专题13.2 椭圆(专题训练卷)(解析版)

专题13.2 椭圆（专题训练卷）

一、单选题

1．（2019·宁波市第四中学高二期中）设p 是椭圆22

12516

x y +

=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于( )

A ．4

B ．5

C ．8

D ．10

【答案】D 【解析】

因为椭圆的方程为22

5

1162x y +=，所以225a =，由椭圆的的定义知12=210PF PF a +=，

故选D ．

2．（2020·全国高三课时练习（理））设x 、y ∈R ，则“|x |≤4且|y |≤3”是“2

16

x ＋

29y ≤1”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件

【答案】B 【解析】

“|x |≤4且|y |≤3”表示的平面区域M 为矩形区域，

“216x ＋29y ≤1”表示的平面区域N 为椭圆2

16

x ＋

29y ≤1及其内部， 则如图

显然N 在M 内，

故选：B ．

3．（2019·浙江省春晖中学高二月考）已知椭圆22

1102

x y m m +=--的焦点在y 轴上，且焦距为4，则m 等于

（ ） A ．4 B ．5

C ．7

D ．8

【答案】D 【解析】

∵ 椭圆22

1102

x y m m +=--的焦点在y 轴上，

∴ 22a m =-，210b m =-， ∵ 焦距为4， ∴ 24c =即24c =，

在椭圆中：222a b c =+即2(10)4m m -=-+，解得：8m =， 故选：D

4．（2020·雅安市教育科学研究所高三一模（理））已知椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>的左顶点为A ，上顶点

为B ，且OA （O 为坐标原点），则该椭圆的离心率为（ ）

A B C D 【答案】B 【解析】

依题意可知3a

b ,即3

b =

,

又c ===,

所以该椭圆的离心率3

c e a ==

. 故选:B

5．（2020·四川资阳 高三其他（理））已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>

经过点)，且C 的离心

率为

1

2

，则C 的方程是（ ） A ．22

143x y +=

B ．22

186

x y +

C ．22

142

x y +=

D ．22

184

x y +=

【答案】A 【解析】

依题意，可得213

141

2a ?+=?=，解得2243a b ?=?=?，故C 的方程是22

143x y +=. 故选：A 点睛：

求椭圆标准方程的两种思路方法

(1)定义法：根据椭圆的定义，确定22a b ，的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．

(2)待定系数法：这种方法是求椭圆方程的常用方法，具体思路是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a b ，的方程组．如果焦点位置不确定，也可把椭圆方程设

22100()mx ny m n m n >>≠＋＝，，的形式．

6．（2020·全国高三课时练习（理））已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的左焦点，A ，

B 分别为

C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 A ．1

3

B ．

12

C ．

23

D ．

34

【答案】A 【解析】

试题分析：如图取P 与M 重合，则由2

(,0),(,)b

A a M c a

--?直线22:()(0,)b

b a AM y x a E

c a a c

=+?-+-同理由222221

(,0),(,)(0,

)33

b b b b B a M

c G a c e a a c a c a c -??=?=?=+-+,故选A.

7．（2020·河北枣强中学高三月考（文））已知椭圆C 的方程为()22

2210x y a b a b +=>>，焦距为2c ，直线

2

:4

l y x =

与椭圆C 相交于A ，B 两点，若2AB c =，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．

32

B ．

34

C ．

12

D ．

14

【答案】A 【解析】

设直线与椭圆在第一象限内的交点为()x,y A ，则24

y x =

由2AB c =，可知22OA x y c =+=2

224x x c ??+= ? ???

，解得22

x =， 所以221,33A c ?? ? ???

把点A 代入椭圆方程得到2

2

22

22131

c a b ???? ?

????+=，

整理得4281890e e -+=，即(

)(

)

2

2

43230e e --=，

因01e <<，所以可得3e =故选A 项.

8．（2020·甘肃城关 兰大附中高三月考（理））已知1F ，2F 分别为椭圆22

1168

x y +=的左、右焦点，M 是椭

圆上的一点，且在y 轴的左侧过点2F 作12F MF ∠的角平分线的垂线，垂足为N ，若2ON =（O 为坐标原点）则21MF MF -等于（ ） A ．4 B ．2

C ．

3

D ．

33

【答案】A 【解析】

延长2F N 交1MF 的延长线于点P ,作图如下：

因为MN 为12F MF ∠的角平分线，且2F N MN ⊥， 所以2MF MP =，

所以2111MF MF MP MF F P -=-=， 因为,O N 分别为122,F F F P 的中点， 所以ON 为12PF F ?的中位线， 所以11

22

ON F P =

=， 所以21124MF MF F P ON -===. 故选：A

9．（2020·黑龙江南岗 哈师大附中高三其他（文））已知1F 、2F 是椭圆22143

x y +=的左、右焦点，点P 是

椭圆上任意一点，以1PF 为直径作圆N ，直线ON 与圆N 交于点Q （点Q 不在椭圆内部），则

12QF QF ?=( )

A ．23

B ．4

C ．3

D ．1

【答案】C 【解析】

连接2PF ,设椭圆的基本量为,,a b c ，

()()()()

2

2

12121QF QF QO OF QO OF QO QF ?=+?+=-,

()

2

2

122222

232

2PF PF QN NO c c a c b ??=+-=+-=-== ???

