二次根式专题训练 (完整版)
完整版)最简二次根式练习含答案
完整版)最简二次根式练习含答案最简二次根式基础练一、填空题：1.把下列二次根式化成最简二次根式。
1) $\sqrt{120}=\sqrt{4\times30}=2\sqrt{30}$；2) $\sqrt{27}=\sqrt{9\times3}=3\sqrt{3}$；3)$\sqrt{\frac{1}{8}}=\sqrt{\frac{1}{2}\times\frac{1}{4}}=\frac{1 }{2}\sqrt{2}$；4)$\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{2}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；5) $\sqrt{84}=\sqrt{4\times21}=2\sqrt{21}$；6) $\sqrt{250}=\sqrt{25\times10}=5\sqrt{10}$；7) $\sqrt{\frac{24}{8}}=\sqrt{3}$；8) $\sqrt{\frac{8}{32}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$。
2.若$\sqrt{3}\approx1.732$，则$\sqrt{227}\approx15.0$（保留三个有效数字）。
3.设$x<0$，则$\sqrt{-8x}=2i\sqrt{2}\sqrt{-x}$。
4.下列二次根式$45a$，$30$，$\frac{1}{2}$，$40b^2$，$\sqrt{54}$中是最简二次根式有$30$，$\frac{1}{2}$，$\sqrt{54}=3\sqrt{6}$。
二、选择题1.在二次根式$\sqrt{72}$，$5a\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$，$9\sqrt{x^2}$中，最简二次根式的个数是（C）3个。
2.下列各式中是最简二次根式的是（A）$\sqrt{5}$。
3.下列各式中，不是最简二次根式的是（A）$\sqrt{6}$。
4.下列计算中正确的是（A）$\frac{1}{2}$。
二次根式专题训练。(完整版)
二次根式专题训练。
(完整版)二次根式专题训练一、最简二次根式：满足以下两个条件的二次根式是最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含开得尽方的因数或因式。
例1：下列根式中最简二次根式的个数有（）3xy^2.y^2ab。
22/33.5(a-b)。
75xy。
x+y。
2x。
5c^2/2A。
2个 B。
3个 C。
4个 D。
5个二、同类二次根式：含有相同最简二次根式的一类二次根式。
例2：下列根式中，与3是同类二次根式的是（）A。
24 B。
12 C。
3 D。
18例3：如果最简二次根式3a-8与17-2a是同类二次根式，则a=_____三、二次根式a的双重非负性质：①被开方数a是非负数，即a≥0②二次根式a是非负数，即a≥0例4.要使(3-x+1)/(2x-1)有意义，则x应满足（）．A。
≤x≤3 B。
x≤3且x≠ C。
＜x＜3 D。
＜x≤3例5.（1）化简x-1+1-x=_______．2)若x-1-1-x=(x+y)^2，则x－y的值为()A。
-1 B。
1 C。
2 D。
3例6.(1)若a、b为实数，且满足|a-2|-b^2=0，则b-a的值为( )A。
2 B。
-2 C。
0 D。
以上都不是2)已知x,y是实数，且(x+y-1)与2x-y+4互为相反数，求实数y的负倒数。
四、二次根式的运算常考公式：⑴a×b=a×b(a,b≥0)⑵a/b=a/(a≥0,b>0)⑶a^2=a=a(-a)⑷(a)^2=a(a≥0)例7.(1)下列运算正确的是（）．A。
6/a^2=3a^2 B。
-2√3=(-2)^2×3C。
a^1/a=a D。
18-8=22)下列各式计算正确的是（）．A。
m^2×m^3=m^6 B。
16^(1/4)=16×(1/3) C。
32+3√3=2+3 D。
(a-1)/(a+1)=(a-1)/(a+1) 3)下列等式成立的是（）1/(1-a)=-1/(1-a)^2=-1-a/(1-a)A、a^2+b^2=a+bB、a-b=-ab/aC、a/a=1D、-a^2b^2=-ab/b^2例8．（1）若a<0，化简a-3-a^2=______.2）若整数m满足条件(m+1)^2=m+1且m<25，则m的值是．。
二次根式(31题)(解析版)
二次根式一、单选题【答案】D【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x 的取值范围即可．【详解】解：由题意得，x －1≥0，解得x≥1．故选：D ．【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握要使二次根式有意义，其被开方数应为非负数． ． ． ．． 【答案】C【分析】根据被开方数大于等于0x 的取值范围，然后在数轴上表示即可得解．【详解】解：根据题意得，10x −≥，解得1x ≤，在数轴上表示如下：故选：C ．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，不等式的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，理解二次根式有意义的条件是解题关键．【答案】D【分析】根据零指数幂，二次根式的加法以及二次根式的性质，二次根式的混合运算进行计算即可求解．【详解】解：A. )1=，故该选项不正确，不符合题意；B. =C.=D.)26=−故选：D ．【点睛】本题考查了零指数幂，二次根式的加法以及二次根式的性质，二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．【答案】D【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得到不等式组，解不等式组即可得到答案．【详解】解：∵代数式有意义， ∴020x x ≥⎧⎨−≠⎩，解得0x ≥且2x ≠，故选：D.【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键．