高三高考文科数学《不等式》题型归纳与训练
不等式练习题及讲解高中答案
不等式练习题及讲解高中答案### 不等式练习题及讲解#### 一、基础不等式练习题1. 题目一：若 \( a, b, c \) 均为正数，证明不等式 \( a + b\geq 2\sqrt{ab} \) 成立。
2. 题目二：已知 \( x \) 和 \( y \) 均为实数，且 \( x^2 + y^2 = 1 \)，求证 \( x + y \leq \sqrt{2} \)。
3. 题目三：若 \( a, b \) 均为正整数，证明 \( a^2 + b^2 \geq 2ab \)。
4. 题目四：对于任意实数 \( x \)，证明 \( \frac{x^2}{2} +\frac{1}{2x^2} \geq 1 \)。
5. 题目五：若 \( x, y, z \) 均为正数，证明 \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq \frac{9}{xy + yz + zx} \)。
#### 二、不等式练习题讲解题目一讲解：利用算术平均数-几何平均数不等式（AM-GM不等式）：\[ a + b \geq 2\sqrt{ab} \]这是因为对于任意非负实数 \( a \) 和 \( b \)，它们的算术平均数总是大于或等于它们的几何平均数。
题目二讲解：由于 \( x^2 + y^2 = 1 \)，我们有 \( (x + y)^2 \leq 2(x^2 +y^2) = 2 \)，从而 \( x + y \leq \sqrt{2} \)。
题目三讲解：同样使用AM-GM不等式：\[ a^2 + b^2 \geq 2\sqrt{a^2b^2} = 2ab \]当且仅当 \( a = b \) 时，等号成立。
题目四讲解：利用AM-GM不等式：\[ \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2x^2} \geq 2\sqrt{\frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{2x^2}} = 1 \]等号成立条件是 \( x^2 = 1 \)，即 \( x = \pm 1 \)。
(完整)高中数学：复习不等式知识点及主要题型_讲义含解答,推荐文档
不等式的基本知识一、解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式ax2 bx c 0或ax2 bx c 0 a 0的解集：设相应的一元二次方程ax2 bx c 0 a 0的两根为x2且X! x2, b2 4ac，则标根法：其步骤是：1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；2 3 3）根据曲线显现f（x）的符号变化规律，写出不等式的解集。
女口：x 1 x 1 x 2 0 1是偶重根3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。
解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。
f(x) f(x) f(x)g(x) 0七0 f(x)g(x) 0;七0g(x) g(x) g(x) 04、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题若不等式f X A在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f X皿山A若不等式f x B在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f X max B二、线性规划1、用二兀一次不等式(组)表示平面区域二元一次不等式Ax+By+C> 0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.(虚线表示区域不包括边界直线)2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x, y)，把它的坐标(x, y)代入Ax+By+C,所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点 (X。
, y。
),从Ax^+Bw+C的正负即可判断Ax+By+C> 0表示直线哪一侧的平面区域•(特殊地，当C M 0时，常把原点作为此特殊点)3、线性规划的有关概念：①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件.②线性目标函数：关于x、y的一次式z=ax+by是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数.③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解(x,y)叫可行解.由所有可行解组成的集合叫做可行域.使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解.4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：1) 寻找线性约束条件，列出线性目标函数；2) 由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；3) 依据线性目标函数作参照直线a x+b y = 0,在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解三、基本不等式.ab —21、若a,b € R,则a 2+ b 2>2ab,当且仅当a=b 时取等号2、如果a,b 是正数，那么 乞丄 .ab （当且仅当ab 时取""号）.2a b 2变形： 有:a+b > 2.