高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用2.4二次函数与幂函数课件文
－2
的大小关系是
【解析】
(1)设幂函数的解析式为 y＝xα，
∵幂函数 y＝f(x)的图象过点(4,2)， 1 ∴2＝4 ，解得 α＝ . 2
α
∴y＝ x，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，当 0<x<1 时， 其图象在直线 y＝x 的上方，对照选项，故选 C.
(2)如图所示为函数 f(x)，g(x)，h(x)在(0,1)上的图象，由此可 知 h(x)>g(x)>f(x)．
【答案】 (1)C (2)h(x)>g(x)>f(x)
【总结反思】 (1)幂函数解析式一定要设为 y＝xα(α 为 常数)的形式；(2)可以借助幂函数的图象 理解函数的对称性、单调性；(3)在比较 幂值的大小时，必须结合幂值的特点， 选择适当的函数，借助其单调性进行比 较，准确掌握各个幂函数的图象和性质 是解题的关键.
答案：C
知识点二 二次函数 1．二次函数的三种常见解析式 (1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，(m，n)为顶点坐标； (3)两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)其中 x1，x2 分别是 f(x) ＝0 的两实根．
[0，＋∞)
[0，＋∞) [0，＋∞)
(－∞，0)∪(0，＋∞) (－∞，0] 增 增
(0，＋∞)
(－∞，0)
1．判断正误 (1)函数 f(x)＝x2 与函数 f(x)＝2x2 都是幂函数．( (2)幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0)．( (3)幂函数的图象不经过第四象限．(
答案：(1)× (2)× (3)√
答案：A
热点三 二次函数的性质及应用 考向 1 二次函数的单调性问题 【例 3】 已知函数 f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]． (1)求实数 a 的取值范围， 使 y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数； (2)当 a＝1 时，求 f(|x|)的单调区间．
【答案】 B
【总结反思】 解决二次函数的图象问题有以下两种方 法： (1)排除法，抓住函数的特殊性质或特殊 点； (2)讨论函数图象，依据图象特征，得到 参数间的关系.
对数函数 y＝logax(a>0 且 a≠1)与二次函数 y＝(a－1)x2－x 在同一坐标系内的图象可能是( )
解析：若 0<a<1，则 y＝logax 单调递减，y＝(a－1)x2－x 开口 向下，其图象的对称轴在 y 轴左侧，排除 C、D；若 a>1，则 y＝ logax 单调递增，y＝(a－1)x2－x 开口向上，其图象的对称轴在 y 轴右侧，排除 B.故选 A.
比较下列各组数的大小：
解：
热点二
二次函数的图象及应用
【例 2】 如图是二次函数 y＝ax2＋bx＋c 图象的一部分， 图 象过点 A(－3,0)，对称轴为 x＝－1.给出下面四个结论：
①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a<b. 其中正确的是( A．②④ C．②③ ) B．①④ D．①③
解析：由
c＝0， b＝－3，
c＝0， f(0) ＝ 0 ， f(3) ＝ 0 ， 得 9＋3b＋c＝0，
解得
所以 f(x)＝x2－3x，所以 f(－1)＝4，故选 D.
答案：D
4． 已知函数 f(x)＝ax2＋x＋5 的图象在 x 轴上方， 则 a 的取值范 围是( )
【解析】 因为图象与 x 轴交于两点，所以 b2－4ac>0，即 b2>4ac，①正确； b 对称轴为 x＝－1，即－2a＝－1,2a－b＝0，②错误； 结合图象，当 x＝－1 时，y>0，即 a－b＋c>0，③错误； 由对称轴为 x＝－1 知，b＝2a.又函数图象开口向下，所以 a<0，所以 5a<2a，即 5a<b，④正确．
第二章
函数、导数及其应用
第四节 二次函数与幂函数
1.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对 称性、顶点、最值)． 2．了解二次函数的广泛应用． 3．了解幂函数的概念． 1 4．结合函数 y＝x，y＝x ，y＝x ，y＝ x，
2 3
y＝x 的图象，了解它们的变化情况．
1 2
主干知识· 整合 01
课前热身 稳固根基
2．二次函数的图象和性质
答案
4ac－b2 2. ，＋∞ 4a
2 4 ac － b －∞， 4a
b －2a
3． (必修 1P24 习题 1.2A 组第 6 题改编)若函数 f(x)＝x2＋bx＋c， 且 f(0)＝0，f(3)＝0，则 f(－1)＝( A．－1 C．1 B．－2 D．4 )
1 B.－∞，－20 1 D.－20，0
a>0， 即 1－20a<0，
1 A.0，20 1 C.20，＋∞
a>0， 解析：由题意知 Δ<0，
1 得 a>20.
答案：C
5．已知函数 y＝x2－2x＋3 在闭区间[0，m]上有最大值 3，最 小值 2，则 m 的取值范围为________．
解析：如图，由图象可知 m 的取值范围是[1,2]．
答案：[1,2]
热点命题· 突破 02
课堂升华 强技提能
热点一 幂函数的图象与性质 【例 1】 (1)幂函数 y＝f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数 y＝f(x) 的图象是( )
(2)当 0<x<1 时，f(x)＝x1.1，g(x)＝x0.9，h(x)＝x ________．
)
) )
2．(必修 1P82A 组第 10 题改编)已知幂函数 f(x)＝k· xα 的图象过
1 点 2，
2 ，则 k＋α＝( 2 B．1
) 3 C.2 D．2
1 A.2
解析：因为 f(x)＝k· xα 是幂函数，所以 k＝1.又 f(x)的图象过点
1 2， 1 2 1 1 3 2 α ，所以 ＝ ，所以 α ＝ ，所以 k ＋ α ＝ 1 ＋ ＝2. 2 2 2 2 2
知识点一
幂函数
1．幂函数的定义 形如________(α∈R)的函数称为幂函数，其中 x 是________， α 为______． 2．五种幂函数的图象
3．五种幂函数的性质
答案 1．y＝xα 自变量 3．R ∞) 偶 R 奇 R R 常数 (－∞，0)∪(0，＋∞) 奇 偶 R 奇 [0，＋ 非奇非
高考数学一轮复习第二章函数6幂函数与二次函数课件新人教A版2
解析
关闭
答案
-25考点1
考点2
考点3
(2)(2020福建厦门一模)已知函数f(x)的定义域为R,满足f(x)+f(-x)
=2,且当x>0时,f(x)=-x2-2x+1.若f(2m-3)≤4,则实数m的取值范围
是 [1,+∞)
.
