基于混凝土三维球形随机骨料模型的氯离子扩散细观数值模拟
基于COMSOL模拟开裂混凝土中的氯离子扩散行为
基于COMSOL模拟开裂混凝土中的氯离子扩散行为开裂混凝土的氯离子扩散是导致钢筋腐蚀的主要原因之一，研究开裂混凝土中氯离子的扩散行为对于改进混凝土结构的耐久性具有重要意义。
本文基于COMSOL多物理场模拟软件，研究了开裂混凝土中氯离子的扩散行为。
建立了开裂混凝土的几何模型。
通过COMSOL中的几何建模工具，创建了一个开裂混凝土试件的三维模型，模型中包含了开裂混凝土的裂缝和孔隙结构。
根据实际情况，设置了混凝土试件的尺寸和材料特性参数。
确定了模型的物理场。
考虑到开裂混凝土中的氯离子扩散是一个多物理场耦合问题，需要同时考虑质量传递和电场扩散。
在模型中加入了质量传递和电场扩散的物理场。
为了精确描述开裂混凝土的裂缝和孔隙结构对氯离子扩散的影响，还添加了裂缝导电模型和孔隙率模型。
然后，设置边界条件和初始条件。
根据实验数据和物理实际情况，设置了混凝土试件表面的浸泡液浓度和温度等边界条件，以及初始时刻混凝土试件内部的氯离子浓度。
接下来，进行模拟计算。
通过COMSOL中的数值求解器，对开裂混凝土中氯离子扩散行为进行模拟计算。
根据模拟结果，可以得到混凝土试件不同位置处的氯离子浓度分布和扩散速率等信息。
分析和评估结果。
根据模拟计算结果，可以分析开裂混凝土中氯离子的扩散行为特点，如浓度分布的变化趋势、扩散速率的大小等。
可以通过与实验数据进行比对，评估模拟结果的准确性和可靠性。
如果模拟结果与实验结果吻合较好，则可以为改进混凝土设计和维护提供有用的参考。
基于COMSOL模拟开裂混凝土中的氯离子扩散行为可以有效地研究开裂混凝土的耐久性问题，并为混凝土结构的设计和维护提供科学依据。
混凝土中氯离子迁移的数值模拟研究
混凝土中氯离子迁移的数值模拟研究一、研究背景及意义混凝土是建筑工程中常用的一种建筑材料，其性能受到很多因素的影响。
其中，混凝土中氯离子的迁移是影响混凝土耐久性的一个重要因素。
因此，研究混凝土中氯离子的迁移规律，对于提高混凝土的耐久性具有重要的意义。
二、研究内容本研究将采用数值模拟的方法，研究混凝土中氯离子的迁移规律。
具体研究内容如下：1. 混凝土中氯离子的扩散系数混凝土中氯离子的扩散系数是影响氯离子迁移的重要因素。
本研究将采用数值模拟的方法，计算出混凝土中氯离子的扩散系数，并分析其影响因素。
2. 混凝土中氯离子的迁移规律在计算得出混凝土中氯离子的扩散系数后，本研究将进一步计算混凝土中氯离子的迁移规律。
通过数值模拟，分析不同条件下氯离子的迁移规律，如不同温度、湿度、氯离子浓度等条件下，氯离子的迁移规律有何变化。
3. 混凝土中氯离子的影响因素分析通过对数值模拟结果的分析，本研究将进一步分析影响混凝土中氯离子迁移的因素。
比如，混凝土中氯离子浓度的大小、混凝土的孔隙结构等因素都会对氯离子的迁移产生影响。
三、研究方法本研究将采用数值模拟的方法，对混凝土中氯离子的迁移进行研究。
具体方法如下：1. 建立混凝土数值模型本研究将建立混凝土的数值模型，包括混凝土的孔隙结构、氯离子浓度等因素。
通过数值模拟，计算混凝土中氯离子的扩散系数。
2. 计算混凝土中氯离子的迁移规律在建立数值模型的基础上，本研究将进一步计算混凝土中氯离子的迁移规律。
通过数值模拟，分析不同条件下氯离子的迁移规律。
3. 分析混凝土中氯离子的影响因素通过对数值模拟结果的分析，本研究将进一步分析影响混凝土中氯离子迁移的因素。
四、研究结果及分析经过数值模拟，本研究得出了混凝土中氯离子的扩散系数、氯离子的迁移规律以及氯离子迁移的影响因素。
具体结果如下：1.混凝土中氯离子的扩散系数经过数值模拟，本研究得出不同混凝土中氯离子的扩散系数。
