2020 年普通高等学校招生考试全国统一考试数学(模拟卷一)
新高考模拟试卷（一）2020 年普通高等学校招生考试全国统一考试（模拟卷一）数 学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2019·湖北巴东一中高一月考）已知集合{}1,0,1,2A =-，{}210B x R x =∈-<，则AB =（ ）A ．{}2B ．{}0C ．{}1,0,1-D ．{}1,1-【答案】B 【解析】2{|10}{|11}B x R x x x =∈-<=-<<，又{1,0,1,2}A =-，∴{0}AB =．故选：B ．2．（2019·黑龙江高三月考（理））已知复数2z ii =+，则其共轭复数z 的虚部为（ ） A ．25B ．25-C ．25iD ．25i -【答案】B 【解析】由题,()()()22+112222555i i i i z i i i i ⋅-====+++-,则1255z i =-故选：B3．（2019·四川高考模拟（文））某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（ ） 注：90后指1990年及以后出生，80后指19801989-年之间出生，80前指1979年及以前出生．A ．互联网行业从业人员中90后占一半以上B ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C ．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D ．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多 【答案】D 【解析】对于选项A, 互联网行业从业人员中90后占56%，占一半以上，所以该选项正确；对于选项B, 互联网行业中90后从事技术岗位的人数占总人数的39.6%56%=22.176%⨯,超过总人数的20%，所以该选项正确；对于选项C, 互联网行业中从事运营岗位的人数90后占总人数的56%17%9.52%⨯=，比80前多，所以该选项正确.对于选项D, 互联网行业中从事运营岗位的人数90后占总人数的56%17%9.52%⨯=，80后占总人数的41%，所以互联网行业中从事运营岗位的人数90后不一定比80后多.所以该选项不一定正确. 故选：D4．（2019·山东高三）101x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数是（ ）A ．210-B ．120-C ．120D ．210【答案】B 【解析】由二项展开式，知其通项为10210110101()(1)rr r r r r r T C x C xx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 令2104r -=，解得7r =.所以4x 的系数为7710(1)120C -=-.故选：B.5．（2019·辽宁高三期中（理））向量(1,2)a m =和向量(3,1),(),b a b b m =-+⊥=（ ） A ．132B ．76C ．76-D ．132-【答案】A 【解析】由题知(1,2)a m =，(3,1)b =-，则()4,21a b m +=-，又()a b b +⊥，1343120,2m m ∴⨯+-=∴=故选：A6．（2019·河南高二期末（文））抛物线22(>0)y px p =0）的焦点为F ，0为坐标原点，M 为抛物线上一点，且3,MF OF MFO =∆的面积为，则抛物线的方程为（ ） A ．26y x = B ．28y x =C ．216y x =D ．220y x =【答案】C 【解析】设()00,,M x y 由3MF OF =可得：222003,22p p x y ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又因为2002,y px = 所以220032,22p p x px ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即220020,x px p +-= 解得0x p = 或02x p =-（舍去），所以(),,M p所以122MFO pS ∆=⨯= 解得8,p =± 因为0,p > 所以8.p =故选C.7．（2019·山东高二期中）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的焦点与椭圆22195x y +=的焦点重合，且双曲线C 的渐近线与圆22(2)3x y -+=相切，则双曲线C 的离心率为( )A ．1 BC ．2D ．3【答案】C 【解析】椭圆22195x y +=的焦点为(2,0)I ±,所以2c =,所以224a b +=.双曲线2222:1x y C a b-=的渐近线方程为0bx ay ±=,由双曲线C 的渐近线与圆22(2)3x y -+=相切,圆心到渐近线的距离等于半径，即3d =，得223b a =,带入22=4a b +得1a =.离心率2ce a==. 故选：C8．（2018·上海复旦附中高三）有一容积为33a cm 的正方体容器1111ABCD A B C D -，在棱AB 、1BB 和面对角线1BC 的中点各有一小孔E 、F 、G ，若此容器可以任意放置，则其可装水的最大容积是（ ） A ．3312a cm B ．3378a cm C ．331112a cm D ．334748a cm 【答案】C 【解析】当水面过直线FG 时，如下图所示，水面截去正方体1111ABCD A B C D -所得几何体为三棱柱MBF NCO -，当点E 在水面上方或水面上时，容器中的水不会漏，且当点M 与点E 重合时，截去的几何体体积最小为()233111228a a a cm ⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭； 当水面过直线EF 时，如下图所示，水面截去正方体1111ABCD A B C D -所得几何体为三棱台EBF PCQ -，当点G 在水面上方或水面上时，容器中的水不会漏，且当点G 在直线FQ 上时，截去的几何体为三棱柱，且体积最小为()233111228a a a cm ⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭；当水面过直线EG 时，如下图所示，当点F 在水面上方或水面上时，容器中的水不会漏，此时水面截去正方体1111ABCD A B C D -所得几何体为EBR SCT -，且直线RT 过点G ，易知梯形BCTR 的面积为正方形11BCC B 面积的一半，此时，几何体EBR SCT -的体积为()233111132212EBR SCT E BCTR E SCT E BCTR V V V V a a a cm ----=+>=⨯⨯=.当RT 与直线1B C 重合时，如下图所示，此时，点F 在水面上方，容器不会漏水，水面截去正方体1111ABCD A B C D -所得几何体为三棱锥1E BB C -， 该三棱锥的体积为()1123311111332212E BB C BB C V BE S a a a cm -∆=⋅=⨯⨯=. 综上可知，水面截去截去正方体1111ABCD A B C D -所得几何体体积的最小值为()33112a cm . 因此，该容器可装水的最大容积是()33331111212a a a cm -=. 故选：C.二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。
9．（2019·山东高三）函数()f x 的定义域为R ，且()1f x +与()2f x +都为奇函数，则（ ）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 为周期函数C ．()3f x +为奇函数D ．()4f x +为偶函数【答案】ABC 【解析】由(1)f x +与(2)f x +都为奇函数知函数()f x 的图象关于点()1,0-，()2,0-对称， 所以()(2)0f x f x +--=，()(4)0f x f x +--=， 所以(2)(4)f x f x --=--，即()(2)f x f x =-+ 所以()f x 是以2为周期的函数.又()1f x +与()2f x +都为奇函数，所以()f x ，(3)f x +均为奇函数. 故选：ABC.10．（2019·山东高三期中）已知函数()22()13f x sin x π=-+，则下列说法中正确的是（ ）A ．函数()f x 的图象关于点(,0)3π对称B ．函数()f x 图象的-条对称轴是12x π=-C ．若,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则函数()f x 1 D ．若120x x π<<<，则()()12f x f x < 【答案】BC 【解析】A.函数()f x 令2()3x k k Z ππ-=∈知关于点(,1)()62k k Z ππ+∈对称,所以A 不成立； B.函数()f x 令2()32x k k Z πππ-=+∈知关于轴5()122k x k Z ππ=+∈对称,所以B 成立；C.若,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22,,333x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦则函数()f x 1，C 成立 D.由于当120x x π<<<，()f x 不单调，所以不成立 故答案选择BC11．（2019·福建高一期末）如图1，点E 为正方形ABCD 边BC 上异于点,B C 的动点，将ABE ∆沿AE 翻折，得到如图2所示的四棱锥B AECD -，且平面BAE ⊥平面AECD ，点F 为线段BD 上异于点,B D 的动点，则在四棱锥B AECD -中，下列说法正确的有( )A ．直线BE 与直线CF 必不在同一平面上B ．存在点E 使得直线BE ⊥平面DCEC ．存在点F 使得直线CF 与平面BAE 平行D ．存在点E 使得直线BE 与直线CD 垂直 【答案】AC 【解析】A .假设直线BE 与直线CF 在同一平面上，所以E 在平面BCF 上，又E 在线段BC 上，BC I 平面BCF =C ，所以E 与C 重合，与E 异于C 矛盾，所以直线BE 与直线CF 必不在同一平面上；B .