高等数学作业
高等数学1-第2章作业
第2章作业●1.设导数)(0x f ′存在，则=−−→000)()(lim 0x x x f x x xf x x ●2.设21()21x x f x x x x ≤⎧=⎨−+>⎩求'(1)f −及'(1)f +●3.求曲线x x y ln =上与直线3=−y x 平行的切线方程. ●4.2316,2s t t t =+−=一物体按规律作直线运动求在时它的瞬时速度v a 和加速度●5.当b a ,为何值时，函数⎩⎨⎧>+≤=−0,sin 0,)(x ax b x e x f x 在0=x 处可导？求出b a ,的值，并求导函数)(x f ′．●6.计算导数或微分（1）ln sin y x =，（2）210(1)y x =+（3）1sin x y e=，（4）y = （5）已知函数3cos arctan )1ln(2+++=xe x y ，求dy（6）设,arcsin 122x x x x y +−= 求'y ． （7）设2cos sec )1(ln arcsin 1sin 222++−−+=xe x x x x x y x , dy 求． （8）设2ln arcsin 1tan 2−−+=x x xx y , y ′求． （9） 设8arcsin tan )cos (ln 2+⋅−+=x x x x y ，求y ′.（10）已知,ln arctan x x x x y +=求1=x dx dy●7、设()f x 可导，求（1）(sec )y f x =（2）2ln (tan )y f x =的导数。
●8、设sin ,0()ln(1),0x x x f x x x <⎧=⎨+≥⎩，求()f x ′●9、)(),(arctan sin )cos(1lim )(0x f x f x tt t x x f t ′′−=→，求设 ●10.由方程ln 1xy y +=确定的函数为()y f x =求（1）(1,1),y y ′′′(2) 在点（1,1）处的切线方程 ●11.设摆线(sin )(1cos )x a t t y a t =−⎧⎨=−⎩求（1）22,dy d y dx dx （2）摆线2在的切线方程πt = ●12.注水入深10 m 、上顶直径10 m 的正圆锥形容器（圆锥顶点在下方），注水速率为33m . 当水深为6 m 时，其表面上升的速率是多少？●13、某船由一绳索牵引靠岸，绞盘位于岸边比船头高5m 处，绳索在绞盘上卷绕的速率是4 m/s.问船距岸边4m 处的速率是多少？.。
高数作业的常见题型与解题方法
高数作业的常见题型与解题方法高等数学作业中的题型多样而复杂，每一种题型都有其独特的解题方法。
在面对这些挑战时，理解题型和掌握解题策略是关键。
高数作业常见的题型可以分为几个主要类别，每种题型都有其解决的窍门和技巧。
首先，函数与极限题型是高数作业中常见的一类。
这类题目通常要求学生分析函数的性质、计算极限值。
要解决这类题目，首先需要对函数的定义域、连续性和极限进行深入理解。
常用的方法包括代入法、极限法则以及洛必达法则。
代入法适用于简单的极限计算，而洛必达法则则在遇到形式不确定的极限时提供了强有力的工具。
其次，导数和微分的题型也是高数作业中的重点。
导数的计算不仅涉及到基本的求导法则，还包括应用导数进行函数的极值分析。
常用的解题方法包括利用导数的定义求解导数值，以及通过链式法则、积商法则等规则进行复杂函数的求导。
在微分方程的解题中，首先需要确认方程的类型，然后选择合适的方法，如分离变量法、积分因子法等，进行求解。
第三，积分题型则要求学生掌握多种积分技巧。
常见的积分题型包括不定积分和定积分。
解决这类题目时，首先需要选择合适的积分方法，如换元法、分部积分法等。
对于定积分，常常需要利用牛顿-莱布尼茨公式以及积分的性质进行计算。
对积分区域的充分理解和图形的直观判断也有助于提高解题的准确性和效率。
此外，高数作业中的级数题型也不容忽视。
这类题目通常要求学生分析级数的收敛性，并计算其和。
常用的方法包括比值法、根值法以及利用级数的性质进行判断。
在处理级数问题时，需要对常见的收敛判别准则有深入的掌握，以确保得到正确的结论。
在面对这些高数题型时，系统化的学习和不断的练习是提高解题能力的关键。
理解每种题型的基本概念、掌握解题方法的应用，并通过大量的习题进行巩固，最终能够让学生在高数作业中游刃有余。
每一种题型都是高数学习过程中的重要组成部分，通过深入的分析和实践，最终能够在解决问题时获得更高的自信和能力。
高等数学作业册答案Word版
高等数学作业册参考答案一、函数与极限1.1)1()1(2222---x x ； 22)1(11x -- 2. 10≤≤x 3. 31≤≤-x ； x y sin 21-= ))2,2((ππ-∈x4. 3-5. 22-x 6.)1ln(112++x 7. 3- 8.该数列极限不存在 9. 1 10. x x 632- 11.2π； π ；不存在 12. 略二、极限的运算1.（1）0 （2）a 2 （3）32（4）1 （5）202 （6）21 （7）∞ （8）02. 0,1==βα3. 3-4. 15. 证明略，26. (1)52(2) 21 (3) 1 (4) 1 (5) 1- (6) e (7) e (8)2 (9) 4e (10) 21-e(11) 1 (12) 1三、无穷小的比较及连续性 1.(1)32 (2) 2 (3) 25 (4) 0 (5) 9 (6) 161 2.3 3. R c b a ∈==,1,0 4. 125.(1) 2=x 为可去间断点，令1)2(-=f 则该点变为连续点； 3=x 为无穷间断点 （2）0=x 为可去间断点，令1)0(=f 则变为连续点； ...)2,1(±±==k k x π为无穷间断点；...)2,1,0(2=±=k k x ππ为可去间断点，令0)2(=±ππk f 则变为连续点；（3）0=x 为可去间断点，令1)0(=f 变为连续点 （4）1=x 为跳跃间断点；（5）0=x 为可去间断点，令1)0(=f 则变为连续点6.