、ab ； ab< ---------- ，当且仅当a=b 时取等号.23、如果a,b € R+,a • b=P （定值）,当且仅当a=b 时,a+b 有最小值 2 P ;如果a,b € R+,且a+b=S （定值）,当且仅当a=b 时,ab 有最大值注：1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时, 的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大” 求最值的重要条件“一正，二定，三取等” 常用不等式 可以求它们2) 4、 有:1)a 2b 2 2ab1（根据并不等式左右的运算结构选用 b2) a 、b 、c R,b 2c 2ab bc ca （当且仅当a b c 时，取3) 0,m 0，则-am（糖水的浓度问题）。
经典不等式例题汇总
□▲○○○《不等式》考点及题型总结第一节 不等式一、知识要点：（一）不等式的定义：用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。
（二）不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
（三）不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
（四）不等式的性质：1、不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变2、不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
，3、不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
二、题型分析：题型一： 不等式的概念和表达例1： x 的21与5的差不小于3，用不等式可表示为__________. 答案：1532x -≥例2：设“○”、“□”、“△”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示，那么每个“○”、“□”、“△”这样的物体，按质量从大到小的顺序排列为（ ）…A 、○□△B 、○△□C 、□○△D 、△□○ 答案：A题型二：不等式性质的考察]A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个分析：由a﹤b﹤0得，a、b同为负数并且︱a︱﹥︱b︱。
可取特殊值代入，如取a=－2，b=－1代入式子中。
答案：C例2：若a﹥b，则下列式子一定成立的是（）。
A、a＋3﹥b＋5，B、a－9﹥b－9，C、－10a﹥－10b，D、a2c﹥b2c分析：由于不等式的两边乘除同一个数时存在变号的问题，因此需要对a，b的符号进行分类讨论。
或者此题也可以取特殊值代入验证，通过排除法来求解。
A、C取0，-1即可排除，D将常数取0也可排除。
答案：B例3：下列结论：①若a﹤b，则a2c﹤b2c；②若a c﹥b c，则a﹥b；③若a﹥b且若c=d，则a c﹥b d；④若a2c﹤b2c，则a﹤b。
正确的有（）。
'A、4个B、3个C、2个D、1个分析：①2c=0，即可排除；②若a、b、c都为负数即可否定；③任用前两种方法都可以排除；只有④正确。
高中数学求不等式解题技巧及题型练习(含答案解析)
高中数学求不等式解题技巧及题型练习（含答案解析）
放缩法证明不等式
干货全汇总
数列型不等式是高中数学绝对难点，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；
其放缩技巧主要有以下几种：
放缩法证明不等式的常见题型与基本策略1、添加或舍弃一些正项（或负项）
2、先放缩再求和（或先求和再放缩）
3、逐项放大或缩小
4、固定一部分项，放缩另外的项
5、函数放缩
6、裂项放缩
7、均值不等式放缩
8、二项放缩
常见题型练习与总结。
高三数学不等式题型情况总结全
不等式的解题归纳第一部分 含参数不等式的解法 例1解关于x 的不等式022≤-+k kx x例2．解关于x 的不等式：(x-2x +12)(x+a)<0.例3、若不等式13642222<++++x x kkx x 对于x 取任何实数均成立，求k 的取值范围.例4若不等式ax 2+bx+1>0的解集为{x ︱-3<x<5},求a 、b 的值.例5 已知关于x 的二次不等式：a 2x +(a-1)x+a-1<0的解集为R ，求a 的取值范围.例6、1．定义在R 上的函数()x f 既是奇函数，又是减函数，且当⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ时，有 ()()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ恒成立，求实数m 的取值范围.【课堂练习】1、已知(2a -1) 2x -(a-1)x-1<0的解集为R ，求实数a 的取值范围.2、解关于x 的不等式：.0)2(2>+-+a x a x3、解关于x 的不等式：.012<-+ax ax【课后练习】1．如果不等式x 2－2ax ＋1≥21(x －1)2对一切实数x 都成立，a 的取值范围是2．如果对于任何实数x ，不等式kx 2－kx ＋1>0 (k>0)都成立，那么k 的取值范围是3．