若存在点E 使得直线BE ⊥平面DCE ， AE ⊂平面AECD ,所以BE AE ⊥,又AB BE ⊥,所以△ABE 中有两个直角，与三角形内角和为180矛盾，所以不存在点E 使得直线BE ⊥平面DCE ；C .取F 为BD 的中点，12EC AD =,再取AB 的中点G ，则EC FG 且EC =FG ，四边形ECFQ 为平行四边形，所以FCEG ,则直线CF 与平面BAE 平行；D .过B 作BO ⊥AE 于O ，因为平面BAE ⊥平面AECD ,平面BAE平面AECD =AE ,所以BO ⊥平面AECD .过D 作DH ⊥AE 于H ，因为平面BAE ⊥平面AECD ,平面BAE平面AECD =AE ,所以DH ⊥平面BAE ，所以DH BE ⊥.若存在点E 使得直线BE 与直线CD 垂直， DH ⊂平面AECD ,DC ⊂平面AECD ,DH DC D ⋂=,所以AE ⊥平面AECD ,所以E 与O 重合，与三角形ABE 是以B 为直角的三角形矛盾，所以不存在点E 使得直线BE 与直线CD 垂直.故选A 、C .12．（2019·山东高三期中）对于函数2ln ()xf x x =，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 在x =12eB ．()f x 有两个不同的零点C ．f f f <<D ．若21()f x k x <-在(0,)+∞上恒成立，则2ek > 【答案】ACD 【解析】函数定义域为(0,)+∞，312ln '()xf x x-=,当x ∈时，'()f x ＞0，()f x 单调递增，当)x ∈+∞时，'()0f x <，()f x 单调递减，所以()f x在x =12f e=，A 正确； (1)0f =，当01x <<时，()0f x <，当1x >时，()0f x >，因此()f x 只有一个零点，B 错误；<<，因此f f <，又1ln 2f πππ==⋅，1ln 222f ==⋅1ln 424=⋅， 设ln ()xh x x =，则21ln '()x h x x-=， (,)x e ∈+∞时，'()0h x <，()h x 单调递减，而4e π<<，∴()(4)h h π>，即ln ln 4ln 242ππ>=，∴f f <，即f f f <<，C 正确；令22ln 1()x g x x x =+（0x >），则312ln '()xg x x+=-，易知当x ∈时，'()0g x >，)x ∈+∞时，)'(0g x <，()g x 在x=时取得极大值也是最大值2eg =， ∴21()f x k x+<在(0,)x ∈+∞上恒成立，则2e k >，D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷(1)(文科数学含答案详解)
2020 年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷（1）文科数学本试题卷共 6 页， 23 题（含选考题）。
全卷满分150 分。
考试用时120 分钟。
第Ⅰ 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合M x, y x y 2 ， N x, y x y2，则集合M N（）A．0,2 B ．2,0C．0, 2D．2,0【答案】 D【解析】解方程组x y2x2N2,0 ．选D．x y2，得．故 My02．设复数z12i（ i 是虚数单位），则在复平面内，复数z2对应的点的坐标为（）A． 3,4B． 5,4C．3,2D． 3,4【答案】 A【解析】 z12i z2121 44i 3 4i ，所以复数z2对应的点为3,4 ，2i故选 A．3．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的x 0，则一开始输入的x 的值为（）371531A ．B ．C． D ．481632【答案】 C【解析】 i1，（ 1）x2x1,i2，（ 2）x22x114x3,i3，（ 3）x24x318x7,i4，（ 4）x28x7116x15,i 5 ，所以输出16x150，得 x15，故选 C．164．已知cos22cos，则 tan4（A ．4B．41C．D3【答案】 C【解析】因为 cos22cos，所以sin2co所以 tan41tan1，故选 C．1tan35．已知双曲线x2y21a0,b0的一个焦点为 F2,0a2b2则该双曲线的方程为（）A． x2y21 B ．x2y21C． y2x21D333【答案】 B【解析】令x2y20 ，解得ybx ，故双曲线的渐近线方程a2b2ab3a2a1由题意得c2，解得，∴该双曲线的方程为b23c22b2a6．某家具厂的原材料费支出x 与销售量y（单位：万元）之间有y x8?的全部数据，用最小二乘法得出与的线性回归方程为y?bxx245y253560A ．5B． 15C．12D【答案】 C【解析】由题意可得：x245685 ， y25355第1页，共6页回归方程过样本中心点，则：5285??．本题选择 C 选项．b ， b 127．已知f x2018x20172017x20162x1，下列程序框图设计的是求 f x0的值，在“ ”中应填的执行语句是（）开始输入 x0i=1,n=2018S=2018i=i+1i≤ 2017？否S=S+n是输出 SS=Sx0结束A ．n2018iB ．n2017 i C．n2018i D ．n2017i 【答案】 A【解析】不妨设x0 1 ，要计算 f12018 2017 20162 1 ，首先S201812018，下一个应该加，再接着是加，故应填n2018 i．201720168．设π2）0x，则“x”是“cosx＜ x ”的（cosx2A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】 A【解析】作图 y cos x ，y x2，y x ，x0,，2可得 cosx x2解集为m,， cosx x 解集为 n,，因为22m,n,，因此选 A ．229．如图为正方体ABCD A1B1C1 D1，动点M从 B1点出发，在正方体表面上沿逆时针方向1M11x与运动一周后，再回到 B 的运动过程中，点与平面 ADC 的距离保持不变，运动的路程l MA1MC1 MD 之间满足函数关系l f x ，则此函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】 C【解析】取线段B1 A 中点为N，计算得：l N NA1NC1ND623l B l A．同221AC 或CB1的中点时，计算得l N NA1 NC1 ND622 3 l B，符合C项的图象特征．故选C．2110．已知双曲线E：x2y21( a 0, b 0)的右顶点为A，右焦点为Fa2b2第二象限上的一点， B 关于坐标原点O 的对称点为 C ，直线 CA 与直线 BF 的交点BF 的中点，则双曲线的离心率为（）11C． 2 D ． 3A ．B ．25【答案】 D【解析】不妨设B c, b2，由此可得 A a,0， C c,b2， F c,0，a ab2b2于 A，C， M 三点共线，故2aaac，化简得 c3a ，故离心率 e 3 ．a11．已知点A 4,3和点B 1,2，点 O 为坐标原点，则OA tOB t R的最A．5 2 B ． 5C． 3 D ．5【答案】 D【解析】由题意可得：OA4,3， OB1,2，则：OA tOB4,3t 1,24t,32t232t25t24 t结合二次函数的性质可得，当t2时， OA tOB54202min本题选择 D 选项．第2页，共6页x2y2x2y212．已知椭圆C1 :a12b121 a1＞b1＞0与双曲线C2:a22b22 1 a2＞0,b2＞0有相同的焦点 F1, F2，若点P是 C1与 C2在第一象限内的交点，且F1F2 2 PF2，设 C1与 C2的离心率分别为 e1， e2，则 e2e1的取值范围是（）A ．1,1C．1D ．1 3B ．,,,322【答案】 D【解析】设F1F22c，令 PF1t ，由题意可得：t c2a2， t c 2a1，据此可得： a1 a2c11e2，，则： 1 ，e11e1e2e2则： e2e1e2e2e221，由 e21可得： 01e21e2 12 1 ，11e2e2e2211结合二次函数的性质可得：e20,1 ，e2则：e2e11，即 e e 的取值范围是1,．本题选择 D 选项．2212第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2020年普通高等学校招生考试全国统一考试(模拟卷) 数学 含答案
按秘密级事项管理★启用前2020年普通高等学校招生考试全国统一考试（模拟卷）数 学试卷满分150分 考试用时120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{(,)|2}A x y x y =+=，{}2(,)|B x y y x ==，则A B =A.{(1,1)}B.{(2,4)}−C.{(1,1),(2,4)}−D.∅2.已知(,)a bi a b +∈R 是11i i −+的共轭复数，则a b += A.1− B.12− C.12D.1 3.设向量(1,1)=a ，(1,3)−b ，(2,1)=c ，且()λ−⊥a b c ，则λ=A.3B.2C.2−D.3− 4.101()x x −的展开式中4x 的系数是 A.210− B.120− C.120 D.2105.已知三棱锥S ABC −中，,4,2,62SAB ABC SB SC AB BC π∠=∠====， 则三棱锥S ABC −的体积是A.4B.6C.D.6.已知点A 为曲线4(0)y x x x=+>上的动点，B 为圆22(2)1x y −+=上的动点，则||AB 的最小值是A.3B.4C.D.7.设命题P ：所有正方形都是平行四边形。
