顺次连接任意四边形、平行四边形各边中点所得的四边形是 ——— 平行四边形； 2）顺次连接矩形、等腰梯形及对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是 —— 菱形； 3）顺次连接菱形、对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形是 ——— 矩形； 4）顺次连接正方形各边中点所得的四边形是 ————正方形；总结：中点四边形取决与原四边形的对角线；1）当原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形。
2）当原四边形的对角线互相垂直时，中点四边形是矩形。
3）当原四边形的对角线相等且垂直时，中点四边形是正方形。
ED BCAEBD A CF图2试一试：1．三角形的中位线______于第三边，并且等于_______．2．一个三角形的中位线有_________条．3.如图△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则线段CD是△ABC的＿＿＿，线段DE是△ABC＿＿＿＿＿＿＿4、如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点（1）如果EF＝4cm，那么BC＝＿＿cm（2）如果AB＝10cm，那么DF＝＿＿＿cm，中线AD与中位线EF的关系是＿＿＿5．等腰梯形的腰长为8，中位线长为9，则梯形的周长为；6．已知梯形的中位线长为6，上底长为3，则下底长为；7．已知梯形的高为5，中位线长为6，则梯形面积为；8．已知梯形中位线长是5cm，高是4cm，则梯形的面积是。
第31课时：三角形、梯形的中位线
A BF CED 第31课时：三角形、梯形的中位线班级 姓名 学号一、中考考点：1、 叫做三角形的中位线．三角形的中位线平行于第三边并且等于它的 ．2、 叫做梯形的中位线.梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的 ．3、解决梯形问题，添加辅助线的常见方法. 二、问题探索： (一)基础问题探索：1．已知以一个三角形各边中点为顶点的三角形的周长为8cm ，则原三角形的周长为 cm ． 2．如图，在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，BC ＝3.6，AD ⊥BC 于点D ，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，则EF ＝ ，DE ＝ ，DF ＝ ．3．⑴已知梯形中位线长是5cm ，高是4cm ，则梯形的面积是 . ⑵等腰梯形的腰长是6cm ，中位线是5cm ，则梯形的周长是 . ⑶梯形上底与中位线之比是2：5，则梯形下底与中位线之比是 .(4)若一个等腰梯形的周长是80cm ，高是12cm ，并且腰长与中位线相等，则这个梯形的面积为 ． 4．已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥BD ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，判断AD+BC 与AB+CD 的大小关系： . (二)典型问题探索：1．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、、DA 的中点．四边形EFGH 是平行四边形吗？为什么？若四边形EFGH 是特殊的平行四边形，四边形ABCD 应满足什么条件.2．如图，梯子各横木间互相平行，且A 1A 2＝A 2A 3＝A 3A 4＝A 4A 5，B 1B 2＝B 2B3＝B 3B 4＝B 4B 5，已知横木A 5B 5＝10cm ，A 4B 4＝15cm ，求横木A 3B 3，A 2B 2，A 1B 1的长．3．已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，E 、F 、M 、N 分别是AD 、BC 、BD 、AC 的中点.试说明：EF 与MN 互相垂直平分．4．已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，E 是梯形外一点，且AE ＝BE ，F 是CD 的中点.试说明：EF ∥BC ．5．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 、N 分别是两条对角线BD 、AC 的中点， 试说明：MN ∥BC 且MN ＝21(BC －AD )．6．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，且AC ＝5cm ，BD ＝12cm ，求该梯形的中位线长.7．如图，已知AE 、BD 相交于点C ，AC ＝AD ，BC ＝BE ，F 、G 、H 分别是DC 、CE 、AB 的中点. 试说明：(1)HF ＝HG ；(2)∠FHG ＝∠DAC8．如图，已知AD 与BC 相交于E ，∠1＝∠2＝∠3，BD ＝CD ，∠ADB ＝90°，CH ⊥AB 于H ，CH 交AD 于F .(1)试探索CD 与AB 的位置关系并说明理由； (2)试说明：△BDE ≌△ACE ；(3)若O 为AB 中点，试探索OF 与BE 的数量关系并说明理由.A 1A 2 A 3 A 4 A 5B 5 B 4 B 3 B 2 B 1MD CBA N初三数学一轮复习DCBA三、课后作业：１．已知三角形的3条中位线分别为3cm、4cm、6cm，则这个三角形的周长是cm. 2．若等腰梯形的腰长等于中位线的长，周长为48cm，则中位线长为cm.3．梯形的高是4，面积是32，上底长为4，则梯形的中位线长为，下底长为. 4．