(完整word版)高中数学必修五第一章测试题.doc
高一数学高中数学必修5：第一章++解三角形+单元同步测试(含解析)
答案 A
二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题
中横线上 )
13．在△ ABC 中， A＝60°，C＝45°，b＝4，则此三角形的最小边是
____________．
解析 由 A＋B＋C＝180°，得 B＝ 75°，∴c 为最小边，由正弦
定理，知 c＝bssininBC＝4ssinin7455°°＝4( 3－1)．
A．30° B．45° C．60°
D．90°
2
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高中同步学习方略
解析 根据正弦定理，原式可化为
a2 c2
b
2R 4R2－4R2 ＝( 2a－b) ·2R，
∴ a2－ c2＝( 2a－ b)b，∴ a2＋ b2－ c2＝ 2ab，
a2＋b2－c2 2 ∴ cosC＝ 2ab ＝ 2 ，∴ C＝45°.
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第一章测试
一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 )
1．在△ ABC 中， AB＝5，BC＝6，AC＝8，则△ ABC 的形状是 ( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．非钝角三角形
3
＝
assininAB＝
8×sin60 °8× 2 sin45 °＝ 2
＝4
Hale Waihona Puke 6.2答案 C
→→ 4．在△ ABC 中， AB＝5，BC＝7，AC＝ 8，则 BA·BC的值为 ( )
1
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A．5 B．－ 5 C．15
北师大版高中数学必修五第一章达标测试卷.docx
第一章达标测试卷（100分，45分钟）一、选择题（每题6分,共48分）1.等差数列1a ,2a ,3a ,…, n a 的公差为d ,则数列c 1a ,c 2a ,…,c n a (c 为常数，且c ≠0)是（ ）A.公差为d 的等差数列B.公差为cd 的等差数列C.非等差数列D.以上都不对2.已知等比数列{n a }的前三项依次为a －1,a +1,a +4,则n a 等于( )A.4·n ⎪⎭⎫ ⎝⎛32B.4·n ⎪⎭⎫ ⎝⎛23 C.4·132-⎪⎭⎫ ⎝⎛n D.4·123-⎪⎭⎫⎝⎛n3.等比数列{n a }的前4项和为240，第2项与第4项的和为180，则数列{n a }的首项为（ ） A.2 B.4 C.6 D.84.〈济南外国语学校考试〉已知等比数列{n a }满足1a =3,且41a ,22a ,3a 成等差数列，则数列{n a }的公比等于（ ）A.1B. －1C. －2D.2 5.〈江西吉安高三模拟〉若{n a }为等差数列，n S 是其前n 项和，且13S =326π,则tan 7a 的值为（ ）A. 3B. －3C.±3D. －33 6.〈郑州模拟〉已知各项均不为0的等差数列{n a }满足23a －27a +211a =0,数列{n b }为等比数列，且7b =7a ,则6b 8b 等于( )A.2B.4C.8D.167.〈新课标Ⅰ理〉设等差数列{n a }的前n 项和为n S ,若1-m S =－2, m S =0, 1+m S =3,则m 等于( )A.3B.4C.5D.68.各项都是实数的等比数列{n a }，前n 项和记为n S ,若10S =10, 30S =70,则40S 等于（ ） A.150 B. －200 C.150或－200 D.400或－50 二、填空题（每题5分，共15分）9.等比数列{n a }的前n 项和为n S ,且41a ,22a ,3a 成等差数列.若1a =1,则1S = . 10.已知等差数列{n a }的前n 项和为n S ,若2a =1, 5S =10,则7S = .11.〈新定义题〉若数列{n a }满足12++n n a a －n n a a 1+=k (k 为常数)，则称{n a }为等比差数列，k叫作公比差.已知{n a }是以2为公比差的等比差数列，其中1a =1, 2a =2,则5a = . 三、解答题（12~13每题12分，14题13分，共37分）12.〈全国大纲理〉等差数列{n a }的前n 项和为n S ,已知3S =22a ,且1S ,2S ,4S 成等比数列，求{n a }的通项公式.13.〈辽宁高二上学期期中考试〉数列{n a }的前n 项和为n S ,1a =1, 1+n a =2n S +1(n ∈N +),等差数列{n b }满足3b =3, 5b =9.（1）分别求数列{n a },{n b }的通项公式； （2）设22++=n n n a b c (n ∈N +),求证：1+n c ＜n c ≤31. 14.〈河南师大附中高二上学期期中〉已知数列{n a }的前n 项和为n S ,且n a =21(3n +n S )对一切正整数n 成立.（1）求数列{n a }的通项公式； （2）设n b =3nn a ,求数列{n b }的前n 项和n B . 参考答案及点拨一、1.B 点拨：∵n a －1-n a =d ,c ≠0,∴c n a －c 1-n a =c (n a －1-n a )=cd (常数), ∴数列{c n a }是公差为cd 的等差数列.2.D 点拨：由等比数列性质可得(a +1)2=(a －1)(a +4),解得a =5.∴1a =5－1=4,公比q =415+=23,∴n a =4·123-⎪⎭⎫⎝⎛n .3.C 点拨：设等比数列{n a }的公比为q ，由4S －(2a +4a )=60得1a +3a =60,∴q =3142a a a a ++ =3.又1a +3a =1a +1a ·q 2=60,∴1a =6.4.D 点拨：设等比数列的公比为q (q ≠0)，因为41a ,22a ,3a 成等差数列，所以41a +1a q 2=41a q ,即q 2－4q +4=0,解得q =2.5.B 点拨：由等差数列前n 项和的性质得13S =137a =326π,则7a =32π,从而tan 7a =tan 32π=－3.6.D 点拨：因为{n a }是等差数列，所以3a +11a =27a .所以已知等式可化为47a －27a =0,解得7a =4或7a =0（舍去），又{n b }为等比数列，所以6b 8b =27b =16.7.C 点拨：∵{n a }是等差数列,1-m S = －2, m S =0, ∴m a =m S －1-m S =2.∵1+m S =3,∴1+m a =1+m S －m S =3, ∴d =1+m a －m a =1. 又m S =2)(1m a a m + =2)2(1+a m =0, ∴1a =－2.∴m a =－2+(m －1)·1=2.∴m =5.8.A 点拨：由题设可用“基本量”法，或用性质：n S ,n S 2－n S ,n S 3－n S 2,…,仍成等比数列，或用性质: n m S +=m S +q mn S .方法一：由n m S +=m S +q mn S ,得30S =20S +q 2010S =10S + q 1010S + q 2010S ，从而有q 20+ q 10－6=0,∴q 10=2(q 10=－3舍去).∴40S =30S +q 3010S =70+23×10=150.故选A.方法二：由40S =30S +q 3010S ,又30S ＞0, q 30＞0, 10S ＞0,知40S ＞0,从而排除B 、C 、D,故选A.二、9.15 点拨：设{n a }的公比为q (q ≠0).∵41a ,22a ,3a 成等差数列，∴41a +3a =42a ,即41a +1a q 2=41a q .∴q 2－4q +4=0,解得q =2,∴4S =212114--⨯）（=15.10.21 点拨：设{n a }的公差为d ,由题意知⎪⎩⎪⎨⎧=-⨯+=+,102)15(55,111d a d a 解得⎩⎨⎧==.0,11a d 故7S =71a +d 2)17(7-⨯=21. 11.384 点拨：由23a a －12a a =2得，3a =8,由34a －23a =2得，4a =48, 由45a a －34a a =2得，5a =384. 三、12.解：设{n a }的公差为d . 由3S =22a ,得32a =22a ,故2a =0或2a =3. 由1S =2a －d , 2S =22a －d , 4S =42a +2d , 故(22a －d )2=(2a －d )(42a +2d ).若2a =0,则d 2=－2d 2,所以d =0,此时n S =0,不合题意；若2a =3,则(6－d )2=(3－d )(12+2d ),解得d =0或d =2.因此{n a }的通项公式为n a =3或n a =2n －1. 13.（1）解：由1+n a =2n S +1① 得n a =21-n S +1②, ①－②得1+n a －n a =2(n S －1-n S ),∴1+n a =3n a . ∴n a =13-n .设等差数列{n b }的公差为d ，则b 5－b 3=2d =6,∴d =3. ∴n b =3n －6.（2）证明：∵2+n a =3n +1,b n +2=3n .∴n c =133+n n =nn3. ∴1+n c －n c =1321+-n n＜0.∴1+n c ＜n c ＜…＜1c =31.∴1+n c ＜n c ≤31.14.解：（1）由已知得S n =2n a －3n ,S n +1=21+n a －3(n +1)，两式相减并整理得：1+n a =2n a +3. 所以3+1+n a =2(3+n a ).又1a =S 1=21a －3, 1a =3可知3+1a =6≠0,进而可知n a +3≠0.所以nn a ++31=2,故数列{3+n a }是首项为6，公比为2的等比数列，所以3+n a =6×12-n ,即n a =3(2n－1). （2）n b =n (2n －1)=n 2n－n .设T n =1×2+2×22+3×23+…+n ×2n①，2T n =1×22+2×23+…+（n －1）2n +n ×2n +1②，由②－①得T n =－(2+22+23+…+2n )+n 2n +1=21221---+n + n 2n +1=2+(n －1)2n +1.所以B n =T n －(1+2+3+…+n )=2+(n －1)2n +1－2)1(+n n .。