则p ¬为A.所有正方形都不是平行四边形B.有的平行四边形不是正方形C.有的正方形不是平行四边形D.不是正方形的四边形不是平行四边形8.若1a b c >>>，且2ac b <，则 A.log log log a b c b c a >> B.log log log c b a b a c >>C.log log log b a c c b a >>D.log log log b c a a b c >>9.下图为某地区2006年 2018年地方财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额折线图.根据该折线图可知，该地区2006年 2018年A.财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势B.财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度相同C.财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量D.10.已知双曲线C 过点且渐近线为y x =，则下列结论正确的是A.C 的方程为2213x y −= B.C C.曲线2+1x y e −=经过C 的一个焦点 D.直线10x −=与C 有两个公共点11.正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，E ，F ，G 分别为BC ，1CC ，1BB 的中点.则A.直线1D D 与直线AF 垂直B.直线1AG 与平面AEF 平行C.平面AEF 截正方体所得的截面面积为1D.点C 与点G 到平面AEF 的距离相等12.函数()f x 的定义域为R ，且(1)f x +与(2)f x +都为奇函数，则A.()f x 为奇函数B.(1)f x +为周期函数C.(4)f x +为奇函数D.(4)f x +为偶函数二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年高考全国1卷数学(理科)模拟试卷(含答案)-2020理科国一卷
2020年高考全国1卷数学（理科）模拟试卷考试时间：120分钟 满分150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、以下判断正确的个数是（ ）①相关系数r r ,值越小，变量之间的相关性越强；②命题“存在01,2<-+∈x x R x ”的否定是“不存在01,2≥-+∈x x R x ”； ③“q p ∨”为真是“p ”为假的必要不充分条件；④若回归直线的斜率估计值是1.23，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程是08.023.1ˆ+=x y. A ．4 B ．2 C.3 D ．12、已知集合{}|12A x x =-<，12|log 1B x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，则A B =IA ．{}|04x x <<B ．{}|22x x -<<C ．{}|02x x <<D ．{}|13x x << 3、设,a b 是非零向量，则“存在实数λ，使得=λa b ”是“||||||+=+a b a b ”的A ．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4、 已知正三角形ABC 的顶点()()3,1,1,1B A ，顶点C 在第一象限，若点()y x ,在ABC ∆的内部，则y x z +-=的取值范围是 A.()2,31- B.()2,0 C.()2,13- D.()31,0+5、在如图的程序框图中，()i f x '为()i f x 的导函数，若0()sin f x x =，则输出的结果是A ．sin xB ．cos xC ．sin x -D ．cos x - 6、使函数)2cos()2sin(3)(θθ+++=x x x f 是偶函数，且在]4,0[π上是减函数的θ的一个值是 A ．6π B ．3π C ．34π D ．67π7、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足121a a ==，21n n S a +=-，则下列命题错误的是( ) A.21n n n a a a ++=+B.13599100a a a a a ++++=…C.2469899a a a a a ++++=…D.12398100100S S S S S ++++=-…8、如图阴影部分1C 是曲线x y =与x y =所围成的封闭图形，A是两曲线在第一象限的交点，以原点O 为圆心，OA 为半径作圆，取圆的第一象限的扇形OCAB 部分图形为2C ，在2C 内随机选取m 个点，落在1C 内的点有n 个，则运用随机模拟的方法得到的π的近似值 A 、m n 23 B 、n m 3 C 、m n 3 D 、nm329、某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中：① 三棱锥的体积为16② 三棱锥的四个面全是直角三角形,③ 3所有正确的说法 A 、①B 、①②C 、②③D 、①③10、已知双曲线)0,(12222＞b a by a x =-的左、右顶点分别为B A ,,右焦点为F ,过点F 且垂直于x 轴的直线l 交双曲线于N M ,两点,P 为直线l 上的一点，当APB ∆的外接圆面积达到最小值时,点P 恰好在M (或N )处,则双曲线的离心率为 A.2 B.3 C.2 D.511、将边长为5的菱形ABCD 沿对角线AC 折起，顶点B 移动至B 处，在以点B '，A ，C ，为顶点的四面体AB 'CD 中，棱AC 、B 'D 的中点分别为E 、F ，若AC ＝6，且四面体AB 'CD 的外接球球心落在四面体内部，则线段EF 长度的取值范围为（ ）A ．14232⎛ ⎝ B ．144⎫⎪⎪⎝⎭C ．3,23D ．)3,412、已知函数()21ln (1)(0)2x ax a f a x x a =-+-+>的值域与函数()()f f x 的值域相同，则a 的取值范围为（ ）A. (]0,1B. ()1,+∞C. 40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年普通高等学校招生全国统一考试(模拟卷)数学附解析
2020年普通高等学校招生全国统一考试(模拟卷)数 学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合(){}(){}2,2,,A x y x y B x y y x A B =+===⋂=，则A.(){}11， B.(){}24-，C.()(){}1124-，，， D. ∅2. 已知()1,1ia bi ab R i -+∈+是的共轭复数，则a b += A. 1-B. 12-C. 12D.13. 设向量()()()1,1,1,3,2,1a b c ==-=，且()a b c λ-⊥，则λ= A.3B.2C. 2-D. 3-4. 101x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数是（理科生做） A. 210-B. 120-C.120D.2104. 函数f (x )＝x 2-5 x +6的定义域为（文科生做） A. {x | x ≤ 2 或x ≥ 3}B.{x | x ≤ - 3 或 x ≥ -2}C. {x | 2 ≤ x ≤ 3}D. {x | -3 ≤ x ≤-2} 5. 已知三棱锥S ABC -中，,4,213,2,62SAB ABC SB SC AB BC π∠=∠=====，则三棱锥S ABC-的体积是 A.4B.6C. 3D. 36. 已知点A 为曲线()40y x x x=+>上的动点，B 为圆()2221x y -+=上的动点，则AB 的最小值是 A.3B.4C. 32D. 427. 设命题p ：所有正方形都是平行四边形，则p ⌝为 A.所有正方形都不是平行四边形 B.有的平行四边形不是正方形C.有的正方形不是平行四边形D.不是正方形的四边形不是平行四边形8. 若21a b c ac b >>><且，则 A. log log log a b c b c a >>B. log c b > log b a > log a cC. log log log b a c c b a >>D. log log log b c a a b c >>二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试卷(附答案解析)
5.若 (x − a)(1+ 3x)6 的展开式中 x3 的系数为-45,则实数 a 的值为
A. 2
B.2
3
C. 1 4
6.函数
f
(
x)
=
cos
2x
+
2 cos 2x 2x −1
的图象大致是
D. 1 3
7.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 a 上，且 AB//CD，若正方体的六个面所在的平面与直
D.离心率约为 75 994
11.如图,已知正方体, ABCD − A1B1C1D 1 的棱长为 2,E 为棱 CC1 的中点,F 为棱 AA1 上的点,且满足
A1F : FA =1: 2,点 F、B、E、G、H 为过三点 B，E，F 的平面 BMN 与正方体 ABCD −A1B1C1D1 的棱的交点,则
A.(0,1]
B.(0,4]
C.[1,+∞)
D.(0,1n2]
二、多项选择题:本题共 4 小题，每小题分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的
得分，部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分. 9.刘女士的网店经营坚果类食品,2019 年各月份的收人、支出(单位:百元)情况的统计如图所示，下列说法中正
20.(本小题满分 12 分)
在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 上的任意一点 M 到直线 y=-1 的距离比 M 点到点 F(0,2)的距离小 1. (1)求动点 M 的轨迹 C1 的方程; (2)若点 P 是圆 C2 : (x − 2)2 + ( y + 2)2 = 1 上一动点,过点 P 作曲线 C1 的两条切线,切点分别为 A、B,求直线
15.已知双曲线
2020年高考模拟全国统一考试(全国Ⅰ卷)文科数学模拟试题(PDF版)及答案
不等式
f
(
x)
6
可化为：
x 4
1 − 2x
6
或
1 x 2 6
3
或
x 3 2x − 4
6
，
解得： −1 a 1或1 x 3 或 3 a 5 ，综上： −1 x 5
7
4 − 2x, x 1
（Ⅱ）作出 f ( x) = 2,1 x 3 的图像如图：
2x − 4, x 3
3
20. 已知函数 f ( x) = x3 + ax2 + bx + c ( x R) 在 x = − 2 处取得极值，其图象在点
3
(1, f (1)) 处的切线与直线 y + 2 = 0 平行.