已知直角梯形的一条对角线把梯形分成一个直角三角形和一个边长为8cm的等边三角形，则此梯形的中位线长为cm.5．梯形的上底长为6，下底长为10，则由中位线所分得的两个梯形的面积之比为 . 6．如果四边形的对角线互相垂直，那么顺次连结四边形中点所得的四边形是( )A．矩形B．菱形C．正方形D．以上都不对7．如果顺次连结四边形各边中点组成的四边形是菱形，那么原来的四边形的对角线( )A．互相平分B．互相垂直C．相等D．相等且互相平分8．顺次连结下列各四边形中点所得的四边形是矩形的是( )A．等腰梯形B．矩形C．平行四边形D．菱形或对角线互相垂直的四边形9．若顺次连结一个四边形各边中点所得的图形是正方形，那么这个四边形的对角线( )A.互相垂直B.相等C.互相平分D.互相垂直且相等10．已知：如图，在△ABC中，中线BD、CE相交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．试说明：四边形DEFG是平行四边形．11．已知：如图矩形ABCD的对角线相交于点O，E、F分别是OA、OD的中点．试说明：四边形CBEF是等腰梯形．12．如图，AD是△ABC的中线，E、G分别是AB、AC的中点，GF∥AD交ED的延长线于点F. 猜想：EF与AC有怎样的关系？试证明你的猜想. 13．已知：如图，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AC、BD相交于点O，点P、Q、R分别为AO、BO、CD的中点，且∠AOD＝60°.试判断ΔPQR的形状，并说明理由？14．已知点E、F在△ABC的边AB所在的直线上，且AE＝BF，FH∥EG∥AC，FH、EG分别交BC 所在的直线于点H、G，(1)如图1，如果点E、F在边AB上，那么EG＋FH＝AC；(2)如图2，如果点E在边AB上，点F在AB的延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系是；(3)如图3，如果点E在AB的反向延长线上，点F在AB延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系是；对(1)(2)(3)三种情况的结论，请任选一个给予证明．15．操作：如图①，点O为线段MN的中点，直线PQ与MN相交于点O，请利用图①画出一对以点O为对称中心的全等三角形.根据上述操作得到的经验完成下列探究活动：探究一：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE＝∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F.试探究线段AB与AF、CF之间的等量关系，并证明你的结论；探究二：如图③，DE、BC相交于点E，BA交DE于点A，且BE：EC＝1：2，∠BAE＝∠EDF，CF∥AB.若AB＝5，CF＝1，求DF的长度.DCACGEFHB图1ACEGBHF图2EGACBHF图3AOBDQPRPNMQO图①。
22-6 三角形、梯形的中位线
第22章 四边形第三节 梯形§22.6三角形、梯形的中位线知识概要1.三角形的中位线 联结三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
2.梯形的中位线线联结梯形两腰的中点的线段叫做梯形的中位线。
梯形的中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
经典题型精析(一)三角形中位线定理例1.(1)如图，在梯形ABCD 中，BC AD //，E 和F 分别是AC BD ,的中点，若10=BC ，6=AD ，则线段EF 的长为 ( )A .8B .5C .3D .2(2)如图，ABC ∆周长为26，点E D 、都在边BC 上，ABC ∠的平分线垂直于AE ，垂足为Q ，ACB ∠平分线垂直于AD ，垂足为P ，若10=BC ，则PQ 的长为( )A .3B .4C .25D .23例2.如图，点H G F E 、、、分别是四边形ABCD 的四条边DA CD BC AB 、、、的中点，那么四边形EFGH 是什么形状的?请说明你的理由。
随堂练习：已知：如图，在ABC ∆中，C B ∠=∠2，BC AD ⊥于点D ，M 为BC 中点。
求证：AB DM 21=。
例3.已知：如图，在四边形ABCD 中，BD AC =，点N M 、分别是边BC AD 、的中点。
联结MN 分别交BD AC 、于点G F 、，BD AC 、交于点E 。
随堂练习：已知：如图，在ABC ∆中，G D 、分别是边AC AB 、上的点，且CG BD =，点N M 、分别是CD BG 、的中点，过N M 、的直线交AB 于点P ，交AC 于点Q 。
求证：AQ AP =。
例4.如图：正方形ABCD 两条对角线相交于点O ，CAB ∠的平分线AE 交BO 于点E ，交BC 于点F 。
若24=EO ，求FC 的长度。
随堂练习：如图，BD 平分ABC ∠，BD AC ⊥于点D ，点E 在BC 的延长线上，点F 是AE 的中点。
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2、叙述一下三角形中位线定理。 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一 半. C
D E
A
AB 2
1、什么叫做梯形的中位线？ 连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线 2、叙述一下梯形中位线定理。 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和 的一半.
