第2章_控制系统的动态数学模型_2.1基本环节数学模型

系统的数学模型： 数学模型是描述系统输入、输出量以 及内部各变量之间关系的数学表达式，它 揭示了系统结构及其参数与其性能之间的 内在关系。 静态数学模型：在静态条件下（变量 各阶导数为零）描述变量之间关系的代数 方程。反映系统处于稳态时，系统状态有 关属性变量之间关系的数学模型。
建立控制系统的数学模型，并在此基础上 对控制系统进行分析与综合，是机电控制工程 的基本方法。如果将物理系统在信号传递过程 中的动态特性用数学表达式描述出来，就得到 了组成物理系统的数学模型。 经典控制理论所采用的数学模型主要以传 递函数为基础。而现代控制理论所采用的数学 模型主要以状态空间方程为基础。而以物理定 律及实验规律为依据的微分方程又是最基本的 数学模型，是列写传递函数和状态空间方程的 基础。
∫ = k∫
t
−∞ t −∞
[v1 (t ) − v 2 (t ) ]dt
v (t ) dt
阻尼：
f D (t ) = D [v1 (t ) − v 2 (t ) ] = Dv (t ) dx (t ) dx (t ) = D 1 − 2 dt dt dx (t ) =D dt
d RC u o (t ) + u o (t ) = ui (t ) dt
有源电路网络： 运算放大器的反向输入端为a点。
u a (t ) ≈ 0 ⇒ i1 (t ) ≈ i2 (t ) 即
ui (t ) du o (t ) = −C R dt
du o (t ) RC = −ui (t ) dt
d ⇒ J 2 θ o (t ) + D θ o (t ) + kθ o (t ) = kθ i (t ) dt dt
d2
2.1.2 电路
电路的三个基本元件：电阻、电容和电感。 电阻：
电容：
电感：
R-L-C无源电路网络：
d 1 ui (t ) = Ri (t ) + L dt i (t ) + C i (t )dt u (t ) = 1 i (t )dt o C
d D xo (t ) + kxo (t ) = f i (t ) dt
d RC uc (t ) + uc (t ) = ur (t ) dt
F(t) m
k
d 2 y (t ) dy (t ) +D + ky (t ) = F (t ) m 2 dt dt
y(t) D
d2 d LC 2 uc (t ) + RC uc (t ) + uc (t ) = ur (t ) dt dt
数学模型的形式： 时间域：微分方程 复数域：传递函数 频率域：频率特性
“三域”模型 及其相互关系：
L
L
−1
F −1
F
s = jω jω = s
建立数学模型的方法： （1）解析法：根据系统及元件各变量之 间所遵循的物理或化学规律，列写出相 应的数学关系式，建立模型。 （2）实验法：人为地对系统施加某种测 试信号，记录其输出响应，并用适当的 数学模型进行逼近。这种方法称为系统 辨识。 数学模型应能反映系统内在的本质 特征，同时应对模型的简洁性和精确性 进行折中或综合考虑。
总结： 物理本质不同的系统，可以有相同的 数学模型，从而可以抛开系统的物理属性， 用同一方法进行具有普遍意义的分析研究， 这是控制理论的基本方法 。 从动态性能看，在相同形式的输入作 用下，数学模型相同而物理本质不同的系统 其输出响应相似。相似系统是控制理论中进 行实验模拟的基础。
2.1.3 电机
电动机=机械+电气。 电枢控制式直流电动机的原理图如图所示。
根据基尔霍夫定律，得电路方程
dia (t ) ei (t ) = Ra ia (t ) + La + em (t ) dt
磁场对载流线圈的作用力矩 T (t ) = K T ia (t ) 根据电磁感应定律，电机产生的反电动势
∫
∫
d2 d LC 2 uo (t ) + RC uo (t ) + uo (t ) = ui (t ) dt dt
d LC 2 u o (t ) + RC u o (t ) + u o (t ) = ui (t ) dt dt
d2
一般R、L、C均为常数，上式为 二阶常系数微分方程。 若L=0，则系统简化为一阶常系数 微分方程：
= b0
dm dt
m
பைடு நூலகம்
xi (t ) + b1
d m −1 dt m −1
其中各项的系数为常数，且
n≥m
。
2.1.1 机械系统