(1)2=k (2) (a)0;0 (b)1- (3) 1,0==b a (4)1=x 为跳跃间断点四、导数的概念及运算(1)A - (2)A 2 (2)2A2.(1)3 (2)23.64.(1)2)1(='+f ，∞='-)1(f ，所以分段点处不可导 （2）1>k 时分段点处可导且导数值为0，1≤k 时不可导 5.（1）4πα=（2）)1,1(-M 6. 1+=x y ；π++-=1x y7.x y -=或25xy -= 8.-99！ 9.2,2,1-==-=c b a 10.函数在分段点处连续且可导，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+-='0 ,20 ,121arctan )(422x x x x x x f π五、导数的运算1.(1)ba cx +2 (2) 8187-x (3) )2ln()2(e e xππ(4) 2sin cos x x x x - (5) 2224)ln 3(32)49(ln x x x x x x x x +-++- (6) x x x x arctan 2122++ 2. (1)3ln 33+ (2) 42ln 2- 4. (1))sin()21(2x x x -- (2) 22x xe(3) 221xx --(4) 22sin 2x x (5)221x a + (6)22x a x --(7) )2sin 222cos (2x x e x +- (8) x sec (9) xxx -+-12)1(12 (10) ))1(1()1arctan()1arctan(ln 42222x x x x ++⋅++ (11) ))31ln(sin()3162(2222x e x x ex x+-+-- 5.(1) )()(xxxxee f ee --+'⋅- (2) 232222))(1()()(2-+⋅'-x f x f x xf6.x 87.x xln cos 1⋅六、导数的运算与微分 1（1）)1212189(2453x x x x ex +++ （2）3222)(x a a --（3）212cot 2xx x arc +-（4）)cos sin 2(ln 22ln 2cos x x x -⋅⋅ 2（1）2ln 23x （2）6 3 0 4 nn x n )1()!1()1(1+---523 6 （1）xye y y -sin cos （2）x y-(3) xy - (4) )ln ln (x x y y y x x y --⋅ (5) y x y x -+ (6) 324ya b - (7) )sin(sin )sin(cos y x x y x x y ++++-7 (1) )sin ln (cos sin xxx x x x+(2))41312111()4)(3()2)(1(414----+++⋅--++x x x x x x x x (3)222ln 2)2ln 2ln 2(2x x x x xx x x⋅++(4) 12)1(ln -++x x xx x8 （1） 2t （2）t （3）34- 9 证明略10 （1）dx x x x x )sec sin cos (2- （2）dx 32 （3）dx e 2-11 (1) 01.04+π(2) 2713七、中值定理1.(1)满足；（2）不满足；（3）不满足2.2π3.31 4.有2个实根5. 6.有1个实根 7.略 8.略 9.提示：)()(x f e x F x-=应用罗尔定理 10.略八、洛必达法则 1.25 2.53- 3.1 4.1 5.0 6.∞+ 7.1 8.1 9.21-10.011.31 12.1 13.1-e 14. 21-e15.29,3=-=b a九、泰勒公式1.32)1(3)1(7)1(42+++-++x x x 2.32453091x x x -+-3.)(31133x o x x +-+ 4.)()!1(1!2132n n x o x n x x x +-++++5.))1(()1()1(122+++-+--x o x x7.略 8.略十、函数的单调性1.]2,0(上单减；),2[+∞上单增2.单增区间]1,0[；单减区间]2,1[3.单增区间),1[],0,(+∞-∞；单减区间]1,0[4. 1个实根5.略6.略7.略8.单增十一、曲线的凹凸性 1.凹区间),21[],21,(+∞--∞；凸区间]21,21[-2.凹区间]1,1[-；凸区间),1[],1,(+∞--∞；拐点)2ln ,1(),2ln ,1(-3.拐点),21(21arctan e4.3,1-==b a5.ac b 32=6.略7.水平渐近线1=y ；无铅直渐近线8.水平渐近线0=y ；铅直渐近线1,3=-=x x十二、函数的极值与最大最小值1.极大值17)1(=-y ；极小值47)3(-=y2.极大值2)1(-=-y ；极小值2)1(=y3.2=a4.4,421==x x5.(1)1)1(++n n n ;(2)e1 6.x x x y 9323--=;32 7.1:2 8.5;11十三、函数图形的描绘 1.极小值517)2(-=-y ；拐点)2,1(),56,1(-- 2.单减区间),1[+∞ 3.略 4.1个交点 5.