结果表明，氯离子的扩散系数受到混凝土孔隙结构的影响较大，同时，混凝土中氯离子浓度的大小也会对其扩散系数产生影响。
混凝土中氯离子扩散的数值模拟研究
混凝土中氯离子扩散的数值模拟研究一、研究背景混凝土是一种广泛应用于建筑、道路、桥梁等工程领域的材料。
然而，混凝土在长期使用过程中会受到多种因素的影响，其中包括环境因素。
氯离子是混凝土中常见的一种污染物，它会引起混凝土的腐蚀和劣化，并且会对混凝土结构的强度和耐久性产生不良影响。
因此，研究混凝土中氯离子扩散的数值模拟具有重要的理论和实践价值。
二、研究目的本研究旨在通过数值模拟的方法，分析混凝土中氯离子扩散的规律和影响因素，并且探究改善混凝土中氯离子扩散的方法，为混凝土结构的设计、施工和维护提供理论支持和技术指导。
三、研究方法本研究采用有限元数值模拟方法，建立混凝土中氯离子扩散的数学模型。
首先，根据混凝土基本性质和氯离子扩散规律，建立氯离子扩散的动态平衡方程；其次，采用计算机软件进行数值模拟，利用有限元方法对混凝土中氯离子扩散的过程进行模拟和分析；最后，通过对模拟结果的分析和比较，总结混凝土中氯离子扩散的规律和影响因素，并且提出改善混凝土中氯离子扩散的方法。
四、研究结果通过数值模拟方法，得到了混凝土中氯离子扩散的相关参数和规律。
首先，氯离子在混凝土中的扩散速率与混凝土中孔隙度和水泥质量有关，随着孔隙度增加和水泥质量减小，氯离子的扩散速率会加快。
其次，氯离子在混凝土中的扩散速率与温度和湿度也有关系，随着温度和湿度的升高，氯离子的扩散速率也会增加。
最后，通过对混凝土中氯离子扩散规律的分析，提出了改善混凝土中氯离子扩散的方法，包括增加混凝土密实度、降低混凝土中孔隙度、控制混凝土中湿度、使用氯化物抑制剂等。
五、研究意义本研究通过数值模拟方法，分析了混凝土中氯离子扩散的规律和影响因素，并且提出了改善混凝土中氯离子扩散的方法，具有以下意义：（1）为混凝土结构的设计、施工和维护提供了理论支持和技术指导；（2）为混凝土结构的耐久性评估提供了可靠的数据和方法；（3）为混凝土材料的研究和应用提供了新的思路和方法。
六、研究结论本研究通过数值模拟方法，分析了混凝土中氯离子扩散的规律和影响因素，并且提出了改善混凝土中氯离子扩散的方法。
混凝土真实细观模型的生成及氯离子传输的数值模拟
混凝土真实细观模型的生成及氯离子传输的数值模拟混凝土真实细观模型通常是基于电子显微镜图像数据进行重构的。
其中，混凝土干燥后的切面图像数据可用于模型生成。
模型生成主要分为以下几个步骤：1. 图像预处理：原始图像需要进行预处理以去除噪声和边缘，同时需要对图像进行二值化处理，以得到物质相和孔隙相的分布情况。
2. 物质相和孔隙相分割：将二值化后的图像进行分割，得到物质相和孔隙相的分布情况。
常用算法包括基于阈值分割的方法、基于形态学的方法和基于水平线扫描的方法等。
3. 三维重构：将二维图像的信息转换为三维信息，生成三维真实细观模型。
4. 模型修正：由于电子显微镜技术的局限性，生成的三维模型可能存在一些几何错误和缺陷，需要进行修正和优化。
二、氯离子传输的数值模拟混凝土中氯离子的迁移过程是混凝土耐久性研究的重要内容之一。
传统的试验方法需要大量的时间和成本，且无法进行局部和非均匀的测试。
因此，发展基于模拟的方法进行混凝土中氯离子的迁移研究是很有意义的。
1. 建立数值模型：将真实细观模型导入有限元软件中，建立数值模型。
参数包括孔隙率、孔径分布、孔隙连接性等。
2. 模型网格化：将数值模型网格化，即将连续的真实细观模型离散化为离散网格点。
3. 边界条件设定：设定氯离子的浓度和边界条件，包括入口浓度和不同边界处的流量控制。
4. 模拟计算：通过有限元方法和计算流体力学方法对氯离子传输进行数值求解。