解析:(2)设x<0,则-x>0,则f(-x)=-x2+2x+1.因为f(x)+f(-x)=2,所以
-
∴α=-2,∴f(x)= .
关闭
1
由 f(x)的图象可知,f(x)的减区间是(0,+∞).
y= 2 (0,+∞)
解析
答案
-12考点1
考点2
考点3
考点 1
幂函数的图象和性质
例1(1)若幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图象是
( C )
(2)已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)·
双基自测
1
2
3
4
5
1
3.(2020福建漳州一模)当α∈ -1, ,1,3
时,幂函数y=xα的图象不可能
2
经过的象限是(
)D
A.第二象限 B.第三象限
C.第四象限 D.第二、四象限
-10知识梳理
1
双基自测
2
3
4
5
4.(2020四川成都模拟)某社团小组需要自制实验器材,要把一段
长为12 cm的细铁丝锯成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个
思考如何求二次函数在闭区间上的最值?
-27考点1
考点2
考点3
高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用2_4指数函数课件理新人教A版
a当n为奇数且n∈N*时，
±n a 当n为偶数且n∈N*时.
(2)根式的性质
①(n a)n＝a(n∈N*)．
a，n为奇数，
②n
an＝
|a|
＝a，a≥0， －a，a＜0，
n为偶数.
2．有理数指数幂
(1)幂的有关概念： ①正分数指数幂：
＝ n am
(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；
2．指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d 与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b.由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图 象越高(低)，其底数越大．
3．注意事项 (1)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平 移、对称、翻折变换得到其图象． (2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合 观察两曲线动与不动及动的范围求解．
(2)若不等式 1＋2x＋4x·a>0 在 x∈(－∞，1]时恒成立，则实数 a 的取值范围
是
．
解析：从已知不等式中分离出实数 a，得 a>－14x＋12x. 因为函数 y＝14x 和 y＝12x 在 R 上都是减函数，所以当 x∈(－∞，1]时，14x≥14，12 x≥12，
跟踪训练 (1)(2017·江西三校联考)化简4 16x8y4(x＜0，y＜0)的结果为( )
A．2x2y
B．2xy
C．4x2y
D．－2x2y
答案：D
答案：85
考点二|指数函数的图象及应用 (思维突破) 【例2】 (1)函数f(x)＝2|x－1|的图象是( )
2025年高考数学一轮复习-2.4.2-简单幂函数的图象和性质【课件】
[基础自测]
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)幂函数的图象都过点(0,0)，(1,1)．( × ) (2)幂函数的图象一定不能出现在第四象限，但可能出现在第二象 限．( √ ) (3)当幂指数α取 1,3，1时，幂函数 y＝xα是增函数．( √ )
2 (4)当幂指数α＝－1 时，幂函数 y＝xα在定义域上是减函数．( × ) (5)当α＝0 时，幂函数 y＝xα的图象是一条直线．( × ) (6)若幂函数 y＝xα的图象关于原点对称，则 y＝xα在定义域内 y 随 x 的增大而增大．( × )
2.4.2简单幂函数的图象和性质
[知识要点] 知识点一 幂函数的概念
一般地，形如__y＝__x_α___(α为常数)的函数，即底数是自变量、指 数是常数的函数称为幂函数．
知识点二 幂函数的图象和性质
函数
定义 域 值域 奇偶 性
y＝x
R R 奇函数
y＝x2
y＝x3
y＝x
1 2
y＝1x
R
R
_{_x_|_x_≥__0_} _{_x_|x_≠__0_}_
且在(0，＋∞)上单调递减，因此 A，B 错误；当 x＝1 时，f(1)＝1， 因此 C 正确，D 错误．故选 ABD. 答案：ABD
4．已知幂函数 y＝f(x)的图象过点(3， 3)，则 f(9)＝________.
解析：设幂函数 f(x)＝xα(α为常数)， ∵幂函数 y＝f(x)的图象过点(3， 3)， ∴ 3＝3α，解得α＝1，
2．若函数 y＝(m2＋2m－2)xm 为幂函数且在第一象限为增函数，则
m 的值为( )
A．1
B．－3
C．－1
D．3
解析：因为函数 y＝(m2＋2m－2)xm 为幂函数且在第一象限为增函
高考数学一轮总复习第2章函数导数及其应用2.4幂函数与二次函数模拟演练课件理
自己集中注意力。 第四，回答问题。 上课时积极回答问题是吸收知识的有效途径。课堂上回答问题要主动大胆。回答时要先想一想“老师提的是什么问题?”，“它和学过的内容有什么
5．[2016·上海静安期末]已知函数 f(x)＝－x2＋4x，x∈
[m,5]的值域是[－5,4]，则实数 m 的取值范围是(
)
A．(－∞，－1)
B．(－1,2]
C．[ －1,2]
D．[2,5)
解析 二次函数 f(x)＝－x2＋4x 的图象是开口向下的抛 物线，最大值为 4，且在 x＝2 时取得，而当 x＝5 或－1 时， f(x)＝－5，结合图象可知 m 的取值范围是[－1,2]．
C．(－2,2]
D．(－∞，－2)
解析 当 a－2＝0 即 a＝2 时，不等式为－4<0，恒成 立．当 a－2≠0 时，aΔ－ <02，<0， 解得－2<a<2，所以 a 的取 值范围是－2<a≤2.故选 C.