略十五、不定积分概念、性质1.21x -2.C x +3559 3.1313++x x 4.C x x x ++-arctan 3135.C e x x ++3ln 13 6.C x x +-tan 7.C x +2ln 218.C x +815158 9.C x +-cot 21 10.C x x +-sec tan 11.C x++2sin 1 12.C x x +-cot tan 13.1)(2+=x x f十六、 1.C b ax F a ++)(1 2.C x x +-2213.C x F +)(ln4.C x ++)38ln(9135.C x ++342)1(83 6.C x x ++881ln81 7.C x x +-3sin 31sin 8.C x ++23)2(ln 32 9.C xx +-ln 1 10.C x e x+-+)1ln( 11.C x +-10ln 210arccos 2 12.C x +++22))11(ln(21十七、不定积分的第二换元法1.C x x +++-+))11ln(1(22.C x+1arccos3.C x x ++-)21ln(24.C xx ++215.C x x x +--)1(arcsin 2126.C x x ++1ln 667.C x x +---)1arctan1(2 8.C x xx x ++-+-arcsin 1129.C x e x +--+)11ln(2 10.C x +2)(arctan十八、不定积分分部积分法 1.C x x e x++-)22(22.C x x x +-3391ln 31 3. C x f x f x +-')()( 4.C x x ++-)1ln(21ln 2 5.C x x e x +-)cos (sin 216.C x x x x x +-+sin 2cos 2sin 27.C x x x x x ++-2ln 2ln 28.C x x x +-+21arcsin 9.C x e x++--)1(10.C x x x +--cot 21sin 2211.C x x x x +----)1ln(2121)1ln(21 12.C x x x x +-++21arcsin 13.C x x x e x+-++-)12(214.C x e x+tan 15.C x x x +-+arctan )1(16.C e ex x x +----2222十九、有理函数的积分 1.C x x ++++-2)1(2111 2.C x x +---1ln 2ln 3 3.C x x +-++1ln 21112 4.C x x +-arctan 21ln 5.C x +3tan 2arctan321 5.C x++2tan1ln 7.C x xxx x x ++-+++-+--11arctan21111ln8.C x x +-+31123 9.C x x +-+-2)1(2111 10.C x x x x +-+++-2cos 2cos ln 1211cos 1cos ln 61二十、定积分的概念、性质1、331()3b a - 2、ln 2 3、12I I > 4、2I ππ≤≤5、12422eI e -≤≤ 6、137、略二十一、微积分基本公式 1、02、2sin x - 3、2 4、24π 5、1x 6、32ln 22+ 7、2(1)e - 8、2 9、14π- 10、-ln2 11、83 12 1e e+ 二十二、定积分换元法1、02、43π- 3 4、24π 5、166、2ln2-17、416a π82)π+ 9、14π- 10、1) 11、2ln 1e e + 12、1ln 284π- 13、121e-- 14、11ln(1)e -++二十三、定积分分部积分法1、112e -- 2、321()92e -+ 3、12π- 4、 142π- 5、21(1)2e π+ 6、364ππ- 7、2e - 8、12(1)e -- 9、1310、112e -- 二十四、反常积分1、 发散2、2π3、1ln 324、28π5、16、发散7、-1 8、1ln 22 9、1 10、2π11、2 π 二十五、平面图形的面积1、3ln 22- 2、12e e -+- 3、3234、2a5、23a π 6、 7、（1，1） 8、529、1,2,0-二十六、体积 1、12864,75ππ 2、1615π 3、310π 4、464,315π5、6436、32224()3R a π- 7、 8、2,9π二十七、平面曲线的弧长、平均值1、214e + 2、433、6a4、22a π 51)a e π- 6、35ln212+ 7、8a 8、212e -- 9、23π 二十八、物理应用1、0.294J2、800ln 2J π3、1211()mg R R - 4、216aH 5、443r g π 61(Gm a ρ- 7、57697.5KJ 三十、微分方程的概念1、（1）2y x '= ；（2）20yy x '+= 2、是3、20xy y '-=4、120;1C C ==5、221()[ln(1)1]2x f x x +=+- 6、2xy y y e '''--= 三十一可分离变量的微分方程 1、2y x C =+ 2、2xy e = 3、(1)yx ex e C --=++4、xy Cxe-=5、2225y x += 6、3C y x=+ 7、221x x y Ce+=-8、221(1)y C x +=- 9、sin ln y x x=三十二、 一阶线性方程，齐次方程1、32431x Cy x +=+2、(1)xy x e e =+-3、3213x y x-= 4、cos xy x=-5、xe y x=6、同57、47y x =+8 3232xx y ee =-三十一、可降阶的高阶方程1、12(2)xy x e C x C =-++2、12C xy C e=3、y4、21arcsin()xy C e C =+5、12ln y C x C =+6、ln 2x xe e y -+=注：原题改为求1)'(''2=+y y 满足(0)0,'(0)0y y ==的特解。
北航《高等数学(上)》在线作业一
B.正确
正确答案：B满分：2分得分：2
29. y=tan2x既是偶函数也是周期函数
A.错误
B.正确
正确答案：A满分：2分得分：2
30.。
A.错误
B.正确
正确答案：B满分：2分得分：2
31.