（Ⅰ）求 a,b 的值；
（Ⅱ）若对 x −1, 2 都有 f ( x) 1 恒成立，求 c 的取值范围.
故有 99.9%的把握认为观众对电影“复仇者联盟 4”结局的满意程度与性别具有相关性.
18.【解析】（Ⅰ）设等差数列an 的公差为 d ， a8 是 a5 与 a13 的等比中项.a82 =a5a13 ，即 (a1 + 7d )2 = (a1 + 4d )(a1 +12d )
d = 0 或 d = 2 ； d 0 d = 2 ，an = 2n −1
=
n 2n +1
.
19.【解析】（Ⅰ） AC = BC,O 为 AB 中点，OC ⊥ AB ，
平面VAB ⊥ 平面 ABC ，平面VAB 平面 ABC = AB ， OC 平面 ABC ，OC ⊥ 平面VAB,OC 平面 MOC ，
平面 MOC ⊥ 平面VAB ；
（Ⅱ） AC ⊥ BC 且 AC = BC = 2 ， O 分别为 AB 的中点，
2020年普通高等学校招生全国1卷高考模拟大联考数学(理科)试题
【答案】A
【解析】
【分析】
作出示意图，求得 的面积，并计算出三棱锥 的高 ，利用正弦定理计算圆 的直径 ，然后利用勾股定理求出 ，即可求解球的直径，得到答案.
【详解】如图所示，因为 ，
可得 面积为 ，
设 的外接圆为圆 ，连接 ，则 平面 ，
作圆 的直径 ，连接 ，
因为 分别为 的中点，则 ，所以 平面 ，
， 满足 ，
因此， .
【点睛】本题考查利用 求 ，同时也考查了错位相减法，考查计算能力，属于中等题.
18.在一次庙会上，有个“套圈游戏”，规则如下：每人3个竹环，向A，B两个目标投掷，先向目标A掷一次，套中得1分，没有套中不得分，再向目标B连续掷两次，每套中一次得2分，没套中不得分，根据最终得分发放奖品．已知小华每投掷一次，套中目标A的概率为 ，套中目标B的概率为 ，假设小华每次投掷的结果相互独立．
则 .
（2） 的可能取值为0，1，2，3，4，5，
； ；
； ；
； ；
∴ 的分布列为：
0
1
2
3
4
5
.
【点睛】本题考查了相互独立事件、互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列、数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
19.已知 分别是椭圆 的左、右焦点，P是椭圆C上的一点，当PF1⊥F1F2时，|PF2|＝2|PF1|．
令 ，则
∵ 上单调递增，且
∴当 时 ， 单调递减；当 时， ， 单调递增
∴ ，
∴要使 在 上有两解，即有 的取值范围是
故选：C
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性求参数范围，首先将问题转化为函数的反函数与一个函数有两个交点，再构造函数通过导数研究新函数的单调性进而求参数范围
2020届普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷——理科数学(含答案)
自集合 B的概率为
A.-2
B.-
C.-
D.一4
4.精准扶贫政策的落实，使我国农村扶贫工作有了新进展，农村居民家庭年纯收入也得到迅速提
高．下表是我国西部 某地区近七年以来年份代码z与 农村居民家庭年纯收入y（单位：万元）的
数据：
「工 y
1
2
2
3
4
5
6
3
3.5
4
4.5
5
7 6
现已求得y关于
工的线性回归方程为豆＝� 28 x＋
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上。 2.回答选择题时，选出每小 题答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题纸上，写在 本 试 卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题纸一 并交 回。
一 、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符
A.a<b<c
B.b<c<a
C.c<a<b
D.c<b ＜α
6.“ 中国剩余定理 ” 又称“孙子走理 ”，是中国古代求解一 次同余式组的方法．现有这样 一 个问题：
将 1至2 019 中能被2除余1 且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列｛an },
则此数列所有项的和为
A.203 192
B.203 202
丑
7
，给出
下列说法：
①该地区农村居民家庭年纯收入与年份代码呈正相关关系
1 ②该地区农村居民家庭年纯收入 平均每年约增长 万元
③预计第9年该地区农村居民家庭年纯收入 约为7万元
1.2020年普通高招全国统一考试原创模拟卷-理数1含答案精品
2020年普通高招全国统一考试原创模拟卷-理数1第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题(共12题，每题5分，共60分)1．已知集合A ={x |2x +1>3},B ={y |y =2},则A ∩B =A.(-1,0]B.(0,1)C.(1,2]D.[0,2]2．已知函数f (x )={1x(x <e),lnx(x ≥e),则f (f (1e))=A.1B.eC.1eD.-13．已知a ∈R ,命题p :复数a +(2-a )i 在复平面内对应的点在第一象限内,命题q :|a +(a -4)i|≤√10,其中i 是虚数单位,若p ∧q 是真命题,则a 的取值范围是A.(0,2)B.[1,3]C.[1,2)D.(0,3)4．已知抛物线x 2=4y 的准线为l ,过点P (0,2)的直线交抛物线于点A ,B ,且满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PB⃗⃗⃗⃗⃗ ,则线段AB 的中点到准线l 的距离为A.72B.3C.52D.25．已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,则f (-π6)=A.-12B.-1C.12D.-√326．如图,四边形ABCD 中, AB ⊥BC ,AB =√3,BC =2CD =2,点E 是BC 的中点,∠BCD =120°,则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为A.12B.1C.32D.-17．为计算S =1-12+13−14+…+199−1100,设计了如图所示的程序框图,则在空白框中应填A.i ≤100B.i <101C.i <99D.i =1018．已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的各条棱中最长棱的长度为A.4B.5C.√13D.√269．某公园内有一个半径为60米的圆形池塘,池塘内有美丽的荷花与锦鲤,为了方便游客观赏,公园负责人打算在池塘上搭建一个“工”字形的木桥(如图),其中AB =CD ,E ,F 分别为AB ,CD 的中点,圆心O 为EF 的中点,则木桥的长度最长可以为A.120√2米B.240√C.120√米D.240√2米10．设函数f (x )=e x +e -x -1lg(x +1),则使得f (2x +1)<f (x -2)成立的x 的取值范围是A.(-3,-12)∪(-12,13] B.(-4,14) C.(-3,-12)∪(-12,13)D.(-3,13)11．在三棱锥P -ABC 中,平面PBC ⊥平面ABC ,∠ABC =90°,AB =2,BC =1,PB =2√2,∠PBC =45°,则三棱锥P -ABC 外接球的表面积是A.16πB.14πC.20πD.22π12．已知双曲线C :x 2a −y 2b =1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,直线l 过左焦点F 1且与双曲线的左支交于A ,B 两点,若|AF 1|=3|BF 1|,|AB |=|BF 2|,则双曲线C 的离心率为A.√2B.√3C.2D.√5第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题(共4题，每题5分，共20分)13．袋子里装有5个颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫的小球(大小、形状、质量完全相同),某人从袋子中一次性取出2个小球,则取出的2个小球中含有红色小球的概率为 .14．已知实数x ,y 满足不等式组{y ≥0,y ≤x,x +y -m ≤0,且目标函数z =3x -2y 的最大值为180,则实数m 的值为 .15．若(√x +2√x4)n 展开式中前三项的系数成等差数列,且含x 的项为f (x ),则∫|f (x )|dx n−1=.16．若函数f (x )=e x -(1-a )x -a (x +1)ln(x +1)在定义域内单调,则实数a 的取值集合为 .三、解答题(共7题，每题12分，共84分)17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ,S n =n 2+n +a +1(a ∈R ).