计算全距 平均差 方差和标准差
计算全距、平均差、方差和标准差
一、全距 R（range）
全距是一组数据中的最大值（maximum）与该组数据中最小值（minimum）之差，又称极差。
R＝Xmax－Xmin
一般用于研究的预备阶段，用它检查数据的分布范围，以便确定如何进行统计分析
原始数据计算公式
三、四分位差(Quartile)
四分位差是第一个四分位数与第三个四分位数之差计算公式为
Q=Q
3-Q
1
四、方差与标准差
方差：又称为变异数、均方，是每个数据与该组数据平均数之差乘方后的均值，是表示一组数据离散程度的统计指标。
样本的方差用表示，总体的方差用表示。
标准差是方差的算术平方根。
一般样本的标准差用 S 表示，总体的标准差用表示。
标准差和方差是描述数据离散程度的最常用的差异量。
分组数据方差与标准差的计算公式
方差与标准差的性质
•方差是对一组数据中各种变异的总和的测量,具有可加性和可分解性特点。
•标准差是一组数据方差的算术平方根，它不可以进行代数计算，但有以下特性：
总体方差、标准差或者方差、标准才差的合成
•方差具有可加性的特点。
当已知几个小组数据的方差或标准差时，可
以计算几个小组联合在一起的总的方差或标准差。
•需要注意的是，只有在应用同一种观测手段，测量的是同一种特质，只是样本不同的数据时，才能计算合成方差或标准差。
方差和标准差的优点：
方差与标准差是表示一组数据离散程度的最好指标，其值越大，离散程度越大。
应用方差和标准差表示一组数据的离散程度，须注意必须是同一类数据（即同一种测量工具的测量结果），而且被比较样本的水平比较接近。
优点：
•反应灵敏。
每个数据发生变化，方差与标准差也随之变化
•有一定计算公式的严密确定
•容易计算
•受抽样变动的影响小
•简单明了
•方差具有可加性（区分变异源，组间/组内）
五、差异系数（coefficient of variation）
差异系数指标准差与其算术平均数的百分比，它是没有单位的相对数。
用CV表示。
何种情况下运用差异系数：
•两个或两个以上样本所测特质不同，即所使用的观测工具不同，如何比较两者的离散程度？
•即使使用同一种观测量具，但样本水平相差较大，如何比较其离散程度？
差异系数的作用
•比较不同单位资料的差异程度
•比较单位相同而平均数相差较大的两组资料的差异程度
•可判断特殊差异情况
根据经验，一般CV值常在5％－35％之间。
如果CV大于35％时，可怀疑所求得的平均数是否失去了意义；如果CV小于5％时，可怀疑平均数与标准差是否计算有误。
六、标准分数（standard score）
1、概念
标准分数，又称为基分数或Ｚ分数（Z－score），是以标准差为单位，反映一个原始分数在团体中所处位置。
具体来说，Z分数表示原始分数在以平均数为中心时的相对位置。
•标准分数从分数对平均数的相对地位、该组分数的离中趋势两个方面来表示原始分数的地位。
•Ｚ分数可以表明原始分数在团体中的相对位置，因此称为相对位置量数。
2、计算
把原始分数转换成Ｚ分数，就把单位不等距的和缺乏明确参照点的分数转换成以标准差为单位、以平均数为参照点的分数。
线性变换
标准分数带有小数和负值，为了克服标准分数出现的小数、负数和不易为人们所接受等缺点，常常是将其转换成正态标准分数。
例如：早期智力测验中运用智力商数表示智力测查的指标这种表示智力的方法后来被离差智商取代：
标准分数的性质
•Ｚ分数无实际单位，是以平均数为参照点、以标准差为单位的相对量。
•一组原始分数得到的Ｚ分数既有正值，也有负值，所有原始分数的Ｚ分数之和为零。
•一组原始数据中，各个Ｚ分数的标准差为１。
标准分数的应用
•用于比较几个分属性质不同的观测值在各自数据分布中相对位置的高低。
•表示标准测验分数。
经过标准化的心理和教育测验，常常用标准分数表示测验结果。
标准分数的优点
•可比性：标准分数以团体的平均数为基准，以标准差为单位，因而具有可比性。
•可加性：标准分数使不同的原始分数具有相同的参照点，因而具有可加性。
•明确性：标准分数较原始分数的意义更为明确。
•合理性：标准分数保证了不同性质的分数在总分数中的权重相同，使分数更合理地反映事实。
七、百分位数与百分位差
把一个次数分布排序后，分为100个单位。
百分位数就是次数分布中相对于某个特定百分点的原始分数，它表明在次数分布中特定个案百分比低于该分数。
