01-第1课时 集合(I)

【选题说明】理解集合相等的含义和集合元素的性质．
解：∵P＝Q且0Q，∴0P．
（1）若x＋y＝0或x－y＝0，则x2－y2＝0，与集合中元素的互异性矛盾，∴x＋y≠0且x－y≠0；
（2）若xy＝0，则x＝0或y＝0．
当y＝0时，x＋y＝x－y，与集合中元素的互异性矛盾，∴y≠0；
当x＝0时，P＝{－y，y，0}，Q＝{y2，－y2，0}，
由P＝Q得 ①，或 ②
由①得y＝－1，由②得y＝1，此时P＝Q＝{1，－1，0}．
【小结】列举法表示集合时，除了要注意集合元素的形式外，还需要注意到集合中的元素的无序性和互异性．
例2判断下列两个集合之间的关系，并说明理由．
(1)A＝{x|x＝3kπ＋ ，k∈Z}，B＝{x|x＝6zπ＋ ，z∈Z}；
解：由A＝B得：
（1），或 （2）．
由（1）消去d，得aq2－2aq＋a＝0．根据已知条件，显然a≠0，d≠0，解得q＝1．但q＝1时，a＝aq＝aq2，这与集合中元素的互异性矛盾，故q＝1舍去．
由（2）消去d，得2aq2－aq－a＝0．由于a≠0，q≠1，解得q＝－ ．将q＝－ 代入（2），解得d＝－ a．
1．已知A＝｛x｜x2－2x－3＞0｝，B＝｛x｜x2＋ax＋b≤0｝，若A∪B＝R，A∩B＝｛x｜3＜x≤4｝，则a＝_____－3_____，b＝____－4____．
2．设集合M＝{(x，y)|x＋y＝0}，N＝{(x，y)|x－y＝2}，则M∩N＝__{(1，－1)}_____．
3．设A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|3x＋4y－5＝0}，则集合A∩B中的元素有__1__个．
所以当a＞0时，C＝{x｜a＜x＜3a}；
当a＜0时，C＝{x｜3a＜x＜a}；
当a＝0时，C＝，
此时C⊇A∩B是不可能的．
(1)当a＞0时，如图所示，
得C⊇A∩B⇔ ⇔1≤a≤2．
(2)当a＜0时，C是负半轴上的一个区域，而A∩B是正半轴上的一个区域，
因此，C⊇A∩B是不可能的．
综上所述，1≤a≤2．
13．记函数f(x)＝ 的定义域为A，g(x)＝lg[(x－a－1)(2a－x)](a＜1)的定义域为B．(1)求A；(2)若BA，求实数a的取值范围．
解：(1)2－ ≥0，得 ≥0，解得x＜－1或x≥1，即A＝(－∞，－1)∪[1，＋∞)．
(2)由(x－a－1)(2a－x)＞0，得(x－a－1)(x－2a)＜0．
显然A＝满足条件，此时a＜6．
若A≠，则 ，或 ．
解 ，得a∈；
解 ，得a＞ ．
综上，满足条件AA∩B的实数a的取值范围是{a|a＜6，或a＞ }．
点评：(1)本例求解过程再一次表明数轴在数集运算中的重要作用；在讨论数轴上区间的覆盖时，要处理好端点的取舍．
(2)求解此类问题时，一定要注意考虑是否满足条件．
2．集合常常需要借助图形来辅助运算．连续数集间的运算常借助数轴进行，非连续数集或一般集合借助Venn图表示集合关系．
3．集合运算的重要性质：
SA∩ SB＝ S(A∪B)， SA∪ SB＝ S(A∩B)．A∩B＝A⇒AB；A∪B＝B⇒AB．
课前预习
1．集合{x|0≤x＜3，x∈N}的真子集的个数是_____7__________．
3．已知集合M＝{x|x＝3m＋1，m∈Z}，M＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，若x0∈M，y0∈N，则x0y0 M，x0y0∈___N．(用∈和 填空)．
4．若A＝{x|(x－1)2＜3x－7}，则A∩Z的元素的个数是0．
5．已知全集U＝R，且A＝{x||x－1|＞2}，B＝{x︱x －6x＋8＜0}，则( A)∩B＝_(2，3]__．
(2)A＝{x|x＝2m－1，m∈N}，B＝{x|x＝4n±1，n∈N}；
(3)A＝{(x，y)｜x＋y＞0，xR，yR}，B＝{(x，y)｜x＞0，y＞0，xR，yR}．
(4)A＝{y|y＝ ，x≠0}，B＝{y|y＝ ，x≠0}．
【选题说明】正确认识周期性的点列及平面区域及函数值域的描述法表示，学习使用描述法正确书写集合．
12．已知集合A＝{x｜x2－x－6＜0}，集合B＝{x｜x2＋2x－8＞0}，集合C＝{x｜x2－4ax＋3a2＜0}，若C⊇A∩B，试确定实数a的取值范围．
解：易知A＝{x｜－2＜x＜3}，B＝{x｜x＜－4或x＞2}，则A∩B＝{x｜2＜x＜3}．
因为C＝{x｜x2－4ax＋3a2＜0}＝{x｜(x－a)(x－3a)＜0}，
4．已知A，B均为集合U＝{1，3，5，7，9}的子集，且A∩B＝{3}， UB∩A＝{9}，则A＝
_{3，9}_______．
5．已知U＝R，A＝(－∞，2)∪[3，＋∞），B＝(－1，5)，则 UA∪ UB＝（－∞，3）∪[5，＋∞)．
典型例题
例1设集合P＝{x－y，x＋y，xy}，Q＝{x2＋y2，x2－y2，0}，若P＝Q，求x，y的值及集合P、Q．
9．已知A＝{x｜x＜3}，B＝{x｜x≤a}．(1)若BA，求实数a的取值范围是（－∞，3）；
(2)若AB，求实数a的取值范围是[3，＋∞)．
