概率统计数学实验一
概率统计数学实验一
实验内容：随机模拟
实验目的：掌握随机模拟的思想和基本方法，能利用C语言，Java，matlab或其它数学软件编程解决简单的实际问题。
[练习1]模拟德.梅尔问题：
（1）一枚骰子掷4次，至少出现一个6点的概率是多少？
（2）两枚骰子掷24次，至少出现一对6点的概率是多少？
[练习2] 模拟生日问题：在一个有n个人的集体，至少有两个人生日相同的概率是多少？（n=20，25，30，40，50）
[练习3] 一个有奖竞猜的游戏：假若有三扇可供选择的门，其中一扇门后面放有一辆豪华轿车，其它两扇门后面是空的，主持人首先让你随意挑选一扇门，但在你选定后并不急于打开，而是将未选中的两扇门中的一扇空门打开，然后问你，为了有更大的机会选中轿车，你是否会重新选择另一扇门？
请用模拟的方法模拟如何选择得到轿车的可能性更大一些，并分析你的模拟结果。
[练习4] 某报童以每份0.3元的价格买进报纸,以0.5元的价格出售. 根据长期统计,报纸每天的销售量及百分率为
销售量200 210 220 230 240 250
百分率0.10 0.20 0.40 0.15 0.10 0.05
已知当天销售不出去的报纸，将以每份0.2元的价格退还报社.试用模拟方法确定报童每天买进报纸数量,使报童的平均总收入为最大?
[练习5] 设某仓库前有一卸货场，货车一般是夜间到达，白天卸货。
每天只能
卸货2车，若一天内到达数超过2车，那么就推迟到次日卸货。
根据表3-1所示的经验货车到达数的概率分布（相对频率）平均为1.5车，求每天推迟卸货的平均车数。
到达车
0 1 2 3 4 5 6
数
概率0.23 0.30 0.30 0.10 0.05 0.02 0.00 这是一个单服务台的排队系统, 属于常见的随机问题，但由于其分布是一般分布，无法利用服从特定分布的排队系统理论求解，请用随机模拟的方法解决。
[练习6]某设备上安装有四只型号规格完全相同的电子管，已知电子管寿命为1000--2000小时之间的均匀分布。
当电子管损坏时有两种维修方案，一是每次更换损坏的那一只；二是当其中一只损坏时四只同时更换。
已知更换时间为换一只时需1小时，4只同时换为2小时。
更换时机器因停止运转每小时的损失为20元，又每只电子管价格10元，试用模拟方法决定哪一个方案经济合理？。
概率统计1.1-1.3(48学时)(浙大盛骤)
第七章
第八章
参数估计
假设检验
第一章 概率论的基本概念
概率论序言 第一节 随机试验 第二节 样本空间、随机事件 第三节 频率与概率 第四节 等可能概型(古典概型) 第五节 条件概率 第六节 独立性
序言
1.确定性现象 2.统计规律性 3.随机现象
在自然界和人的实践活动中经常遇到各种 各样的现象，这些现象大体可分为两类：一 类是确定的，例如“在一个标准大气压下， 纯水加热到100摄氏度时必然沸腾。”“向上 抛一块石头必然下落。”，“同性电荷相斥， 异性电荷相吸。”等等，这种在一定条件下 有确定结果的现象称为必然现象（确定性现 象）；
2. 和事件 : 事件 A、B 至少有一个发生所构成 的
事件叫做事件 A 与事件 B 的和 .记作 A B .