人教A版高中数学必修五第一章综合检测.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第一章综合检测一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的．)1．在△ABC 中，若AB ＝3－1，BC ＝3＋1，AC ＝6，则B 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°[答案] C[解析] cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝12，∴B ＝60°. 2．在△ABC 中，A ＝45°，AC ＝4，AB ＝2，那么cos B ＝( ) A.31010 B ．－31010 C.55 D ．－55 [答案] D[解析] BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ＝16＋2－82cos45°＝10，∴BC ＝10，cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝－55. 3．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 的值为( ) A. 3 B ．2 3 C.3或2 3 D ．2[答案] C[解析] ∵sin C ＝sin B b ·c ＝32， ∴C ＝60°或C ＝120°， ∴A ＝30°或A ＝90°， 当A ＝30°时，a ＝b ＝3；当A ＝90°时，a ＝b 2＋c 2＝2 3.故选C.4．等腰△ABC 底角B 的正弦与余弦的和为62，则它的顶角是( )A ．30°或150°B ．15°或75°C ．30°D ．15° [答案] A[解析] 由题意：sin B ＋cos B ＝62.两边平方得sin2B ＝12，设顶角为A ，则A ＝180°－2B .∴sin A ＝sin(180°－2B )＝sin2B ＝12， ∴A ＝30°或150°.5．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A. 6B ．2C. 3D. 2[答案] D[解析] 由余弦定理得，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ， ∴cos120°＝a 2＋2－622a ，整理得a 2＋2a －4＝0，∵a >0，∴a ＝ 2.6．(2012·天津理，6)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )A.725 B ．－725 C ．±725 D.2425[答案] A[解析] 由b sin B ＝csin C 及8b ＝5c ，c ＝2B 得，5c sin2B ＝8c sin B ，∴cos B ＝45，∴cos C ＝cos2B ＝2cos 2B －1＝725.7．△ABC 中，已知下列条件：①b ＝3，c ＝4，B ＝30°；②a ＝5，b ＝8，A ＝30°；③c ＝6，b ＝33，B ＝60°；④c ＝9，b ＝12，C ＝60°.其中满足上述条件的三角形有两解的是( )A ．①②B ．①④C ．①②③D ．③④[答案] A[解析] ①c sin B <b <c ，故有两解； ②b sin A <a <b ，故有两解； ③b ＝c sin B ，有一解； ④c <b sin C ，无解．所以有两解的有①②，故选A.8．△ABC 中，|AB →|＝5，|AC →|＝8，AB →·AC →＝20，则|BC →|为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9[答案] B[解析] ∵AB →·AC→＝20， ∴|AB →||AC →|cos A ＝20，∴cos A ＝12，由余弦定理，得|BC →|2＝|AB →|2＋|AC →|2－2|AB →||AC →|cos A ＝49， ∴|BC→|＝7. 9．已知钝角三角形的三边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是( )A ．1<x <5 B.5<x <13C ．1<x <5或13<x <5D ．1<x < 5 [答案] C[解析] 当x 为最大边时⎩⎨⎧3<x <5x 2>32＋22，∴13<x <5；当3为最大边时⎩⎨⎧1<x <332>x 2＋22，∴1<x < 5.∴x 的取值范围是：1<x <5或13<x <5.10．在△ABC 中，三边长分别为a －2，a ，a ＋2，最大角的正弦值为32，则这个三角形的面积为( )A.154B.1534C.2134D.3534[答案] B[解析] ∵三边不等，∴最大角大于60°， 设最大角为α，故α对的边长为a ＋2. ∵sin α＝32，∴α＝120°， 由余弦定理，得(a ＋2)2＝(a －2)2＋a 2＋a (a －2)，即a 2＝5a ，解得a ＝5，∴三边长为3,5,7， S △ABC ＝12×3×5×sin120°＝1534.11．在△ABC 中，B ＝60°，C ＝45°，BC ＝8，D 为BC 上一点，且BD→＝3－12BC →，则AD 的长为( )A ．4(3－1)B ．4(3＋1)C ．4(3－3)D ．4(3＋3) [答案] C[解析] 由题意知∠BAC ＝75°，根据正弦定理，得AB ＝BC sin45°sin75°＝8(3－1)， 因为BD →＝3－12BC →，所以BD ＝3－12BC . 又BC ＝8，所以BD ＝4(3－1)．在△ABD中，AD＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos60°＝4(3－3)．12．如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20n mile，随后货轮按北偏西30°的方向航行30min后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为()A．20(2＋6)n mile/hB．20(6－2)n mile/hC．20(3＋6)n mile/hD．20(6－3)n mile/h[答案] B[解析]由题意可知∠SMN＝15°＋30°＝45°，MS＝20，∠MNS＝45°＋(90°－30°)＝105°，设货轮每小时航行x n mile，则MN＝12x，∴∠MSN＝180°－105°－45°＝30°，由正弦定理，得1 2xsin30°＝20sin105°，∵sin105°＝sin(60°＋45°)＝sin60°cos45°＋cos60°sin45°＝6＋24， ∴x ＝20(6－2)，故选B.二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)13．三角形一边长14，它对的角为60°，另两边之比为，则此三角形面积为__________．[答案] 40 3[解析] 设另两边长为8x 和5x ，则 cos60°＝64x 2＋25x 2－14280x 2，∴x ＝2， ∴另两边长为16和10，此三角形面积S ＝12×16×10·sin60°＝40 3.14．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________. [答案]102[解析] ∵tan A ＝13，∴sin A ＝1010，由正弦定理，得AB ＝BC ·sin Csin A ＝102.15．如图，已知梯形ABCD 中，CD ＝2，AC ＝19，∠BAD ＝60°，则梯形的高为__________．[答案] 332[解析] 解法一：∵∠BAD ＝60°， ∴∠ADC ＝180°－∠BAD ＝120°. ∵CD ＝2，AC ＝19，∴19sin120°＝2sin ∠CAD ，∴sin ∠CAD ＝5719.∴sin ∠ACD ＝sin(60°－∠CAD )＝35738. ∴AD ＝AC ·sin ∠ACD sin D ＝19×35738sin120°＝3. ∴h ＝AD ·sin60°＝332. 解法二：在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD cos120°， ∴AD 2＋2AD －15＝0. ∴AD ＝3 (AD ＝－5舍去)． ∴h ＝AD sin60°＝332.16．在△ABC 中，cos 2A2＝b ＋c2c ，则△ABC 的形状为________．[答案] 直角三角形[解析] ∵cos 2A2＝1＋cos A 2＝b ＋c 2c ＝12＋b2c ，∴cos A ＝bc .由余弦定理的推论，得 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ， ∴b 2＋c 2－a 22bc ＝b c ， ∴a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 为直角三角形．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝43，c ＝13，求最小内角的度数．[解析] ∵c <b <a ，∴C <B <A ， cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝49＋48－132×7×43＝32.∵0°<C <180°，∴C ＝30°.18．(本题满分12分)在△ABC 中，已知a ＝6，A ＝60°，b －c ＝3－1，求b 、c 和B 、C .[解析] 由余弦定理，得6＝b 2＋c 2－2bc cos60°， ∴b 2＋c 2－bc ＝6 ①由b －c ＝3－1平方得：b 2＋c 2－2bc ＝4－23 ② ①、②两式相减得bc ＝2＋2 3.由⎩⎪⎨⎪⎧ b －c ＝3－1bc ＝2＋23，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3＋1c ＝2 ，由正弦定理，得sin B ＝b sin A a ＝(3＋1)sin60°6＝6＋24.∵6<3＋1，∴B ＝75°或105°. ∵a 2＋c 2>b 2，∴B 为锐角， ∴B ＝75°，从而可知C ＝45°.[点评] 求角B 时，若先求得sin C ＝c sin A a ＝22，∵a >c ，∴C ＝45°，从而得B ＝75°.若用余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝6－24，∴B ＝75°.19．(本题满分12分)生活中，我们可以见到很多三角形结构的物体，而我们自己有时也制作那样的物体．如果现在有一足够长的木杆子，用它来制作一个三角形物体，要求三角形物体的三边为连续正整数，最大角是钝角，那么该如何去截木杆？[解析] 设三角形的三边长为a ＝n －1，b ＝n ，c ＝n ＋1，n ∈N *且n >1，∵C 是钝角，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝n －42(n －1)<0，∴1<n <4，∵n ∈N *，∴n ＝2或3，当n ＝2时，a ＝1，b ＝2，c ＝3，不能构成三角形； 当n ＝3时，a ＝2，b ＝3，c ＝4，能构成三角形；把该木杆截下长度分别为2、3、4的三段，然后三段首尾顺次连接即可．20．(本题满分12分)在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝3，BC ＝7，求：(1)AC 的长；(2)△ABC 的面积．[解析] (1)由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠BAC ， ∴49＝9＋AC 2＋3AC ，解之得AC ＝5(AC ＝－8舍去)．(2)△ABC 的面积S ＝12AB ·AC ·sin ∠BAC ＝12×3×5×sin120°＝1534.21．(本题满分12分)已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，a 、b 、c 为其对应边，向量m ＝(－1，3)，n ＝(cos A ，sin A )，m ·n ＝1.(1)求A ；(2)若AB →＝(2,1)，cos B cos C ＝b c ，求△ABC 的面积S .[解析] (1)由m ·n ＝1，得3sin A －cos A ＝1，∴sin(A －π6)＝12.∵0<A <π， ∴－π6<A －π6<5π6.∴A －π6＝π6.∴A ＝π3.(2)解法一：由正弦定理，得cos B cos C ＝b c ＝sin B sin C ，∴sin B cos C －cos B sin C ＝0，即sin(B －C )＝0.∵－π<B －C <π，∴B －C ＝0，即B ＝C .又∵A ＝π3，∴△ABC 为等边三角形．∵c ＝|AB→|＝5， ∴S ＝34×(5)2＝534.解法二：∵cos B cos C ＝b c ，∴由余弦定理，得a 2＋c 2－b 22ac a 2＋b 2－c22ab＝b c ， 整理得b 2＝c 2，∴b ＝c .又∵A ＝π3，∴△ABC 为等边三角形．又∵c ＝|AB→|＝5， ∴S ＝34×(5)2＝534.22．(本题满分14分)如图，在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 点(3－1)n mile 的B 处有一艘走私船．在A 处北偏西75°方向，与A 距离2n mile 的C 处的我方缉私船，奉命以103n mile/h 的速度追截走私船，此时走私船正以10n mile/h 的速度，从B 处向北偏东30°方向逃窜，问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．[解析]设缉私船应沿CD方向行驶t h，才能最快截获(在D点)走私船．则CD＝103t n mile，BD＝10t n mile，∵BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝(3－1)2＋22－2(3－1)·2cos120°＝6，∴BC＝6，∵BCsin A＝ACsin∠ABC，∴sin∠ABC＝AC·sin ABC＝2sin120°6＝22∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正东方向上，∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，∵BDsin∠BCD＝CDsin∠CBD，∴sin∠BCD＝BD·sin∠CBDCD＝10t sin120°103t＝12.∴∠BCD＝30°，又∠CBD＝120°得∠D＝30°，∴BD＝BC，即10t＝6，∴t＝610h≈15(min)．答：缉私船沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，约需15min.。
