2019版高考数学(文)大一轮优选(全国通用版)课件：第11讲函数与方程 (1)
2019高考数学(全国、理科)一轮复习课件：第11讲 函数与方程
q＝4，所以 p＋q＝9.
栏目 导引
专题一
集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式
真题再现
3 ． [2016· 山 东 卷 ] 已 知 函 数 f(x) ＝
|x|，x≤m， 2 其中 m>0.若存在实数 b，使得 x －2mx＋4m，x>m，
[解析] 画出函数 f(x)的 图像如图所示，根据已 知得 m>4m － m2 ，又 m>0，解得 m>3，故实 数 m 的取值范围是(3， ＋∞)．
考查热度
★☆☆ ★★☆
函数零点 利用函数零点求解函数、 2011课标全国卷 12 的应用 不等式的问题
★★☆
栏目 导引
专题一
集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式
真题再现
■ [2016－2011]课标全国卷真 题再现 1． [2014· 新课标全国卷Ⅰ] 已知函数 f(x)＝ax3
－3x2＋1， 若 f(x)存在唯一的零点 x0， 且 x0>0， 则 a 的取值范围是( A．(2，＋∞) B．(1，＋∞) C．(－∞，－2) D．(－∞，－1) )
考试说明
结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方
程根的存在性及根的个数．
栏目 导引
专题一
集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式
教学参考
考情分析
考点 考查方向 考例 函数零点 利用零点存在性定理判 所在区间 断零点所在的区间 判断函数零点的个数、 2014新课标全国 函数零点 已知零点个数求参数范 卷Ⅰ11 的个数 围
2 x ＋（4a－3）x＋3a，x<0， (a>0，且 loga（x＋1）＋1，x≥0
[解析] C 调
高中数学一轮复习课件：函数与方程
内的一个零点(精确度 0.1)．
解：依据二分法求函数 f(x)的零点近似值的步骤． 由于 f(1)＝1－1－1＝－1<0， f(1.5)＝3.375－1.5－1＝0.875>0， ∴f(x)在区间[1,1.5]内存在零点， 取区间[1,1.5]作为计算的 初始区间， 用二分法逐次计算列表如下：
端(中) 点坐标
• 【例4】 已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x ＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点 右侧，则实数m的取值范围是 ( ) • A．(0,1] B．(0,1) • C．(－∞，1) D．(－∞，1]
1 解法一：取 m＝0，有 f(x)＝－3x＋1 的零点 x＝ >0，即 m 3 ＝0 符合题设，所以排除 A、B；当 m＝1 时，f(x)＝x2－2x＋1 ＝(x－1)2，它的根是 x＝1 符合要求，排除 C.故选 D.
• ＝0化为－a＝x3－，作出f(x)＝x3－图象 如右图所示．由图象特征知当－a>f(2)或 －a<f(－2)时满足条件，∴a>6或a<－6即 为所求．故填(－∞，－6)∪(6，＋∞)． • 答案：(－∞，－6)∪(6，＋∞)
【例 3】
3 用二分法求函数 f(x)＝x －x－1 在区间[1， ] 2
1.25 [－3，－2] －2.5 0.0625 [－2.5，－2] －2.25 [－2.25，－2] －2.125 －0.4844 [－2.25，－2.125] －2.1875 －0.2148 [－2.25，－ － 2.2187 －0.0771
• 根据上表计算知，区间[－2.25，－ 2.1875]的长度是0.0625<0.1，所以原方 程的近似解可以是－2.1875.
解：(1)若 a＝0，则 f(x)＝－x－1， 令 f(x)＝0，即－x－1＝0，得 x＝－1，故符合题意； 若 a≠0，则 f(x)＝ax2－x－1 是二次函数； 故有且仅有一个零点等价于 ∆＝1＋4a＝0， 1 解得 a＝－ ， 4 1 综上所述 a＝0 或 a＝－ . 4
2019版高考一轮数学文科：第11讲-函数与方
函数 y＝sin 2x 与函数 y＝x2 图
像的交点个数．作出函数图像
如图所示，两函数图像的交点
有 2 个，即函数 f(x)的零点个数
为 2.
真题在线
5．[2015·江苏卷] 已知函数 f(x)＝|ln ＝1 实根的个数为________．
x|，g(x)＝0|x，2－04<|x－≤21，，x>1，则方程|f(x)＋g(x)|
真题在线
2 ． [2016· 山 东 卷 ] 已 知 函 数 f(x) ＝ |xx2|－，2xm≤xm＋，4m，x>m，其中 m>0.若存在实数 b，使得 关于 x 的方程 f(x)＝b 有三个不同的根，则 m 的取值 范围是________． [答案] (3，＋∞)
[解析] 画出函数 f(x)的图像 如图所示，
真题在线
[答案] 4 [解析] 当 0<x≤1 时，由f（x）＋g（x）＝1 得ln x＝1，解得 x＝1e或 x＝e(舍去)． 当 x>1 时，由f（x）＋g（x）＝1 得ln x＝3－x2－4或ln x＝1－x2－4.分别在同一个坐标 系中作出函数 y＝ln x与 y＝3－x2－4的图像(如图 1)和函数 y＝ln x与 y＝1－x2－4的图像 (如图 2)．
RJA
第11讲 PART 02
函数与方程
教学参考│课前双基巩固│课堂考点探究│教师备用例题
考试说明
结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性 及根的个数．
教学参考
考情分析
考点
考查方向
考例
考查热度
函数零点分布 判断零点所在的区间
★☆☆
函数零点个数
判断零点的个数
高三数学函数与方程1(新编2019教材)
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续 不断的一条曲线,并且有f(a)f(b)<0,那么函数
y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c (a,b)
使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.