A
B
类似地 , 称事件 A1、A2、 、An 中至少有一个发
、An 的和事件 . 生的事件为事件 A1、A2、 n 记之为 A1 A2 An , 简记为 Ai . i 1 中至少有一个发生的事 件为 称事件 A1、A2、
例如：S2 中事件 A={HHH,HHT,HTH,HTT} 表示 “第一次出现的是正面” S6 中事件 B1={t|t1000} 表示 “灯泡是次品” 事件 B2={t|t 1000}
表示 “灯泡是合格品”
事件 B3={t|t1500}
表示“灯泡是一级品”
• 例:对于试验E2:将一枚硬币抛掷三次, 观察正面H、反面T出现的情况. （1）事件A1:“第一次出现的是正面H”,则 A1={HHH,HHT,HTH,HTT} （2）事件A2:“三次出现同一面”,则 A2={HHH,TTT} （3）事件A3:“出现二次正面”,则 A2={HHT,HTH，THH}
数学实验概率论与数理统计分册习题1-推荐下载
数学实验概率论与数理统计分册习题第1章古典概率2．碰运气能否通过英语四级考试大学英语四级考试是全面检验大学生英语水平的一种综合考试,具有一定难度。
这种考试包括听力、语法结构、阅读理解、写作等。
除写作占15分外,其余85道为单项选择题,每道题附有A、B、C、D四个选项。
这种考试方法使个别学生产生碰运气和侥幸心理,那么,靠运气能通过英语四级考试吗?解：假设学生作文得满分，即15分，85道选择题每道题都靠蒙，即每道题做对的概率为1/4，得60分则通过考试。
则该同学通过考试的概率为：P=4540 45851344C⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>> nchoosek(85,40)*(1/4)^45*(3/4)^40ans =2.3448e-008即：82.344810-⨯由此可见，即使该同学作文满分，靠运气通过考试的概率也是如此的低，所以可以认为靠运气不能通过英语四级考试。
3.在区域H＝{(x，y)| (x，y)∈Q，x2+y2≤1}，Q＝{(x，y) |0≤x≤1，0≤y≤1}上考虑计算二重积分（利用Monte-carlo法）：⎰⎰++=HdxdyyxyxI) sin(解：积分区域如右图所示：>> n = 10000; % 模拟次数x = rand(n,1); % 点的x坐标y = rand(n,1); % 点的y坐标m = sum(sin(x+y)./(x+y) & x.^2 + y.^2 <= 1); Vn = m/n % 落到所求面积内的点的频率，即概率的模拟值Vn =0.7891第2章 随机变量及其分布4．公共汽车车门的高度是按成年男子与车门碰头的机会在0.01以下的标准来设计的。
根据统计资料，成年男子的身高X 服从均值为168厘米，方差为7厘米的正态分布，那么车门的高度应该至少设计为多少厘米？解：>> norminv(0.99, 168, 7)ans =184.2844则车门的高度应该至少设计为184.3厘米5．某研究中心有同类型仪器300台，各仪器工作相互独立，而且发生故障的概率均为0.01，通常一台仪器的故障由一人即可排除。
概率论实验报告_2
概率论试验报告试验一：随机掷硬币1、模拟掷一枚硬币的随机试验（可用0——1随机数来模拟试验结果），取n=100，模拟掷n次硬币的随机试验。
记录试验结果，观察样本空间的确定性及每次试验结果的偶然性，统计正面出现的次数，并计算正面的出现的频率；试验结果如下：测试中出现零代表正面，出现一代表反面，其中共计50次正面50次反面。
2、取试验次数n=1000，将过程（1）重复三次，比较三次试验结果试验结果如下3、三次结果分别是0.501,0.503,0.521 。
这充分说明模拟情况接近真实情况，频率接近概率0.5。
试验二：高尔顿钉板试验1、自高尔顿钉板上端放一个小球, 任其自由下落. 在其下落过程中，当小球碰到钉子时从左边落下的概率为p , 从右边落下的概率为,1p -碰到下一排钉子又是如此, 最后落到底板中的某一格子. 因此任意放入一球, 则此球落入哪个格子事先难以确定. 设横排共有20=m 排钉子, 下面进行模拟实验:(1) 取,5.0=p 自板上端放入一个小球, 观察小球落下的位置; 将该实验重复作5次, 观察5次实验结果的共性及每次实验结果的偶然性;(2) 分别取,85.0,5.0,15.0=p 自板上端放入n 个小球, 取,5000=n 观察n 个小球落下后呈现的曲线我们分析可知，这是一个经典的古典概型试验问题2、具体程序：3、我们分析实验结果可知，若小球碰钉子后从两边落下的概率发生变化, 则高尔顿钉板实验中小球落入各个格子的频数发生变化, 从而频率也相应地发生变化. 而且, 当,5.0p曲线峰值的格子位置向右偏; 当><p曲线峰值的格子位置向左偏。