百分位数用P m表示
百分位差（距）
•百分位差是指两个百分位数（percentile）之差。
•常用的百分位距有两种：
P90－P10和 P93－P7。
第三节数据的分布形状
一、正态分布
二、偏态系数（skewness SK）
•当数据较多的出现在均值的一侧时，数据分布左右不对称，此时，数据分布称为偏态分布。
•描述变量非对称分布的数字特征是偏态系数，也称为偏度。
•偏态分布有正偏态分布和负偏态分布两种。
当N>200以上时，计算的偏态系数才是可靠的。
SK>0为正偏态，SK<0为负偏态，SK=0 为正态。
•如果偏态系数的绝对值大于1，则说明数据的分布与正态分布有明显的不同
三、峰态系数（kurtosis Ku）
Ku以0.263为判断值，小于为高狭峰，大于为低阔峰
四、偏态系数与峰态系数的计算方法
1、皮尔逊偏态量数法
2、峰度、偏度检验法。
标准差计算方法
标准差计算方法标准差计算方法是什么呢？其实就是两个东西，分别叫做标准差和标准差系数。
今天我们来学习有关这两样的内容。
单位为s。
①离差平方和的一次项正数n，叫做平均差，也称全距。
平均差=n/(n-1)， n可以是正数、零或负数。
②离差平方和的一次项负数n，叫做方和或中心差，也称为变异系数。
平均差=n-n-1， n可以是正数、零或负数。
③平均差的平方和=一次项系数和二次项系数的平方和。
其中一次项系数的绝对值等于二次项系数的绝对值加上标准差，这里称之为“差距”。
1。
平均差=方和/方和=（ n-n）/（ n-1）=（ n-1）/n= 离差平方和的二次项负数q，叫做标准差，又称s值。
标准差=q/n，n可以是正数、零或负数。
2。
标准差系数f=0。
45^+1=0。
95。
由于零与1的平方根是相同的，因此，在比较两个平均数是否相等时，必须注意零与1的平方根。
3。
离差平方和的二次项正数q，叫做平方差系数，用符号S表示，可简记为σ。
例如：离差平方和的二次项负数q，称为s的平方差系数。
s的平方差系数=q/(q+1)， q可以是正数、零或负数。
4。
一组数据的离差平方和的平均数=各数据的离差平方和/该组数据的个数。
如果数据是正数，那么离差平方和的平均数是零，否则是一个数。
第一组中，第1项平均数是0，最后一项平均数是0。
第二组中，第2项平均数是0，最后一项平均数不是0。
如果数据是正数，那么离差平方和的平均数是零，否则是一个数。
离差平方和的二次项负数q，叫做标准差，用符号s表示。
如果用上述方法计算标准差得到的答案都是负数，那么可以肯定，它们之间存在着无法解释的关系。
即使一个平均数是零，另一个也不可能是零。
只有当所有平均数都小于零时，这种关系才会出现。
除非这些数据中至少有一些数据小于零，这种情况就不会发生。
要判断一组数据之间的关系，你需要多次计算每一个数据的平均数，然后加起来再除以总数。
用这种方法，一共能得到四个数。
4差异量数
N
z 1
•标准分数（Z分数）
标准分数的优点
（1）可比性； （2）可加性； （3）明确性； （4）稳定性。
标准分数的应用
（1）用于比较分属性质不同的观测值在各自数据分布中相对位置的高低； （2）计算不同质的观测值的总和或平均值，以表示在团体中的相对位置； （3）表示标准测验分数。
例： 假定甲、乙两生高考入学考试成绩如下表所示，试问根
（2）一组原始分数转换得到的Z 分数可以是正值，也可以是负值。
（3）一组原始分数中，各个Z 分数的标准差为1，即 sZ 1
（4）若原始分数呈正态分布，则转换得到的所有Z 分数值的均值为0， 标准差为1的标准正态分布。即将原始分数标准化后不改变原来数据的分布。
• 证明 Z 0, z 1
解： Z X X σ
与最小值而求得，易受两极端数值影响。不考虑中间数值的 差异，它反应不灵敏，因此，它只是一种低效的差异量数。 它的用处一般只用于研究的预备阶段，用它检查数据的大概 散布范围，以便确定如何进行统计分组。
•二、百分位数 百分等级 百分位差
百分位数的概念
百分位数是位于依一定顺序排列的一组数据中某一百分位 置的数值。百分位数一般用 表示。 百分位数的计算方法
则有 Z
X
σ
X
N
1 σ
(X X)
N
1 Nσ
(X
X)
1 Nσ
[(X1
X)
(X2
X) ......
