高中数学平面向量知识点及习题分章节
人教版必修4平面向量知识点分类有答案
人教版数学必修2知识点总结第二章 平面向量一、 概念及表示(一) 概念及意义1. 下列说法正确的是（ ）A. 长度相等的向量叫做相等向量B. 共线向量是在同一直线上的向量C. 零向量的长度等于0D. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，就是AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在的直线平行于CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在的直线 2. 下列说法中：①两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同； ②若|a ⃗ |=|b ⃗ |，则|a ⃗ =b ⃗ ； ③若非零向量a ⃗ ,b ⃗ 共线，则a ⃗ =b ⃗ ； ④向量a ⃗ =b ⃗ ，则向量a ⃗ ,b ⃗ 共线；⑤由于零向量的方向不确定，故其不能与任何向量平行； 其中正确的序号为___________ ． 3. 下列命题中，正确的个数是（ ）①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量； ③若a ⃗ ,b ⃗ 满足|a ⃗ |>|b ⃗ |且a ⃗ 与b ⃗ 同向，则a ⃗ >b ⃗ ； ④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合； ⑤若a ⃗ //b ⃗ ,b ⃗ //c ⃗ ，则a⃗ //c ⃗ ． A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个4. 有下列四个命题：①互为相反向量的两个向量模相等；②若向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 是共线的向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上； ③若|a ⃗ |=|b ⃗ |，则a ⃗ =b ⃗ 或a ⃗ =−b ⃗ ； ④若a ⃗ ⋅b ⃗ =0⃗ ，则a ⃗ =0⃗ 或b ⃗ =0⃗ ； 其中正确结论的个数是（ ）A. 4B. 3C. 2D. 15. 下列叙述中，正确的是( )A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ B. 若|a ⃗ |=|b ⃗ |且a ⃗ //b ⃗ ，则a ⃗ =b ⃗ C. 若|a ⃗ −b ⃗ |=|a ⃗ +b ⃗ |，则a ⃗ ⊥b ⃗D. 若向量b ⃗ 与向量a ⃗ 共线，则有且只有一个实数λ，使得b ⃗ =λa ⃗6. 下列说法：①如果非零向量a ⃗ 与b ⃗ 的方向相同或相反，那么a ⃗ +b ⃗ 的方向必与a ⃗ ，b ⃗ 之一的方向相同； ②△ABC 中，必有AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ； ③若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点； ④若a ⃗ ，b ⃗ 均为非零向量，则|a ⃗ +b ⃗ |与|a ⃗ |+|b ⃗ |一定相等． 其中正确说法的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3(二) 表示及加减法7. 已知向量a ⃗ 表示“向东航行3km ”，向量b ⃗ 表示“向南航行3km ，则a ⃗ +b ⃗ 表示（ ）A. 向东南航行6kmB. 向东南航行3√2kmC. 向东北航行3√2kmD. 向东北航行6km8. 化简以下各式：①AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ； ②AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ； ③FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +QP ⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗⃗ −EP ⃗⃗⃗⃗⃗ ④OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 其结果是为零向量的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 49. 下列四式不能化简为AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的是（ ） A. MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. (AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) C. (AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )+BC ⃗⃗⃗⃗⃗D. OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗10. 下列各式中不能化简为AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的是（ ） A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗B. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗C. MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗11. 给出下面四个命题：①AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ；②AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ；③AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ；其中正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个12. 已知a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ ，d ⃗ 为非零向量，且a ⃗ +b ⃗ =c ⃗ ，a ⃗ −b ⃗ =d⃗ ，则下列说法正确的个数为（ ） (1)若|a ⃗ |=|b ⃗ |，则c ⃗ ⋅d ⃗ =0； (2)若c ⃗ ⋅d ⃗ =0，则|a ⃗ |=|b ⃗ |； (3)若|c ⃗ |=|d ⃗ |，则a ⃗ ⋅b ⃗ =0； (4)若a ⃗ ⋅b ⃗ =0，则|c ⃗ |=|d⃗ | A. 1 B. 2 C. 3 D. 413. 在△ABC 中，点D 满足BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则（ ） A. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 14. 在四边形ABCD 中，若DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =25AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，则这个四边形是（ ） A. 平行四边形 B. 菱形C. 矩形D. 等腰梯形15. 已知a ⃗ ，b ⃗ 为非零向量，且|a ⇀+b ⇀|=|a ⇀|+|b ⇀|，则一定有（ ）A. a ⃗ =b⃗ B. a ⃗ //b ⃗ ，且a ⃗ ，b ⃗ 方向相同 C. a ⃗ =−b ⃗D. a ⃗ //b ⃗ ，且a ⃗ ，b ⃗ 方向相反16. 设非零向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ −b ⃗ |则（ ）A. a ⃗ ⊥b ⃗B. |a ⃗ |=|b ⃗ |C. a ⃗ //b ⃗D. |a ⃗ |>|b ⃗ |17. 若向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=|b ⃗ |=|a ⃗ +b ⃗ |=1，则 a ⃗ ⋅b ⃗ 的值为（ ）A. −12B. 12C. −1D. 118. 在△ABC 中，(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |2，则三角形ABC 的形状一定是（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形19. 已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m,5)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,n)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(7,6)，则m +n 的值为___________ ．二、 图形运算及平面向量基本定理(一)平面向量基本定理20. 如图，已知CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AD =2DB ，用a ⃗ 、b ⃗ 表示DC ⃗⃗⃗⃗⃗为（ ） A. DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−53a ⃗ +23b ⃗ B. DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12a ⃗ −13b ⃗ C. DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23a ⃗ −13b ⃗ D. DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−13a ⃗ −23b ⃗ 21. 已知D 、E 、F 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 的中点，且BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ 、CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ 、AB ⃗⃗⃗⃗⃗=c ⃗ 、则 ①EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12c ⃗ −12b ⃗ ； ②BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +12b ⃗ ； ③CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12a ⃗ +12b ⃗ ； ④AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 其中正确的等式个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 422. 在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 相交于点F ，则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A. 14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. 12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +14BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. 12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. 23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 23. 在平行四边形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,P 为AD 的中点，MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=（ ） A. 45a ⃗ +310b ⃗ B. 45a ⃗ +1310b ⃗ C. −45a ⃗ −310b ⃗ D. 34a ⃗ +14b ⃗ 24. 已知四边形ABCD 为正方形，点E 是CD 的中点，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则BE ⃗⃗⃗⃗⃗=（ ） A. 12b ⃗ +a ⃗ B. b ⃗ −12a ⃗ C. 12a ⃗ +b ⃗ D. a ⃗ −12b ⃗ 25. 在平行四边形ABCD 中，点F 为线段CD 上靠近点D 的一个三等分点.若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A. 14a⃗ +12b ⃗ B. 23a⃗ +13b ⃗ C. 12a⃗ +14b ⃗ D. 13a⃗ +23b ⃗ 26. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，且DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则（ ） A. x =−1，y =−12 B. x =1，y =12 C. x =−1，y =12D. x =1，y =−1227. 在△ABC 中，已知D 是BC 延长线上一点，点E 为线段AD 的中点，若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且AE ⃗⃗⃗⃗⃗=λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ=（ ） A. −14B. 14C. −13D. 1328. 如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 分别为AB 、AD 上的点，且AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =45AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，连接AC 、MN 交于P 点，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ的值为（ ） A. 35B. 37C. 411D. 41329. 如图，在△ABC 的边AB 、AC 上分别取点M 、N ，使AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BN 与CM 交于点P ，若BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μCP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λμ的值为（ ） A. 83 B . 38C. 16D. 630. 如图，在△ABC 中，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ的值为（ ）A. 89B. 49C. 83D. 4331. 在△ABC 中，已知点D 为AB 边的中点，点N 在线段CD 上，且CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2ND ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ=（ ）A. 13B. −13C. 23D. −2332. 在△ABC 中，AB =2，BC =3，∠ABC =60∘，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ=（ ）A. 1B. 12C. 13D. 2333. 如图，M 、N 是△ABC 的一边BC 上的两个三等分点，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ___________ ．(二)判断形状34. 已知向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−3)，向量BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,−2)，则△ABC 的形状为（ ）A. 等腰直角三角形B. 等边三角形C. 直角非等腰三角形D. 等腰非直角三角形35. 若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，则△ABC 的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形D. 等边三角形36. 已知向量a ⃗ 、b ⃗ 不共线，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +2b ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4a ⃗ −b ⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−5a ⃗ −3b ⃗ ，则四边形ABCD 是（ ）A. 梯形B. 平行四边形C. 矩形D. 菱形(三)线性表示及数量积运算37. 已知边长为2的正方形ABCD 中，E 为AD 中点，连BE ，则BE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A. −2 B. −1 C. 1 D. 238. 设四边形ABCD 为平行四边形，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，若点M 、N 满足BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A. 20 B. 15 C. 9 D. 639. 正三角形ABC 中，D 是线段BC 上的点，AB =6，BD =2，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 3040. 如图在平行四边形ABCD 中，已知AB =8，AD =5，CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是（ ） A. 18 B. 20 C. 22 D. 2441. 已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D,E 分别是边AB,BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE =2EF ，则AF →⋅BC →的值为（ ）A. −58B. 18C. 14D. 11842. 如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA⃗⃗⃗⃗⃗ =4，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1，则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是______． 43. 如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB =8，AD =5，CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是______．44. 如图，在平面四边形ABCD 中，若AC =3，BD =2，则(AB⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )= _____．45. 菱形ABCD 的边长为2，∠A =60∘，M 为DC 的中点，则AM →·AB →的值为______ ．46. 在△ABC 中，已知∠ACB =90∘，CA =3，CB =4，点E 是边AB 的中点，则CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ．47. 已知直角梯形ABCD 中，AB//CD ，∠BCD =60∘，E 是线段AD 上靠近A 的三等分点，F 是线段DC的中点，若AB =2，AD =√3，则EB ⋅⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ EF⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 48. 在△ABC 中，∠A =60∘，AB =3，AC =2.若BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4，则λ的值为______．(四)面积问题49. △ABC 所在平面上一点P 满足PA⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则△PAB 的面积与△ABC 的面积比（ ） A. 2：3 B. 1：3 C. 1：4 D. 1：650. 设点O 在△ABC 的内部，且有OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则△AOB 的面积与△ABC 的面积之比为（ ） A. 13B. 53C. 12D. 2351. 已知O 为正△ABC 内的一点，且满足OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1+λ)OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，若△OAB 的面积与△OBC 的面积的比值为3，则λ的值为（ ）A. 12B. 52C. 2D. 352. 