立体几何练习题及答案

数学立体几何练习题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．如图，在正方体－A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和上的点，A 1M ＝＝，则与平面1C 1C 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．垂直 D ．不能确定2．将正方形沿对角线折起，使平面⊥平面，E 是中点，则AED ∠的大小为（ ） A.45 B.30 C.60D.903．，，是从P 引出的三条射线，每两条的夹角都是60º，则直线与平面所成的角的余弦值为（ ） A ．12B 。

3C 。

3 D 。

64．正方体—A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是1与1的中点，则直线与D 1F 所成角的余弦值是A ．15B 。

13C 。

12D 。

35． 在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面的中心，E 、F 分别是1CC 、的中点，那么异面直线和1FD 所成的角的余弦值等于（ ） A ．510B ．32C ．55 D ．5156．在正三棱柱1B 1C 1中，若2，A A 1=1，则点A 到平面A 1的距离为（ ） A ．43 B ．23 C ．433 D ．37．在正三棱柱1B 1C 1中，若1,则1与C 1B 所成的角的大小为（ ） ºB. 90ººD. 75º8．设E ，F 是正方体1的棱和D 1C 1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A 1成60°角的对角线的数目是（ ） A ．0B ．2C ．4D ．6二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9.在正方体－A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱1和1的中点，则〈CM ，1D N 〉的值为.10．如图，正方体的棱长为1，C 、D分别是两条棱的中点， A 、B 、M 是顶点，那么点M 到截面的距离是 .11．正四棱锥的所有棱长都相等，E 为中点，则直线与截面所成的角为 ．12．已知正三棱柱1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则直线与平面B 1所成角的正弦值为 .13．已知边长为的正三角形中，E 、F 分别为和的中点，⊥面，且2，设平面α过且与平行，则与平面α间的距离为 ．14．棱长都为2的直平行六面体—A 1B 1C 1D 1中，∠60°，则对角线AB MDCABCDP A 1C 与侧面1D 1所成角的余弦值为.三、解答题:本大题共6小题，共80分。

解答需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤.15．如图，直三棱柱111C B A ABC -，底面ABC ∆中，＝＝1，90=∠BCA ，棱21=AA ，M 、N 分别A 1B 1、A 1A 是的中点． (1) 求的长； (2) 求〉〈11,cos CB BA 的值；(3) 求证：N C B A 11⊥．16．如图，三棱锥P —中， ⊥平面，2，，D 是上一点， 且⊥平面．(1) 求证：⊥平面；(2) 求异面直线与所成角的大小； (3)求二面角的大小的余弦值．17．如图所示，已知在矩形中，1，（a >0），⊥平面，且1．（1）试建立适当的坐标系，并写出点P 、B 、D 的坐标； （2）问当实数a 在什么范围时，边上能存在点Q ，QPDCBAxy使得⊥（3）当边上有且仅有一个点Q 使得⊥时， 求二面角的余弦值大小．18. 如图，在底面是棱形的四棱锥ABCD P -中，,,60a AC PA ABC ===∠ aPD PB 2==，点E 在PD 上，且PE :(1) 证明 ⊥PA 平面ABCD ；(2) 求以为棱，EAC 与DAC 为面的二面角θ(3) 在棱上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC 证明你的结论．19. 如图四棱锥P —中，底面是平行四边形，⊥平面，垂足为G ，G 在上，且＝4，GD AG 31=，⊥，＝＝2，E 是的中点．(1)求异面直线与所成的角的余弦值； (2)求点D 到平面的距离； (3)若F 点是棱上一点，且⊥，求FCPF的值． C B PAG DF20.已知四棱锥S－的底面是正方形，⊥底面，E是上的任意一点．(1)求证：平面⊥平面；(2)设＝4，＝2，求点A到平面的距离；(3)当的值为多少时，二面角B－－D的大小为120°理科立体几何训练题（B）答案题号12345678答案B D D A D B B C二、填空题9. 10． 11. 45° 12．45 13．332 14A BC DP xyz 43三、解答题15解析：以C 为原点建立空间直角坐标系xyz O -. (1) 依题意得B （0，1，0），M （1，0，1）．(2) 依题意得A 1（1，0，2），B （0，1，0）1，2）.563),2,1,0(),2,1,1(1111===⋅=-=∴CB BA CB BA1030,cos 11=>=<∴CB BA . (3) 证明：依题意得C 1（0，0，2），N )0,21,21(),2,1,1(),2,21,21(11=--=∴C A . C A C A 1111,002121⊥∴=++-=⋅∴16．解析： (1) ∵⊥平面,⊂AB 平面， ∴⊥.∵⊥平面，⊂AB 平面， ∴⊥．又C CD PC = ，∴⊥平面．(2 由(I) ⊥平面，∵2， 又∵，可求得．以B 为原点， 如图建立坐标系．则Ａ（０,０），Ｂ（0,0,0），C （,０,0），P （,０,2）．AP =(,－,2)，BC =(,0,0)． 则AP BC ⋅×+0+0=2．cos AP,BC <>AP BCAP BC ⋅⋅2222⨯ 21．∴异面直线与所成的角为3π．xy（3）设平面的法向量为 (x ，y ，z )．AB =(0, －,0)AP (,－,2)，则AB 0,AP 0.⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m即0,20.z ⎧=⎪-+=解得0,y x =⎧⎪⎨=⎪⎩令 -1,得 (2，0，-1)．由⊥平面易知：平面⊥平面，取的中点E ，连接，则BE →为平面的一个法向量，)0,1,1(22)0,22,22(==→BE ，故平面的法向量也可取为 (1，1，0)．cos ,⋅<>=m nm n m n=33232=⨯. ∴二面角的大小的余弦值为33．17．解析：（1）以A别为x 、y 、z ∵1，，∴P （0，0，1），B （1，0，0），D （0，a ，0）．（2）设点Q （1，x ，0），则(1,,0),(1,,1)DQ x a QP x =-=--．由0DQ QP •=，得x 21=0．显然当该方程有非负实数解时，边上才存在点Q ，使得⊥，故只须⊿2-4≥0．因a >0，故a 的取值范围为a ≥2．（3）易见，当2时，上仅有一点满足题意，此时1，即Q 为的中点．取的中点M ，过M 作⊥，垂足为N ，连结、．则M （0，1，0），PB（0，0，1），D （0，2，0）．∵D 、N 、P 三点共线， ∴(0,1,0)(0,1,1)(0,1,)111MD MP MN +λ+λ--λλ===+λ+λ+λ．又(0,2,1)PD =-，且0MN PD •=， 故(0,1,)232(0,2,1)0113-λλ-λ•-==⇒λ=+λ+λ．于是22(0,1,)1233(0,,)25513MN -==+． 故12(1,,)55NQ NM MQ MN AB =+=-+=--．∵1202()(1)()055PD NQ •=+⨯-+-⨯-=，∴PD NQ ⊥．（资料来源：168） ∴∠为所求二面角的平面角． ∵6cos ||||NM NQ MNQ NM NQ •∠==注：该题还有很多方法解决各个小问，以上方法并非最简.18解析：（1）传统方法易得证明（略） （2）传统方法或向量法均易解得 30=θ；（3）解 以A 为坐标原点，直线AP AD ,分别为y 轴、z 轴，过A 点垂直于平面的直线为x 轴，建立空间直角坐标系（如图）．由题设条件，相关各点的坐标为)0,21,23(),0,21,23(),0,0,0(a a C a a B A -)31,32,0(),,0,0(),0,,0(a a E a P a D所以=AE )31,32,0(a a ，=AC )0,21,23(a a ，=AP ),,0,0(a =PC ),21,23(a a a -=BP ),21,23(a a a -，设点F 是棱PC 上的点，==PC PF λ),21,23(a a a λλλ-，其中10<<λ，则))1(),1(21),1(23(λλλ-+-=+=a a a PF BP BF ．令AE AC BF 21λλ+=得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=+=-221131)1(3221)1(2123)1(23λλλλλλλa a a a a a a解得23,21,2121=-==λλλ，即21=λ时，AE AC BF 2321+-=．亦即，F 是的中点时，AE AC BF ,,共面，又⊄BF 平面AEC ，所以当F 是的中点时，BF ∥平面AEC ．19解析：(1)以G 点为原点，GP GC GB 、、为x 轴、y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，则B (2，0，0)，C (0，2，0)，P (0，0，4)，故E (1，1，0)，GE ＝(1，1，0)， PC＝(0，2，4)。