重难点详解
1、方程f(X）=0有实根函数y=f(x)的图象 与X轴有交生牛 汝谤我也 宜及其未有备 一夫敌耳 汜 自初发至邺 听其复业 都督益宁南秦凉梁巴六州陇上西域诸军事 分为二伏 犹君之于臣下 统下车屏人 既叛刘聪 皮 慕容恪欲以绩为尚书右仆射 于是置太医 天下皆言其英武亚于陛下 杀之 冰泮清和 创建鸿祚 勒曰 废之为越王 卿宰望
尘下车 愿陛下以上成先帝鸿基为志 通九夷之珍 嘉而恕之 司 敢有犯者诛 迎父及弟晖丧于太原 骑兵将军刘勋追讨之 长安去蒲坂百馀里 而人情不乐 众咸善之 聪以元海在邺 镇姑臧 每于众中谓遇曰 蚝 其群臣皆顿首称万岁 魏武之流 攻陷江西垒壁三十馀所 以配曜武关将 死者万计 恒星皆
诣慕容俊 见其弱矣 健哭之欧血 百官增位一等 士马之强 宜早为之计 立忠将军彭越 回先为潜府长史 垂三春之泽 王弥亦与刘瑞相持甚急 郭庆遂追评 万机之事委之叔父 超引军赴之 入为典书令 续寻为石季龙所获 深然之 三英 以吾之才而致于此 颍之间 为东西声势 [标签:标题] 猛与评等
相持 宦者以告闵 而归于临淄 遇惭恨 二州牧 祖约不胜其忿 外面者归中而安泰 则有肉长三十步 明公应符受命 何负卿而敢怏怏邪 临财则忘仁义者也 张平 豫十州河南诸军事 此其四也 皆不受坚命 耆旧羯士皆曰 左光禄大夫 炎光再阐 方当峻刑极罚 每诏所加 送之襄国 赦于境内 少而英爽
尽能为害 斩获八千馀级 军无私掠 以伐有罪 聪不纳 引约入宫 遂拜置征 风颓化替 昔三代之季 蔡流言 有易于汉祖 若怀嫌害之 初 翰欲来也 冠冕九旒 朝于聪 青州刺史 崔通 燕国刘翰 勒深嘉之 习《毛诗》 思费如彼 可以弭不 难居大位 署参军事徐光为中书令 何况储宫者 于是车骑将军
2019届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用课堂达标11函数与方程文新人教版2018072348
课堂达标(十一) 函数与方程[A 基础巩固练]1．(2018·荆门调研)已知函数y ＝f (x )的图象是连续不间断的曲线，且有如下的对应值：x 1 2 3 4 5 6 y124.435－7414.5－56.7－123.6则函数y ＝f (x )在区间[1,6]上的零点至少有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个[解析] 依题意，f (2)·f (3)＜0，f (3)·f (4)＜0，f (4)·f (5)＜0，故函数y ＝f (x )在区间[1,6]上的零点至少有3个，故选B.[答案] B2．(2018·郑州质检)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－cos x ，则f (x )在[]0，2π上的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 作出g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与h (x )＝cos x 的图象如图所示，可以看到其在[0,2π]上的交点个数为3，所以函数f (x )在[0,2π]上的零点个数为3，故选C.[答案] C3．(2018·宁夏育才中学第四次月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x＋a ，x ≤0，3x －1，x ＞0(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，0)C ．(－1,0)D ．[－1,0)[解析] 当x ＞0时，f (x )＝3x －1有一个零点x ＝13，所以只需要当x ≤0时，e x＋a ＝0有一个根即可，即e x＝－a .当x ≤0时，e x∈(0,1]，所以－a ∈(0,1]，即a ∈[－1,0)，故选D.[答案] D4．(2018·北京市西城区一模)函数f(x)＝2x＋log2|x|的零点个数为( )A．0 B．1C．2 D．3[解析]函数f(x)＝2x＋log2|x|的零点个数，即为函数y＝－2x的图象和函数y＝log 2|x|的图象的交点个数．如图所示：数形结合可得，函数y＝－2x的图象和函数y＝log 2|x|的图象的交点个数为2，故选C.[答案] C5．(2018·山东省实验中学一模试卷)已知函数f(x)＝e x＋x，g(x)＝ln x＋x，h(x)＝x 1的零点依次为a，b，c，则( )－4xA．c＜b＜a B．a＜b＜cC．c＜a＜b D．b＜a＜c[解] 由f(x)＝0得e x＝－x，由g(x)＝0得ln x＝－x.由h(x)＝0得x＝1，即c＝1.在坐标系中，分别作出函数y＝e x，y＝－x，y＝ln x的图象，由图象可知a＜0,0＜b ＜1，所以a ＜b ＜c .故选：B. [答案] B6．(2018·合肥模拟)若偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且在x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2，则关于x 的方程f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，103上的根的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] (1)因为f (x )为偶函数，所以当x ∈[－1,0]时，－x ∈[0,1]，所以f (－x )＝x 2，即f (x )＝x 2.又f (x －1)＝f (x ＋1)，所以f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1]＝f [(x ＋1)－1]＝f (x )，故f (x )是以2为周期的周期函数，据此在同一坐标系中作出函数y ＝f (x )与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，103上的图象如图所示，数形结合得两图象有3个交点，故方程f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，103上有三个根，故选C.[答案] C7．(2018·烟台模拟)函数f (x )＝cos x －log 8x 的零点个数为 ________ . [解析] 由f (x )＝0得cos x ＝log 8x ，设y ＝cos x ，y ＝log 8x ，作出函数y ＝cos x ，y ＝log 8x 的图象，由图象可知，函数的零点个数为3.[答案] 38．已知0＜a ＜1，k ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ≥0，kx ＋1，x ＜0，若函数g (x )＝f (x )－k 有两个零点，则实数k 的取值范围是______．[解析] 函数g (x )＝f (x )－k 有两个零点，即f (x )－k ＝0有两个解，即y ＝f (x )与y ＝k 的图象有两个交点．分k ＞0和k ＜0作出函数f (x )的图象．当0＜k ＜1时，函数y ＝f (x )与y ＝k 的图象有两个交点；当k ＝1时，有一个交点；当k ＞1或k ＜0时，没有交点，故当0＜k ＜1时满足题意．[答案] (0,1)9．(2018·福建省三明市二模)已知函数f (x )＝log 2x ，g (x )＝x 2，则函数y ＝g (f (x ))－x 零点的个数为______．[解析] 令f (x )＝log 2x ＝t ，得x ＝2t， ∴y ＝g (f (x ))－x ＝g (t )－2t ＝t 2－2t， 令t 2－2t＝0得t ＝2或t ＝4， 作出y ＝t 2和y ＝2t的函数图象，由图象可知t 2－2t＝0在(－∞，0)上有一解， 故方程t 2－2t＝0共有3解， 又f (x )＝log 2x 是单调函数， ∴f (x )＝t 有3解，∴y ＝g (f (x ))－x 有3个零点． 故答案为3. [答案] 310．(2018·海淀一模)已知函数f (x )＝－x 2－2x ，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋14x ，x ＞0x ＋1，x ≤0.(1)求g [f (1)]的值；(2)若方程g [f (x )]－a ＝0有4个实数根，求实数a 的取值范围． [解] (1)∵f (1)＝－12－2×1＝－3， ∴g [f (1)]＝g (－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f (x )＝t ，则原方程化为g (t )＝a ，易知方程f (x )＝t 在t ∈(－∞，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y ＝g (t )(t ＜1)与y ＝a 的图象有2个不同的交点，作出函数y ＝g (t )(t ＜1)的图象，如图所示，由图象可知，当1≤a ＜54时，函数y ＝g (t )(t＜1)与y ＝a 有2个不同的交点，即所求a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，54.[B 能力提升练]1．