通过上述步骤可得到混凝土中氯离子的传输情况。
根据模拟结果，可以预测混凝土材料的性能和耐久性，并为混凝土工程的设计和性能优化提供重要依据。
最后，需要指出的是，在真实细观模型生成和数值模拟计算过程中，需要精心设计算法和参数，以保证模型的准确性和可信性。
同时，在模拟结果的分析和解释过程中，需要结合材料科学和力学理论，深入理解模型本质，得出有价值的结论和建议。
考虑骨料表面强化的再生混凝土内氯离子传输细观数值模拟
(1. Faculty of Civil Engineering and Mechanics, Jiangsu University, Zhenjiang 212013, China;
2. Shanghai Zhongsen Construction and Engineering Design Consulting Co. Ltd, Shanghai 200062, China)
硅
第 41 卷 第 2 期
2022 年 2 月
BULLETIN
OF
酸
THE
盐
CHINESE
通
CERAMIC
报
SOCIETY
Vol. 41 No. 2
February,2022
考虑骨料表面强化的再生混凝土内氯离子传输
细观数值模拟
延永东1 ,刘甲琪1 ,徐鹏飞2 ,王 鑫1
(1. 江苏大学土木工程与力学学院,镇江 212013;2. 上海中森建筑与工程设计顾问有限公司,上海 200062)
大约 40. 4% ~ 44. 8% ( 质量分数) 的旧砂浆。 本文采用式(2) 表示旧砂浆与再生骨料的面积之比:
ω=
Vs
ρ g ·ω
=
V g ρ s (1 -ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱω)
(2)
式中:
ω 为旧砂浆面积与骨料面积比;V s 和 V g 分别为再生骨料中旧砂浆和骨料的面积;ρ s 和 ρ g 分别为再生
on the surface of un-strengthened RA is higher than that on the surface of strengthened RA. Increasing the thickness of
混凝土材料的氯离子迁移细观数值模拟
(
)
∫
为了模拟混凝土中骨料、砂浆和界面， 本文采用 了以下算法进行混凝土构件的细观模拟 。 Step1. 将骨料的直径由大到小排列。 Step2. 在 Ω 中随机投入第 1 个骨料。 Step3. 在 Ω 随机投入第 2 个骨料。判断第 2 个骨 料和第 1 个骨料是否重叠，如果重叠就重新投入。 Step4. 在 Ω 随机投入第 i 个骨料， 判断已确定位 置的前 i － 1 个骨料和第 i 个骨料是否重叠，如果重叠 就重新投入第 i 个骨料。 为了模拟多边形凸形骨料形状，本文采用了一种 简化方法生成骨料。先采用圆形骨料进行判断骨料是 否重叠，然后在确定位置后的圆形骨料的基础上生成 多边形凸形骨料。多边形骨料的点在圆上各个等分区 段随机生成， 界面的点在骨料的基础上扩张即可得 到。具体可参见图 2 。图 3 为采用本文方法生成的混 凝土细观数值模型。
[ (
)
(
)
(
)]
化为 c － DΔc = 0 t 式中： Δ c 为拉普拉斯算子，Δ c = （ 3）
2 2 2
3
随机骨料模拟算法