已知点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则△AMB 与△ABC 的面积比为（ ） A. 52B. 25C. 75D. 57三、 平行垂直判定53. 已知平面向量a⃗ =(1,2)，b ⃗ =(x,−2)，若a ⃗ 与b ⃗ 共线，则x 的值为（ ） A. −4 B. 4 C. −1 D. 154. 已知A(1,3)，B(4,−1)，则与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线的单位向量为（ ）A. (45,35)或(−45,35) B. (35,−45)或(−35,45) C. (−45,−35)或(45,35) D. (−35,−45)或(35,45)55. 若向量a ⃗ =(1,0)，b ⃗ =(2,1)，c ⃗ =(x,1)满足条件3a ⃗ −b⃗ 与c ⃗ 共线，则x 的值（ ） A. 1 B. −3 C. −2 D. −156. 给定两个向量a ⃗ =(3,4)，b ⃗ =(2,1)，若(a ⃗ +x b ⃗ )//(a ⃗ −b ⃗ )，则x 的值等于（ ）A. 32B. −1C. 1D. −3257. 设向量a ⃗ ，b ⃗ 不平行，向量λa ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ +2b⃗ 平行，则实数λ=______． 58. 已知▱ABCD 的三个顶点A(−1,−2)，B(3,1)，C(0,2)，则顶点D 的坐标为（ ）A. (2,−3)B. (−1,0)C. (4,5)D. (−4,−1)59. 已知向量a ⃗ =(1,m)，b ⃗ =(3,−2)，且(a ⃗ +b ⃗ )⊥b ⃗ ，则m =（ ）A. −8B. −6C. 6D. 860. 设x ∈R ，向量a ⃗ =(x,1),b ⃗ =(1,−2)，且a ⃗ ⊥b ⃗ ，则|a⃗ |=（ ） A. √5B. 2√5C. 10D. √1061. 已知向量a ⃗ =(k,3)，b ⃗ =(1,4)，c ⃗ =(2,1)且(2a ⃗ −3b ⃗ )⊥c ⃗ ，则实数k =（ ）A. −92B. 0C. 3D. 15262. 设向量a ⃗ =(2,1)，b ⃗ =(0,−2).则与a ⃗ +2b⃗ 垂直的向量可以是（ ） A. (3,2) B. (3,−2) C. (4,6) D. (4,−6)63. 设向量a ⃗ =(m,1)，b ⃗ =(1,2)，且|a ⃗ +b ⃗ |2=|a ⃗ |2+|b ⃗ |2，则m =______． 64. 已知向量a ⃗ =(−2,3)，b ⃗ =(3,m)，且a ⃗ ⊥b ⃗ ，则m =______．65. 已知向量a ⃗ =(−1,2)，b ⃗ =(m,1)，若向量a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ 垂直，则m =______． 66. 设向量a ⃗ =(x,x +1)，b ⃗ =(1,2)，且a ⃗ ⊥b ⃗ ，则x =______．67. 已知向量a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(2,λ)，c⃗ =(−3,2)． (1)若a ⃗ //b ⃗ ，求实数λ的值；(2)若k a ⃗ +c ⃗ 与a ⃗ −2c ⃗ 垂直，求实数k 的值．68. 已知向量a ⃗ =(1,0),b ⃗ =(−2,1)．(1)若k a ⃗ −b ⃗ 与a ⃗ +3b ⃗ 垂直，求k 的值；(2)若k a ⃗ −b ⃗ 与a ⃗ +3b ⃗ 平行，求k 的值．69. 已知△OAB 中，点D 在线段OB 上，且OD =2DB ，延长BA 到C ，使BA =AC.设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ． (1)用a ⃗ ,b ⃗ 表示向量OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ；(2)若向量OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +k DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，求k 的值．70. 在平行四边形ABCD 中，A(1,1)、B(7,3)、D(4,6)，点M 是线段AB 的中点线段CM 与BD 交于点P ．(1)求直线CM 的方程；(2)求点P 的坐标．四、 三点共线71. 向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(k ,12)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4 , 5)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(10 , 8)，若A 、B 、C 三点共线，则k = ______ ． 72. 设D 为△ABC 所在平面内一点，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λDC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)，则λ=（ ） A. 2 B. 3 C. −2 D. −373. 在△ABC 中，若点D 满足BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A. 13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 53AB ⃗⃗⃗⃗⃗−23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 74. 如图，已知△OAB ，若点C 满足AC⃗⃗⃗⃗⃗ =2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R)，则1λ+1μ=（ ）A. 13 B. 23 C. 29D. 9275. 已知e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 是不共线向量，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−e 1⃗⃗⃗ +3e 2⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λe 1⃗⃗⃗ −e 2⃗⃗⃗ ，且A ，B ，D 三点共线，则实数λ等于（ ）A. 3B. 4C. 5D. 676. 如图，在△ABC 中，线段BE ，CF 交于点P ，设向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,AP⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =23a ⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12b ⃗ ，则向量c ⃗ 可以表示为（ ） A. c⃗ =34a ⃗ +12b ⃗ B. c ⃗ =12a ⃗ +34b ⃗ C. c⃗ =12a ⃗ +14b ⃗ D. c ⃗ =14a +12b 77. 如图，在▱ABCD 中，M ，N 分别为AB ，AD 上的点，且AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，连接AC ，MN 交于P 点，若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ的值为（ ） A. 35 B. 37C. 613D. 61778. 平面直角坐标系中，O 为原点，A 、B 、C 三点满足OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =34OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=（ ） A. 1 B. 2 C. 3D. 3279. O 为△ABC 内一点，且2OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若B ，O ，D 三点共线，则t 的值为（ ） A. 14B. 13C. 12D. 2380. 在△ABC 中，AB =2，BC =3√3，∠ABC =30∘，AD 为BC 边上的高，若AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λμ等于（ ）A. 2B. 12C. 23D. 2√381.在△ABC中，D为BC上靠近B点的三等分点，连接AD，若AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB⃗⃗⃗⃗⃗ +n AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则m+n=______ ．五、数量积(一)投影82.已知向量m⃗⃗⃗ =(1,2)，n⃗=(2,3)，则m⃗⃗⃗ 在n⃗方向上的投影为（）A. √13B. 8C. 8√55D. 8√131383.已知平面向量a⃗,b⃗ 是非零向量，|a⃗|=2，a⃗⊥(a⃗+2b⃗ )，则向量b⃗ 在向量a⃗方向上的投影为（）A. 1B. −1C. 2D. −284.已知a⃗，b⃗ 为单位向量，|a⃗+b⃗ |=√2|a⃗−b⃗ |，则a⃗在a⃗+b⃗ 的投影为（）A. 13B. −2√63C. √63D. 2√2385.已知|a⃗|=2，向量a⃗在向量b⃗ 上的投影为√3，则a⃗与b⃗ 的夹角为（）A. π3B. π6C. 2π3D. π286.若向量a⃗与向量b⃗ 满足：|a⃗|=2，|b⃗ |=3，且当λ∈R时，|b⃗ −λa⃗|的最小值为2√2，则向量a⃗+b⃗ 在向量a⃗方向上的投影为（）A. 1或2B. 2C. 1或3D. 387.已知e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 为单位向量且夹角为π3，设a⃗=e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ ，b⃗ =e2⃗⃗⃗ ，a⃗在b⃗ 方向上的投影为______ ．88.已知向量a⃗与b⃗ 的夹角为2π3，|a⃗|=√2，则a⃗在b⃗ 方向上的投影为______．(二)夹角89.已知向量BA⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32)，BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12)，则∠ABC=（）A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 120∘90.已知a⃗=(3,4)，b⃗ =(5,12)，则a⃗与b⃗ 夹角的余弦为（）A. 6365B. √65 C. √135D. √1391.已知单位向量a⃗,b⃗ 满足|a⃗+3b⃗ |=√13，则a⃗与b⃗ 的夹角为（）A. π6B. π4C. π3D. π292.已知向量a⃗与向量b⃗ 满足|a⃗|=3，|b⃗ |=2，|2a⃗+b⃗ |=2√13，则a⃗与b⃗ 的夹角为（）A. π6B. π4C. π3D. 2π393.若向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=√3，|b⃗ |=2，a⃗⊥(a⃗−b⃗ )，则a⃗与b⃗ 的夹角为（）A. π2B. 2π3C. π6D. 5π694. 已知非零向量a ⃗ ,b ⃗ 满足|b ⃗ |=4|a ⃗ |，且a ⃗ ⊥(2a ⃗ +b ⃗ )则a⃗ 与b ⃗ 的夹角为（ ） A. π3B. π2C. 2π3D. 5π695. 在△ABC 中，AB =AC =1，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−14，则∠ABC =（ ） A. 5π12B. π3C. π4D. π696. 已知e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 是互相垂直的单位向量，若√3e 1⃗⃗⃗ −e 2⃗⃗⃗ 与e 1⃗⃗⃗ +λe 2⃗⃗⃗ 的夹角为60∘，则实数λ的值是______． 97. 已知a ⃗ =(1,3)，b ⃗ =(2+λ,1)，且a ⃗ 与b ⃗ 成锐角，则实数λ的取值范围是______． 98. 已知a⃗ =(x +1,2)，b ⃗ =(4,−7)，且a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为锐角，则x 的取值范围为______ ． 99. 已知向量a ⃗ =(6,2)与b ⃗ =(−3,k)的夹角是钝角，则k 的取值范围是______．100. 已知向量a ⃗ =(1,√3)，b ⃗ =(√3,1)，则a ⃗ 与b ⃗ 夹角的大小为______．101. 设θ∈(0,π2)，向量a ⃗ =(cosθ,2)，b ⃗ =(−1,sinθ)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则tanθ=______．(三) 数量积102. 如图，在圆C 中，点A 、B 在圆上，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的值（ ） A. 只与圆C 的半径有关 B. 既与圆C 的半径有关，又与弦AB 的长度有关 C. 只与弦AB 的长度有关 D. 是与圆C 的半径和弦AB 的长度均无关的定值 103.向量a ⃗ =(2,−1)，b ⃗ =(−1,2)，则(2a ⃗ +b ⃗ )⋅a ⃗ =（ ）A. 6B. 5C. 1D. −6104.已知a ⃗ ，b ⃗ 为单位向量，其夹角为60∘，则(2a⃗ −b ⃗ )⋅b ⃗ =（ ） A. −1 B. 0 C. 1 D. 2105.在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−2)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1)则AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2106.设a ⃗ ，b ⃗ 是平面上的两个单位向量，a ⃗ ⋅b ⃗ =35.若m ∈R ，则|a ⃗ +m b ⃗ |的最小值是（ ） A. 34 B. 43C. 45D. 54107.已知两个单位向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为120∘，k ∈R ，则|a ⃗ −k b ⃗ |的最小值为（ ）A. 34 B. √32C. 1D. 32108.已知平面上三点A ，B ，C ，满足|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=8，|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=10，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ）A. 48B. −48C. 100D. −100109. 边长为4的正三角形ABC 中，点D 在边AB 上，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，M 是BC 的中点，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A. 16 B. 12√3 C. −8√3 D. −8110.在如图的平面图形中，已知OM =1，ON =2，∠MON =120∘，BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为（ ） A. −15 B. −9 C. −6D. 0111. 已知非零向量m⃗⃗⃗ ，n ⃗ 满足4|m ⃗⃗⃗ |=3|n ⃗ |，cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=13.若n ⃗ ⊥(t m ⃗⃗⃗ +n ⃗ )，则实数t 的值为（ ） A. 4 B. −4C. 94D. −94112.如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB =BC =AD =2，CD =3，AC与BD 交于点O ，记I 1=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，I 2=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，I 3=OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则（ ） A. I 1<I 2<I 3 B. I 1<I 3<I 2 C. I 3<I 1<I 2 D. I 2<I 1<I 3 113.已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=1，向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ −b ⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +3b⃗ ． (1)若a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为60∘，求|a ⃗ −b ⃗ |的值；(2)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角θ的值．114.已知向量a ⃗ =(3,−1)，|b ⃗ |=√5，a ⃗ ⋅b ⃗ =−5，c ⃗ =x a ⃗ +(1−x)b ⃗ ．(Ⅰ)若a ⃗ ⊥c ⃗ ，求实数x 的值；(Ⅱ)当|c ⃗ |取最小值时，求b ⃗ 与c ⃗ 的夹角的余弦值．115.已知向量|a⃗|=2，b⃗ =(−12,√32)，且a⃗与b⃗ 夹角为2π3，(1)求|a⃗+2b⃗ |；(2)若(a⃗+k b⃗ )⊥(2b⃗ −a⃗ )，求实数k的值．116.已知向量a⃗=(2,−1)，b⃗ =(x,1)(x∈R)．(1)若a⃗,b⃗ 的夹角为锐角，求x的范围；(2)当3a⃗−2b⃗ =(4,y)时，求x+y的值．六、模的运算(一)公式2222||a a x y==+117.已知AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0)，那么|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |等于（）A. 2B. 3C. 4D. 5118.设向量BA⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−2)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,6)，则|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |等于（）A. 2√6B. 5C. √26D. 6119.已知向量|a⃗|=4,|b⃗ |=8,a⃗与b⃗ 的夹角为60∘，则|2a⃗+b⃗ |=（）A. 8√3B. 6√3C. 5D. √19120.已知向量a⃗，b⃗ 满足a⃗⋅b⃗ =1，|a⃗|=2，|b⃗ |=3，则|a⃗−b⃗ |=（）A. √13B. 6C. √11D. 5121.已知单位向量e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 的夹角为θ，且cosθ=14，若向量a⃗=e1⃗⃗⃗ +2e2⃗⃗⃗ ，则|a⃗|=______．(二) 公式|a ⃗ +b ⃗ |2+|a ⃗ −b ⃗ |2=2(|a ⃗ |2+|b⃗ |2) 运用 122.已知向量a 、b 满足|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=2，|a ⃗ −b ⃗ |=2，则|a ⃗ +b ⃗ |等于（ ）A. 1B. √2C. √5D. √6123.设向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ +b ⃗ |=√10，|a ⃗ −b ⃗ |=√6，则a⃗ ⋅b ⃗ =（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5七、 重心、外心124.若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则S △ABM ：S △ABC 等于（ ） A. 12 B. 13C. 14D. 15125.设O 在△ABC 的内部，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，△ABC 的面积与△AOC 的面积之比为（ ） A. 3：1 B. 4：1 C. 5：1 D. 6：1126. 已知|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=2，a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为120∘，a ⃗ +b ⃗ +c ⃗ =0⃗ ，则a ⃗ 与c ⃗ 的夹角为_____． 127.已知O 为△ABC 的外心，3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +5OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +7OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则∠ACB 的值为（ ） A. π6 B. π3C. π6或5π6D. π3或2π3128.点P 是△ABC 所在平面内任一点，PG ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，则点G 的轨迹一定通过△ABC 的（ ） A. 重心 B. 内心 C. 垂心 D. 外心129.