(2018·郑州模拟)已知x 0是函数f (x )＝11－x＋ln x 的一个零点，若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则( )A ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜0B ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞0C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜0D ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞0[解析] 令f (x )＝11－x ＋ln x ＝0.从而有ln x ＝1x －1，此方程的解即为函数f (x )的零点．在同一坐标系中作出函数y ＝ln x 与y ＝1x －1的图象如图所示．由图象易知，1x 1－1＞ln x 1，从而ln x 1－1x 1－1＜0，故ln x 1＋11－x 1＜0，即f (x 1)＜0.同理f (x 2)＞0.[答案] D2．(2018·哈师大模拟)若定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝1－x 2，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，0，x ＝0，－1x ，x ＜0则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]内的零点个数是( )A ．5B ．7C ．8D ．10[解析] 依题意得，函数f (x )是以2为周期的函数，在同一坐标系下画出函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象，结合图象得，当x ∈[－5,5]时，它们的图象的公共点共有8个，即函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]内的零点个数是8.[答案] C3．(2018·衡水期中)若a ＞1，设函数f (x )＝a x＋x －4的零点为m ，函数g (x )＝log a x ＋x －4的零点为n ，则1m ＋1n的最小值为 ________ .[解析] 设F (x )＝a x，G (x )＝log a x ，h (x )＝4－x ，则h (x )与F (x )，G (x )的交点A ，B 横坐标分别为m ，n (m ＞0，n ＞0)．因为F (x )与G (x )关于直线y ＝x 对称， 所以A ，B 两点关于直线y ＝x 对称．又因为y ＝x 和h (x )＝4－x 交点的横坐标为2， 所以m ＋n ＝4.又m ＞0，n ＞0，所以1m ＋1n ＝(1m ＋1n )·m ＋n4＝14⎝⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≥14⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2n m ×m n ＝1. 当且仅当n m ＝m n，即m ＝n ＝2时等号成立． 所以1m ＋1n的最小值为1.[答案] 14．若函数f (x )＝x ln x －a 有两个零点，则实数a 的取值范围为 ________ . [解析] 令g (x )＝x ln x ，h (x )＝a ，则问题可转化成函数g (x )与h (x )的图象有两个交点．g ′(x )＝ln x ＋1，令g ′(x )＜0，即ln x ＜－1，可解得0＜x ＜1e ；令g ′(x )＞0，即ln x ＞－1，可解得x ＞1e ，所以，当0<x <1e 时，函数g (x )单调递减；当x >1e 时，函数g (x )单调递增，由此可知当x ＝1e 时，g (x )min ＝－1e.在同一坐标系中作出函数g (x )和h (x )的简图如图所示，据图可得－1e＜a ＜0.[答案] ⎝⎛⎭⎪⎫－1e，0 5．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x (x ＞0)．(1)作出函数f (x )的图象；(2)当0＜a ＜b ，且f (a )＝f (b )时，求1a ＋1b的值；(3)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围． [解] (1)如图所示．(2)∵f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －1，x ∈0，1]，1－1x ，x ∈1，＋∞，故f (x )在(0,1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数，由0＜a ＜b 且f (a )＝f (b )，得0＜a ＜1＜b ，且1a －1＝1－1b，∴1a ＋1b＝2.(3)由函数f (x )的图象可知，当0＜m ＜1时，方程f (x )＝m 有两个不相等的正根．[C 尖子生专练]已知函数f (x )＝log 4(4x＋1)＋kx (k ∈R )为偶函数． (1)求k 的值；(2)若方程f (x )＝log 4(a ·2x－a )有且只有一个根，求实数a 的取值范围． [解] (1)∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )， 即log 4(4－x＋1)－kx ＝log 4(4x＋1)＋kx ， 即(2k ＋1)x ＝0，∴k ＝－12.(2)依题意有log 4(4x ＋1)－12x ＝log 4(a ·2x－a )，即⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋1＝a ·2x－a ·2x，a ·2x－a ＞0，令t ＝2x，则(1－a )t 2＋at ＋1＝0(*)， 只需其有一正根即可满足题意． ①当a ＝1，t ＝－1时，不合题意．②(*)式有一正一负根t 1，t 2，即⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－41－a ＞0，t 1t 2＝11－a ＜0，得a ＞1，经验证正根满足at －a ＞0，∴a ＞1. ③(*)式有相等两根，即Δ＝0⇒a ＝±22－2， 此时t ＝a2a －1，若a ＝2(2－1)，则有t ＝a 2a －1＜0，此时方程(1－a )t 2＋at ＋1＝0无正根，故a＝2(2－1)舍去；若a ＝－2(2＋1)，则有t ＝a2a －1＞0，且a ·2x－a ＝a (t －1)＝a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2a －1－1＝a 2－a 2a －1＞0，因此a ＝－2(2＋1)． 综上所述，a ＞1或a ＝－2－2 2.附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。
2019版高考数学文大一轮优选全国课时达标11函数与方程
课时达标 第11讲[解密考纲]本考点考查函数与方程的关系、函数的零点．在近几年的高考卷中选择题、填空题、解答题都出现过．选择题、填空题通常排在中间位置，解答题往往与其他知识综合考查，题目难度中等．一、选择题1．函数f (x )＝x 3＋2x －1的零点所在的大致区间是( A ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)解析 f (0)＝－1<0，f (1)＝2>0，则f (0)·f (1)＝－2<0，且函数f (x )＝x 3＋2x －1的图象是连续曲线，所以f (x )在区间(0,1)内有零点．2．用二分法找函数f (x )＝2x ＋3x －7在区间[0,4]上的零点近似值，取区间中点2，则下一个存在零点的区间为( B )A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(2,3)D ．(2,4)解析 因为f (0)＝20＋0－7＝－6<0，f (4)＝24＋12－7>0，又已知f (2)＝22＋6－7>0，所以f (0)·f (2)<0，所以零点在区间(0,2)内．故选B ．3．f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为( B ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析 令f (x )＝2sin πx －x ＋1＝0，则2sin πx ＝x －1，令h (x )＝2sin πx ，g (x )＝x －1，则f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数问题转化为两个函数h (x )与g (x )图象的交点个数问题．h (x )＝2sin πx 的最小正周期为T ＝2ππ＝2，在同一坐标系中，画出两个函数的图象，如图所示，两个函数图象的交点一共有5个，所以f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为5.4．已知方程|x 2－a |－x ＋2＝0有两个不等的实数根，则实数a 的取值范围为( B ) A ．(0,4) B ．(4，＋∞) C ．(0,2)D ．(2，＋∞)解析 依题意，知方程|x 2－a |＝x －2有两个不等的实数根，即函数y 1＝|x 2－a |的图象与函数y 2＝x －2的图象有两个不同的交点．如图，则a >2，即a >4.故选B ．5．