,5.0试验三：抽签试验1、我们做模拟实验，用1-10的随机整数来模拟实验结果。
在1-10十个随机数中，假设10代表抽到大王，将这十个数进行全排，10出现在哪个位置，就代表该位置上的人摸到大王。
每次随机排列1-10共10个数，10所在的位置随机变化，分别输出模拟实验10次, 100次,1000次的结果, 将实验结果进行统计分析, 给出分析结果。
概率统计学实验报告
《概率统计》实验报告实验人员：系（班）:矿业工程系机械设计制造及其自动化1404班 学号:20141804408 姓名:李君阳 实验地点：电教楼四层三号机房实验名称：《概率统计》实验时间：2016.5.10，2016.5.17 16：30——18：30.实验目的：1.加强学生的动手能力，让学生掌握对MATLAB 软件的应用。
2.为以后的数学计算节省时间，提高精确度，准确度，合理的利用科学技术。
实验内容：（给出实验程序与运行结果）一、古典概型2、在50个产品中有18个一级品，32个二级品，从中任意抽取30个，求其中恰有20个二级品的概率.解：p=C 3220C 1810c 5030=0.2096>> p=nchoosek(32,20)*nchoosek(18,10)/nchoosek(50,30)p =0.2096二、计算概率1、某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02，独立射击200次，试求至少击中两次的概率.2、一铸件的砂眼（缺陷）数服从参数为0.5的泊松分布，求此铸件上至多有1个砂眼的概率和至少有2个砂眼的概率. 解：1.p=1-c 2000∗0.98400-c 2001*0.98199*0.02=0.1458>> p=binopdf(2,200,0.02)p =0.1458 2.P(ζ=0)= 5.00*!05.0-e P(ζ=1)= 5.01*!15.0-e P(ζ1)=0.9098P(ζ)=0.09024、设随机变量()23,2X N ，求()25P X <<；()2P X >解：P(2<X<5)=F(5)-F(2)= )5(1,0σa F -=)235(1,0-F -)232(1,0-F = -=0.08413-(1-0.6915)=0.5328P(｜X ｜>2)=P(X<-2)+P(X>2)=P(X<-2)+1-P(X<2)=0.6977normcdf(5,3,2)-normcdf(2,3,2) ≤2≥吕梁学院《概率统计》实验报告ans =0.5328>> normcdf(-2,3,2)-normcdf(2,3,2)+1ans =0.6977三、作图1、画出N(2,9)，N(4,9)，N(6,9)的图像进行比较；（图1）画出N(0,1)，N(0,4)，N(0,9)的图像进行比较.解：y1=normpdf(x,2,3);y2=normpdf(x,4,3);y3=normpdf(x,6,3);plot(x,y1,x,y2,x,y3)>> x=-40:0.01:40;y1=normpdf(x,0,1);y2=normpdf(x,0,2);y3=normpdf(x,0,3);plot(x,y1,x,y2,x,y3)（图2）四、常见统计量的计算1、根据调查，某集团公司的中层管理人员的年薪（单位：万元）数据如下：42 41 39.2 37.6 40.2 40 41 41.4 36.1 43.140.3 39.3 38.4 36.5 38.1 38.5 39.1 40.6 38.3 39.7求其公司中层管理人员年薪的样本均值、样本方差、样本标准差，绘制直方图。
概率论抛硬币和抛筛子实验报告
(2)计算出现i(i=1,2,3,4,5,6)点的频率；
(3)分析频率的变化规律。
实验原理
在等可能的随机实验中，某个基本事件的频率就是它出现的 次数除以实验总次数，即P=x/N。
实验过程(公式推导，模型建立，Matlab源程序)
1、投硬币试验
编程如下：
0.1717
0.1582
0.2088
0.1380
147
0.1497
0.1361
0.2177
0.1905
0.1088
0.1973
123
0.2114
0.2033
0.1789
0.1951
0.1138
0.0976
1245
0.1719
0.1663
0.1679
0.1695
0.1823
0.1422
23456
模拟次数为289次的统计图
问题的数学描述
在统计学中，一个随机事件A发生的可能性大小的度量成为A
发生的概率，记为P(A).
实验一中重复做N实验，出现的可能的结果只有两种结果， 正面和反面，所以记录出现正面的次数x1，因此出现正面的概率P 1(A)=x1/N;记录出现反面的次数为x2,则出现反面的概率
P2(A)=x2/N.