12．[2017·吉林松原月考]设函数 f(x)＝x2＋x＋a(a＞0)，
已知 f(m)＜0，则(
联系？”，并先在头脑中理一理思路，想好回答时，先答什么，后答什么。老师对你的回答做出点评和讲解，指出大家都应该注意的问题和标准答案时 你一定要仔细听讲，从中发现哪些是应当记住和掌握的。
2019/7/6
最新中小学教学课件
21
谢谢欣赏！
2019/7/6
最新中小学教学课件
【推荐ppt】2019版高考数学一轮复习第二章函数第四节二次函数与幂函数课件文
考点突破
考点一 幂函数的图象与性质
典例1 (1)幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图象是 ( )
栏目索引
(2)当0<x<1时, f(x)=x1.1,g(x)=x0.9,h(x)=x-2的大小关系是 .
答案 (1)C (2)h(x)>g(x)>f(x)
考点突破
解析 (1)设幂函数的解析式为f(x)=xa, ∵幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),
0, 2a,
解得-1≤a< 2 .
3
栏目索引
考点突破
考点二 二次函数的图象与性质
典例2 (2014北京,8,5分)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒 数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t (单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),下图记录了三次实验
的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为 ( B)
钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟
答案 B
9a 3b c 0.7,
a 0.2,
解析 由已知得16a 4b c 0.8, 解得b 1.5,
综上可得,实数a的取值范围是(0,2),选A.
栏目索引
考点突破
3-2 (2017北京,11,5分)已知x≥0,y≥0,且x+y=1,则x2+y2的取值范围是
1 2
,1
.
答案 12 ,1
解析 解法一:由题意知,y=1-x, ∵y≥0,x≥0, ∴0≤x≤1,
栏目索引
则x2+y2=x2+(1-x)2=2x2-2x+1=2
2015届高考数学(浙江文)一轮复习课件：2.4二次函数与幂函数
b 【解析】 A 项，∵a＜0，－ ＜0，∴b＜0.又∵abc＞0，∴c＞0，由图知 f(0)＝c＜0， 2a b 故 A 错；B 项，∵a＜0，－ ＞0，∴b＞0，又∵abc＞0，∴c＜0，而 f(0)＝c＞0，故 B 2a b 错；C 项，∵a＞0，－ ＜0，∴b＞0，又∵abc＞0，∴c＞0，而 f(0)＝c＜0，故 C 错； 2a b D 项，∵a＞0，－ ＞0，∴b＜0，又∵abc＞0，∴c＜0，由图知 f(0)＝c＜0，故选 D. 2a
【考情分析】
高考对二次函数图象与性质进行单独考查的频率较低，且多以 选择题形式出现，难度偏大，属中高档题．
【命题角度】
高考对二次函数图象与性质的考查主要有以下几个命题角度： (1)二次函数图象的识别问题；
(2)二次函数的最值问题；
(3)二次函数图象与其他图象有公共点问题．
高频考点全通关——二次函数图象与性质的应用 闯关二：典题针对讲解——二次函数图象的识别问题
【答案】
D
高频考点全通关——二次函数图象与性质的应用
闯关二：典题针对讲解——二次函数的最值问题
[例 2] (2013·辽宁高考 )已知函数 f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－ x2＋ 2(a － 2)x － a2 ＋ 8. 设 H1(x) ＝ max{f(x) ， g(x)} ， H2(x) ＝ min{f(x) ， g(x)}(max{p， q} 表示 p，q 中的较大值， min{p，q}表示 p， q 中的较小 值)．记 H1(x)的最小值为 A， H2(x)的最大值为 B，则 A－B＝( A．a2－2a－ 16 B．a2＋ 2a－16 C．－ 16 ) D． 16
高考数学总复习(一轮)(人教A)教学课件第二章 函 数第4节 幂函数与二次函数
一
章
[课程标准要求]
2
3
1.通过具体实例,结合 y=x,y= ,y=x ,y= ,y=x 的图象,理解它
们的变化规律,了解幂函数.2.理解二次函数的图象和性质,能
用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
积累·必备知识
回顾教材,夯实四基
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是 自变量 ,α是常数.
2
2
所以 f(x)=a(x- ) +8.因为 f(2)=-1,所以 a(2- ) +8=-1,
2
2
解得 a=-4,所以 f(x)=-4(x- ) +8=-4x +4x+7.
法三
(利用“零点式”解题)
由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,
故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),
2
即 y= x -x-4.
(2)已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到x轴的距离
等于2,则二次函数的解析式为
2
Hale Waihona Puke 2y= x +x- 或 y=- x -x+
.
解析:(2)因为二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),
所以可设二次函数为y=a(x+3)(x-1)(a≠0),
位置.
(3)三看特殊点:看函数图象上的一些特殊点,如函数图象与y轴
的交点、与x轴的交点、函数图象的最高点或最低点等.