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高中数学必修五第一章复习测试卷一、选择题 ：1.在△ABC 中，一定成立的等式是( )a b a b cosB a b sinA a b A. sinA= sinB B. cosA= C. sinB= D. cosB= cosA 2. . 在△ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是A ．b = 10 ， A = 45 °，B = 70 ° B ．a = 60 ， c = 48 ， B = 100 ° （ ）C ．a = 7 ，b = 5 ，A = 80 °D ．a = 14 ，b = 16 ， A = 45 °3. 在 ABC 中，已知角 B 45 , c 2 2, b43,则角 A 的值是（ ）3A ． 15°B ．75 °C ． 105 °D ． 75°或15 °4．在 ABC 中，若 a2 ， b 2 2 ， c6 2 ，则 A 的度数是（ ）A ． 30B ． 45C ． 60D ． 755. 若 sin A cos BcosC则△ABC 为a bc（ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．有一个内角为 30°的直角三角形D ．有一个内角为 30°的等腰三角形6.在 ABC 中，已知 B60 ,c 45 , BC 8, AD BC 于 D , 则 AD 长为（ ）A ． （4 3 1)B ． 4（ 3 1)C ． （4 3 3)D ． （433)7. 钝角 ABC 的三边长为连续自然数，则这三边长为（）A ． 1、 2、3、B ．2、 3、4C ．3、 4、5D ． 4、 5、 68．已知 △ ABC 中， a ∶b ∶ c ＝ 1∶ 3 ∶2，则 A ∶B ∶ C 等于 ()A ．1∶ 2∶ 3B ．2∶ 3∶ 1C ． 1∶3∶ 2D ． 3∶ 1∶ 29 在中，C 90 0， 0 0A 45 0，则下列各式中正确的是（）.△ ABCA sin A cos AB sin B cos A Csin A cosB D sin B cosB二、填空题：1、已知在△ABC中，a 2 3, c 6, A 30o，△ABC的面积S.2.设△ ABC 的外接圆半径为R，且已知 AB＝4，∠ C＝ 45°，则 R＝ ________．3.在平行四边形ABCD 中，已知AB 10 3 ， B 60 ， AC30 ，则平行四边形ABCD 的面积．4．在△ABC中，已知2cos B sin C＝sin A，则△ABC的形状是．三、解答题：１、已知 a、 b、 c 分别是△ ABC中角 A、 B、 C 的对边，且 a2c2b2ac .（Ⅰ）求角 B 的大小；（Ⅱ）若 c3a ，求 tan A 的值．2. 在四边形 ABCD 中， AC 平分∠DAB，∠ABC=60 0， AC=7 ，AD=6 ，S △ADC= 153，求AB的长. 23. 如果 △ABC 内接于半径为R 的圆，且 2 R2Asin 2C) ( 2 a b ) sin B 求 △ABC(sin,的面积的最大值 .4. 一货轮航行到 M 处，测得灯塔 S 在货轮的北偏东 15 °相距20 里处，随后货轮按北偏西 30°的方向航行，半小时后，又测得灯塔在货轮的北偏东45°，求货轮的速度 .答案：一、 1． C 2. D 3. D 4. A. 5. B 6. D 7. B 8.A二、 1．6 3 或 3 3 2. 2 2 3. 300 3 4.等腰三角形三、 1．（ 1）由余弦定理得cos B a2 c2 b2 1 ，2ac 2且0 B ， B3（ 2）将c 3a 代入 a2 c2 b2 ac ，得 b 7a ，由余弦定理得a2 c 2 b 2 5 7 cos B2ac 140 A , sin A 1 cos2 A 2114tan A sin A 3 cos A 52 ．△ ADC的面积S 1 AD AC sin ∠DAC 1 6 7 sin∠DAC 153 .2 2 2sin ∠DAC 53 , 在△ ABC中，可求BC 5 ，由余弦定理可求 AB 8 。
高一数学(必修5)第一章测试卷
(人教版A 版)数学必修5 第一章复习测试卷一、选择题：1.在△ABC 中，一定成立的等式是 ( ) A.a sinA=b sinB B.a cosA=b cosB C.a sinB=b sinA D.a cosB=b cosA2. .在△ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是 （ ） A ．b = 10，A = 45°，B = 70° B ．a = 60，c = 48，B = 100° C ．a = 7，b = 5，A = 80° D ．a = 14，b = 16，A = 45°3. 在ABC ∆中，已知角,334,22,45===b c B则角A 的值是 （ ） A ．15° B ．75° C ．105° D ．75°或15° 4．在ABC ∆中，若2=a ，22=b ，26+=c ，则A ∠的度数是 （ ）A ．︒30B ．︒45C ．︒60D ．︒75 5. 若cCb B a A cos cos sin ==则△ABC 为（ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．有一个内角为30°的直角三角形D ．有一个内角为30°的等腰三角形6.在ABC ∆中，已知,,8,45,60D BC AD BC c B 于⊥===则AD 长为 （ ）A ．1)34-（B ．1)34+（C ．3)34+（D ．)334-（ 7. 钝角ABC ∆的三边长为连续自然数，则这三边长为 （ ）A ．1、2、3、B ．2、3、4C ．3、4、5D ．4、5、68．已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则A ∶B ∶C 等于 ( ) A ．1∶2∶3B ．2∶3∶1C ．1∶3∶2D ．3∶1∶29. 在△ABC 中，090C ∠=，00450<<A ，则下列各式中正确的是 （ ）A sin cos A A >B sin cos B A >C sin cos A B >D sin cos B B >二、填空题： 10、已知在ABC △中，6,30a c A ===，ABC △的面积S .11、设△ABC 的外接圆半径为R ，且已知AB ＝4，∠C ＝45°，则R ＝________．12、在平行四边形ABCD 中，已知310=AB ，︒=∠60B ，30=AC ，则平行四边形ABCD 的面积 ．13、在△ABC 中，已知2cos B sin C ＝sin A ，则 △ ABC 的形状是 ． 三、解答题：１4、已知a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边，且222a c b ac +-=. （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若3c a =，求tan A 的值． 15、在四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ABC=600，AC=7，AD=6， S △ADC =2315，求AB 的长. 16、△ABC 内接于半径为R 的圆，且,sin )2()sin (sin 222B b a C A R -=-求△ABC 的面积的最大值.17、一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°相距20里处，随后货轮按北偏西30°的方向航行，半小时后，又测得灯塔在货轮的北偏东45°，求货轮的速度.(人教版A 版)数学必修5 第一章复习测试卷参考答案答案：一、1．C 2. D 3. D 4. A. 5. B 6. D 7. B 8.A 二、10．36或33 11.22 12.3300 13.等腰三角形三、14．（1）由余弦定理得212cos 222=-+=ac b c a B ， 且 π<<B 0， 3π=∴B（2）将a c 3=代入ac b c a =-+222，得 a b 7=，由余弦定理得14752cos 222=-+=ac b c a B1421cos 1sin ,02=-=∴<<A A A π 53c o s s i n t a n ==∴A A A15． △ADC 的面积 sin 21⋅⋅⋅=AC AD S ∠DAC 7621⨯⨯=sin ∠DAC 2315=. sin ∴∠DAC 1435=, 在△ABC 中，可求5=BC ，由余弦定理可求8=AB 。
高一数学必修5第一章单元测试题及答案
高一数学第一章单元测试题（时间100分钟，满分100分）一、选择题：（每小题4分，共计40分） 1. 在△ABC 中，a ＝10，B=60°,C=45°,则c 等于 （ ）A ．310+ B ．()1310-C ．13+D ．3102. 在△ABC 中，，c=3，B=300，则a 等于（ ）A B ． C ．2 3. 不解三角形，下列判断中正确的是（ ） A ．a=7，b=14，A=300有两解 B ．a=30，b=25，A=1500有一解C ．a=6，b=9，A=450有两解D ．a=9，c=10，B=600无解4. 已知△ABC 的周长为9，且4:2:3sin :sin :sin =CB A ，则cosC 的值为（ ） A ．41- B ．41 C ．32- D ．325. 在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则CB A cb a sin sin sin ++++等于( )A ．33B ．3392C ．338D ．2396. 在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则BC AB ⋅的值为( ) A ．79 B ．69 C ．5 D ．-57.关于x 的方程02cos cos cos 22=-⋅⋅-C B A x x 有一个根为1，则△ABC 一定是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形 8. 7、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的范围是（ ） A ．()10,8B ．()10,8 C ． ()10,8D ．()8,109.在△ABC 中，A B B A 22sin tan sin tan ⋅=⋅，那么△ABC 一定是 （ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形 10. 已知△ABC 的三边长6,5,3===c b a，则△ABC 的面积为 （ ） A ．14B ．142C ．15 D ．152二、填空题（每小题4分，满分16分）11.在△ABC 中，有等式：①asinA=bsinB ；②asinB=bsinA ；③acosB=bcosA ；④sin sin sin a b cA B C+=+. 其中恒成立的等式序号为______________12. 在等腰三角形 ABC 中，已知sinA ∶sinB=1∶2，底边BC=10，则△ABC 的周长是 。