A.错误
B.正确
正确答案：A满分：2分得分：2
32.题目如图所示：
A.错误
B.正确
正确答案：B满分：2分得分：2
A.错误
B.正确
正确答案：A满分：2分得分：2
21.
题目如图所示：
A.错误
B.正确
正确答案：B满分：2分得分：2
22.如图。
A.错误
B.正确
正确答案：B满分：2分得分：2
23.。
A.错误
B.正确
正确答案：A满分：2分得分：2
24.一般情况下，对于可导函数y=f(x),dy=f′(x)dx。
A.错误
B.正确
A.错误
B.正确
正确答案：B满分：2分得分：2
9.函数可积与函数可导之间既非充分也非必要条件
A.错误
B.正确
正确答案：A满分：2分得分：2
10.可导的偶函数的导数为非奇非偶函数.
A.错误
B.正确
正确答案：A满分：2分得分：2
11.连续函数y=cosx在闭区间[0,5]上存在最大最小值
A.错误
B.正确
C.
D.
正确答案：C满分：2分得分：2
10.如图。
A. 0.5
B. -0.5
C. -0.25
D. 0.25
正确答案：B满分：2分得分：2
11.
题目如图所示：
《高等数学》作业 无答案
第一章 函数、极限与连续1、写出下列复合函数的复合关系（1）（2）22xy e +=（3）5(21)y x =+（4）ln(sin )y x =2、函数1ln(1)y x =-的定义域是。
3、当0x →时，2(2)x x -是23()x x -的（高阶或低阶）无穷小。
4、当0x →时，sin 2x 与tan 2x 是______无穷小。
5、设{,0(),0x x a x f x e x +≥=< 且()f x 在(,)-∞+∞内连续，则_____a =。
6、0tan 2lim______x xx→=。
7、1lim(13)xx x →+=_____ 。
8、函数22321x x y x -+=-的可去间断点为_______ 。
9、 曲线221x y x =-的水平渐近线_______，铅直渐近线是_______。
10、求下列函数的极限（1）213lim()2x x x x +→∞+- （2） 30lim(12)x x x →+ （3）0ln(1)lim 2sin x x x→+（4）1.0x → （5）lim x →+∞ (6) 20tan 3lim sin x x x x →(7) 30tan sin lim sin x x x x →- (8) 201lim 1cos x x e x →-- (9)3302lim(1)x x x+→+ (10) 2123limn nn →∞++++11、设2,01()sin ,0x a x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，且()f x 在(,)-∞+∞内连续，求a 。
12、设2 01() 2 11 13ax b x f x x bx x ⎧+<<⎪==⎨⎪+<≤⎩，,a b 为何值时，()f x 在1x =处连续。
第二章 导数与微分1、已知函数()f x 在点0x 可导，则（1）000()()lim____h f x h f x h →--=，（2）000()()lim____h f x h f x h h→--+=。
高等数学作业题及参考答案
高等数学作业题（一）第一章 函数1、填空题（1）函数1142-+-=x x y 的定义域是 2、选择题(1)下列函数是初等函数的是（ ）。
A.3sin -=x y B.1sin -=x y C.⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=1,01,112x x x x yD. ⎩⎨⎧≥<+=0,0,1x x x x y (2)xy 1sin =在定义域内是（ ）。
A. 单调函数 B. 周期函数 C. 无界函数 D. 有界函数3、求函数2)1ln(++-=x x y 的定义域4、设,1)(2+-=x x x f 计算xf x f ∆-∆+)2()2(5、要做一个容积为250立方米的无盖圆柱体蓄水池，已知池底单位造价为池壁单位造价的两倍，设池底单位造价为a 元，试将总造价表示为底半径的函数。
6、把一个圆形铁片，自中心处剪去中心角为α的一扇形后，围成一个无底圆锥，试将此圆锥体积表达成α的函数。
第二章 极限与连续1、填空题（1）32+=x y 的间断点是 （2）0=x 是函数x x y +=1的第 类间断点。
（3）若极限a x f x =∞→)(lim 存在，则称直线a y =为曲线=y ()x f 的 渐近线。
（4）有界函数与无穷小的乘积是（5）当0→x ，函数x 3sin 与x 是 无穷小。
（6）xx x 1)21(lim 0+→= （7）若一个数列{}n x ，当n 时，无限接近于某一个常数a ，则称a 为数列{}n x 的极限。
（8）若存在实数0>M ，使得对于任何的R x ∈，都有()M x f <，且()0lim 0=→x g x ， 则()()=→x g x f x 0lim （9）设x y 3sin =，则=''y(10) x x x)211(lim -∞→=2、选择题（1）xx x sin lim 0→的值为（ ）。
A.1 B.∞ C.不存在 D.0 （2）当x →0时，与3100x x +等价的无穷小量是( )。
高等数学(一)作业,1,2,3章10.26
《高等数学》考题，内容包括第一、二、三章一、选择题： １．函数)1ln(1)(++=x xx f 的定义域是（ c ） Ａ．)0,1(- Ｂ．),0(+∞Ｃ．),0()0,1(+∞- Ｄ．),0()0,(+∞-∞2．=+→x x x 1)21(lim （ c ） Ａ．e Ｂ．e Ｃ．2e Ｄ．１3．)32cos()431sin(ππ+++=x x y 的周期是（d ） Ａ．π2 Ｂ．π6 Ｃ．π4 Ｄ．π124．设)(x f 是奇函数，当0>x 时，)1()(x x x f -=，则0<x 时，)(x f 的解析式是（ b ）Ａ．)1(x x -- Ｂ．)1(x x + Ｃ．)1(x x +- Ｄ．)1(--x x5．函数21x y -=，)01(≤≤-x 的反函数是（ c ）A ．21x y --= )01(≤≤-xB ．21x y --= )10(≤≤xC ．21x y -= )10(≤≤xD ．21x y -= )11(≤≤-x6．在下列各函数中，表示同一函数的是（ b ）A ．2x y =与2)(x y =B ．x y sin =与x y 2cos 1-=C ．x x y -+=12与xx y ++=112 D ．)12ln(2+-=x x y 与)1ln(2-=x y 7．x x 2sin sin 2-=α, x cos 1-=β, 则当0→x 时，α与β的关系是（d ）A ．βα~B ．