均值方差标准差
均值方差标准差
关于抽样分布我们要了解的:
Y 的均值是多少?
如果 E(Y ) =真实的 = .78, 则Y 是 of 的无偏
unbiased 估计量 Y 的方差是多少?
var(Y ) 如何依赖于 n (著名的 1/n 公式)
当 n 较大时 Y 是否靠近 ? 大数定律: Y 是 的相合 consistent 估计量
14
Y 的抽样分布（续）
例: 设 Y 取 0 或 1 ( Bernoulli 随机变量)，服从概率分布,
Pr[Y = 0] = .22, Pr(Y =1) = .78 则
E(Y) = p1 + (1 – p)0 = p = .78
2 Y
=
E[Y
–
E(Y)]2
=
p(1
–
p)
= .78(1–.78) = 0.1716
24
Y E(Y )
相同例子：
的抽样分布：
var(Y )
25
总结: Y 的抽样分布
当
Y1,…,Yn
i.i.d.
满足
0
<
2 Y
<
时,
Y 的精确（有限样本）分布均值为Y (“Y 是Y 的无偏估
计量”)
方差为
2 Y
/n
除了其均值和方差, Y 的精确分布非常复杂取决于 Y 的分
布 (总体分布)
协方差是 X 和 Z 线性关联程度的度量; 其单位为 X 的单位
Z 的单位
cov(X,Z) > 0 表明 X 和 Z 正相关 若 X 和 Z 独立分布, 则 cov(X,Z) = 0 (反之不成立!!)
方差标准差均方差均方误差的区别及意义
方差标准差均方差均方误差的区别及意义方差、标准差、均方差、均方误差的区别及意义一、百度百科全书上的差异定义如下：（variance)是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。
概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。
统计中的方差（样本方差）是各个数据分别与其平均数之差的平方的和的平均数。
在许多实际问题中，研究方差即偏离程度有着重要意义。
读这样一篇文章可能有点风。
让我们从公式开始，对于一组随机变量或者统计数据，其期望值我们由e(x)表示，即随机变量或统计数据的均值，然后将每个数据之间的差值与平均值的平方相加，然后计算期望值，得到方差公式。
，最后对它们该公式描述了随机变量或统计数据与平均值的偏差。
二、方差与标准差之间的关系就比较简单了根符号中的内容就是我们刚才提到的那么问题来了，既然有了方差来描述变量与均值的偏离程度，那又搞出来个标准差干什么呢？不，方差与我们要处理的数据的维度不一致。
虽然它能很好地描述数据与均值之间的偏差程度，但处理结果并不符合我们的直觉思维。
举个例子：一个班级里有60个学生，平均成绩是70分，标准差是9，方差是81，成绩服从正态分布，那么我们通过方差不能直观的确定班级学生与均值到底偏离了多少分，通过标准差我们就很直观的得到学生成绩分布在[61,79]范围的概率为0.6826，即约等于下图中的34.2%*2三、什么是均方误差和均方误差？标准差（standarddeviation），中文环境中又常称均方差，但不同于均方误差（mean平方误差，均方误差是距离每个数据真实值的平方和的平均值，即误差平方和的平均值。
计算公式在形式上接近方差。
其平方称为均方根误差，均方根误差在形式上接近标准偏差）。
标准偏差是平均偏差平方和平均值后的平方根，用σ表示。
标准差是方差的算术平方根。
从上面定义我们可以得到以下几点：1、均方差就是标准差，标准差就是均方差2、均方误差不同于均方误差3.均方误差是距离每个数据真实值的平方和的平均值举个例子：我们要测量房间里的温度，很遗憾我们的温度计精度不高，所以就需要测量5次，得到一组数据[x1,x2,x3,x4,x5],假设温度的真实值是x，数据与真实值的误差e=x-xi然后是均方误差MSE=总的来说，均方差是数据序列与均值的关系，而均方误差是数据序列与真实值之间的关系，所以我们只需要搞清楚真实值和均值之间的关系就行了。
平均值、方差、标准差
平均值(Mean)、方差(Variance)、标准差(Standard Deviation) 对于一维数据的分析，最常见的就是计算平均值(Mean)、方差(Variance)和标准差(Standard Deviation)。
平均值平均值的概念很简单：所有数据之和除以数据点的个数，以此表示数据集的平均大小；其数学定义为：以下面10个点的CPU使用率数据为例，其平均值为。