机电控制系统的受控对象是机械系统。 在机械系统中，有些构件具有较大的惯性和 刚度，有些构件则惯性较小、柔度较大。在 集中参数法中，可以将前一类构件的弹性忽 略而视为质量块，将后一类构件的惯性忽略 而视为无质量的弹簧。这样受控对象的机械 系统可以抽象为质量-弹簧-阻尼系统。
d2θo (t) dt
2
dθo(t) +(RaD+KTKe ) = KTei (t) dt
此系统微分方程为三阶微分方程。当电枢 电感较小时，可以忽略不计，令La=0，则 可以简化为二阶微分方程
RaJ d2θo (t) dt
2
dθo (t) +(RaD+KTKe ) = KTei (t) dt
相似系统 具有相同的数学模型的不同物理系统称为相 似系统。它揭示了不同物理现象之间的相似关系。 同一物理系统有不同形式的数学模型，而不 同类型的系统也可以有相同形式的数学模型。
《控制工程基础》 控制工程基础》
第2章 控制系统的动态数学模型 本章主要内容： （1）建立控制系统的数学模型：质量-弹簧-阻 尼系统、电路、电机等。 （2）控制系统的分析工具：拉普拉斯变换及其 反变换。 （3）经典控制理论的基本概念：传递函数。 （4）控制系统的图形表示：传递函数方块图。
2.1 基本环节数学模型
建立数学模型的一般步骤： （1）分析系统工作原理和信号传递变换的 过程，确定系统和各元件的输入、输出量。 （2）从输入端开始，按照信号传递变换过 程，依据各变量遵循的物理学定律，依次列 写出各元件、部件的动态微分方程。 （3）消去中间变量，得到描述元件或系统 输入、输出变量之间关系的微分方程。 （4）标准化：右端输入，左端输出，导数 降幂排列。
动态数学模型：描述变量各阶导数之间 关系的微分方程。描述动态系统瞬态特性或 过渡过程的模型。也可定义为描述实际系统 各个物理量随时间变化的数学表达式。动态 系统的输出信号不仅取决于同时刻的激励信 号，而且与它过去的工作状态有关。 动态数学模型一般可以用系统的微分方 程或差分方程来描述。 对于给定的动态系统，数学模型的表达 方法还有多种。工程上常用的数学模型有： 微分方程、传递函数和频率特性。对于线性 系统，它们之间是等价的。
工件 动力滑台
组合机床动力滑台及其等效的力学模型
控制系统微分方程的列写： 机械系统中以各种形式出现的物理现象， 都可简化为质量、弹簧和阻尼三个要素。 质量：
d d2 f m (t ) = m v(t ) = m 2 x(t ) dt dt
弹簧：
f k (t ) = k [x1 (t ) − x 2 (t ) ] = kx (t ) =k
线性定常系统可以用常系数线性微分方程 来描述，其一般形式为
a0 dn dt
n
xo (t ) + a1
d n −1 dt n −1
d xo (t ) + L + a n −1 xo (t ) + a n xo (t ) dt d xi (t ) + L + bm −1 xi (t ) + bm xi (t ) dt
d2
d m 2 x0 (t ) + D x0 (t ) + kx 0 (t ) = f i (t ) dt dt
d2
式中，m、D、k通常均为常数，故机械 平移系统可以由二阶常系数微分方程描述。 显然，微分方程的系数取决于系统的结 构参数，而阶次等于系统中独立储能元件 （惯性质量、弹簧）的数量。
机械平移系统（弹簧-阻尼）：
机械平移系统（质量-弹簧-阻尼）：
d2 f i (t ) − f D (t ) − f k (t ) = m dt 2 x0 (t ) f k (t ) = kx0 (t ) d f D ( t ) = D x0 ( t ) dt
d m 2 x0 (t ) + D x0 (t ) + kx 0 (t ) = f i (t ) dt dt
f i (t ) = f D (t ) + f k (t ) d D xo (t ) + kxo (t ) = f i (t ) dt
系统运动方程为一阶 常系数微分方程。
机械旋转系统（转动惯量-扭转弹簧-扭转阻尼）：
T (t ) = k [θ (t ) − θ (t )] i o k d TD (t ) = D θ o (t ) dt d2 J 2 θ o (t ) = Tk (t ) − TD (t ) dt
dθo (t ) em (t ) = Ke dt
根据牛顿第二定律，得机械旋转系统的方程
dθo (t ) d 2θo (t ) T (t ) − D =J dt dt 2
将上述方程合并整理，消去中间变量，得电枢 控制式直流电动机控制系统的动态数学模型
LaJ d3θo (t) dt
3
+(LaD+ RaJ)