β是比α高阶的无穷小C ．βα,是同阶无穷小D ． α是比β高阶的无穷小 8．在区间)0,∞-（内与xx x y 32-=是相同函数的是（ b ）A ．x -1B ．x --1C ．1--xD ．1-x9．设)999()2)(1()(---=x x x x x f ，则=')0(f （ c ）A ．999B ．999⨯999C ．999!D ．-999!10．若)(0x f '存在，则=∆∆--∆+→∆x x x f x x f x )()2(lim000（ c ） A ．)(0x f 'B ．)(20x f 'C ．)(30x f 'D ．)(40x f ' 11．函数24121arcsinx x y -+-=的定义域是（ d ） A ．[-2, +2] B ．[-1, 2] C ．[-1, 2] D ．(-1, 2)12．函数x x y --=22的图形（ a ）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．不是对称图形13．当0→x 时，下列式子是无穷小量的是（ c ）A ．xx sin B ．x x 1)1(+ C ．x x 1sin 31 D ．x 1sin 14．曲线x x y 33-=在点（2，2）处的法线方程为（ b ）A ．)2(912-=-x y B ．92091+-=x y C ．9291+-=x y D ．)2(92-=-x y15．x nx ex λ∞→lim （n 为自然数，0>λ）的极限是（ b ） A ．1 B ．不存在 C ．0 D ．nλ1 16．x x f sin )(=在0=x 处的导数是（ a ）A ．0B ．2C ．不存在D ．117．当∞→n 时比21n 低价无穷小的应是以下中的（ d ） A ．21sin n B ．35-n C ．321n n + D ．n18．下列函数中不是初等函数的有（d ）A ．x x y sin =B ．x x y ++=)1log(2C ．2cos 2arcsin x x y ⋅=D ．x x sin 19．=⎪⎭⎫ ⎝⎛+→x x x x x 3sin 2sinlim 0（ b ） A ．0 B ．3 C ．5 D ．220．函数x x x f -=3)(在[0, 3]上满足罗尔定理的=ζ（ d ）A ．0B ．3C ．23D ．2二、填空题（每小题4分，共20分）1．曲线2t x =, t y 2=在1=t 对应点处的切线方程是 y=x+1 。
高等数学平时作业
高等数学作业（一）函数、极限与连续一、填空题：１、函数f(x)=x-11，则f(2)= ， f （1+x ）= , f [f(x)]= (x ≠0)。
2、函数y=x 2sinx 是 （奇、偶）函数， 曲线y=x 2（1+cos 3x ）的图形关于 对称。
3、设函数f(x)的定义域是[0，1]，则f(e x)的定义域是 .4、已知函数f(x+1)=x 2+x,则f(x)= .5、函数y=(1-x 2)2是由简单函数 和 复合而成的。
6、xx x 53sin lim 0→= ，xx x )sin(lim 0-→= 。
7、函数f(x)=412-x 的间断点是 。
8、设⎩⎨⎧=≠+=003)(x Ax e x f x 若f(x)在x=0处连续，则A= 。
9、xx 2lim +∞→= ， xx ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→21lim = ，xx e +∞→lim = ； 10、若函数y=f(x)在点x 0处连续，则)(lim 0x f x x →= 。
二、单项选择题1、下列函数中，（ ）不是基本初等函数。
A 、y=xB 、 y= 2x C 、y=x - D 、y=x⎪⎭⎫ ⎝⎛21２、下列函数中（ ）是奇函数。
A 、y= x x sinB 、y=21010x x -+C 、y=x 3+cosx D 、xx３、下列不相同的函数对是（ ）。
A 、f(x)=e ax g(t)=e at B 、f(x)=x 2-2x+1 g(x)=(x-1)2C 、f(x)=lnx 2g(x)=2lnx D 、f(x)=2xg(x)=∣x ∣4、下列函数中，（ ）有界函数。
A 、y=exB 、y=lnxC 、y=sin2xD 、y=x15、x →０时 cosx1是（ ） A 、无穷小量 B 、无穷大量 C 、有界变量 D 、无界变量 6、以下结论正确的是（ ）A 、f(x)在点x o 处的极限存在，必连续。
B 、f(x)在点x o 处不连续，则f(x)在点x o 处的极限不存在。
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第1次作业1、设函数()xx x f =画出图形，求函数在0=x 处的左右极限，并说明函数在0=x 处极限是否存在？()()()()不存在=∴-==⎩⎨⎧<->==→→→-+x f x f x f x x x xx f x x x 000lim 1lim 1lim 0,10,12、设()⎪⎩⎪⎨⎧-+=111x x x f 111<=>x x x ，画出图形，并讨论函数在x=1处的极限是否存在？21lim )(lim 11=+=++→→x x f x x 01lim )(lim 11=-=--→→x x f x x ∴)(lim 1x f x →不存在第2次作业 1计算下列极限（1）1lim →x =(32x -x+2) =31lim →x 2x -1lim →x x+2=4(2)0lim→x 65252322+--+x x x x = 652lim 523lim 220+--+→→x x x x x x 65-= ●○○xy ﹣ ﹣ 2 1 01（3）()()()()53121lim 21212lim 2322lim 22222=++=-++-=----→→→x x x x x x x x x x x x x ()41lim 1-→x xx 不存在 ()5()()113124lim 324lim202230=++-=++-→→x x x x x xx x x x x x ()()211lim 11lim 62220220-=-++=+-→→x x x xx x x ()211112lim 112lim 72222=---=---∞→∞→x x x x x x x x()()()()()()()0111lim 1lim 121111lim 1111lim 111093131311lim 331lim 812221312222=+-=-=++--++=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=∞==+--=+--∞→+∞→→→∞→∞→nn n n n nn x x x x ee e e e x x x