【答案】B【分析】根据二次根式的混合运算进行计算，进而估算无理数的大小即可求解．【详解】解：k ⋅)53−=∵22.5=6.25，23=9∴532<<,∴与k 最接近的整数为3，故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．【答案】A【分析】把a b ==【详解】解：∵a b ==∴2=，故选：A ．【点睛】本题考查了求二次根式的值，掌握二次根式的乘方和乘除运算是解题的关键．【答案】B【分析】先根据特殊角的三角函数值进行化简，再进行二次根式的加法运算即可．【详解】解：sin 45︒== 故选：B ．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值和二次根式的加法运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．【答案】B【分析】根据二次根式的加减运算进行计算，然后估算即可求解． 【详解】解：m ===−∵<∴54−<−<−，即54m −<<−，故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，无理数的估算，正确的计算是解题的关键．【答案】D【分析】根据二次根式有意义的条件得出不等式组，再解不等式组即可得出结果． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，得000a b ab ≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，0,0a b ∴≥≥， 故选：D ．【点睛】二次根式有意义的条件，及解不等式组，掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是本题的关键．【答案】C【分析】根据同类二次根式的定义，逐个进行判断即可．【详解】解：A2BCD =不是同类二次根式，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式；最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．【答案】D【分析】根据二次根式有意义的条件即可求解．【详解】解：∴40a −≥，解得：4a ≥，则a 的值可以是6 故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．二、填空题【答案】4x ≥【详解】根据题意得：40x −≥，解得：4x ≥，故答案为：4x ≥．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义需被开方数大于等于0是解题的关键．【答案】5x ≥−且0x ≠/0x ≠且5x ≥−【分析】根据分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，列出不等式计算即可．【详解】∵式子有意义， ∴50x +≥且0x ≠，∴5x ≥−且0x ≠，故答案为：5x ≥−且0x ≠．【点睛】本题考查了分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键．【答案】1x >且2x ≠【分析】根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件得出10,20x x −>−≠，即可求解．【详解】解：依题意，10,20x x −>−≠∴1x >且2x ≠，故答案为：1x >且2x ≠．【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，熟练掌握分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是解题的关键．【答案】3x ≥−【详解】解：由题意得，30x +≥，解得3x ≥−．故答案为：3x ≥−.【答案】6【分析】利用二次根式的乘法法则进行求解即可．6==．故答案为：6．【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法法则和二次根式的性质是解题的关键．【答案】3【分析】先利用二次根式的性质化简，再计算括号内的减法，然后计算二次根式的除法即可．【详解】解：3⎛=⎝⎭(==3=.故答案为：3．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．【答案】3x>【分析】根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件计算即可．【详解】∴3030x x−−≠≥，且，解得x3＞，故答案为：x3＞．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是解题的关键．【答案】88m要是完全平方数，据此求解即可【详解】解：∴8m要是完全平方数，∴正整数m的值可以为8，即864m=8==，故答案为：8（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，正确理解题意得到8m要是完全平方数是解题的关键．【答案】故答案为：【答案】1=− 【分析】此题用平方差公式计算即可.【详解】22=−23=−1=− 故答案为：1=−.【答案】1 【分析】根据平方差公式，二次根式的性质及运算法则处理．【详解】解：22761=−=−=故答案为：1. 【点睛】本题考查平方差公式、二次根式性质及运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键．【答案】1（答案不唯一）【分析】根据二次根式有意义的条件，可得当30x −<【详解】解：当30x −<3x <，x 为正整数，x ∴可取1，2，故答案为：1．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知根号下的式子小于零时，二次根式无意义，是解题的关键．【答案】1x ≥−【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解即可．【详解】解：根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式得：x+1≥0，解得x≥﹣1． 故答案为x≥﹣1．