高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 2-4 幂函数与二次函数练习 文-人教版高三全册数学试
2-4 幂函数与二次函数练习 文[A 组·基础达标练]1．[2016·某某阶段检测]若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·x m 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( )A ．－1≤m ≤2B ．m ＝1或m ＝2C ．m ＝2D ．m ＝1答案 B解析 由幂函数性质可知m 2－3m ＋3＝1，∴m ＝2或m ＝1.又幂函数图象不过原点，∴m 2－m －2≤0，即－1≤m ≤2，∴m ＝2或m ＝1.2．[2016·某某质检]已知函数f (x )＝x 2＋x ＋c .若f (0)>0，f (p )<0，则必有( ) A ．f (p ＋1)>0 B ．f (p ＋1)<0C ．f (p ＋1)＝0D ．f (p ＋1)的符号不能确定答案 A解析 函数f (x )＝x 2＋x ＋c 的图象的对称轴为直线x ＝－12，又∵f (0)>0，f (p )<0，∴－1<p <0，p ＋1>0，∴f (p ＋1)>0.3．[2015·某某质检]如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的x 都有f (x ＋1)＝f (－x )，那么( )A ．f (－2)<f (0)<f (2)B ．f (0)<f (－2)<f (2)C ．f (2)<f (0)<f (－2)D ．f (0)<f (2)<f (－2)答案 D解析 由f (1＋x )＝f (－x )知f (x )的图象关于直线x ＝12对称，又抛物线f (x )开口向上，∴f (0)<f (2)<f (－2)．4．[2015·某某期中]若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－254，－4，则m 的取值X 围是( )A ．[0,4] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3 答案 D解析 二次函数图象的对称轴为x ＝32，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－254，f (3)＝f (0)＝－4，由图得m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3.5．[2016·某某诊断]已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( ) A.12 B ．1 C.32 D ．2答案 C解析 由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32.6．[2015·某某模拟]若四个幂函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c ，y ＝x d在同一坐标系中的图象如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( )A ．d >c >b >aB ．a >b >c >dC ．d >c >a >bD ．a >b >d >c答案 B解析 幂函数a ＝2，b ＝12，c ＝－13，d ＝－1的图象，正好和题目所给的形式相符合，在第一象限内，x ＝1的右侧部分的图象，由下至上幂指数增大，所以a >b >c >d .故选B.7．[2015·某某二检]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x >ax 2＋5x ＋2，x ≤a ，函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值X 围是( )A ．[－1,1)B ．[0,2]C ．[－2,2)D ．[－1,2)答案 D解析 由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x >a x 2＋3x ＋2，x ≤a.因为g (x )有三个不同的零点，所以2－x＝0在x >a 时有一个解，由x ＝2得a <2.由x 2＋3x ＋2＝0得x ＝－1或x ＝－2，由x ≤a 得a ≥－1.综上，a 的取值X 围为[－1,2)，所以选D.8．[2015·某某大学附中期中]若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c >0)没有零点，则a ＋cb的取值X 围是( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(1，＋∞)答案 D解析 ∵函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c >0)没有零点，∴b 2－4ac <0，∴b 2<4ac ，∵a ，c >0，∴(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ≥4ac ，∴(a ＋c )2>b 2， 又a ，b ，c >0，∴a ＋c >b >0，∴a ＋cb >1，∴a ＋cb的取值X 围是(1，＋∞)，故选D. 9．[2015·某某一检]若x >1时，x a －1<1，则a 的取值X 围是________．答案 a <1 解析 因为x >1，xa －1<1，所以a －1<0，得a <1.10．已知g (x )＝－x 2－4，f (x )为二次函数，满足f (x )＋g (x )＋f (－x )＋g (－x )＝0，且f (x )在[－1,2]上的最大值为7，则f (x )＝________.答案 x 2－2x ＋4或x 2－12x ＋4解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则由题意可得f (x )＋g (x )＋f (－x )＋g (－x )＝2ax2＋2c －2x 2－8＝0，得a ＝1，c ＝4.显然二次函数f (x )在区间[－1,2]上的最大值只能在x ＝－1时或x ＝2时取得．当x ＝－1时函数取得最大值7，解得b ＝－2；当x ＝2时函数取得最大值7，解得b ＝－12，所以f (x )＝x 2－2x ＋4或f (x )＝x 2－12x ＋4.11．[2016·某某阶段测试]已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b 为实数，a ≠0，x ∈R )． (1)若函数f (x )的图象过点(－2,1)，且方程f (x )＝0有且只有一个根，求f (x )的表达式； (2)在(1)的条件下，当x ∈[－1,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，某某数k 的取值X 围．解 (1)因为f (－2)＝1，即4a －2b ＋1＝1，所以b ＝2a . 因为方程f (x )＝0有且只有一个根，所以Δ＝b 2－4a ＝0. 所以4a 2－4a ＝0，所以a ＝1，所以b ＝2. 所以f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2－(k －2)x ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －k －222＋1－k －224.由g (x )的图象知：要满足题意，则k －22≥2或k －22≤－1，即k ≥6或k ≤0，∴所某某数k 的取值X 围为(－∞，0]∪[6，＋∞)．12．已知幂函数f (x )＝x(m 2＋m )-1(m ∈N *)．(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数f (x )的图象经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值X 围．