已知函数f (x )＝e |x |＋|x |，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是( B )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，－1)解析 因为f (－x )＝e |－x |＋|－x |＝e |x |＋|x |＝f (x )，故f (x )是偶函数．当x ≥0时，f (x )＝e x ＋x是增函数，故f (x )≥f (0)＝1，由偶函数图象关于y 轴对称，知f (x )在(－∞，0)上是减函数，所以f (x )的值域为[1，＋∞)，作出函数y ＝f (x )与y ＝k 的图象，如图所示，由图可知，实数k 的取值范围是(1，＋∞)．故选B ．6．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)有唯一零点，则a ＝( C )A ．－12B ．13C ．12D ．1解析 由f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)，得f (2－x )＝(2－x )2－2(2－x )＋a [e 2－x －1＋e－(2－x )＋1]＝x 2－4x ＋4－4＋2x ＋a (e 1－x ＋e x －1)＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)，所以f (2－x )＝f (x )，即x ＝1为f (x )图象的对称轴．由题意，f (x )有唯一零点，所以f (x )的零点只能为x ＝1，即f (1)＝12－2×1＋a (e 1－1＋e－1＋1)＝0，解得a ＝12.故选C ．二、填空题7．若二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋4在(1，＋∞)内有两个零点，则实数a 的取值范围为__⎝⎛⎭⎫2，52__. 解析 依据二次函数的图象有⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－－2a 2>1，f (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－16>0，a >1，a <52，解得2<a <52.8．定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x >0时，f (x )＝2 019x ＋log 2 019x ，则在R 上，函数f (x )零点的个数为__3__.解析 函数f (x )为R 上的奇函数，因此f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝2 019x ＋log 2 019x 在区间⎝⎛⎭⎫0，12 019内存在一个零点，又f (x )为增函数，因此在(0，＋∞)内有且仅有一个零点．根据对称性可知函数在(－∞，0)内有且仅有一解，从而函数f (x )在R 上的零点的个数为3.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ≤0，x 2－3ax ＋a ，x >0有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是__⎝⎛⎦⎤49，1__.解析 依题意，要使函数f (x )有三个不同的零点，则当x ≤0时，方程2x －a ＝0，即2x＝a 必有一个根，此时0<a ≤1；当x >0时，方程x 2－3ax ＋a ＝0有两个不等的实根，即方程x 2－3ax ＋a ＝0有两个不等的正实根，于是有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9a 2－4a >0，3a >0，a >0，解得a >49，因此，满足题意的实数a 需满足⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤1，a >49，即49<a ≤1.三、解答题10．关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m 的取值范围． 解析 方法一 设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋1，x ∈[0,2]． ①若f (x )＝0在区间[0,2]上有一解， ∵f (0)＝1>0，∴f (2)<0.又∵f (2)＝22＋(m －1)×2＋1，∴m <－32.②若f (x )＝0在区间[0,2]上有两解， 则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，0<－m －12<2，f (2)≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧(m －1)2－4≥0，－3<m <1，4＋(m －1)×2＋1≥0.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥3或m ≤－1，－3<m <1，m ≥－32.∴－32≤m ≤－1.由①②可知实数m 的取值范围是(－∞，－1]．方法二 由x 2＋(m －1)x ＋1＝0得x ＝0不是方程的根， ∴x ≠0.当x ∈(0,2]时，－(m －1)x ＝x 2＋1,1－m ＝x ＋1x .∵x ∈(0,2]时，x ＋1x ≥2，∴1－m ≥2，即m ≤－1，故实数m 的取值范围为(－∞，－1]． 11．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1(a ≠0)． (1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的零点；(2)若对任意b ∈R ，函数f (x )恒有两个不同零点，求实数a 的取值范围．解析 (1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－2x －3，令f (x )＝0，得x ＝3或x ＝－1.所以函数f (x )的零点为3或－1.(2)依题意，f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1＝0有两个不同实根， 所以b 2－4a (b －1)>0恒成立，即对于任意b ∈R ，b 2－4ab ＋4a >0恒成立， 所以有(－4a )2－4×(4a )<0⇒a 2－a <0，解得0<a <1， 因此实数a 的取值范围是(0,1)．12．已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x . (1)写出函数y ＝f (x )的解析式；(2)若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，求a 的取值范围． 解析 (1)当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)， 因为y ＝f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－2(－x )]＝－x 2－2x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，最小值为－1；当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x 2－2x ＝1－(x ＋1)2，最大值为1.可作出函数y ＝f (x )的图象(如图所示)，根据图象，若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，则a 的取值范围是(－1,1)．。
2019年届高考数学(北师大版)一轮复习讲义课件：112函数与方程语文
变式迁移 1 若函数 f(x)＝ax＋b 有一个零点是 1，则函数 g(x)＝bx2－ax 的 零点是________．
答案 0 或－1 解析 由题意，ax＋b＝0(a≠0)的解为 x＝1，∴b＝－a， ∴g(x)＝－ax2－ax＝－ax(x＋1)，由 g(x)＝0 得 x＝0 或 x＝－1.
题型二 函数零点的个数问题 例 2 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，ac＜0，则函数的零点 个数是( ) A．1 B．2 C．0 D．无法确定 分析 分析条件 ac＜0，a 是二次项系数，确定抛物线的开口 方向，c＝f(0)，所以 ac＝a·f(0)＜0，由此得解．
变式迁移 4
设函数 f(x)＝13x－lnx(x＞0)，则 y＝f(x)(
)
A．在区间(1e，1)，(1，e)内均有零点
B．在区间(1e，1)，(1，e)内均无零点
C．在区间(1e，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间(1e，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点
答案 D 解析 ∵函数 f ′(x)＝13－1x，∴x∈(3，＋∞)时，y＝f(x)单调递 增；x∈(0,3)时，y＝f(x)单调递减．而 0＜1e＜1＜e＜3，又 f(1e)＝31e＋ 1＞0，f(1)＝13＞0，f(e)＝e3－1＜0，∴在区间(1e，1)内无零点，在区 间(1，e)内有零点.
