中考数学专题复习过关集训第四单元三角形第6课时相似三角形练习新人教版

第6课时 相似三角形基础达标训练1. (2017连云港)如图，已知△ABC ∽△DEF ，AB ∶DE ＝1∶2，则下列等式一定成立的是( )第1题图A. BC DF ＝12B. ∠A 的度数∠D 的度数＝12C.△ABC 的面积△DEF 的面积＝12 D. △ABC 的周长△DEF 的周长＝122. (2017重庆B 卷)已知△ABC ∽△DEF ，且相似比为1∶2，则△ABC 与△DEF 的面积比为( )A. 1∶4B. 4∶1C. 1∶2D. 2∶13. (2017张家界)如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的中点，如果△ADE 的周长是6，则△ABC 的周长是( )A. 6B. 12C. 18D. 24第3题图 第4题图4. 如图，AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点O ，若AO ＝2，DO ＝4，BO ＝3，则BC 的长为( ) A. 6 B. 9 C. 12 D. 155. 关注数学文化(2017眉山)“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为( )A. 1.25尺B. 57.5尺C. 6.25尺D. 56.5尺第5题图6. (2017永州)如图，在△ABC 中，点D 是AB 边上的一点，若∠ACD ＝∠B ，AD ＝1，AC ＝2，△ADC 的面积为1，则△BCD 的面积为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4第6题图7. (2017哈尔滨)如图，在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 边上的点，DE ∥BC ，点F 为BC 边上一点，连接AF 交DE 于点G .则下列结论中一定正确的是( )A. AD AB ＝AE ECB. AG GF ＝AEBD C . BD AD ＝CE AE D . AG AF ＝ACEC第7题图8. (2015株洲)如图，已知AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，垂足分别是B 、D 、F ，且AB ＝1，CD ＝3，那么EF 的长是( )A. 13B. 23C. 34D. 45第8题图9. 下列说法：①所有等腰三角形都相似；②有一组底角相等的两个等腰三角形相似；③有一组角相等的两个等腰三角形相似；④有一组角为60°的两个直角三角形相似，其中正确的说法是( )A. ②④B. ①③C. ①②④D. ②③④10. (2017泰安)如图，正方形ABCD 中，M 为BC 上一点，ME ⊥AM ，ME 交AD 的延长线于点E .若AB ＝12，BM ＝5，则DE 的长为( )第10题图A. 18B. 1095C. 965D. 25311. 如图，在△ABC 中，AB ≠AC ，D 、E 分别为边AB 、AC 上的点．AC ＝3AD ，AB ＝3AE ，点F 为BC 边上一点，添加一个条件：__________，可以使得△FDB 与△ADE 相似．(只需写出一个)第11题图12. 如图，路灯C距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部(点O)20米的A 处，则小明的影子AM长为________米．第12题图13. (2017甘肃省卷)如图，一张三角形纸片ABC，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm.现将纸片折叠：使点A与点B重合，那么折痕长等于________cm.第13题图14. (源自人教八上56页)如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE于点D，BE⊥CE于点E，BA交EC于点F.已知AD＝4，DE＝1，求EF的长．第14题图15. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B.(1)求证：AC·CD＝CP·BP；(2)若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．