2 + 2 + 2 。 x y z 对于氯离子在混凝土中的一维扩散行为 ， 当初始 浓度为 0 时，式 （ 3 ） 的解析解为 x c（ x ， t） = c s （ 1 － erf（ ）） （ 4） 2 槡 Dt 式中： c s 为混凝土结构表面的氯离子浓度； c （ x， t ） 为 t 时刻混凝土试件中坐标为 x 处的氯离子浓度； erf 2 x －z2 （ x） 为误差函数，表达式为 erf （ x） = e dz。 π 0 当考虑氯离子在混凝土中的二维扩散行为 ， 且初 始浓度为 0 时，式 （ 3 ） 的解析解为 x y c（ x ， y， t） = c s （ 1 － erf（ ） erf（ ） ） （ 5） 2 槡 Dt 2 槡 Dt 解析解的适用范围较小，应用条件较为严格， 所
基于细观力学的混凝土数值模拟研究
基于细观力学的混凝土数值模拟研究摘要：由于混泥土的极度不均匀性，他们的性质在宏观、微观方面存在很大的差异。
尽管假定细观单元的力学特性比较简单——用弹性损伤本构关系表达，但是一些复杂的破坏现象仍然可以通过他们演化来描述，用细观层次简单的本构关系描述宏观层次上的复杂现象。
关键词：细观力学，混凝土数值模拟，模型一般情况下，根据特征尺寸和研究方法侧重点的不同，将混凝土内部结构视为微观(Micro—leve1)、细观(Meso—leve1)和宏观(Macro—leve1)3个层次。
长期以来，人们对于混凝土的研究主要是基于宏观层次展开，对于混凝土材料和构件的损伤和宏观力学性能的劣化直至破坏全过程的机理、本构关系、力学模型和计算方法都是基于此。
以上主要是通过实验的方法研究混凝土材料的力学行为，但由于实验周期较长，需要耗费大量的人力和物力，得出的结论与所选取的材料、实验条件关系很大，使得实验成果相对离散，难以真实反映实际混凝土的力学性能指标。
对混凝土性能的研究除了从宏观的角度进行研究之外，更关键的还应该从混凝土的细观结构人手，利用数值模拟的研究方法，抓住混凝土材料组成及其力学性质的非均匀性，结合理论和实验成果建立数值模型，对混凝土材料的力学性能和破坏过程进行研究，才能更好地分析混凝土破坏过程的实质。
细观力学的兴起与计算机技术的飞速发展为此提供了理论和技术支持。
1、数值模型的建立1、1细观力学材料细观力学研究宏观均匀但细观非均匀的介质，采用多尺度力学理论，目的就是基于材料细观结构的信息，寻找宏观均匀材料的有效性能，其基本思想是“均匀化”。
对于弹性问题，从细观尺度的应力、应变场出发，通过应力和应变体积平均值之间的关系确定材料的有效弹性性能，从而用均匀化后的介质代替原非均匀介质。
细观力学是双尺度的力学结构。
选取的基本单元被称为代表性体积单元，简称RVE，需要满足尺度的二重性——宏观足够小，微观足够大。
代表性体积单元是非均匀和无序材料的集合。
混凝土中氯离子三维扩散模型及参数拟合
第１ 期
施钢 ：混凝 土 中氯离子三维扩散模型及参数 拟合
・ ８ １・
Ｓ ；Ｄ为 氯 离子在 混凝 土 中 的扩散 系数 ，ｓ ／ ｍ ； 表示 、 、 ， 分 别 为 笛 尔卡 坐 标 ，ｍ；Ｒ 为 氯 离 子 反应 率 ， ｋ ｓ ／ （ ｍ ｓ ）． Ｔ ａ ｎ ｇ等利 用快 速扩 散试 验测 量 氯离 子扩 散 系数 ，得 出 了随时 间衰减 的扩散 系数 ．
１ 三 维 氯 离 子 扩 散 建 模
在 假设 材料 是匀 质 、各 向同性 的条件 下 ，根据 微元 内质 量 守恒原 理 和菲克 定律 ，三 维非 稳态 扩散
方 程 Ｍ 为 ｏ Ｃ ／ Ｏ ｔ＝ ａ （ Ｄ Ｏ Ｃ ／ Ｏ ｘ ） ／ Ｏ ｘ ＋Ｒ ． （ １ ）
混 凝 土 中氯 离 子 三维 扩散 模 型 及 参 数 拟 合
施 钢
（ 厦 门理 工学院材料科学与工程学院 ，福建 厦 门 ３ ６ １ ０ ２ ４ ）
［ 摘
要］提 出了基 于 Ａ Ｎ Ｓ Ｙ Ｓ有限 元分析 和试验 实测数据 拟合 的混凝 土 中氯 离子三 维非 稳 态扩散模
型．该模型 可以模拟 混凝 土与海水接 触表 面氯 离子随 时间变化的 累积 效应 、氯 离子扩散 系数 随时 间和 氯 离
