初三数学提高练习1(附答案)

1．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3，BC ＝5，点E 、F 分别在线段AB 、BC 上，将△BEF 沿EF 折叠，点B 落在B ′ 处．如图1，当B ′ 在AD 上时，B ′ 在AD 上可移动的最大距离为_________；如图 2，当B ′ 在矩形ABCD 内部时，AB ′ 的最小值为______________．2 ； 34－5

解：如图1，当点F 与点C 重合时，B ′D ＝22CD C B

－ ＝22AB BC

－＝2235

－＝4 AB ′＝5－4＝1

如图2，当点E 与点A 重合时，AB ′＝AB ＝3 所以B ′ 在AD 上可移动的最大距离为3－1＝2

如图3，当B ′ 在对角线AC 上时，AB ′ 最小（连结AC 、AB ′ 、B ′C ，则AB ′ ≥AC －B ′C ，当且仅当点B ′ 在线段AC 上时取等号，所以AB ′ 的最小值为AC －B ′C ，即AC －BC ）AB ′＝2235

＋－5＝34－5

解：当a

＞0时，a 值越大，抛物线开口越小

设正方形的四个顶点为A 、B 、C 、D （如图），显然抛物线经过A （2，2）和C （3，1）时，分别得到a 的最大值和最小值把A （2，2）和C （3，1）分别代入y ＝ax

2－2ax －1＋a ，得a ＝21和a ＝3，∴2

1

≤

a

≤3

x ＝1，y ＝2代入y ＝ax

2，得a ＝2；把x ＝2，y ＝1代入y ＝ax

2，得a ＝

4

1

，故

A D B

C B ′

E F 图1

A D

B

C

B ′

E

F

图2

A D

B C B ′ E (F ) 图1 A

D B C B ′

F

图2 (E ) A

D

B C B ′

E (

F ) 图3

2 1

3．如图，7根圆柱形木棒的横截面圆的半径均为1，则捆扎这7根木棒一周的绳子长度为_______________．122+π

解：添加辅助线如图

4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4．若以C 点为圆心，r 为半径所作的圆与斜边AB 只

有一个公共点，则r 的取值范围是_________________．r ＝512

或3＜r ≤4解：过C 作CD ⊥AB 于D ，则CD ＝5

12 当r ＝CD ＝5

12

时，圆与斜边AB 只有一个公共点D ； 当

5

12

＜r ≤AC ＝3时，圆与斜边AB 有两个公共点； 当3＜r ≤BC ＝4时，圆与斜边AB 也只有一个公共点 当r ＞4时，圆与斜边AB 没有公共点

综上所述，r ＝5

12

或3＜r ≤4

5．如图，四边形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝7，CD ＝2，AD ＝x ，则x 的取值范围是________________．

1＜x ＜13

解：考虑图1和图2的两种极端情形

6．已知正数a 、b 、c 满足a

2＋c

2＝16，b

2＋c

2＝25，则k ＝a

2＋b

2的取值范围是_________________．9＜a

2＋b 2＜41

解：∵a

2＋c

2＝16，∴c

2＝16－a

2，∴0＜c

2＜16 同理，由b

2＋c

2＝25得，0＜c

2

＜25，∴0＜c

2＜16 两式相加，得a

2＋b

2＋2c

2＝41，a

2＋b

2＝41－2c

2 由0＜c

2＜16得9＜41－2

c

2＜41，即9＜a

2＋b

2＜41

A

x

D

B C

7

4

2 A D B C 7 4 2 图1

x A D

B C 7 4

2 图2 x

8．函数y ＝2x

2＋4|x |－1的最小值是____________．－1

解：y ＝2x

2＋4|x |－1＝2(|x |＋1)2

－3＝⎪⎩⎪⎨⎧3123122

2

－－－＋)(

)(

x x 其图象如图，由图象可知，当x ＝0时，y 最小为－1

9．已知抛物线y ＝ax

2＋2ax ＋4（0＜

a

＜3），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是抛物线上两点，若x 1＜x 2，且x 1＋x 2＝1－a ，则y 1 __________ y 2（填“＞”、“＜”或“＝”）＜解：由题意得：y 1＝ax

12＋2ax 1＋4，y 2＝ax

22＋2ax 2＋4

y 1－y 2＝a (x

12－x

22)＋2a (x

1－x

2)＝a (x

1－x

2)(x

1＋x

2＋2)＝a (x

1－x

2)(3－a )∵x 1＜x 2，0＜

a

＜3，∴y 1－y 2＜0，∴y 1＜y 2

10．如图，△ABC 中，∠A 的平分线交BC 于D ，若AB ＝6，AC ＝4，∠A ＝60°，则AD 的长为___________．5

3

12 解：过C 作CE ⊥AB 于E ，过D 作DF ⊥AB 于F ，DG ⊥AC 于G

∵S △ABC ＝21AB ·CE ＝2

1

AB ·AC ·sin60°

S △ABC

＝S △ABD ＋S △ADC

＝21AB ·DF ＋21AC ·DG ＝2

1

AB ·AD ·sin30°＋

21

AC ·AD ·sin30°∴21AB ·AC ·sin60°＝21AB ·AD ·sin30°＋2

1AC ·AD ·sin30° 解得AD ＝5

3

12

A

D

B

C

（x ≥0） （x ≤0） A

D

B

C

E F

G