证明不等式的基本方法练习题(基础、经典、好用)
证明不等式的基本方法
一、选择题
1．设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是( )
A ．s ≥t
B ．s >t
C ．s ≤t
D ．s 2．设0 11－x 中最大的一个是( ) A ．a B ．b C ．c D ．无法判断 3．设a 、b ∈(0，＋∞)，且ab －a －b ＝1，则有( ) A ．a ＋b ≥2(2＋1) B ．a ＋b ≤2＋1 C ．a ＋b ＜2＋1 D ．a ＋b ＞2(2＋1) 4．已知a 、b 、c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c 的最小值为( ) A ．5 B ．7 C ．9 D ．11 5．(2012·湖北高考)设a ，b ，c ，x ，y ，z 均为正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则 a ＋ b ＋ c x ＋y ＋z 等于( ) A.14 B.13 C.12 D.34 二、填空题 6．设a ＞b ＞0，m ＝a －b ，n ＝a －b ，则m 与n 的大小关系是________． 7．以下三个命题：①若|a －b |＜1，则|a |＜|b |＋1；②若a 、b ∈R ，则|a ＋b |－2|a |≤|a －b |； ③若|x |＜2，|y |＞3，则|x y |＜23，其中正确命题的序号是________． 8．若x ＋y ＋z ＝1，且x ，y ，z ∈R ，则x 2＋y 2＋z 2与13的大小关系为________． 三、解答题 9．设a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab ≥8. 10．(2013·深圳调研)已知a ，b 为正实数． (1)求证：a 2b ＋b 2a ≥a ＋b ； (2)利用(1)的结论求函数y ＝（1－x ）2x ＋x 2 1－x (0＜x ＜1)的最小值． 11．(1)设x ≥1，y ≥1，证明x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy . (2)1≤a ≤b ≤c ，证明log a b ＋log b c ＋log c a ≤log b a ＋log c b ＋log a c . 解析及答案 一、选择题 1．【解析】 ∵s －t ＝b 2－2b ＋1＝(b －1)2≥0，∴s ≥t . 【答案】 A 2．【解析】 ∵0 的大小， ∵1＋x －11－x ＝1－x 2－11－x ＝－x 2 1－x <0， ∴1＋x < 11－x . 因此c ＝11－x 最大． 【答案】 C 3．【解析】 ∵ab －a －b ＝1，∴1＋a ＋b ＝ab ≤(a ＋b 2)2. 令a ＋b ＝t (t ＞0)，则1＋t ≤t 24(t ＞0)． 解得t ≥2(2＋1)，则a ＋b ≥2(2＋1)． 【答案】 A 4．【解析】 把a ＋b ＋c ＝1代入1a ＋1b ＋1c 得 a ＋ b ＋ c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c ) ≥3＋2＋2＋2＝9. 【答案】 C 5．【解析】 由题意可得x 2＋y 2＋z 2＝2ax ＋2by ＋2cz ， 又a 2＋b 2＋c 2＝10 相加可得(x －a )2＋(y －b )2＋(z －c )2＝10， 所以不妨令⎩⎨⎧x －a ＝a ，y －b ＝b ，z －c ＝c (或⎩⎨⎧x －a ＝b ， y －b ＝c ，z －c ＝a )， 则x ＋y ＋z ＝2(a ＋b ＋c )， ∴a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝12 . 【答案】 C 二、填空题 6．【解析】 ∵a ＞b ＞0， ∴m ＝a －b ＞0，n ＝a －b ＞0. ∵m 2－n 2＝(a ＋b －2ab )－(a －b ) ＝2b －2ab ＝2b (b －a )＜0， ∴m 2＜n 2，从而m ＜n . 【答案】 m ＜n 7．【解析】 ①|a |－|b |≤|a －b |＜1，所以|a |＜|b |＋1； ②|a ＋b |－|a －b |≤|(a ＋b )＋(a －b )|＝|2a |， 所以|a ＋b |－2|a |≤|a －b |； ③|x |＜2，|y |＞3，所以1|y |＜13，因此|x ||y |＜23. ∴①②③均正确． 【答案】 ①②③ 8．【解析】 ∵(x ＋y ＋z )2＝1， ∴x 2＋y 2＋z 2＋2(xy ＋yz ＋zx )＝1， 又2(xy ＋yz ＋zx )≤2(x 2＋y 2＋z 2)， ∴3(x 2＋y 2＋z 2)≥1，则x 2＋y 2＋z 2≥13. 【答案】 x 2＋y 2＋z 2≥13 三、解答题 9．【证明】 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1， ∴2ab ≤a ＋b ＝1. 因此ab≤1 2， 1 ab≥4. 则1 a＋ 1 b＋ 1 ab＝(a＋b)( 1 a＋ 1 b)＋ 1 ab ≥2ab·2 1 ab＋4＝8. 故1 a＋ 1 b＋ 1 ab≥8成立． 10．【解】(1)证明∵a2 b＋ b2 a－(a＋b)＝ a3＋b3－a2b－ab2 ab ＝a2（a－b）－b2（a－b） ab＝ （a－b）2（a＋b） ab. 又∵a＞0，b＞0， ∴（a－b）2（a＋b） ab≥0， 当且仅当a＝b时等号成立． ∴a2 b＋ b2 a≥a＋b. (2)∵0＜x＜1，∴1－x＞0， 由(1)的结论，函数y＝（1－x）2 x＋ x2 1－x ≥(1－x)＋x＝1. 当且仅当1－x＝x即x＝1 2时等号成立． ∴函数y＝（1－x）2 x＋ x2 1－x (0＜x＜1)的最小值为1. 