人教新课标版数学高二-数学选修1-1 探究课后作业1.4.3含有一个量词的命题的否定

课后提升作业八
含有一个量词的命题的否定
(30分钟60分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2016·襄阳高二检测)已知命题p:∀x∈R,sinx≤1,则( )
A.﹁p:∃x0∈R,sinx0≥1
B.﹁p:∀x∈R,sinx≥1
C.﹁p:∃x0∈R,sinx0>1
D.﹁p:∀x∈R,sinx>1
【解析】选C全称命题的否定是特称命题,并将结论加以否定,所以命题的否定为∃x0∈R,sinx0>1.
2.(2015·全国卷Ⅰ)设命题p:∃n0∈N,>,则﹁p为( )
【解析】选C.﹁p:∀n∈N,n2≤2n.
3.命题“一次函数都是单调函数”的否定是( )
A.一次函数都不是单调函数
B.非一次函数都不是单调函数
C.有些一次函数是单调函数
D.有些一次函数不是单调函数
【解析】选D.命题的否定只对结论进行否定,“都是”的否定是“不
都是”,即“有些”.
4.(2015·湖北高考)命题“∃x0∈(0,+∞),lnx0=x0-1”的否定是( )
A.∀x∈(0,+∞),lnx≠x-1
B.∀x∉(0,+∞),lnx=x-1
C.∃x0∈(0,+∞),lnx0≠x0-1
D.∃x0∉(0,+∞),lnx0=x0-1
【解析】选A.由特称命题的否定为全称命题可知,所求命题的否定为∀x∈
(0,+∞),lnx≠x-1.
【拓展延伸】对全称命题和特称命题进行否定的步骤与方法
(1)确定类型:是特称命题还是全称命题.
(2)改变量词:把全称量词换为恰当的存在量词;把存在量词换为恰当的全称量词.
(3)否定性质:原命题中“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等.
注意:无量词的全称命题要先补回量词再否定.
【补偿训练】已知命题p:∃x0∈R,使tanx0=1,其中正确的是( )
A.﹁p:∃x0∈R,使tanx0≠1
B.﹁p:∃x0∉R,使tanx0≠1
C.﹁p:∀x∈R,使tanx≠1
D.﹁p:∀x∉R,使tanx≠1
【解析】选C.因为命题p:∃x0∈R,使tanx0=1为特称命题,所以它的否定为全称命题,即﹁p: ∀x∈R,使tanx≠1.
5.(2016·中山高二检测)已知命题p:∀x∈R,2x2+2x+<0,命题q:∃x0∈R,sinx0-cosx0=,则下列判断中正确的是( )
A.p是真命题
B.q是假命题
C.﹁p是假命题
D.﹁q是假命题
【解题指南】先判断p,q的真假,再得﹁p,﹁q真假,进而得结论. 【解析】选D.因为2x2+2x+=2≥0,
所以p是假命题,﹁p为真命题.
又sinx 0-cosx0=sin≤,故q是真命题,﹁q为假命题.所以选D.
6.命题p:“∀x∈[1,2],2x2-x-m>0”,命题q:“∃x0∈[1,2],l og2x0+m>0”,若“p∧q”为真命题,则实数m的取值范围是( )
A.m<1
B.m>-1
C.-1<m<1
D.-1≤m≤1
【解题指南】解答本题可先求出p与q分别为真命题时,m的取值范围,然后取其交集即可.
【解析】选C.由“p∧q”为真命题,得p,q都是真命题,
命题p:“∀x∈[1,2],2x2-x-m>0”为真命题.
即对于∀x∈[1,2],m<2x2-x恒成立,
得m<(2x2-x)min=1.
命题q:“∃x0∈[1,2],l og2x0+m>0”为真命题,
则∃x0∈[1,2],-m<l og2x0,
只要-m<(l og2x)max=1,得m>-1.
综上所述,-1<m<1.
7.(2016·天津高二检测)已知命题p:∀b∈[0,+∞),f(x)=x2+bx+c在[0,+∞)上为增函数,命题q:∃x0∈Z,使l og2x0>0,则下列结论成立的是( )
A.(﹁p)∨(﹁q)
B.(﹁p)∧(﹁q)
C.p∧(﹁q)
D.p∨(﹁q)
【解题指南】先分别判断p,q的真假,再判断﹁p,﹁q的真假,从而得结论.
【解析】选D.f(x)=x2+bx+c=+c-,
对称轴为x=-≤0,
所以f(x)在[0,+∞)上为增函数,命题p为真命题,﹁p为假命题,
令x0=4∈Z,则log2x0=2>0,所以命题q是真命题,﹁q为假命题,p∨(﹁q)为真命题.故选D.