实验二中重复做N实验，出现的可能的结果只有六种结果，出
function Tybsy(N)
X=bi nornd(1,0.5,1,N)
n1=0;
n2=0;
for i=1:N
if X(i)==0
n1=n1+1;
else
n2=n2+1;
end
概率论与数理统计实验
整理课件
3、指数分布随机数
1) R = exprnd(λ)：产生一个指数分布随机数 2)R = exprnd(λ,m,n)产生m行n列的指数分布随机数
例3、产生E(0.1)上的一个随机数，20个随机数， 2行6列的随机数。
整理课件
在Matlab命令行中输入以下命令： binomoni(0.5,1000)
整理课件
在Matlab命令行中输入以下命令： binomoni(0.5,10000)
整理课件
在Matlab命令行中输入以下命令： binomoni(0.3,1000)
整理课件
二、常用统计量
1、表示位置的统计量—平均值和中位数
概率论与数理统计实验
实验2 随机数的产生
数据的统计描述
整理课件
实验目的
学习随机数的产生方法 直观了解统计描述的基本内容。
实验内容
1、随机数的产生 2、统计的基本概念。 3、计算统计描述的命令。 4、计算实例。
整理课件
一、随机数的产生 定义：设随机变量X~F(x),则称随机变量X的 抽样序列{Xi}为分布F(x)的随机数 10常用分布随机数的产生
整理课件
例6 生成单位圆上均匀分布的1行10000列随机数，并 画经验分布函数曲线。
Randnum=unifrnd(0,2*pi,1,10000); %(0,2pi)上均匀分布随机数 xRandnum=cos(Randnum);%横坐标 yRandnum=sin(Randnum);%丛坐标 plot(xRandnum,yRandnum);
例9：产生5组指数分布随机数，每组100个， 计算样本偏度和峰度。
数学实验综合实验报告
数学实验综合实验报告《数学实验综合实验报告》摘要：本实验旨在通过数学实验的方式，探索和验证数学理论，并通过实验数据的分析和处理，得出结论和结论。
本实验涉及到数学的多个领域，包括代数、几何、概率统计等。
通过实验，我们得出了一些有趣的结论和发现，验证了数学理论的正确性，并对数学知识有了更深入的理解。
一、实验目的1. 验证代数公式的正确性2. 探索几何图形的性质3. 分析概率统计的实验数据4. 探讨数学理论的应用二、实验方法1. 代数公式验证实验：通过代数运算和数值计算，验证代数公式的正确性。
2. 几何图形性质探索实验：通过几何构造和图形分析，探索几何图形的性质。
3. 概率统计数据分析实验：通过实验数据的收集和处理，分析概率统计的规律和特性。
4. 数学理论应用实验：通过实际问题的分析和解决，探讨数学理论在实际中的应用。
三、实验结果与分析1. 代数公式验证实验结果表明，代数公式在特定条件下成立，验证了代数理论的正确性。
2. 几何图形性质探索实验发现，某些几何图形具有特定的性质和规律，进一步加深了对几何学的理解。
3. 概率统计数据分析实验得出了一些概率统计的规律和结论，对概率统计理论有了更深入的认识。
4. 数学理论应用实验通过具体问题的分析和解决，验证了数学理论在实际中的应用性。
四、结论通过本次数学实验，我们验证了代数、几何、概率统计等数学理论的正确性，得出了一些有意义的结论和发现。
实验结果进一步加深了对数学知识的理解和应用，对数学理论的研究和发展具有一定的参考价值。
五、展望本次实验虽然取得了一些有意义的结果，但也存在一些不足之处，如实验方法的局限性、实验数据的局限性等。
未来可以进一步完善实验设计和方法，开展更深入的数学实验研究，为数学理论的发展和应用提供更多的支持和帮助。
概率统计课程中开展数学实验的探索与实践
表２四种工艺灯泡寿命差异检验的方差分析表方差来源平方和自由度均方Ｆ值ｐ值工艺６２８２０３２０９４０４．０６０．０３３１误差６１８８０１２５１５６．６７总和１２４７００１５表１四种工艺灯泡寿命（单位：小时）Ａ１Ａ２Ａ３Ａ４１１６２０１５８０１４６０１５００２１６７０１６００１５４０１５５０３１７００１６４０１６２０１６１０４１７５０１７２０１６８０５１８００工艺序号摘要针对概率统计课程的特点，在教学中开设数学实验环节，不但可以激发学生的学习兴趣，同时锻炼了学生动手解决实际问题的能力。