11．【证明】(1)由于x≥1，y≥1，则 x＋y＋1 xy≤ 1 x＋ 1 y＋xy⇔xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy) 2， 将上式中右式减左式得[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)] ＝(xy－1)(xy－x－y＋1) ＝(xy－1)(x－1)(y－1)， 由x≥1，y≥1易知(xy－1)(x－1)(y－1)≥0， 即原不等式成立． (2)设log a b＝x，log b c＝y，由对数换底公式得 log c a＝1 xy，log b a＝ 1 x，log c b＝ 1 y，log a c＝xy， 则所证不等式可化为x＋y＋1 xy≤ 1 x＋ 1 y＋xy， 由1≤a≤b≤c知x＝log a b≥1，y＝log b c≥1，由(1)知所证不等式成立． 证明不等式的基本方法 一、选择题 1．设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是( ) A ．s ≥t B ．s >t C ．s ≤t D ．s 高考经典专题：三元基本不等式习题 1．设0x >，则()2142f x x x =-- 的最大值为（ ） A ．4B ．4C ．不存在 D ．52 2．函数()230y x x x =+>的最小值是 ( ) A ．332 18 B ． C ． D ． 3．若2,3a b >>，则1(2)(3) a b a b ++ --的最小值为________. 4．（1）已知,,x y z 均为正数，且1864xyz = ，求证：(82)(82)(82)27x y z +++≥； （2）已知实数,m n 满足m 1≥，12 n ≥ ，求证：222224142m n mn m n m n ++≤++. 5．已知正数x 、y 、z ，且1xyz =. （1）证明：222x y z y z x z y ++≥； （2）证明：()()()22212x y y z z x +++++≥. 6．已知,,a b c 为正数，且1abc =，求证333()()()24a b a c b c +++++≥． 7．已知a ，b ，c 为一个三角形的三边长.证明： （1）3b c a a b c ++≥； （2）22a b c >++. 8．（选修4-5：不等式选讲） 已知0,0,0x y z >>>，且1xyz =，求证：333x y z xy yz xz ++≥++ 参考答案 1．D ()2211544422222x x f x x x x ??=-- =-++≤-= ??? 当21222x x x ==即1x =时等号成立 2．A 函数2233322y x x x x x =+ =++≥=，当且仅当232x x =，即x ＝2时取等号，故函数()230y x x x =+>． 3．8令2,3a t b m -=-=2,3a b >>Q ，20,30a b ∴->->，即0,0t m >>， 所以11558(2)(3)a b t m a b tm ++=+++=--…， 当且仅当1t m tm ==，即123(2)(3)a b a b -=-=--，即当3,4a b ==时等号成立. 4．（1）证明：因为0x >，由三个正数的基本不等式可得， 82811x x +=++≥18 x = 时取等号； 同理可得82y +≥82z +≥，当且仅当11,88y z ==时取等号； 故(82)(82)(82)x y z +++≥18 x y z ===时取等号， 因为1864 xyz =，所以(82)(82)(82)27x y z +++≥， 当且仅当18 x y z ===时取等号. （2）证明：要证222224142m n mn m n m n ++≤++， 即证2222442210m n mn n m n m -+-+-≥，即证24(1)(22)(1)10mn m mn n m m --+-+-≥， 即证() 2(1)42210m mn mn n ---+≥，即证(1)[2(21)(21)]0m mn n n ----≥， 即证(1)(21)(21)0m n mn ---≥，因为m 1≥，12 n ≥，所以10m -≥，210n -≥，210mn -≥， 所以(1)(21)(21)0m n mn ---≥，所以222224142m n mn m n m n ++≤++得证.. 5．（1）因为x 、y 、z 为正数，且1xyz =，所以222x y y z z +≥==， 基本不等式 1．函数y ＝x ＋1 x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab ≤2；③x 2＋1 x 2＋1≥1，其中正确的个数是 ( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.1 2 B ．1 C ．2 D ．4 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋ 1 x －2 (x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1 t 的最小值为________． 利用基本不等式求最值 【例1】►(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1 y 的最小值为________； (2)当x ＞0时，则f (x )＝ 2x x 2 ＋1 的最大值为________． 【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋ 1 x －1 的最小值为________． (2)已知0＜x ＜2 5，则y ＝2x －5x 2的最大值为________． (3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________． 