14 31 16 19 26 14 14 14 11 13方差、标准差方差这一概念的目的是为了表示数据集中数据点的离散程度；其数学定义为：标准差与方差一样，表示的也是数据点的离散程度；其在数学上定义为方差的平方根：为什么使用标准差与方差相比，使用标准差来表示数据点的离散程度有3个好处：表示离散程度的数字与样本数据点的数量级一致，更适合对数据样本形成感性认知。
依然以上述10个点的CPU使用率数据为例，其方差约为41，而标准差则为；两者相比较，标准差更适合人理解。
表示离散程度的数字单位与样本数据的单位一致，更方便做后续的分析运算。
在样本数据大致符合正态分布的情况下，标准差具有方便估算的特性：%的数据点落在平均值前后1个标准差的范围内、95%的数据点落在平均值前后2个标准差的范围内，而99%的数据点将会落在平均值前后3个标准差的范围内。
贝赛尔修正在上面的方差公式和标准差公式中，存在一个值为N的分母，其作用为将计算得到的累积偏差进行平均，从而消除数据集大小对计算数据离散程度所产生的影响。
不过，使用N 所计算得到的方差及标准差只能用来表示该数据集本身(population)的离散程度；如果数据集是某个更大的研究对象的样本(sample)，那么在计算该研究对象的离散程度时，就需要对上述方差公式和标准差公式进行贝塞尔修正，将N替换为N-1：经过贝塞尔修正后的方差公式：经过贝塞尔修正后的标准差公式：公式的选择是否使用贝塞尔修正，是由数据集的性质来决定的：如果只想计算数据集本身的离散程度(population)，那么就使用未经修正的公式；如果数据集是一个样本(sample)，而想要计算的则是样本所表达对象的离散程度，那么就使用贝塞尔修正后的公式。
方差、标准差、均方差、均方误差的区别及意义
一、百度百科上方差是这样定义的：（variance)是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。
概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。
统计中的方差（样本方差）是各个数据分别与其平均数之差的平方的和的平均数。
在许多实际问题中，研究方差即偏离程度有着重要意义。
看这么一段文字可能有些绕，那就先从公式入手，对于一组随机变量或者统计数据，其期望值我们由E(X)表示，即随机变量或统计数据的均值，然后对各个数据与均值的差的平方求和，最后对它们再求期望值就得到了方差公式。
这个公式描述了随机变量或统计数据与均值的偏离程度。
二、方差与标准差之间的关系就比较简单了根号里的内容就是我们刚提到的那么问题来了，既然有了方差来描述变量与均值的偏离程度，那又搞出来个标准差干什么呢发现没有，方差与我们要处理的数据的量纲是不一致的，虽然能很好的描述数据与均值的偏离程度，但是处理结果是不符合我们的直观思维的。
举个例子：一个班级里有60个学生，平均成绩是70分，标准差是9，方差是81，成绩服从正态分布，那么我们通过方差不能直观的确定班级学生与均值到底偏离了多少分，通过标准差我们就很直观的得到学生成绩分布在[61,79]范围的概率为，即约等于下图中的%*2三、均方差、均方误差又是什么标准差（Standard Deviation），中文环境中又常称均方差，但不同于均方误差（mean squared error，均方误差是各数据偏离真实值的距离平方和的平均数，也即误差平方和的平均数，计算公式形式上接近方差，它的开方叫均方根误差，均方根误差才和标准差形式上接近），标准差是离均差平方和平均后的方根，用σ表示。
标准差是方差的算术平方根。
从上面定义我们可以得到以下几点：1、均方差就是标准差，标准差就是均方差2、均方误差不同于均方误差3、均方误差是各数据偏离真实值的距离平方和的平均数举个例子：我们要测量房间里的温度，很遗憾我们的温度计精度不高，所以就需要测量5次，得到一组数据[x1,x2,x3,x4,x5],假设温度的真实值是x，数据与真实值的误差e=x-xi那么均方误差MSE=总的来说，均方差是数据序列与均值的关系，而均方误差是数据序列与真实值之间的关系，所以我们只需要搞清楚真实值和均值之间的关系就行了。
均值和均方差公式
均值和均方差公式
一、均值：
均值公式为：平均值=AVERAGE（A1：A3），A1是指求平均值的
第一个数，A3是指求平均值的最后一个数，输入公式选择所有数据
即可算出平均值。
平均值的计算原理是把所有的数相加除以个数。