解 (1)∵m 2＋m ＝m (m ＋1)(m ∈N *)， 而m 与m ＋1中必有一个为偶数， ∴m 2＋m 为偶数，∴函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在[0，＋∞)上为增函数．(2)∵函数f (x )的图象经过点(2，2)， ∴2＝2(m 2＋m )-1，即212 ＝2(m 2＋m )-1， ∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2. 又∵m ∈N *，∴m ＝1，f (x )＝x 12 . 又∵f (2－a )>f (a －1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1，解得1≤a <32，故函数f (x )的图象经过点(2，2)时，m ＝1.满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值X 围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32. [B 组·能力提升练]1．设函数f (x )＝x α＋1(α∈Q )的定义域为[－b ，－a ]∪[a ，b ]，其中0<a <b ，且f (x )在[a ，b ]上的最大值为6，最小值为3，则f (x )在[－b ，－a ]上的最大值与最小值的和是( )A ．－5B ．9C ．－5或9D ．以上都不对答案 C解析 由α∈Q ，可设α＝q p ⎝ ⎛⎭⎪⎫qp 为既约分数，由于函数的定义域中有负数，因此，p 一定是奇数．若q 是偶数，则函数f (x )为偶函数，此时，f (x )在[－b ，－a ]上的最大值为6，最小值为3，得最大值与最小值的和是9.若q 是奇数，则函数f (x )－1为奇函数，由于f (x )在[a ，b ]上的最大值为6，最小值为3，因此，f (x )－1在[a ，b ]上的最大值为5，最小值为2.那么f (x )－1在[－b ，－a ]上的最大值为－2，最小值为－5.于是，f (x )在[－b ，－a ]上的最大值为－1，最小值为－4，得最大值与最小值的和是－5.故选C.2．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5，若f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，则实数a 的取值X 围是( )A ．[2,3]B ．[1,2]C ．[－1,3]D ．[2，＋∞)答案 A解析 ∵f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，∴a ≥2.又x ∈[1，a ＋1]，且(a ＋1)－a ≤a －1，∴f (x )max ＝f (1)＝6－2a ，f (x )min ＝f (a )＝5－a 2.又∵对∀x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，∴f (x )max －f (x )min ≤4，即6－2a －(5－a 2)≤4，解得－1≤a ≤3.又∵a ≥2，∴2≤a ≤3.3．[2016·某某质检]若方程x 2＋ax ＋2b ＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，则b －2a －1的取值X 围是_______________________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 解析 令f (x )＝x 2＋ax ＋2b ，∵方程x 2＋ax ＋2b ＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f 0>0，f 1<0，f 2>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧b >0，a ＋2b <－1，a ＋b >－2.根据该约束条件作出可行域(如图)，b －2a －1表示可行域内点(a ，b )与点(1,2)的连线的斜率，可知14<b －2a －1<1.4．对于函数y ＝f (x )，若存在x 0，使得f (x 0)＝x 0，则称x 0是函数y ＝f (x )的一个不动点，设二次函数f (x )＝ax 2＋(b ＋1)x ＋b －2(a ≠0)．(1)当a ＝2，b ＝1时，求函数f (x )的不动点；(2)若对于任意实数b ，函数f (x )恒有两个不同的不动点，某某数a 的取值X 围； (3)在(2)的条件下，若函数f (x )的图象上A ，B 两点的横坐标是函数f (x )的不动点，且直线y ＝kx ＋1a 2＋1是线段AB 的垂直平分线，某某数b 的取值X 围． 解 (1)当a ＝2，b ＝1时，f (x )＝2x 2＋2x －1， 由2x 2＋2x －1＝x ，得x 1＝－1，x 2＝12.所以当a ＝2，b ＝1时，函数f (x )的不动点为x 1＝－1，x 2＝12.(2)因为对于任意实数b ，函数f (x )恒有两个不同的不动点，所以对于任意实数b ，方程f (x )＝x 恒有两个不相等的实数根，即方程ax 2＋bx ＋b －2＝0恒有两个不相等的实数根， 所以Δx ＝b 2－4a (b －2)>0， 即对于任意实数b ，b 2－4ab ＋8a >0， 所以Δb ＝(－4a )2－4×8a <0， 解得0<a <2.(3)设A (x 1，x 1)，B (x 2，x 2)，由题意知函数f (x )的两个不同的不动点为x 1，x 2，则x 1，x 2是ax 2＋bx ＋b －2＝0的两个不等实根，所以x 1＋x 2＝－ba，线段AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，－b 2a . 因为直线y ＝kx ＋1a 2＋1是线段AB 的垂直平分线，直线AB 的斜率为1，所以k ＝－1，且⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，－b 2a 在直线y ＝kx ＋1a 2＋1上， 则－b 2a ＝b 2a ＋1a 2＋1，又a ∈(0,2)，所以b ＝－aa 2＋1＝－1a ＋1a≥－12a ·1a＝－12，当且仅当a ＝1时等号成立．又由b ＝－aa 2＋1，a ∈(0,2)知b <0，所以实数b 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0.。
(江西专用)高考数学一轮复习 2.4二次函数与幂函数课件 文 新人教A版
④图像在点(1,1)处发生交叉.
(2)当α<0时 ①图像都通过点(1,1). ②在第一象限内,函数值随x的增大而减小.
③图像在点(1,1)处发生交叉.
1.已知幂函数f(x)过点(4,2),则f(9)等于 ( (A)1. (B)2.
α
)
(C)3.
(D)4.
α
【解析】设f(x)=x ,点(4,2)在函数图像上,∴2=4 ,
x轴的下方即可.
(2)函数的图像关于直线x=1对称,则定义域关于1对称,可列 出一个方程.对称轴为直线x=1,也可列出一个方程.解二元一
次方程)=-2x +6x-m=-2(x -3x+ )-m+ =-2(x- ) -m+ ≤m+ , ∵函数f(x)=-2x +6x-m的值恒小于0, ∴-m+ <0,∴m> .
1 a
1 的图像知a<0,而直线在y轴上的截距- a
>0,不符
合.通过比较知C符合. 【答案】C
3.若f(x)=x -ax+1有负值,则实数a的取值范围是( (A)a≤-2. (C)a>2或a<-2.
2
2
)
(B)-2<a<2. (D)1<a<3.
【解析】∵f(x)=x -ax+1有负值, ∴Δ=a -4>0,即a>2或a<-2.
2
【答案】(1)( ,+∞) (2)30 【点评】(1)(2)从二次函数的开口方向与参数的结合命题, 还结合了恒成立与对称轴等问题,属二次函数的性质与应用 范围.