对于任意实数x ，代数式 (5－4a －2a )2x －2(a －1)x －3的值恒为负值，求a 的取值范围4．设α、β是关于方程 2x －2(k －1)x ＋k ＋1=0的两个实根，求 y=2α ＋2β关于k 的解析式，并求y 的取值范围第二部分 绝对值不等式1．(2010年高考福建卷)已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．2．设函数()|1|||f x x x a =-+-，（1）若1a =-，解不等式()3f x ≥； （2）如果x R ∀∈，()2f x ≥，求a 的取值范围3．设有关于x 的不等式()a x x >-++73lg（1）当1a =时，解此不等式； （2）当a 为何值时，此不等式的解集为R4．已知()|1||2|g x x x =---。
不等式常见考试题型总结
《不等式》常见考试题型总结一、高考与不等式高考试题，有关不等式的试题约占总分的12% 左右，主要考查不等式的基本知识，基本技能，以及学生的运算能力，逻辑思维能力，分析问题和解决问题的能力．选择题和填空题主要考查不等式的性质、比较大小和解简单不等式，还可能与函数、方程等内容相结合的小综合．解答题主要是解不等式或证明不等式或以其他知识为载体的综合题。
不等式常与下列知识相结合考查：①不等式的性质的考查常与指数函数、对数函数、三角函数的性质的考查相结合，一般多以选择题的形式出现，有时也与充要条件、函数单调性等知识结合，且试题难度不大；②解不等式的试题主要在解答中出现，常常是解含参不等式较多，且多与二次函数、指数、对数、可能还会出现导数相结合命题；③证明不等式是理科考查的重点，经常同一次函数、二次函数、数列、解析几何，甚至还可能与平面向量等结合起来考查．二、常见考试题型（1）求解不等式解集的题型（分式不等式的解法，根式不等式的解法，绝对值不等式的解法，含参不等式的解法，简单的一元高次不等式的解法） （2）不等式的恒成立问题（不等式恒成立问题的常规处理方式常应用函数方程思想，分离变量法，数形结合法） （3）不等式大小比较常用方法：1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法；5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ； 8．图象法。
（4）不等式求函数最值 技巧一：凑项 例：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
技巧二：凑系数例. 当时，求(82)y x x =-的最大值。
技巧三： 分离例. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
技巧四：换元例. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
技巧五：函数的单调性（注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()af x x x=+的单调性。
高中不等式试题及答案
高中不等式试题及答案1. 若不等式\(2x-1 > 5\)成立，求\(x\)的取值范围。
答案：首先将不等式\(2x-1 > 5\)进行移项，得到\(2x > 6\)。
然后将不等式两边同时除以2，得到\(x > 3\)。
因此，\(x\)的取值范围是\(x > 3\)。
2. 已知\(a > 0\)，求不等式\(\frac{1}{a} < \frac{1}{2}\)的解集。
答案：将不等式\(\frac{1}{a} < \frac{1}{2}\)进行交叉相乘，得到\(2 < a\)。
因为已知\(a > 0\)，所以解集为\(a > 2\)。
3. 已知\(x\)和\(y\)满足\(x + y = 10\)，且\(y > 0\)，求\(x\)的取值范围。
答案：由\(x + y = 10\)可得\(x = 10 - y\)。
因为\(y > 0\)，所以\(10 - y > 0\)，即\(y < 10\)。
因此，\(x\)的取值范围是\(0 < x< 10\)。
4. 已知不等式\(3x - 2 > 7\)，求\(x\)的取值范围。
答案：将不等式\(3x - 2 > 7\)进行移项，得到\(3x > 9\)。
然后将不等式两边同时除以3，得到\(x > 3\)。
因此，\(x\)的取值范围是\(x > 3\)。
5. 已知\(a\)和\(b\)满足\(a + b = 12\)，且\(a > 0\)和\(b > 0\)，求\(a\)的取值范围。
答案：由\(a + b = 12\)可得\(b = 12 - a\)。
因为\(a > 0\)和\(b > 0\)，所以\(12 - a > 0\)，即\(a < 12\)。
同时，\(a > 0\)。
因此，\(a\)的取值范围是\(0 < a < 12\)。
【推荐】2020年高考文科数学《不等式》题型归纳与训练
故 z 的最小值是
9
.
2
y (3) z 2
x
1 2
表示可行域内任一点
1
1
x, y 与定点 Q 1,
连线斜率的 2
2
倍.因为 k QA
7 ， kQB 4
3 ，所以 z 的取值范围为
8
3, 7 . 42
【易错点】 作出直线图像后要熟练掌握如何找到满足条件的可行域
.
【思维点拨】 (1) 把直线直线 x 2 y 4 z 变形为 y
．
【答案】 c 9
【解析】 因为 f ( x) 的值域为 [0,+ ∞），所以
0, 即 a 2 4b ,
所以 x2 ax a2 c 0 的两根，由韦达定理得 2m 6 4
a2
a, m(m 6)
c, 解得 c 9 .
