热点6：弦或弦长为定值、最值问题-圆锥曲线高考热点终极破解

圆锥曲线高考考查热点分析
热点六：弦或弦长为定值、最值问题
1、已知△OFQ 的面积为26，OF FQ m ⋅=
（1646m ≤≤，求OFQ ∠正切值的取值范围；
（2）设以O 为中心，F 为焦点的双曲线经过点Q （如图），26
||,(1)OF c m c ==- 当 ||OQ 取得最小值时，求此双曲线的方程。

解析：（1）设OFQ θ∠=
||||cos()1
||||sin 6
2
OF FQ m
OF FQ πθθ⎧⋅-=⎪
⎨⋅⋅=⎪⎩46tan θ⇒= 646m ≤≤
4tan 1θ-≤≤-
（2）设所求的双曲线方程为22
1111221(0,0),(,),(,)x y a b Q x y FQ x c y a b
-= >> =-则
∴11||||262OFQ S OF y ∆=
⋅=146
y = 又∵OF FQ m ⋅=，∴21116
(,0)(,)()(
1OF FQ c x c y x c c c ⋅=⋅-=-⋅= ) 222
11126963,||12.8
c x OQ x y c ∴= ∴=+=+≥
当且仅当4c =时，||OQ 最小，此时Q 的坐标是(6,6)或(6,6)
2222
2266
141216
a a
b b a b ⎧⎧-==⎪⎪
∴ ⇒⎨⎨=⎪⎩⎪+=⎩
，所求方程为22 1.412x y -= 2、已知椭圆14
22
2=+y x 两焦点分别为F 1、F 2，P 是椭圆在第一象限弧上一点，并满足121=⋅PF PF ，过P 作
倾斜角互补的两条直线PA 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点.（Ⅰ）求P 点坐标；（Ⅱ）求证直线AB 的斜率为定值；（Ⅲ）求△PAB 面积的最大值.
解：（Ⅰ）由题可得)2,0(1F ，)20(2-F ，设)0,0(),(00000>>y x y x P 则)2,(001y x PF --=，
)2,(001y x PF ---=，
∴1)2(20
2
21=--=⋅y x PF PF ，∵点),(00y x P 在曲线上，则1422020=+y x ，∴2
42
02
0y x -=，从而1)2(2
4202
0=---y y ，得20=y .则点P 的坐标为)2,1(. （Ⅱ）由题意知，两直线PA 、PB 的斜率必存在，设PB 的斜率为)0(>k k ，则BP 的直线方程为：)1(2--x k y .由⎪⎩⎪
⎨⎧=+
-=-14
2)1(222y x x k y 得x k k x k )2(2)2(22-++ 04)2(2=--+k ，设),(B B y x B ，则
2222222212)2(2,2)2(21k k k k k k x k k k x B B +--=-+-=+-=+，同理可得2
22)222k k k x A +-+=，则2
224k k
x x B A +=-，228)1()1(k k
x k x k y y B A B A +=----=-.所以：AB 的斜率2=--=B A B A AB
x x y y k 为定值. （Ⅲ）设AB 的直线方程：m x y +=2.由⎪⎩⎪
⎨⎧=+
+=14
2222y x m
x y ，得0422422=-++m mx x ，
由0)4(16)22(22>--=∆m m ，得2222<<-m P 到AB 的距离为3
|
|m d =
， 则3
||3)214(21||212m m d AB S PAB
⋅
⋅-=⋅=∆2)28(81)8(812222
2=+-≤+-=m m m m 。

当且仅当()
22,222-∈±=m 取等号∴三角形PAB 面积的最大值为2。

3、已知椭圆2
212
x y +=的左焦点为F ，O 为坐标原点。

（I ）求过点O 、F ，并且与椭圆的左准线l 相切
的圆的方程；（II ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交
于点G ，求点G 横坐标的取值范围。