8.(2016·吉林高二检测)下列命题错误的是( )
A.命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2-3x+2≠0”
B.若p∧q为假命题,则p,q均为假命题
C.命题p:存在x0∈R,使得+x0+1<0,则﹁p:任意x∈R,都有x2+x+1≥0
D.“x>2”是“x2-3x+2>0”的充分不必要条件
【解析】选B.由逆否命题“条件的否定作结论,结论的否定为条件”知A正确;p∧q为假命题时,还可能p假或q假,故B错误;由“非”命题的定义知C正确;因为x>2时,x2-3x+2>0成立,x2-3x+2>0时,x<1或x>2,所以D正确.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2016·烟台高二检测)已知命题p:∀x>2,x3-8>0,那么﹁p是________.
【解题指南】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可. 【解析】命题p为全称命题,其否定为特称命题,
则﹁p:∃x0>2,-8≤0.
答案:∃x0>2,-8≤0
10.(2016·广州高二检测)若“∃x0∈,sinx0+cosx0<m”为假命题,则实数m的取值范围是________.
【解析】令f(x)=sinx+cosx=2sin,x∈,
可知f(x)在上为增函数,在上为减函数,
由于f(0)=,f=2,f=1,所以1≤f(x)≤2,
由于“∃x0∈,sinx0+cosx0<m”为假命题,则其否定“∀x∈,sinx+cosx≥m”为真命题,所以m≤f(x)min=1.
答案:(-∞,1]
三、解答题
11.(10分)已知函数f(x)=2x2-2ax+b,f(-1)=-8.对∀x∈R,都有f(x)≥f(-1)成立,记集合A={x|f(x)>0},B={x||x-t|≤1}.
(1)当t=1时,求(
A)∪B.
R
(2)设命题p:A∩B≠∅,若﹁p为真命题,求实数t的取值范围. 【解析】由题意知(-1,-8)为二次函数的顶点,
所以f(x)=2(x+1)2-8=2(x2+2x-3).
A={x|x<-3,或x>1}.
(1)B={x||x-1|≤1}={x|0≤x≤2}.
A)∪B={x|-3≤x≤1}∪{x|0≤x≤2}
所以(
R
={x|-3≤x≤2}.
(2)B={x|t-1≤x≤t+1}.
由题得⇒
所以实数t的取值范围是[-2,0].
【补偿训练】函数f(x)对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x 恒成立,且f(1)=0.
(1)求f(0)的值.
(2)当f(x)+2<log a x,x∈恒成立时,求a的取值范围.
【解析】(1)因为已知f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x对∀x,y∈R都为真, 所以令x=1,y=0,得f(1)-f(0)=2.
又f(1)=0,所以f(0)=-2.
(2)由(1)知,f(0)=-2,
所以f(x)+2=f(x)-f(0)=f(x+0)-f(0)=(x+1)x.
因为x∈,所以f(x)+2∈.
要使当x∈时,f(x)+2<log a x恒成立,显然当a>1时不可能,
所以解得≤a<1.
【能力挑战题】
已知函数f(x)=x2,g(x)=-m.
(1)x∈[-1,3],求f(x)的值域.
(2)若对∀x∈[0,2],g(x)≥1成立,求实数m的取值范围.
(3)若对∀x1∈[0,2],∃x2∈[-1,3],使得g(x1)≤f(x2)成立,求实数m 的取值范围.
【解题指南】(1)直接根据二次函数的性质,确定函数的单调性,从而可得函数的最值,即可求得函数的值域.
(2)根据对∀x∈[0,2],g(x)≥1成立,等价于g(x)在[0,2]上的最小值大于或等于1,而g(x)在[0,2]上单调递减,利用其单调性建立关于m的不等关系,即可求得实数m的取值范围.
(3)对∀x1∈[0,2],∃x2∈[-1,3],使得g(x1)≤f(x2)成立,等价于g(x)在[0,2]上的最大值小于或等于f(x)在[-1,3]上的最大值,从而建立关于m的不等式,由此可求结果.
【解析】(1)当x∈[-1,3]时,函数f(x)=x2∈[0,9],
所以f(x)的值域为[0,9].
(2)对∀x∈[0,2],g(x)≥1成立,
等价于g(x)在[0,2]上的最小值大于或等于1.
而g(x)在[0,2]上单调递减,
所以-m≥1,即m≤-.
(3)对∀x1∈[0,2],∃x2∈[-1,3],使得g(x1)≤f(x2)成立,等价于g(x)在[0,2]上的最大值小于或等于f(x)在[-1,3]上的最大值9,由1-m≤9,所以m≥-8.
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