平均值又称为平均数，平均数是统计学中最常用的统计量，用来表明资料中各观测值相对集中较多的中心位置。
统计平均数是用于反映现象总体的一般水平，或分布的集中趋势，可以用平均数来反映一组数据的一般情况和平均水平，也可以用它进行不同组数据的比较，看出组与组之间的差别。
二、均方差：
均方差的公式为：S=（（x1-x的平均值）^2+（x2-x的平均值）^2+（x3-x的平均值）^2+……+（xn-x的平均值）^2）/n）的算术平方根，其中xn表示第n个元素。
均方差又叫做标准差，指的是离均
差平方的算术平均数的算术平方根。
均方差的定义：
均方差又叫做标准差或标准偏差，是离均差平方的算术平均数的算术平方根。
均方差在概率统计中最常使用作为统计分布程度上的测量依据。
标准差能反映一个数据集的离散程度。
平均数相同的两组数据，标准差未必相同。
均方差反映组内个体间的离散程度。
测量到分布程度的结果，原则上具有两种性质：1、为非负数值，与测量资料具有相同单位。
2、一个总量的标准差或一个随机变量的标准差，及一个子集合样品数的标准差之间，有所差别。
均值 标准差 方差
均值标准差方差均值、标准差和方差是统计学中常用的概念和计算方法。
它们可以帮助我们分析数据的集中趋势和离散程度，从而更好地理解数据的特征和规律。
均值是一组数据的平均数，可以理解为数据的集中趋势。
计算均值的方法是将所有数据相加，然后除以数据的个数。
例如，有一组数据：2，4，6，8，10。
将这些数据相加得到30，再除以5（数据的个数），得到均值为6。
均值可以帮助我们了解数据的平均水平，但它并不能反映数据的离散程度。
标准差是一组数据离均值的平均距离。
标准差越大，表示数据的离散程度越大；标准差越小，表示数据的离散程度越小。
标准差的计算方法是先计算每个数据与均值的差值，然后将这些差值平方，再求平均数，最后取平方根。
标准差的计算过程比较复杂，但它可以帮助我们判断数据的分布情况和离散程度。
方差是一组数据与均值差值的平方和的平均数。
方差是标准差的平方，它表示数据的离散程度。
方差越大，表示数据的离散程度越大；方差越小，表示数据的离散程度越小。
方差的计算方法是先计算每个数据与均值的差值，然后将这些差值平方，再求平均数。
方差可以帮助我们了解数据的离散程度和数据点与均值之间的关系。
在实际应用中，均值、标准差和方差经常被用来描述数据的特征和规律。
例如，在市场调研中，可以通过计算产品销售量的均值和标准差，来了解产品的市场表现和销售稳定性。
在股票市场中，可以通过计算股票收益率的均值和方差，来评估股票的风险和收益水平。
均值、标准差和方差还可以用来进行数据的比较和分析。
例如，可以比较两组数据的均值大小，来判断它们的差异性；可以比较两组数据的标准差和方差大小，来评估它们的离散程度。
借助这些统计指标，我们可以更好地理解数据的特点和趋势，从而做出更准确的决策。
均值、标准差和方差是统计学中常用的概念和计算方法，它们可以帮助我们分析数据的集中趋势和离散程度。
通过计算和比较这些统计指标，我们可以更好地理解数据的特征和规律，从而做出更准确的决策。
方差和标准差和平均数的关系
方差和标准差和平均数的关系关于“方差和标准差和平均数的关系”，我们来聊聊这个数学话题，但别担心，不会让你觉得枯燥乏味，咱们轻松点，像喝茶聊天一样。
1. 平均数：我们的基准线首先，咱们得先明白什么是平均数。
简单来说，平均数就是把一组数字加起来，然后平均分配给每一个数字。
比如说，你和你的朋友们一起吃饭，花了300块钱，四个人一平摊，那每个人就是75块。
这个75块就是平均数，大家心里都明白了吧？但是，平均数就像一个表面功夫，掩盖了背后的故事。
有人可能花了100块，有人只花了50块。
明白这点非常重要，因为它能帮助我们深入理解数据的分布。
1.1 方差：看得见的波动接下来，我们得说说方差。
方差是用来衡量一组数据与平均数之间的差距有多大的。
就像你和朋友一起打篮球，有的人投篮准，有的人总是空心球。
方差就像是在告诉你，大家的水平差距到底有多大。
计算方差时，我们会先找出每个数字与平均数之间的差，然后平方，再求个平均值。
听起来可能有点复杂，但其实就是告诉你，数据的“起伏”有多大。
1.2 标准差：方差的“翻译”说到这里，标准差就登场了。
标准差其实就是方差的平方根，简单易懂，就是把方差的“复杂性”变得通俗易懂。
用标准差来描述数据时，就像在告诉你“大家的表现差不多，没啥大问题”还是“哎呀，有的人真是牛逼轰轰”。
比如，一个班的数学成绩，如果标准差小，那就意味着大家的分数都差不多；如果标准差大，那就说明有些人特别优秀，而有些人……呃，可能需要多加练习了。