(1)若a =2,求数列{a n }的通项公式; (2)若数列{a n }是等差数列,b n =a n+1n·S n+1,求数列{b n }的前n 项和T n .18．如图,在四棱锥P -OABC 中,四边形OABC 为直角梯形,AB ∥OC ,AO ⊥OC ,2AB =2AO =OC =PO =4,D 为OC 的中点,E 为线段PO 上的动点(不与端点重合).(1)问:E 在什么位置时,PB ∥平面ADE ?(2)若PO ⊥平面OABC ,当E 到平面PBC 的距离为√3时,求锐二面角E -BC -P 的余弦值.19．清华大学中学生标准学术能力诊断性测试于2018年11月2日-3日分线上和线下同时进行,清华大学为了解2019届考生的学业水平,从线下考生中随机抽取100名考生,对他们的成绩(单位:分)进行统计分析,按成绩分组,得到频率分布表如下:(1)请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据,再完成如下的频率分布直方图(用阴影表示);(2)学校校招办决定从第4,5组中用分层抽样的方法抽取10名考生进行自主招生面试,从这10名考生中随机抽取3名考生接受考官M 的面试,这3名考生中来自第5组的人数记为ξ,试求ξ的分布列和数学期望.20．在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点(-1,32),且它的右焦点为F (1,0).直线l :y =kx +1与椭圆C 有两个不同的交点A ,B. (1)求椭圆C 的方程;(2)设点M 在y 轴上(M 不在l 上),且满足S 1S 2=|AM||BM|,其中S 1,S 2分别为△OAM ,△OBM 的面积,求点M 的坐标.21．已知函数f (x )=x e 2x -a (2x +ln x ),a ∈R ,e 为自然对数的底数.(1)若曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y =-e 2,求a 的值;(2)若x 0为函数f (x )的极值点,且f (x 0)>0,求证:f (x 0)>x 0-4x 03.22．在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosφ,y =2sinφ(φ为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sin θ.(1)求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程;(2)已知曲线C 3是过坐标原点且倾斜角为α的直线,点A 是曲线C 3与C 1的交点,点B 是曲线C 3与C 2的交点,且点A ,B 均异于坐标原点O ,|AB |=4√2,求α的值. 23．已知函数f (x )=|2x -1|+|2x -2|-x -3.(1)在平面直角坐标系中作出函数f (x )的图象; (2)设函数f (x )的最小值为m ,若a >0,b >0,c >0,且12a+13b +14c =|m|3,求证:2a +3b +4c ≥9.参考答案1.C【解析】本题主要考查指数不等式的解法、函数的值域、集合的交运算,考查考生的运算求解能力.先解指数不等式得到集合A ,再根据函数的值域求得集合B ,最后根据集合的交运算求解即可.A ={x |2x +1>3}=(1,+∞),B ={y |y =2}=[0,2],则A ∩B =(1,2].【备注】无 2.A【解析】本题考查分段函数求值,考查考生的运算求解能力,考查的核心素养是数学运算. 先求f (1e )的函数值,再求f (f (1e))的函数值.由题意知f (1e)=e,故f (f (1e))=f (e)=ln e=1.【备注】无 3.C【解析】本题考查复数的几何意义、复数的模、复合命题等,考查考生对基础知识的掌握情况.利用复数的几何意义得到命题p 中关于a 的不等式组,解得a 的取值范围,根据复数模的知识解得命题q 中a 的取值范围,再求上述两个范围的交集,即可解出a 的取值范围. 由题意知,命题p ,q 均为真命题.由命题p 得{a >0,2-a >0,解得0<a <2,由命题q 得a 2+(a -4)2≤10,解得1≤a ≤3,故a 的取值范围是[1,2). 【备注】无 4.A【解析】本题主要考查抛物线的标准方程、几何性质、直线与抛物线的位置关系、中点坐标公式,向量的坐标运算,考查考生的运算求解能力.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),不妨令x 1<x 2,设出直线AB 的方程,通过AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PB⃗⃗⃗⃗⃗ 得到A ,B 的横坐标之间的关系,联立直线AB 与抛物线的方程,利用根与系数的关系求得A ,B 的横坐标,进而得它们的纵坐标,最后利用中点坐标公式求解即可.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由抛物线的对称性不妨令x 1<x 2,由题意设过点P (0,2)的直线方程为y =kx +2.由AP⃗⃗⃗⃗⃗ =2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 得x 1=-2x 2.联立得{y =kx +2,x 2=4y,得x 2-4kx -8=0,所以{x 1+x 2=4k,x 1x 2=-8.结合x 1=-2x 2,得{x 1=-4,x 2=2,所以{y 1=4,y 2=1.所以线段AB 的中点到准线l :y =-1的距离为y 1+y 22+1=72.【备注】无5.B【解析】本题主要考查三角函数的图象与性质等知识,意在考查考生的识图能力、运算求解能力、化归与转化能力.试题以正弦型函数的图象为载体,将图象语言转化为数学语言,通过分析、研究函数的图象得到函数的性质,在求解本题的过程中渗透了对直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养的考查.结合图象求出A ,ω,φ的值,确定函数f (x )的解析式,再代入求值即可.解法一 由题意得, A =2,T =43×(11π12−π6)=π,所以ω=2.又函数f (x )的图象经过点(π6,2),所以sin(2×π6+φ)=1.又|φ|<π2,所以φ=π6,所以f (x )=2sin(2x +π6),所以f (-π6)=2sin[2×(-π6)+π6]=2sin(-π6)=-1.故选B.解法二 由题意及f (x )的图象得,A =2,T =43×(11π12−π6)=π,所以ω=2.易知2×π6+φ=π2,所以φ=π6,所以f (x )=2sin(2x +π6),所以f (-π6)=2sin[2×(-π6)+π6]=2sin(-π6)=-1.故选B. 【备注】无 6.B【解析】本题主要考查向量的数量积等知识,考查的核心素养是直观想象、数学运算.可以利用几何法求解,先表示出AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,进而求得AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值.也可以建立平面直角坐标系解决.解法一 (几何法)根据题图知,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,其中AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos 150°=-32,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =1×1×cos 60°=12,所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1.故选B. 解法二 (几何法)在Rt△ABE 中,BE =1, AB =√3,则AE =2,从而可知∠AEB =60°.又BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,其中AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2×cos 60°=2,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×1×cos 120°=-1,故AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1.故选B. 解法三 (坐标法)以B 为坐标原点,BC ,BA 所在的直线分别为x 轴,y 轴建立平面直角坐标系,则A (0,√3),B (0,0),E (1,0),D (52,√32),则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-√3),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(52,√32),所以AE⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1×52+(-√3)×√32=1.故选B.