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变式训练1 (1)若函数f(x)=x +ax(a∈R),则下列结论成立的 是 ( )
高考数学大一轮复习 第二章 函数 2.4 幂函数与二次函数教案(含解析)-人教版高三全册数学教案
§2.4幂函数与二次函数考情考向分析以幂函数的图象与性质的应用为主，常与指数函数、对数函数交汇命题；以二次函数的图象与性质的应用为主，常与方程、不等式等知识交汇命题，着重考查函数与方程、转化与化归及数形结合思想，题型一般为填空题，中档难度．1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较函数y＝x y＝x2y＝x312y x y＝x－1图象性质定义域R R R{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上单调递增在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增在R上单调递增在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减公共点(1,1)解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图象定义域R R值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减； 在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增 在x ∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增；在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a ，＋∞上单调递减对称性 函数的图象关于直线x ＝－b2a对称概念方法微思考1．二次函数的解析式有哪些常用形式？ 提示 (1)一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； (2)顶点式：y ＝a (x －m )2＋n (a ≠0)； (3)零点式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)．2．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，写出f (x )≥0恒成立的条件． 提示 a >0且Δ≤0.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b24a.( × )(2)在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( √ ) (3)函数122yx 是幂函数．( × )(4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( √ ) (5)当n <0时，幂函数y ＝x n是定义域上的减函数．( × ) 题组二 教材改编2．[P89练习T3]已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝________.答案 32解析 由幂函数的定义，知⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，22＝k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12α.∴k ＝1，α＝12.∴k ＋α＝32.3．[P40练习T3]已知函数f (x )＝x 2＋4ax 在区间(－∞，6)内单调递减，则a 的取值X 围是________． 答案 (－∞，－3]解析 函数f (x )＝x 2＋4ax 的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x ＝－2a ，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x ＝－2a 的左侧， ∴－2a ≥6，解得a ≤－3. 题组三 易错自纠 4．幂函数21023a a f x x －＋＝(a ∈Z )为偶函数，且f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，则a ＝________. 答案 5解析 因为a 2－10a ＋23＝(a －5)2－2，2(5)2a f x x －－＝(a ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数， 所以(a －5)2－2<0，从而a ＝4,5,6， 又(a －5)2－2为偶数，所以只能是a ＝5.5．已知函数y ＝2x 2－6x ＋3，x ∈[－1,1]，则y 的最小值是______． 答案 －1解析 函数y ＝2x 2－6x ＋3的图象的对称轴为x ＝32>1，∴函数y ＝2x 2－6x ＋3在[－1,1]上单调递减， ∴y min ＝2－6＋3＝－1.6．设二次函数f (x )＝x 2－x ＋a (a >0)，若f (m )<0，则f (m －1)________0.(填“>”“<”或“＝”) 答案 >解析 f (x )＝x 2－x ＋a 图象的对称轴为直线x ＝12，且f (1)>0，f (0)>0，而f (m )<0，∴m ∈(0,1)，∴m －1<0，∴f (m －1)>0.题型一 幂函数的图象和性质1．已知幂函数223(22)n nf x n n x －＝＋－(n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为________． 答案 1解析 由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1符合题意．2．若四个幂函数y ＝x a，y ＝x b，y ＝x c，y ＝x d在同一坐标系中的图象如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系是________．(用“>”连接)答案 a >b >c >d解析 由幂函数的图象可知，在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x 轴，由题图知a >b >c >d .3．若1133(1)(32)a a －－＋－，则实数a 的取值X 围是____________．答案 (－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32 解析 不等式1133(1)(32)a a －－＋－等价于a ＋1>3－2a >0或3－2a <a ＋1<0或a ＋1<0<3－2a ，解得a <－1或23<a <32.4．已知幂函数f (x )＝x α的部分对应值如下表，则不等式f (|x |)≤2的解集是________.x 112 f (x )122答案 [－4,4]解析 由题意知，22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α，∴α＝12，∴f (x )＝12x ，∴f (|x |)＝12x ，由12x ≤2，得|x |≤4，故－4≤x ≤4.思维升华 (1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R )，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴．(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键． 题型二 求二次函数的解析式例1(1)已知二次函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (0)＝3，对∀x ∈R ，都有f (1＋x )＝f (1－x )成立，则f (x )的解析式为________________． 答案 f (x )＝x 2－2x ＋3 解析 由f (0)＝3，得c ＝3， 又f (1＋x )＝f (1－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴b2＝1，∴b ＝2， ∴f (x )＝x 2－2x ＋3.(2)已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f (x )＝________. 答案 x 2＋2x解析 设函数的解析式为f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)， 所以f (x )＝ax 2＋2ax ，由4a ×0－4a24a＝－1，得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x . 思维升华求二次函数解析式的方法跟踪训练1(1)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R ，a ≠0)，x ∈R ，若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，则f (x )＝________. 答案 x 2＋2x ＋1解析 设函数f (x )的解析式为f (x )＝a (x ＋1)2＝ax 2＋2ax ＋a (a ≠0)， 又f (x )＝ax 2＋bx ＋1，所以a ＝1， 故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )＝________. 答案 x 2－4x ＋3解析 因为f (2－x )＝f (2＋x )对任意x ∈R 恒成立，所以f (x )图象的对称轴为直线xf (x )的图象被x 轴截得的线段长为2，所以f (xf (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)，又f (x )的图象过点(4,3)，所以3a ＝3，即a ＝1，所以f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.