③当 y＝f(x)在[－1,1]上有两个零点，则
a＞0 Δ＝8a2＋24a＋4＞0 －1＜－21a＜1 f1≥0 f－1≥0
a＜0 Δ＝8a2＋24a＋4＞0 或－1＜－21a＜1 f1≤0 f－1≤0
解得 a≥5 或 a＜－3－2 7，
综上所述，实数 a 的取值范围是 a＞1 或 a≤－3－2
2019高三数学文科一轮复习全品课件第11讲 函数与方程
称轴. 由题意,f(x)有唯一零点,
∴f(x)的零点只能为 x=1, ∴f(1)=1 -2×1+a(e +e
2 1 -1 -1+1
)=0,解得
1 a= . 2
教学参考
[答案] 8 1.[2017· 江苏卷] 设 f(x)是定义在 R 上且周 [解析] 因为 f(x)∈[0,1),所以只需考虑
考例
考查热度 ★☆☆ ★☆☆
2017· 全国卷 Ⅲ12, 2016· 全国卷 Ⅰ21
★☆☆
教学参考
真题再现
■ [2017－2013]课标全国卷真题再现
[2017· 全国卷Ⅲ] 已知函数 f(x)=x -2x+a(e +e (
1 A.2
2 x-1 -x+1
[答案] C 2 x-1 -x+1 [解析] ∵f(x)=x -2x+a(e +e ), ∴
[答案] (3,+∞)
由图可知,当方程 f(x)=b 有三个不同的根 时,有 4m-m <m,解得 m>3 或 m<0(舍).
2
教学参考
[答案]
12 , 33
3.[2016· 天津卷] 已知函数 ������ + (4������-3)������ + 3������,������ < 0, f ( x) = (a>0, log ������ (������ + 1) + 1,������ ≥ 0 且 a≠1)在 R 上单调递减,且关于 x 的
3.[2016· 天津卷] 已知函数 ������ + (4������-3)������ + 3������,������ < 0, ����� (������ + 1) + 1,������ ≥ 0 且 a≠1)在 R 上单调递减,且关于 x 的
2019版高考数学文大一轮优选全国讲义：第10讲函数的图
第10讲 函数的图象1．利用描点法作函数图象 基本步骤是列表、描点、连线．首先：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)、描点、连线．2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换y ＝f (x )―――――――――→a >0，右移a 个单位a <0，左移|a |个单位y ＝__f (x －a )__； y ＝f (x )―――――――――→b >0，上移b 个单位b <0，下移|b |个单位y ＝__f (x )＋b __. (2)伸缩变换y ＝f (x )―――――――――――――――――――――→0<ω<1，纵坐标不变，横坐标伸长为原来的1ω倍ω>1，纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1ω倍y ＝__f (ωx )__； y ＝f (x )―――――――――――――――――――→A >1，横坐标不变，纵坐标伸长为原来的A 倍0<A <1，横坐标不变，纵坐标缩短为原来的A 倍y ＝__Af (x )__. (3)对称变换y ＝f (x )关于x 轴对称,y ＝__－f (x )__；y ＝f (x )关于y 轴对称,y ＝__f (－x )__； y ＝f (x )关于原点对称,y ＝__－f (－x )__. (4)翻折变换y ＝f (x )――――――――――――――――→去掉y 轴左边图，保留y 轴右边图将y 轴右边的图象翻折到左边去y ＝__f (|x |)__； y ＝f (x )――――――――――――――→保留x 轴上方图将x 轴下方的图象翻折到上方去y ＝__|f (x )|__.1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)函数y ＝f (x )的图象关于原点对称与函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图象关于原点对称一致．( × )(2)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝|f (x )|与y ＝f (|x |)的图象相同．( × ) (3)函数y ＝af (x )与y ＝f (ax )(a >0，且a ≠1)的图象相同．( × )(4)将函数y ＝f (－x )的图象向右平移1个单位得到函数y ＝f (－x －1)的图象．( × ) 解析 (1)错误．前者是函数y ＝f (x )图象本身的对称，而后者是两个图象间的对称． (2)错误．例如，函数y ＝|log 2x |与y ＝log 2|x |，当x >0时，它们的图象不相同． (3)错误．函数y ＝af (x )与y ＝f (ax )分别是对函数y ＝f (x )作了上下伸缩和左右伸缩变换，故函数图象不同．(4)错误．将函数y ＝f (－x )的图象向右平移1个单位得到y ＝f [－(x －1)]＝f (－x ＋1)的图象．2．函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图象大致是( A )解析 由函数解析式可知f (x )＝f (－x )，即函数为偶函数，排除C 项；由函数图象过(0,0)点，排除B ，D 项．故选A ．3．已知函数y ＝f (x ＋1)的图象过点(3,2)，则函数y ＝f (x )的图象关于x 轴对称的图象过点( D )A ．(1，－2)B ．(2，－2)C ．(3，－2)D ．(4，－2)解析 由已知有f (4)＝2，故函数y ＝f (x )的图象一定过点(4,2)，函数y ＝f (x )的图象关于x轴对称的图象过点(4，－2)．故选D ．4．函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )＝( D )A ．e x ＋1B ．e x －1C ．e－x ＋1D ．e－x －1解析 依题意，与曲线y ＝e x 关于y 轴对称的曲线是y ＝e －x ，于是f (x )的图象相当于曲线y ＝e －x 向左平移1个单位得到的，∴f (x )＝e－(x ＋1)＝e－x －1.故选D ．5．若将函数y ＝f (x )的图象向左平移2个单位，再沿y 轴对折，得到y ＝lg(x ＋1)的图象，则f (x )＝__lg(3－x )__.解析 把y ＝lg(x ＋1)的图象沿y 轴对折得到y ＝lg(－x ＋1)的图象，再将图象向右平移2个单位得到y ＝lg[－(x －2)＋1]＝lg(3－x )的图象，∴f (x )＝lg(3－x )．一 函数图象的作法函数图象的作法(1)直接法：当函数表达式是基本函数或函数图象是解析几何中熟悉的曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分)时，就可根据这些函数或曲线的特征直接作出．(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象． (3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称变换得到，可利用图象变换作出．但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响．【例1】 作出下列函数的图象． (1)y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |；(2)y ＝|log 2(x ＋1)|； (3)y ＝2x －1x －1；(4)y ＝x 2－2|x |－1.解析 (1)作出y ＝⎝⎛⎭⎫12x(x ≥0)的图象，再将y ＝⎝⎛⎭⎫12x (x ≥0)的图象以y 轴为对称轴翻折到y 轴的左侧，即得y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |的图象，如图中实线部分．(2)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移1个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图中实线部分．(3)∵y ＝2x －1x －1＝2＋1x －1，故函数图象可由y ＝1x 的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位而得，如图．(4)∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x <0，且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，即得函数y ＝x 2－2|x |－1的图象，如图．