已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗=13(12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，则P 一定为△ABC 的（ ）A. AB 边中线的三等分点(非重心)B. AB 边的中点C. AB 边中线的中点D. 重心 130.已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，那么(（ ） A. AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =3OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. 2AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 八、 综合问题 （1） 建系解决问题131.已知三个向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 共面，且均为单位向量，a ⃗ ⋅b ⃗ =0，则|a ⃗ +b ⃗ −c ⃗ |的取值范围是（ ）A. [√2−1,√2+1]B. [1,√2]C. [√2,√3]D. [√2−1,1]132.若a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 均为单位向量，且a ⃗ ⋅b ⃗ =0，(a ⃗ −c ⃗ )⋅(b ⃗ −c ⃗ )≤0，则|a ⃗ +b ⃗ −2c ⃗ |的最大值为（ ）A. 1B. √2C. √2−1D. 2−√2133.向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 在正方形网络中的位置如图所示，若c ⃗ =λa ⃗ +μb ⃗ (λ,μ∈R)，则λμ=（ ） A. −8 B. −4 C. 4 D. 2134. 已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )的最小值是（ ）A. −2B. −32C. −43D. −1135.已知正三角形ABC 的边长为2√3，平面ABC 内的动点P ，M 满足|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2的最大值是（ ）A. 434 B. 494C. 37+6√34 D. 37+2√334136.如图，正方形ABCD 中，M 、N 分别是BC 、CD 的中点，若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μBN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ=（ ）A. 2B. 83 C. 65 D. 85 137.已知a ⃗ ,b ⃗ 是单位向量，a ⃗ ,b ⃗ 的夹角为90∘，若向量c ⃗ 满足|c ⃗ −a ⃗ −b ⃗ |=2，则|c⃗⃗⃗ |的最大值为（ ） A. 2−√2 B. √2 C. 2 D. 2+√2138.已知Rt △ABC ，AB =3，BC =4，CA =5，P 为△ABC 外接圆上的一动点，且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x +y 的最大值是（ ）A. 54 B. 43C. √176D. 53139.在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ的最大值为（ ） A. 3 B. 2√2 C. √5 D. 2140.如图，扇形的半径为1，圆心角∠BAC =150∘，点P 在弧BC 上运动，AP⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则√3m −n 的最大值是（ ） A. 1 B. √3 C. 2 D. 2√3141. 已知向量a ⃗ 、b ⃗ 满足|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=2，则|a ⃗ +b ⃗ |+|a ⃗ −b ⃗ |的最小值是______ ，最大值是______ ． 142.已知在△ABC 中，∠A =π2，AB =2，AC =4，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为______．143. 如图，在同一个平面内，向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模分别为1，1，√2，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α，且tanα=7，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为45∘，若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (m,n ∈R)，则m +n =___________． 144. 在平面直角坐标系中，已知点A(−1,0)、B(2,0)，E 、F 是y 轴上的两个动点，且|EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，则AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______．145. 在正方形ABCD 中，AB =AD =2，M ，N 分别是边BC ，CD 上的动点，当|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4时，则|MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是______． 146. 如图，已知点O(0,0)，A(1,0)，B(0,−1)，P 是曲线y =√1−x 2上一个动点，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是______．147. 在△ABC 中，已知AB =1，AC =2，∠A =60∘，若点P 满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CP⃗⃗⃗⃗⃗ =1，则实数λ的值为______．148. 已知a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 是同一平面内的三个向量，其中a ⃗ ，b ⃗ 是相互垂直的单位向量，且(a ⃗ −c ⃗ )⋅(√3b ⃗ −c ⃗ )=1，|c ⃗ |的最大值为______．149.已知a ⃗ ，b ⃗ ，e ⃗ 是平面向量，e ⃗ 是单位向量.若非零向量a ⃗ 与e ⃗ 的夹角为π3，向量b ⃗ 满足b ⃗ 2−4e ⃗ ⋅b ⃗ +3=0，则|a ⃗ −b ⃗ |的最小值是（ ）A. √3−1B. √3+1C. 2D. 2−√3（2） 与三角函数有关150.已知α是锐角，a ⃗ =(34,sinα),b ⃗ =√3)，且a ⃗ //b ⃗ ，则α为（ ） A. 15o B. 30o C. 30o 或60o D. 15o 或75o151.已知向量m ⃗⃗⃗ =(2cos 2x,√3)，n⃗ =(1,sin2x)，设函数f(x)=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ，则下列关于函数y =f(x)的性质的描述正确的是（ ）A. 关于直线x =π12对称 B. 关于点(5π12,0)对称C. 周期为2πD. y =f(x)在(−π3,0)上是增函数152.设△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，向量m ⃗⃗⃗ =(√3sinA,sinB),n ⃗ =(cosB,√3cosA)，若m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =1+cos(A +B)，则C = ______ ．153. 已知点P 在圆x 2+y 2=1上，点A 的坐标为(−2,0)，O 为原点，则AO⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为______．154.已知向量a⃗=(2,sinθ)，b⃗ =(1,cosθ)，若a⃗//b⃗ ，则sin2θ1+cos2θ的值为______．155.已知a⃗=(sinx,cosx)，b⃗ =(sinx,sinx)，函数f(x)=a⃗⋅b⃗ ．(I)求f(x)的对称轴方程；(II)求使f(x)≥1成立的x的取值集合；(III)若对任意实数x∈[π6,π3]，不等式f(x)−m<2恒成立，求实数m的取值范围．156.已知a⃗=(2sinx,cos2x)，b⃗ =(√3cosx,2)，f(x)=a⃗⋅b⃗ ．(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间；(2)求函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值．（3）与均值不等式有关157.已知向量a⃗=(m,1)，b⃗ =(4−n,2)，m>0，n>0，若a⃗//b⃗ ，则1m +8n的最小值__．人教版数学必修2知识点总结（教师版）第二章 平面向量一、 概念及表示(一) 概念及意义1. 下列说法正确的是( C )A. 长度相等的向量叫做相等向量B. 共线向量是在同一直线上的向量C. 零向量的长度等于0D. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，就是AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在的直线平行于CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在的直线 2. 下列说法中：①两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同； ②若|a ⃗ |=|b ⃗ |，则|a ⃗ =b ⃗ ； ③若非零向量a ⃗ ,b ⃗ 共线，则a ⃗ =b ⃗ ； ④向量a ⃗ =b ⃗ ，则向量a ⃗ ,b ⃗ 共线；⑤由于零向量的方向不确定，故其不能与任何向量平行； 其中正确的序号为______ ．【答案】①④ 3. 下列命题中，正确的个数是( A )①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量；③若a ⃗ ,b ⃗ 满足|a ⃗ |>|b ⃗ |且a ⃗ 与b ⃗ 同向，则a ⃗ >b ⃗ ；④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；⑤若a ⃗ //b ⃗ ,b ⃗ //c ⃗ ，则a⃗ //c ⃗ ． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 4. 有下列四个命题：①互为相反向量的两个向量模相等； ②若向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 是共线的向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上； ③若|a ⃗ |=|b ⃗ |，则a ⃗ =b ⃗ 或a ⃗ =−b ⃗ ；④若a ⃗ ⋅b ⃗ =0⃗ ，则a ⃗ =0⃗ 或b ⃗ =0⃗ ； 其中正确结论的个数是( D )A. 4B. 3C. 2D. 1 5. 下列叙述中，正确的是( A )A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ B. 若|a ⃗ |=|b ⃗ |且a ⃗ //b ⃗ ，则a ⃗ =b ⃗ C. 若|a ⃗ −b ⃗ |=|a ⃗ +b ⃗ |，则a ⃗ ⊥b ⃗D. 若向量b ⃗ 与向量a ⃗ 共线，则有且只有一个实数λ，使得b ⃗ =λa ⃗6. 下列说法：①如果非零向量a ⃗ 与b ⃗ 的方向相同或相反，那么a ⃗ +b ⃗ 的方向必与a ⃗ ，b ⃗ 之一的方向相同；②△ABC 中，必有AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ； ③若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点； ④若a ⃗ ，b ⃗ 均为非零向量，则|a ⃗ +b ⃗ |与|a ⃗ |+|b ⃗ |一定相等． 其中正确说法的个数为(C )A. 0B. 1C. 2D. 3(二) 表示及加减法7. 已知向量a ⃗ 表示“向东航行3km ”，向量b ⃗ 表示“向南航行3km ，则a ⃗ +b ⃗ 表示( B )A. 向东南航行6kmB. 向东南航行3√2kmC. 向东北航行3√2kmD. 向东北航行6km 8. 化简以下各式：①AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ； ②AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ； ③FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +QP ⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗⃗ −EP ⃗⃗⃗⃗⃗ ④OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗其结果是为零向量的个数是( D ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 49. 下列四式不能化简为AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的是( A ) A. MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. (AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) C. (AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )+BC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗10. 下列各式中不能化简为AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的是( D ) A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ C. MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗11. 给出下面四个命题：①AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ；②AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ；③AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ；其中正确的个数为(B)A. 1个B. 2个C. 3个D. 0个12. 已知a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ ，d ⃗ 为非零向量，且a ⃗ +b ⃗ =c ⃗ ，a ⃗ −b ⃗ =d ⃗ ，则下列说法正确的个数为( D ) (1)若|a ⃗ |=|b ⃗ |，则c ⃗ ⋅d ⃗ =0； (2)若c ⃗ ⋅d ⃗ =0，则|a ⃗ |=|b ⃗ |；(3)若|c ⃗ |=|d ⃗ |，则a ⃗ ⋅b ⃗ =0； (4)若a ⃗ ⋅b ⃗ =0，则|c ⃗ |=|d⃗ | A. 1 B. 2 C. 3 D. 413. 在△ABC 中，点D 满足BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则( C ) A. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 14. 在四边形ABCD 中，若DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =25AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，则这个四边形是( D )A. 平行四边形B. 菱形C. 矩形D. 等腰梯形15. 已知a ⃗ ，b ⃗ 为非零向量，且|a ⇀+b ⇀|=|a ⇀|+|b ⇀|，则一定有( B )A. a ⃗ =b ⃗B. a ⃗ //b⃗ ，且a ⃗ ，b ⃗ 方向相同 C. a ⃗ =−b ⃗D. a ⃗ //b ⃗ ，且a ⃗ ，b ⃗ 方向相反16. 设非零向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ −b ⃗ |则( A )A. a ⃗ ⊥b ⃗B. |a ⃗ |=|b ⃗ |C. a ⃗ //b ⃗D. |a ⃗ |>|b ⃗ |17. 若向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=|b ⃗ |=|a ⃗ +b ⃗ |=1，则 a ⃗ ⋅b ⃗ 的值为( A )A. −12B. 12C. −1D. 118. 在△ABC 中，(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2，则三角形ABC 的形状一定是( C ) A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形19. 已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m,5)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,n)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(7,6)，则m +n 的值为______．【答案】8二、 图形运算及平面向量基本定理(一)平面向量基本定理20. 如图，已知CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AD =2DB ，用a ⃗ 、b ⃗ 表示DC ⃗⃗⃗⃗⃗为(D ) A. DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−53a ⃗ +23b ⃗ B. DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12a ⃗ −13b ⃗ C. DC ⃗⃗⃗⃗⃗=−23a ⃗ −13b ⃗ D. DC ⃗⃗⃗⃗⃗=−13a ⃗ −23b ⃗ 21. 已知D 、E 、F 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 的中点，且BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ 、CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ 、AB ⃗⃗⃗⃗⃗=c ⃗ 、则 ①EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12c ⃗ −12b ⃗ ； ②BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +12b ⃗ ；③CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12a ⃗ +12b ⃗ ； ④AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 其中正确的等式个数为( C )A. 1B. 2C. 3D. 422. 在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 相交于点F ，则AF⃗⃗⃗⃗⃗ =( D ) A. 14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. 12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +14BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗C. 12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. 23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 23. 在平行四边形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,P 为AD 的中点，MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=( C ) A. 45a⃗ +310b ⃗ B. 45a ⃗ +1310b ⃗ C. −45a⃗ −310b ⃗ D. 34a⃗ +14b ⃗ 24. 已知四边形ABCD 为正方形，点E 是CD 的中点，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则BE ⃗⃗⃗⃗⃗=(B ) A. 12b ⃗+a ⃗ B. b ⃗ −12a ⃗ C. 12a ⃗ +b ⃗ D. a ⃗ −12b ⃗ 25. 在平行四边形ABCD 中，点F 为线段CD 上靠近点D 的一个三等分点.若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(B ) A. 14a⃗ +12b ⃗ B. 23a⃗ +13b ⃗ C. 12a⃗ +14b ⃗ D. 13a⃗ +23b ⃗ 26. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，且DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则( D ) A. x =−1，y =−12 B. x =1，y =12 C. x =−1，y =12D. x =1，y =−1227. 在△ABC 中，已知D 是BC 延长线上一点，点E 为线段AD 的中点，若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ=( A ) A. −14B. 14C. −13D. 1328. 如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 分别为AB 、AD 上的点，且AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =45AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，连接AC 、MN 交于P 点，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ的值为( C )A. 35B. 37C. 411D. 41329. 如图，在△ABC 的边AB 、AC 上分别取点M 、N ，使AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BN 与CM 交于点P ，若BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μCP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λμ的值为( D ) A. 83 B . 38C. 16D. 6【解析】由题意，AP →=AM →+MP →=13AB →+μ1+μMC →=13+3μAB →+μ1+μAC →AP →=AN →+NP →=12AC →+11+λNB →=11+λAB →+λ2+2λAC →根据平面向量基本定理，可得{11+λ=13+3μμ1+μ=λ2+2λ，∴μ=23,λ=4，∴λμ=423=6．故选D ．30. 如图，在△ABC 中，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ的值为( A )A. 89B. 49C. 83D. 4331. 在△ABC 中，已知点D 为AB 边的中点，点N 在线段CD 上，且CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2ND ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ=( A )A. 13B. −13C. 23D. −2332. 在△ABC 中，AB =2，BC =3，∠ABC =60∘，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ=( D )A. 1B. 12C. 13D. 23【解析】在△ABD 中，BD =12AB =1又BC =3所以BD =13BC ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∵O 为AD 的中点∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∵AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∴λ=12,μ=16∴λ+μ=23故选D 33. 如图，M 、N 是△ABC 的一边BC 上的两个三等分点，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ．【答案】13(b ⃗ −a ⃗ )(二)判断形状34. 已知向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−3)，向量BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,−2)，则△ABC 的形状为( A )A. 等腰直角三角形B. 等边三角形C. 直角非等腰三角形D. 等腰非直角三角形35. 若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，则△ABC 的形状为(B ) A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形【解析】因为(OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，即CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0； 又因为AB⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，即|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |， 所以△ABC 是等腰三角形．故选：B ． 36. 已知向量a ⃗ 、b ⃗ 不共线，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +2b ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4a ⃗ −b ⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−5a ⃗ −3b ⃗ ，则四边形ABCD 是( A )A. 梯形B. 平行四边形C. 矩形D. 菱形(三)线性表示及数量积运算37. 已知边长为2的正方形ABCD 中，E 为AD 中点，连BE ，则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =( B ) A. −2 B. −1 C. 1 D. 238. 设四边形ABCD 为平行四边形，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，若点M 、N 满足BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( C ) A. 20 B. 15 C. 9 D. 6【解析】∵四边形ABCD 为平行四边形，点M 、N 满足BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴根据图形可得：AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +916AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2， AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+34AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−316AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=12−3=9故选：C ． 39. 正三角形ABC 中，D 是线段BC 上的点，AB =6，BD =2，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(D ) A. 12 B. 18 C. 24 D. 30【解析】∵AB =6，BD =2，∴BC =6，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =26BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =62−13×6×6×12=36−6=30，故选D ．40. 如图在平行四边形ABCD 中，已知AB =8，AD =5，CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是( C ) A. 18 B. 20 C. 22 D. 24【解析】∵CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又∵AB =8，AD =5，∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −316|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=25−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12=2， 故AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =22，答案为22．故选C ． 41. 已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D,E 分别是边AB,BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE =2EF ，则AF →⋅BC →的值为( B )。
高中数学必修二第六章平面向量及其应用重点知识点大全(带答案)
高中数学必修二第六章平面向量及其应用重点知识点大全单选题1、若M 为△ABC 的边AB 上一点，且AB⃑⃑⃑⃑⃑ =3AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,则CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =（ ） A ．3CM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −2CA ⃑⃑⃑⃑⃑ B ．3CA ⃑⃑⃑⃑⃑ −2CM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ C ．3CM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +2CA ⃑⃑⃑⃑⃑ D ．3CA ⃑⃑⃑⃑⃑ +2CM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：A解析：先用向量CB →，CA →表示向量CM →，再转化为用CA →，CM →表示CB →即可得答案.解：根据题意做出图形，如图，所以CM →=CB →+BM →=CB →+23BA →=CB →+23(CA →−CB →)=13CB →+23CA →，所以CB →= 3CM →−2CA →.故选：A.小提示：关键点睛：解题关键在于利用向量的线性运算进行求解，属于基础题2、已知向量a ,b ⃑ 满足|a |⃑⃑⃑⃑⃑ =1,a ⊥b ⃑ ，则向量a −2b ⃑ 在向量a 方向上的投影向量为（ ）A ．aB ．1C ．-1D ．−a答案：A分析：根据给定条件，求出(a −2b ⃑ )⋅a ，再借助投影向量的意义计算作答.因|a |⃑⃑⃑⃑⃑ =1,a ⊥b ⃑ ，则(a −2b ⃑ )⋅a =a 2−2b ⃑ ⋅a =1，令向量a −2b ⃑ 与向量a 的夹角为θ，于是得|a −2b ⃑ |cosθ⋅a ⃑ |a ⃑ |=(a ⃑ −2b ⃑ )⋅a ⃑ |a ⃑ |⋅a⃑ |a ⃑ |=a ，所以向量a −2b ⃑ 在向量a 方向上的投影向量为a .故选：A3、如图，四边形ABCD 是平行四边形，则12AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +12BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =（ ）A ．AB ⃑⃑⃑⃑⃑ B ．CD ⃑⃑⃑⃑⃑C ．CB ⃑⃑⃑⃑⃑D ．AD ⃑⃑⃑⃑⃑答案：D分析：由平面向量的加减法法则进行计算.由题意得AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，所以12AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +12BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ )=AD ⃑⃑⃑⃑⃑ .故选：D.4、下列条件中能得到a ⃗=b ⃑⃗的是（ ）A ．|a ⃗|=|b ⃑⃗|B ．a ⃗与b ⃑⃗的方向相同；C ．a ⃗=0⃑⃗，b ⃑⃗为任意向量D ．a ⃗=0⃑⃗且b ⃑⃗=0⃑⃗答案：D分析：根据相等向量的概念，即可得到结果.由于a ⃗=b ⃑⃗，所以a ⃗与b ⃑⃗的大小相等，方向相同，故D 正确.故选：D.5、向量a ⃗，b ⃑⃗满足a ⃗=(1,√3)，|b ⃑⃗|=1，|a ⃗+b ⃑⃗|=√3，则b ⃑⃗在a ⃗方向上的投影为（）A ．-1B ．−12C ．12D ．1答案：B解析：根据题条件，先求出a ⃗⋅b ⃑⃗，再由向量数量积的几何意义，即可求出结果.因为向量a ⃗，b ⃑⃗满足a ⃗=(1,√3)，|b ⃑⃗|=1，|a ⃗+b ⃑⃗|=√3，所以|a ⃗|2+2a ⃗⋅b ⃑⃗+|b ⃑⃗|2=3，即4+2a ⃗⋅b ⃑⃗+1=3，则a ⃗⋅b⃑⃗=−1， 所以b ⃑⃗在a ⃗方向上的投影为|b →|cos <a →,b →>=a →⋅b →|a →|=−12. 故选：B.6、在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且a (sin A −sin B )+b sin B =c sin C,a +b =2c =2，则△ABC 的面积为（ ）A ．3√38B ．√34C ．√32D ．3√32 答案：B分析：由正弦定理化角为边结合余弦定理可求出C =π3，再由已知可求出ab =1，即可求出面积.因为a (sin A −sin B )+b sin B =c sin C ，由正弦定理得a (a −b )+b 2=c 2，即a 2+b 2−c 2=ab ，所以cos C =a 2+b 2−c 22ab =12， 又C ∈(0,π)，所以C =π3.又a +b =2c =2，则c =1,a +b =2，由a 2+b 2−c 2=a 2+b 2−1= ab,(a +b)2−3ab =1，得ab =1.所以S △ABC =12ab sin C =12×1×1×sin π3=√34. 故选：B.7、在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于（ ）A ．14B ．34C ．√24D ．√23答案：B分析：利用余弦定理求得cosB .b 2=ac,c =2a ，则b 2=2a 2，由余弦定理得cosB =a 2+c 2−b 22ac =a 2+4a 2−2a 22a⋅2a =34. 故选：B8、在△ABC 中，若AB⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 2=0，则△ABC 的形状一定是（ ） A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形答案：B分析：先利用数量积运算化简得到accosB =c 2，再利用余弦定理化简得解.因为AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +AB⃑⃑⃑⃑⃑ 2=0，所以accos(π−B)+c 2=0， 所以accosB =c 2，所以ac ×a 2+c 2−b 22ac =c 2，所以b 2+c 2=a 2，所以三角形是直角三角形.故选：B多选题9、下列结果为零向量的是( )A ．AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −(BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +CA ⃑⃑⃑⃑⃑ )B ．AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +BD⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −CD ⃑⃑⃑⃑⃑ C ．OA ⃑⃑⃑⃑⃑ −OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ D ．NO ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +OP ⃑⃑⃑⃑⃑ +MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −MP⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：BCD分析：根据向量加减法的运算方法即可逐项判断.A 项，AB⃑⃑⃑⃑⃑⃗−(BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗)＝AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝2AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗； B 项，AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗−CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝0⃑⃗；C 项，OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝0⃑⃗；D 项，NO ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋OP ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗−MP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝NP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋PN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝0⃑⃗.故选：BCD.10、已知向量a ⃗=(1,−2)，b⃑⃗=(−1,m)，则（ ） A ．若a ⃗与b ⃑⃗垂直，则m =−1B ．若a ⃗//b⃑⃗，则m =2 C ．若m =1，则|a ⃗−b ⃑⃗|=√13D ．若m =−2，则a ⃗与b⃑⃗的夹角为60° 答案：BC分析：利用向量垂直、平行的坐标表示求参数m ，即可判断A 、B 的正误；由m 的值写出b⃑⃗的坐标，再由向量坐标的线性运算及模长的坐标求法、夹角的坐标求法求|a ⃗−b ⃑⃗|、a ⃗与b⃑⃗的夹角，即可判断C 、D 正误. A ：a ⃗与b ⃑⃗垂直，则−1−2m =0，可得m =−12，故错误；B：a⃗//b⃑⃗，则m−2=0，可得m=2，故正确；C：m=1有b⃑⃗=(−1,1)，则a⃗−b⃑⃗=(2,−3)，可得|a⃗−b⃑⃗|=√13，故正确；D：m=−2时，有b⃑⃗=(−1,−2)，所以cos<a⃗,b⃑⃗>=a⃑⃗⋅b⃑⃗|a⃑⃗||b⃑⃗|=√5×√5=35，即a⃗与b⃑⃗的夹角不为60°，故错误.故选：BC11、（多选）已知向量a⃗，b⃑⃗，在下列命题中正确的是（）A．若|a⃗|>|b⃑⃗|，则a⃗>b⃑⃗B．若|a⃗|=|b⃑⃗|，则a⃗=b⃑⃗C．若a⃗=b⃑⃗，则a⃗//b⃑⃗D．若|a⃗|=0，则a⃗=0答案：CD分析：根据向量相等和模值相等的区别分析四个选项便可得出答案.解：向量的模值可以比较大小，但是向量不能比较大小，故A错；向量的模值相等，只能证明大小相等并不能说明方向也相同，故B错；两个向量相等，这两个向量平行，所以C正确；模值为零的向量为零向量，故D正确故选：CD填空题12、《后汉书·张衡传》：“阳嘉元年，复造候风地动仪.以精铜铸成，员径八尺，合盖隆起，形似酒尊，饰以篆文山龟鸟兽之形.中有都柱，傍行八道，施关发机.外有八龙，首衔铜丸，下有蟾蜍，张口承之.其牙机巧制，皆隐在尊中，覆盖周密无际.如有地动，尊则振龙，机发吐丸，而蟾蜍衔之.振声激扬，伺者因此觉知.虽一龙发机，而七首不动，寻其方面，乃知震之所在.验之以事，合契若神.”如图，为张衡地动仪的结构图，现要在相距200km的A，B两地各放置一个地动仪，B在A的东偏北60°方向，若A地动仪正东方向的铜丸落下，B地东南方向的铜丸落下，则地震的位置在A地正东________________km.答案：100(√3+1)分析：依题意画出图象，即可得到A=60∘,B=75∘,C=45∘，AB=200，再利用正弦定理计算可得；解：如图，设震源在C处，则AB=200km，则由题意可得A=60∘,B=75∘,C=45∘，根据正弦定理可得200 sin45∘=ACsin75∘，又sin75∘=sin(45∘+30∘)=sin45∘cos30∘+cos45∘sin30∘=√22×√32+√22×12=√6+√24所以AC=200sin75∘sin45∘=200×√6+√24√22=100(√3+1)，所以震源在A地正东100(√3+1)km处.所以答案是：100(√3+1)13、已知向量a⃗,b⃑⃗的夹角为120°，|a⃗|=2,|b⃑⃗|=1，若(a⃗+3b⃑⃗)⊥(2a⃗+λb⃑⃗)，则实数λ=___________. 答案：−1分析：由(a⃗+3b⃑⃗)⊥(2a⃗+λb⃑⃗)，可得(a⃗+3b⃑⃗)⋅(2a⃗+λb⃑⃗)=0，化简后结已知条件可求得答案解：因为向量a⃗,b⃑⃗的夹角为120°，|a⃗|=2,|b⃑⃗|=1，且(a⃗+3b⃑⃗)⊥(2a⃗+λb⃑⃗)，所以(a ⃗+3b ⃑⃗)⋅(2a ⃗+λb ⃑⃗)=0，即2a ⃗2+(6+λ)a ⃗⋅b⃑⃗+3λb ⃑⃗2=0， 所以8+(6+λ)×2×1×(−12)+3λ=0，解得λ=−1，所以答案是：−114、设向量m ⃑⃑ =2a −3b ⃑ ,n ⃑ =4a −2b ⃑ ,p =3a +2b ⃑ ，若用m ⃑⃑ ,n ⃑ 表示p ，则p =________.答案：−74m ⃑⃑ +138n ⃑分析：根据平面向量基本定理进行求解即可.设p ⃗=xm ⃑⃑⃗+yn ⃑⃗，则有p ⃗=3a ⃗+2b ⃑⃗=x(2a ⃗−3b ⃑⃗)+y(4a ⃗−2b ⃑⃗)=(2x +4y)a ⃗+(−3x −2y)b⃑⃗， 得{2x +4y =3−3x −2y =2⇒{x =−74,y =138.，所以p ⃗=−74m ⃑⃑⃗+138n ⃑⃗， 所以答案是：−74m ⃑⃑⃗+138n ⃑⃗解答题 15、△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知asinAsinB +ccosA =(acosA +2b )cosB（1）求B ;（2）若b =2√3,AB⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =6，求△ABC 的周长 答案：（1）B =π3；（2）6√3. 分析：（1）根据asinAsinB +ccosA =(acosA +2b )cosB ，利用正弦定理结合两角和与差的三角函数化简为2sinBcosB =sinB 求解；（2）利用余弦定理得到(a +c )2−3ac =12，然后由AB⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =6求得ac 代入即可. （1）因为 asinAsinB +ccosA =(acosA +2b )cosB ，所以a (sinAsinB −cosAcosB )+ccosA =2bcosB ，所以−acos(A +B)+ccosA =2bcosB所以acosC +ccosA =2bcosB由正弦定理得sinAcosC +sinCcosA =2sinBcosB整理得sin (A +C )=2sinBcosB =sinB因为在△ABC 中，所以sinB ≠0，则2cosB =1所以B =π3 （2）由余弦定理得b 2=a 2+c 2−2accosB ，即(a +c )2−3ac =12，因为AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =accosB =12ac =6， 所以ac =12，所以(a +c )2−36=12，解得a +c =4√3.所以△ABC 的周长是6√3小提示：方法点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．。