(Xn
X)]
1 Nσ
[(X1
X2
...
Xn)
NX]
1 Nσ
0
0
Z 0
解： ( X X )2 N
则有 z
数理统计_方差与标准差
心理和教育方面的实验或调查所得到的数据，大都具有随机变量的性质。
而对这些随机变量的描述，仅有前一章所讲集中趋势的度量是不够的。
集中量数只描述数据的集中趋势和典型情况，它还不能讲明一组数据的全貌。
数据除典型情况之外，还有变异性的特点。
关于数据变异性即离中趋势进行度量的一组统计量，称作差异量数，这些差异量数有标准差或方差，全距，平均差，四分差及各种百分差等等。
第一节方差与标准差方差(Variance)也称变异数、均方。
作为统计量，常用符号S2表示，作为总体参数，常用符号σ2表示。
它是每个数据与该组数据平均数之差乘方后的均值，即离均差平方后的平均数。
方差，在数理统计中又常称之为二阶中心矩或二级动差。
它是度量数据分散程度的一个特别重要的统计特征数。
标准差(Standarddeviation)即方差的平方根，常用S或SD表示。
假设用σ表示，那么是指总体的标准差，本章只讨论对一组数据的描述，尚未涉及总体咨询题，故本章方差的符号用S2，标准差的符号用S。
符号不同，其含义不完全一样，这一点瞧读者能够给予充分的注重。
一、方差与标准差的计算(一)未分组的数据求方差与标准差全然公式是：〔3—la〕〔3—1b〕表3—1讲明公式3—1a与3—1b的计算步骤表3—1未分组的数据求方差与标准差应用3—1公式的具体步骤：①先求平均数X＝36/6＝6；②计算X i-X；③求(Xi-X)2即离均差x2；④将各离均差的平方求和(∑x2)；⑤代进公式3—1a与3—1b求方差与标准差。
具体结果如下：S2(二)已分组的数据求标准差与方差数据分组后，便以次数分布表的形式出现，这时原始数据不见了，假设计算方差与标准差可用下式：(3—3a)(3—3b)式中d＝(Xc-AM)/i，AM为估量平均数Xc为各分组区间的组中值f为各组区间的次数N=Σf为总次数或各组次数和i为组距。
下面以表1—8数据为例，讲明分组数据求方差与标准差的步骤:表3—2次数分布表求方差与标准差具体步骤：①设估量平均数AM，任选一区间的Xc充任；②求d⑧用f乘d，并计算Σfd；④用d与fd相乘得fd2，并求Σfd2；⑤代进公式计算。
标志变异指标
方差： 2 (x x)2
n
标准差: (x x)2
n
标志变异指标
方差和标准差的计算
（2）由分组资料计算方差和标准差
在分组资料的条件下，计算方差用加权平均式，其计算公式为:
方差： 2 (x x)2 f f
标准差：
x
2
x
f
f
标志变异指标
【例4.22】 某企业200名工人工资的资料如表所示 ：
二、标志变异指标的种类
（二）四分位差
1、什么是四分位差
是指在四分位数中，第三四分位数与第一四分位数之差。用 Q.D.表示，公式为：
Q.D.=Q3 -Q1 2、什么是四分位数
在一组标志值由小到大排列的数列中，将该数列等分成四个 部分，处在分界点上的标志值称为四分位数，其中：第一个分界 点上的标志值称为第一四分位数Q1；第二个分界点上的标志值 称为第二四分位数Q2；第三个分界点上的标志值称为第三四分 位数Q3。
标志变异指标
二、标志变异指标的种类
（一）全距 1、什么是全距
是指总体中最大的标志值与最小的标志值之差，用以说明单 位标志值的变动范围。 2、全距的计算 （1）由未分组资料、单项式变量分配数列计算全距
全距=最大的标志值—最小的标志值 （2）由组距式变量分配数列计算全距
全距≈最高组的上限最低组的下限
标志变异指标
200
1606.25 11x06x.25 606.25 106.25 393.75 1143.75 2143.75