故答案为：C

10．（2019·宁波市第四中学高二期中）设椭圆22

221

x y a b

+=0)a b >>（的左、右焦点分别为12(,0)(,0)F c F c -，，点(,)2a

N c 在椭圆的外部，点M 是椭圆上的动点，满足11232

MF MN F F +<恒成

立，则椭圆离心率e 的取值范围是（ ） A ．2

(0， B ．21) C ．25)6

， D ．5(,1)6

【答案】D 【解析】

∵点,2a N c ?? ???在椭圆的外部，∴222214c a a b +＞，2212

b a ＜ ，

由椭圆的离心率22

121122

c b e a a ==--=＞ ，

122MF MN a MF MN +=-+， 又因为2MF MN -+≤2NF ，且22

a

NF =，要11232MF MN F F +<

恒成立，即22a MF MN -+≤3

2222

a a c +

???

．故选D ． 二、多选题

11．（2019·江苏省苏州实验中学高二月考）已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左焦点F ，焦距为2，过点F

的弦长最小值不小于2，则该椭圆的离心率可以是( ) A ．

4

5

B ．

23

C ．

12

D ．

13

【答案】CD 【解析】

由22c =,则1c =.过点F 的弦长最小值为2

22b a

≥,即22b a ≥即有222a c a -≥,即2210a a --≥,解

得

:a ≥或15

2

a

(舍

),

1

22

c e a

=

≤=

. 故选: CD.

12．（2019·辽宁葫芦岛 高二月考）椭圆C ：22

11612

x y +=的右焦点为F ，点P 是椭圆C 上的动点，则||

PF 的值可能是（ ） A ．1 B ．3

C ．4

D ．8

【答案】BC 【解析】

由题意可得4a =，1612

2c ，则26a c

PF a c .

故选：BC .

13．（2020·岳麓 湖南师大附中高二期末）设椭圆22

:143

x y C +=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 为椭圆C

上一动点，则下列说法中正确的是（ ）

A ．当点P 不在x 轴上时，12PF F ?的周长是6

B ．当点P 不在x 轴上时，12PF F ?

C ．存在点P ，使12PF PF ⊥

D ．1PF 的取值范围是[1,3] 【答案】ABD 【解析】

由椭圆方程可知,2,a b ==,从而1c ==. 据椭圆定义,1224PF PF a +==,又1222F F c ==, 所以12PF F ?的周长是6,A 项正确. 设点()()000,0P x y y ≠,因为122F F =, 则1212001

2

PF F S F F y y ??=

=.

因为003y b <=,则12PF F ?项正确. 由椭圆性质可知,当点P 为椭圆C 短轴的一个端点时,12F PF ∠为最大. 此时,122PF PF a ===,又122F F =,

则12PF F ?为正三角形,1260F PF ?

∠=,

所以不存在点P ,使12PF PF ⊥,C 项错误.

由图可知,当点P 为椭圆C 的右顶点时,1PF 取最大值,此时13PF a c =+=； 当点P 为椭圆C 的左顶点时,1PF 取最小值,此时11PF a c =-=, 所以1[1,3]PF ∈,D 项正确, 故选：ABD .

14．（2020·山东中区 济南外国语学校高三月考）我们通常称离心率为

1

2

的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>，1212,,,A A B B 为顶点，12,F F 为焦点，P 为椭圆上一点，满足下列条件

能使椭圆C 为“黄金椭圆”的有（ ）

A ．111222||,||,||A F F F F A 为等比数列

B ．11290F B A ∠=?

C ．1PF x ⊥ 轴，且21//PO A B

D ．四边形1221A B A B 的内切圆过焦点12,F F 【答案】BD 【解析】

22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>

()()()()1212,0,,0,0,,0,A a A a B b B b ∴--，()()12,0,,0F c F c -

对于A ：111222||,||,||A F F F F A 为等比数列

则2

112212||||||A F F A F F ?=

()()22

2a c c ∴-=

2a c c ∴-=

1

3

e ∴=

不满足条件，故A 错误； 对于B ：11290F B A ∠=?

222

211112A F B F B A ∴=+ ()2

222a c a a b ∴+=++

220c ac a ∴+-=即210e e ∴+-=解得51e -=

或51

e --=

故B 正确；

对于C ：1PF x ⊥ 轴，且21//PO A B

2,b P c a ??∴- ??