题型三 二次函数的图象和性质命题点1 二次函数的图象例2设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值X 围是________． 答案 [0,2]解析 二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，则a ≠0， 又由－－2a 2a＝1得图象的对称轴是直线x ＝1，所以a >0.所以函数的图象开口向上，且在[1,2]上单调递增，f (0)＝f (2)， 则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2.命题点2 二次函数的单调性例3函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值X 围是________． 答案 [－3,0]解析 当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意． 当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a，由f (x )在[－1，＋∞)上单调递减，知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，3－a2a≤－1，解得－3≤a <0.综上，a 的取值X 围为[－3,0]． 引申探究若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a ＝________. 答案 －3解析 由题意知f (x )必为二次函数且a <0， 又3－a2a＝－1，∴a ＝－3.命题点3 二次函数的最值例4已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上有最大值4，某某数a 的值． 解 f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .(1)当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；(2)当a >0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38；(3)当a <0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3.综上可知，a 的值为38或－3.引申探究将本例改为：求函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上的最大值． 解 f (x )＝(x ＋a )2＋1－a 2，∴f (x )的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝－a . (1)当－a <12即a >－12时，f (x )max ＝f (2)＝4a ＋5，(2)当－a ≥12即a ≤－12时，f (x )max ＝f (－1)＝2－2a ，综上，f (x )max＝⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋5，a >－12，2－2a ，a ≤－12.命题点4 二次函数中的恒成立问题例5 (1)已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1，若不等式f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立，则实数m 的取值X 围为____________． 答案 (－∞，－1)解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1，得c ＝1，又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得2ax ＋a ＋b ＝2x ，所以a ＝1，b ＝－1，所以f (x )＝x 2－x ＋1.f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立，即x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立，令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－54－m ，x ∈[－1,1]，g (x )在[－1,1]上单调递减，所以g (x )min ＝g (1)＝1－3＋1－m >0，所以m <－1. (2)函数f (x )＝a 2x＋3a x－2(a >1)，若在区间[－1,1]上f (x )≤8恒成立，则a 的最大值为________． 答案 2解析 令a x ＝t ，因为a >1，x ∈[－1,1]，所以1a≤t ≤a ，原函数化为g (t )＝t 2＋3t －2，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a ，显然g (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上单调递增，所以f (x )≤8恒成立，即g (t )max ＝g (a )≤8恒成立，所以有a 2＋3a －2≤8，解得－5≤a ≤2，又a >1，所以1<a ≤2，所以a 的最大值为2. 思维升华解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)．(3)由不等式恒成立求参数取值X 围的思路及关键解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．两种思路的关键都是求函数的最值或值域． 跟踪训练2(1)(3－a )(a ＋6)(－6≤a ≤3)的最大值为________． 答案 92解析 易知函数y ＝(3－a )(a ＋6)的两个零点是3，－6，图象的对称轴为a ＝－32∈[－6,3]，y ＝(3－a )(a ＋6)的最大值为y ＝⎝⎛⎭⎪⎫3＋32·⎝⎛⎭⎪⎫－32＋6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫922，则(3－a )(6＋a )的最大值为92.(2)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a ＋4的定义域为R ，值域为[1，＋∞)，则a 的值为________． 答案 －1或3解析 由于函数f (x )的值域为[1，＋∞)，所以f (x )min f (x )＝(x －a )2－a 2＋2a ＋4， 当x ∈R 时，f (x )min ＝f (a )＝－a 2＋2a ＋4＝1， 即a 2－2a －3＝0，解得a ＝3或a ＝－1.(3)设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值X 围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析 由题意得a >2x －2x2对1<x <4恒成立，又2x －2x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋12，14<1x <1， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2x 2max ＝12，∴a >12.数形结合思想和分类讨论思想在二次函数中的应用研究二次函数的性质，可以结合图象进行；对于含参数的二次函数问题，要明确参数对图象的影响，进行分类讨论．例设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值．解 f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，函数图象的对称轴为x ＝1. 当t ＋1≤1，即t ≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数， 所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t <1<t ＋1，即0<t <1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；当t ≥1时，函数图象如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数， 所以最小值为f (t )＝t 2－2t ＋2.综上可知，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1，t ≤0，1，0<t <1，t 2－2t ＋2，t ≥1.24m my x－＝(m ∈Z )的图象如图所示，则m 的值为________．答案 2解析 ∵24m m y x －＝(m ∈Z )的图象与坐标轴没有交点， ∴m 2－4m <0，即0<m <4.又∵函数的图象关于y 轴对称且m ∈Z ， ∴m 2－4m 为偶数，∴m ＝2. 2．若幂函数2268(44)m m f x m m x －＋＝－＋在(0，＋∞)上为增函数，则m 的值为________．答案 1解析 由题意得m 2－4m ＋4＝1，m 2－6m ＋8>0， 解得m ＝1.3．(2019·某某省某某中学月考)若函数f (x )＝x 2－2ax －1在(－∞，5]上单调递减，则实数a 的取值X 围是________．答案 [5，＋∞)解析 由题意可得－－2a2≥5，解得a ≥5.4．函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则f (2－x )>0的解集为________________． 答案 {x |x >4或x <0}解析 函数f (x )＝ax 2＋(b －2a )x －2b 为偶函数，则b －2a ＝0，故f (x )＝ax 2－4a ＝a (x －2)(x ＋2)，因为函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以a >0.