x x x x xx x x x x 不存在不存在第3次作业()()()()()()()()()1arcsin lim 72sin sin 2lim sin 2cos 1lim 61sin lim sin lim 50cos sin lim tan lim 43333tan lim 3tan lim 32sin 22sin 2lim sin 2sin lim 221222sinlim 2sinlim11020000000000===-=--=-===•==•==•=→→→→→→→→→→→→→xx x x x xx x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x πππππ计算极限()()()2cos sin cos sin 2lim tan 2sin lim 93sin 3lim sin 3lim 8202000=••==+=+→→→→xx x x x xx x xxx xx x x x x x ()111sin lim1sin lim 102222=⎪⎭⎫⎝⎛=∞→∞→x x xx x x 2计算极限()()2221010)2(1lim )21(lim 1---→→=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-e x x xx xx ()()[]2210201lim 1lim )2(---→→=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-e x x xx xx 22211lim 1lim )3(e x x x x x xx =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→()()()22cos 12sec 22cos 1lim cos 1lim 4ex x x x xx =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+→→ππ()2121220120212lim 21lim 5-→-→=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ex x x x x xx １＋ ()e x x x x x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫⎝⎛+++∞→+∞→212211221lim 1232lim 6 第4次作业1、试证：当.1113是同阶无穷小与时，x x x --→ ()是同阶无穷小与时33323131311113111lim 11lim x x x xx x x x x x x --→∴=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=--→→ ()()较高阶无穷小是比，无穷小？相比，哪一个是教高阶与时，、当232203*********lim 2lim 202x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+∴∞=+-=+-+-→→→2~cos 10122sin lim 2sin 2lim 2cos 1lim .2~cos 1032220220202x x x x x x x x x x x x x x x -→∴=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==--→→→→时时，、证明：当 4、求极限()0cos lim 1=∞→xx x ()01cos lim 220=→xx x 5、用等阶无穷小代换，求极限：()3131lim 11lim 103==-+→→x x xx x x ()22lim 1lim 2020==-→→x xx e x x x第5次作业1、求函数的间断点，并指明类型.()()()()()是第二类间断点第一类间断点是可去间断点2lim .12lim 21112312311212222=∴∞==-=--+-=+--=+--=→→x y x y x x x x x x x y x x x y x x()间断点是第一类间断点的可去时函数没有意义0212sin2lim cos 1lim 0cos 12220202=∴==-=-=→→x x xx x x xxy x x()间断点第一类间断点中的跳跃属于时左右极限不相等∴=====⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤>=--++→→→→011lim lim 01sin lim lim ;0,10,1sin 30000x y x x y x x x x x y x x x x ()断点属于第一类中的可去间相等函数没意义但左右极限0033lim lim 33sin lim lim 0,3sin 0,342002=∴==+===⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧><+=--++→→→→x x x y xx y x x x x y x x x x()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()58542lim ,lim ,21lim ,2.2,3.3,3-x 22311-x 323131633.lim ,lim ,lim 633232022223320223-=--⨯-=∞==+∞---∞-∴==-+++=-+-+-=-+--+=-+--+=-→→→→→→x f x f x f x f x x x x x x x x x x x x x x x x f x f x f x f x x x x x x f x x x x x x 的连续区间是时无意义或当解：的连续区间，并求、求 ()()()()()()()()63lim 33639lim lim .