【备注】【归纳总结】采用几何法求解向量的数量积时,要弄清所选的基底的长度与夹角;对于一些特殊的图形,可以采用建立直角坐标系的方法求解,其中点的坐标的计算要细心,否则,容易出错. 7.D【解析】本题考查程序框图的识别,考查的核心素养是逻辑推理.i =1,N =1,T =12;i =3,N =1+13,T =12+14;…;i =99,N =1+13+…+199,T =12+14+…+1100;i =101,结束循环.输出S =N -T =1-12+13−14+…+199−1100.故选D. 【备注】无 8.D【解析】本题考查几何体的三视图,考查几何体中棱长的求法,考查考生的空间想象能力. 先判断三视图还原的几何体的特征与形状,然后通过三视图中的数据,分别求出该几何体的各条棱的长度的平方,通过比较得出最长棱的长度.三视图还原的几何体是一个侧面垂直于底面的三棱锥,记为三棱锥A -BCD ,如图,过点A 作AE ⊥BD 于点E ,过点C 作CF ⊥BD 于点F ,连接CE ,AF ,由三视图可得,AE =4,BD =4,BE =3,ED =1,BF =2,FD =2,CF =3.所以CE 2=CF 2+FE 2=9+1=10,AC 2=CE 2+AE 2=10+16=26,AB 2=BE 2+AE 2=9+16=25,AD 2=AE 2+DE 2=16+1=17,BC 2=DC 2=FD 2+CF 2=22+32=13,所以最长的棱为AC ,其长度为√26.故选D.【备注】无 9.C【解析】本题考查解三角形的实际应用,考查的核心素养是数学建模、直观想象、数学运算. 连接AO ,设∠AOE =θ(0<θ<π2),则AB =2AE =120sin θ,EF =2OE =120cos θ,所以AB +CD +EF =240sin θ+120cos θ=120√5sin(θ+φ),其中sin φ=√55,cos φ=2√55,易知当θ+φ=π2时,(AB +CD +EF )max =120√5(米),此时AB =CD =120sin θ=120cosφ=48√5(米),EF =120cos θ=120sin φ=24√5(米).【备注】无 10.C【解析】本题主要考查函数的奇偶性与单调性,考查考生的化归与转化能力和运算求解能力. 试题题干简洁,需要考生通过函数解析式判断函数的奇偶性、单调性,从而得到不等关系进行求解,侧重对数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养的考查.先求出函数f (x )的定义域为{x |x ≠0,x ∈R },判断函数f (x )为偶函数,再证明f (x )在(0,+∞)上是增函数,最后运用单调性与奇偶性求出符合题意的x 的取值范围.∵lg(x 2+1)≠0,∴x ≠0,∴函数f (x )的定义域为{x |x ≠0,x ∈R }.又f (-x )=e -x +e x -1lg(x 2+1)=f (x ),∴f (x )为偶函数.当x ∈(0,+∞)时,令g (x )=e x +e -x ,h (x )=-1lg(x 2+1),则g'(x )=e x -e -x >0,∴g (x )在(0,+∞)上是增函数.易知函数h (x )在(0,+∞)上是增函数,∴f (x )在(0,+∞)上是增函数.又f (x )为偶函数,∴f (2x +1)=f (|2x +1|),f (x -2)=f (|x -2|),∴由f (2x +1)<f (x -2)得,{|2x +1|<|x -2|,2x +1≠0,x -2≠0,得-3<x <-12或-12<x <13,故x 的取值范围是(-3,-12)∪(-12,13).【备注】【技巧点拨】在求解较为复杂的函数问题时,要优先考虑利用函数的性质,如单调性、奇偶性等求解.本题中的函数为偶函数,运用偶函数的性质f (x )=f (|x |)可以避免分情况讨论. 11.B【解析】本题考查空间几何体中点、线、面之间的位置关系以及三棱锥外接球表面积的求解,考查考生的空间想象能力及运算求解能力.解法一 在△ABC 中,易得AC =√5,取AC 的中点M ,过点M 作MN ⊥BC 于点N ,则MN =12AB =1,且MN ⊥平面PBC ,所以MN 为三棱锥P -ABC 外接球的球心到平面PBC 的距离.在△PBC 中,易得PC =√5,故△PBC 外接圆的直径为√5sin45°=√10故三棱锥P -ABC 外接球的半径R =√(√102)2+12=√142,所以S 外接球=4πR 2=14π,故选B.解法二 在平面BCP 中找一点Q ,连接BQ ,使得BQ 为△BCP 外接圆的直径,连接QC ,则∠QCB =90°,则QC ⊥平面ABC ,所以QC ⊥AC ,∠QCA =90°. 易知AB ⊥平面PBC ,则∠ABQ =90°,连接AQ ,设AQ 的中点为O ,则点O 到A ,B ,C ,Q 四点的距离相等,故AQ 为三棱锥P -ABC 外接球的直径.易得PC =√5,BQ =√5sin45°=√10所以AQ 2=BQ 2+AB 2=14=4R 2(R 为外接球的半径).故S 外接球=4πR 2=14π,故选B.【备注】【解题关键】解决此类问题的关键是抓住多面体外接球的特点:球心到多面体各个顶点的距离等于球的半径. 12.A【解析】本题主要考查圆锥曲线的离心率,考查考生的运算求解能力.设|BF 1 |=x ,先利用双曲线的定义建立起x 与a 的关系,再借助余弦定理建立起x 与c 的关系,最后利用离心率的计算公式求解.解法一 令|BF 1|=x ,则|AF 1|=3x ,|AB |=|BF 2|=4x .连接AF 2,由双曲线的定义可知,|BF 2|-|BF 1|=4x -x =3x =2a ,|AF 2|-|AF 1|=2a =3x ,所以|AF 2|=3x +|AF 1|=6x .因为∠AF 1F 2+∠BF 1F 2=π,所以cos∠AF 1F 2+cos∠BF 1F 2=0.由余弦定理可得cos∠AF 1F 2=9x 2+4c 2-36x 22×3x×2c ,cos∠BF 1F 2=x 2+4c 2-16x 22×x×2c,所以9x 2+4c 2-36x 22×3x×2c+x 2+4c 2-16x 22×x×2c=0,得c =3√22x ,又a =3x 2,所以双曲线C 的离心率e =c a=√2.解法二 令|BF 1|=x ,则|AF 1|=3x ,|AB |=|BF 2|=4x .连接AF 2,由双曲线的定义可知,|BF 2|-|BF 1|=4x -x =3x =2a ,|AF 2|-|AF 1|=2a =3x ,所以|AF 2|=3x +|AF 1|=6x .取AF 2的中点D ,连接BD ,则BD ⊥AF 2.在△ABD 中,cos∠BAD =|AD||AB|=3x 4x =34.在△AF 1F 2中,cos∠F 1AF 2=9x 2+36x 2-4c 22×3x×6x=cos∠BAD =34,得c =3√22x ,又a =3x2,所以双曲线C 的离心率e =ca=√2.【备注】无13.25【解析】本题主要考查古典概型概率的求解,考查的核心素养是数学建模和数学运算. 采用列举法及古典概型的概率计算公式求解即可.从袋子中一次性取出2个小球的情况有(红,黄),(红,蓝),(红,绿),(红,紫),(黄,蓝),(黄,绿),(黄,紫),(蓝,绿),(蓝,紫),(绿,紫),共10种,其中取出的2个小球中含有红色小球的情况有4种,故所求概率为25.【备注】无 14.60【解析】本题主要考查线性规划的知识,考查数形结合思想、运算求解能力.先确定m 的取值范围,然后作出可行域,利用z =3x -2y 的最大值为180,即可得m 的值. 当m ≤0时,不合题意;当m >0时,画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,目标函数z =3x -2y 可变形为y =32x -z 2,作出直线y =32x 并平移,结合图象可知,当平移后的直线经过点A (m ,0)时,z =3x -2y 取得最大值180,所以3m -0=180,解得m =60. 【备注】无 15.2 27516【解析】本题考查二项式定理、定积分的计算,考查运算求解能力.先由已知求出n 的值,再由二项展开式的通项求出f (x ),最后求定积分的值.由题意得C n 0+C n 2·12=2C n 1·12,得n =8.则(√x +2√x4)8展开式的通项T r +1=C 8r (√x )8-r·(2√x4)r=2-rC 8r x 4-34r ,令4-34r =1,得r =4,于是,f (x )=C 84×2-4×x 4-34×4=358x ,∫|f (x )|dx n −1=∫|358x|dx n −1=∫−358xdx 0−1+∫358xdx 80=-3516x 2|0−1+3516x 2|8=3516+3516×64=2 27516.【备注】无 16.{1}【解析】本题主要考查函数的单调性、导数的应用,考查运算求解能力、化归与转化能力和分类讨论思想.先分析题意将问题转化为f '(x )≥0在(-1,+∞)上恒成立,然后对a 进行分类讨论,利用函数的单调性、零点存在性定理得到结果.由题意知函数f (x )的定义域为(-1,+∞),f '(x )=e x -1-a ln(x +1).因为f '(0)=0,且当x →+∞时,e x →+∞,所以要使函数f (x )是单调函数,只需f '(x )≥0在(-1,+∞)上恒成立.