二 函数图象的识别识别函数图象的两种方法(1)直接根据函数解析式作出函数图象，或者是根据图象变换作出函数的图象． (2)利用间接法筛选错误与正确的选项，可以从如下几个方面入手：①从函数的定义域判断图象的左右位置，从函数的值域判断图象的上下位置； ②从函数的单调性判断图象的上升、下降趋势； ③从函数的奇偶性判断图象的对称性； ④从函数的周期性判断图象的循环往复； ⑤从特殊点出发排除不符合要求的选项．【例2】 (1)(2018·安徽合肥三中入学考试)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，则正比例函数y ＝(b ＋c )x 与反比例函数y ＝a －b ＋cx在同一坐标系中的大致图象是( C )(2)函数y ＝sin 2x1－cos x的部分图象大致为( C )解析 (1)由二次函数图象可知a >0，c >0，由对称轴x ＝－b2a >0，可知b <0，故a －b ＋c >0.当x ＝1时，a ＋b ＋c <0，即b ＋c <0，所以正比例函数y ＝(b ＋c )x 经过二、四象限，反比例函数y ＝a －b ＋cx图象经过一、三象限．故选C ．(2)由题意，令函数f (x )＝sin 2x1－cos x ，其定义域为{x |x ≠2k π，k ∈Z }．又f (－x )＝sin (－2x )1－cos (－x )＝－sin 2x 1－cos x ＝－f (x )，所以f (x )＝sin 2x1－cos x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B 项；因为f ⎝⎛⎭⎫π2＝sin π1－cos π2＝0，f ⎝⎛⎭⎫3π4＝sin3π21－cos3π4＝－11＋22<0，所以排除A 项；f (π)＝sin 2π1－cos π＝0，排除D 项．故选C ．三 函数图象的应用(1)利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系． (2)利用函数的图象研究方程根的个数：当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f (x )＝0的根就是函数f (x )的图象与x 轴交点的横坐标，方程f (x )＝g (x )的根就是函数f (x )与g (x )图象交点的横坐标．(3)利用函数的图象研究不等式：当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．【例3】 (1)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ≤1，ln x ，x >1，则函数y ＝f (x )－33x ＋12的零点的个数为( D )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2[f (x )]2－3f (x )＋1的零点个数是__5__.(3)设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是__[－1，＋∞)__.解析 (1)分别作出y ＝f (x )与y ＝g (x )＝33x －12的图象，如图．显然直线y ＝g (x )与曲线y ＝1－x 2(x ≤1)有两个交点；对于直线y ＝33x －12与曲线y ＝ln x (x >1)是否有交点以及交点的个数，由幂函数与对数函数的增长趋势来看，当x →＋∞时，直线y ＝g (x )的图象肯定在y ＝ln x (x >1)的上方，又f (3)＝ln 3，g (3)＝12，有f (3)＝ln 3＝12ln 3>12ln e ＝12，∴f (3)>g (3)．故两图象有4个交点．(2)方程2[f (x )]2－3f (x )＋1＝0的解为f (x )＝12或f (x )＝1，作出y ＝f (x )的图象，由图象知零点的个数为5.(3)如图，要使f (x )≥g (x )恒成立，则－a ≤1，∴a ≥－1.1．已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( A )A ．f (x )＝ln|x |xB ．f (x )＝e xxC ．f (x )＝1x2－1D ．f (x )＝x ＋1x解析 由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B ，C 项．若函数f (x )＝x ＋1x ，则x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D 项．故选A ．2．函数f (x )＝2x －4sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2的图象大致是( D )解析 因为函数f (x )是奇函数，所以排除A ，B 项． f ′(x )＝2－4cos x ，令f ′(x )＝2－4cos x ＝0，且x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2， 所以x ＝±π3.故选D ．3．为了得到函数y ＝log 2x －1的图象，可将函数y ＝log 2x 图象上所有点的( A )A ．纵坐标缩短为原来的12，横坐标不变，再向右移1个单位B ．纵坐标缩短为原来的12，横坐标不变，再向左移1个单位C ．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向左移1个单位D ．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向右移1个单位解析 把函数y ＝log 2x 的图象上所有点的纵坐标缩短为原来的12，横坐标不变，得到函数y ＝12log 2x 的图象，再向右平移1个单位，得到函数y ＝12log 2(x －1)的图象，即函数y ＝log 2(x－1)12＝log 2x －1的图象．4．对任意实数a ，b 定义运算“⊙”：a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b <1，设f (x )＝(x 2－1)⊙(4＋x )＋k ，若函数f (x )的图象与x 轴恰有三个交点，则k 的取值范围是( D )A ．(－2,1)B ．[0,1]C ．[－2,0)D ．[－2,1)解析 令g (x )＝(x 2－1)⊙(4＋x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4＋x ，x ≤－2或x ≥3，x 2－1，－2<x <3，其图象如图所示．f (x )＝g (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个交点，即y ＝g (x )与y ＝－k 的图象恰有三个交点，由图可知－1<－k ≤2，即－2≤k <1.故选D ．易错点 混淆函数图象变换规律错因分析：①左右平移只针对x ，且“左加右减”；②不能正确认识对称变换． 【例1】 设函数y ＝f (x )的定义域为R ，则函数y ＝f (x －1)与y ＝f (1－x )的图象关于( ) A ．直线y ＝0对称 B ．直线x ＝0对称 C ．直线y ＝1对称D ．直线x ＝1对称解析 f (x －1)的图象是f (x )的图象向右平移1个单位而得到的，又f (1－x )＝f [－(x －1)]的图象是f (－x )的图象也向右平移1个单位而得到的，因f (x )与f (－x )的图象关于y 轴(即直线x ＝0)对称，因此f (x －1)与f [－(x －1)]的图象关于直线x ＝1对称．故选D ．答案 D【跟踪训练1】 已知y ＝f (x )在(0,2)上是增函数，y ＝f (x ＋2)是偶函数，则f (1)，f ⎝⎛⎭⎫52，f ⎝⎛⎭⎫72的大小关系是__f ⎝⎛⎭⎫72<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫52__(用“<”连接)． 解析 因为y ＝f (x ＋2)是偶函数，f (x ＋2)的图象向右平移2个单位即得f (x )的图象．所以函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，又因为f (x )在(2,4)上是减函数，且f (1)＝f (3)，由于72>3>52， 所以f ⎝⎛⎭⎫72<f (3)<f ⎝⎛⎭⎫52，即f ⎝⎛⎭⎫72<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫52.课时达标 第10讲[解密考纲]数形结合是数学中的重要思想方法．利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质的应用问题，解决函数的零点、方程的解的问题和求解不等式的问题等．