金属的杨氏模量的测量

金属的杨氏模量的测量当固体受外力作用时，它的体积和形状将要发生变化，这种变化，称为形变。

当外力不太大时，物体的形变与外力成正比，且外力停止作用物体立即恢复原来的形状和体积，这种形变称为弹性形变。

当外力较大时，物体的形变与外力不成比例，且外力停止作用，物体形变不能恢复原来的形状和体积，这种形变称为范性形变。

范性形变的产生，是由于物体形变而产生的内应力超过了物体的弹性限度的缘故。

如果再继续增大外力，物体内产生的内应力将会超过物体的强度极限时，物体便被破坏了。

固体材料的弹性形变可以分为纵向、切变、扭转、弯曲等，对于纵向弹性形变可以引入杨氏模量来描述材料抵抗形变的能力。

杨氏模量是反映材料形变与内应力关系的一个重要的物理量。

杨氏模量越大，越不易发生形变。

杨氏模量一般只与材料的性质和温度有关，与其几何形状无关。

材料杨氏模量测量方法很多，有静态法和动态法。

对于静态法来说，又可分为拉伸法和弯曲法。

Ⅰ. 拉伸法测定钢丝的杨氏弹性模量【实验目的】1. 学会用拉伸法测定钢丝的杨氏弹性模量。

2. 掌握几种长度测量工具的使用方法及其不确定度的分析和计算。

3. 进一步掌握逐差法、作图法和最小二乘法的数据处理方法。

【实验仪器】杨氏模量测量仪、螺旋测微器、钢卷尺、读数显微镜装置等。

【实验原理】一、拉伸法测金属丝的杨氏弹性模量设有一根粗细均匀的金属丝，长度为L ，截面积为S ，将其上端紧固，下端悬挂质量为m 的砝码。

当金属丝受外力F mg =作用而发生形变∆L 时，金属丝受外力作用发生形变而产生的内应力S F ，其应变为L L ∆，根据虎克定律有：在弹性限度内，物体的应力S F 与产生的应变成正比，即LL E S F ∆⋅= （Ⅰ.1） 式中E 为比例恒量，将上式改写为E L SF L=⋅∆ （Ⅰ.2） 其中E 为该材料的杨氏弹性模量（又称杨氏模量），在数值上等于产生单位应变的应力。

实验证明，杨氏模量E 与外力F 、金属丝的长度L 、横截面积S 的大小无关，它只与制成金属丝的材料有关。

若金属丝的直径为d ，则241d S ⋅⋅=π，将其代入（Ⅰ.2）式中可得 Ld L F E ∆=24π （Ⅰ.3） （Ⅰ.3）式表明，在长度、直径和所加外力相同的情况下，杨氏模量大的金属丝伸长量较小，杨氏模量小的金属丝伸长量较大。

因此，杨氏模量反映了材料抵抗外力引起的拉伸（或压缩）形变的能力。

实验中，测量出F 、L 、d 和L ∆值就可以计算出金属丝的杨氏模量E 。

其中F 、L 、d 都可用一般方法测得，唯有L ∆是一个微小的变化量，约mm 110-数量级，用普通量具如钢尺或游标卡尺是难以测准的。

因此，实验的核心问题是对微小变化量L ∆的测量。

在本实验中用读数显微镜测量（也可利用光杠杆法或其他方法测量）二、杨氏模量测量仪杨氏模量测量仪的基本结构如图1所示。

在一个较重的三脚底座上固定有两根立柱，支柱上端有横梁，中部紧固一个平台，构成一个刚度极好的支架。

整个支架受力后变形极小，可以忽略。

通过调节三角底座的水平调节螺母13使整个支架铅直。

待测样品是一根粗细均匀的金属丝（长约90cm）。

金属丝上端用上端紧固座2夹紧并固定在上横梁上，钢丝下端也用一个钳形平台5夹紧并穿过平台的中心孔，使金属丝自由悬挂。

钢丝的总长度L就是从上端固定座2的下端面至钳形平台5的上端面之间的长度。

钳形平台5下方的挂钩上挂一个砝码盘，当盘上逐次加上一定质量的砝码后，钢丝就被拉伸，标尺刻线6也跟着下降。

读数标尺9相对钳形平台5的下降量，即是钢丝的伸长量L 。

读数显微镜装置由测微目镜（详见附件）、带有物镜的镜筒以及可以在导轨上前后移动的底座组成。

1. 金属丝上端锁紧螺母；2. 上端固定座；3. 待测金属丝；4. 测量仪立柱；5. 钳形平台；6. 限位螺钉；7. 金属丝下端锁紧螺母；8. 砝码盘；9. 读数标尺；10. 读数显微镜；11. 测微目镜支架锁紧螺钉；12. 导轨；13. 测量仪水平调节螺母。