-,33,39332332=====--=∞+∞⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=→→→A f x f x f x Af x x x f A x A x x x x f x x x 即连续则时若内连续，取何值时，函数在问，设函数 4、求下列极限()()12sin lim 134=→x x π()()21111lim 1111lim11lim 20=++=++-+=-+=→→→x x x x x x x x x()0sin lim ln sin lnlim 300==→→xxx xx x ()2121211lim 11lim 4e x x x x x x =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→∞→ 第2章 导数与导数的应用第6次作业1、A 存在，依照导数定义观察下列极限，指出()0'x f 下列各题均假定表示什么:()()()()()[]()()()[]()()()0'0000000'000lim lim -lim 1x f x x f x x f x x f x x f x f A xx f x x f x x x -=∆---∆-+=∆---∆-+-==∆∆-→∆-→∆→∆ ()()()()()()()()A f x f x f x x f f f A xx f x x x ==--===→→→000lim lim 0,00,lim 2'00'0存在；且其中()()()()()()()[]()()()()()Ax f h x f h x f h x f h x f hx f h x f x f h x f A hh x f h x f h h h h ==---+-+=----+=--+→→→→0'000000000000002lim lim lim lim 3 2、求下列曲线在给定点处的切线及法线方程()2310023cos cos 1,23,sin 123''ππππ=-=∴=====⎪⎭⎫⎝⎛-==x y k k y x y x y x 法线方程切线方程不存在法线斜率为切线斜率为()21934-3322193421,23332332123332121,23b 23332232332sin sin ;21,23,cos 2212132''-=∴+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=∴+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=∴=-=∴-=-=-=⎪⎭⎫⎝⎛==πππππππππx y B B x Y B x k Y x y b x y b x k y k k y x y x y x 代入法线方程代入切线方程法线斜率切线斜率()())(ln 1)(ln 11ln ln 1ln 1ln 11,,log 321''a x a a y a x aa y a a k aa k a a y a x y a x y a a --=--=-∴-=====法线方程切线方程法线斜率切线斜率 第7次作业1、求下列函数的导数()3'2222465235231--+=+-=+-=xx y x x y xx y ()()()xx x x y xx y cos 1sin 2sin 122'2++•=+=()3373'23442326234413------=++=++=xx x y x xx x x x y ()()x x x x y x x y sin cos 27sin cos 42'2-•+•=+=π ()xx x y x x y 2'sec tan 3sin tan 5+=+=π()22')1(2)1()1(1116+=+--+=+-=x x x x y x x y()xx x x x x y x x x y sin ln cos ln sin ln sin 7'++== ()()()()22'ln 11ln 1ln 111ln 1ln 18--+•--+-=++-=x x x x x x y x x x y 2、求下列函数在给定点的导数 ()()824242_8222sin 21cos sin :cos 21sin 144ππππ+=+=-++=+===x x dxdy x x x x dx dy dxdyx x x y ，求()()()()()()()()()()()1812121212121212141211121.4,1122'22121''-=+⎪⎭⎫⎝⎛••--+••-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛•--+-=+-=--f x x x x x x f f xxx f 求第8次作业1、求下列复合函数的导数()()()()()3'3'452852524521+=++=+=x x x y x y()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+•⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫⎝⎛+=45sin 54545sin ;45cos 2''ππππx x x y x y()()2223'23'3633xx xxe x e y e y ----=-•== ()()()111111ln 4''-=-•-=-=x x x y x y ()()22'222'2sec 2sec tan 5x x x x y x y •=•== ()()()()()232232'22322121211121'116---+-=+-=++-=+=x x x x x x y x y ()()222223sin 33cos 2133sin 3cos 21'3cos 7x x x x x xex ex e x e y xey -------=•-+⎪⎭⎫⎝⎛-== ()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+•+=+•+=+=---2121'212112121'8x x x x x xx y xx y()()()()()()22sin 221cos 1sin 21sin922222+=•++=+=xx x x x y xy ()()()32cos cos 'sin 101313'13131322222+===-+-+-+-+-+x ee ee y e y x x x xx x x xx x2、求下列函数的二戒导数()()()222222421221212''22'xx x x x xxe x xe y x e e x e y xe y ++=+=+== ()()()()13sin 913cos 313sin 2'''+-=+=+=x y x y x y第9次作业1、求下列方程所确定的隐函数y 的导数dxdy ()()y x y x y yy xy y x yy xy y x y xy x103340103340103405321'''''22++-==+++=+++=++ ()()()yx y x yx y x yx y x y x yx e x y e y y e y e x y e y e xy y e xy y e xy ++++++++--=-=--=-+=+=''''''12()1'1'11'11ln 3'-==⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=+=y y y y y y yy