最简二次根式 及化简
二次根式知识点总结
二次根式知识点总结王亚平1. 二次根式的概念二次根式的定义： 形如)0(≥a a 的式子叫二次根式，其中a 叫被开方数，只有当a 是一个非负数时，a 才有意义．2. 二次根式的性质1. 非负性：)0(≥a a 是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．2.)0()(2≥=a a a注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：)0()(2≥=a a a3. ⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a 注意：（1）字母不一定是正数． （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．3. 最简二次根式和同类二次根式1、最简二次根式：（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号．2、同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式4. 二次根式计算——分母有理化1．分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
2．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用a a a =⋅来确定，如：a 与a ，b a +与b a +，b a -与b a -等分别互为有理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。
如b a +与b a -，b a +与b a -，y b x a +与y b x a -分别互为有理化因式。
3．分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；5. 二次根式计算——二次根式的乘除1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
)0,0(≥≥⋅=b a b a ab2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
最简二次根式概念和同类二次根式简化过程汇编
6、拓展：
1.化简 结果正确的是( )
A. B. C. D.
注意隐含条件：
2.计算：
回忆化简二次根式的方法，完成练习题
思考并回答问题
找出最简二次根式的特征
归纳最简二次根式的概念
（4）创新能力薄弱
图1-1大学生月生活费分布
（4）信息技术优势
完成部分例题，巩固概念，要有判断过程，注意思维的严密性
因此不难看出，自制饰品在校园里也大有市场所在。对于那些走在流行前端的女生来说，〝捕捉〞新事物便〝捕捉〞到了时尚与个性。
注意化简时条件不能少，括号不能少。
加拿大ｂｅａｄｗｏｒｋｓ公司就是根据年轻女性要充分展现自己个性的需求，将世界各地的珠类饰品汇集于“碧芝自制饰品店”内，由消费者自选、自组、自制，这样就能在每个消费者亲手制作、充分发挥她们的艺术想像力的基础上，创作出作品，达到展现个性的效果
例2：将下列二次根式化成最简二次根式：
(1)
(2)
(3)
三、练习：
课本P7/ 1－3
四、小结：
1.最简二次根式的概念
2.化简二次根式按被开方数分情况采用不同方法：
(1)单项式：将被开方数分解因数，完全平方数以非负平方根代替移到根号外。
(2)多项式：分解因式，然后同上。
(3)分式：利用分式的基本性质，分子分母同乘一个因式，使分母为完全平方式，然后同上。
重点
会判别最简二次根式，会把不是最简的二次根式化为最简二次根式。
难点
会判别最简二次根式，会把不是最简的二次根式化为最简二次根式。
教具准备
多媒体课件
教学过程
教师活动
学生活动
一、引入：
1．如何化简二次根式？
二次根式的化简与计算
二次根式的化简与计算【知识要点】1．最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式即被开方数不含有分母。
②被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数。
2．化为最简二次根式的方法：①把被开方数的分子、分母尽量分解出一些平方数或平方式；②将这些平方数或平方式，用它的算术平方根代替移到根号外；③化去被开方数中的分母。
3．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。
判断同类二次根式时，注意以下三点：①都是二次根式，即根指数都是2；②必须先化成最简二次根式；③被开方数相同。
4．二次根式的加减法：先把各根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式。
合并同类二次根式的方法与合并同类项类似。
5．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
有理化因式确定方法如下：=①单项二次根式：利用a理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。
如a与a，，6．分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。