利用基本不等式证明不等式 【例2】►已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c . 【训练2】 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1 c ≥9. 利用基本不等式解决恒成立问题 【例3】►(2010·山东)若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是 ________． 【训练3】 (2011·宿州模拟)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________． 考向三 利用基本不等式解实际问题 【例3】►某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过5 m ．房屋正面的造价为400元/m 2，房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？ (2010·四川)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋ 1 a (a － b ) 的最小值是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3.不 等 式 一．不等式的性质： 1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若 ,a b c d ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； 2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则 a b c d >）； 3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >> 4．若0ab >，a b >，则 11a b <；若0ab <，a b >，则11 a b >。如 （1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题： ①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,2 2； ③2 2,0b ab a b a >><<则若； ④b a b a 11,0<<<则 若； ⑤b a a b b a ><<则 若,0； ⑥b a b a ><<则若,0； ⑦b c b a c a b a c ->->>>则 若,0； ⑧11 ,a b a b >>若，则0,0a b ><。 其中正确的命题是______ （答：②③⑥⑦⑧）； （2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______ （答：137x y ≤-≤）； （3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则 a c 的取值范围是______ （答：12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ） 二．不等式大小比较的常用方法： 1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 基本不等式的证明LT c2＋a2≥2ca． 把以上三式叠加，得 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca ③ (当且仅当a=b=c时取“=”号)． 以此类推：如果a i∈R，i=1，2，…，n，那么有 ④ (当且仅当a1=a2=…=a n时取“=”号)． ④式是②式的一种推广式，②式就是④式中n=2时的特殊情况．③和④式不必当作公式去记，但从它们的推导过程中可以学到一种处理两项以上的和式问题的数学思想与方法——迭代与叠加． 3．再探索 师：考察两个以上实数的更高次幂的和，又能得到什么有趣的结果呢？先考查两个实数的立方和．由于 a3＋b3=(a＋b)(a2－ab＋b2)， 启示我们把②式变成 a2－ab＋b2≥ab， 两边同乘以a＋b，为了得到同向不等式，这里要求a、b∈R+，得到 a3＋b3≥a2b＋ab2． ⑤ 考查三个正实数的立方和又具有什么性质呢？ 生：由③式的推导方法，再增加一个正实数c，对b、c，c、a迭代⑤式，得到 b3＋c3≥b2c＋bc2， c3＋a3≥c2a＋ca2． 三式叠加，并应用公式②，得 2(a3＋b3＋c3)≥a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2) ≥a·2bc＋b·2ca＋c·2ab=6abc． ∴a3＋b3＋c3≥3abc ⑥ (当且仅当a=b=c时取“=”号)． 师：这是课本中的不等式定理2，即三个正实数的立方和不小于它们的积的3倍．同学们可能想到n个正实数的立方和会有什么结果，进一步还会想到4个正数的4次方的和会有什么结果，直至n个正数的n 次方的和会有什么结果．这些问题留给同学们课外去研究． 4．推论 师：直接应用公式②和⑥可以得到两个重要的不等式． ⑦ (当且仅当a=b时取“=”号)． 这就是课本中定理1的推论． 数学所有不等式放缩技巧及证明方法 第一篇：数学所有不等式放缩技巧及证明方法 高考数学所有不等式放缩技巧及证明方法 一、裂项放缩 例1.(1)求 例2.