10．已知集合A＝{x||x－a|≤1}，B＝{x|x2－5x＋4≥0}，若A∩B＝，则实数a的取值范围是[2，4]．
11．已知集合A＝｛a，a＋d，a＋2d｝，B＝｛a，aq，aq2｝(a为常数)，若A＝B，求d，q的值．
典型例题
例1设A＝{1，－1}，B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，B≠，且BA，求实数a，b的值．
【选题说明】用集合语言描述一元二次方程解集，复习一元二次方程根与系数的关系；体会分类讨论的数学思想，并巩固对“空集是任何集合子集”的重要知识点的把握．
解：由于BA，B≠，则可得B＝{1}，或B＝{－1}，或B＝{1，－1}．
因为a＜1，所以a＋1＞2a，所以B＝(2a，a＋1)．
因为BA，所以2a≥1或a＋1≤a≤－2，故当BA时，实数a的取值范围是(－∞，－2]∪[ ，1)．
第2课时集合的概念和运算（Ⅱ）
教学目标
（1）能正确利用集合表示方程、不等式（组）的解集以及平面上的点集；
6．已知集合P＝{x|x(x－1)≥0}，Q＝{x| ＞0}，则P∩Q＝____{x|x＞1}______．
7．设集合A＝{x||x|＜4}，B＝{x|x2－4x＋3＞0}，则集合{x|x∈A且x A∩B}＝[1，3]．
8．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0， ，b}，则b－a＝__2___．
1．集合的概念和集合的表示
（1）集合概念与“全体”的区别：集合虽然也有全体的意思，但集合中的元素必须是确定的，必须能判断一个对象是不是它的元素，全体不一定能成为一个集合；
（2）集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．
正确认识集合的描述法，一定要首先分清集合的代表元素的形式，判断究竟是点集，还是数集，还是其它形式的集合．
第1课时集合的概念和运算（I）
1．满足M{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的个数是__2___．
2．已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x＝2k－1，k＝1，2，…}的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有__2___个．
解：(1)B＝{x|x＝6zπ＋ ，z∈Z}＝{x|x＝3(2z)π＋ ，z∈Z}，所以B A；
(2)集合A表示奇数集，集合B表示被4除余数是1或3的所有整数，因此A＝B；
(3)集合A表示直线x＋y＝0上方的平面区域，集合B表示第一象限内的区域，
因此B A；
(4)A＝{y｜y≠0}，B＝{y｜y≠0}，所以A＝B．
2．图中阴影部分的点(含边界)的集合用描述法表示为___________
{(x，y)|－1≤x＜0且－1≤y＜0，或0≤x≤3且0≤y≤2}．
3．符合条件{1，2} P{1，2，3，4，5}的集合P有{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，
{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}．
4．已知集合P＝｛y｜y＝x2＋1，x∈R｝，Q＝｛y｜y＝x＋1，x∈R｝，那么P∩Q等于_____
______[1，＋∞）_____________．
5．已知全集U＝｛0，1，2，3，4，5｝，A＝｛x｜x2－5x＋q＝0｝，且AU，那么q的允许值构成的集合是___｛q｜q＞ ，或q＝0，或q＝4，或q＝6｝__，所有可能的∁UA分别是____｛0，1，2，3，4，5｝、｛1，2，3，4｝、｛0，2，3，5｝、｛0，1，4，5｝_______．
第1课时集合的概念和运算（I）
教学目标
（1）能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题；
（2）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义；
（3）理解集合的子、交、并、补集的意义，能借助图示法进行集合间的运算．
知识点小结：
集合是高考几乎每年必考的知识点之一，一般考察两方面的内容：一是集合本身的知识；二是集合语言与集合思想的运用．
（3）集合的子集个数：若集合A是n个元素的集合，则集合A有2n个子集（其中2n－1个真子集）；
3．集合的子、交、并、补运算
1．求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”．“且”的理解是“既是…，同时…”，“或”与通常理解的“非此即彼”有区别，它是两者可兼的．
（2）正确理解数集和点集间运算的含义，感受集合语言的意义和作用．
知识点小结：
理解集合的重点是理解集合语言在函数、方程、不等式中的应用．
要弄清集合的含义，是方程的解集，是函数的值域，还是其它．容易将{y|y＝x2}，{x|y＝x2}，{(x，y)|y＝x2}混淆，在对它们进行求交集的运算时出错．