?

21PO

A B k k =即2b c a

b a =--解得b

c =

222a b c =+

2c e a ∴=

==

不满足题意，故C 错误； 对于D ：四边形1221A B A B 的内切圆过焦点12,F F 即四边形1221A B A B 的内切圆的半径为c ，

ab ∴=422430c a c a ∴-+=

42310e e ∴-+=

解得2e =

2e =

1

2

e ∴=

故D 正确 故选：BD 三、单空题

15．（2020·商丘市回民中学高二期末（理））若椭圆的方程为22

1102

x y a a +=--，且此椭圆的焦距为4，则

实数a ＝________. 【答案】4或8 【解析】

因为22

1102

x y a a +=--是椭圆的方程，所以100a ->且a 20->，所以210a <<,

由椭圆的方程可得()2

c 102122a a a =---=-，又2c 4=，

所以1224a -=，解得4a =或8a =. 故答案为4或8

16．（2020·河北桃城 衡水中学高三其他（文））已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，若C 的短轴长为46，且两个焦点恰好为长轴的2个相邻的五等分点，则此椭圆的标准方程为________.

【答案】2212524

x y +=

【解析】

椭圆的短轴长为46，即462b =，∴26b =， .∵两个焦点恰好为长轴的2个相邻的五等分点，∴1

225

c a =

?，得5a c =， 又因为2

2

2

a b c =+，故可解得1c =，5a =，故该椭圆的标准方程为22

12524x y +=.

故答案为：22

12524

x y +=.

17．（2020·河南中原 郑州一中高三其他（文））已知A 、F 分别是椭圆C ：22

221x y a b

+=()0a b >>的下顶

点和左焦点，过A 且倾斜角为60?的直线l 分别交x 轴和椭圆C 于M ，N 两点，且N 点的纵坐标为3

5

b ，若

FMN 的周长为6，则FAN 的面积为_____.

【答案】

83

【解析】 如图所示，

由题意得，()0,A b -，(),0F c -，直线MN 的方程为y b =

-，

把35y b =

代入椭圆方程解得45x a =，∴4355N a b ?? ???

，，

∵N 在直线MN 上，∴3

45

5b a b =-，解得2

b a =

.

又222a b c =+，∴2

22)

b c =+，解得b =，

令y b =

-=0，则

M ?

??

，即(),0M c ，∴M 为椭圆的右焦点，∴2FM c =， 由椭圆的定义可知，2NF NM a +=， ∵FMN 的周长为6，∴226a c +=，

∵

2

b a =

，∴2a c =，∴1,2,c a b ===

∴()138255FAN

S

FM b b c b ??=??--=?=

????

故答案为：

5

. 四、双空题

18．（2019·浙江高二学业考试）椭圆2

214

x y +=的离心率是___________，焦距长是________.

【答案】2

【解析】

椭圆22

14x y +=得：2,1,a b c ===2214x y +=

椭圆的焦距长为：

19．（2020·上海高二课时练习）椭圆22

192

x y +=的焦点为F 1,F 2，点P 在椭圆上，若14PF =，

2PF =_______；12F PF ∠的小大为__________．

【答案】2 ；

2

3

π； 【解解：因为由椭圆的定义，我们可知

1221222

1212121212

22||||cos 2164281

2422

PF PF a PF a PF PF PF F F PF F F PF PF PF +=∴=-+-?∠=?+-=

=-

??中，

20．（2019·浙江高二期中）若方程22121x y m m

+=+-表示椭圆，

则实数m 的取值范围是______；当1m =-时，椭圆的焦点坐标为______. 【答案】11

(2,)(,1)22

---； (0,1),(0,1)-. 【解析】

①根据椭圆的方程特征，方程22

121x y m m

+=+-表示椭圆，则

2010

21m m m m

+>??->??+≠-?

解得：11

(2,)(,1)22m ∈---； ②1m =-时，椭圆的方程2

2

12

y x +=，焦点在y 轴，其坐标分别为(0,1),(0,1)-

故答案为：①11

(2,)

(,1)22

m ∈---；②(0,1),(0,1)- 21．（2020·福建高三其他（理））已知椭圆22

:143

x y C +=的焦点是12,F F ，,A B 是C 上（不在长轴上）的

两点，且1//2F A F B .M 为1F B 与2

F A 的交点，则M 的轨迹所在的曲线是______；离心率为_____. 【答案】椭圆 4

5

【解析】

设()11,A x y ，()22,C x y 则()22,B x y --，1AF 的斜率不为0，可设1:1AF l x my =- 则122:

11BF y y l x x =+-①，211:11

AF y y l x x =--②

所以

()12121221212121211112224

y y y y y y y y x x x x my my m y y m y y ?=?=?=+------++ 联立22

1143x my x y =-???+=??得2242303m y my ??+--= ???，得12

2243m y y m +=+，1223

43y y m -=+ 所以2223

16133

y x m -=

--+

由①②得()1212

211

2y y x x m y y y y ++-+=-，所以

35x m y = 所以

2

2

2

3

1316353y x x y -=-??-+ ???