高中数学必修五第一章测试题含答案 精校打印版 名校用过
高中数学必修五第一章测试题含答案精校打印版名校用过第一章测试一、选择题1.在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝8，则△ABC的形状是()A。
锐角三角形B。
直角三角形C。
钝角三角形D。
非钝角三角形2.在△ABC中，已知a＝1，b＝3，A＝30°，B为锐角，那么A，B，C的大小关系为()A。
A>B>CB。
B>A>CC。
C>B>AD。
C>A>B3.在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于()A。
42B。
43C。
46D。
324.在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则BA·BC的值为()A。
5B。
－5C。
15D。
－155.若三角形三边长之比是1：3：2，则其所对角之比是()A。
1：2：3B。
1：3：2C。
1：2：3D。
2：3：26.在△ABC中，若a＝6，b＝9，A＝45°，则此三角形有()A。
无解B。
一解C。
两解D。
解的个数不确定7.已知△ABC的外接圆半径为R，且2R(sin2A－sin2C)＝(2a－b)sinB(其中a，b分别为A，B的对边)，那么角C的大小为()A。
30°B。
45°C。
60°D。
90°8.在△ABC中，已知sin2A＋sin2B－sinAsinB＝sin2C，且满足ab＝4，则该三角形的面积为()A。
1B。
2C。
2D。
39.在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则sinB/sinC 的值为()A。
8553/5835B。
5835/8553C。
1D。
7/510.在三角形ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC的大小为()A。
2π/5B。
3π/5C。
π/3D。
4π/311.有一长为1km的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要加长()A。
0.5kmB。
(好题)高中数学必修五第一章《数列》测试(含答案解析)
一、选择题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，23a =，且()11222n n nn S S S n +-+=+≥，若()()72n n S a n λλλ-++≥-对任意*n ∈N 都成立，则实数λ的最小值为（ ） A ．52-B ．116C ．332D ．12．设等差数列{}n a 前n 项和为n S ，等差数列{}n b 前n 项和为n T ，若11n n S n T n -=+．则55a b =（ ） A ．23B ．45C ．32D ．54 3．已知数列{}n a 为等比数列，若2312a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为54，则123n a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅的最大值为（ ） A ．5B ．512C ．1024D ．20484．已知数列{}n a 的通项公式350n a n =-，则前n 项和n S 的最小值为( ) A ．－784B ．－368C ．－389D ．－3925．在等差数列{}n a 中，0n a ≠，()21102n n n a a a n -+-+=≥，若2138n S -=，则n =( )．A ．38B ．20C ．10D ．96．已知函数()()f x x R ∈满足()()42f x f x -++=，若函数2xy x =-与()y f x =图象的交点为()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋯，则()1nii i xy =+=∑（ ）A ．0B ．nC ．2nD ．3n7．对于数列{}n a ，定义11233n nn a a a T n-+++=为{}n a 的“最优值”，现已知数列{}n a 的“最优值”3n n T =，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则20202020S=（ ） A ．2019B ．2020C ．2021D ．20228．公元1202年意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即121a a ==，12n n n a a a --=+（*3,n n ≥∈N ）.此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.若记212n n n n b a a a ++=-（*n ∈N ），数列{}n b 的前n 项和为n S ，则2020S =（ ） A ．0B ．1C ．2019D ．20209．已知等比数列{}n a 中，若1324,,2a a a 成等差数列，则公比q =（ ） A ．1B ．1-或2C ．3D ．1-10．若n S 是等比数列{}n a 的前项和，3S ，9S ，6S 成等差数列，且82a =，则25a a +=（ ） A ．12-B ．4-C ．4D ．1211．已知数列{}n a 的通项公式为211n aa n n n=-+，5a 是数列{}n a 的最小项，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[40,25]--B ．[40,0]-C ．[25,0]-D ．[25,0]-12．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若64a =，19114S =，则15S =（ ） A ．45B ．75C ．90D ．95二、填空题13．数列{}n a 满足()()1232312n a a a na n n n ++++=++，则n a = __________.14．已知等差数列{}n a 的首项是19-，公差是2，则数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值是_______.15．数列{}n a 满足11a =，22a =，且2221sin 2cos 22n nn n a a ππ+⎛⎫=+⋅+ ⎪⎝⎭（*n N ∈），则2020a =__.16．等比数列{}n a 的各项均为正数，且2414a a =，则2122232425log log log log log a a a a a ++++=___________.17．数列{}n a 中，若31()n na a n *+=∈N ，13a =，则{}n a 的通项公式为________. 18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为()*n S n N∈，公差0d ≠，690S=，7a 是3a 与9a 的等比中项，当0n S >时，n 的最大值为______.19．已知数列{}n a 与{}n b 前n 项和分别为n S ，n T ，且0n a >，22n n n S a a =+，1121(2)(2)n n n n n n b a a +++=++，对任意的*n N ∈，n k T >，恒成立，则k 的最小值是__________．20．已知数列{}n a 的通项公式为3217n n a n -=-，前n 项和为n S ，则n S 取得最小值时n 的值为_________.三、解答题21．在①119n n a a +-=-，②113n n a a +=-③18n n a a n +=+-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且19a =，__________，求{}n a 的通项公式，并判断n S 是否存在最大值，若存在，求出最大值：若不存在，说明理由. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分22．在数列{}n a ，{}n b 和{}n c 中，{}n a 为等差数列，设{}n a 前n 项的和为n S ，{}n c 的前n 项和为n T ，11a =，410S a =，12b =，n n n c a b =⋅，22n n T c =-. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求证：()()()()()()12122311111111nn n c c c c c c c c c ++++<------.23．已知正项数列{}n a 、{}n b ，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1143a b +=，21n n S a +=，2211(1)0n n n n nb b b n b ----+=（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）求数列{}2n n a b 的前n 项和n T ．24．从①1a 、2a 、5a 成等比数列，②525S =，③222n nS S n n+-=+，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，47a =， ，122na n nb a +=+，求数列{}n b 的前n 项和为n T .25．已知数列{}n a 是等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，35a =，749=S . （1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）若数列{}n b 满足2n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .26．已知{}n a 是由正整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为n A ，最小值记为n B ，令nn nA bB =． （1）若2(1,2,3,)n a n n ==，写出1b ，2b ，3b 的值．（2）证明：1(1,2,3,)n n b b n +≥=．（3）若{}n b 是等比数列，证明：存在正整数0n ，当0n n 时，n a ，1n a +，2n a +是等比数列．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C 解析：C 【分析】由n S 与n a 的关系得21nn a =-，则272n maxn λ-⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，设272n n n c -=，利用数列的单调性即可求解． 【详解】解：数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，23a =，且()11222n n nn S S S n +-+=+≥， 所以112nn n n n S S S S +--=+-，故()122nn n a a n +-=≥，因为1212a a -=，所以()121nn n a a n +-=≥，所以112n n n a a ---=，2122n n n a a ----=，⋯，1212a a -=， 则1211222n n a a --=++⋯+，故11211222121n n n n a --=++⋯+==--， 所以()123122122222221n n n nS n n n +-=+++⋯+-=-=---，所以21nn n S a n -=--，因为()()72n n S a n λλλ-++≥-对任意*n N ∈都成立， 所以272nmaxn λ-⎛⎫≥ ⎪⎝⎭． 