(1)求证:1+(2)求证: / 7 ∑4kk=1n22-1的值;(2)求证: ∑k=1n15<3k2.11171++Λ+>-(n≥2)22262(2n-1)35(2n-1)11111 1+++Λ+2<-4163624n4n(3)求证: 11⋅31⋅3⋅51⋅3⋅5⋅Λ⋅(2n-1)+++Λ+<2n+1-1 22⋅42⋅4⋅62⋅4⋅6⋅Λ⋅2n(4)求证：2(n+1-1)<1+1+1+Λ+1<2(2n+1-1) 23n 例3.求证: 例4.(2008年全国一卷)设函数6n1115≤1+++Λ+2< (n+1)(2n+1)49n3a-bf(x)=x-xlnx.数列{a}满足0 不等式的基本知识 （一）不等式与不等关系 1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a <⇔> (2)传递性：c a c b b a >⇒>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>；d b c a d c b a +>+⇒>>,(同向可加) (4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,； bc ac c b a <⇒<>0, bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(同向同正可乘) (5)倒数法则：b a a b b a 1 10,<⇒ >> (6)乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论） 3、应用不等式性质证明不等式 （二）解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式()0002 2 ≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42 -=∆，则不等式的解的各种情况 如下表： 2、简单的一元高次不等式的解法： 标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿偶不穿；（3）根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集。()()()如：x x x +--<11202 3 3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。 ()()0() () 0()()0;0()0 () ()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨ ≠⎩ 4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()f x A > ()f x 不等式的证明方法经典例题 第一篇：不等式的证明方法经典例题 不等式的证明方法 不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。 a2+b2a+b注意a+b≥2ab的变式应用。常用(其中a,b∈R+)来解决有≥2222关根式不等式的问题。 一、比较法 比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。 1、已知a,b,c均为正数，求证： 111111++≥++ 2a2b2ca+bb+cc+a 二、综合法 综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。 2、a、b、c∈(0,+∞)，a+b+c=1，求证： 4a2+b2+c2≥4413 3、设a、b、c是互不相等的正数，求证：a+b+c>abc(a+b+c) 4、知a,b,c∈R，求证: a2+b+2b2+c+2c2+a≥2(a+b+c) 211(1+)(1+)≥9xy5、x、y∈(0,+∞)且x+y=1，证：。 6、已知a,b∈R,a+b=1求证： 1++⎛⎝1⎫⎛1⎫1⎪1+⎪≥.a⎭⎝b⎭9 三、分析法 分析法的思路是“执果索因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件，直至已成立的不等式。 7、已知a、b、c为正数，求证： 2(a+ba+b+c3-ab)≤3(-abc)23 8、a、b、c∈(0,+∞)且a+b+c=1，求证a+b+c≤3。 四、换元法 换元法实质上就是变量代换法，即对所证不等式的题设和结论中的字母作适当的变换，以达到化难为易的目的。 9、b<1，求证：ab+(1-a2)(1-b2)≤1。 22x+y=1，求证：-2≤x+y≤210、114+≥.a-bb-ca-c1222212、已知1≤x＋y≤2，求证：≤x－xy＋y≤3． 211、已知a>b>c,求证： 13、已知x－2xy＋y≤2，求证：| x＋y |≤10． 14、解不等式5-x-221x+1＞ 2215、－1≤1-x－x≤2． 五、增量代换法 在对称式(任意互换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如a＞b＞c)的不等式，常用增量进行代换，代换的目的是减少变量的个数，使要证的结论更清晰，思路更直观，这样可以使问题化难为易，化繁为简． 16、已知a，b∈R，且a＋b = 1，求证：(a＋2)＋(b＋2)≥ 六、利用“1”的代换型 2225．2111已知a,b,c∈R+,且a+b+c=1,求证：++≥9.abc17、七、反证法 反证法的思路是“假设→矛盾→肯定”，采用反证法时，应从与结论相反的假设出发，推出矛盾的过程中，每一步推理必须是正确的。 18、若p＞0，q＞0，p＋q= 2，求证：p＋q≤2．证明：反证法33119、已知a、b、c∈（0，1），求证：(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a，不能均大于4。 