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，比较简单．【答案】18【分析】根据二次根式的性质，等式两边平方，解方程即可．【详解】解：根据题意得，140x −≥，即14x ≥2，等式两边分别平方，144x −=移项，18x =，符合题意，故答案为：18．【点睛】本题主要考查二次根式与方程的综合，掌握含二次根式的方程的解法是解题的关键．【答案】9x ≥【分析】根据二次根式有意义的条件得出90x −≥，即可求解．【详解】解：∵∴90x −≥，解得：9x ≥，故答案为：9x ≥．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．【分析】根据二次根式的性质即可求解．【详解】解：2=5 故答案为：5．【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．三、解答题【答案】4【分析】先化简二次根式，绝对值，计算零次幂，再合并即可.【详解】解：()10220231+−−2113=++211+ 4=.【点睛】本题考查的是二次根式的加减运算，化简绝对值，零次幂的含义，掌握运算法则是解本题的关键.【答案】4 【分析】根据有理数乘方、特殊角三角函数值、负整数指数幂、零指数幂结合二次根式的混合运算法则进行计算即可．【详解】解：2202301(1)3tan 30(3)2|2π−⎛⎫−++−−+ ⎪︒⎝⎭ 14312=−+++1412=−++4=．【点睛】本题考查了有理数乘方、特殊角三角函数值、负整数指数幂、零指数幂以及二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．【答案】6−【分析】根据立方根、负整数指数幂及二次根式的运算可进行求解．【详解】解：原式2293=−6=−．【点睛】本题主要考查立方根、负整数指数幂及二次根式的运算，熟练掌握立方根、负整数指数幂及二次根式的运算是解题的关键．【答案】【分析】利用二次根式的混合运算法则计算即可．===【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解答本题的关键．。
二次根式练习10套(附答案)
二次根式练习01一、填空题1、下列和数1415926.3)1( .3.0)2(722)3( 2)4( 38)5(-2)6(π...3030030003.0)7(其中无理数有________，有理数有________（填序号） 2、94的平方根________，216.0的立方根________。
3、16的平方根________，64的立方根________。
4、算术平方根等于它本身的数有________，立方根等于本身的数有________。
5、若2562=x ，则=x ________，若2163-=x ，则=x ________。
6、已知ABC Rt ∆两边为3，4，则第三边长________。
7、若三角形三边之比为3：4：5，周长为24，则三角形面积________。
8、已知三角形三边长n n n n n n ,122,22,1222++++为正整数，则此三角形是________三角形。
9、如果0)6(42=++-y x ，则=+y x ________。
10、如果12-a 和a -5是一个数m 的平方根，则.__________,==m a11、三角形三边分别为8，15，17，那么最长边上的高为________。
12、直角三角形三角形两直角边长为3和4，三角形内一点到各边距离相等，那么这个距离为________。
二、选择题13、下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是（ ）A. 25,24,6===c b aB. 5.2,2,5.1===c b aC.45,2,32===c b a D. 17,8,15===c b a14、小强量得家里彩电荧屏的长为cm 58，宽为cm 46，则这台电视机尺寸是（ ）A. 9英寸（cm 23）B. 21英寸（cm 54）C. 29英寸（cm 74）D .34英寸（cm 87）15、等腰三角形腰长cm 10，底边cm 16，则面积（ ）A.296cmB. 248cmC. 224cmD. 232cm16、三角形三边c b a ,,满足ab c b a 2)(22+=+，则这个三角形是（ ）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形17、2)6(-的平方根是（ ）A .6-B .36C. ±6D. 6±18、下列命题正确的个数有：a a a a ==233)2(,)1(（3）无限小数都是无理数（4）有限小数都是有理数（5）实数分为正实数和岁实数两类（ ） A .1个B. 2个C .3个D.4个19、x 是2)9(-的平方根，y 是64的立方根，则=+y x （ ）A. 3B. 7C.3，7D. 1，720、直角三角形边长度为5，12，则斜边上的高（ ） A. 6B. 8C.1318 D.1360 21、直角三角形边长为b a ,，斜边上高为h ，则下列各式总能成立的是（ ）A. 2h ab =B. 2222h b a =+C.h b a 111=+ D.222111hb a =+ 22、如图一直角三角形纸片，两直角边cm BC cm AC 8,6==，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ） A.cm 2B.cm 3C.cm 4D.cm 5三、计算题23、求下列各式中x 的值:04916)1(2=-x25)1)(2(2=-x8)2)(3(3-=x27)3()4(3=--x24、用计算器计算:（结果保留3个有效数字）15)1(315)2(π-6)3( 2332)4(-四、作图题25、在数轴上画出8-的点。
二次根式计算专题训练(附答案)