设272n nn c -=，则111252792222n nn n n n n nc c +++----=-=， 当4n ≤时，1n n c c +>，当5n ≥时，1n n c c +<， 因此1234567c c c c c c c <<⋯<><> 即5332c λ≥=，故λ的最小值为332． 故选：C 【点睛】本题解答的关键利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列n a 的递推公式，再利用累加法求出na 的通项；2．B解析：B本题首先可令9n =，得出9945S T =，然后通过等差数列的性质得出959S a =以及959T b =，代入9945S T =中，即可得出结果. 【详解】 因为11n n S n T n -=+，所以99914915S T -==+， 因为n S 是等差数列{}n a 前n 项和，n T 是等差数列{}n b 前n 项和， 所以()1995992a a S a +==，()1995992b b T b +==， 则95959459S a T b ==，5545a b =， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的相关性质的应用，主要考查等差数列前n 项和公式以及等差中项的应用，若等差数列{}n a 前n 项和为n S ，则()12n n n a a S +=，当2m n k +=时，2m n k a a a +=，考查化归与转化思想，是中档题.3．C解析：C 【分析】用1a 和q 表示出2a 和3a 代入2312a a a ⋅=求得4a ，再根据3474422a a a a q +=+，求得q ，进而求得1a 到6a 的值，即得解. 【详解】2231112a a a q a q a ⋅=⋅=42a ∴=3474452224a a a a q +=+=⨯12q ∴=，41316a a q ==故1415116()2222n n n n a ---=⨯=⨯=，所以123456116,8,4,2,1,12a a a a a a ======<， 所以数列的前4或5项的积最大，且最大值为16842=1024⨯⨯⨯. 故选：C结论点睛：等比数列{}n a 中，如果11,01a q ><<，求123n a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅的最大值，一般利用“1交界”法求解，即找到大于等于1的项，找到小于1的项，即得解.4．D解析：D 【解析】令3500n -≥，求得16n >，即数列从第17项开始为正数，前16项为负数，故数列的前16项的和最小，1612,47a a =-=-，()16472163922S --⨯∴==-，故选D.【方法点睛】求等差数列前n 项和的最大值的方法通常有两种：①将前n 项和表示成关于n 的二次函数，n S 2An Bn =+，当2B n A =-时有最大值（若2B n A=-不是整数，n 等于离它较近的一个或两个整数时n S 最大）；②可根据0n a ≥且10n a +≤确定n S 最大时的n 值.5．C解析：C 【分析】由2110n n n a a a -+-+=，可得2112n n n n a a a a -++==，得到2n a =，再根据等差数列的求和公式，得到2138(21)n n n S a --==，代入即可求解，得到答案． 【详解】由题意，等差数列{}n a 中，()21102n n n a a a n -+-+=≥，可得2112n n n n a a a a -++==，又0,n a ≠解得2n a =， 又由12121(21)()(2)3812n n n n a a n a S ---+==-=，即(21)823n -⨯=，解得10n =，故选C ． 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，以及等差数列的求和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的性质，求得2n a =和2138(21)n n n S a --==是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6．D解析：D 【分析】由题意可得()()f x x R ∈的图像关于点()2,1对称，函数2xy x =-的图像也关于()2,1对称，然后利用对称性以及倒序相加法即可得出答案. 【详解】函数()()f x x R ∈满足()()42f x f x -++=，∴()f x 的图像关于点()2,1对称，而函数2xy x =-的图像也关于()2,1对称， 设123n x x x x >>>>121224n n x x x x -∴+=+==⨯= 121212n n y y y y -+=+==⨯=令121nin i xx x x ==++∑，则111ni n n i x x x x -==++∑，()()()1211124n i n n n i x x x x x x x n -==++++∴+=∑，12ni i x n =∴=∑令121nin i y y yy ==++∑，则111ni n n i y y y y -==++∑，()()()1211122n i n n n i y y y n y y y y -=∴=+++++=∑，1ni i n y =∴=∑()13ni i i x y n =+=∴∑，故选：D 【点睛】本题考查了函数的对称性应用，考查了倒序相加法求和，解题的关键是找出中心对称点，属于中档题.7．D解析：D 【分析】 根据11233n nn a a a T n-+++=，且3nn T =，得到112333n n n a a a n -+++=⋅，然后利用数列通项与前n 项和的关系求得21n a n =+，再利用等差数列求和公式求解. 【详解】 ∵11233n nn a a a T n-+++=，且3nn T =，∴112333n n n a a a n -+++=⋅，当2n ≥时，有()211213313n n n a a a n ---+++⋅=-⋅，两式相减可得：()()1113313213n n n n n a n n n ---⋅=⋅--⋅=+⋅.∴21n a n =+（2n ≥）. 当1n =时，13a =适合上式. ∴21n a n =+.则数列{}n a 是以3为首项，以2为公差的等差数列. ∴()202032202012020S 202220202+⨯+⨯==⨯.∴202020222020S =. 故选：D . 【点睛】本题主要考查数列通项与前n 项和的关系以及等差数列的定义和求和公式的应用，属于中档题.8．A解析：A 【分析】由1n nb b +用递推式可得到值为-1，{}n b 是等比数列，再求前2020项和. 【详解】 由题意可知()2221121213221212n n n n n n n n n n n n n n n a a a a b a a a b a a a a a a ++++++++++++-+-===--()222211212212121n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a ++++++++++---==---， 又212131b a a a =-=-，因此()1nn b =-，故()()()20201111110S =-++-+++-+=，故选：A. 【点睛】本题考查了通过递推数列揭示数列存在的规律即等比数列，还考查了数列求和，属于中档题.9．B解析：B 【分析】用等比数列的通项公式和等差中项公式求解. 【详解】因为1324,,2a a a 成等差数列，所以312242a a a =+，即2111242a q a a q =+，化简得220q q --=，解得1q =-或2q .故选B. 【点睛】本题考查等比数列与等差数列的综合运用.10．C解析：C 【分析】当公比q=1时，易推断不符合题意，故q 1≠，然后利用等比数列的前n 项和的公式和等差数列的性质得方程，再利用等比数列的性质求解. 【详解】设数列{}n a 的公比为q ，当1q =时，2n a =，则36S =，612S =，918S =，此时396,,S S S 不成等差数列，不符合题意，舍去；当1q ≠时，∵396,,S S S 成等差数列，∴3692S S S +=， 即()()()3691111112?111a q a q a q qq q---+=---，即96320q q q --=，解得312q =-或31q =（舍去）或30q =（舍去）， ∴8268a a q ==，8534a a q ==-，∴254a a +=，故选C. 【点睛】本题综合考查了等比数列与等差数列；在应用等比数列的前n 项和公式时，公比不能为1，故在解题过程中，应注意公比为1的这种特殊的等比数列，以防造成漏解.11．D解析：D 【分析】由题设得到5n a a ≥恒成立，参变分离后可得实数a 的取值范围. 【详解】由题设有5n a a ≥恒成立， 故21125555a an n n -+≥-+恒成立即()()()5565a n n n n---≥， 当6n ≥时，有()56a n n ≤-恒成立，故0a ≤， 当14n ≤≤时，有()56a n n ≥-恒成立，故25a ≥-， 当5n =时，a R ∈， 故250a -≤≤. 故选：D. 【点睛】本题考查数列的函数性质：最值问题，此类问题可利用函数的单调性来研究，也可以利用恒成立来研究，本题属于较难题.12．B解析：B 【分析】结合题意根据等差数列的通项公式和前n 项和公式列方程115419199114a d a d +=⎧⎨+⨯=⎩，解得11232d a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，再利用前n 项和公式即可求得答案. 【详解】解：根据题意64a =，19114S =，结合等差数列的通项公式和前n 项和公式得：115419199114a d a d +=⎧⎨+⨯=⎩，即：115496a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得11232d a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以()1511515131451051515157752222S a d -+=+=⨯+⨯⨯==. 故选：B. 【点睛】本题考查利用等差数列的通项公式和前n 项和公式求等差数列的基本量，考查数学运算能力，是基础题.二、填空题13．【分析】对递推关系多递推一次再相减可得再验证是否满足；【详解】∵①时②①-②得时满足上式故答案为：【点睛】数列中碰到递推关系问题经常利用多递推一次再相减的思想方法求解 解析：31n【分析】对递推关系多递推一次，再相减，可得31n a n ，再验证1n =是否满足；【详解】 ∵()()1232312n a a a na n n n ++++=++①2n ∴≥时，()()()123123111n a a a n a n n n -++++-=-+② ①-②得31,31n nna n n a n ，1n =时，1123=6,a 满足上式，31na n .故答案为：31n . 【点睛】数列中碰到递推关系问题，经常利用多递推一次再相减的思想方法求解.14．【分析】本题先求等差数列前n 项和再由此求出数列的前n 项和的最小值【详解】解：∵等差数列的首项是公差是2∴∴时数列的前n 项和的最小值是故答案为：【点睛】本题考查等差数列前n 项和的最小值的求法考查等差数解析：100-. 【分析】本题先求等差数列前n 项和()()22119220101002n n n S n n n n -=-+⨯=-=--，再由此求出数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值. 【详解】解：∵等差数列{}n a 的首项是19-，公差是2， ∴()()22119220101002n n n S n n n n -=-+⨯=-=--， ∴10n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值是100-. 故答案为：100-. 【点睛】本题考查等差数列前n 项和的最小值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.15．