关键词概率统计数学实验分位数方差分析Explorations and Practices of Mathematical Experiments in the Course of Probability and Statistics //Wang Lianghong,Han YuAbstract Taking into account the characteristics of the Proba －bility and Statistics Course,in the teaching process,we set up mathematical experiments,which not only can stimulate stu －dents ＇interest in learning,but also strengthen their ability to solve practical problems.Key words probability and statistics;mathematical experiment;quantile;analysis of varianceAuthor ＇s address College of Science of Northeast Dianli Uni －versity,132012,Jilin,Jilin,China１引言拉普拉斯曾经说过：“生活中最重要的问题，其中绝大多数在实质上都是概率的问题。
数学实验 概率论与数理统计分册习 题
P{ X n − a < 0.1} ≥ 0.95
是少要称多少次？分别用切比雪夫不等式和独立同分布的中心极限定理求解． 3． 设个零件的重量都是随机变量，他们相互独立且服从相同的分布，其数学期 望为 0.5kg，均方差为 0.1kg，问 5000 只零件的总重量超过 2510kg 的概率是多 少？ 4． 学校图书馆阅览室共有 880 个座位，学校共有 12000 名学生。已知每天晚上 每个学生到阅览室去自习的概率为 8%。 (1)求阅览室晚上座位不够用的概率； (2)若要以 80%的概率保证晚上去阅览室自习的学生都有座位，阅览室还需要增 添多少个座位？ 5． 有一批钢材，其中 80%的长度不小于 3m，现从钢材中随机抽出 100 根，试 用中心极限定理求小于 3m 的钢材不超过 30 根的概率。 6． 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的。假设每箱平均重 50kg， 标准差为 5kg，若用最大载重量为 5t 的汽车承运，试利用中心极限定理说明每 辆车最多可以装多少箱，才能保证不超载的概率大于 0.977。 7.对同一目标进行 300 次独立射击，设每次射击时的命中率均为 0.44，试求 300 次射击最可能命中几次？其相应的概率是多少？试用 matlab 进行模拟，观察试 验与理论结果的差异。
2) 3 个球中最大的标号为 5 的概率。 3．抽签实验
有十张外观相同的扑克牌, 其中有一张是大王, 让十人按顺序每人随机抽 取一张, 讨论谁先抽出大王。甲方认为: 先抽的人比后抽的人机会大。乙方认为: 不论先后, 他们抽到大王的机会是一样的。究竟他们谁说的对，试用 Matlab 进 行模拟判断。
{ 16. 设 43; y 2 ≤ r 2 } (r > 0) 上 服 从 均 匀 分 布 ， 求
概率论与数理统计实验_传染病传播问题
传染病传播问题传染病是人类共同的敌人. 小到流感、病毒性肝炎，大到霍乱、天花、艾滋病、非典型性肺炎等，危害着人们的健康，扰乱了人们正常的工作和生活，同时也侵蚀着人类大量的财富. 因此建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，预报传染病高峰的到来，及时控制传染病的传播是非常重要的事情，一直是各国政府和科学家关注的课题. 以下探讨几类传染病数学模型，对传染病相关的问题做出相应的回答.注：（1）这里不从医学的角度分析各种传染病的传播，而只是按照一般的传播机理建立几种数学模型；（2）讨论问题的前提是假定在疾病的传播期内，所考察地区的总人数不变（总人数为N ）.解：假设 (1) t 时刻健康者和病人在总人数中所占的比例分别为).(),(t i t s 另外,0)0(i i =；(2) 每个病人每天有效接触的平均人数为常数λ. λ称日接触率，即当病人与健康者有效接触时，使健康者感染变成病人. 根据假设，有)0(1)()()()()(i i t i t s t i t Ns dtt di N ==+=λ 故可得⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)0()](1)[()(i i t i t i dt t di λ （1）得到te i t i λ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=1111)(0 (2)这个模型可以用于传染病的前期（对于传染较快的病），早期预报传染病高峰的到来. 