根据二次函数的性质可知，不等式f (2－x )>0的解集为{x |2－x >2或2－x <－2}＝{x |x <0或x >4}．5．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ，x ∈[0,1]有最大值2，则a ＝________.解析 函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，其图象的对称轴方程为x ＝a .当a <0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ，所以1－a ＝2，所以a ＝－1；当0≤a ≤1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1，所以a 2－a ＋1＝2，所以a 2－a －1＝0，所以a ＝1±52(舍去)；当a >1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，所以a ＝2.综上可知，a ＝－1或a ＝2.6．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值X 围是________． 答案 (－∞，－2)解析 不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ，令f (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，所以f (x )<f (4)＝－2，所以a <－2.7．已知f (x )＝x 2，g (x )＝12x ，h (x )＝x －2，当0<x <1时，f (x )，g (x )，h (x )的大小关系是________________．答案 h (x )>g (x )>f (x )解析 分别作出f (x )，g (x )，h (x )的图象如图所示，可知h (x )>g (x )>f (x )．8．已知二次函数y ＝f (x )的顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，49，且方程f (x )＝0的两个实根之差的绝对值等于7，则此二次函数的解析式是________________．答案 f (x )＝－4x 2－12x ＋40 解析 设f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋49(a ≠0)， 方程a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋49＝0的两个实根分别为x 1，x 2， 则|x 1－x 2|＝2－49a＝7， 所以a ＝－4，所以f (x )＝－4x 2－12x ＋40. 9．已知函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为增函数，那么f (2)的取值X 围是______．解析 函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为增函数，由于其图象(抛物线)开口向上，所以其对称轴x ＝a －12或与直线x ＝12重合或位于直线x ＝12的左侧，即应有a －12≤12，解得a ≤2，所以f (2)＝4－(a －1)×2＋5≥7，即f (2)≥7.10．已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值X 围是____________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 解析 因为函数图象开口向上，所以根据题意只需满足⎩⎪⎨⎪⎧ f (m )＝m 2＋m 2－1<0，f (m ＋1)＝(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0， 解得－22<m <0. 11．已知函数22k k f x x －＋＋＝(k ∈Z )满足f (2)<f (3)．(1)求k 的值并求出相应的f (x )的解析式；(2)对于(1)中得到的函数f (x )，试判断是否存在q >0，使函数g (x )＝1－qf (x )＋(2q －1)x在区间[－1,2]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，178？若存在，求出q 的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)∵f (2)<f (3)，∴－k 2＋k ＋2>0，解得－1<k <2.∵k ∈Z ，∴k ＝0或k ＝1.当k ＝0或k ＝1时，－k 2＋k ＋2＝2，∴f (x )＝x 2.(2)假设存在q >0满足题设，由(1)知 g (x )＝－qx 2＋(2q －1)x ＋1，x ∈[－1,2]．∵g (2)＝－1，∴两个最值点只能在端点(－1，g (－1))和顶点⎝ ⎛⎭⎪⎫2q －12q，4q 2＋14q 处取得． 而4q 2＋14q －g (－1)＝4q 2＋14q －(2－3q )＝(4q －1)24q≥0， ∴g (x )max ＝4q 2＋14q ＝178， g (x )min ＝g (－1)＝2－3q ＝－4.解得q ＝2.∴存在q ＝2满足题意． 12．(2018·某某省如皋中学考试)已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象与y 轴的交点坐标为(0,1)，且满足f (1－x )＝f (1＋x )．(1)求f (x )的解析式；(2)设g (x )＝x f (x )，m >0，求函数g (x )在[0，m ]上的最大值．解 (1)因为图象与y 轴的交点坐标为(0,1)，所以c ＝1，因为f (1－x )＝f (1＋x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以b ＝－2，所以f (x )＝x 2－2x ＋1.(2)因为f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，所以g (x )＝x |x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x ，x ≥1，x －x 2，x <1.作出函数g (x )的图象如图所示．当0<m ≤12时，g (x )max ＝g (m )＝m －m 2； 当12<m ≤1＋22时，g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14； 当m >1＋22时，g (x )max ＝g (m )＝m 2－m ， 综上，g (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧ m －m 2，0<m ≤12，14，12<m ≤1＋22，m 2－m ，m >1＋22.y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a <b .其中正确的是________．(填序号)答案 ①④解析 因为图象与x 轴交于两点，所以b 2－4ac >0，即b 2>4ac ，①正确；对称轴为x ＝－1，即－b2a＝－1,2a －b ＝0，②错误； 结合图象，当x ＝－1时，y >0，即a －b ＋c >0，③错误；由对称轴为x ＝－1知，b ＝2a .又函数图象开口向下，所以a <0，所以5a <2a ，即5a <b ，④正确．14．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值X 围是________． 答案 (－∞，－5]解析 方法一 ∵不等式x 2＋mx ＋4<0对x ∈(1,2)恒成立，∴mx <－x 2－4对x ∈(1,2)恒成立， 即m <－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x 对x ∈(1,2)恒成立， 令y ＝x ＋4x ，x ∈(1,2)，则函数y ＝x ＋4x在x ∈(1,2)上是减函数． ∴4<y <5，∴－5<－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x <－4， ∴m ≤－5.方法二 设f (x )＝x 2＋mx ＋4，当x ∈(1,2)时，由f (x )<0恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≤0，f (2)≤0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ≤－5，m ≤－4，即m ≤－5.15．若函数φ(x )＝x 2＋m |x －1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数m 的取值X 围是__________． 答案 [－2,0]解析 当0≤x <1时，φ(x )＝x 2－mx ＋m ，此时φ(x )单调递增，则m 2≤0，即m ≤0； 当x ≥1时，φ(x )＝x 2＋mx －m ，此时φ(x )单调递增，则－m 2≤1，即m ≥－2. 综上，实数m 的取值X 围是[－2,0]．16．是否存在实数a ∈[－2,1]，使函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 的定义域为[－1,1]时，值域为[－2,2]？若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由．解 f (x )＝(x －a )2＋a －a 2，当－2≤a <－1时，f (x )在[－1,1]上为增函数，∴由⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)＝－2，f (1)＝2，得a ＝－1(舍去)；当－1≤a ≤0时，由⎩⎪⎨⎪⎧ f (a )＝－2，f (1)＝2，得a ＝－1； 当0<a ≤1时，由⎩⎪⎨⎪⎧ f (a )＝－2，f (－1)＝2，得a 不存在；综上可得，存在实数a 满足题目条件，a ＝－1.。