2020【分析】当n 为偶数时可得出故偶数项是以2为首项公差为2的等差数列求出通项公式代值计算即可得解【详解】当n 为偶数时即故数列的偶数项是以2为首项公差为2的等差数列所以所以故答案为：2020【点睛解析：2020 【分析】当n 为偶数时，可得出22n n a a +=+，故偶数项是以2为首项，公差为2的等差数列，求出通项公式，代值计算即可得解. 【详解】 当n 为偶数时，2223cos 1sin 2cos 1cos 2222n n n n n n n a a a n a ππππ+-⎛⎫=+⋅+=⋅++=+ ⎪⎝⎭， 即22n n a a +=+，故数列{}n a 的偶数项是以2为首项，公差为2的等差数列，所以2122n n a n ⎛⎫=+-⨯= ⎪⎝⎭，所以20202020a =. 故答案为：2020.【点睛】本题考查数列的递推式，解题关键是得出当n 为偶数时，可得出2n a +与n a 的关系式，进而求出{}n a 的通项公式，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.16．【分析】由题意利用等比数列的性质求得的值再利用对数的运算性质求得结果【详解】解：等比数列{an}的各项均为正数且∴则故答案为：【点睛】本题考查等比中项的性质考查运算求解能力求解时注意对数运算法则的运用 解析：5-【分析】由题意利用等比数列的性质求得3a 的值，再利用对数的运算性质，求得结果. 【详解】解：等比数列{a n }的各项均为正数， 且224314a a a ==，∴312a =， 则2122232425log log log log log a a a a a ++++523231og 5log 5(1)5a a ===⋅-=-，故答案为：5-. 【点睛】本题考查等比中项的性质，考查运算求解能力，求解时注意对数运算法则的运用.17．【分析】两边取对数化简整理得得到数列是以为首项公比为3的等比数列结合等比数列的通项公式即可求解【详解】由两边取对数可得即又由则所以数列是以为首项公比为3等比数列则所以故答案为：【点睛】本题主要考查了 解析：133()n n a n -*=∈N【分析】两边取对数，化简整理得313log 3log n na a +=，得到数列3{log }n a 是以1为首项，公比为3的等比数列，结合等比数列的通项公式，即可求解. 【详解】由31()n na a n *+=∈N ，两边取对数，可得313log 3log n n a a +=，即313log 3log n na a +=， 又由13a =，则31log 1a =，所以数列3{log }n a 是以31log 1a =为首项，公比为3等比数列，则113log 133n n n a --=⋅=，所以133()n n a n -*=∈N . 故答案为：133()n n a n -*=∈N 【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，以及等比数列的通项公式的求解，其中解答中合理利用对数的运算性质，结合等比数列的通项公式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.18．【分析】根据是与的等比中项求出和再根据等差数列的求和公式求出解不等式即可得解【详解】因为是与的等比中项所以所以化简得因为所以因为所以即将代入得解得所以所以由得即解得所以正整数的最大值为故答案为：20解析：【分析】根据690S =，7a 是3a 与9a 的等比中项求出1a 和d ，再根据等差数列的求和公式求出n S ，解不等式0n S >即可得解.【详解】因为7a 是3a 与9a 的等比中项，所以2739a a a =⋅，所以()()()2111628a d a d a d +=++，化简得21100a d d +=，因为0d ≠，所以110a d =-， 因为690S =，所以1656902a d ⨯+=，即15152a d +=， 将110a d =-代入得510152d d -+=，解得2d =-，所以120a =， 所以2(1)20(2)212n n n S n n n -=+⨯-=-+， 由0n S >得2210n n -+>，即2210n n -<，解得021n <<， 所以正整数n 的最大值为20. 故答案为：20 【点睛】关键点点睛：熟练掌握等差数列的通项公式和求和公式以及等比中项的应用是解题关键.19．【分析】首先利用与的关系式求数列的通项公式再利用裂项相消法求再利用的最值求的最小值【详解】当时解得或当两式相减后可得整理后得：所以数列是公差为1的等差数列即数列单调递增当时对任意的恒成立即的最小值是解析：13【分析】首先利用n S 与n a 的关系式，求数列{}n a 的通项公式，再利用裂项相消法求n T ，再利用n T 的最值求k 的最小值. 【详解】当1n =时，2111122S a a a =+=，解得10a =或11a =，0n a >，11a ∴=，当2n ≥，2211122n n nn n n S a a S a a ---⎧=+⎨=+⎩，两式相减后可得()()()221112n n n n n n S S a a a a ----=-+-，整理后得：()()1110n n n n a a a a --+--=，所以11n n a a --=，∴数列{}n a 是公差为1的等差数列，即n a n =，()()112111221221n n n n n n b n n n n +++==-++++++， 2231111111...21222223221n n n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭1112121n n +=-+++ 111321n n +=-++， 数列{}n T 单调递增，当n →+∞时，13n T → 对任意的*n N ∈，n k T >，恒成立，()max n k T ∴>，即13k ≥,k 的最小值是13.故答案为：13【点睛】易错点睛：本题主要考查函数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项： (1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.20．8【分析】求出数列在n 的不同取值范围的正负判断出的单调性可求出【详解】令解得或当时单调递增当时单调递减当时单调递增所以取得最小值时的值为8故答案为：8【点睛】本题考查数列前n 项和的最值的求法解题的关解析：8 【分析】求出数列在n 的不同取值范围的正负判断出n S 的单调性可求出. 【详解】 令30217n n a n -=≥-，解得3n ≤或172n ≥，∴当3n ≤时，0n a ≥，n S 单调递增，当47n ≤≤时，0n a <，n S 单调递减， 当8n ≥时，0n a >，n S 单调递增， 所以n S 取得最小值时n 的值为8. 故答案为：8.【点睛】本题考查数列前n 项和的最值的求法，解题的关键是根据数列的正负判断n S 的单调性.三、解答题21．答案见解析 【分析】选①：由等差数列通项公式得出通项n a 后，解0n a ≥，满足此不等式的最大的n 使得n S 最大，注意若n a 0=，则有两个值使得n S 最大，选②：由等比数列前n 项和公式得出n S ，由于公比是负数，因此按n 的奇偶性分类讨论求得n S 的最大值；选③：由累加法求得n a ，利用n a 的表达式是n 的二次函数形式，当15n ≥时，0n a >，确定n S 不存在最大值. 【详解】 选①因为119n n a a +-=-，19a =，所以{}n a 是首项为9，公差为19-的等差数列.所以()118291999n a n n ⎛⎫=+-⋅-=-+ ⎪⎝⎭. 由182099n -+≥，得82n ≤，即820a ≥ 所以n S 存在最大值，且最大值为81S 或82S ， 因为818180181936929S ⨯⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭，所以n S 的最大值为369. 选② 因为113n n a a +=-，19a =，所以{}n a 是首项为9，公比为13-的等比数列. 所以1311933n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.1︒当n 为奇数时，1913271114313n n n S ⎡⎤⎛⎫⨯--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==+ ⎪⎝⎭+， 因为271143n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭随着n 的增大而减小，所以此时n S 的最大值为19S =；2︒当n 为偶数的，1913271114313n n n S ⎡⎤⎛⎫⨯--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭+， 且2712719434n n S ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭， 综上，n S 存在最大值，且最大值为9. 选③因为18n n a a n +=+-，所以18n n a a n +-=-，所以217a a -=-，326a a -=-，…，19n n a a n --=-， 以上1n -个等式相加得()()21791171622n n n n n a a -+---+-==， 因为19a =，所以()2173422n n n a n -+=≥，又19a =也满足上式，所以217342n n n a -+=. 当15n ≥时，0n a >，故n S 不存在最大值. 【点睛】关键点点睛：本题考查数列前n 项和的最大值问题，一种方法是求出n S 的表达式，由函数的性质确定n S 的最大值，一种是利用数列项的性质，如数列是递减的数列，10a >，则满足0n a ≥的最大的n 使得n S 最大．22．（1）n a n =，2nn b n=；（2）证明见解析；【分析】（1）设{}n a 的公差为d ，由410S a =，即可得到1d a =，从而求出{}n a 的通项公式，再由1122n n n n n c T T c c --=-=-，可得{}n c 是首项为2，公比为2的等比数列，即可求出{}n c 的通项，最后由n n n c a b =⋅，求出{}n b 的通项公式；（2）依题意可得()()1111112121n n n n n c c c ++=-----，利用裂项相消法求和即可得证；【详解】解：（1）因为{}n a 为等差数列，且{}n a 前n 项的和为n S ，设其公差为d ， 因为410S a =，11a =，所以()11441492a d a d ⨯-+=+，所以11d a ==，所以n a n =，因为11a =，12b =，n n n c a b =⋅，所以1112c a b =⋅=，因为{}n c 的前n 项和为n T 且22n n T c =-，当2n ≥时，()()111222222n n n n n n n c T T c c c c ---=-=---=-，所以()122n n c c n -=≥，所以{}n c 是首项为2，公比为2的等比数列，所以2n n c =，因为n n n c a b =⋅，所以2nn n n c b a n==（2）因为()()()()1112111121212121n n n n n n n n c c c +++==-------所以()()()()()()1212231111111nn n c c c c c c c c c ++++------122311111111111111212121212121212121n n n n +++=-+-++-=-=-<--------- 【点睛】数列求和的方法技巧 (1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和． 23．（1）13n n a =，12n n b +=；（2）151144323nn nn T -+=--⋅⋅ 【分析】（1）由1n =求得1a ，再風1b ，然后由11n n n a S S ++=-得到数列{}n a 的递推关系，知其为等比数列，从而得通项公式，由n b 的递推关系得1(1)n n nb n b -=+，用累乘的方法求得n b ；（2）用错位相减法求和n T ． 