20、已知a,b,c∈（0，1），求证：（1－a）b,（1－b）c,（1－c）a 不能同时大于 1。 421、a、b、c∈R，a+b+c>0，ab+bc+ca>0，a⋅b⋅c>0，求证：a、b、c均为正数。 第四讲：基本不等式与不等式证明 一、常用的基本不等式有以下这些： （1 a、b E R,a2+b2启2ab，当且仅当a = b时,取号； ⑵a、b R，_ *$ab,当且仅当a =b时，取"号； 2 2 ⑶a、b R, a2 b2——，当且仅当a=b时，取“=”号； 2 ⑷ a、b、c R，a3 b3 c3亠3abc，当且仅当a = b = c时，取“=”号； （5）a、b、c^R戈一b_ >3abc，当且仅当a=b = c时取“=”号。 3 推广到n: 山-厂+印+a?十j|| +a^ 訂--- --- a i, a2^l,a^ R，------ 一一n a^?|）1 a., n 当且仅当耳虫厂川二a n时取“号。 二、证明不等式常用的方法有比较法、公式法、综合法、分析法、放缩法、反证法、数形结合 法以及数学归纳法等。 a~b 例题仁若0 £ a £ b ci,贝Ua a,a b, a ab, a 2中最小的数是______ . 例题2、如果正数a, b, c, d满足a - b =cd =4，那么（） A. ab< c d，且等号成立时a, b, c, d的取值唯一 B. ab > c d，且等号成立时a, b, c, d的取值唯一 c. ab < c d，且等号成立时a, b, c, d的取值不唯一 D. ab > c d，且等号成立时a, b, c, d的取值不唯一 例题3、 （i）已知求x j：的最小值。 （2）函数y 二a 1公（a 0, a =1）的图象恒过定点 A ，若点A 在直线mx • ny -1 =0（mn • 0） 1 1 上，则 的最小值为. m n a b 例题4、已知a 、b 为两个正常数，x>0,y>0,且 1 ,求x+y 的最小值. x y 例题5、某种汽车，（1）购买时费用为10万元，（2）每年交保险费、养路费、汽油费合计 9 千元；（3）汽车的维修费平均为第一年 2千元，第二年4千元，第三年6千元，依次成等差 数列，逐年递增，求这种汽车使用多少年报废最合算？ 1 1 n 例题6、若对一切a>b>c,不等式 _ 恒成立，求n 的最大值. a — b b — c a — c (3) （09全国高考题） 3 y = tan2xtan x 的最大值 基本不等式与不等式基本证明 第一部分：基本不等式变形技巧的应用 基本不等式在求解最值、值域等方面有着重要的应用，利用基本不等式时，关键在对已知条件的灵活变形，使问题出现积（或和）为定值，以便解决问题，现就常用技巧给以归纳。 技巧一：加减常数 例1、求函数)1(1 1 ≠-+ =x x x y 的值域。 点评：当各项符号不确定时，必须分类讨论，要保证代数式中的各项均为正。 技巧二：巧变常数 例2、已知2 1 0< 点评：根据分母的特点，进行结构调整为统一的形式，这样便能快速求解。含有根号的问题也要注意形式的统一（如求函数)10(12<<-=x x x y 可变形为)1(22x x y -=等）。 第二部分：均值定理证明不等式的方法技巧 1． 轮换对称型 例1 .,,2 22ac bc ab c b a c b a ++>++证：是互不相等的实数，求 若 点评：分段应用基本等式，然后整体相加(乘)得结论，是证明轮换对称不等式的常用技 巧。 2． 利用“1”的代换型 例2 . 91 11 ,1 ,,,≥++=++∈+c b a c b a R c b a 求证：且已知 点评：做“1”的代换。 . 3.逆向运用公式型 例3 已知 .22121 1,,≤+++ =+∈+b a b a R b a 求证： 点评：依据求证式的结构，凑出常数因子，是解决此类问题的关键。为脱去左边的根号， 将然后逆向运 转换成,211,211 21,21⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛ +⋅++b a b a 2.2 综合法与分析法 [A 级 基础巩固] 一、选择题 1．若实数x ，y 满足不等式xy ＞1，x ＋y ≥0，则() A ．x ＞0，y ＞0 B ．x ＜0，y ＜0 C ．x ＞0，y ＜0 D ．x ＜0，y ＞0 解析：因为xy ＞1＞0，所以x ，y 同号．又x ＋y ≥0，故x ＞0，y ＞0. 答案：A 2．设x ，y ＞0，且xy －(x ＋y )＝1，则( ) A ．x ＋y ≥2(2＋1) B ．xy ≤2＋1 C ．x ＋y ≤2(2＋1)2 D ．xy ≥2(2＋1) 解析：因为x ，y ＞0，且xy －(x ＋y )＝1， 所以(x ＋y )＋1＝xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22. 所以(x ＋y )2－4(x ＋y )－4≥0， 解得x ＋y ≥2(2＋1)． 答案：A 3．对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是() A ．sin(α＋β)＞sin α＋sin β B ．sin(α＋β)＞cos α＋cos β C ．cos(α＋β)＞sin α＋sin β D ．cos(α＋β)＜cos α＋cos β 解析：因为α，β为锐角，所以0＜α＜α＋β＜π， 所以cos α＞cos(α＋β)． 又cos β＞0，所以cos α＋cos β＞cos(α＋β)． 答案：D 4．设13＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13b ＜⎝ ⎛⎭ ⎪⎫13a ＜1，则( ) A ．a a ＜a b ＜b a B ．a a ＜b a ＜a b C ．a b ＜a a ＜b a D ．