式 （ １ ） 中 ：Ｃ为 氯离 子浓 度 ，当浓 度 ｑ ｌ ￣ ４ ， 时 ，可 近 似 为氯 离子 占混 凝 土 的质量 分 数 ， ％ ；ｔ 为时间，
［ 收稿 日期 ］２ ０ １ ３一 ｌ １ — ２ ６ ［ 修 回日期 ］２ ０ １ ４ — ０ ｌ — ｌ ４ ［ 作者简介 ］施钢 （ １ ９ ６ ０一 ） ，男 ，副教授 ，博士 ，研 究方 向为冶金与材料工程 、结构强度 ．Ｅ ・ ｍ ａ ｉ ｌ ： ｇ ｓ ｈ ｉ ＠ｘ ｍ ｕ ｔ
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基于混凝土三维球形随机骨料模型的氯离子扩散细观数值模拟王元战;何明伟;李青美;吴林键【摘要】In marine environment,the chloride diffuses in concrete structure,now most numerical simulations of which remain in macro level,ignoring the influence of concrete meso structure.Concerning this issue,the threedimensional spherical random aggregate model was developed.Based on the model,the method of meso-scale numerical simulation for chloride diffusion in concrete was proposed.The three-dimensional spherical random aggregate model takes account of the randomness of aggregate diameter and position,according to random process theory.The method of meso-scale numerical simulation for chloride diffusion based on this model is able to reflect chloride diffusion law in meso-scale.It can be used as an important measure to study chloride diffusion in concrete.The effects of meso structure on the process of chloride diffusion in concrete were studied using this method.The results indicate that as the thickness and diffusion coefficient of ITZ increase,the total chloride contents diffused into concrete specimen increase accordingly,while the chloride concentration in the superficial zone decreases.With increasing of the volume fraction of coarse aggregate,the chloride concentration of the same depth decreases.