三角函数图象变形

三角函数讲义八函数)sin(ϕω+=x A y1图象变换(1)振幅变换 Rx x y ∈=,sin −−−−−−−−−−−−−−→−<<>倍到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x y ∈=,sin A［例1］画出函数y ＝2sin x ，x ∈R y ＝21sin x ，x ∈R 的简图. 解：画简图，我们用“五点法”∵这两个函数都是周期函数，且周期为2π ∴我们先画它们在［0，2π］上的简图. 列表：x0 2π π 23π 2π sin x 0 1 0 –1 0 2sin x0 20 –2 0 x sin 2121 0-21 0描点画图：(1)y ＝2sin x ，x ∈R 的值域是［－2，2］图象可看作把y ＝sin x ，x ∈R 上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍而得(横坐标不变). (2)y ＝21sin x ，x ∈R 的值域是［－21，21］ 图象可看作把y ＝sin x ，x ∈R 上所有点的纵坐标缩短到原来的21倍而得(横坐标不变). 一般地，函数y ＝A sin x ，x ∈R (其中A ＞0且A ≠1)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长(当A ＞1时)或缩短(当0＜A ＜1时)到原来的A 倍(横坐标不变)而得到.函数y ＝A sin x ，x ∈R 的值域是［－A ，A ］ y max ＝A ，y min ＝－AA 称为振幅，这一变换称为振幅变换.(2)周期变换 R x x y ∈=,sin −−−−−−−−−−−−−−→−<<>倍到原来的或伸长所有点的横坐标缩短ωωω11)(01)(R x x y ∈=,sin ω［例2］画出函数y ＝sin2x ，x ∈R y ＝sin21x ，x ∈R 的简图. 列表：x 0 4π 2π 43π πX =2x0 2π π23π 2π sin x 01–1描点画图：x 0 π2π 3π 4π X=x 21 0 2π π23π 2π sin x 211–1描点画图：函数y ＝sin2x ，x ∈R 的图象，可看作把y ＝sin x ，x ∈R 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)而得到. 函数y ＝sinx 21，x ∈R 的图象，可看作把y ＝sin x ，x ∈R 上所有点的横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)而得到的.一般地，函数y ＝sin ωx ，x ∈R (其中ω＞0，且ω≠1)的图象，可以看作把y ＝sin x ，x ∈R 图象上所有点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的ω1倍(纵坐标不变)而得到. ω决定了函数的周期，这一变换称为周期变换.(3)相位变换 R x x y ∈=,s i n −−−−−−−−−−−−→−<>个单位长度平移或向右所有点向左||0)(0)(ϕϕϕR x x y ∈+=,)(s i n ϕ(4)复合变换 Rx x y ∈=,s i n −−−−−−−−−−−−→−<>个单位长度平移或向右所有点向左||0)(0)(ϕϕϕR x x y ∈+=,)(s i n ϕ−−−−−−−−−−−−−−→−<<>倍到原来的或伸长所有点的横坐标缩短ωωω11)(01)(R x x y ∈+=),sin(ϕω −−−−−−−−−−−−−−→−<<>倍到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x A y ∈+=),sin(ϕω一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)，x ∈R (其中A ＞0，ω＞0)的图象，可以看作用下面的方法得到：先把正弦曲线上所有的点向左(当ϕ＞0时)或向右(当ϕ＜0时＝平行移动｜ϕ｜个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的ω1倍(纵坐标不变)，再把所得各点的纵坐标伸长(当A ＞1时)或缩短(当0＜A ＜1时)到原来的A 倍(横坐标不变).A 称为振幅 T ＝ωπ2 称为周期 f ＝T1称为频率 ωx ＋ϕ 称为相位 x ＝0时的相位ϕ 称为初相2利用“五点法”作函数R x x A y ∈+=),sin(ϕω(其中0,0>>ωA )的简图，是将ϕω+x 看着一个整体，先令ππππϕω2,23,,2,0=+x 列表求出对应的x 的值与y 的值，用平滑曲线连结各点，即可得到其在一个周期内的图象。

3研究函数R x x A y ∈+=),sin(ϕω(其中0,0>>ωA )的单调性、对称轴、对称中心仍然是将ϕω+x 看着整体并与基本正弦函数加以对照而得出。

它的最小正周期||2ωπ=T4变换次序不同导致平移单位不同例 1、(1)函数)22sin(π+=x y 的图象可由函数x y sin =的图象经过怎样的变换得到?(2)将函数x y sin =的图象上所有的点______________________得到)3sin(π-=x y 的图象， 再将)321sin(π-=x y 的图象上的所有点______ ______可得到函数 )321sin(21π-=x y 的图像.(3)要得到x y 21sin=的图像，只需将函数)321sin(π-=x y 的图像______________. (4)要得到函数)63cos(π-=x y 的图像，需将函数x y 3sin =的图像______________.(5)已知函数)(x f y =，若将)(x f 的图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍,然后将整个函数图象向上平移2个单位，得到曲线与x y sin =的图象相同 ,则)(x f 的解析式是_____________________. 例2、要得到x y 2sin =的图象，需要将函数)42cos(π-=x y 的图象进行怎样的变换?5五点法画y ＝A sin(ωx ＋ϕ)图象6求函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的值域7求函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的对称性例1函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的一条对称轴方程是 ( ) A ．x ＝π6 B ．x ＝π3 C ．x ＝π12 D ．x ＝5π12例2函数sin(2)3y x π=+图像的对称轴方程可能是（ ） A ．6x π=-B ．12x π=-C ．6x π=D ．12x π=例3已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于直线x ＝π3对称 B ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 C ．关于直线x ＝－π6对称 D ．关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称8求y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的单调性9求y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的解析式例1已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R)的图象的一部分如下图所示．求函数f(x)的解析式；解 (1)由图象知A ＝2，∵T ＝2πω＝8，∴ω＝π4.又图象经过点(－1,0)，∴2sin(－π4＋φ)＝0.∵|φ|<π2，∴φ＝π4.∴f (x )＝2sin(π4x ＋π4)．例2已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R )的图象的一部分如图所示．求函数f (x )的解析式．由图象可知A ＝2，T ＝8.∴ω＝2πT ＝2π8＝π4.方法一 由图象过点(1,2)，得2sin ⎝⎛⎭⎫π4×1＋φ＝2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝1.∵|φ|<π2，∴φ＝π4， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4.例3、已知函数)2,0,0(),sin(πϕωϕω<>>+=w x y 在一个周期内，当6π=x 时，y 有最大值为 2，当32π=x 时，y 有最小值为 —2. 求函数表达式，并画出函数sin()y A x ωϕ=+在一个周期内的简图。

(用五点法列表描点)练习1(2009·天津高考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)(x ∈R ，ω＞0)的最小正周期为π.将y ＝f (x )的图象向左平移|φ|个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的一个值是 ( )A.π2B.3π8C.π4D.π8解析：∵2πω＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋π4)，将它向左平移|φ|个单位长度，得f (x )＝sin ，∵它的图象关于y 轴对称， ∴2(0＋|φ|)＋π4＝π2＋kπ.∴φ＝π8＋kπ2，k ∈Z. ∴φ的一个值是π8.。