数学分析 一致收敛函数列与函数项级数的性质

若 f n ( x ) 在 ( a , b ) 上 一 致 收 敛 , 且 x l i m b f n ( x ) 存 在 , 则 有
x li m b l n i m f n (x ) l n i m x li m b f n (x ) .
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定理13.9 (连续性) 若函数列 { f n } 在区间 I上一致收
0|xx0|时,也有
| fN1(x)aN1|3.
这 样 ,当 x 满 足 0 x x 0 时 ,
| f ( x ) A | | f ( x ) f N 1 ( x ) | | f N 1 ( x ) a N 1 |
|aN 1A|333,
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这就证明了 limf(x)A. xx0
§2 一致收敛函数列与 函数项级数的性质
一致收敛性的重要性在于可以将通 项函数的许多解析性质遗传给和函数， 如连续性、可积性、可微性等，这在 理论上非常重要.
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定理13.8 ( 极限交换定理 ) 设函数列 { f n } 在
(a,x0)U(x0,b)上一致收敛于 f ( x ) , 且对每个 n,
意 0, 存在正数 N , 当nN时, 对任意 x(a,x0)
U(x0,b), 有
|fn (x ) f(x )| 3和 |a n A | 3
同时成立. 特别当 nN1时, 有
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|fN 1 (x ) f(x )| 3 和 |a N 1 A | 3
又因为 x li m x0 fN1(x)aN1, 故存在 0 , 当
| f(x)A|
| f ( x ) f N 1 ( x ) | | f N 1 ( x ) a N 1 | | a N 1 A |
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只需证明不等式右边的每一项都可以小于事先给定 的任意正数即可. 由于 f n ( x ) 一致收敛于 f ( x ) ，a n 收敛于A , 因此对任
定理13.10 (可积性) 若函数列{ f n } 在[ a , b ] 上一致收 敛, 且每一项都连续, 则
b
b
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l n i m a f n ( x ) d x a l n i m f n ( x ) d x . ( 3 )
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证 设 f 为函数列{ f n } 在 [ a , b ] 上的极限函数. 由定理
这就证明了等式 ( 3 ) .
这个定理指出: 在一致收敛的条件下, 极限运算与
积分运算的顺序可以交换.
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例1 设函数
2nnx,
0x 1 , 2n
fn(x)
2n
2nnx,
1 x 1,
2n
n
0,
1 x1, n
y
n1,2,L .
(其图象如图13－6所示).
n
显然 { fn( x)}是[ 0 , 1 ] 上的
存在 N , 当 n N 时 , 对 一 切 x [ a , b ] , 都 有
|fn (x )f(x )| .
再根据定积分的性质, 当n N时有
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b
b
b
afn (x ) af(x )d x a (fn (x ) f(x ))d x
b
afn (x )f(x )d x(b a ),
定理指出: 在一致收敛的条件下, { fn( x)}中关于独
立变量 x 与 n 的极限可以交换次序, 即(1)式成立.
类 似 地 ,若 fn (x )在 ( a ,b )上一致收敛,
且 lim xa
fn ( x)
存在, 则有 x li m a l n i m f n ( x ) l n i m x li m a f n ( x ) ;
敛, 且每一项都连续, 则其极限函数 f 在 I 上也连续.
证 设 x 0 为 I 上 任 一 点 . 由 于 x l i m x 0 f n ( x ) f n ( x 0 ) ,于 是由定理 13.8 知 lim f ( x) 也存在, 且
x x0
x li m x 0f(x ) l n i m f n (x 0 ) f(x 0 ) , 因 此 f(x )在 x 0 上 连 续 .
xli m x0 fn(x)an,则lni man和x li m x0f(x)均 存 在 且 相 等 .即
x l i m x 0 l n i m f n ( x ) l n i m x l i m x 0 f n ( x ) .
( 1 )
证 先证 { a n } 是收敛数列. 对任意 0 , 由于{ f n } 一
fn
图13 6
连续函数列, 且对任意
x[0,1], lni m fn(x)0. O
11
1
x
2n n
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又 sup|fn(x)0|n, 因此{fn(x)}在 [0,1]上一致 x [0,1]
定理13.9可以逆过来用: 若各项为连续函数的函数
列在区间 I 上其极限函数不连续, 则此函数列在区
间 I 上一定不一致收敛.
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例如: 函数列{ x n } 的各项在(1, 1] 上都是连续的, 但
其极限函数 f(x)10,,
1x1,
x1
在 x1时 不 连
续, 所以 { x n } 在 (1, 1] 上不一致收敛.
致收敛, 故存在正整数 N, 当 n>N 及任意正整数 p,
对一切 x (a ,x 0 )U (x 0 ,b )有
|fn (x)fn p(x)|.
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从而
|a n a n p | x l i m x 0 |f n ( x ) f n p ( x ) | .
于是由柯西准则可知 { a n } 是收敛数列, 设lni m anA, 即 ln i m x li m x0fn(x)A , 下面证明 x li m x 0f(x ) x li m x 0 l n i m fn (x ) A . 注意到
13.9知 f 在 [ a , b ] 上连续, 从而 fn(n1,2,L)与 f 在
[ a , b ] 上都可积. 于是(3)变为
b
b
l n i m af n ( x )d x af( x )d x .
( 3 )
因 为 在 [ a ,b ] 上 f n 一 致 收 敛 于 f ,故对于任意 0,