图Ⅰ.1 杨氏模量测量仪【实验内容】一、仪器的调整1．调节底脚螺母，使仪器底座水平（可用水准器），测试仪立柱铅直，使金属丝下端的小圆柱与钳形平台无摩擦地上下自由移动，旋紧金属丝上端的固定座，使圆柱两侧刻槽对准钳形平台两侧的限位螺钉，两侧同时对称地将限位螺钉旋入刻槽中部，在减小摩擦的同时，又能避免发生扭转和摆动现象。

2. 在砝码盘上加100g砝码，使金属丝被拉直（这些重量不计算在外力内，此时钢丝为原长L）；3. 调节测微目镜，使眼睛能够看到清晰的分划板像。

再将物镜对准小圆柱平面中部刻线，调节显微镜前后距离，直到看清小圆柱平面中部刻线的像。

同时，稍微旋转显微镜，确保分划板中读书标尺线与刻线像完全平行，并消除视差（详见实验3.15 附件2），最后锁定显微镜底座。

注意：因读数显微镜成倒像，所以待测金属丝受力伸长时，视场内的十字叉丝像向上移动，金属丝回缩时，十字叉丝向下移动。

二、测量1．先记下未加砝码时水平叉丝对准的标尺刻度n；然后逐次加质量为50g砝码，直到450g。

每加一个砝码后，要等系统稳定下来再记录显微镜中的读数n；然后逐次取下砝码，直至取完所加砝码，每取下一个砝码时等稳定i后记下望远镜中每次相应的读数n 。

i2. 用螺旋测微器测量钢丝直径d，在不同部位测量五次。

3. 用钢卷尺分别测量钢丝原长L，测量一次。

【注意事项】1. 不能用手触摸显微镜的镜面。

调节显微镜时一定要消除视差，否则会影响读数的正确性；2. 实验系统调节好后，在实验过程中绝对不能对系统的任一部分进行任何调整。

否则，所有数据将得重新测量；3. 加减砝码时，要轻拿轻放以免钢丝摆动；同时，应注意砝码的各槽口，应相互错开，防止因受力不均，而使砝码掉落；4. 待测钢丝不能扭折。

实验完毕后，应将砝码取下，以防止钢丝疲劳。

【数据记录及处理】1. 数据测量记录单次测量量L 的记录：钢丝的原长L =注：mm L ins 50.0)(=∆。

表Ⅰ.1 钢丝直径测量数据螺旋测微器零点读数=注：mm d ins 004.0)(=∆。

表Ⅰ.2 加外力后标尺的读数其中，)(2i i i n n n '+=，i n 是每次增加50g 砝码时标尺的读数，i n '是每次减少50g 砝码时标尺的读数。

2. 数据处理（1）用隔项逐差法（组差法）处理数据，求C 及其不确定度。

∑=i C C 51，而i i i n n C -=+5。

注：mm C ins 004.0)(=∆。

（2）由公式Cd FL E 24π=和g M F ⋅∆=，计算钢丝的杨氏模量及其不确定度，并写出结果表达式。

注意：由于采用了逐差法，此处g 250=∆M 。

由公式（3）可推导出杨氏模量的相对不确定度的公式为222))(())(2())(()(C C u d d u L L u E E u +⋅+= （Ⅰ.4）（3）将实验测得的E 与公认值21101000.2-⋅⨯=m N E 进行比较，求其百分差。

（4）用图解法和最小二乘法对数据进行处理，并与逐差法进行比较。

Ⅱ.霍尔传感器的定标和弯梁法测量杨氏模量【实验目的】1. 熟悉霍尔位置传感器的特性，掌握微小位移的非电量测量方法；2. 用弯梁法测量金属的杨氏模量；3. 掌握几种长度测量工具的使用方法及其不确定度的分析和计算。