—
计算工资的平均差。
16062.50 19x912x.5f 0 18793.75 7968.75 12993.75 24018.75 25725.00
125475.00
标准方差的计算公式
标准方差的计算公式
标准方差是统计学中常用的一种测量数据离散程度的方法，它能够反映数据的波动程度和分散程度。
在实际应用中，我们经常需要计算标准方差来评估数据的稳定性和可靠性。
本文将介绍标准方差的计算公式及其应用。
标准方差的计算公式如下：
标准方差 = 样本数据与样本均值的差的平方和的平均数的平方根。
其中，样本数据与样本均值的差的平方和表示了数据与均值之间的偏离程度，平均数的平方根表示了这种偏离程度的平均水平。
通过这个公式，我们可以得到一个反映数据分散程度的数值，从而对数据的波动情况有一个直观的了解。
在实际计算中，我们可以按照以下步骤来计算标准方差：
1. 计算样本均值，首先，需要计算样本数据的均值，即将所有数据相加后除以数据的个数。
2. 计算偏差平方和，然后，计算每个数据与均值的差的平方，
并将这些平方差相加。
3. 计算平均数的平方根，最后，将偏差平方和除以数据的个数，再对结果进行开方，即可得到标准方差。
需要注意的是，标准方差的计算公式适用于样本数据的计算。
如果是对总体数据进行计算，则需要将除数由样本数据的个数改为
总体数据的个数。
标准方差在实际应用中有着广泛的用途，例如在财务分析、市
场调研、工程设计等领域都能够看到它的身影。
通过计算标准方差，我们可以对数据的波动情况进行评估，从而为决策提供依据。
总之，标准方差是一种重要的数据分析工具，它能够帮助我们
了解数据的分散程度和稳定性。
掌握标准方差的计算公式及其应用，对于数据分析和决策具有重要的意义。
希望本文的介绍能够帮助读
者更好地理解标准方差，并在实际应用中灵活运用。
04 第四章 数据的离中趋势及其描述
二、百分等级数 我们将一个原始分数的百分等级分数定义 为，次数分布中低于这个原始分数的次数 百分比。百分等级分数用PR表示 。
计算百分等级分数的公式如下：
( x L) f Fb i PR N 100
理解与练习
1、某校四年级举行数学竞赛，一班、二班分别派9名 选手参加，成绩如下表所示，试比较两个班的成绩。
第三节 百分位数与百分等级数
一、百分位数与百分位差
（一）百分位数
（二）百分位差
（三）四分位差 二、百分等级数
一、百分位数与百分位差 （一）百分位数 百分位数又称百分位分数，是一种相对地 位量数，它是次数分布中的一个点。百分 位数用P加下标（特定百分点）表示。 百分位数的计算公式如下：
m N Fb Pm L 100 i f
1 2 N
N
i 1
总体标准差被定义为：
1 N
2 ( x u ) i i 1
N
（二）样本方差与样本标准差 如果从研究总体中抽取一个容量为n的样本， 是这一样本的第i次测定，得到的观测 是 x , x , x ，那么样本方差为：
1 2 n
1 n 2 S ( x X ) i n 1 i 1
第四章 数据的离中趋势及其描述
主要内容
第一节 全距、平均差、方差与标准差 第二节 差异系数 第三节 百分位数与百分等级数 理解与练习
第一节 全距、平均差、方差与标准差
一、全距 二、平均差 三、方差与标准差
（一）总体方差与总体标准差 （二）样本方差与样本标准差 （三）标准差的合成 （四）方差与标准差的性质和意义
2
样本标准差为： S
统计心理-第四章 差异量数
25% 25% 25% 25%
Q1
Q2
Q3
Q = （Q3 – Q1）/2
排序后处于25%和75%位置上的值
三、四分位差