3、三角形，梯形中位线性质的应用.
驶向胜利的彼岸
例题：在梯形ABCD中，AD//BC, 4 A E,F分别是AB,CD的中点。AD=3， 4 D 2 2 2 4 P3 3 F BC=5. E 1 P G 3 1 B C拓展1：若EF与对角线BD相 交于 G, 求 EG 的长度。 方案一 方案二 方案三
P EG是三角形ABD的中位线吗？ 怎样证明G是BD的中点呢？你有什么好的想法？
A D F E
E , F分别为AB, DC的中点， 1 EF // AD // BC, 且EF ( AD BC). 2
B
C
A E B
1
3
D F
例题：在梯形ABCD中，AD//BC, E,F分别是AB,CD的中点。AD=3， BC=5. 拓展 1：若 EF与对角线BD相交于 （ 1）求 EF的长度。 C G,求EG的长度。 （2）连结BD，若BD平分∠ABC, 则AB的长度是多少？
1 1 所 以 ： EH BC, EG AD, 2 2 1 1 1 所 以 ： GH EH EG BC AD (BC AD). 2 2 2
所 以 ： EH为 Δ ABC 的 中 位 线 ， EG为 Δ BD的 A 中位线。
A E G 2
4 1
B
方案一
例题：在梯形ABCD中，AD//BC, D E,F 3 G,H分别是 分别为AB,CD BD,AC的中点。 的中点 AC,BD 连结 AG交 BC于 点 , P 解： 分别交 EF于 H,G. 为 ： AD//BC, 所以： 3 AB,CD 4. H F 因 思考：把上题中 E,F 为 中 因 为 ： G是 BD中 点 ， 所 以 ： DG BG. 点改为G,H为BD,AC的中点，则 1 3 4， GH ( BC C 在结论 P AD ) 还成立吗？ Δ AGD和 Δ PGB DG BG, 2中，
例题：在梯形ABCD中，AD//BC, E,F分别是AB,CD的中点。AD=3， BC=5.
例题：在梯形ABCD中，AD//BC, E,F分别是AB,CD的中点。AD=3， D A 1P 3 BC=5. 3 E P G1 H 2 F P 拓展2：连结AC,与EF交与 4 点H,你能求出哪些线段的 B C 长？ 方案一 GF=2.5.
方案二
1 2.
所 以 ： Δ AGD ≌ Δ PGB 所 以 ： AD BP, AG PG.
所 以 ： GH为 Δ ABC 的中位线。 1 1 1 所 以 ： GH PC (BC BP) (BC AD) 2 2 2
1、利用化归思想将未知转化为已知;
2、学会添加辅助线,使用转化的思想 方法解决问题。
方案二 方案三
HF=1.5
GH=1
A E B G H
D
例题：在梯形ABCD中，AD//BC, E,F分别是AB,CD的中点。AD=3，
F
BC=5. 拓展3：连结AC,BD，分别交 AD=3 ， C E,F为H,G.若去掉条件 1 BC=5，试证明 GH ( BC AD )
2
解： 由 上面问题易 得 ， H为 AC中 点 ， G为 BD中 点 ，
G 2
等角对等边
解题过程
A E B
1 2
3
G
例题：在梯形ABCD中，AD//BC, E,F分别是AB,CD的中点。AD=3，BC=5. D （2）连结BD，若BD平分∠ABC, F 则AB的长度是多少？ C 解： 因 为 ： AD//BC
所以： 2 3 因 为 ： BD平 分 ABC 所以： 1 2 所以： 1 3 所 以 ： AB AD 3
A 4 D 2 E3 1 G P F 过 点 D作 AB的 平 行 线 交 EF于 点 P, B C因 为 ： AD//EF, DP//AB, 所 以 ： 四 边 形 AEPD 是平行四边形 解：
（ 理 由 ： 两 组 对 边 分平 别行 的 四 边 形 是 平 行边 四形。) 所 以 ： DP AE, 而 AE BE所 以 ： DP BE 又 因 为 ： DP//AB ,所 以 ： 4 3. 在 Δ BGE和 Δ DGP 中， 1 2， 所 以 ： Δ BGE ≌ Δ DGF所 以 ： BG DG 3 4， BE DP 所 以 ： EG为 Δ ABD 的中位线 1 1 3 所 以 ： EG AD 3 2 2 2