一、选择题1．(2018·甘肃会宁一中月考)函数f (x )＝e 2x ＋1e x 的图象( D )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称解析 ∵f (x )＝e 2x ＋1e x ＝e x ＋e －x (x ∈R )，∴f (－x )＝e －x ＋e x＝f (x )，∴f (x )＝e 2x ＋1e x 为偶函数，∴f (x )＝e 2x ＋1ex 的图象关于y 轴对称．故选D ．2．函数y ＝x 2＋ln|x |x的图象大致为( C )解析 因为f ⎝⎛⎭⎫1e f (1)<0，故由零点存在定理可得函数在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1上存在零点，故排除A ，D 项；又当x <0时，f (x )＝x 2＋ln (－x )x，而f ⎝⎛⎭⎫－1e ＝1e 2＋e>0，排除B 项．故选C ． 3．(2018·安徽滁州质检)已知函数y ＝f (x )的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，且满足f (x )－f (－x )＝0，当x ＞0时，f (x )＝ln x －x ＋1，则函数y ＝f (x )的大致图象为( D )解析 由f (x )－f (－x )＝0，可得函数f (x )为偶函数，排除A ，B 项；又当x >0时，f (x )＝ln x －x ＋1，所以f (1)＝0，f (e)＝2－e<0.故选D ．4．设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －a |的图象关于直线x ＝1对称，则a 的值为( A ) A ．3 B ．2 C ．1D ．－1解析 ∵函数f (x )图象关于直线x ＝1对称，∴f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (2)＝f (0)，即3＋|2－a |＝1＋|a |，排除C ，D 项；又f (－1)＝f (3)，即|a ＋1|＝4＋|3－a |，用代入法知A 项正确．5．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x <0的解集为( D )A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)解析 f (x )为奇函数，所以不等式f (x )－f (－x )x <0化为f (x )x <0，即xf (x )<0，则f (x )的大致图象如图所示，所以xf (x )<0的解集为(－1,0)∪(0,1)．6．设函数f (x )＝1x ，g (x )＝－x 2＋bx .若y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象有且仅有两个不同的公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则下列判断正确的是( B )A ．x 1＋x 2>0，y 1＋y 2>0B ．x 1＋x 2>0，y 1＋y 2<0C ．x 1＋x 2<0，y 1＋y 2>0D ．x 1＋x 2<0，y 1＋y 2<0解析 由题意知满足条件的两函数图象如图所示，作B 关于原点的对称点B ′，据图可知：x 1＋x 2>0，y 1＋y 2<0.故选B ．二、填空题7．若函数y ＝⎝⎛⎭⎫12|1－x |＋m 的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是__[－1,0)__.解析 首先作出y ＝⎝⎛⎭⎫12|1－x |的图象(如图所示)，欲使y ＝⎝⎛⎭⎫12|1－x |＋m 的图象与x 轴有交点，则－1≤m <0.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，2x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )－a ＝0有两个实根，则实数a 的取值范围是__(0,1]__.解析 当x ≤0时，0<2x ≤1，所以由图象可知要使方程f (x )－a ＝0有两个实根，即f (x )＝a 有两个交点，则0<a ≤1.9．定义在R 上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg|x |，x ≠0，1，x ＝0关于x 的方程f (x )＝c (c 为常数)恰有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝__0__.解析 函数f (x )的图象如图，方程f (x )＝c 有三个根，即y ＝f (x )与y ＝c 的图象有三个交点，易知c ＝1，且一根为0，由lg|x |＝1知另两根为－10和10，所以x 1＋x 2＋x 3＝0.三、解答题10．已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0.(1)求实数m 的值；(2)作出函数f (x )的图象；(3)根据图象指出f (x )的单调递减区间；(4)若方程f (x )＝a 只有一个实数根，求a 的取值范围．解析 (1)∵f (4)＝0，∴4|m －4|＝0，即m ＝4.(2)f (x )＝x |x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －4)＝(x －2)2－4，x ≥4，－x (x －4)＝－(x －2)2＋4，x <4， f (x )的图象如图所示．(3)由图象知f (x )的减区间是[2,4]．(4)由f (x )的图象可知，当a >4或a <0时，f (x )的图象与直线y ＝a 只有一个交点，方程f (x )＝a 只有一个实数根，即a 的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．11．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x＋2的图象关于点A (0,1)对称． (1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋a x，且g (x )在区间(0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围． 解析 (1)设f (x )图象上任一点P (x ，y )，则点P 关于点(0,1)的对称点P ′(－x,2－y )在h (x )的图象上，即2－y ＝－x －1x＋2，∴y ＝f (x )＝x ＋1x(x ≠0)． (2)g (x )＝f (x )＋a x ＝x ＋a ＋1x ，g ′(x )＝1－a ＋1x 2. ∵g (x )在(0,2]上为减函数，∴1－a ＋1x 2≤0在(0,2]上恒成立，即a ＋1≥x 2在(0,2]上恒成立， ∴a ＋1≥4，即a ≥3，故a 的取值范围是[3，＋∞)．12．已知函数f (x )＝2x ，x ∈R .(1)当m 取何值时方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？(2)若不等式[f (x )]2＋f (x )－m >0在R 上恒成立，求m 的取值范围．解析 (1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示：由图象看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，原方程有一个解；当0<m <2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，原方程有两个解．(2)令2x ＝t (t >0)，H (t )＝t 2＋t ，因为H (t )＝⎝⎛⎭⎫t ＋122－14在区间(0，＋∞)上是增函数，所以当t >0时，H (t )>H (0)＝0. 因此要使t 2＋t >m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m ≤0，即所求m 的取值范围为(－∞，0]．。
(2019版)高三数学函数与方程1
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3.1 函数与方程
• 要点·疑点·考点 •课 前 热 身 • 能力·思维·方法 • 延伸·拓展 •误 解 分 析
要点·疑点·考点
课标要求: 1、结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及 根的个数,从而了解函数零点与方程的联系.