1. 也称为内距或四分间距 2. 反映了中间50%数据的离散程度 3. 不受极端值的影响 4. 用于衡量中位数的代表性
5. 可用于顺序数据、数值型数据，但不 能用于分类数据
顺序数据的四分位数
i 1
N
i 1
N
i
（三）总标准差的合成
St
N 1
S
2 1
d
2 1
N2
S
2 2
d
2 2
Nk
S
2 k
d
2 k
N1 N2 Nk
k
k
N
i
S
2 i
N
i
d
2 i
i1
i1
k
Ni
i1
S
：
t
总
标
准差
注意：只有应用同一种观测手段，测量同一 个特质，只是样本不同时，才能应用该公式 合成方差和标准差。
二、百分位差
3.百分位数的计算
Pp
Lb
1p00NFb f
i
4.百分位差
（1）P90 P10 （2）P93 P7
Pp为所求的第P个百分位数 Lb为百分位数所在组的精确下限 f为百分位数所在组的次数
Fb为小于Lb的各组次数的和 N为总次数
i为组距。
【例】：用下面的次数分布表计算该分布的百分位差P90-P10。
电大统计学原理计算题(考试复习必备)
1 某车间有30个工人看管机器数量的资料如下:5 4 2 4 3 4 3 4 4 5 4 3 4 26 4 4 2 5 3 4 5 3 2 4 3 6 3 5 4 以上资料编制变量分配数列。
答案:2 某班40名学生统计学考试成绩分别为:68 89 88 84 86 87 75 73 72 68 75 82 97 58 81 54 79 76 95 76 71 60 90 65 76 72 76 85 89 92 64 57 83 81 78 77 72 61 70 81学校规定:60分以下为不及格,60─70分为及格,70─80分为中,80─90分为良,90─100分为优。
要求: (1)将该班学生分为不及格 及格 中 良 优五组,编制一张次数分配表。
(2)指出分组标志及类型；分组方法的类型；分析本班学生考试情况。
答案:(1)(2)分组方法为:变量分组中的组距式分组,而且是开口式分组；本班学生的考试成绩的分布呈两头小,中间大的“正态分布”的形态。
3 某企业104计算表如下：元620=∑∙∑=fx x 该工业集团公司工人平均工资620元。
5 某厂三个车间一季度生产情况如下：第一车间实际产量为190件，完成计划95%；第二车间实际产量250件，完成计划100%；第三车间实际产量609件，完成计划105%，三个车间产品产量的平均计划完成程度为：%1003%105%100%95=++另外，一车间产品单位成本为18元/件，二车间产品单位成本12元/件，三车间产品单位成本15元/件，则三个车间平均单位成本为：153151218=++元/件以上平均指标的计算是否正确？如不正确请说明理由并改正。
解：两种计算均不正确。
平均计划完成程度的计算，因各车间计划产值不同，不能对其进行简单平均，这样也不符合计划完成程度指标的特定涵义。
正确的计算方法是：平均计划完成程度()%84.1011030104905.160900.125095.0190609250190/==++++=∑∑=x m m X 平均单位成本的计算也因各车间的产量不同，不能简单相加，产量的多少对平均单位成本有直接影响。
统计学计算题例题
第四章1。
某企业1982年12月工人工资的资料如下：要求：（1）计算平均工资；（79元）(2)用简捷法计算平均工资.2。
某企业劳动生产率1995年比1990年增长7％，超额完成计划2%,试确定劳动生产率计划增长数。
7%—2％=5％3。
某厂按计划规定，第一季度的单位产品成本比去年同期降低8％。
实际执行结果，单位产品成本较去年同期降低4%。