解：（I ）
222,1,1,(1,0),: 2.a b c F l x ==∴=-=-
圆过点O 、F ， ∴圆心M 在直线1
2
x =-
上。

设1
(,),2
M t -则圆半径
13
()(2).22
r =---= 由,OM r =
所求圆的方程为2
2
19
()(.2
4
x y ++=
（II ）设直线AB 的方程为(1)(0),y k x k =+≠代入2
21,2
x y +=直线AB 过椭圆的左焦点F ，∴方程有两个不等实根。

记1122(,),(,),A x y B x y AB 中点00(,),N x y
则2
1224,21
k x x k +=-+
AB ∴的垂直平分线NG 的方程为001
().y y x x k
-=--
令0,y =得
222002222211
.
2121212421
0,0,
2
G G k k k x x ky k k k k k x =+=-+=-=-+++++≠∴-<<∴点G 横坐标的取值范围为
1(,0).2
- 4、已知点,A B 的坐标分别是(0,1)-，(0,1)，直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为12
-
．（1）求点M 轨迹C 的方程；（2）若过点()2,0D 的直线l 与（1）中的轨迹C 交于不同的两点E 、F （E 在D 、F 之间）
，试求ODE ∆与ODF ∆面积之比的取值范围（O 为坐标原点）． 解：（1）设点M 的坐标为(,)x y ，∵12AM BM
k k ⋅=-， 整理，0x ≠）， （2）如图，由题意知直线l 的斜率存在，设l 的方程为2x sy =+(2)s ≠±将①代入12
22
=+y x ，
整理，得22(2)420s y sy +++=，由0∆>，解得2
2s >．
设()11,E x y ，()22,F x y ，则12212
24,2
2.2s y y s y y s ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
令112
21212OBE OBF OB y S y S y OB y λ∆∆⋅===⋅，且01λ<<．
=+21221)(y y y y ()2
22
182s s λλ+=+．∵22s >且2
4s ≠，316)8,4(2
822≠∈+=u s s u 且，
解得33λ-<<+且1
3λ≠
． 01λ<<，1223<<-∴λ且1
3
λ≠．
故△OBE 与△OBF
面积之比的取值范围是113,133⎛⎫⎛⎫
- ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
． 5、已知椭圆1C ：22
221(0)y x a b a b +=>>的右顶点为(1,0)A ，过1C 的焦点且垂直长轴的弦长为1．
（I ）求椭圆
1C 的方程；
（II ）设点P 在抛物线2C ：
2
()y x h h =+∈R 上，2C 在点P 处的切线与1C 交于点,M N ．当线段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时，求h 的最小值．
解析：（I ）由题意得21
2,,1
21b a b b a =⎧=⎧⎪∴⎨⎨=⋅=⎩⎪⎩所求的椭圆方程为2214y
x +=，
（II ）不妨设
21122(,),(,),(,),
M x y N x y P t t h +则抛物线
2
C 在点P 处的切线斜率为
2x t
y t
='
=，直线MN
的方程为2
2y tx t h =-+，将上式代入椭圆1C
的方程中，得2
2
2
4(2)40x tx t h +-+-=，即
()22222414()()40
t x t t h x t h +--+--=，因为直线MN 与椭圆
1
C 有两个不同的交点，所以有
422
1162(2)40
t h t h ⎡⎤∆=-++-+>⎣⎦，
设线段MN 的中点的横坐标是3x ，则21232
()22(1)x x t t h x t +-==+， 设线段PA 的中点的横坐标是4x ，则41
2t x +=
，由题意得34x x =，即有2
(1)10t h t +++=，其中的22(1)40,1h h ∆=+-≥∴≥或3h ≤-；
当3h ≤-时有220,40h h +<-<，因此不等式
4221162(2)40t h t h ⎡⎤∆=-++-+>⎣⎦不成立；因此1h ≥，当1h =时代入方程2
(1)10t h t +++=得1t =-，将1,1h t ==-代入不等式422
1162(2)40
t h t h ⎡⎤∆=-++-+>⎣⎦成立，因此h 的最小值为1．。