7．二次根式的混合运算：①二次根式的混合运算的运算顺序与有理式的混合运算的顺序相同；②在二次根式的混合运算中，有理式的运算法则、定律、公式等同样适用。
【典型例题】例1 解答下列各题：（1）下列根式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？为什么？，（其中0x >，0y >）。
（2）下列根式中，哪些是同类二次根式？为什么？（题中字母都为正数）2x ，127，（3）如果最简根式，m +m ，n 的值。
例2 计算下列各题：（1）⎛- ⎝ （2）-⎝（3例3 （1）把下列各式分母有理化：)a b ≠（2）把下列各式化简：练 习A 组1．下列各式正确的是（ ）A ===B =C a b =+D =2．下列各式正确的是（ ）A =B ()230,0a b a b =><C = D== 3．在下列二次根式中，若0,0a b >>，则属于最简二次根式的是（ ）A B C D4 ） A ．4x < B ．1x ≥ C ．14x ≤< D ．14x ≤≤5．化简的结果是（ ）A B ．3 C ． D ．a6的相反数的倒数为 。
二次根式的化简与最简二次根式
1、积的算术平方根的性质
ab a • b
a
b
是化简二次根式的依据之一。
a b
（a≥0， b＞0）
2、被开方式一定要先分解成平方因子和其它因子 相乘的形式。
3、被开方式是多项式时一定要先因式分解，化 为积的形式后才能化简。
4、化简时，被开方式的所有平方因子一定要 全部移到根号外。
4、强化练习
1、指出下列各式中哪些是最简二次根式：
正确解法： 32 52 32 52 35 15 2 48 412 2 12 2 43 4 3
48 163 42 3 4 3
3 4a2 b2 4a2 b2 2a b ～～～～～ 性质错用
强化练习2：
两个非负数的积的算术平方根等于这两个非负 数的算术平方根的积
2、商的算术平方根的性质
a a a 0,b 0
bb
两数…个的…非算负术…数平…的 方商 根的 的算 商术平方根等于这两个非负
发现规律：
a b a b （a≥0，b≥0） ，
a b
a （a≥0， b＞0）． b
(1) 30m
(2) 1 x 2
2x2 y 2 (3)
xy
(4) x2 2x 4
(5) 101
2、把下列各式化成最简二次根式：
(1) a3 2a2 a
.
(2) yz 3x2
3、 已知 5 2.236
求 2000的近似值0
2
(2) (5)
2 7
125 12
(3) 1 3
(6) 2.5
化简二次根式的方法：
（1）如果被开方数是整数或整式时，先分解因数,然后 利用积的算术平方根的性质,将式子化简。 （2）如果被开方数是分数时,先利用商的算术平方根的 性质,将其变为二次根式相除的形式,然后利用分母有理 化,将式子化简。
最简二次根式的要求
最简二次根式的要求以最简二次根式的要求为标题，我们来探讨一下什么是最简二次根式以及如何将二次根式化简到最简形式。
在数学中，二次根式是指具有形式√a的表达式，其中a是一个非负实数。
我们知道，二次根式可以用于表示平方根、立方根等根号运算。
而最简二次根式是指在化简过程中，将二次根式化简到最简形式，不含有相同根号下的平方数。
我们来看一个例子：√12。
我们可以将12分解为2的平方乘以3，即12 = 2² × 3。
因此，√12可以写成√(2² × 3)。
根据根号运算的性质，我们可以将根号内的乘法拆分为两个根号的乘法，即√(2² × 3) = √2² × √3。
继续化简，我们得到√2² × √3 = 2√3。
所以，√12的最简二次根式为2√3。
接下来，我们来看一个稍复杂的例子：√80。
我们可以将80分解为16乘以5，即80 = 16 × 5。
因此，√80可以写成√(16 × 5)。
继续化简，根据根号运算的性质，我们得到√(16 × 5) = √16 × √5。
由于16是4的平方，我们可以将√16写成4，即√16 = 4。
所以，√80可以化简为4√5。
因此，4√5就是√80的最简二次根式。
通过以上两个例子，我们可以总结出化简二次根式的一般步骤：首先，将根号内的数分解为两个互质因数的乘积；然后，将根号内的乘法拆分为两个根号的乘法；最后，将含有平方数的根号化简为该平方数。
按照这个步骤，我们可以将任何一个二次根式化简到最简形式。
除了分解因式和运用根号运算的性质外，我们还可以利用有理化的方法来化简二次根式。
有理化是指将含有根号的式子转化为不含根号的式子。
例如，对于√(3/5)，我们可以将它有理化为(√3) / (√5)。
又如，对于√(2 + √3)，我们可以将它有理化为√(2 + √3) × (√(2 - √3)) / (√(2 - √3))。
2.7 第1课时 二次根式及其化简
a （a 0，b 0） b
等于
=
算术平方根的商
典例精析
例4：化简
5 （3） 9
3 （4） 13
解 题 模 板
（ 1 ）解：原式 5 9 5 3 （2）解：原式
3 13 3 13
课堂训练：基础训练P31 7、化简（2）（3）（4）
13 13 39 13
现在你能用上面的性质说明 8 2 2 吗？
例2：化简：
(1) 50； (2) 2 ； 7 (3) 1 . 3
解 题 模 版
（2）解：原式
（ 1 ）解：原式 25 2 25 2
5 2
（3）解：原式 1 3 3 3
2 7 2 7 7 7
14 7
3 3
例6. 化简:
① 2028
② 25 -17
169 4 3 13 2 3 26 3
1、一般地，形如 (a≥0)的式子叫做二次根式; a
2、a叫做被开方数.