第15题图能力提升拓展1. (2017新疆内高)如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC ，若△ADE 与四边形DBCE 的面积相等，则DE BC等于( )第1题图A. 1B.22C. 12D. 142. (2017随州)在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，点D 在边AB 上，且AD ＝2，点E 在边AC 上，当AE ＝__________________时，以A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似．3. (2016舟山)如图，已知△ABC 和△DEC 的面积相等，点E 在BC 边上，DE ∥AB 交AC 于点F ，AB ＝12，EF ＝9，则DF 的长是________．第3题图4. (2017攀枝花)如图，D 是等边△ABC 边AB 上的点，AD ＝2，DB ＝4.现将△ABC 折叠，使得点C 与点D 重合，折痕为EF ，且点E 、F 分别在边AC 和BC 上，则CF CE＝________．第4题图5. (2017杭州)如图，在锐角三角形ABC 中，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，AG ⊥BC 于点G ，AF ⊥DE 于点F ，∠EAF ＝∠GAC .(1)求证：△ADE ∽△ABC ；(2)若AD ＝3，AB ＝5，求AF AG的值．第5题答案基础达标训练 1. D2. A 【解析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得△ABC 与△DEF 的面积比为(1∶2)2＝1∶4.3. B 【解析】∵D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的中点，∴DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，且相似比为1∶2，∵△ADE 的周长为6，∴△ABC 的周长为12.4. B 【解析】∵AB ∥CD ，∴BO CO ＝AO DO ，∵AO ＝2，DO ＝4，BO ＝3，∴3CO ＝24，解得CO ＝6，∴BC ＝BO ＋CO ＝3＋6＝9.5. B 【解析】设井深x 尺，则AD ＝(x ＋5)尺，∵BC ∥DE ，∴0.45＝5x ＋5，解得x ＝57.5，经检验，x ＝57.5是原分式方程的解，∴井深57.5尺．6. C 【解析】∵在△ACD 和△ABC 中，∠DAC ＝∠CAB ，∠ACD ＝∠ABC ，∴△ACD ∽△ABC ，∴S △ABC S △ADC ＝(AC AD)2＝4，∵S △ADC ＝1，∴S △ABC ＝4，∴S △BCD ＝S △ABC －S △ACD ＝3.7. C 【解析】∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AD AB ＝AE AC ，故A 错误；∵DE ∥BC ，∴AG GF＝AE EC ，故B 错误；∵DE ∥BC ，∴BD AD ＝CE AE ，故C 正确；∵DE ∥BC ，∴△AGE ∽△AFC ，∴AG AF ＝AE AC，故D 错误．8. C 【解析】∵AB ⊥BD ，EF ⊥BD ，∴△EFD ∽△ABD ，∴EF AB ＝FDBD ，同理，EF CD ＝BF BD，∴EF AB ＋EF CD ＝FD BD ＋BF BD ＝FD ＋BF BD ＝1，∵AB ＝1，CD ＝3，∴EF 1＋EF 3＝1，解得EF ＝34.9. A 【解析】①中等腰三角形角不确定，所以①错误；②中有一组底角相等即所有角都对应相等，②正确；③中可能是一底角和一顶角相等，所以③错误；④中两组角对应相等，④正确，故选A .10. B 【解析】∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B ＝90°，AD ＝AB ＝12，AD ∥BC ，∵AB ＝12，BM ＝5，由勾股定理得AM ＝13，∵AD ∥BC ，∴∠EAM ＝∠AMB ，∵∠AME ＝∠B ＝90°，∴△EAM ∽△AMB ，∴EA AM ＝AM MB ，即DE ＋1213＝135，解得DE ＝1095.11. DF ∥AC (答案不唯一) 【解析】∵AC ＝3AD ，AB ＝3AE ，∴AD AC ＝AEAB，∵∠A 为公共角，∴△ADE 与△ACB 相似，可以将原问题转化为，要使△FDB 与△ACB 相似，则DF ∥AC 即可．12. 5 【解析】根据题意，易得△MBA ∽△MCO ，∴AB OC ＝AM OM ＝AM OA ＋AM ，即1.68＝AM20＋AM，解得AM ＝5.则小明的影长为5米．