令F (x )=f '(x ),当a ≤0时,易知F (x )单调递增,且当-1<x <0时,F (x )<F (0)=0,不满足题意,舍去;当0<a <1时,F'(x )=e x -a 1+x,易知F'(x )单调递增,又F'(0)=1-a >0,F'(a -1)=e a -1-1<0,所以F'(0)F'(a -1)<0,则存在x 1∈(a -1,0),使得F'(x 1)=0,当x ∈(x 1,0)时,F'(x )>0,F (x )单调递增,则当x ∈(x 1,0)时,F (x )<F (0)=0,不满足题意,舍去;当a =1时,易知f '(x )=e x -1-ln(x +1)≥x -ln(x +1)≥0,满足题意;当a >1时,F'(x )=e x -a1+x,易知F'(x )单调递增,又F'(0)=1-a <0,F'(a -1)=e a -1-1>0,所以F'(0)F'(a -1)<0,则存在x 2∈(0,a -1),使得F'(x 2)=0,当x ∈(0,x 2)时,F'(x )<0,F (x )单调递减,则当x ∈(0,x 2)时,F (x )<F (0)=0,不满足题意,舍去.综上,实数a 的取值集合为{1}. 【备注】无17.解:(1)当a =2时,S n =n 2+n +3. 当n =1时,a 1=S 1=5, 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2n , 经检验,a 1=5不符合上式,故数列{a n }的通项公式为a n ={5,n =1,2n,n ≥2.(2)当n =1时,a 1=S 1=3+a ; 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2n .∵数列{a n }是等差数列,∴3+a =2,解得a =-1, ∴a n =2n ,S n =n 2+n . 则b n =2(n+1)n·[(n+1)2+n+1]=2(n+1)n·(n+1)(n+2)=2n·(n+2)=1n −1n+2,∴T n =b 1+b 2+…+b n =1-13+12−14+13−15+…+1n -1−1n+1+1n −1n+2=1+12−1n+1−1n+2=32-(1n+1+1n+2).【解析】本题主要考查数列的通项和前n 项和之间的关系、等差数列的定义、裂项相消法求和,考查考生的运算求解能力、逻辑思维能力.试题结合等差数列的定义、裂项相消法考查数列的有关知识,也考查考生的观察能力、恒等变形能力等,其中渗透了数学运算、逻辑推理等核心素养.(1)利用数列的通项和前n 项和之间的关系即可求出数列{a n }的通项公式,要注意检验n =1的情况;(2)先根据数列{a n }是等差数列求出a 的值,再求出a n ,S n ,最后利用裂项相消法求数列{b n }的前n 项和.【备注】【易错警示】在利用数列的通项和前n 项和之间的关系求数列的通项公式时,很多考生会根据a n =S n -S n -1直接求得结果,而忽略了此等式成立的前提是n ≥2,遗漏了对a 1的检验而出错,如本题第(1)问中a 1=5就不符合a n =2n (n ≥2),需要将结果写成分段的形式.18.解:(1)当E 为PO 的中点时,PB ∥平面AD E. 理由如下:连接DB ,由题意知,AB 平行且等于OD ,故四边形ABDO 是平行四边形. 连接OB ,记AD ∩BO =F ,连接EF ,则EF ∥PB ,因为PB ⊄平面ADE ,EF ⊂平面ADE ,所以PB ∥平面AD E.(2)依题意,可以O 为坐标原点,OA ,OC ,OP 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,则O (0,0,0),B (2,2,0),C (0,4,0),P (0,0,4),则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,2,0),PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,-4). 设E (0,0,a )(0<a <4),平面PBC 的法向量为m =(x 1,y 1,z 1),则{m·BC⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-2x 1+2y 1=0,4y 1-4z 1=0,则m 可取(1,1,1).又EP⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,4-a ),所以E 到平面PBC 的距离d =√3=|m·EP ⃗⃗⃗⃗⃗||m|,得a =1, 则EC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,-1). 设平面EBC 的法向量为n =(x 2,y 2,z 2), 则{n 即{-2x 2+2y 2=0,4y 2-z 2=0,则n 可取(1,1,4).因为cos<m , n >=m·n|m||n|=√63, 所以锐二面角E -BC -P 的余弦值为√63.【解析】本题主要考查线面位置关系的判定、点到平面的距离、二面角的求解,考查考生的逻辑推理能力、空间想象能力、运算求解能力.(1)利用线面平行的判定定理进行求解;(2)建立空间直角坐标系,求出相关点的坐标,利用向量投影求得点E 的坐标,再分别求出平面BCP 和平面EBC 的一个法向量,利用向量夹角公式即可求解.【备注】【易错警示】本题的易错点是把点到平面的距离的向量公式d =|m·EP ⃗⃗⃗⃗⃗ ||m|记错,误记为d =|m·EP⃗⃗⃗⃗⃗ ||EP⃗⃗⃗⃗⃗ |,从而导致失分.19.解:(1)由题意可知第1组的频数为100×0.10=10,第3组的频数为100×0.25=25,第5组的频数为100×0.05=5,所以100-(10+25+20+5)=40,①处应填的数为40.20100=0.2,所以②处填0.2.频率分布直方图如图所示.(2)由题意可知第4,5组共有25名学生,所以利用分层抽样的方法从25名学生中抽取10名学生进行面试,第4组抽取1025×20=8(名),第5组抽取1025×5=2(名),则ξ的所有可能取值为0,1,2.P (ξ=0)=C 83C 20C 103=715,P (ξ=1)=C 82C 21C 103=715,P (ξ=2)=C 81C 22C 103=115.ξ的分布列为所以E (ξ)=0×715+1×715+2×115=35. 【解析】本题主要考查频率分布直方图的画法、离散型随机变量的分布列与数学期望,考查考生运用数学知识解决实际问题的能力,考查的核心素养是数据分析、数学建模. (1)利用频数分布表中的数据,计算各组的频率组距的值,再画出频率分布直方图;(2)利用分层抽样确定第4,5组中抽取的学生人数,再列出ξ的所有可能取值,分别求出每个取值对应的概率,列出分布列,计算数学期望.【备注】【易错警示】本题的易错点有两处:一是ξ取值的判断有误,导致所求得的ξ的所有可能取值出错;二是求ξ的分布列出错,若能利用“所有的概率之和为1”进行检验,就能有效地避开此类错误.20.解:(1)因为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点(-1,32),且它的右焦点为F (1,0), 所以{1a 2+94b 2=1,a 2-b 2=1,得{a 2=4,b 2=3,因此椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(2)解法一 过点A 作AP ⊥y 轴于点P ,过点B 作BQ ⊥y 轴于点Q . 易得S 1S 2=|AP||BQ|, 因为S 1S 2=|AM||BM|,所以|AM||BM|=|AP||BQ|,所以Rt△AMP ∽Rt△BMQ , 所以∠AMO =∠BMO ,即直线AM 和直线MB 的倾斜角互补, 所以其斜率之和为零.当k =0时,点M 为y 轴上除原点O 和直线l 与y 轴的交点外的任意一点. 当k ≠0时,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (0,m ), 则y 1-m x 1+y 2-m x 2=0,所以x 2y 1+x 1y 2=m (x 1+x 2). 由{x 24+y 23=1,y =kx +1,得(4k 2+3)x 2+8kx -8=0,则x 1+x 2=-8k4k 2+3,x 1x 2=-84k 2+3,则x 2y 1+x 1y 2=x 2(kx 1+1)+x 1(kx 2+1)=2kx 1x 2+(x 1+x 2)=-24k 4k 2+3,所以-24k 4k 2+3=-8km4k 2+3,因为k ≠0,所以m =3.所以点M 的坐标为(0,3).综上所述,点M 的坐标为(0,3). 解法二 因为S 1S 2=|AM||BM| ,其中S 1,S 2分别为△OAM ,△OBM 的面积,所以S 1S 2=12×|MA|×|OM|×sin∠AMO 12×|MB|×|OM|×sin∠BMO =|AM||BM|,所以sin∠OMA =sin∠OMB ,可得直线AM 和直线MB 的倾斜角互补,所以其斜率之和为零.当k =0时,点M 为y 轴上除原点O 和直线l 与y 轴的交点外的任意一点. 