4
4.已知函数 f (x)
x 2 1,x 0 ,则满足不等式 f (1 x2 )
1, x 0
。
xy
【答案】 64
2
【解析】 xy
xy 12
2 xy
8
4 y 64 x
4y 64x
32 2
32 64
xy
xy
xy
.
281
当且仅当
x
y
时，即 x 2
4. y
16 ，上式取 “ =，”故 xy min
64
.
2.已知 0 x 1 ，则函数 y 4 1 的最小值是
.
x 1x
【答案】 9
【解析】 因为 0 x 1，所以 1 x 0 。
【思维点拨】 由 0 x 4知， 8 2x 0 ，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两 个式子积的形式， 但其和不是定值。 注意到 2x (8 2x) 8 为定值， 故只需将 y x(8 2x) 凑上一个系数
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高考文科数学题型分类汇总《不等式》篇经典试题大汇总目录【题型归纳】题型一一元二次不等式解法及其应用 (3)题型二应用基本不等式求函数最值 (4)题型三线性规划 (5)题型四基本不等式的应用 (7)【巩固训练】题型一一元二次不等式解法及其应用 (7)题型二应用基本不等式求函数最值 (8)题型三线性规划 (9)题型四基本不等式的应用 (11)高考文科数学《不等式》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 一元二次不等式解法及其应用例1 若0a b >>，0c d <<，则一定有（ ）A ．a b c d >B ．a b c d <C ．a b d c >D ．a b d c< 【答案】D【解析】由1100c d d c<<⇒->->，又 0a b >>，由不等式性质知：0a b d c ->->，所以a b d c< 例2 关于x 的不等式22280x ax a --<（0a >）的解集为12(,)x x ，且2115x x -=，则a =（ ）A ．52B ．72C ．154D ．152【答案】A【解析】∵由22280x ax a --< (0a >)，得(4)(2)0x a x a -+<，即24a x a -<<，∴122,4x a x a =-=.∵214(2)615x x a a a -=--==，∴15562a ==．故选A ．例3 不等式2902x x ->-的解集是___________． 【答案】(3,2)(3,)-⋃+∞【解析】不等式可化为(3)(2)(3)0x x x +-->采用穿针引线法解不等式即可．例4 已知函数,1)(2-+=mx x x f 若对于任意]1,[+∈m m x ，都有0)(<x f 成立，则实数m 的取值范围是 ．【答案】( 【解析】由题意可得()0f x <对于[,1]x m m ∈+上恒成立，即22()210(1)230f m m f m m m ⎧=-<⎨+=+<⎩，解得202m -<<． 题型二 应用基本不等式求函数最值 例1 已知54x <，则函数14245y x x =-+-的最大值 . 【答案】1【解析】因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数， 所以对42x -要进行拆、凑项. 5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+= 当且仅当15454x x -=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =. 【易错点】注意54x <,则4x-5为负数，要提“-”使其变“+”. 【思维点拨】本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值.例 2 当40<<x 时，则(82)y x x =-的最大值是 .【答案】8.【解析】因为8)2282(21)]28(2[21)28(y 2=-+≤-=-=x x x x x x 当且仅当x x 282-=，即2=x 时取等号，所以当2=x 时，(82)y x x =-的最大值为8.【思维点拨】由40<<x 知，028>-x ，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可.例3 函数2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域为 。
【答案】[)+∞,9【解析】当1->x ,即01>+x 时,41)591y x x ≥+⨯=+（（当且仅当x ＝1时取“＝”号）. 【思维点拨】本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x ＋1）的项，再将其分离.例4 已知0,0x y >>，且191x y +=，则x y +的最小值为 . 【答案】16 【解析】190,0,1x y x y >>+=，()1991061016y x x y x y x y x y⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭ 当且仅当9y x x y =时，上式等号成立，又191x y+=，可得4,12x y ==时，()min 16x y +=. 【易错点】错解．．：0,0x y >>，且191x y +=，∴()1912x y x y x y ⎛⎫+=++≥= ⎪⎝⎭ 故 ()min 12x y +=错因：解法中两次连用均值不等式，在x y +≥x y =，在19x y +≥19x y=即9y x =,取等号的条件的不一致，产生错误。
因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。