高中数学-平面向量专题
第一部分：平面对量的概念及线性运算一.基础学问 自主学习1．向量的有关概念名称定义备注向量 既有 又有 的量；向量的大小叫做向量的 (或称 )平面对量是自由向量零向量 长度为 的向量；其方向是随意的 记作0单位向量 长度等于 的 向量非零向量a 的单位向量为±a|a |平行向量 方向 或 的非零向量0与任一向量 或共线 共线向量 的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度 且方向 的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度 且方向 的向量 0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法 求两个向量和的运算(1)交换律： a ＋b ＝b ＋a . (2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．减法 求a 与b 的相反向量－b 的和的运算叫做a 与b 的差法则 a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a 的积的运算(1)|λa |＝|λ||a |.(2)当λ>0时，λa 的方向与a 的方向 ；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向 ；当λ＝0时，λa ＝0.λ(μa )＝λμa ；(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；λ(a ＋b )＝λa ＋λb .3.共线向量定理 向量a (a ≠0)与b 共线的 条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .二.难点正本 疑点清源1．向量的两要素向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小． 2．向量平行与直线平行的区分向量平行包括向量共线(或重合)的状况，而直线平行不包括共线的状况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必需说明这两条直线不重合．三．基础自测1．化简OP →－QP →＋MS →－MQ →的结果等于________．2．下列命题：①平行向量肯定相等；②不相等的向量肯定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量； ④相等向量肯定共线．其中不正确命题的序号是_______．3．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b .若点D 满意BD →＝2DC →，则AD →＝________(用b 、c 表示)．4．如图，向量a －b 等于( ) A ．－4e 1－2e 2 B ．－2e 1－4e 2 C ．e 1－3e 2 D ．3e 1－e 25．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则肯定共线的三点是 ( ) A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D四．题型分类 深度剖析题型一 平面对量的有关概念 例1 给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中正确的序号是________．变式训练1 推断下列命题是否正确，不正确的请说明理由．(1)若向量a 与b 同向，且|a |＝|b |，则a>b ；(2)若|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； (3)若|a |＝|b |，且a 与b 方向相同，则a ＝b ；(4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与随意向量平行； (5)若向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 的方向相同或相反；(6)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上； (7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； (8)任一向量与它的相反向量不相等题型二 平面对量的线性运算例2 如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为边作▱OADB ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，用a 、b 表示OM →、ON →、MN →.变式训练2 △ABC 中，AD →＝23AB →，DE ∥BC 交AC 于E ，BC 边上的中线AM 交DE 于N .设AB →＝a ，AC →＝b ，用a 、b表示向量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →.题型三 平面对量的共线问题例3 设e 1，e 2是两个不共线向量，已知AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2.(1)求证：A 、B 、D 三点共线；(2)若BF →＝3e 1－ke 2，且B 、D 、F 三点共线，求k 的值．变式训练3 设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A 、B 、D 三点共线； (2)试确定实数k ，使ka ＋b 和a ＋kb 共线．五．思想与方法5．用方程思想解决平面对量的线性运算问题试题：如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .试用a 和b表示向量OM →.六．思想方法 感悟提高方法与技巧1．将向量用其它向量(特殊是基向量)线性表示，是非常重要的技能，也是向量坐标形式的基础．2．可以运用向量共线证明线段平行或三点共线问题．如AB →∥CD →且AB 与CD 不共线，则AB ∥CD ；若AB →∥BC →，则A 、B 、C 三点共线． 失误与防范1．解决向量的概念问题要留意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满意条件．要特殊留意零向量的特殊性．2．在利用向量减法时，易弄错两向量的依次，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．七．课后练习1．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，肯定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③λa ＝0 (λ为实数)，则λ必为零；④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中错误命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．若A 、B 、C 、D 是平面内随意四点，给出下列式子：AB ＋CD →＝BC ＋DA →；②AC ＋BD →=AD BC +；③AC －BD →＝DC →+AB .其中正确的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 3. 已知O 、A 、B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满意CB AC +2=0，则OC 等于( )A.OA 2－OB →B.OA -＋2OB →C.OA 32－13OB →D.OA 31-＋23OB →4.如图所示，在△ABC 中，BD ＝12DC →，AE →＝3ED →，若AB ＝a ，AC ＝b ，则BE →等于( )A.13a ＋13b B ．－12a ＋14b C.12a ＋14b D ．－13a ＋13b 5. 在四边形ABCD 中，AB ＝a ＋2b,BC ＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形态是( )A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．以上都不对 6. AB ＝8，AC ＝5，则BC 的取值范围是__________． 7．给出下列命题：①向量AB 的长度与向量BA →的长度与向量BA →的长度相等； ②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个有公共终点的向量，肯定是共线向量；⑤向量AB 与向量CD →与向量CD →是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上． 其中不正确的个数为____________．8.如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点.过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N.若AB ＝mAM →，AC ＝nAN →，则m ＋n 的值为________．9．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －2a)共线，则λ＝________.10.在正六边形ABCDEF 中，AB ＝a ，AF →＝b ，求AD AC ,，AE →.11.如图所示，△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ∶PM的值．12.已知点G 是△ABO 的重心，M 是AB 边的中点.（1）求GA ＋GB →＋GO →；(2)若PQ 过△ABO 的重心G,且AO ＝a, OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b ，求证：1m ＋1n＝3.其次部分：平面对量的基本定理及坐标表示一．基础学问 自主学习1．两个向量的夹角定义范围已知两个 向量a ，b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ叫做向量a 与b 的夹角(如图)向量夹角θ的范围是 ,当θ＝ 时,两向量共线，当θ＝ 时，两向量垂直，记作a ⊥b .2.平面对量基本定理及坐标表示(1)平面对量基本定理假如e 1，e 2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的随意向量a ， 一对实数λ1，λ2，使a ＝ .其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内全部向量的一组 ． (2)平面对量的正交分解及坐标表示把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正交分解． (3)平面对量的坐标表示①在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，由平面对量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使a ＝xi ＋yj ，这样，平面内的任一向量a 都可由x ，y 唯一确定，把有序数对 叫做向量a 的坐标，记作a ＝ ，其中 叫做a 在x 轴上的坐标， 叫做a 在y 轴上的坐标．②设OA →＝xi ＋yj ，则向量OA →的坐标(x ，y )就是 的坐标，即若OA →＝(x ，y )，则A 点坐标为 ，反之亦成立．(O 是坐标原点) 3．平面对量坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝ ，a －b ＝ ， λa ＝ ，|a |＝ . (2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝ ，|AB →|＝ . 4．平面对量共线的坐标表示：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ∥b ⇔ .二．难点正本 疑点清源1．基底的不唯一性只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内随意向量a 都可被这个平面的一组基底e 1，e 2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的． 2．向量坐标与点的坐标的区分在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA →＝a ，点A 的位置被向量a 唯一确定，此时点A 的坐标与a 的坐标统一为(x ，y )，但应留意其表示形式的区分，如点A (x ，y )，向量a ＝OA →＝(x ，y )．当平面对量OA →平行移动到O 1A 1→时，向量不变即O 1A 1→＝OA →＝(x ，y ),但O 1A 1→的起点O 1和终点A 1的坐标都发生了改变．三．基础自测1．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________.2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，若ka ＋b 与b 平行，则k ＝________.3．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)．若表示向量4a 、4b －2c 、2(a －c )、d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d ＝____________.4．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为 ( )A.⎝⎛⎭⎫2，72B.⎝⎛⎭⎫2，－12 C ．(3,2) D ．(1,3)5．已知平面对量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( )A ．平行于y 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于x 轴D ．平行于其次、四象限的角平分线四．题型分类 深度剖析题型一 平面对量基本定理的应用例1 如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →，AD →.变式训练1 如图，P 是△ABC 内一点，且满意条件AP →＋2BP →＋3CP →＝0，设Q 为CP 的延长线与AB 的交点，令CP →＝p ，试用p 表示CQ →.题型二 向量坐标的基本运算例2 已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b ，(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满意a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ；(3)求M 、N 的坐标及向量MN →的坐标．变式训练2 (1)已知点A 、B 、C 的坐标分别为A (2，－4)、B (0，6)、C (－8,10)，求向量AB →＋2BC →－12AC →的坐标；(2)已知a ＝(2,1)，b ＝(－3,4)，求：①3a ＋4b ；②a －3b ；③12a －14b .题型三 平行向量的坐标运算例3 平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)，请解答下列问题：(1)求满意a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ；(2)若(a ＋kc )∥(2b －a )，求实数k ； (3)若d 满意(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d .变式训练3 已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．(1)求|a ＋3b |；(2)当k 为何实数时，ka －b 与a ＋3b 平行，平行时它们是同向还是反向？五．易错警示8．忽视平行四边形的多样性致误试题：已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，求第四个顶点的坐标．六．思想方法 感悟提高方法与技巧1．平面对量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解．2．向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键，通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理，从而向量可以解决平面解析几何中的很多相关问题． 3．在向量的运算中要留意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用． 失误与防范1．要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．2．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.同时，a ∥b 的充要条件也不能错记为x 1x 2－y 1y 2＝0，x 1y 1－x 2y 2＝0等．七．课后练习1．已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(1＋m,1－m )，若a ∥b ，则实数m 的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．2 D ．－22．已知平面对量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－6) C ．(－4，－8) D ．(－5，－10)3.设向量a ＝(3，3)，b 为单位向量，且a ∥b ，则b 等于( )A.⎝⎛⎭⎫32，－12或⎝⎛⎭⎫－32，12B.⎝⎛⎭⎫32，12C.⎝⎛⎭⎫－32，－12D.⎝⎛⎭⎫32，12或⎝⎛⎭⎫－32，－124.已知向量a ＝(1，－m )，b ＝(m 2，m )，则向量a ＋b 所在的直线可能为( ) A ．x 轴 B ．第一、三象限的角平分线 C ．y 轴 D ．其次、四象限的角平分线5．已知A(7,1)、B(1,4),直线ax y 21=与线段AB 交于C ,且=AC 2CB →，则实数a 等于( )A ．2B ．1C.45D.536．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b ) (ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值等于________．7．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________．8．若向量a )43,3(2--+=x x x 与AB 相等，其中A (1,2)，B (3，2)，则x ＝________.9．若平面对量a ，b 满意|a ＋b|＝1，a ＋b 平行于y 轴，a ＝(2，－1)，则b ＝______________. 10． a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，ka ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？11．三角形的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量m ＝(3c －b ，a －b )，n ＝(3a ＋3b ，c )，m ∥n.(1)求cos A 的值；(2)求sin(A ＋30°)的值．12．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知向量m ＝(a ，b )，向量n ＝(cos A ，cos B )，向量p ＝⎝⎛⎭⎫22sin B ＋C2，2sin A ，若m ∥n ，p 2＝9，求证：△ABC 为等边三角形．