10102022||||cos =⋅=⋅>=<PC GE PC GE PC GE ，，∴与所成的余弦值为1010．(2)平面的单位法向量n ＝(0，±1，0) ∵)02323(4343，，-===， ∴点D 到平面的距离为⋅GD |n |＝23.(3)设F (0，y ，z )，则)2323()02323()0(z y z y DF ，，，，，，-=--=。

∵GCDF⊥，∴0=⋅GC DF ，（资料来源：168）即032)020()2323(=-=⋅-y z y ，，，，，∴23=y , 又PCPFλ=，即(0，23，z －4)＝λ(0，2，－4)， ∴1，PA G BCDFE故F (0，23，1) ，)1210()3230(-=-=，，，，，FC PF ，∴FC PF 35235PF PC ==。

20解析：(1)∵⊥平面，⊂平面，∴⊥，∵四边形是正方形，∴⊥，∴⊥ 平面， ∵⊂平面，∴平面⊥平面. (2)设∩＝F ，连结，则⊥， ∵＝2，＝4，∴＝2， ＝＝＝3，∴S △＝·＝·2·3＝6， 设点A 到平面的距离为h ，∵⊥平面，∴·S △·h ＝·S △·，∴6·h ＝·2·2·4，∴h ＝，即点A 到平面的距离为.(3)设＝a ，以A 为原点，、、所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，为计算方便，不妨设＝1，则C (1,1,0)，S (0,0，a )，B (1,0,0)，D (0,1,0)，∴SC ＝(1,1，－a )，SB ＝(1,0，－a )，SD ＝(0,1，－a )， 再设平面、平面的法向量分别为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则111111100n SC x y az n SB x az ⎧=++=⎪⎨=-=⎪⎩ ∴y 1＝0，从而可取x 1＝a ，则z 1＝1，∴n 1＝(a,0,1)，22222220n SC x y az n SB x az ⎧=++=⎪⎨=-=⎪⎩∴x2＝0，从而可取y2＝a，则z2＝1，∴n2＝(0，a,1)，∴〈n1，n2〉＝，要使二面角B－－D的大小为120°，则＝，从而a＝1，即当＝＝1时，二面角B－－D的大小为120°.。