当k ≠0时,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (0,m ), 则y 1-m x 1+y 2-m x 2=0,所以x 2y 1+x 1y 2=m (x 1+x 2). 由{x 24+y 23=1,y =kx +1,得(4k 2+3)x 2+8kx -8=0,则x 1+x 2=-8k4k 2+3,x 1x 2=-84k 2+3,则x 2y 1+x 1y 2=x 2(kx 1+1)+x 1(kx 2+1)=2kx 1x 2+(x 1+x 2)=-24k 4k 2+3,所以-24k 4k 2+3=-8km4k 2+3,因为k ≠0,所以m =3.所以点M 的坐标为(0,3).综上所述,点M 的坐标为(0,3).【解析】本题主要考查椭圆的方程,直线与椭圆的位置关系,三角形的面积等知识,考查考生分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力.试题以椭圆为载体,要求考生抓住解析几何问题的本质,建立数与形之间的联系,体现了直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养.(1)根据点(-1,32)在椭圆上,且右焦点为F (1,0)列方程组,解方程组可得a 2,b 2,即得椭圆方程;(2)将△OAM 与△OBM 的面积的比值等价转化为底边OM 上的高的比值,再根据三角形相似得到∠OMA =∠OMB ,进而得到直线MA 和直线MB 的斜率之和为零,最后根据k 的取值分类讨论,即可求解. 【备注】无21.解:(1)由题意得,f (x )的定义域为(0,+∞),f '(x )=e 2x +2x e 2x -a (2+1x)=(2x +1)(e 2x -ax),则f '(1)=3(e 2-a ),又f (1)=e 2-2a ,所以曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y -(e 2-2a )=3(e 2-a )(x -1), 即y -(e 2-2a )=3(e 2-a )x +3a -3e 2,所以{3(e 2-a)=0,3a -3e 2+(e 2-2a)=-e 2,解得a =e 2.(2)由(1)得,f '(x )=(2x +1)(e 2x -a x),显然2x +1>0. 令g (x )=e 2x-ax,x ∈(0,+∞).当a ≤0时,f '(x )>0,f (x )在(0,+∞)上单调递增,无极值,不符合题意; 当a >0时,g '(x )=2e 2x +ax2>0,所以g (x )在(0,+∞)上单调递增. 取b 满足0<b <min{14,a 2},则e 2b <√e ,-a b<-2, 所以g (b )=e 2b-ab<√e -2<0.又g (a )=e 2a -1>0,所以存在x 0∈(b ,a ),使得g (x 0)=e 2x 0−a x 0=0,此时a =x 0e 2x 0.又当x ∈(0,x 0)时,g (x )<g (x 0)=0,f '(x )<0,f (x )单调递减, 当x ∈(x 0,+∞)时,g (x )>g (x 0)=0,f '(x )>0,f (x )单调递增,所以x 0为函数f (x )的极小值点,且f (x 0)=x 0e 2x 0-x 0e 2x 0(2x 0+ln x 0)=x 0e 2x 0(1-2x 0-ln x 0). 令h (x )=1-2x -ln x ,则h '(x )=-2-1x <0,所以h (x )在(0,+∞)上单调递减. 又h (12)=ln 2>0,h (1)=-1<0,所以12<x 0<1.令t (x )=e x-(x +1),则t'(x )=e x-1.所以当x ∈(0,+∞)时,t (x )单调递增,所以t (x )>t (0)=0,所以e x >x +1,所以f (x 0)=x 0e 2x 0(1-2x 0-ln x 0)>x 0(2x 0+1)(1-2x 0)=x 0-4x 03.【解析】本题主要考查导数的几何意义、函数的极值点、不等式的证明等,考查考生利用导数的有关知识分析问题、解决问题的能力,推理论证能力和化归与转化能力等.本题以含参函数为依托,运用导数运算法则,通过选择合适的方法,经过推理、运算解决问题,体现数学抽象、数学运算等核心素养.(1)先对函数f (x )求导得到f '(x ),再分别求f (1),f '(1),写出曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程,由题意列出方程组,解方程组即可求得a 的值;(2)需要多次构造函数,利用函数的单调性、极值等解决问题.【备注】【解后反思】本题第(2)问的求解过程需要多次构造函数,需要考生有清晰的解题思路,对考生的能力要求较高,试题的区分度较好.22.解:(1)由{x =2+2cosφ,y =2sinφ,消去参数φ,可得C 1的普通方程为(x -2)2+y 2=4,∵ρ=4sin θ,∴ρ2=4ρsin θ, 由{x =ρcosθ,y =ρsinθ,得曲线C 2的直角坐标方程为x 2+(y -2)2=4.(2)由(1)得,曲线C 1:(x -2)2+y 2=4,其极坐标方程为ρ=4cos θ.由题意设A (ρ1,α),B (ρ2,α),则|AB |=|ρ1-ρ2|=4|sin α-cos α|=4√2|sin(α-π4)|=4√2, ∴sin(α-π4)=±1,∴α-π4=π2+k π(k ∈Z),α=3π4+k π,k ∈Z .∵0<α<π,∴α=3π4.【解析】本题考查曲线的普通方程与参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化以及倾斜角的求法,考查运算求解能力、化归与转化思想.(1)由曲线C 1的参数方程消去参数φ求出曲线C 1的普通方程,曲线C 2的极坐标方程化为ρ2=4ρsin θ,根据x =ρcos θ,y =ρsin θ,求出C 2的直角坐标方程;(2)曲线C 1化为极坐标方程为ρ=4cos θ,设A (ρ1,α),B (ρ2,α),从而得到|AB |=|ρ1-ρ2|,再进行运算求解即可.【备注】无23.解:(1)由f (x )=|2x -1|+|2x -2|-x -3得,f (x )={-5x,x <12,-x -2,12≤x ≤1,3x -6,x >1,作出函数f (x )的图象如图所示.(2)由(1)可知函数f (x )的最小值为-3,从而|m |=3, 因此12a+13b +14c =1. 又a ,b ,c 均为正数,所以2a +3b +4c =(2a +3b +4c )×1=(2a +3b +4c )(12a+13b +14c )=3+(3b2a +2a3b )+(4c2a +2a4c )+(4c3b +3b 4c)≥3+2+2+2=9,当且仅当2a =3b =4c 时等号成立.【解析】本题主要考查零点分段法、含绝对值函数图象的作法和基本不等式的应用,考查考生的运算求解能力和推理论证能力.试题以含绝对值的函数为载体,要求考生作出函数图象,证明不等式,体现了直观想象、数学运算等核心素养.(1)利用零点分段法得到函数f (x )的分段解析式,然后在平面直角坐标系中作出函数f (x )的图象;(2)利用(1)的结论得到2a +3b +4c =(2a +3b +4c )(12a+13b +14c ),然后利用基本不等式证明.【备注】无。
2020届普通高等学校招生全国统一考试数学试题模拟卷(一) 含解析
【解析】
【分析】
将直线 的方程与抛物线 的方程联立，列出韦达定理，利用抛物线的焦点弦长公式可求得 的值，设点 ,可得 ，利用两点间的距离公式结合二次函数的基本性质可求得 的最小值。
【详解】由题意知,直线 ,即 ．
直线 经过抛物线 的焦点, ，即 ．
直线 的方程为 ．
设 、 ，联立 ，消去 整理可得 ,
【详解】(Ⅰ） 设等差数列 的公差为 ,依题意得
又 ,解得 ，所以 .
（Ⅱ)依题意得 ，即 ( 且 ）
所以 ，
。
对 上式也成立,所以 ,即 ，
所以 .
【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的综合应用，考查了累加法求数列的通项公式,考查了裂项相消法求数列的和，考查了推理能力与计算能力. 形如 的数列 均可利用累加法求通项公式。
8。将函数 的图象向右平移 （ ）个单位长度得到 的图象．若函数 在区间 上单调递增，且 的最大负零点在区间 上，则 的取值范围是（ ）
A. B。 C。 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用函数 的图象变换规律,求得 的解析式，再利用正弦函数的性质求得 的取值范围．
【详解】将函数 图象向右平移 ( ）个单位长度得到 的图象．
故选:AD
【点睛】本题考查导数几何意义、基本不等式应用，考查基本分析求解与判断能力，属中档题.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知 ，且 ，则 __________．
【答案】
【解析】
分析：根据 的值得到 的值,再根据二倍角公式得到 的值．
详解:因此 且 ,故 ，
所以 ，故填 ．
12。已知函数 ，若 在 和 处切线平行，则( )