2. 平均数、方差和标准差的关系这三者之间可不是孤立存在的。
平均数就像一家之主，而方差和标准差就是他的两个孩子，虽然性格不同，但总是围绕着他转。
比如说，如果你知道了平均数，你可以通过方差和标准差了解数据的整体波动情况。
就像在学校，班级的平均分可能是80分，但如果标准差是20分，那说明有的人得了90分，有的人得了60分，大家的差距就非常大。
2.1 实际应用：看数据的真面目在实际生活中，这些概念有多重要呢？假设你在分析一家公司员工的薪水，平均薪水看起来不错，但如果标准差很大，说明公司内部的薪水差距非常明显，有可能导致员工的不满情绪。
随机变量――平均、方差、标准差
01X =随机变量可能值随机事件例子：抛一个不公平的骰子想象一个加重了的骰子（蒙人！）。
概率是：1234560.10.10.10.10.10.5例子（续）：x123456p0.10.10.10.10.10.5xp0.10.20.30.40.53μ = Σxp = 0.1+0.2+0.3+0.4+0.5+3 = 4.5期望值是 4.5注意：这是 加权平均值：高概率的数值在平均里有较高的比重。
方差：Var(X)方差是：Var(X) = Σx2p − μ2计算方差：把每个数值的平方乘以其概率把结果加起来：Σx2p减去期望值的平方 μ2例子（续）：x123456p0.10.10.10.10.10.5x2p0.10.40.9 1.6 2.518Σx2p = 0.1+0.4+0.9+1.6+2.5+18 = 23.5Var(X) = Σx2p − μ2 = 23.5 - 4.52 = 3.25方差是 3.25标准差：σ标准差是方差的平方根：σ = √Var(X)例子（续）：x123456p0.10.10.10.10.10.5x2p0.10.40.9 1.6 2.518σ = √Var(X) = √3.25 = 1.803...标准差是 1.803……再来一个例子！（注意这次的列表是垂直排列的。
）你打算开一家麦德劳炸鸡店。
这是市场调查数据：百分比每年收益20%￥50,000 亏蚀30%￥040%￥50,000 利润10%￥150,000 利润用这些概率来计算，你的利润期望值和标准差是多少？随机变量是 X = '可能利润'。
求 xp 和 x2p 的总和：黛绿p 收益（￥'000）x xp x2p0.2-50-105000.30000.4502010000.1150152250Σp = 1Σxp = 25Σx2p = 3750μ = Σxp = 25Var(X) = Σx2p − μ2 = 3750 − 252 = 3750 − 625 = 3125σ = √3125 = 56（到最近的整数）这些数值的单位是千元，所以：μ = ￥25,000σ = ￥56,000所以你预期可以转到 ￥25,000，但可能有很大的误差。
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总体（Population）
感兴趣的所有可能个体的集合 (学区) 我们将总体视为无限大 (∞近似于“非常大”)
随机变量（Random variable） Y
一个随机结果的数值概括 (地区平均测试成绩、学生教师比)
Y 的总体分布
Y 离散时：总体中出现的不同Y取值的概率，如Pr[Y = 650]
从总体中随机选取个体 (学区, 实体)
随机性和数据 在抽样之前，由于个体的选取是随机的故 Y 的取值是随
机的
抽样结束得到了 Y 的观测, 于是 Y 仅仅是一个数值 – 非
随机
数据集记为 (Y1, Y2,…, Yn), 其中 Yi = 抽取到的第 i个个体 (学区, 实体) 的Y 取值
= 出现大值的可能性度量
峰度 = 3: 正态分布
峰度 > 3: 厚尾 (“尖峰 leptokurtotic”)
3
4
（3）2个随机变量: 联合分布与协方差
随机变量 X 和 Z 服从某一 联合分布 joint distribution X 和 Z 之间的协方差定义为
cov(X,Z) = E[(X – BXB)(Z – BZB)] = BXZB
标准差standard deviation = 方差 = BYB
2
矩（续）
偏度
skewness
=
E
Y
Y
3
3 Y
=分布不对称性的度量
偏度 = 0: 分布是对称的
偏度 > (<) 0: 分布具有右（左）长尾
峰度 kurtosis =
E
Y
Y