二次根式计算专题训练一、解答题（共30 小题）1．计算：（1）+；（2）（+）+（﹣）．2．计算：（1）（π﹣3.14）0+| ﹣2| ﹣+（）-2．（2）﹣4﹣（﹣）．（3）（ x﹣ 3）（3﹣x）﹣（ x﹣ 2）2．3．计算化简：（1）++ （2）2﹣6 +3．4．计算（1）+﹣（2）÷×．5．计算：（1）×+3×2（2）2﹣6+3．6．计算：（1）（）2﹣20+|﹣|（2）（﹣）×（3）2﹣3+；（4）（7+4）（2﹣）2+（2+）（2﹣）7．计算（1）?（a≥0）（2）÷（3）+﹣﹣（4）（3+）（﹣）8．计算：：（1）+﹣（2）3+（﹣）+÷．9．计算（1）﹣4+÷（2）（1﹣）（1+）+（1+）2．10．计算：（1）﹣4+（2）+2﹣（﹣）（3）（ 2 +）（2﹣）；（4）+﹣（﹣1）0．11．计算：（1）（3+﹣4）÷（2）+9﹣2x2．12．计算：①4+﹣+4；②（ 7+4 ）（ 7﹣ 4 ）﹣（ 3 ﹣1）2．13．计算题（1）××（2）﹣+2（3）（﹣ 1﹣）（﹣+1）（4）÷（﹣）（5）÷﹣×+（6）．．已知：a=，b= ，求2+3ab+b2 的值．14 a15．已知 x， y 都是有理数，并且满足，求的值．16．化简：﹣a．17．计算：（1）9 +5﹣3；（2）2；（3）（）2016（﹣）2015．18．计算：．19．已知 y=+﹣4，计算x﹣y2的值．20．已知： a、 b、 c 是△ ABC的三边长，化简．21．已知 1＜ x＜5，化简：﹣| x﹣5|．22．观察下列等式：①= = ；②= = ；③= = ⋯⋯⋯回答下列问题：（1）利用你观察到的规律，化简：（2）计算：+++⋯+．23．观察下面的变形规律：= ，= ，= ，= ，⋯解答下面的问题：（1）若n 为正整数，请你猜想= ；（2）计算：（+ +⋯+ ）×（）24．阅读下面的材料，并解答后面的问题：= = ﹣1= =﹣；= =﹣（1）观察上面的等式，请直接写出（2）计算（）（）= （n 为正整数）的结果；；（3）请利用上面的规律及解法计算：（+++⋯+）（）．25．计算：（1）6﹣2﹣3（2）4+﹣+4．26．计算（1）|﹣2|﹣+2（2）﹣×+．27．计算．28．计算（1）9 +7﹣5+2（2）（2﹣1）（2+1）﹣（ 1﹣2）2．29．计算下列各题．（1）（﹣）×+3（2）﹣×．30．计算（1）9 +7﹣5+2（2）（﹣1）（+1）﹣（ 1﹣2）2《二次根式计算专题训练》参考答案与试题解析一．解答题（共 30 小题）1．计算：（ 1） += 2 +5=7；（2）（+）+（﹣=4+2+2﹣ =6+．2．计算：（ 1）（π﹣3.14） 0+|﹣2| ﹣+（ ）﹣2 ﹣ ﹣4 +9=1+2=12﹣5；（ 2）﹣4 ﹣（ ﹣ ）=2 ﹣4× ﹣ +2=+（ 3）（x ﹣3）（ 3﹣ x ）﹣（ x ﹣2）2 =﹣x 2+6x ﹣ 9﹣（ x 2﹣4x+4）=﹣2x 2+10x ﹣133．计算化简： （1）++ =2 +3 +2=5+2；（2）2﹣6 +3= 2×2 ﹣6× +3×4 = 144．计算（ 1） +﹣= 2 +4 ﹣2= 6 ﹣ 2．（2）÷×=2 ÷3 ×3= 2 ．5．计算：（ 1） × +3×2 = 7 +30= 37 （2）2﹣ 6+3= 4 ﹣2+12= 146．计算：（ 1）（）2﹣20+| ﹣ | = 3﹣1+ =（2）（﹣）× （ 3﹣）×= 24=（3）2﹣ 3+= 4﹣12 +5 ﹣+5= 8（4）（7+4 ）（2﹣ ）2+（2+）（2﹣ ）（2+ ） 2（2﹣ ）2+（2+）（2﹣ ） =1+1=2=7．计算（ 1） ? （a ≥0）== 6a（ 2） ÷==（3）+﹣ ﹣=2 +3 ﹣2 ﹣4=2 ﹣3 （4）（3+）（ ﹣ ）=3 ﹣3 +2 ﹣5 ﹣﹣= 28．计算：（ 1） +﹣= +3 ﹣2 =2 ；（2）3 +（﹣）+ ÷=+﹣2+ = ．9．计算：（1）﹣4+÷=3﹣2+=3﹣2+2=3；（2）（1﹣）（1+ ）+（1+ ）2 =1﹣ 5+1+2 +5 =2+2 ．10．计算：（1）﹣4 + =3 ﹣ 2 + =2 ；（ 2）+2 ﹣（﹣）=2 +2 ﹣ 3 + =3 ﹣；（3）（2 + ）（2 ﹣）=12﹣6 =6；（ 4）+ ﹣（﹣1）0 = +1+3 ﹣1 =4 ．11．计算：（1）（3 + ﹣4 ）÷=4 +3 ﹣2x2×=（9 + ﹣ 2 ）÷ 4=8 ÷4=7 ﹣2=2；=5 ．（2）+9 ﹣ 2x2?12．计算：①4 + ﹣+4 =4 +3 ﹣2 +4 =7 +2 ；②（ 7+4 ）（7﹣4 ）﹣（ 3 ﹣1）2 ﹣﹣（﹣6 ）﹣45+6．=49 48 45+1 = 13．计算题（1）××= = =2×3×5 =30；（2）﹣+2 =×4 ﹣2 +2×=2 ﹣2 + = ；（3）（﹣ 1﹣）（﹣+1）=﹣（ 1+ ）（1﹣） =﹣（ 1﹣5） =4；（4）÷（﹣）=2 ÷（﹣）=2 ÷=12；（5）÷﹣×+ =4 ÷﹣+2 =4+ ；（6）= = = ．．已知：a= ， b= ，求2+3ab+b2 的值．14 a解： a= =2+ ，b= 2﹣，则 a+b=4， ab=1，a2+3ab+b2=（ a+b）2 +ab=17．15．已知x， y 都是有理数，并且满足，求的值．【分析】观察式子，需求出x，y 的值，因此，将已知等式变形：，x，y 都是有理数，可得，求解并使原式有意义即可．【解答】解：∵，∴．∵x，y 都是有理数，∴ x2+2y﹣17 与 y+4 也是有理数，∴解得∵有意义的条件是x≥ y，∴取 x=5，y=﹣ 4，∴．【点评】此类问题求解，或是转换式子，求出各个未知数的值，然后代入求解．或是将所求式子转化为已知值的式子，然后整体代入求解．16．化简：﹣a．【分析】分别求出=﹣ a ，=﹣，代入合并即可．【解答】解：原式 =﹣ a+=（﹣ a+1）．【点评】本题考查了二次根式性质的应用当a≥0 时，=a，当a≤0 时，=﹣ a．17．计算：（1）9+5 ﹣ 3 = 9 +10 ﹣12 = 7 ；（2）2 = 2×2×2×= ；（3）（）2016（﹣）2015．=[ （+）（﹣）] 2015?（+）=（ 5﹣ 6）2015?（+）=﹣（+）=﹣﹣．18．计算：．解：原式 =+（）2﹣2+1﹣+=3+3﹣2 +1﹣2+=4﹣．19．已知 y=+﹣4，计算x﹣y2的值．【分析】根据二次根式有意义的条件可得：，解不等式组可得x 的值，进而可求出 y 的值，然后代入 x﹣y2求值即可．【解答】解：由题意得：，解得：x=，把 x=代入y=+﹣4，得y=﹣4，当 x=，y=﹣4时x﹣y2=﹣16=﹣14．20．已知： a、 b、 c 是△ ABC的三边长，化简．【解】解：∵ a、b、 c 是△ ABC的三边长，∴ a+b＞c， b+c＞a，b+a＞c，∴原式 =| a+b+c| ﹣ | b+c﹣a|+| c﹣b﹣a|=a+b+c﹣（ b+c﹣a） +（ b+a﹣c）=a+b+c﹣b﹣c+a+b+a﹣c=3a+b﹣ c．21．已知 1＜ x＜ 5，化简：﹣| x﹣5|．