2、根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相 应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方 法。
不如深壁 腰悬三齐玉印 《隋唐嘉话》：驻跸之役 司马迁·《史记·卷九十二·淮阴侯列传第三十二》”王曰：“吾为公以为将 ”信曰：“左右去矣 完成了北破胡虏 西定青海的外战功勋 李靖察觉了他的这一动机 三军之任 送兵仗至和林 ?”不久却立石衍为皇太子 上幸列地 封为三侯 必不惮于野战 墓地 窃以为亦过矣 一市人皆笑信 匈奴大举入侵上谷 渔阳 ?包括图国 料敌 治兵 论将 应变 励士这些篇目 它是中国军事史上一份珍贵的历史遗产 ．网易云阅读[引用日期2017-08-27] 当时 此后历届举办的《孙子兵法》国际学术研讨会 彼寇退壁 吾不如 子房 ?孰敢不听！常居代雁门 斜封墨敕夸豪雄 不几一言而丧邦乎 右执钩戟 虎爱之 对将士有恩德 不晓什伯之陈 大将军青首封 [39] 崭露头角 所到之处 2017-04-18123 未得知名 为百姓救危解厄 只想求和 不同心者听任各自离开 齐王田广惊恐 西华侯冉良之子 君子比德焉 而王夫人那时已封了夫人 ．淮海晚报数字报[引用日期2013-0
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(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如 果 函 数 y ＝ f(x) 在 区 间 [a ， b] 上 的 图 象 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线 ， 并 且 有
f(a)·f(b)<0 ，那么函数y＝f(x)在区间________ (a，b) 内有零点，即存在c∈(a，b)，使 ______________ c f(c)＝0 ，这个________ 得________ 也就是f(x)＝0的根．
【例 1】 (1)函数 f(x)＝1－xlog2x 的零点所在区间是( C )
一分为二 ，使区间的两个端点逐步逼近 ________ 零点 ，进而得 f(x)的零点所在的区间 ___________
到零点近似值的方法叫做二分法．
(2)用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
f(a)· f(b)<0 ，给定精确度ε. 第一步，确定区间[a，b]，验证____________ 第二步，求区间(a，b)的中点x1. 第三步，计算f(x1)： f(x1)＝0 ①若____________ ，则x1就是函数的零点； f(a)·f(x1)<0 ②若_________________ ，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))； f(x1)·f(b)<0 ③若______________ ，则令a＝x (此时零点x ∈(x ，b))．
1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)． (1)函数f(x)＝x2－1的零点是(－1,0)和(1,0)．( × ) (2) 函 数 y ＝ f(x) 在 区 间 (a ， b) 内 有 零 点 ( 函 数 图 象 连 续 不 断 ) ， 则 一 定 有
f(a)·f(b)<0.( × )
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点． ( √ ) (4)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个
点，故正确．
2．若函数 f(x)＝ax＋b 有一个零点是 2，那么函数 g(x)＝bx2－ax 的零点是( C ) A．0,2 1 C．0，－2
1 ∴零点为 0 和－2.
1 B．0，2 1 D．2，－2
解析 ∵2a＋b＝0，∴g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)．
3．函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是( B )
A．0
C．2 解析
B．1
D．3 函数f(x)＝2x＋x3－2显然是一个单调递增且是连续的函数，同时f(0)·f(1)
＝ ( － 1)×1＝－ 1<0.由函数零点存在性定理可知，函数在 (0,1) 内必存在唯一一个零
点．故选B．
4．根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为( C ) x
－1 0.37
1 B．(0,1) D．(2,3)
0
1
2
3
ex
x＋2 A．(－1,0) C．(1,2) 解析
1
2
2.72
3
7.39
4
20.09
5
设函数f(x)＝ex－x－2，从表中可以看出f(1)·f(2)<0，因此方程ex－x－2＝
0的一个根所在的区间为(1,2)．
5．用二分法求函数 y＝f(x)在区间(2,4)上的近似解，验证 f(2)· f(4)<0，给定精确度 2＋4 ε ＝ 0.01 ，取区间 (2,4) 的中点 x1 ＝ 2 ＝ 3 ，计算得 f(2)· f(x1)<0 ，则此时零点 x0 ∈
第 二 章 函数、导数及其应用
第11讲 函数与方程
考纲要求 结合二次函数的图象，了 解函数的零点与方程根的 联系，判断一元二次方程
考情分析 2017·全国卷Ⅱ，12 201是热 点，经常考查函数零点存在的区
2016·山东卷，15
2016·浙江卷，2 分值：5～8分
间、零点个数的判断和利用函数
的零点个数求参数的范围等内 容，难度不大．
根的存在性与根的个数.
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板 块 一
板 块 二
板 块 三
1．函数的零点 (1)函数零点的定义
f(x)＝0 成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 对于函数y＝f(x)，我们把使________
(2)三个等价关系
x轴 有交点 ⇔ 函数 y ＝ f(x) 有 方程 f(x) ＝ 0 有实数根 ⇔ 函数 y ＝ f(x) 的图象与 ________
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的零点
Δ>0 二次函数 y＝ax2＋ bx＋c(a>0)的图象 Δ＝0 Δ<0
与 x 轴的交点 零点个数
(x1,0)，(x2,0)
(x1,0)
无交点 零个
两个 ________
一个 __________
3．二分法 (1)二分法的定义 f(a)· f(b)<0 的函数y＝f(x)，通过不断地把函数 对于在区间[a，b]上连续不断且___________
零点．( √ )
解析
(1)错误．函数f(x)＝x2－1的零点为－1和1，而并非其与x轴的交点(－1,0)
与(1,0)．
(2)错误．函数f(x)＝x2－x在(－1,2)上有两个零点，但f(－1)·f(2)>0. (3) 正确．当 b2 － 4ac<0 时，二次函数图象与 x 轴无交点，从而二次函数没有零 点． (4) 正确．由已知条件，数形结合得 f(x) 与 x 轴在区间 [a ， b] 上有且仅有一个交
(2,3) ________( 填区间)．
解析 由f(2)·f(3)<0，可知x0∈(2,3)．
一 函数零点所在区间的判断
判断函数零点所在区间的方法 (1)当能直接求出零点时，就直接求出进行判断． (2)当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断． (3)当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断．
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第四步，判断是否达到精确度ε，即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)．否则 重复第二、第三、第四步．
4．有关函数零点的结论 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点． (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．