13.154【解析】如解图①，折痕为MN ，在Rt △ABC 中，AB ＝62＋82＝10，由折叠性质得AM ＝BM ＝5，∵∠A ＝∠A ，∠AMN ＝∠C ＝90°，∴△AMN ∽△ACB ，∴AM AC ＝MNBC，∴MN ＝AM ·BC AC ＝5×68＝154.图①图②第13题解图一题多解：在Rt △ABC 中，AB ＝62＋82＝10，如解图②，折痕为MN ，连接BN ，由折叠性质得∠BMN ＝∠AMN ＝90°，AN ＝BN ，AM ＝BM ＝5，设AN ＝BN ＝x ，则CN ＝8－x ，在Rt △BMN 和Rt △BCN 中，由勾股定理得52＋MN 2＝x 2，62＋(8－x )2＝x 2，解得x ＝254，∴MN ＝x 2－52＝（254）2－52＝154. 14. 解：∵AD ⊥CE ， ∴∠ACD ＋∠CAD ＝90°， 又∵∠ACB ＝90°， ∴∠BCE ＋∠ACD ＝90°， ∴∠BCE ＝∠CAD ， 又∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ， ∴∠E ＝∠ADC ＝90°， 在△ACD 和△CBE 中，＝＝ADC ECAD BCE AC CB ∠∠∠∠=⎧⎪⎨⎪⎩， ∴△ACD ≌△CBE(AAS)， ∴CE ＝AD ＝4，∴BE ＝CD ＝CE －DE ＝4－1＝3，∵∠E ＝∠ADF ，∠BFE ＝∠AFD ， ∴△BEF ∽△ADF ，∴BE AD ＝EF DF， 设EF ＝x ，则DF ＝1－x ， ∴34＝x 1－x ，解得x ＝37， 即EF 的长为37.15. (1)证明：∵在△ABC 中，AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C ， ∵∠APD ＝∠B ， ∴∠APD ＝∠C ，∵∠APC ＝∠B ＋∠BAP ，∠APC ＝∠APD ＋∠DPC ， ∴∠B ＋∠BAP ＝∠APD ＋∠DPC ， ∴∠BAP ＝∠DPC ， 又∵∠B ＝∠C ， ∴△ABP ∽△PCD ，∴BP CD ＝AB PC， ∵AB ＝AC ， ∴AC ·CD ＝CP ·BP ； (2)解：∵PD ∥AB ， ∴∠BAP ＝∠APD ， ∵∠APD ＝∠B ，∴∠BAP ＝∠B ， 又∵∠B ＝∠C ， ∴∠BAP ＝∠C ， 又∵∠B ＝∠B ， ∴△ABP ∽△CBA ，∴BP AB ＝AB BC， ∵AB ＝10，BC ＝12，∴BP 10＝1012， ∴BP ＝10×1012＝253.能力提升拓展1. B 【解析】∵△ADE 与四边形DBCE 的面积相等，∴△ADE 与△ABC 的面积比为1∶2，∵DE ∥BC ，∴DE BC ＝22. 2. 53或125【解析】先根据题意画出图形，然后分为△ADE ∽△ABC 和△ADE ∽△ACB 两种情况：如解图①，∵∠A ＝∠A ，∴当AD AB ＝AE AC 时，△ADE ∽△ABC ，∴26＝AE 5，解得AE ＝53；如解图②，∵∠A ＝∠A ，∴当AD AC ＝AE AB 时，△ADE ∽△ACB ，∴25＝AE 6，解得AE ＝125.第2题解图3. 7 【解析】∵△ABC 与△DEC 的面积相等，∴△CDF 与四边形AFEB 的面积相等，∵AB ∥DE ，∴△CEF ∽△CBA ，∵EF ＝9，AB ＝12，∴EF AB ＝912＝34，∴S △CEF S △CBA ＝916，设△CEF 的面积为9k ，则四边形AFEB 的面积为7k ，∴S △CDF ＝7k ，∵△CDF 与△CEF 是同高不同底的三角形，∴它们的面积比等于底边比，∴S △CDF S △CEF ＝DF EF ＝7k 9k，∴DF ＝7. 4. 54【解析】由题易知∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠EDF ＝60°，∴ ∠AED ＝∠FDB ，∴△AED ∽△BDF ，∴ED DF ＝AE BD ＝AD BF ，∴ED DF ＝AE ＋ED ＋AD DF ＋BF ＋DB，由翻折易知EC ＝ED ，FC ＝FD ，∴CE CF ＝AE ＋EC ＋AD FC ＋BF ＋BD ，即CE CF ＝AC ＋AD BC ＋BD，∵AD ＝2，BD ＝4，∴AB ＝BC ＝AC ＝6，∴CE CF ＝6＋26＋4＝45，∴CF CE ＝54. 5. (1)证明：∵AG ⊥BC ，AF ⊥DE ，∴∠AFE ＝∠AGC ＝90°，∵∠EAF ＝∠GAC ，∴∠AED ＝∠C ，又∵∠DAE ＝∠BAC ，∴△ADE ∽△ABC ；(2)解：由(1)知△ADE ∽△ABC ，∴AE AC ＝AD AB ＝35， 又∵∠AFE ＝∠AGC ，∠EAF ＝∠GAC ，∴△AEF∽△ACG，∴AFAG＝AEAC＝35.。