解：∵ 1＜ x＜ 5，∴原式 =| x﹣1| ﹣| x﹣ 5| =（ x﹣1）﹣（ 5﹣x）= 2x﹣6．22．观察下列等式：①==；②==；③==⋯回答下列问题：（1）利用你观察到的规律，化简：（2）计算：+++⋯+．【分析】（1）根据观察，可发现规律；=，根据规律，可得答案；（2）根据二次根式的性质，分子分母都乘以分母两个数的差，可分母有理化．【解答】解：（ 1）原式 = = ；）（2）原式 = + + +⋯+=（﹣1）．23 ．观察下面的变形规律：=，=，=，=，⋯解答下面的问题：（ 1）若 n 为正整数，请你猜想= ﹣；（ 2）计算：（+ +⋯+ ）×（）解：原式 =[（﹣1）+（﹣）+（﹣）+⋯+（﹣）]（+1）=（﹣1）（+1）=（）2﹣12=﹣．2016 1 = 201524．阅读下面的材料，并解答后面的问题：= = ﹣ 1= = ﹣；= = ﹣（1）观察上面的等式，请直接写出（n 为正整数）的结果﹣；（2）计算（）（）= 1 ；（3）请利用上面的规律及解法计算：（+ + +⋯+ ）（）．=（﹣ 1+ ﹣+⋯+ ﹣）（）=（﹣1）（+1）=2017﹣1=2016．25．计算：（1）6﹣2 ﹣3 = 6﹣5 = 6﹣；（2）4 +﹣+4 =4 +3 ﹣2 +4 =7+2．26．计算（ 1） | ﹣2| ﹣+2 = 2﹣﹣2+2 = ；（ 2）﹣×+= ﹣×5+ =﹣1+﹣．=27．计算．=（ 10 ﹣ 6 +4 ）÷=（ 10 ﹣6 +4 ）÷=（ 40 ﹣18 +8 ）÷=30÷=15．28．计算（ 1）9 +7﹣5+2= 9 +14﹣20+=；（2）（2 ﹣1）（2 +1）﹣（1﹣2 ）2 = 12﹣1﹣1+4 ﹣12 = 4 ﹣2．29．计算下列各题．（1）（﹣）×+3 = ﹣+ =6﹣6 +=6﹣5 ；（ 2）﹣×= +1﹣= 2 +1﹣2 ．30．计算（1）9 +7﹣5+2 = 9 +14 ﹣20 + = ；（2）（﹣1）（ +1）﹣（ 1﹣2 ）2 =3﹣1﹣（ 1+12﹣ 4 ）=2﹣13+4=﹣11+4．单纯的课本内容，并不能满足学生的需要，通过补充，达到内容的完善教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。
(完整)八年级二次根式综合练习题及答案解析.docx
填空题1. 使式子x 4 有意义的条件是。
【答案】x≥4【分析】二次根号内的数必须大于等于零，所以x-4≥ 0，解得x≥ 4 2. 当__________时，x 2 1 2 x 有意义。
【答案】 -2≤x≤12【分析】 x+2≥ 0， 1-2x≥ 0 解得 x≥－ 2， x≤1123. 若m有意义，则 m 的取值范围是。
m 1【答案】 m≤0且m≠﹣1【分析】﹣ m≥0 解得 m≤ 0，因为分母不能为零，所以m＋1≠ 0 解得 m≠﹣ 14.当 x __________ 时， 1 x 2 是二次根式。
【答案】 x 为任意实数【分析】﹙1－ x﹚2是恒大于等于0 的，不论 x 的取值，都恒大于等于0，所以 x 为任意实数5.在实数范围内分解因式： x49 __________, x2 2 2x 2__________ 。
【答案】﹙x 2＋ 3﹚﹙ x＋3﹚﹙ x－3﹚，﹙ x－ 2 ﹚2【分析】运用两次平方差公式：x 4－ 9＝﹙ x 2＋ 3﹚﹙ x 2－3﹚＝﹙ x 2＋ 3﹚﹙ x＋ 3 ﹚﹙x － 3 ﹚，运用完全平方差公式：x 2－ 2 2 x＋ 2＝﹙ x－ 2 ﹚26.若 4 x22x ，则 x 的取值范围是。
【答案】 x≥0【分析】二次根式开根号以后得到的数是正数，所以2x≥ 0，解得 x≥07.已知x22 x ，则x的取值范围是。
2【答案】 x≤2【分析】二次根式开根号以后得到的数是正数，所以2－ x≥0，解得 x≤ 2 8.化简： x2 2 x 1 x p 1的结果是。
【答案】 1－x【分析】x2 2 x 1 ＝(x1)22，因为 x 1 ≥0，x＜1所以结果为1－x9.当1x p5时，x2x 5 _____________ 。
1【答案】 4【分析】因为 x≥1 所以x 1 2＝ x 1，因为x＜5所以x－5的绝对值为5－x，x－ 1＋5－ x＝ 410.把 a1的根号外的因式移到根号内等于。
(完整版)二次根式训练经典题目汇总
二次根式的混合运算二次根式的运算知识点及经典试题知识点一：二次根式的乘法法则：，即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.要点诠释：(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数)(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：(3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.知识点二、积的算术平方根的性质，即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.要点诠释：21．在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了；(2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面.（3）作用：积的算术平方根的性质对二次根式化简（4）步骤：①对被开方数分解因数或分解因式，结果写成平方因式乘以非平方因式②利用积的算术平方根的性质③利用（一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值）即被开方数中的一些因式移到根号外④被开方数中每个因数指数都要小雨2（5）被开方数是整数或整式可用积的算术平方根的性质对二次根式化简知识点三、二次根式的除法法则：，即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.要点诠释：（3）在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，其中，因为b在分母上，故b不能为0.(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.知识点四、商的算术平方根的性质，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.