第三部分：平面对量的数量积一．基础学问 自主学习1．平面对量的数量积已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量_______叫做a 和b 的数量积(或内积)，记作________________. 规定：零向量与任一向量的数量积为____.两个非零向量a 与b 垂直的充要条件是 ，两个非零向量a 与b 平行的充要条件是 .2．平面对量数量积的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影_________的乘积．3．平面对量数量积的重要性质 (1)e ·a ＝a ·e ＝ ；(2)非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔ ； (3)当a 与b 同向时，a ·b ＝ ；当a 与b 反向时，a ·b ＝ ，a ·a ＝a 2，|a|＝a·a ； (4)cos θ＝a·b |a||b|；(5)|a ·b|____|a ||b |.4．平面对量数量积满意的运算律 (1)a·b ＝ (交换律)；(2)(λa )·b ＝ ＝ (λ为实数)； (3)(a ＋b )·c ＝ .5．平面对量数量积有关性质的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝ ，由此得到 (1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝ 或|a |＝ .(2)设A （x 1,y 1）,B (x 2,y 2),则A 、B 两点间的距离|AB |=AB ＝ . (3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔ .二．难点正本 疑点清源1．向量的数量积是一个实数两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关，在运用向量的数量积解题时，肯定要留意两向量夹角的范围． 2．数量积的运算只适合交换律、加乘安排律及数乘结合律，但不满意向量间的结合律，即(a ·b)c 不肯定等于a(b ·c)．这是由于(a ·b)c 表示一个与c 共线的向量，而a(b ·c)表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不肯定共线．三．基础自测1．已知向量a 和向量b 的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝3，则向量a 和向量b 的数量积a·b ＝________.2.在△ABC 中，AB =3，AC =2，BC 10则AC AB ·＝______.3．已知a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为______．4．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是 ( ) A ．－4 B ．4 C ．－2 D ．25．已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(1,2)，向量c 满意(c ＋b)⊥a ，(c －a)∥b ，则c 等于 ( ) A ．(2,1) B ．(1,0) C.⎝⎛⎭⎫32，12 D ．(0，－1)四．题型分类 深度剖析题型一 求两向量的数量积例1 (1)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，AC ＝4，求BC AB ·； (2)若a ＝(3，－4)，b ＝(2,1)，试求(a －2b)·(2a ＋3b)．变式训练1 (1)若向量a 的方向是正南方向，向量b 的方向是正东方向，且|a|＝|b|＝1，则(－3a)·(a ＋b)＝______.(2)如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC ＝ 3 BD →，|AD |＝1，则AD AC ·等于( ) A ．2 3 B.32 C.33D.3题型二 求向量的模例2 已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：(1)|a ＋b|；(2)|3a －4b|；(3)(a －2b)·(a ＋b)．变式训练2 设向量a ，b 满意|a －b |＝2，|a|＝2，且a －b 与a 的夹角为π3，则|b|＝________.题型三 利用向量的数量积解决夹角问题例3 已知a 与b 是两个非零向量，且|a|＝|b|＝|a －b|，求a 与a ＋b 的夹角．变式训练3 设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角．题型四 平面对量的垂直问题例4 已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)(0<α<β<π)． (1)求证：a ＋b 与a －b 相互垂直；(2)若k a ＋b 与a －k b 的模相等，求β－α.(其中k 为非零实数)变式训练4 已知平面内A 、B 、C 三点在同一条直线上，OA ＝(－2，m )，OB →＝(n,1)，OC ＝(5，－1)，且OA →⊥OB →，求实数m ，n 的值．五．答题规范5．思维要严谨，解答要规范试题：设两向量e 1、e 2满意|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．六．思想方法 感悟提高方法与技巧1． 向量的数量积的运算法则不具备结合律，但运算律和实数运算律类似．如(a ＋b)2＝a 2＋2a·b ＋b 2；(λa ＋μb)·(s a ＋t b)＝λs a 2＋(λt ＋μs )a·b ＋μt b 2(λ，μ，s ，t ∈R)．2．求向量模的常用方法：利用公式|a|2＝a 2，将模的运算转化为向量的数量积的运算．3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法技巧．失误与防范1．(1)0与实数0的区分：0a ＝0≠0，a ＋(－a)＝0≠0，a·0＝0≠0；(2)0的方向是随意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系．2．a·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a·b ＝0时，有可能a ⊥b.3．一般地，(a·b)c≠(b·c)a 即乘法的结合律不成立．因a·b 是一个数量，所以(a·b)c 表示一个与c 共线的向量，同理右边(b·c)a 表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不肯定共线，故一般状况下(a·b)c≠(b·c)a.4．a·b ＝a·c(a≠0)不能推出b ＝c .即消去律不成立．5．向量夹角的概念要领悟，比如正三角形ABC 中，〈,AB BC 〉应为120°，而不是60°.七．课后练习1.设向量a ＝(1,0)，b ＝(12，12)，则下列结论中正确的是( ) A ．|a |＝|b | B ．a·b ＝22C ．a ∥bD ．a －b 与b 垂直2.若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )，满意条件(8a －b)·c ＝30，则x 等于( )A ．6B ．5C ．4D ．33.已知向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝2，|b |＝1，则向量a 与a ＋2b 的夹角等于( )A ．150°B ．90°C ．60°D ．30°4.平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB ＝(2,4)，AC ＝(1,3)，则⋅AD BD 等于( )A ．6B ．8C ．－8D ．－65.若e 1、e 2是夹角为π3的单位向量，且向量a ＝2e 1＋e 2，向量b ＝－3e 1＋2e 2，则a·b 等于( ) A ．1 B ．－4 C ．－72 D.726．若向量a ，b 满意|a |＝1，|b |＝2且a 与b 的夹角为π3，则|a ＋b |＝________. 7．已知向量a ，b 满意|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则a·b ＝________，若(a －mb )⊥a ，则实数m ＝________.8．设a 、b 、c 是单位向量，且a ＋b ＝c ，则a·c 的值为________．9.（O 是平面α上一点，A 、B 、C 是平面α上不共线的三点.平面α内的动点P 满意),(AC AB OA OP ++=λ若λ＝12时，()⋅+PA PB PC 的值为______． 10．不共线向量a ，b 的夹角为小于120°的角，且|a |＝1，|b |＝2，已知向量c ＝a ＋2b ，求|c |的取值范围．11．已知平面对量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R.(1)若a ⊥b ，求x 的值；(2)若a ∥b ，求|a －b |.12．向量a ＝(cos 23°，cos 67°)，向量b ＝(cos 68°，cos 22°)．(1)求a·b ；(2)若向量b 与向量m 共线，u ＝a ＋m ，求u 的模的最小值．第四部分：平面对量应用举例一．基础学问 自主学习1．向量在平面几何中的应用平面对量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相像、长度、夹角等问题．(1)证明线段平行或点共线问题，包括相像问题，常用共线向量定理：a ∥b ⇔ ⇔ .(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质a ⊥b ⇔ ⇔ .(3)求夹角问题，利用夹角公式cos θ＝a ·b |a ||b|＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22(θ为a 与b 的夹角)．2．平面对量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是 ，它们的分解与合成与向量的 相像，可以用向量的学问来解决．(2)物理学中的功是一个标量，这是力F 与位移s 的数量积．即W ＝F ·s ＝|F ||s|cos θ (θ为F 与s 的夹角)．3．平面对量与其他数学学问的交汇平面对量作为一种运算工具，常常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等学问结合，当平面对量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面对量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．二．难点正本 疑点清源1．向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观，向量本身是一个数形结合的产物．在利用向量解决问题时，要留意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合．2．要留意变换思维方式，能从不同角度看问题，要擅长应用向量的有关性质解题．三．基础自测1．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC .已知A (－2,0)，B (6,8)，C (8,6)．则D 点的坐标为________．2．已知平面对量α、β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．3．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝⎛⎭⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB ⊥BC ，则动点C 的轨迹方程为_______________．4．已知A 、B 是以C 为圆心，半径为5的圆上两点，且|AB |＝5，CB AC ·等于 ( ) A ．－52 B.52 C ．0 D.5325．某人先位移向量a ：“向东走3 km”，接着再位移向量b ：“向北走3 km”，则a ＋b 表示 ( )A ．向东南走3 2 kmB ．向东北走3 2 kmC ．向东南走3 3 kmD ．向东北走3 3 km四．题型分类 深度剖析题型一 向量在平面几何中的应用例1 如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，D 为BC 的中点，E 是AB 上的一点，且AE ＝2EB .求证：AD ⊥CE .变式训练1 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)．(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线 的长；(2)设实数t 满意(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．题型二 平面对量在解析几何中的应用例2 已知点P （0，-3），点A 在x 轴上，点M 满意⋅PA AM =0，AM →＝－32MQ →，当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．变式训练2 已知圆C ：(x -3)2+(y -3)2=4及点A （1,1），M 是圆上的随意一点，点N 在线段MA 的延长线上，且MA ＝2AN →，求点N 的轨迹方程．题型三 平面对量与三角函数例3 已知向量a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(sin x ，sin x )，c ＝(－1,0)．(1)若x ＝π3，求向量a 与c 的夹角； (2)若x ∈⎣⎡⎦⎤－3π8，π4，求函数f (x )＝a·b 的最值； (3)函数f (x )的图象可以由函数y ＝22sin 2x (x ∈R)的图象经过怎样的变换得到？变式训练3 已知A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)．(1)若AC ·BC ＝－1，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值；(2) 若|OA +OC |＝13，且α∈(0，π)，求OB →与OC 的夹角．五．易错警示9．忽视对直角位置的探讨致误试题：已知平面上三点A 、B 、C ，向量BC ＝(2－k,3)，AC ＝(2,4)．(1) 若三点A 、B 、C 不能构成三角形，求实数k 应满意的条件；(2)若△ABC 为直角三角形，求k 的值．六．思想方法 感悟提高方法与技巧1． 向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合供应了前提，运用向量的有关学问可以解决某些函数问题．2． 以向量为载体，求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法．3． 有关线段的长度或相等，可以用向量的线性运算与向量的模．4．用向量方法解决平面几何问题的步骤(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，探讨几何元素之间的关系；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．5．向量的坐标表示，使向量成为解决解析几何问题的有力工具，在证明垂直、求夹角、写直线方程时显示出了它的优越性，在处理解析几何问题时，须要将向量用点的坐标表示，利用向量的有关法则、性质列出方程，从而使问题解决．失误与防范1．向量关系与几何关系并不完全相同，要留意区分．例如：向量AB ∥CD →并不能说明AB ∥CD .2．加强平面对量的应用意识，自觉地用向量的思想和方法去思索问题．七．课后练习1．已知△ABC AC AB =,则肯定有( )A ．AB ⊥AC B ．AB =ACC ．(AB +AC )⊥(AB -AC )D ．AB +AC =AB -AC2．点P 在平面上做匀速直线运动，速度向量v ＝(4，－3)(即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v |个单位)．设起先时点P 的坐标为(－10,10)，则5秒后质点P 的坐标为( )A ．(－2,4)B ．(－30,25)C ．(10，－5)D ．(5，－10)3.平面上有四个互异点A 、B 、C 、D ，已知(2)()0+-⋅-=DB DC DA AB AC ，则△ABC 的形态是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形4.如图，△ABC 的外接圆的圆心为O ,AB =2,AC =3,BC =7,则⋅AO BC 等于( )A.32B.52C ．2D ．35．平面上O 、A 、B 三点不共线，设b a ==OB OA ,，则△OAB 的面积等于( ) A.|a |2|b |2－(a ·b )2 B.|a |2|b |2＋(a ·b )2 C.12|a |2|b |2－(a ·b )2 D.12|a |2|b |2＋(a ·b )2 6．已知|a|＝3，|b|＝2，〈a ，b 〉＝60°，则|2a ＋b|＝________.7．河水的流速为2 m/s ，一艘小船想以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为________．8.已知△ABO 三顶点的坐标为A (1,0),B (0,2),O (0,0),P (x,y )是坐标平面内一点，且满意AP ·OA →≤0，BP →·OB →≥0，则OP →·AB 的最小值为________．9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若AB ·AC ＝1⋅=BA BC ，那么c ＝________. 10.如右图，在Rt △ABC 中，已知BC =a,若长为2a 的线段PQ 以点A 为中心，问PQ 与BC →的夹角θ取何值时BP →·CQ的值最大？并求出这个最大值．11．已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)．(1)若a ∥b ，求tan θ的值；(2)若|a |＝|b |,0<θ<π，求θ的值．12．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若BC BA AC AB ··=＝k (k ∈R)．(1)推断△ABC 的形态；(2)若c ＝2，求k 的值．。
高一数学必修4知识点梳理：平面向量
2、零向量：长度为0第二章平面向量1、向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量都可用同一平面内的有向线段表示．的向量叫零向量，记作0；零向量的方向是任意的．3、单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫单位向量；与向量a 平行的单位向量：e =±a a ||4、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量，记作//ab ；规定0与任何向量平行．5、相等向量：长度相同且方向相同的向量叫相等向量，零向量与零向量相等.注意：任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。