【详解】（1）由题意知：1111221S a a a +=+=,113a =，∴11413b a =-=， ∵1121,21n n n n S a S a +++=+= ∴111333n n n n a a q a +=⇒=⇒= 又∵()[]11(1)0,0n n n n n b b nb n b b --+⋅-+=> ∴121121131(1)122n n n n n n n b b b n n n nb n b b b b b n n ----++=+⇒⋅=⋅⋅⇒=-（1b 也适合）， （2）∵123n n nn a b +=∴2323413333n n n T +=++++ 231123133333n n n n T ++=++++ ∴12311111221111219313333333313n n n n n n n T -++⎛⎫- ⎪++⎝⎭=++++-=+-- 11211113633n n n -++⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭ ∴151144323n n n n T -+=--⋅⋅． 【点睛】本题考查求等比数列的通项公式，累乘法求通项公式，错位相减法求和．数列求和的常用方法：设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和； （2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法； （3）裂项相消法；数列1{}n n ka a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法； （4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa qb +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和． 24．答案见解析. 【分析】选①，设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知条件可得出关于1a 、d 的方程组，解出这两个量的值，可求得数列{}n a 的通项公式，可求得n b ，进而可求得n T ；选②，设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知条件可得出关于1a 、d 的方程组，解出这两个量的值，可求得数列{}n a 的通项公式，可求得n b ，进而利用分组求和法可求得n T ； 选③，设等差数列{}n a 的公差为d ，利用等差数列的求和公式求出d 的值，可求得1a 的值，求出数列{}n a 的通项公式，可求得n b ，进而利用分组求和法可求得n T . 【详解】解:选①，设数列{}n a 的公差为d ，则由47a =可得137a d +=，由1a 、2a 、5a 成等比数列得()()21114a a d a d +=+，可得212d a d =，所以，121372a d d a d +=⎧⎨=⎩，解得170a d =⎧⎨=⎩或112a d =⎧⎨=⎩，若17a =，0d =，则7n a =，23n b =，23n T n =；若11a =，2d =，则()1121n a a n d n =+-=-，212nn b n =-+，()()()()23123252212nn T n ⎡⎤∴=+++++++-+⎣⎦()()23135212222n n =++++-+++++⎡⎤⎣⎦()()1221212122212nn n n n +-+-=+=+--；选②，设数列{}n a 的公差为d ，则由47a =可得137a d +=， 由525S =得1545252a d ⨯+=，即125a d +=， 联立以上两式可得11a =，2d =，所以，()1121n a a n d n =+-=-，212nn b n =-+，()()()()23123252212nn T n ⎡⎤∴=+++++++-+⎣⎦()()23135212222n n =++++-+++++⎡⎤⎣⎦()()1221212122212nn n n n +-+-=+=+--；选③，设数列{}n a 的公差为d ，则由47a =可得137a d +=，()112n n n d S na -=+，()112n n d Sa n -∴=+，()21122n n d S a n ++∴=++， 由222n nS S n n+-=+得2d =，则11a =， 所以，()1121n a a n d n =+-=-，212nn b n =-+，()()()()23123252212n n T n ⎡⎤∴=+++++++-+⎣⎦()()23135212222n n =++++-+++++⎡⎤⎣⎦()()1221212122212nn n n n +-+-=+=+--.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法； （4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.25．（1）21n a n =-，2n s n =；（2）21n nT n =+. 【分析】（1）根据条件列出式子求出数列{}n a 的首项和公差，即可求出通项公式和前n 项和； （2）可得112+1n b n n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法即可求出. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则3171+25767+492a a d S a d ==⎧⎪⎨⨯==⎪⎩，解得1a 1,d 2， ()1+1221n a n n ∴=-⨯=-，()21+212n n n S n -==； （2）()2112+1+1n b n n n n ⎛⎫===- ⎪⎝⎭， 1111122122311n nT n n n ⎛⎫∴=-+-++-=⎪++⎝⎭. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}n a 是等差数列，公差为d ，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和. 26．（1）11b =，22b =，33b =；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【分析】（1）由{}n a 是单调递增数列可得1nn a b a =即可求出；（2）设1n a k +=，讨论n k B ≤，n n B k A <<和n k A ≥可证明；（3）设{}n b 的公比为q ，且1q ≥，显然1q =时满足；1q >时，由{}n A 是递增数列，{}n B 是递减数列，且{}n B 不能无限减少可得.【详解】（1）2n a n =，可得{}n a 是单调递增数列，1,n n n a B A a ∴==，1111a b a ∴==，2212a b a ==，3313a b a ==， （2）设1n a k +=，n n n A b B =， 若n k B ≤，则+1n n n n nk A A b b B =≥=， 若n n B k A <<，则+1n n n n A b b B ==， 若n k A ≥，则+1n n n nn A k b b B B =≥=， 综上，1(1,2,3,)n n b b n +≥=； （3）设等比数列{}n b 的公比为q ，1111a b a ==，则1n n n n A b q B -==， 由（2）可得1n n b b +≥，则1q ≥，当1q =时，1n nA B =，即n n A B =，此时{}n a 为常数列，则存在01n =，当0n n ≥时，n a ，1n a +，2n a +是等比数列； 当1q >时，{}n A 是递增数列，{}n B 是递减数列，{}n a 是由正整数组成的无穷数列，则数列{}n a 必存在最小值，即存在正整数0n ，0n a 是数列{}n a 的最小值，则当0n n ≥时，0n n B a =， 此时01n n n n n n A a b q B a -===，即01n n n a a q -=， 故当0n n ≥时，n a ，1n a +，2n a +是等比数列；综上，存在正整数0n ，当0n n ≥时，n a ，1n a +，2n a +是等比数列． 【点睛】本题考查数列单调性的有关判断，解题的关键是正确理解数列的变化情况，清楚{}n b 的变化特点.。
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必修五阶段测试一 (第一章解三角形 )时间： 120 分钟 满分： 150 分一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1．(2017 江·西金溪一中月考 )已知△ ABC 中，a ＝ 2，b ＝ 3，B ＝ 60°，那么∠ A ＝ () A ． 45°B ． 90°C ．130 °或 45°D ． 150 °或 30°π， AB ＝8， BC ＝ 5，则△ ABC 外接圆的面积为 ()2．在△ ABC 中， B ＝3A. 49π B ． 16πC. 47πD ． 15π333． (2017 黑·龙江鸡西期末 )已知锐角△ ABC 的面积为 3 3， BC ＝ 4， CA ＝ 3，则角 C 的 大小为 ()A ． 75°B ．60°C ． 45°D ．30°4．在△ ABC 中， sin 2A ＝sin 2B ＋sinB ·sinC ＋sin 2C ，则 A 等于 ( )A ． 30°B ．60°C ． 120 °D ． 150 °5．在△ ABC 中，角 A 、B 、C 的对边分别是 a 、b 、c ，且 a>b>c, a 2<b 2＋ c 2，则∠ A 的取 值范围是 ()ππ ππ ππA. ， πB.，C. ，D. 0，22 4 23 26．(2017 阆·中中学质检 )设△ ABC 的内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，如果 bcosC ＋ ccosB － asinA ＝ 0，那么△ ABC 的形状为 ()A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确定7．在△ ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别是 a ，b ，c ，已知 8b ＝ 5c ，C ＝ 2B ，则 cosC ＝ ()A. 7B.24C ．－7D ． ±7252525258．(2017 青·海师范大学附属中学月考 )在△ ABC 中， A ＝ 30°，B ＝ 60°，C ＝90°，那么三边之比 a ∶b ∶ c 等于 ()A ． 1∶ 2∶3B ．3∶ 2∶ 1C ． 1∶ 3∶ 2D ． 2∶ 3∶ 19．在△ ABC 中， b ＝ 8, c ＝8 3， S △ ABC ＝ 16 3，则∠ A 等于 ( )A ． 30°B ． 60°C ．30°或 150 °D ． 60°或 120 °10．(2017 莆·田六中期末 )如图，已知 A ，B 两点分别在河的两岸，某测量者在点 A 所在的河岸边另选定一点 C ，测得 AC ＝50 m ，∠ ACB ＝ 45°，∠ CAB ＝105°，则 A ， B 两点的距离为 ( )A． 50 3 m B ．25 3 m C． 25 2 m D． 50 2 mAC11．在锐角△ ABC 中， B＝2A，则BC的取值范围是 ()A． (－ 2,2) B ．( 2，2) C． (0， 3) D． ( 2， 3)12.A， B 两地相距200 m，且 A 地在 B 地的正东方．一人在 A 地测得建筑 C 在正北方，建筑 D 在北偏西 60°；在 B 地测得建筑 C 在北偏东 45°，建筑 D 在北偏西 15°，则两建筑 C和 D 之间的距离为 ( )A． 200 2 m B ．100 7 m C． 100 6 m D ． 100( 3－1)m二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 )13．