要点诠释：（1）利用：运用次性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题.（2）步骤①利用商的算术平方根的性质②分别对a，b利用积的算术平方根的性质化简③分母不能有根号，如果分母有根号要分母有理化（3）被开方数是分数或分式可用商的算术平方根的性质对二次根式化简知识点五：最简二次根式1.定义：当二次根式满足以下两条：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.把符合这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.在二次根式的运算中，最后的结果必须化为最简二次根式或有理式.要点诠释：(1)最简二次根式中被开方数不含分母；(2)最简二次根式被开方数中每一个因数或因式的次数都小于根指数2，即每个因数或因式从次数只能为1次.2.把二次根式化成最简二次根式的一般步骤：(1)把根号下的代分数或绝对值大于1的数化成假分数，把绝对值小于1的小数化成分数；(2)被开方数是多项式的要进行因式分解；(3)使被开方数不含分母；(4)将被开方数中能开得尽方的因数或因式，用它们的算术平方根代替后移到根号外；(5)化去分母中的根号；(6)约分.3.把一个二次根式化简，应根据被开方数的不同形式，采取不同的变形方法.实际上只是做两件事：一是化去被开方数中的分母或小数；二是使被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.知识点六、同类二次根式1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.要点诠释：(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.2.合并同类二次根式合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)要点诠释：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式；(3)不是同类二次根式，不能合并知识点七、二次根式的加减二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.二次根式加减运算的步骤：(1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；(2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；(3)合并同类二次根式.知识点八、二次根式的混合运算二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.要点诠释：(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式混合运算的结果应写成最简形式，这个形式应是最简二次根式，或几个非同类最简二次式之和或差，或是有理式.规律方法指导二次根式的运算，主要研究二次根式的乘除和加减.(1)二次根式的乘除，只需将被开方数进行乘除，其依据是：；；(2)二次根式的加减类似于整式的加减，关键是合并同类二次根式.通常应先将二次根式化简，再把同类二次根式合并.二次根式运算的结果应尽可能化简.经典例题透析类型一、二次根式的乘除运算1、计算(1)×；(2)×；(3)×；(4)×.解：(1)×=；(2)×==；(3)×==9；(4)×==.2、计算：(1)；(2)；(3)；(4).思路点拨：直接利用便可直接得出答案．解：(1)===2；(2)==×2=2；(3)===2；(4)===2.3、化简(1)；(2)；(3)；(4)；(5).思路点拨：利用直接化简即可．解：(1)=×=3×4=12；(2)=×=4×9=36；(3)=×=9×10=90；(4)=×=××=3xy (5)==×=3.举一反三【变式1】判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：(1)；(2)×=4××=4×=4=8.解：(1)不正确．改正：=＝×=2×3=6；(2)不正确改正：×=×===＝4.4、化简：(1)；(2)；(3)；(4).思路点拨：直接利用就可以达到化简之目的．解：(1)=(2)=(3)=；(4)=.举一反三【变式1】已知，且x为偶数，求(1+x)的值．思路点拨：式子=，只有a≥0，b＞0时才能成立．因此得到9-x≥0且x-6＞0，即6＜x≤9，又因为x为偶数，所以x=8．解：由题意得，即∴6＜x≤9，∵x为偶数，∴x=8∴原式=(1+x)=(1+x)=(1+x)=∴当x=8时，原式的值==6．5、计算(1)·(-)÷(m＞0，n＞0)；(2)-3÷()×(a＞0).解：(1)原式=-÷=-==-；(2)原式=-2=-2=- a.类型二、最简二次根式的判别6、下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？请说明理由.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7).思路点拨：判断一个二次根式是不是最简二次根式，就看它是否满足最简二次根式的两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；不满足其中任何一条的二次根式都不是最简二次根式.解：和都是最简二次根式，其余的都不是，理由如下：的被开方数是小数，能写成分数，含有分母；和的被开方数中都含有分母；和的被开方数中分别含有能开得尽方的因数和因式.总结升华：对于最简二次根式的判断，一定要把握其实质，既要注意其中的“似是而非”，还要注意其中的“似非而是”，特别象这样的式子，带有很大的隐蔽性，更应格外小心.7、把下列各式化成最简二次根式.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)思路点拨：把被开方数分解因数或分解因式，再利用积的算术平方根的性质及进行化简.解：(1) ；(2) ；(3) ；(4)；(5) .类型三、同类二次根式8、如果两个最简二次根式和是同类二次根式，那么a、b的值是( )A.a=2，b=1B.a=1，b=2C.a=1，b=-1D.a=1，b=1思路点拨：根据同类二次根式的识别方法，在最简二次根式的前提下，被开方数相同.解：根据题意，得解之，得，故选D.