6、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相接⑵平行四边形法则的特点：起点相同baCBA -=A -AB =B a bC Cc高一数学必修4知识点梳理：平面向量⑶运算性质：①交换律：+=+a b b a ；②结合律：++=++a b c a b c ()()；③+=+=a a a 00．⑷坐标运算：设=a x y ,11()，=b x y ,22()，则+=++a b x x y y ,1212)(． 7、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设=a x y ,11()，=b x y ,22()，则-=--a b x x y y ,1212)(．设A 、B 两点的坐标分别为x y ,11()，x y ,22()，则AB =--x x y y ,2121)(．8、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作λa ． ①=λλa a ；②当>λ0时，λa 的方向与a 的方向相同；当<λ0时，λa 的方向与a 的方向相反； 当=λ0时，=λa 0．⑵运算律：①=λμλμa a ()()；②+=+λμλμa a a ()；③+=+λλλa b a b ()． ⑶坐标运算：设=a x y ,()，则==λλλλa x y x y ,,()()．9、向量共线定理：向量≠a a 0()与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使=λb a ． 设=a x y ,11()，=b x y ,22()，其中≠b 0，则当且仅当-=x y x y 01221时，向量a 、≠b b 0()共线．10、平面向量基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使=+λλa e e 1122．（不共线的向量e 1、e 2作为这一平面内所有向量的一组基底）11、分点坐标公式：设点P 是线段P P 12上的一点，P 1、P 2的坐标分别是x y ,11()，x y ,22()，当P P =PP λ12时，点P 的坐标是⎝⎭++ ⎪⎛⎫++λλλλx x y y 11,1212． 12、平面向量的数量积：⑴定义：≠≠≤≤⋅=θθa b a b a b cos 0,0,0180)(．零向量与任一向量的数量积为0． ⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①⊥⇔⋅=a b a b 0．②当a 与b 同向时，⋅=a b a b ；当a 与b 反向时，⋅=-a b a b ；⋅==a a a a 22或=⋅a a a ．③⋅≤a b a b ．⑶运算律：①⋅=⋅a b b a ；②⋅=⋅=⋅λλλa b a b a b ()()()；③+⋅=⋅+⋅a b c a c b c ()．⑷坐标运算：设两个非零向量=a x y ,11()，=b x y ,22()，则⋅=+a b x x y y 1212． 若=a x y ,()，则=+a x y 222，或=+a x y 22．设=a x y ,11()，=b x y ,22()，则⊥⇔+=a b x x y y 01212．设a 、b 都是非零向量，=a x y ,11()，=b x y ,22()，θ是a 与b 的夹角，则++==⋅+θx yx ya ba b x x y y cos 112222221212．第三章 三角恒等变形1、同角三角函数基本关系式（１）平方关系：αα=+221cos sin （２）商数关系：=tan sin cos ααα（３）倒数关系：αα=1cot tan=+sin tan tan 1222ααα ； =+co s 1t an 122αα注意： tan ,cos ,sin ααα 按照以上公式可以“知一求二”2、两角和与差的正弦、余弦、正切S +βα)(：=++sin cos cos sin )sin(βαβαβα S -βα)(：=--sin cos cos sin )sin(βαβαβα C +βα)(：a =+-sin sin cos cos )cos(βαβαβ C -βα)(：a =-+sin sin cos cos )cos(βαβαβ T +βα)(： =++-)tan(tan tan tan tan 1βαβαβαT -βα)(： =--+)tan(tan tan tan tan 1βαβαβα正切和公式：-⋅+=+βαβαβα)tan tan 1()tan(tan tan3、辅助角公式：222222cos sin sin cos b a x b x a a b a x b b a x +=++++⎛⎝⎫⎭⎪⎪ x b a x x b a +⋅+=⋅+⋅+=ϕϕϕ2222)sin cos cos (sin )sin(（其中ϕ称为辅助角，ϕ的终边过点b a ),(，tan ϕ=b a）4、二倍角的正弦、余弦和正切公式： S 2α： =cos sin 22sin αααC 2α： -=sin cos 2cos 22ααααα-=-=221cos 2sin 21 T 2α： =-2tan tan 2tan 12ααα*二倍角公式的常用变形：①、=-αα|sin |22cos 1，=+αα|cos |22cos 1；②、=-αα1212|sin |2cos ， =+αα1212|cos |2cos③-=+-=ααααα442221cos sin 21cos sin 2sin 2；=-442cos sin cos ααα；*降次公式：=cos sin 122sin ααα ααα=-+-=2sin 2cos 12122cos 12 ααα=++=2cos 2cos 12122cos 125、*半角的正弦、余弦和正切公式：±=-ααsin2cos 12 ； ±=+ααcos 2cos 12， ±=-+tan2cos 1cos 1ααα=-=+cos 1sin sin cos 1αααα6、同角三角函数的常见变形：（活用“1”）① -=cos 1sin 22αα； -±=cos 1sin 2αα；-=sin 1cos 22αα； -±=sin 1cos 2αα； ②=++=22cot tan sin cos cos sin 22sin θθθθθθθ，αααααααθθ2cot 22sin 2cos 2cos sin sin cos tan cot 22==-=-③ααααα2sin 1cos sin 21)cos (sin 2±=±=±； |cos sin |2sin 1ααα±=± 7、补充公式：*①万能公式2tan12tan2sin 2ααα+=； 2t a n12t a n1c o s 22ααα+-=； 2t a n12t a n2t a n 2ααα-=*②积化和差公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=*③和差化积公式2cos 2sin 2sin sin βαβαβα-+=+； 2sin2cos 2sin sin βαβαβα-+=- 2co s 2co s 2co s co s βαβαβα-+=+；2sin2sin 2cos cos βαβαβα-+-=- 注：带*号的公式表示了解，没带*公式为必记公式。
高中数学必修二第六章平面向量及其应用知识点归纳超级精简版(带答案)
高中数学必修二第六章平面向量及其应用知识点归纳超级精简版单选题1、已知向量a ⃑，b ⃑⃑满足|a ⃑|=√3，|b ⃑⃑|=2，且a ⃑⊥(a ⃑−b ⃑⃑)，则a ⃑与b ⃑⃑的夹角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 答案：A分析：利用数量积的定义，即可求解.解：a ⃑⊥(a ⃑−b ⃑⃑),所以a ⃑⋅(a ⃑−b ⃑⃑)=0,即|a →|2−|a →||b →|cos <a →,b →>=0，解得cos <a →,b →>=√32,又因为向量夹角的范围为[0°,180°]，则a ⃑与b ⃑⃑的夹角为30°，故选：A.2、“黄金三角形”是几何历史上的瑰宝，它有两种类型，其中一种是顶角为36°的等腰三角形，暂且称为“黄金三角形A ”．如图所示，已知五角星是由5个“黄金三角形A ”与1个正五边形组成，其中sin18°=√5−14，则阴影部分面积与五角形面积的比值为（ ）．A ．√5−14B ．√55C ．√5+16D ．3√520答案：B分析：在三角形ABC 中，由sin18°值，可得BCAC =√5−12，即BD AB=√5−12，设△ABC 的面积为x ，由此可知△BCD 和△CEF 的面积均为√5−12x ，△CDE 的面积为x ，由此即可求出结果.如图所示，依题意，在三角形ABC 中，sin18°=BC 2AC=√5−14，故BC AC=√5−12； 所以BDAB =√5−12， 设△ABC 的面积为x ，则△BCD 面积为√5−12x ，同理△CEF 的面积为√5−12x ， △CDE 的面积为x ，则阴影部分面积与五角形面积的比值为2x+2⋅√5−12x 2⋅√5−12x+6x=√55. 故选：B ．3、在△ABC 中，已知AB =6，AC =2，且满足DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=EC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，若线段CD 和线段BE 的交点为P ，则AP⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅(CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=（ ）. A ．3B ．4C ．5D ．6 答案：B分析：待定系数法将AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑向量分解，由平面向量共线定理求出系数，然后代回原式计算 设AP⃑⃑⃑⃑⃑⃑=xAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+yAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑， 由DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑知AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3xAD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+yAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，∵D ，P ，C 三点共线，∴3x +y =1①， 由AE⃑⃑⃑⃑⃑⃑=EC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑知AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=xAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+2yAE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，∵B ，P ，E 三点共线，∴x +2y =1②， 由①②得：x =15.y =25，∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=15AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑+25AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑， 而CA⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−2AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑， ∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅(CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=(15AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+25AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−2AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=15(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2−4AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2)=15×(62−4×22)=4 故选：B4、已知平面向量a ⃑＝(1，2)，b ⃑⃑＝(－2，m )，且a ⃑∥b ⃑⃑，则2a ⃑＋3b ⃑⃑＝( ) A ．(－4，－8)B ．(－8，－16) C ．(4，8)D ．(8，16) 答案：A分析：根据向量平行的坐标表示求出m ，再根据向量线性运算得坐标表示即可求解. ∵a ⃑∥b ⃑⃑，∴1×m ＝2×(－2)，∴m ＝－4，∴b ⃑⃑＝(－2，－4)， ∴2a ⃑＋3b ⃑⃑＝(2，4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)． 故选：A.5、已知向量a ⃑=(−1,m )，b ⃑⃑=(m +1,2)，且a ⃑⊥b ⃑⃑，则m =（ ） A ．2B ．−2C ．1D ．−1 答案：C分析：由向量垂直的坐标表示计算．由题意得a ⃑⋅b ⃑⃑=−m −1+2m =0，解得m =1 故选：C ．6、在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（ ）A ．19B ．13C ．12D ．23答案：A分析：根据已知条件结合余弦定理求得AB ，再根据cosB =AB 2+BC 2−AC 22AB⋅BC，即可求得答案.∵在△ABC 中，cosC =23，AC =4，BC =3根据余弦定理：AB 2=AC 2+BC 2−2AC ⋅BC ⋅cosCAB 2=42+32−2×4×3×23可得AB 2=9 ，即AB =3 由∵ cosB =AB 2+BC 2−AC 22AB⋅BC=9+9−162×3×3=19故cosB =19.故选：A.小提示：本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 7、在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若A =45°,B =60°,b =2√3，则c 等于（ ） A ．√6−√24B ．√6+√24C ．√6−√2D ．√6+√2答案：D分析：先求出C ，再由正弦定理求解即可. 解：在△ABC 中，C =180°−45°−60°=75°． 由正弦定理可知csinC =bsinB ，所 以csin75°=2√3sin60°， 故c =2√3sin75°sin60°=4sin75°=4sin(30°+45°)=4×√6+√24=√6+√2．故选：D.8、已知向量|a ⃑|=2,|b ⃑⃑|=4，且a ⃑,b ⃑⃑不是方向相反的向量，则|a ⃑−b ⃑⃑|的取值范围是（ ） A ．(2,6)B ．[2,6) C ．(2,6]D ．[2,6] 答案：B分析：直接由||a ⃑|−|b ⃑⃑||≤|a ⃑−b ⃑⃑|<|a ⃑|+|b⃑⃑|求解即可. 由已知必有||a ⃑|−|b ⃑⃑||≤|a ⃑−b ⃑⃑|<|a ⃑|+|b ⃑⃑|，则所求的取值范围是[2,6)． 故选：B. 多选题9、如果平面向量a ⃗=(2,−4)，b ⃑⃗=(−6,12)，那么下列结论中正确的是（ ） A ．|b ⃑⃗|=3|a ⃗|B ．a ⃗//b⃑⃗ C ．a ⃗与b ⃑⃗的夹角为30°D ．a ⃗在b ⃑⃗方向上的投影为2√5 答案：AB分析：根据向量坐标运算及向量共线的意义可得解.因为a ⃗=(2,−4)，b ⃑⃗=(−6,12)，所以b ⃑⃗=−3a ⃗． 在A 中，由b ⃑⃗=−3a ⃗，可得|b ⃑⃗|=3|a ⃗|，故A 正确； 在B 中，由b ⃑⃗=−3a ⃗，可得a ⃗//b⃑⃗，故B 正确； 在C 中，由b ⃑⃗=−3a ⃗，可得a ⃗与b⃑⃗的夹角为180°，故C 错误； 在D 中，a ⃗在b ⃑⃗方向上的投影为a ⃑⃗⋅b ⃑⃗|b ⃑⃗|=22=−2√5，故D 错误． 故选:AB ．10、ΔABC 是边长为3的等边三角形，已知向量a ⃑、b ⃑⃑满足AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3a ⃑，AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3a ⃑+b ⃑⃑，则下列结论中正确的有（ ） A ．a ⃑为单位向量B ．b ⃑⃑//BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑C ．a ⃑⊥b ⃑⃑D ．(6a ⃑+b ⃑⃑)⊥BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：ABD解析：求出|a ⃑|可判断A 选项的正误；利用向量的减法法则求出b ⃑⃑，利用共线向量的基本定理可判断B 选项的正误；计算出a ⃑⋅b ⃑⃑，可判断C 选项的正误；计算出(6a ⃑+b⃑⃑)⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，可判断D 选项的正误.综合可得出结论. 对于A 选项，∵AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3a ⃑，∴a ⃑=13AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，则|a ⃑|=13|AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=1，A 选项正确； 对于B 选项，∵AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3a ⃑+b ⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+b ⃑⃑，∴b ⃑⃑=AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，∴b ⃑⃑//BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，B 选项正确； 对于C 选项，a ⃑⋅b ⃑⃑=13AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=13×32×cos 2π3≠0，所以a ⃑与b ⃑⃑不垂直，C 选项错误； 对于D 选项，(6a ⃑+b ⃑⃑)⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)⋅(AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2=0，所以，(6a ⃑+b ⃑⃑)⊥BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，D 选项正确. 故选：ABD.小提示：本题考查向量有关命题真假的判断，涉及单位向量、共线向量的概念的理解以及垂直向量的判断，考查推理能力，属于中等题.11、在△ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，CA ，AB 的中点，点G 为△ABC 的重心，则下述结论中正确的是（ ） A ．AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑B ．AG⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑) C ．AF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=0⃑⃑D ．GA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+GB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+GC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=0⃑⃑ 答案：CD分析：根据向量的加法运算、相反向量、中线的向量表示，重心的性质分别计算求解. 由D ，E ，F 分别是边BC ，CA ，AB 的中点，点G 为△ABC 的重心，因为AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑+BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AC →≠CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，故A 错误； 由12(AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=AD →≠AG →, 故B 错误； 因为AF ⃑+BD ⃑+CE ⃑=12(AB →+BC →+CA →)=0⃑, 故C 正确；因为GA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+GB⃑⃑⃑⃑⃑⃑+GC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−23[12(AB →+AC →)+12(BA →+BC →)+12(CA →+CB →)] =−13(AB →+BA →+BC →+CB →+AC →+CA →)=0→, 故D 正确. 故选：CD 填空题12、在△ABC 中， a ＝5，b ＝5√3，A ＝30°，则B ＝________. 答案：60°或120°分析：利用正弦定理求得sinB ，由此求得B . 由正弦定理得asinA=b sinB，即5sin30°=5√3sinB ⇒sinB =√32， 由于0°<B <180°，所以B =60°或B =120°. 所以答案是：60°或120°13、在△ABC 中，cos∠BAC =−13，AC ＝2，D 是边BC 上的点，且BD ＝2DC ，AD ＝DC ，则AB 等于 ___．答案：3分析：运用余弦定理，通过解方程组进行求解即可. 设DC =x,AB =y ，因为BD ＝2DC ，AD ＝DC ，所以BC =3x,AD =DC =x ， 在△ADC 中，由余弦定理可知：cosC =AC 2+CD 2−AD 22AC⋅DC =4+x 2−x 24x=1x ， 在△ABC 中，由余弦定理可知：cosC =AC 2+CB 2−AB 22AC⋅BC=4+9x 2−y 212x，于是有4+9x 2−y 212x=1x ⇒9x 2−y 2=8(1)，在△ABC 中，由余弦定理可知：cosA =AB 2+CA 2−CB 22AB⋅AC=y 2+4−9x 24y=−13，⇒27x 2−3y 2−4y =12(2)，把(1)代入(2)中得，y =3， 所以答案是：314、在△ABC 中，P 是BC 上一点，若BP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑,AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=λAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+μAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，则2λ+μ=___________. 答案：43##113分析：根据给定条件，用向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑,AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑表示向量AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，再利用平面向量基本定理求解作答. 在△ABC 中，BP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，则AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+BP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑+23BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+23(AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑) =13AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+23AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑， 又AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=λAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+μAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，且AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑,AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑不共线，则λ=13,μ=23，所以2λ+μ=43. 所以答案是：43解答题15、已知函数f (x )=4cosxsin (x −π3)+√3． （Ⅰ）求函数f (x )在区间[π4,π2]上的值域．（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C ，所对的边分别是a ，b ，c ，若角C 为锐角，f (C )=√3，且c =2，求△ABC 面积的最大值．答案：（Ⅰ）[1,2]；（Ⅱ）√3分析：（Ⅰ）利用差角的正弦公式、辅助角公式化简函数，结合正弦函数的性质，可得函数f(x)在区间[π4，π2]上的值域；（Ⅱ）先求出C ，再利用余弦定理，结合基本不等式，即可求得△ABC 面积的最大值． 解：（Ⅰ）f(x)=4cosxsin(x −π3)+√3=4cosx (sinxcos π3−cosxsin π3)+√3=4cosx (12sinx −√32cosx)+√3=2sinxcosx −2√3cos 2x +√3=sin2x −√3cos2x =2sin(2x −π3)，由π4⩽x⩽π2，有π6⩽2x−π3⩽2π3，所以12≤sin(2x−π3)≤1∴函数f(x)的值域为[1,2]．（Ⅱ）由f(C)=√3，有sin(2C−π3)=√32，∵C为锐角，∴2C−π3=π3，∴C=π3．∵c=2，∴由余弦定理得：a2+b2−ab=4，∵a2+b2⩾2ab，∴4=a2+b2−ab⩾ab．∴S△ABC=12absinC=√34ab⩽√3，∴当a=b，即△ABC为正三角形时，△ABC的面积有最大值√3．。