1）)(t i ~t 曲线表示传染病的传染曲线；dtdi~t 曲线表示传染病的上升率与时间的关系，医学上称为传染病曲线.2) 求)(t i 的一阶导数：这里已经把0i =0.0012, λ=0.25代入到)(t i 的表达式. 再输入回到)(t i 的表达式(2), 再求)(t i 的二阶导数, 令022=dt i d ，求出dt di函数的极大值点,}}]001Log[{},{{λλai ai t t +--→∞-→ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-11ln 011i t λ （3）再代入)(t i 的表达式，得21即已求出 21*=i 时，dt di 达到最大值. 即传染病的上升率达到最大，这个时刻是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-11ln 011i t λ. 说明：病人在这个时刻增加得最快，预示着传染病高潮的到来，是医疗卫生部门特别关注的时刻.3）从（3）式可知1t 与λ成反比. 日接触率标志着该地区的卫生水平，λ越小，卫生水平越高. 而λ越小，1t 越大，传染病爆发的时刻就会越迟. 所以改善保健设施，采取有效的隔离措施，降低日接触率，可以推迟传染病高峰的到来.4）由（2）式可知，当∞→t 时，1)(→t i . 这就意味着所有的人都将被传染，处于生病状态. 这是不符合实际情况的. 事实上，传染病人经治疗后，或者痊愈，因而具有免疫力；或者死亡；所以最终病人的比例数)(t i 应该趋于零，即当∞→t 时，0)(→t i . 由此可见，需要重新修改模型假设，再建立数学模型.感染--治愈 假设：(1) 与感染模型相同； (2) 与感染模型相同；(3) 病人可以治愈. 病人每天被治愈的人数占病人总数的比例μ，称为日治愈率. 病人治愈后仍可成为被感染的健康者，所以μ1是这种传染病的平均传染期. 由假设（3）可知1)()()()()()(=+-=t i t s t i t i t s dtt di μλ0)0(i i = 故可得 ⎪⎩⎪⎨⎧=--=0)0()()](1)[()(i i t i t i t i dt t di μλ （4）变换得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=02)0()()()()(i i t i t i dt t di μλλ （5）此方程为贝努利方程，{{i [t]-> 0)()(0)(ai e e e ai e t t t t λμλμλμλμλ-+--}} 得到()te i t i μλμλλμλλ--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=01)(1 当μλ≠ 当μλ=时，上式不是方程的解，应从原方程出发求解.()⎪⎩⎪⎨⎧=-=020)()(i i t i dtt diλ （6） 可以利用分离变量法求解.{{i[t]->10ai t ai λ+}}即1)(1i t t i +=λ为当μλ=时的解. 所以方程组的解为： ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≠⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=----时当时；当μλλμλμλλμλλμλ101011i t e i t i t （7）分析：定义： μλσ= （8） 从λ和μ1的定义可知，σ是一个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称为接触数. 1）作出()t t i ~曲线图，分析病人数的变化规律. 首先求出()t i 的极限，讨论极端情况. 因为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+∞→10111lim 1σσσμλλ，当；，当t i t （9） 这里有两条()t t i ~曲线, 都是1>σ的情形. 上面一条是0i =0.68, λ=0.25, μ=0.10时的图形; 下面一条是0i =0.0012, λ=0.25, μ=0.10时的图形. 从图25.3可见, 虽然0i 不同, 但()t i 在t 趋于无穷时有相同的极限σ11-.这是0i =0.68, λ=0.10, μ=0.10时的()t t i ~曲线.2）接触数1=σ是一个阈值. 当1≤σ时，病人比例()t i 越来越小，最终趋于零. 