%当前对于海洋环境下混凝土结构中氯离子的扩散问题的数值模拟研究大多停留在宏观层面,没有考虑混凝土细观结构的影响.针对这一问题,建立了混凝土三维球形随机骨料细观模型,并基于该模型提出了混凝土中氯离子扩散细观数值模拟方法.混凝土三维球形随机骨料模型以随机过程理论为依据,考虑了骨料粒径大小和位置分布的随机性,更接近实际情况;基于该模型的氯离子扩散细观数值模拟方法能够从细观层面反应混凝土中氯离子扩散规律,可以作为混凝土中氯离子扩散研究的重要手段.在此基础上研究了混凝土细观结构对氯离子扩散的影响,结果表明:界面过渡区厚度和扩散系数越大时,经扩散进入混凝土中的总体氯离子含量越多,但混凝土浅层区域内的氯离子含量越少;随着粗骨料体积分数的增加,混昆凝土中相同深度处的氯离子浓度降低.【期刊名称】《水道港口》【年(卷),期】2017(038)001【总页数】7页(P59-65)【关键词】海洋环境;混凝土;随机骨料;氯离子扩散;数值模拟;界面过渡区【作者】王元战;何明伟;李青美;吴林键【作者单位】天津大学水利工程仿真与安全国家重点实验室,天津300072;高新船舶与深海开发装备协同创新中心,天津300072;天津大学水利工程仿真与安全国家重点实验室,天津300072;高新船舶与深海开发装备协同创新中心,天津300072;天津大学水利工程仿真与安全国家重点实验室,天津300072;高新船舶与深海开发装备协同创新中心,天津300072;天津大学水利工程仿真与安全国家重点实验室,天津300072;高新船舶与深海开发装备协同创新中心,天津300072【正文语种】中文【中图分类】U641;O242.1海洋环境中，混凝土结构受到海水中氯离子侵蚀，引起钢筋锈蚀，进而导致结构承载力下降甚至破坏的情况屡见不鲜，海洋环境下混凝土的耐久性已成为港口工程设计中不可忽视的重要问题。
混凝土中氯离子的扩散是一个长期缓慢的过程，目前常用的研究方法主要有物模试验和数值模拟两大类。
物模试验的实施周期较长，会消耗大量的时间、成本和精力；数值模拟方法较为简单、方便且高效。
然而，目前对于该问题的数值模拟研究大多停留在宏观层面，难以体现混凝土的细观结构及其性质。
混凝土的细观结构包括骨料、水泥砂浆和界面过渡区（ITZ）［1］三部分，这三者的各项性质均可能会对混凝土中氯离子的扩散产生较大的影响［2］。
为了能够更加深入的研究混凝土中氯离子传输的特征和性质，学者们对该问题的研究逐渐由宏观视野转向细观层面。
其中，彭国军［3］用有限元的方法研究了二维八边形骨料面积分数对氯离子扩散的影响；吴静新［4］通过二维随机骨料有限元模型研究了界面过渡区对氯离子扩散的影响；王学礼［5］用二维随机骨料模型研究了骨料面积分数对氯离子扩散的影响；田兴长［6］基于三维复合球模型用ANSYS 软件中的热传导分析模块，研究了混凝土中氯离子扩散的过程，探讨了ITZ和粗骨料体积分数对氯离子扩散的影响。
前三者研究都是建立在二维模型基础上，与实际的三维情况有一定的差异，而田兴长［6］的混凝土模型中的骨料粒径是通过富勒级配人为计算得到的，骨料位置也是人为确定的，没有实现骨料粒径大小和位置分布的随机性，与实际情况存在差异。
本文采用数值模拟手段，建立了混凝土三维球形随机骨料模型。
考虑了骨料粒径大小和位置分布的随机性并在三维情况下进行研究，更接近实际情况。
在此基础上，提出了基于混凝土三维球形随机骨料模型的氯离子扩散细观数值模拟方法。
用此数值模拟方法研究混凝土细观模型中氯离子扩散规律，探究混凝土细观结构中界面过渡区厚度、界面过渡区扩散系数以及粗骨料体积分数对混凝土中氯离子扩散性质的影响。
在研究混凝土中氯离子的扩散问题中，为方便实际度量计算和公式推导，常把其中骨料的形状简化为规则的几何图形，Yang［7］的试验中把骨料简化成圆柱形，本文将混凝土中骨料简化为球形。