a b ＜b a ＜a a 解析：因为13＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13b ＜⎝ ⎛⎭ ⎪⎫13a ＜1， 所以0＜a ＜b ＜1，所以a a a b ＝a a －b ＞1，所以a b ＜a a ， a a b a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a .因为0＜a b ＜1，a ＞0， 所以⎝ ⎛⎭ ⎪⎫a b a ＜1，所以a a ＜b a ，所以a b ＜a a ＜b a . 答案：C 5．已知a ，b ∈R，则“a ＋b ＞2，ab ＞1”是“a ＞1，b ＞1”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：当a ＞1，b ＞1时，两式相加得a ＋b ＞2，两式相乘得ab ＞1. 反之，当a ＋b ＞2，ab ＞1时，a ＞1，b ＞1不一定成立． 如：a ＝12 ，b ＝4也满足a ＋b ＞2，ab ＝2＞1，但不满足a ＞1，b ＞1. 答案：B 二、填空题 6．若1a ＜1b ＜0，已知下列不等式：①a ＋b ＜ab ；②|a |＞|b |；③a ＜b ；④b a ＋a b ＞2. 其中正确的不等式的序号为________． 解析：因为1a ＜1b ＜0， 所以b ＜a ＜0，故②③错． 答案：①④ 7．若a ＞0，b ＞0，则下列两式的大小关系为： lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b 2________12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]． 解析：12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]＝12 lg[(1＋a )(1＋b )]＝lg[(1＋a )(1＋b )]12， 又lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b 2＝lg ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫a ＋b ＋22， 因为a ＞0，b ＞0， 所以a ＋1＞0，b ＋1＞0， 基本不等式一、选择题 1．若函数f(x)＝x＋ 1 x－2 (x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝() A．1＋ 2 B．1＋ 3 C．3 D．4 2．下列不等式：①a2＋1＞2a；②a＋b ab ≤2；③x2＋ 1 x2＋1 ≥1，其中正确的个数是() A．0 B．1 C．2 D．3 3．(2013·潮州模拟)已知a＞0，b＞0，则1 a＋ 1 b＋2ab的最小值是() A．2 B．2 2 C．4 D．5 4．(2012·湖北高考)设a，b，c均大于0，则“abc＝1”是“1 a ＋ 1 b ＋ 1 c ≤a＋b＋c”的 () A．充分条件不必要条件 B．必要条件不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要的条件 5．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是() A．3 B．4 C.9 2 D. 11 2 二、填空题 6．(2013·深圳调研)已知a，b∈R，且ab＝50，则|a＋2b|的最小值是________． 7．已知log2a＋log2b≥1，则3a＋9b的最小值为________． 8．某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是________． 三、解答题 9．已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求： (1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值． 10．已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1，求证：1 a＋ 1 b＋ 1 c≥9. 11. 某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件． (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新 和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万 元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少 应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价． 解析及答案 一、选择题 1．【解析】 ∵x ＞2，∴x －2＞0， ∴f (x )＝x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥2 （x －2）·1x －2 ＋2＝4， 当且仅当x －2＝1x －2 (x ＞2)，即x ＝3时等号成立， ∴a ＝3. 【答案】 C 2．【解析】 ①②不正确，③正确，x 2＋ 1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1 －1≥2－1＝1. 【答案】 B 3．【解析】 1a ＋1b ＋2ab ≥21 ab ＋2ab ≥441ab ·ab ＝4. 当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ，1ab ＝ab ，即a ＝b ＝1时，等号成立， 因此1a ＋1b ＋2ab 的最小值为4. 【答案】 C 4．