4
4 Y
= 尾部厚薄的度量
条件均值的其他例题:
所有女职工的工资 (Y = 工资, X = 性别) 若 E(X|Z) =常数, 则 corr(X,Z) = 0 (但反之不一定成立)
条件均值是我们熟悉的组平均思想的一个（有可能是新的） 术语
10
（4）从某总体中随机抽取的样本Y1,…, Yn的分布:
假设是简单随机抽样 simple random sampling
7
相关系数度量了线性相关 性
8
条件分布和条件均值
条件分布 Conditional distributions 给定其他随机变量 X 取值时，Y 的分布
例: 给定 STR<20 时测试成绩的分布
条件期望 Conditional expectations 和条件矩 conditional moments
这一框架允许我们能利用从总体中取出的样本进行有关总体 矩的严格统计推断
12
△ 估计 Estimation
Y 是均值的一个自然估计. 但: (a) Y 的性质怎样? (b) 为什么我们不用其他估计量而用 Y 呢? YB1B(第一个观测) 利用不同的权重 – 而不是简单平均 Median(YB1B,…, YBnB) （中位数）
14
Y 的抽样分布（续）
例: 设 Y 取 0 或 1 ( Bernoulli 随机变量)，服从概率分布,
Pr[Y = 0] = .22, Pr(Y =1) = .78 则
E(Y) = p1 + (1 – p)0 = p = .78
2 Y
=
E[Y
–
E(Y)]2
Y 连续时：这些取值集合的概率，如Pr[640≤Y ≤660]
1
（2）总体分布矩: 均值、方差、标准差、协方差、相关系数
均值 mean = Y 的期望值（期望）
= E(Y)
= BYB = Y 多次重复取值的长期平均值
方差variance = E(Y – BYB)P2P
=
2 Y
= 分布的散布平方的度量
协方差是 X 和 Z 线性关联程度的度量; 其单位为 X 的单位
Z 的单位
cov(X,Z) > 0 表明 X 和 Z 正相关 若 X 和 Z 独立分布, 则 cov(X,Z) = 0 (反之不成立!!)
r.v.与其自身的协方差就是它的方差 :
cov(X,X)
=
E[(X
–
BXB)(X
–
BXB)]
=
E[(X
–
BXB)P2P] =
2 X
5
测试成绩Test Score和学生教师比STR负相关:
相关系数也为负
6
相关系数是利用协方差定义的:
coቤተ መጻሕፍቲ ባይዱr(X,Z) =
cov( X , Z ) var( X ) var(Z )
XZ X Z
= rXZ
–1 corr(X,Z) 1 corr(X,Z) = 1 表明完全线性正相关 corr(X,Z) = –1 表明完全线性负相关 corr(X,Z) = 0 表明不存在线性关系（线性不相关）
出发点是 Y 的抽样分布
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(a) Y 的抽样分布
Y 是一个随机变量, 其性质取决于 Y 的抽样分布 样本中的个体是随机抽取的 因此 (YB1B,…, YBnB) 的取值是随机的 (YB1B,…, YBnB)的函数, 如 Y , 也是随机的: 抽到了不同的样本 则得到不同的值 在所有可能的容量为 n 的不同样本上Y 的分布称为Y 的抽 样分布. Y 的均值和方差即为其抽样分布的均值和方差 E(Y ) 和 var(Y ). 抽样分布的概念是整个计量经济学的基础.
条件均值 = 条件分布的均值 = E(Y|X = x) (重要概念和符号)
条件方差 = 条件分布的方差 例: E(Test scores|STR < 20) = 小班规模的学区的平均测试
成绩
9
条件均值（续）
均值之差为两个条件分布的均值的差: = E(Test scores|STR < 20) – E(Test scores|STR ≥ 20)
11
简单随机抽样下 Y1,…, Yn 的分布
由于个体 #1 和 #2 是随机抽取的, 因此 Y1 取值中不包含 Y2 的信息。故: Y1 和 Y2 是 独立分布的 independent distributed Y1 和 Y2 取自同一分布, 即, Y1, Y2 同分布 identically distributed 于是, 简单随机抽样下, Y1 和 Y2 独立同分布 (i.i.d.). 更一般地, 简单随机抽样下, {Yi}, i = 1,…, n, i.i.d.