例1：判断下列式中哪些是二次根式.
1 2 ( m 3 ) ⑵ (3) (4) 16, ⑴ ， x ( x 0) 2 解：(1)、(3)、(4)是二次根式，（2）不是二次根式.
归纳总结
二次根式的定义
一般地，我们把形如 a (a 0) 的式子叫 做二次根式.
1
9 11 3 .
=3+1-3 =1.
设 a0 ， ，化简下列二次根式 . b0
1
72;
2
8a 2 b 3 .
（ 1 ）解：原式 36 2 （2）解：原式 4 2 a 2 b 2 b 36 2
6 2
4 2 a 2 b2 b
最简二次根式化简的方法和步骤
最简二次根式化简的方法和步骤一、什么是最简二次根式二次根式是指以平方根为底数的有理数。
最简二次根式是指其中的根号内不含有平方数，并且根号外的系数和被开方数之间没有公约数。
二、最简二次根式化简的基本原则最简二次根式化简的基本原则是将根号内含有平方数的部分进行分解，并且将根号外的系数和被开方数之间的公约数约去。
三、最简二次根式化简的具体步骤1. 将根号内的数进行因式分解，将其中的平方数提取出来。
如果根号内是一个完全平方数，则将它提取出来，如果不是则将其分解为两个因子的乘积。
2. 将根号外的系数和被开方数之间的公约数约去，使其最简化。
3. 将分解后的根号内的因子与根号外的系数相乘，得到最终的最简二次根式。
四、最简二次根式化简的例子例1：化简√12步骤1：将12进行因式分解，得到12=4×3，其中4是一个完全平方数。
步骤2：将根号外的系数1和被开方数3之间的公约数约去，得到最简系数1。
步骤3：将分解后的根号内的因子4与根号外的系数1相乘，得到最终的最简二次根式√12=2√3。
例2：化简√50步骤1：将50进行因式分解，得到50=25×2，其中25是一个完全平方数。
步骤2：将根号外的系数1和被开方数2之间的公约数约去，得到最简系数1。
步骤3：将分解后的根号内的因子25与根号外的系数1相乘，得到最终的最简二次根式√50=5√2。
例3：化简√72步骤1：将72进行因式分解，得到72=36×2，其中36是一个完全平方数。
步骤2：将根号外的系数1和被开方数2之间的公约数约去，得到最简系数1。
步骤3：将分解后的根号内的因子36与根号外的系数1相乘，得到最终的最简二次根式√72=6√2。
五、最简二次根式化简的注意事项1. 一定要将根号内的数进行因式分解，将其中的平方数提取出来。
2. 注意约去根号外的系数和被开方数之间的公约数。
3. 化简的最终结果应为最简二次根式，即根号内不含有平方数，并且根号外的系数和被开方数之间没有公约数。
2.7 第1课时 二次根式及其化简 教案
一、情境导入问题：(1)如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝2，∠C＝90°，那么AB边的长是多少？(2)面积为S 的正方形的边长是多少？(3)要修建一个面积为 6.28平方米的圆形水池，它的半径是多少米？(π取3.14)上述结果有什么共同特征？二、合作探究探究点一：二次根式的相关概念【类型一】二次根式的定义下列式子中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？(1)2；(2)4；(3)33；(4)1x＋y；(5)x＋y(x≥0，y≥0)；(6)3a2＋8；(7)－x2－12.解：(1)(2)(5)(6)是；(3)(4)(7)不是．方法总结：在判断一个代数式是不是二次根式时，应该在原始形式的基础上进行判断，不能先化简再作判断，如本题4＝2，4是二次根式，但2不是二次根式．【类型二】二次根式有意义的条件当x________，x＋3＋1x＋1在实数范围内有意义．解析：要使x＋3＋1x＋1在实数范围内有意义，必须同时满足被开方数x＋3≥0和分母x＋1≠0，解得x≥－3且x≠－1.方法总结：使一个代数式有意义的未知数的取值范围通常要考虑三种情况：一是分母不为零，二是偶次方根的被开方数是非负数，三是零次幂的底数不为零．