【思维点拨】多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错.例5 已知a ，b 为正实数，302=++b ab b ，则函数ab y 1=的最小值是 . 【答案】 181 【易错点】①本题考查不等式ab b a ≥+2）（+∈R b a ,的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式230ab a b =++）（+∈R b a ,出发求得ab 的范围，关键是寻找到ab b a 与+之间的关系，由此想到不等式ab b a ≥+2）（+∈R b a ,，这样将已知条件转换为含ab 的不等式，进而解得ab 的范围. 【思维点拨】这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。
题型三 线性规划例1 已知⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-0520402y x y x y x ，则：(1)42-+=y x z 的最大值 ； (2)251022+-+=y y x z 的最小值 ；(3)112++=x y z 的取值范围是 . 【答案】（1）21； （2）29 ； （3）⎥⎦⎤⎢⎣⎡27,43. 【解析】作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标A (1,3)，B (3,1)，C (7,9).(1)易知直线z y x =-+42过点C 时，z 最大. 所以x ＝7，y ＝9时，z 取最大值21.(2)()225-+=y x z 表示可行域内任一点()y x ,到定点M (0,5)的距离的平方， 过点M 作直线AC 的垂线，易知垂足N 在线段AC 上，故z 的最小值是29. (3)()1212--⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅=x y z 表示可行域内任一点()y x ,与定点⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,1Q 连线斜率的2倍.因为47=QA k ，83=QB k ，所以z 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡27,43. 【易错点】作出直线图像后要熟练掌握如何找到满足条件的可行域.【思维点拨】(1)把直线直线z y x =-+42变形为421++-=z x y 可知在y 轴上你的截距越大z 就越大; （2）根据点线距离求即可；（3）先确定定点⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,1Q 再利用斜率求. 例2 已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值是 .【答案】5【解析】如图，只要画出满足约束条件的可行域，而22x y +表示可行域内一点到原点的距离的平方，由图易知()2,1A 是满足条件的最优解， 22x y +的最小值是为5.【思维点拨】本题属非线性规划最优解问题。
求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。
题型四 基本不等式的应用例1 已知a 、b 、c R +∈，且1a b c ++=。
求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【答案】a 、b 、c R +∈，1a b c ++=∴111a b c a a a -+-==≥同理11b -≥11c -≥:111221118ac ab a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当13a b c ===时取等号. 【思维点拨】不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又111a b c a a a -+-==≥，可由此变形入手. 例2 若)2lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b a R b a Q b a P b a +=+=⋅=>>，则R Q P ,,的大小关系是 . 【答案】P Q R >> 【解析】∵1>>b a ∴0lg ,0lg >>b a ，则21=Q （p b a b a =⋅>+lg lg )lg lg Q ab ab b a R ==>+=lg 21lg )2lg( ∴P Q R >>. 【思维点拨】因为0lg ,0lg >>b a 所以可以利用均值不等式进行判断大小.【巩固训练】题型一 一元二次不等式解法及其应用1.不等式220x x +-<的解集为___________．【答案】()1,2-【解析】易得不等式220x x +-<的解集为()1,2-.2.已知关于x 的不等式220x ax a -+>在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是_________．【答案】()8,0【解析】因为不等式220x ax a -+>在R 上恒成立．∴△=2()80a a --<，解得80<<a ．3.已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为 ．【答案】9=c【解析】因为()f x 的值域为[0,+∞），所以,0=∆即24a b =, 所以2204a x ax c ++-=的两根，由韦达定理得,4)6(,622c a m m a m -=+-=+解得9=c . 4.已知函数21,0()1,0x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩,则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的范围是_____．【答案】(1)-【解析】2212(1)10x x x x ⎧->⎪⇒∈-⎨->⎪⎩． 5.已知)(x f 的定义域为R 的偶函数，当0≥x 时，x x x f 4)(2-=，那么，不等式5)2(<+x f 的解集_____．【答案】(－7,3)【解析】当x ≥0时，令245x x -<，解得，05x <≤．又因为)(x f 为定义域为R 的偶函数，则不等式(2)5f x +<等价于525x -<+<，即－7＜x ＜3；故解集为(－7,3)．题型二 应用基本不等式求函数最值1.已知28,,0,1x y x y >+=，则xy 的最小值是 。