Kreijger［8］指出，混凝土表层下0.1 mm内是净浆层，不含任何骨料，0.1～5 mm之间的砂浆层中含有少量的粗骨料，超过5 mm以后则是包含正常骨料分布的混凝土介质。
为了在细观层面上更加深入地研究混凝土中氯离子的扩散与骨料及其界面过渡区之间的关系，本文提出了一种骨料粒径大小和位置分布都更接近实际情况的混凝土三维球形随机骨料模型，并详细叙述了该模型的具体实施步骤，为混凝土中氯离子扩散的细观数值模拟奠定基础。
该模型包含混凝土中骨料粒径的随机生成以及骨料在混凝土试件中的随机投放这两大步骤，通过MATLAB编程实现。
1.1 混凝土中骨料粒径的随机生成（1）定义混凝土试件的三维空间尺寸X、Y、Z，骨料最大粒径dmax、最小粒径dmin以及粗骨料体积占混凝土试块总体积的比例，即粗骨料的体积分数r；（2）计算出三维区域内骨料总体积V；（3）采用等体积骨料级配，P（d）为关于粒径d的颗粒数累计分布函数，表达式如下用随机数函数unifrd（0，1）生成一个［0，1］区间上的随机数a，令P（d）=a，求解方程得到直径di；（4）判断是否满足dmin≤di≤dmax的限制条件，若不满足重复步骤（3），如果满足进行下一步；（5）计算已生成骨料总体积vi；（6）当vi≥V时，表明已生成的骨料体积已达到预设的要求，保存满足该条件的所有骨料粒径数据，并进行下一步计算，否则应重复步骤（3）、（4），直至vi满足要求。
1.2 骨料在混凝土试件中的随机投放（1）将1.1节第（6）步中生成的骨料粒径数据进行降序排列，后续投放按照粒径从大到小的顺序依次进行；（2）为了模拟实际情况下混凝土中骨料分布的特点，取混凝土试件数值模型表层以下3 mm范围内不含粗骨料，3 mm以后粗骨料随机的分布在混凝土试件当中。
故球心坐标（xi，yi，zi）应满足条件：xi∈［di/2+3，X-di/ 2-3］，yi∈［di/2+3，Y-di/2-3］，zi∈［di/2+3，Z-di/2-3］，在上述区域内随机的生成第i个球形骨料的球心坐标（xi，yi，zi）；（3）在指定区域内随机的生成第i+1个球形骨料的球心坐标（xi+1，yi+1，zi+1）。
并分别判断第i+1个骨料所形成的球形区域是否与前面已经生成的i个骨料中任意一个球形区域重叠，若不满足，则重新生成新的球心坐标，并再次判断直至满足要求为止，此时记录并保存该坐标信息。
其中，判别是否重叠的依据如公式（2）。
式中：{Li+1}为第i+1个骨料球心与前面i个骨料球心之间的空间距离向量，其中Li+1，1、Li+1，2、...、Li+1，i分别为第i+1个骨料球心与第1、第2、...、第i个骨料球心间的空间距离；γ为骨料范围影响系数，取1.05［9］。
（4）根据第（4）步所述，依次将所有已生成的不同粒径的全部骨料在设定的区域内投放完毕；（5）最终，输出混凝土试件中骨料投放的随机分布图。
1.3 程序流程根据以上1.1、1.2节中所述，绘制得到生成混凝土三维球形随机骨料模型的程序流程图，如图1所示。
1.4 随机模型结果验证根据以上步骤及流程，计算得到不同体积分数情况下，100×100×100 mm3混凝土试件中骨料随机分布的结果。
为了验证本文中混凝土三维球形随机骨料模型的正确性，取骨料粒径d范围为：5.0～31.5 mm，混凝土骨料体积分数r分别为：0.2、0.3和0.4，计算得到混凝土试件中三维球形骨料的随机分布结果，如图2所示。
将图2所示的数值模拟结果与《水运工程混凝土施工规范（JTS202-2011）》［10］中规定的累积筛余量要求进行对比，结果如表1所示。
由表1中可知，本文所提出的随机模型计算所得到的混凝土骨料级配满足规范要求，可验证本文随机模型计算结果的正确性与合理性。