【解析】 1a ＋1b ＋1c ＝bc ＋ca ＋ab abc ， 学生姓名： 任课教师： 试卷审查教师： 测试科目： 涉及章节： 教师评语： 不等是知识点 ★ 知 识 梳理 ★ 1.基本形式:,a b R ∈,则222a b ab +≥;0,0a b >>,则2a b ab +≥,当且仅当a b =时等号成立. 2求最值:当ab 为定值时,22,a b a b ++有最小值;当a b +或22a b +为定值时,ab 有最大值(0,0a b >>). 3.拓展：若0,0a b >>时,22 2 1122a b a b ab a b ++≤≤≤+,当且仅当a b =时等号成立. ★ 重 难 点 突 破 ★ 1.重点：理解基本不等式2 a b ab +≤ 等号成立条件，掌握用基本不等式证明不等式 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题. 2.难点：利用基本不等式2a b ab +≤求最大值、最小值 3.重难点：正确运用基本不等式证明不等式，会用基本不等式求某些函数的最值 二 方法技巧讲解 (1) 灵活运用基本不等式处理不等关系 问题1. 已知正数x 、y 满足x +2y =1，求 x 1+y 1的最小值. 点拨：∵x 、y 为正数，且x +2y =1， 日期： 2012- 时间： ∴x 1+y 1=（x +2y ）（x 1+y 1） =3+x y 2+y x ≥3+22， 当且仅当 x y 2=y x ，即当x =2－1，y =1－22时等号成立. ∴x 1+y 1的最小值为3+22. （2）注意取等号的条件 问题2. 已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=11()()x y x y ++ 的最小值为 。 点拨： 错解1、因为对a>0,恒有12a a +≥,从而z=11()()x y x y ++≥4,所以z 的最小值是4。 错解2、222222()22x y xy z xy xy xy xy xy +-==+-≥22(21)-=-，所以z 的最小值是2(21)-。 错因分析：解一等号成立的条件是11,11,1x y x y x y x y ====+=且即且与相矛盾。解二等号成立的条件是2,2xy xy xy ==即，与104 xy <≤相矛盾。 解析：z=11()()x y x y ++=1y x xy xy x y +++=21()222x y xy xy xy xy xy xy +-++=+-，令t=xy, 则210( )24x y t xy +<=≤=，由2()f t t t =+在10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减,故当t=14时 2()f t t t =+有最小值334,所以当12x y ==时z 有最小值254 。 ★ 热 点 考 点 题 型 探 析★ 考点1 利用基本不等式求最值(或取值范围) 题型1. 当积ab 为定值时,求和a b +最小值 基本不等式专题 知识点： 1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当 b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则 ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 5.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注意： (1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值， 当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一：求最值 例：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋ 1 2x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：(1)y ＝3x 2＋ 1 2x 2 ≥23x 2· 1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 专题10 不等式（同步练习） 一、判断两个数的大小和不等式证明 例1-1．已知a 、b 为正数,且b a ≠,比较33b a +与22ab b a +。 变式1-1-1．比较a a -+1与1--a a 的大小,其中1≥a 。 变式1-1-2．比较43---a a 与54---a a 的大小,其中5>a 。 例1-2．已知0>a ,试比较a 与 a 1的大小。 变式1-2．比较)1(log 3+a a 与)1(log 2+a a 的大小,其中0>a 且1≠a 。 例1-3．已知22π≤β<α≤π-,试求2β -α的取值范围。 变式1-3．设bx ax x f +=2)(且2)1(1≤-≤f ,4)1(2≤≤f ,求)2(-f 的取值范围。 二、解一元二次不等式 例2-1．解下列关于x 的不等式： (1)1222+-≤-a ax x ； (2)012>+-ax x ； (3)0)1(2<++-a x a x 。 例2-2．解关于x 的不等式：01)1 (2<++-x a a x (0≠a )。 例2-3．解关于x 的不等式：0)(322>++-a x a a x (R a ∈)。 三、线性规划 例3-1．以下各点不在623<+y x 表示的平面区域内的是( )。 A 、)0,0( B 、)1,1( C 、)2,0( D 、)0,2( 例3-2．已知点)2,1(和点)1,1(在直线03=--m x y 的异侧,则m 的取值范围是( )。 A 、)1,2(-- B 、)0,1(- C 、),0(+∞ D 、)3,1( 例3-3．