整理得2

22

2

1

5344x x +

=??

??

? ?????

，

所以M 的轨迹所在的曲线是椭圆，

14554

e =

= 故答案为：椭圆；

45

.

五、解答题

22．（2020·上海高二课时练习）已知椭圆的中心在原点，焦距为6，且经过点（0，4）.求它的标准方程.

【答案】22

12516x y +=或22

1167

y x +=

【解析】

（1）若椭圆的焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为22

221(0)x y

a b a b

+=>>.

将点（0，4）代入，得4b =.由26c =，解得3c =.22225∴=+=a b c ， 从而椭圆方程为22

12516

x y +

=； （2）若椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为22221(0)y x

a b a b

+=>>.

将点（0，4）代入，得4a =.由26c =，解得3c =，

2

2

2

7b a c =-=，从而椭圆方程为22

1167

y x +

=. 综上所述，椭圆的标准方程为22

12516x y +=或22

1167

y x +=.

23．（2019·于都县第二中学高二月考（文））焦点在x 轴上的椭圆的方程为22

14x y

m

+=，点P 在椭圆

上.

（1）求m 的值.

（2）依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率.

【答案】（1）2（2）长轴长4、短轴长2

【解析】

（1）由题意，点P 在椭圆上，代入，

得2

114m

+=，解得2m =

（2）由（1）知，椭圆方程为22

142

x y +=，则2,2,2a b c ===

椭圆的长轴长24a =；’ 短轴长222b =； 焦距222c =； 离心率2

2

c e a =

=

. 24．（2019·永济市涑北中学校高二月考（理））设点是椭圆上一动点，椭圆的长轴

长为

，离心率为

.

(1)求椭圆的方程； （2）求点到直线距离的最大值.

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由已知得，得 椭圆

（2）设，则

当时，.

25．（2019·河南宛城 南阳中学高二月考（理））

已知椭圆的两焦点为12(1,0),(1,0)F F -，P 为椭圆上一点，且12F F 是1PF 与2PF 的等差中项. (1)求此椭圆方程；

(2)若点P 满足1260F PF ?

∠=，求12PF F ?的面积．

【答案】(1) 22

143

x y +=;(2) 3【解析】

(1)设所求椭圆方程为22

221(0,0)x y a b a b

+=>>，

根据已知可得2

2

2

1212242,2,413F F PF PF a a b a c =∴+==∴==-=-=,

所以此椭圆方程为22

143

x y +=；

(2)在12PF F ?中，设12,PF m PF n ==，由余弦定理得：

22242cos604()22cos60163m n mn m n mn mn mn

?

?

=+-?∴=+--?=-

12114sin 600422PF F mn S mn ??=∴=

?=?=26．（2019·牡丹江市第三高级中学高二期末（文））已知点(2,1)P -在椭圆()22

2:102

x y

C a a +=>上，

动点,A B 都在椭圆上，且直线AB 不经过原点O ，直线OP 经过弦AB 的中点． （1）求椭圆C 的方程； （2）求直线AB 的斜率．

【答案】（1）22

182

x y +=；

（2）12. 【解析】

（1）将(2,1)P -代入22

212

x y

a +=,

得

()2

22

2112

a -+=,2

8a =. 故椭圆方程为22

182

x y +=.

（2）当直线AB 斜率不存在时不合题意,

故设直线:AB y kx m =+,1122(,),(,)A x y B x y ,AB 的中点为00(,)M x y ,

由22182y kx m x y =+???+=??得222()148480k x kmx m +++-=,

0122

()14214km

x x x k

+=

-=

+,00214m y kx m k =+=+, 直线OP 经过弦AB 的中点,则OM OP k k =,

0012

y x =-, 142m km =--,12k ∴=,即直线AB 的斜率为1

2

. 27．（2018·西藏拉萨中学高二期末（理））椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，右焦点F 的坐标为（2，0），且点F 到短轴的一个端点的距离是6． （1）求椭圆C 的方程；

（2）过点F 作斜率为k 的直线l ，与椭圆C 交于A 、B 两点，若4

3

OA OB ?>-

，求k 的取值范围． 【答案】解（I ）（II ）

【解析】 （I ）由已知，

；,

故椭圆C 的方程为………………4分

（II ）设

则A 、B 坐标是方程组的解．

消去，则

， ………………7分

所以k的取值范围是………………12分