问该厂第一季度产品单位成本计划的完成程度如何？104。
35％( (1-4％)/（1-8％)*100%=96%/92％＊100%=104.35%结果表明：超额完成4.35％（104。
35％-100％））4. 某公社农户年收入额的分组资料如下:要求：试确定其中位数及众数。
中位数为774.3(元）众数为755。
9（元）求中位数:先求比例: （1500—720)/(1770-720）=0。
74286分割中位数组的组距:(800-700)＊0。
74286=74.286加下限700+74。
286=774。
286求众数：D1=1050—480=570D2=1050-600=450求比例：d1/(d1+d2)=570/（570+450）=0。
55882分割众数组的组距:0。
55882＊（800-700）=55。
882加下限：700+55.882=755。
8825.1996年某月份某企业按工人劳动生产率高底分组的生产班组数和产量资料如下:.64。
43（件/＊140+85＊60）/）6。
根据表中资料计算中位数和众数。
中位数为733.33（元）众数为711。
11（元)求中位数：先求比例：（50-20）/（65-20)=0。
6667分割中位数组的组距:(800—600）*0。
6667=66。
67 加下限:600+66.67=666。
677。
某企业产值计划完成103％，比去年增长5％.试问计划规定比去年增长 多少？1。
94％(上年实际完成1。
03/1.05=0。
981 本年实际计划比上年增长（1-0。
统计学第四章重点知识点
第四章 差异量教学目的：1.理解全距、四分位距、百分位距、平均差、方差、标准差和差异系数等概念；2.掌握各种差异量指标的计算方法。
数据的分布特征不仅有集中趋势，还有离中趋势。
以动态的眼光，从不同的角度看，数据是向中间变动的，也是向两端变动的。
两组数据可能平均水平相同，但两组数据的分布特征并不完全相同。
【如】:比较以下两组数据 A 组：88、82、73、76、81 B 组：92、86、70、72、80两组平均数,80==B A X X 但R A =88－73＝15，R Ｂ=92－70＝22。
即A 组较集中，B 组较分散。
因此，我们描述一组数据的分布特征，既要描述其集中趋势，也要描述其离中趋势。
差异量：表示一组数据的离中趋势或变异程度的量称为差异量。
常用的差异量指标有全距、四分位距、百分位距、平均差、方差、标准差和差异系数。
第一节全距、四分位距、百分位距一、全距全距：是一组数距中最大值与最小值之差。
优点：意义明确，计算方便。
缺点：反响不灵敏，易受极端值影响。
二、四分位距〔一〕四分位距的的概念四分位距:是指一组按大小顺序排列的数据中间部位50%个频数距离的一半。
QD ：表示四分位距； Q 3：表示第三四分位数； Q 1：表示第一四分位数。
所以：四分位距的公式又为： 〔二〕四分位数的计算方法 1、原始数据计算法〔1〕将数据由小到大进行排列；〔2〕分别求出三位四分位数〔点〕；〔3〕代入公式计算。
【例如】：有以下16个数据25、22、29、12、40、15、14、39、37、31、33、19、17、20、35、30，其中四分位距的计算方法如下：〔1〕先将原始数据从小到大排列好；12、14、15、17、*19、20、22、25、*29、30、31、33、*35、37、39、40Q1=18 Md=27 Q3=34〔2〕求出Q1、Md、Q3；〔3〕将Q1、Md、Q3的得数代入公式〔4.1〕。
2、频数分布表计算法利用频数分布表计算公式为：关键是分别计算P75和P25，百分位数计算方法掌握了，这里的计算就不会有什么问题。