设x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤+-≤-+0 530130 7y x y x y x ,则y x z -=2的最大值为( )。 A 、2 B 、3 C 、8 D 、10 第四讲：数学归纳法证明不等式 数学归纳法证明不等式是高中选修的重点内容之一，包含数学归纳法的定义和数学归纳法证明基本步骤，用数学归纳法证明不等式。数学归纳法是高考考查的重点内容之一，在数列推理能力的考查中占有重要的地位。 本讲主要复习数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤、用数学归纳法证明不等式的方法：作差比较法、作商比较法、综合法、分析法和放缩法，以及类比与猜想、抽象与概括、从特殊到一般等数学思想方法。 在用数学归纳法证明不等式的具体过程中，要注意以下几点： （1）在从n=k 到n=k+1的过程中，应分析清楚不等式两端（一般是左端）项数的变化，也 就是要认清不等式的结构特征； （2）瞄准当n=k+1时的递推目标，有目的地进行放缩、分析； （3）活用起点的位置； （4）有的试题需要先作等价变换。 例题精讲 例1、用数学归纳法证明 n n n n n 212111211214131211+++++=--++-+- 分析：该命题意图：本题主要考查数学归纳法定义，证明基本步骤 证明： 1︒当n=1时，左边=1-21=21，右边=111+=21 ，所以等式成立。 2︒假设当n=k 时，等式成立， 即 k k k k k 212111211214131211+++++=--++-+- 。 那么，当n=k+1时， 221121211214131211+-++--++-+- k k k k 221121212111+-+++++++=k k k k k )2 2111(1212131214131211+-+++++++++=++-+-k k k k k k )1(21 121213121+++++++++= k k k k k 这就是说，当n=k+1时等式也成立。 综上所述，等式对任何自然数n 都成立。 点评： 数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法．设要证命题为P （n ）．（1）证明当n 取第一个值n 0时，结论正确，即验证P （n 0）正确；（2）假设n=k （k ∈N 且k ≥n 0）时结论正确，证明当n=k+1时，结论也正确，即由P （k ）正确推出P （k+1）正确，根据（1）， 专题6 利用导数证明不等式 A 组 基础巩固 1．（2021·湖南高三月考）当x ∈R 时，不等式1 1e x x ax -≤-恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．a = B ．2a = C ．2a ≥ D ．1 a ≤≤【答案】B 【分析】 先根据1x >时()0f x >判断出0a ≤，再根据1 ()1e x x h x ax -=-+在0x =处取最大值可求a 的值. 【详解】 令1 ()e x x f x -= ，∵1x >时()0f x >，∴0a ≤不合条件. 令1 ()1e x x h x ax -=-+，故()0h x ≤恒成立，又()0=0h ， ∴()h x 要在0x =处取最大值，故0x =为()h x 在R 上的极大值点， 故()00h '=，又2e ()e x x x a h x --'=，故0e 020a -=- ∴2a =， 故选：B. 【点睛】 关键点点睛：对于不等式的恒成立问题，注意观察其等号成立的条件，从而把恒成立问题转化为函数的最值问题. 2．（2021·全国高三其他模拟）已知函数222,0,()ln(1),0, x x x f x x x ⎧---≤=⎨+>⎩若关于x 的不等式1 ()2f x ax a ≤+- 在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．12e -⎡⎢⎣ B ．1 2⎤⎥⎦ C ．12e -⎡⎢⎣ D ．12e ⎡⎢⎣ 【答案】A 【分析】 不等式1 ()2f x ax a ≤+- 在R 上恒成立的两个临界状态是12 y ax a =+-与ln(1)(0)=+>y x x 相切和与 222(0)y x x x =---≤相切时，故求两种状态下的a 值，即可得a 的取值范围． 【详解】 画出函数()f x 的图像如图所示. 1 ()2f x ax a ≤+- 在R 上恒成立即函数()y f x =的图像恒在直线12 y ax a =+-的图像的下方， 且直线 12y ax a =+- 过定点11,2⎛ ⎫-- ⎪⎝ ⎭， 当直线与ln(1)(0)=+>y x x 相切时，设切点()() 00,ln 1P x x +，1 1 y x '= +， 可得 ()0001 ln 11 21 1 x x x ++ =++，解得120e 1x =-，则直线斜率为12e -，即1 2e a -=； 当直线与222(0)y x x x =---≤相切时，此时由21 222 ax a x x +- =---， 得23 (2)02 x a x a ++++ =，令2(2)460a a ∆=+--=，得a =a =， 所以由图像可知12 e a - ≤≤故选：A 【点睛】 方法点睛：已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法： （1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．证明不等式的基本方法练习题(基础、经典、好用)
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高二数学归纳法证明不等式
专题06 利用导数证明不等式(练习