4. 进一步掌握逐差法、作图法和最小二乘法的数据处理方法。

【实验仪器】霍尔位置传感器测杨氏模量装置，霍尔位置传感器输出信号测量仪，米尺，游标卡尺，螺旋测微器，砝码，待测材料等。

【实验原理】随着科学技术的发展，微小位移量的测量方法和技术越先进，本实验通过霍尔位置传感器的输出电压与位移量线形关系的定标从而实现对于微小位移量的测量。

1. 霍尔位置传感器霍尔元件置于磁感应强度为B 的磁场中，在垂直于磁场方向通以电流I ，则与这二者相垂直的方向上将产生霍尔电势差H U ：B I K U H ⋅⋅= （Ⅱ.1）式（1）中K 为元件的霍尔灵敏度。

如果保持霍尔元件的电流I 不变，而使其在一个均匀梯度的磁场中位移Z ∆时，则输出的霍尔电势差变化量为：Z dZdB I K U H ∆⋅⋅⋅=∆ （Ⅱ.2） 式（2）中Z ∆为位移量，此式说明若dZ dB 为常数时，H U ∆与Z ∆成正比。

为实现均匀梯度的磁场，可以如图Ⅱ.1所示，两个结构相同的直流磁路系统共同形成一个沿Z 轴的梯度磁场。

为使磁隙中的磁场得到较好的线性分布，一般采用两块相同的磁铁（磁铁截面积及表面磁感应强度相同）相对放置，即N 极与N 极相对，在磁极端面装有特殊形式的 极靴。

两磁铁之间留一等间距间隙，霍尔元件平 图Ⅱ.1 霍尔传感器工作原理图行于磁铁放在该间隙的中轴上。

间隙大小要根据测量范围和测量灵敏度要求而定，间隙越小，磁场梯度就越大，灵敏度就越高。

磁铁截面要远大于霍尔元件，以尽可能的减小边缘效应影响，提高测量精确度。

若磁铁间隙内中心截面处的磁感应强度为零，霍尔元件处于该处时，输出的霍尔电势差应该为零。

当霍尔元件偏离中心沿Z 轴发生位移时，由于磁感应强度不再为零，霍尔元件也就产生相应的电势差输出。

霍尔电势V 取决于其在磁场中的位移量Z ，其大小可以用电压表测量。

因此，测得霍尔电势的大小便可获知霍尔元件的静位移。

霍尔电势差与位移量之间存在一一对应关系，当位移量较小（mm 2<），这一对应关系具有良好的线性，由此可以将霍尔电势差为零时元件所处的位置作为位移参考零点。

2、弯梁法测量杨氏模量一段金属棒，在其两端沿轴方向施加外力F ，其长度L 发生形变∆L ，以S 表示横截面面积，称S F 为应力，相对长变L L ∆为应变。

在弹性限度内，根据胡克定律有：LL E S F ∆⋅= 其中E 为该材料的杨氏弹性模量（又称杨氏模量），在数值上等于产生单位应变的应力。

实验证明，杨氏模量E 与外力F 、金属棒的长度L 、横截面积S 的大小无关，它只与制成金属棒的材料性质有关。

图Ⅱ.2 弯梁法示意图如图Ⅱ.2（a ）所示，若将厚度为a ，宽度为b 的金属材料置于相距为d 的两刀口上，在材料中点处挂上质量为M 的砝码，则材料将被弯曲，材料中点处将下降Z ∆。

在横梁发生微小弯曲时，对于材料中相距x d 的1O 和2O 两点的横断面而言，在材料弯曲前两者是相互平行的，弯曲后则形成一小角度θd ，如图Ⅱ.2（b ）所示。

显然，在弯曲后，材料的上半部分呈压缩状态，下半部分呈拉伸状态。

所以整体说来，可以理解横梁发生了长度变化，即可以用杨氏模量来描写材料的性质。

图Ⅱ.3 弯梁法测量杨氏模量的原理图如图Ⅱ.3（a ）所示，虚线表示弯曲梁的中性层，易知其既不拉伸也不压缩，取与中性层相距为y 、厚为dy 、形变前长度为dx 的层面为研究对象。

此层面的曲率半径为)(x R ，所对应的张角为θd ，即θd xd x R =)(。