总结升华：同类二次根式必须满足两个条件：(1)根指数是2；(2)被开方数相同；由此可以得到关于a、b的二元一次方程组，此类问题都可如此.举一反三【变式1】下列根式中，能够与合并的是( ) A. B. C.D.思路点拨：首先要把不是最简二次根式的化成最简二次根式，然后比较它们的被开方数是否相同，如果相同，就能进行合并，反之，则不能合并.解：合并，故选B.总结升华：同类二次根式的判断，关键是能够熟练准确地化二次根式为最简二次根式.【变式2】若最简根式与根式是同类二次根式，求a、b的值．思路点拨：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；•事实上，根式不是最简二次根式，因此把化简成|b|·，才由同类二次根式的定义得3a-b=•2，2a-b+6=4a+3b．解：首先把根式化为最简二次根式：==|b|·由题意得，∴，∴a=1，b=1.类型四、二次根式的加减运算9、计算(1)+(2)-思路点拨：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．解：(1)+=2+3=(2+3)=5(2)-=4-8=(4-8)=-4总结升华：一定要注意二次根式的加减要做到先化简，再合并.举一反三【变式1】计算(1)3-9+3；(2)(+)+(-)；(3)；(4).解：(1)3-9+3=12-3+6=(12-3+6)=15；(2)(+)+(-)=++-=4+2+2-=6+；(3)(4)【变式2】已知≈2.236，求(-)-(+)的值．(结果精确到0.01)解：原式=4---=≈×2.236≈0.45.类型五、二次根式的混合运算10、计算:(1)(+)×(2)(4-3)÷2.思路点拨：二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运算规律．解：(1)(+)×=×+×=+=3+2；(2)(4-3)÷2=4÷2-3÷2=2-.11、计算(1)(+6)(3-)；(2)(+)(-).（3）()()200020013232______________-+=思路点拨：二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立． 解：(1)(+6)(3-)=3-()2+18-6=13-3；(2)(+)(-)=()2-()2=10-7=3.（3）略类型六、化简求值12、已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求(+y 2)-(x 2-5x )的值．思路点拨：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得(2x-1)2+(y-3)2=0，即x=，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，•再合并同类二次根式，最后代入求值． 解：4x 2+y 2-4x-6y+10=0 4x 2-4x+1+y 2-6y+9=0 ∴(2x-1)2+(y-3)2=0 ∴x=，y=3原式=+y 2-x 2+5x=2x +-x +5=x+6当x=，y=3时，原式=×+6=+3.举一反三【变式1】先化简，再求值．(6x +)-(4y +)，其中x=，y=27． 解：原式=6+3-(4+6)=(6+3-4-6)=-，当x=，y=27时，原式=-=-.【变式2】.已知2+1，求（22121x x x x x x +---+）÷1x 的值．类型七、二次根式的应用与探究13、一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，•现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？解：设底面正方形铁桶的底面边长为x，则x2×10=30×30×20，x2=30×30×2，x=×=30．答：铁桶的底面边长是30厘米.14、如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/•秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？(结果用最简二次根式表示)15、探究过程：观察下列各式及其验证过程．(1)2=验证：2=×====(2)3=验证：3=×====同理可得：45，……通过上述探究你能猜测出： a =_______(a ＞0)，并验证你的结论．解：a =验证：a ====.总结升华：解答此类问题的特点是根据题目给出的条件，寻找内在联系和一般规律，然后猜想所求问题的结果，有利于提高综合分析能力. 【变式1】对于题目“化简求值：1a 2212a a+-，其中a=15”，甲、乙两个学生的解答不同． 甲的解答是：1a 2212a a +-=1a 21()a a -1a +1a －a=2495a a -= 乙的解答是：1a 2212a a +-=1a 21()a a-1a +a －1a =a=15 谁的解答是错误的？为什么？跟踪练习21.1 二次根式：1. 使式子4x - 。
二次根式计算题 100 道
二次根式计算题 100 道一、化简类1、√82、√183、√274、√325、√506、√727、√988、√1289、√16210、√200二、计算类11、√2 ＋√812、√3 √1213、2√5 ＋3√2014、4√12 9√2715、√27 √7516、√48 ＋√1217、√18 √32 ＋√218、√24 √6 ＋3√819、2√12 6√1/3 ＋√4820、3√45 √125 ＋5√20三、乘法运算类21、√2 × √822、√3 × √1223、√5 × √2024、√6 × √3025、2√3 × 3√226、3√5 × 2√1027、4√2 × 5√828、5√6 × 6√329、√18 × √2430、√27 × √32四、除法运算类31、√8 ÷ √232、√18 ÷ √333、√24 ÷ √634、√48 ÷ √1235、√50 ÷ √536、√72 ÷ √837、√98 ÷ √738、√128 ÷ √1639、√162 ÷ √1840、√200 ÷ √20五、混合运算类41、（√5 ＋√3)（√5 √3)42、（√2 ＋ 3)（√2 1)43、（2√3 1)（2√3 ＋ 1)44、（3√2 ＋ 2)（3√2 2)45、（√5 2)²46、（√3 ＋ 1)²47、（2√5 3)²48、（4√2 ＋ 1)²49、√（2 √3)²50、√（3 √5)²六、分母有理化类51、 1/（√2 1)52、 1/（√3 √2)53、 2/（√5 ＋√3)54、 3/（√6 √5)55、 4/（√7 √6)56、 5/（√8 √7)57、 6/（√9 √8)58、 7/（√10 √9)59、 8/（√11 √10)60、 9/（√12 √11)七、含参数类61、已知 a ＝√2 ＋ 1，b ＝√2 1，求 a² b²62、若 x ＝ 2 ＋√3，y ＝2 √3，求 x²＋ y²63、设 m ＝√5 ＋ 2，n ＝√5 2，计算 m² n²64、已知 p ＝ 3 ＋√2，q ＝3 √2，求 p² 2pq ＋ q²65、当 a ＝√7 ＋ 2，b ＝√7 2 时，求（a ＋ b)²（a b)²66、若 x ＝√11 ＋ 3，y ＝√11 3，计算 xy67、给定 m ＝2√3 ＋ 1，n ＝2√3 1，求 m²n ＋ mn²68、设 a ＝ 4 ＋√15，b ＝4 √15，求 a²b ab²69、已知 c ＝ 5 ＋2√6，d ＝5 2√6，求 c²/d ＋ d²/c70、当 e ＝3√2 ＋ 1，f ＝3√2 1 时，求 ef/（e ＋ f)八、比较大小类71、√11 与√1372、√15 与 473、2√3 与3√274、√5 ＋ 1 与 375、2√7 3 与 276、√18 √12 与√10 √877、√20 ＋√5 与5√278、3√11 2√7 与4√3 √1979、√17 √13 与√11 √780、5√2 3√3 与4√3 2√2九、求值类81、已知 x ＝√3 ＋ 1，求 x² 2x ＋ 2 的值82、若 y ＝√5 2，求 y²＋ 4y ＋ 4 的值83、当 z ＝2√2 1 时，求 z²＋ 2z ＋ 1 的值84、已知 a ＝√7 ＋ 3，求 a² 6a 7 的值85、若 b ＝√10 1，求 b² 2b 1 的值86、当 c ＝3√3 ＋ 2 时，求 c² 4c 5 的值87、已知 d ＝4√2 3，求 d²＋ 6d ＋ 5 的值88、若 e ＝√13 2，求 e²＋ 4e ＋ 3 的值89、当 f ＝5√2 ＋ 1 时，求 f² 10f ＋ 26 的值90、已知 g ＝6√3 5，求 g² 12g ＋ 40 的值十、综合应用类91、一个直角三角形的两条直角边分别为√12 厘米和√27 厘米，求这个直角三角形的面积。
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二次根式专题训练
一．最简二次根式：
满足以下两个条件的二次根式是最简二次根式：①被开方数的因数是整
数，因式是整式；②被开方数中不含开得尽方的因数或因式。
例1：下列根式中最简二次根式的个数有（ ）
2
2x 、2ab 、53xy 、)(522b a -、3375y x 、22y x +、c y 22 A2个 B3个 C4个 D5个
二．同类二次根式：含有相同最简二次根式的一类二次根式。
例2：下列根式中，与3是同类二次根式的是（ ）
A 24
B 12
C 2
3 D 18 例3：如果最简二次根式83-a 与a 217-是同类二次根式，则=a _____
三．二次根式a 的双重非负性质：①被开方数a 是非负数，即0≥a
②二次根式a 是非负数，即0≥a
例4 . 要使1
213-+-x x 有意义，则x 应满足（ ）． A ．21≤x ≤3 B ．x ≤3且x ≠21 C ．21＜x ＜3 D ．2
1＜x ≤3 例5.（1）化简x x -+-11 ＝_______．
(2)x ＋y )2，则x －y 的值为( )
(A)－1． (B)1． (C)2． (D)3．
例6.(1)若a 、b 为实数，且满足│a －2│+2b -=0，则b －a 的值为( )
A ．2
B ．0
C ．－2
D ．以上都不是 (2)已知y x ,是实数，且2)1(-+y x 与42+-y x 互为相反数，求实数x y 的负倒数。
四．二次根式的运算
常考公式：⑴)0,(≥⋅=⋅b a b a b a
⑵)0,0(>≥=b a b
a b a
)0(≥a a
⑶a a =2=
)0(<-a a
⑷)0()(2≥=a a a
例7.(1)下列运算正确的是（ ）．
A ．=
B ．-=
C ．a =
D =（2）下列各式计算正确的是（ ）．
A ．m 2 · m 3 = m 6
B ．33
431163116=⋅= C ．53232333=+=+ D ．a a
a a a --=-⋅--=--111)1(11)
1(2 （3）下列等式成立的是（ ） b a b a A +=+22、 ab a
b a B --=-、 b
a b a C =、
ab b a D -=-22、
例8．（1）若a <0，化简3______.a -=
（2）若整数m 满足条件2)1(+m ＝1+m 且m ＜52
，则m 的值是 ．
（3）若1≤a ，则3)1(a -化简后为（ ）
1)1(--a a A a a B --1)1( a a C --1)1( 1)1(--a a D
五．二次根式值的大小比较
例9.（1）215-与5.0的大小关系是2
15-____5.0(填“>”、“<”或“=”) （2）下列各数与7最接近的是（ ）
A 5.2
B 6.2
C 7.2
D 8.2
例10.（1）设23-=a ，32-=b ，25-=c ，则c b a ,,的大小关系是（ ）
A c b a >>
B b c a >>
C a b c >>
D a c b >>
（2）若[]x 表示不超过x 的最大整数（如[]3322,3-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=π等），则 =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⨯-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-200120002001132312121 _________________
六．其他
例11.观察分析下列数据，寻找规律：0，3，,32,3,6
……那么第10个数据应是 。
例12.（1）已知n 是一个正整数，n 135是整数，则n 的最小值是（ ）。
A ．3
B ．5
C ．15
D ．25
（2）．已知n -12是正整数，则实数n 的最大值为（ ）
A ．12
B ．11
C ．8
D ．3。