说明传染期内，每个病人有效接触的平均人数不超过一个人，最终导致使健康者变为病人的数量不超过病人数. 当1>σ时，病人比例()t i 的增减性取决于初始病人数0i 的大小. 当+∞→t 时，σ11)(-→t i .从上式分析可知σ越大，σ11-越大，即：病人比例()t i 随σ的增加而增加. 相反，增大治愈率μ，减少接触率λ，（即：降低σ的取值）其实际意义就是要提高医疗水平和保健水平，可以降低传染病的传播，避免传染病的爆发.3）特殊情况：当0,1==μλ时，相当于)(,时当+∞→+∞→=t μλσ的情况. 即：随着天数t 的无限增大，接触数无限增大，将导致所有的人都成为病人. 这也就是模型(一)的情况.感染--治愈--免疫考虑大多数传染病治愈后有很强的免疫力. 所以病愈的人既非健康者又非病人，被免疫的人数不再传染别人，别人也不会传染他们，他们已经退出传染系统. 另外死亡者也看作是退出传染系统.假设：（1）人群分为健康者、病人和移出者三类. 三类人在总人数N 中占的比例分别记作()()()t r t i t s ,,，三者之间满足条件：()()()1=++t r t i t s ；（2）病人的日接触率为λ，病人的日治愈率为μ，传染期接触数为μλσ=. 由假设（2）可知()()()t Ni t i t Ns dtdiNμλ-= 对移出者应有 ()t Ni dtdrN μ=，记初始时刻的健康者和病人的比例分别是()0),0(00>>i s ，移出者的初始值00=r .则得到： ()()()()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-=000,0s s i i t i t s dt dst i t i t s dt diλμλ （10） 这是非齐次非线性的微分方程组，难以求出精确的解析解.结果为 图25.5, 图25.6, 图25.7三个图形. 这是λ=0.25, μ=0.10, )0(i =0.0012时的i(t )~t,s (t)~t, r (t)~t 曲线.图25.13在理论上可以根据方程组的特点，先确定()t i 与()t s 之间的关系，然后再利用s i ,的关系，确定()t i . 将（10）式前两个方程左右两边分别相除得：()⎪⎩⎪⎨⎧=-=0111i s i sds di σ （11） 利用分离变量容易得到方程（11）的精确解()()000ln1s i s s ss i ++-=σ （12）分析：由（11）式可知，当σ1=s 时，0)(=ds t di .容易验证：当σ1<s 时，0>ds di ；当σ1>s 时，0<ds di.图形25.13中箭头表示随时间t 的增加()t s 和()t i 的变化趋势. 根据图形25.13分析可知，当+∞→t 时，()()∞∞→→→r t r t i s t s ;0;)(. 由此可得到如下结论：(1) 无论初始条件00,i s 如何，病人终将消失. 即：当+∞→t 时，()0→t i .(2) 最终未被感染的健康者的比例是()∞+∞→=s t s t lim . 在（12）式中，令0=i 可得∞s 满足的方程：0ln100=+-+∞∞s s s i s σ（13） 故∞s 是方程（13）式在⎪⎭⎫⎝⎛σ1,0内的单根. (3) 若σ10>s ，则()t i 先增加. 当σ1=s 时，()t i 达到最大值为()000ln 11s i s i m σσ+-+=. 然后()t i 减少且趋于零. ()t s 则单调减少趋于∞s .（4）若σ10≤s ，则()t i 单调减少趋于零，()t s 则单调减少趋于∞s .结果：由上述分析可以得知：(1)如果仅当病人比例()t i 有一段增长的时期才认为传染病在蔓延，这时σ1是一个阈值. 当σ10>s 时，传染病就会蔓延，而当提高阈值（即：减少传染期内接触数σ），使σ10≤s ，传染病就不会蔓延.(2) μλσ1ss =是传染期内一个病人传染健康者的平均数，故s σ称为交换数. 所以当σ10≤s 时，即有10≤s σ时，必有1≤s σ. 说明：传染期内交换数不超过1人，病人比例()t i 不会增加，传染病不会蔓延.(3) 从μλσ=表达式可知，日接触率λ越小，日治愈率μ越大，则接触数σ越小，此时有助于控制传染病的蔓延. 提高卫生水平和医疗水平是控制和降低传染病蔓延的最有效途径.(4) 在上述模型中，σ可以由实际数据估计得到：利用（13）式（一般0i 很小，可忽略不计），可得∞∞--=s s s s 00ln ln σ，其中0s 和∞s 可在传染病结束时，由统计数据获得. 或者，在医学上对血样作免疫检验也可以根据对检验有无反应，估计出0s 和∞s .。