探究点二：二次根式的性质及化简化简下列二次根式．(1)48；(2)8a3b(a≥0，b≥0)；(3)（－36）×169×（－9）.解析：本题主要考查运用ab＝a·b(a≥0，b≥0)及a2＝a(a≥0)进行化简．解：(1)48＝16×3＝16×3＝43；(2)8a3b＝22·a2·2ab＝（2a）2·2ab＝2a2ab；(3)（－36）×169×（－9）＝36×169×9＝6×13×3＝234.方法总结：(1)若被开方数中含有负因数，则应先化成正因数，如(3)题．(2)将二次根式尽量化简，使被开方数(式)中不含能开得尽方的因数(因式)，即化为最简二次根式(后面学到)．探究点三：最简二次根式在二次根式8a ，c 9，a 2＋b 2，a 2中，最简二次根式共有( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个解析：8a 中有因数4；c 9中有分母9；a 3中有因式a 2.故最简二次根式只有a 2＋b 2.故选A. 方法总结：只需检验被开方数是否还有分母，是否还有能开得尽方的因数或因式．三、板书设计二次根式⎩⎪⎨⎪⎧定义⎩⎨⎧形如a （a ≥0）的式子有意义的条件：a ≥0性质：（a ）2＝a （a ≥0），a 2＝a （a ≥0）最简二次根式 1.若-1<x <0,则22)1(+-x x 等于 A.2x +1 B.1 C.-1-2x D.1-2x 2.下列等式成立的是A.2)2(2-=-B.4x =x 2C.b -122++b b =-1D.36x x =3.若1)3()2(22=-+-a a ,则a 的取值范围是A.2≤a ≤3B.a ≥3或a ≤2C.a ≤2D.a ≥34.化简a +2)1(a -等于A.2a -1B.1C.1或-1D.2a -1或15.计算22)21()12(a a -+-的值是A.2-4a 或4a -2B.0C.2-4aD.4a -26.当3323+-=+x x x x 时，x 的取值范围是 A.x ≤0 B.x ≤-3 C.x ≥-3 D.-3≤x ≤07.当2m +7<0时，16914422++++-m m m m 化简为A.-5mB.mC.-m -2D.5m8.当a >0时，化简3ax -的结果是A.x axB.-x ax -C.x ax -D.-x ax9.实数a ,b 在数轴上对应点的位置如图所示，则化简2222a b ab a -+-的结果为。
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教学目的
理解最简二次根式的定义； 会将不是最简二次根式的根式化 成最简二次根式。
教学重点、难点
最简二次根式的定义 最简二次根式的识别
辨析训练
判断下列各等式是否成立， 若不成立请说出正确的解法和答 案。
（1） 16 9 4 3 （
1 1 （3） 4 2 2 2 （ 3 3 ）（2） 2 2 （
（3）
1 2 -1
2 （4） 2 3
强化训练
3 1 5
2
把下列各式化成最简二次根式：
3 2 2 27 2 3 5-2 3
（4） 8 4 4
（5） 0.04 0.01
上一页
（ 1） （
1 2 × （ 6 ） （ 4 1 （ 5） （ ）； 5m m 9 2
45a b（ × ）； y × ）； x 3（ x
2
√
）；
例题选讲一
例1 把下列各式化成最简 二次根式： （1）
（2）
12 ； 32
例题选讲二
例2 把下列各式化成最简二次根式：
（1）4 1 1 （2）
20.85 2 源自（4） 2 9 9 5 （上一页
）
）
最简二次根式的定义
满足下列条件的二次根式，叫做最简二 次根式。 （ 1 ）被开方数中的因数是整数，因式 是整式； （ 2 ）被开方数中不含能开得尽方的因 数或因式； （3）分母中不含根号。
辨析训练一
判断下列各式是否为最简二次根式？
12 ×）；（2） （3） 30 x（ √ ）；（4）