设△ ABC 的内角 A， B， C 所对边的长分别为a， b， c.若 b＋ c＝ 2a,3sinA＝ 5sinB，则角 C＝ ________.b＋a＝14．(2017 唐·山一中月考 )在锐角△ ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若a b tanC tanC6cosC，则tanA ＋tanB＝ ________.15．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶ 5，则这个三角形的面积为 ________．3 π16．已知△ ABC 的面积为2，AC＝3，∠ ABC ＝3，则△ ABC 的周长等于 _________．三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分 )17．(10 分 )在四边形 ABCD 中，AD ⊥ CD，AD＝5，AB＝ 7，∠BDA ＝ 60°，∠ CBD＝15°，求 BC 的长．18.(12 分 )(2017 贵·州铜仁期中 )设 a，b，c 分别是△ ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边，S 是△ ABC 的面积，已知 a＝4， b＝ 5，S＝ 5 3.(2)求 c 边的长度．19．(12 分 )在△ ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别是 a ，b ，c ，且 b 2＋ c 2 －a 2 ＝ 8S △ABC (其 2 3中 S △ ABC 为△ ABC 的面积 )．(1)求 sin2B＋ C＋ cos2A ； 2(2)若 b ＝ 2，△ ABC 的面积为 3，求 a.20.(12 分 )(2017 河·北开滦一中期末 )如图，△ ACD 是等边三角形，△ ABC 是等腰直角三角形，∠ ACB ＝ 90°， BD 交 AC 于 E ，AB ＝ 2.(1)求 cos ∠ CBE 的值；(2)求 AE.21．(12 分)(2017 山·西省朔州期末 )在△ ABC 中， A ，B ，C 所对的边分别为 a ， b ，c ，且3 5 7a ＝ 4， cosA ＝4， sinB ＝ 16 ， c>4. (1)求 b ； (2) 求证： C ＝ 2A.22． (12 分 )如图所示，一辆汽车从O 点出发，沿海岸一条直线公路以 100 km/h 的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在O 点南偏东方向距 O 点 500 km ，且与海岸距离为300 km的海上 M 处有一快艇，与汽车同时发出，要把一件重要物品递送给这辆汽车的司机，问快艇至少必须以多大的速度行驶，才能把物品送到司机手中， 并求快艇以最小速度行驶的行驶方向与 OM 所成的角．答案与解析a ＝b ，1．A 由正弦定理 sinA sinB得 sinA ＝ asinB ＝ 2sin60 ° 2b 3＝2 .又 a<b ，∴ A<B ，∴ A ＝ 45°.2．A由余弦定理得 AC 2＝ AB 2＋ BC 2－ 2AB ·BCcosB ＝ 64＋25－ 2× 8× 5× 1＝ 49，∴ AC2＝ 7.AC AC 77 3由正弦定理得 sinB ＝ 2R(R 为△ ABC 外接圆的半径 )，∴ R ＝2sinB ＝3 ＝ 3 .∴△ ABC2× 2外接圆的面积S ＝ πR 2＝49π3.13． BS △ABC ＝2BC ·CA ·sinC ，∴ 1×4× 3·sinC ＝ 33， 2∴ sinC ＝ 23，又△ ABC 是锐角三角形，∴ C ＝ 60°，故选 B.4．C 由正弦定理， 得 sinA ＝ a ， sinB ＝ b ， sinC ＝ c( 其中 R 为△ ABC 外接圆半径 )，2R 2R 2R代入 sin 2 A ＝ sin 2B ＋ sinB ·sinC ＋ sin 2C ，得 a 2＝ b 2＋bc ＋ c 2＝ b 2＋ c 2＋ bc ，即 b 2＋ c 2 －a 2 ＝－ bc ，由余弦定理得 cosA ＝ b 2＋ c 2 －a 2 － bc1 ＝2bc ＝－ .2bc 2又 0°<∠A<180°，∴∠ A ＝ 120°.故选 C.5． C 解法一： cosA ＝b 2＋c 2－ a 2，2bc∵ a 2<b 2＋ c 2,a>b>c, cosA<a 2＋ c 2－ a 2＝ c < b ＝ 1，∴ cosA>0，且 cosA<1.2bc2b 2b 22∴∠ A 的范围为 π π，故选 C.， 23π解法二：∵ a>b>c, ∴ a 为最长边，∠ A>3.又 a 2<b 2＋ c2,π π π∴∠ A< . ∴ <∠ A< .故选 C.2 3 26．A bcosC ＋ ccosB －asinA ＝ 0，∴ sinBcosC ＋ sinCcosB －sin 2A ＝0.∴ sin(B ＋ C)－ sin 2A ＝ 0.2π∴ A＝ .故选 A.27． A ∵C＝ 2B，∴ sinC＝ sin2B＝ 2sinBcosB.又∵ 8b＝ 5c，c＝b，∴c＝sinC 8 sinC sinB＝ .sinB b 5∴ cosB＝sinC＝1×8＝4 . 2sinB 2 5 5∴cosC＝ cos2B＝ 2cos2B－ 1＝2×452－ 1＝257.8． C a∶b∶ c＝ sinA∶ sinB∶sinC＝1∶3∶ 1＝1∶ 3∶ 2，故选 C.2 21 2S△ABC 19． C ∵ S△ABC＝2bcsinA, ∴ sinA＝bc ＝2.∴∠ A＝ 30°或 150°，经检验均满足已知条件，故选 C.10．D ∠CBA＝ 180 °－∠ ACB－∠ CAB＝ 180 °－ 45°－105 °＝ 30°，AB AC AC·sin∠BCA 50×sin45 °∴sin∠ BCA ＝sin∠CBA，∴AB＝sin∠CBA＝sin30 °＝50 2m．故选 D.11． D∵ B＝2A，∴AC＝ sinB＝ sin2A＝2cosA，BC sinA sinA∵△ ABC 是锐角三角形，π2A＜2，∴ππ－ 3A＜，2ππ∴＜A＜，6 4∴2＜ 2cosA＜ 3，故选 D.12．C由题可知△ BCA是等腰直角三角形，∴AB＝ AC＝ 200， BC＝ 200 2，∠ DBC＝ 15°＋ 45°＝ 60°，∵∠ DAB ＝ 90°－ 60°＝30°，AB DB∴∠ BDA ＝ 45°，∴＝.AB ·sin30 °∴ DB＝＝1002，sin45 °∴DC2＝ DB2＋ BC2－ 2DB·BC·cos60°1 ＝ (100 2)2＋ (200 2)2－ 2× 100 2× 200 2×＝6×1002，2π13. 3解析： 由 3sinA ＝ 5sinB ，得 3a ＝5b.5c3c又 b ＋c ＝ 2a ，∴a ＝ 7 ， b ＝ 7.a 2＋b 2－c 21 在△ABC 中，由余弦定理得 cosC ＝2ab＝－ 2.2π ∴C ＝ 3 . 14． 4解析：b a22222a ＋b ＝ 6cosC ，∴b＋ a ＝6abcosC ＝ 3(a ＋b － c )，∴3c 2＝ 2a 2＋ 2b 2.tanC tanCcosA cosBtanA ＋ tanB ＝ tanC sinA ＋ sinB＝sinC sin A ＋Bsin 2Cc 2cosC sinAsinB ＝ cosCsinAsinB ＝abcosC＝2a 2＋b231＝ 4.226 a ＋ b15． 40 3解析： 设另两边分别为 8t,5t(t>0) ，则由余弦定理得142＝ (8t)2＋(5t)2－ 2 ·8t ·5t ·cos60 ，°∴t 2＝4, ∴t ＝ 2.∴S △ABC ＝12×16× 10× 23＝40 3.16． 3＋ 33 1 π解析： 由已知得2 ＝2AB ·BCsin 3，∴AB ·BC ＝ 2.又 AC 2＝ AB 2 ＋BC 2－2AB ·BCcosB ＝AB 2＋ BC 2－AB ·BC ＝ (AB ＋ BC)2－ 3AB ·BC ＝ (AB ＋ BC)2－6.又 AC ＝ 3，∴AB ＋ BC ＝ 3.∴AB ＋ BC＋ AC ＝ 3＋ 3.17．解： 在△ ABD 中，由余弦定理得AB 2＝AD 2＋ BD 2－ 2AD ·BDcos60°，又 AD ＝ 5，AB＝ 7，在△ BCD 中，∠ BDC ＝ 30°，∠ BCD ＝ 135°，由正弦定理得 BC ＝ BD sin ∠ BDC8sin30 °sin ∠ BCD＝sin135 ° ＝ 4 2.18． 解： (1)由题知 S ＝ 5 3， a ＝ 4，b ＝ 5. 1由 S ＝ absinC 得，2 5 3＝ 1×4× 5sinC ，2解得 sinC ＝ 3，2π 2π又 C 是△ ABC 的内角，所以 C ＝ 3或 C＝3.ππ时，由余弦定理得c 2＝ a 2＋ b 2－ 2abcos＝ 16＋ 25－ 2× 4×5× 1＝ 21，解得 c(2)当 C ＝ 3 32＝ 21；当 C ＝ 2π2π时， c 2＝a 2＋ b 2－ 2abcos ＝3 316＋ 25＋ 2× 4×5× 12＝ 61，解得 c ＝ 61.综上得， c 边的长度是21或 61.19.解： (1) 由已知得2bccosA ＝8× 1bcsinA ，即 3cosA ＝ 4sinA>0，又∵ sin 2A ＋ cos 2A ＝1，232∴ sinA ＝3， cosA ＝4.55sin 2B ＋C＋ cos2A ＝1＋cosA＋ cos2A ＝ 2cos 2 A ＋cosA －1＝ 2×16＋4 － 1＝ 59.222225 2× 5 2 50(2)由 (1)知 sinA ＝ 3， S △ ABC ＝ 1bcsinA ＝ 3， b ＝ 2，5 2∴ c ＝ 5.又∵ a 2＝ b 2＋ c 2－ 2bccosA ， ∴ a2＝ 4＋ 25－ 2× 2× 5× 45＝ 13，∴ a ＝ 13.20． 解： (1)∵∠ BCD ＝ 90°＋ 60°＝ 150 °，CB ＝AC ＝ CD ，7(2)在△ ABE 中， AB ＝ 2，由正弦定理得1故 AE ＝ 2sin30 ° 2×2cos15 ＝＝ 6－ 2.° 6＋ 24 21.解： (1) ∵cosA ＝ 3，4AE ＝ 2 ，sin 45°－ 15° sin 90°＋ 15°可得 sinA ＝ 1－cos 2A ＝ 7，45 7∴由正弦定理可得 b ＝a ·sinB＝4×16 ＝ 5.sinA743(2)证明：∵由 (1)可得 a ＝ 4， cosA ＝ ， b ＝ 5，∴由余弦定理可得16＝ 25＋ c2－ 2× b × c × 34，整理可得 2c 2－ 15c ＋18＝ 0，3∴解得 c ＝ 6 或2(c>4，故舍去 ) ，7∴由正弦定理可得 sinC ＝ csinA＝6× 4 ＝ 3 7 a 48 .又∵ sin2A ＝ 2sinAcosA ＝2× 7× 3＝ 3 8 7，4 4 ∴可得 sinC ＝ sin2A ，∵ C ∈ (0， π)，2A ∈ (0， π)，∴ C ＝ 2A ，或 C ＋ 2A ＝ π(A ≠ B 故舍去 )．∴ C ＝ 2A ，得证 .22． 解：如图，设快艇从M 处以 v km/h 的速度出发，沿MN 方向航行， t 小时后与汽车相遇．在△ MON 中， MO ＝ 500，ON ＝ 100t, MN ＝ vt.设∠ MON ＝ α.由题意知3 4 sin α＝，则 cos α＝ .55由余弦定理知MN 2＝OM 2＋ ON 2－ 2OM ·ON ·cos α，即 v 2 2＝ 5002＋ 1002 2－ 2× 500× 4100t ·tt5.2211 2v＝ 500·2－ 2× 500× 80·＋ 100tt1 ＝ 500 ·－ 80 2＋ 3 600.t当1＝ 80 ，即 t ＝ 25 时， v min 2 ＝ 3 600，即快艇必须至少以 60 km/h 的速度行驶．此时t 500 4MN ＝ 60×254＝ 15×25.MQ 是 M 到 ON 的距离，且 MQ ＝ 300，设∠ MNO ＝β，∴ sin β＝300＝ 4 .15× 25 5∴ α＋ β＝90°， ∴ MN 与 OM 成直角．∴快艇至少必须以 60 km/h 的速度行驶，才能把物品送到司机手中，其行驶方向与OM成直角．。