高中平面向量知识点详细归纳总结(附带练习)
向量的概念一、高考要求：理解有向线段及向量的有关概念,掌握求向量和与差的三角形法则和平行四边形法则,掌握向量加法的交换律和结合律.二、知识要点：1. 有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A 为始点,B 为终点的有向线段记作AB ,注意:始点一定要写在前面,已知AB ,线段AB 的长度叫做有向线段AB 的长(或模),AB 的长度记作AB ||.有向线段包含三个要素:始点、方向和长度.2. 向量:具有大小和方向的量叫做向量,只有大小和方向的向量叫做自由向量.在本章中说到向量,如不特别说明,指的都是自由向量.一个向量可用有向线段来表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.用有向线段AB 表示向量时,我们就说向量AB .另外,在印刷时常用黑体小写字母a 、b 、c 、…等表示向量;手写时可写作带箭头的小写字母a 、b 、c 、…等.与向量有关的概念有:(1) 相等向量:同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.向量a 和b 同向且等长,即a 和b 相等,记作a =b .(2) 零向量:长度等于零的向量叫做零向量,记作0.零向量的方向不确定.(3) 位置向量:任给一定点O 和向量a ,过点O 作有向线段OA a =,则点A 相对于点O 的位置被向量a 所唯一确定,这时向量a 又常叫做点A 相对于点O 的位置向量.(4) 相反向量:与向量a 等长且方向相反的向量叫做向量a 的相反向量,记作a -.显然,()0a a +-=.(5) 单位向量:长度等于1的向量,叫做单位向量,记作e .与向量a 同方向的单位向量通常记作0a ,容易看出:0a a a =│ │. (6) 共线向量(平行向量):如果表示一些向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,即这些向量的方向相同或相反,则称这些向量为共线向量(或平行向量).向量a 平行于向量b ,记作a ∥b .零向量与任一个向量共线(平行).三、典型例题：例:在四边形ABCD 中,如果AB DC =且AB BC =│ │ │ │ ,那么四边形ABCD 是哪种四边形? 四、归纳小结：1. 用位置向量可确定一点相对于另一点的位置,这是用向量研究几何的依据.2. 共线向量(平行向量)可能有下列情况: (1)有一个为零向量;(2)两个都为零向量;(3)方向相同,模相等(即相等向量);(4)方向相同,模不等;(5)方向相反,模相等;(6)方向相反,模不等.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 下列命题中: (1)向量只含有大小和方向两个要素. (2)只有大小和方向而无特定的位置的向量叫自由向量. (3)同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量. (4)点A 相对于点B 的位置向量是BA . 正确的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个2. 设O 是正△ABC 的中心,则向量,,AO OB OC 是( )A.有相同起点的向量B.平行向量C.模相等的向量D.相等向量3. a b =的充要条件是( )A.a b =│ │ │ │ B.a b =│ │ │ │ 且a b ∥ []l C.a b ∥ D.a b =│ │ │ │ 且a 与b 同向 4. AA BB ''=是四边形ABB A ''是平行四边形的( )A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件5. 依据下列条件,能判断四边形ABCD 是菱形的是( )A.AD BC =B.AD BC ∥且AB CD ∥C.AB DC =且AB AD =│ │ │ │ D.AB DC =且AD BC = 6. 下列关于零向量的说法中,错误的是( )A.零向量没有方向B.零向量的长度为0C.零向量与任一向量平行D.零向量的方向任意7. 设与已知向量a 等长且方向相反的向量为b ,则它们的和向量a b +等于( )A.0B.0C.2aD.2b（二）填空题：8. 下列说法中: (1)AB 与BA 的长度相等 (2)长度不等且方向相反的两个向量不一定共线 (3)两个有共同起点且相等的向量,终点必相同(4)长度相等的两个向量必共线。
高中数学必修4平面向量知识点与典型例题总结(理)
平面向量【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】1.向量：既有大小又有方向的量。
记作：AB 或a 。
2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB 或||a 。
3.单位向量：长度为1的向量。
若e 是单位向量，则||1e =。
4.零向量：长度为0的向量。
记作：0。
【0方向是任意的，且与任意向量平行】5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。
6.相等向量：长度和方向都相同的向量。
7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。
AB BA =-。
8.三角形法则：AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=（指向被减数）9.平行四边形法则：以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。
10.共线定理：//a b a b λ=⇔。
当0λ>时，a b 与同向；当0λ<时，a b 与反向。
11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。
12.向量的模：若(,)a x y =，则2||a x y =+22||a a =，2||()a b a b +=+13.数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ⋅=⋅； cos ||||a b a b θ⋅=⋅ 14.平行与垂直：1221//a b a b x y x y λ⇔=⇔=；121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+= 题型1.基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。
（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。
（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。
（4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。
（5）若AB CD =，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。
（6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。
（7）若a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c 共线。
（8）若ma mb =，则a b =。
（9）若ma na =，则m n =。
平面向量知识点+例题+练习+答案
五、平面向量1．向量的概念①向量 既有大小又有方向的量。
向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a |。
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
向量表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。
如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
向量和数量的区别：向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））②零向量长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ⇔｜a ｜＝0。
由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。
（注意与0的区别）③单位向量 模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量⇔｜0a ｜＝1。
(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)；④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量。
任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。
由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线；数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。
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必修4 §2.1向量的概念及其表示当堂练习：1.下列各量中是向量的是( )A.密度B.体积C.重力D.质量2下列说法中正确的是（）A. 平行向量就是向量所在的直线平行的向量 B. 长度相等的向量叫相等向量C. 零向量的长度为零D.共线向量是在一条直线上的向量3．设O是正方形ABCD的中心，则向量AO、OB、CO、OD是（）A．平行向量B．有相同终点的向量C．相等的向量D．模都相同的向量4.下列结论中,正确的是( )A. 零向量只有大小没有方向B. 对任一向量a,|a|>0总是成立的C. ||AB=|BA| D. ||AB与线段BA的长度不相等5.若四边形ABCD是矩形,则下列命题中不正确的是( )A. AB与CD共线B. AC与BD相等C. AD与CB是相反向量D. AB与CD模相等6．已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，（1）与BC相等的向量有；（2）与OB长度相等的向量有；（3）与DA共线的向量有．7．在①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个向量的两个向量是共线向量中，不正确的命题是．并对你的判断举例说明．8．如图，O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在图中所示的向量中：（1）与AO相等的向量有；（2）写出与AO共线的向有；（3）写出与AO的模相等的有；（4）向量AO与CO是否相等？答．9．O是正六边形ABCDE的中心，且OA a=，OB b=，AB c=，在以A，B，C，D，E，O为端点的向量中：（1）与a相等的向量有；（2）与b相等的向量有；（3）与c相等的向量有10．在如图所示的向量a，b，c，d，e中（小正方形的边长为1），是否存在：（1）是共线向量的有；（2）是相反向量的为；（3）相等向量的的；（4）模相等的向量．11．如图，△ABC中，D，E，F分别是边BC，AB，CA的中点，在以A、B、C、D、E、F为端点的有向线段中所表示的向量中，（1）与向量FE共线的有．（2）与向量DF的模相等的有．（3）与向量ED相等的有．12．如图，中国象棋的半个棋盘上有一只“马”，开始下棋时，它位于A点，这只“马”第一步有几种可能的走法？试在图中画出来．若它位于图中的P点，这只“马”第一步有几种可能的走法？它能否从点A走到与它相邻的B？它能否从一交叉点出发，走到棋盘上的其它任何一个交叉点？ABEFA B EOOA BCDEF必修4 §2.2向量的线性运算1．a 、b 为非零向量，且+=+||||||a b a b ，则 （ ） A ．a 与b 方向相同 B ．a =b C ．a =-bD ．a 与b 方向相反2．设+++=()()AB CD BC DA a ，而b 是一非零向量，则下列各结论：①//a b ；②+=a b a ；③+=a b b ；④+<+a b a b ，其中正确的是 （ ）A ．①②B ．③④C ．②④D ．①③3．3．在△ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则 MC MB MA -+等于 （ ）A ．OB ．MD 4C ．MF 4D ．ME 44．已知向量b a 与反向，下列等式中成立的是 （ ）A ．||||||b a b a -=-B ．||||b a b a -=+C ．||||||b a b a -=+D ．||||||b a b a +=+5．若a b c =+化简3(2)2(3)2()a b b c a b +-+-+ （ ） A ．aB ．bC ．cD ． 以上都不对6．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、C ），则AP = （ ）A ．().(0,1)AB AD λλ+∈B．().AB BC λλ+∈C ． ().(0,1)AB AD λλ-∈D ．().AB BC λλ-∈7．已知==||||3OA a ，==||||3OB b ，∠AOB=60︒，则+=||a b __________。
8．当非零向量a 和b 满足条件 时，使得b a +平分a 和b 间的夹角。
9．如图，D 、E 、F 分别是∆ABC 边AB 、BC 、CA 上的 中点，则等式： ①+-=FD DA AF 0 ②+-=FD DE EF 0 ③+-=DE DA BE 0 ④+-=AD BE AF 010．若向量x 、y 满足+=-=23,32x y a x y b ，a 、b 为已知向量，则x =__________； y =___________．11．一汽车向北行驶3 km ，然后向北偏东60︒方向行驶3 km ，求汽车的位移.12.如图在正六边形ABCDEF 中，已知：→AB =a , →AF = b ,试用a 、b 表示向量→BC ,→CD , →AD ，→BE .FE CBA必修4 §2.3平面向量的基本定理及坐标表示 1．若向量a=(1,1),b=(1,－1),c=(－1,2)，则c 等于 （ ）A ．21-a 23+b B ．21a 23- b C ．23a 21- b D ．23-a+21b2．若向量a=(x －2,3)与向量b=(1,y+2)相等，则 （ ） A ．x=1,y=3 B ．x=3,y=1 C ．x=1,y=－5 D ．x=5,y=－13．已知向量),cos ,(sin ),4,3(αα==b a 且a ∥b ，则αtan = （ ）A ．43B ．43-C ．34D ．34-4．已知 ABCD 的两条对角线交于点E ，设1e AB =，2e AD =，用21,e e 来表示ED 的表达式（ ）A ．212121e e -- B ．212121e e +- C ．212121e e - D ．212121e e + 5．已知两点P １（－１，－6）、Ｐ２（3，０），点P （－37，ｙ）分有向线段21P P所成的比为λ，则λ、ｙ的值为 （ ）A ．－41，8B ．41，－8C ．－41，－8 D ．4，816．下列各组向量中：①)2,1(1-=e ②)5,3(1=e ③)3,2(1-=e )7,5(2=e )10,6(2=e)43,21(2-=e 有一组能作为表示它们所在平面内所有向量的基底，正确的判断是 （ ）A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③7．若向量a =（2，m ）与b =（m ，8）的方向相反，则m 的值是 ． 8．已知a =（2，3），b =（-5，6），则|a +b |= ，|a -b |= ．9．设a =（2，9），b =（λ,6），c =(-1,μ),若a +b =c ,则λ= , μ= . 10．△ABC 的顶点A(2，3)，B(－4，－2)和重心G(2，－1)，则C 点坐标为 . 11．已知向量e1、e2不共线，(1)若AB =e1－e2，BC =2e1－８e2，CD =3e1＋３e2，求证：A 、B 、D 三点共线. (2)若向量λe1－e2与e1－λe2共线，求实数λ的值.12．如果向量AB =i －2j,BC =i+mj,其中i 、j 分别是x 轴、y 轴正方向上的单位向量， 试确定实数m 的值使A 、B 、C 三点共线.必修4 §2.4平面向量的数量积1．已知a =（3，0），b =（-5，5）则a 与b的夹角为 （ ）A ．450B 、600C 、1350D 、12002．已知a =（1，-2），b =（5，8），c =（2，3），则a·（b ·c ）的值为 （ ）A ．34B 、（34，-68）C 、-68D 、（-34，68）3．已知a =（2，3），b =（-4，7）则向量a 在b 方向上的投影为 （ ）A ．13B 、513C 、565D 、654．已知a =（3，-1），b =（1，2），向量c 满足a ·c =7，且b c ⊥，则c的坐标是（ ）A ．（2，-1）B 、（-2，1）C 、（2，1）D 、（-2，-1）G EDC B A5．有下面四个关系式（1）0 ·0 =0 ；（2）（a ·b ）c =a （b ·c ）；（3）a ·b =b ·a；（4）0a =0，其中正确的个数是 （ ）A 、4B 、3C 、2D 、16．已知a =（m-2，m+3），b =（2m+1，m-2）且a 与b 的夹角大于90°，则实数m （ ）A 、m ＞2或m ＜-4/3B 、-4/3＜m ＜2C 、m ≠2D 、m ≠2且m ≠-4/3 7．已知点A （1，0），B （3，1），C （2，0）则向量BC 与CA 的夹角是 。
8．已知a=（1，-1），b =（-2，1），如果（)()b a b a λλ-⊥+，则实数λ= 。
9．若|a |=2，|b |=2，a 与b的夹角为45°，要使k b -a 与a 垂直，则k=10．已知a +b =2i -8j ，a —b =-8i +16j ，那么a ·b =11．已知2a +b =（-4，3），a -2b =（3，4），求a ·b的值。
12．已知点A （1，2）和B （4，-1），试推断能否在y 轴上找到一点C ，使∠ACB=900？若能，求点C 的坐标；若不能，说明理由。
§2.5平面向量的应用1．已知A 、B 、C 为三个不共线的点，P 为△ABC 所在平面内一点，若AB PC PB PA +++，则点P 与△ABC 的位置关系是 （ ）A 、点P 在△ABC 内部B 、点P 在△ABC 外部 C 、点P 在直线AB 上D 、点P 在AC 边上 2．已知三点A （1，2），B （4，1），C （0，-1）则△ABC 的形状为 （ ）A 、正三角形B 、钝角三角形C 、等腰直角三角形D 、等腰锐角三角形3．当两人提起重量为|G|的旅行包时，夹角为θ，两人用力都为|F|，若|F|=|G|，则θ的值为（ ） A 、300 B 、600 C 、900 D 、12004．某人顺风匀速行走速度大小为a ，方向与风速相同，此时风速大小为v ，则此人实际感到的风速为 （ ） A 、v-a B 、a-v C 、v+a D 、v5．一艘船以5km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，船的实际航行方向与水流方向成300角，则水流速度为 km/h 。
6．两个粒子a ，b 从同一粒子源发射出来，在某一时刻，以粒子源为原点，它们的位移分别为Sa=（3，-4），Sb=（4，3），（1）此时粒子b 相对于粒子a 的位移 ； （2）求S 在Sa 方向上的投影 。