yx y ()()()()()()()222221'11'11'1'arctan 4y x y y x y y x y x y x y y y x y +=++=++++++=+=3、用对数求导法求下列函数的导数()yx x x yy y x y y y y x x y yxy x y x y y x x y y x xy--=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-'+=+==ln ln 'ln 'ln ln ln 'ln ln 1 ()()()()()x x x x x x x y x x x x x y y xxy x y x x x2tan 2sec 2cot 2tan 22tan ln 2csc 2tan '22tan 2sec 2cot 2tan ln 212csc '12tan ln 2cot ln 2tan 222cot 2122cot 222cot+-=+-===()()()()()()()()55252'2'25252552252252551225255112ln 2515ln 512ln 515ln 5125ln 51ln 253+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=+--=+--=+--=+-=+-=x x x x x y x x x y y x x x x x x y x x y ()()()()x xx xx xx xe x x e e x x x y e e x x x y y e x x e x x y e x x y +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+++=+++=+=+=1sin 14sin 2cos 21'14sin 2cos 21'11ln 41sin ln 21ln 21]1sin ln[21ln 1sin ln 4第10次作业1、求下列函数的偏导数()211yx x z yy z yxxy z y x -=+=+=()()()()()y x z y x x xy x z y x z y x +=+=•+=+=2222cos cos 22cos sin 2()()()()()()[]()()()()()[]()()xy x xy x xxy xy xy x z xy y xy y y xy xy xy y z xy xy z y x 2sin cos sin cos 2cos 2sin 2cos sin cos 2cos cos sin 32-=•-•+=-=•-+=+= ()()222222222222222ln 4z y x z w z y x y w z y x x w z y x w z y x ++=++=++=++=2、求下列函数的二阶导数 ()104101451'''2=+=++=y x y x x y ()()()()13sin 913cos 313sin 2'''+-=+=+=x y x y x y第11次作业1、将适当的函数填入下列括号内，使等式成立 ()xdx c x d 3)23(12=+ ()wxdx c wx wd sin )cos 1(2=+-()dx x C x d +=++11))1(ln(3 ()dx e C e d x x 22)21(4--=+-()dx xC x d 1)2(5=+()dxx x C x x d )sin (cos )cos (sin 6-=++()dx x C x d 3cos 1)3tan 31(72=+ ()dx xC x d 211)(arcsin 8-=+ 2、求下列函数的微分 ()xdxx xdx dy xx y 2cos 22sin 2sin 1+== ()dxx x xdx dx xdx dy x x x y )21(ln 2ln ln 22-+=-+=-=()dxx e x e dy xe y x x x )cos sin (sin 3---+-==()dx xx dy xy ••==2sec 2cot 212tan ln 42()()()dxx x x x dx x xx x x dy x x y 1111212115221222221222++-+=•+•+-+=+=-- ()()xdx x dy x y sin cos sin cos cos 6•== 3、求下列函数的全微分()()dyy x dx yx dz y x yzxy x zy y x z 222212222++•=+=∂∂=∂∂+=()dyy x ydx x dz y x yzy x xzyx z •+•==∂∂•=∂∂=2cos 22sin 22cos 22sin 22sin 22224、求下列各式近似值 ()()()()()()()()()()()()002.0002.011002.101ln 11ln 002.01ln 002.1ln 1'00'''0'000=•+======∆+≈∆+=∆==f f f x f x f xx x f xx f x f x x f x x x x f 令 ()()()()()()()()986.9004.0)1(199********101310004.0110410009962'30'32'0333=-+=====-=∆==-=-f f f x f f x x f x x x x f 令第12次作业1、用洛必达法则求下列函数的极限 ()353cos 35cos 53sin 5sin 1lim lim 00==→→x xx xx x ()3cos 13cos 3tan 3tan 2220lim lim ==→→x x xxx x ()616cos 6sin 3cos 1sin 3lim limlim lim 0203===-=-→→→→x x x x x xxx x x x x ()21cos 1cos cos 1tan sin 42200lim lim -=--=--→→x x x x x xx x x()ax a x a x a x a x cos 010cos lim sin sin lim 5=--=--→→ ()212cos 21lim 2tan lim2cot lim 620===→→→xx xx x x x x 122lim1lim lim )7(02212112222==⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅==∞→∞→∞→e x x e x e e x x x x x xx ()10sin lim sin 1lim cot 1lnlim 1ln tan lim lim 1lim 80220220001lntan lim 1ln lim 1ln 0tan 00tan 0tan ==∴=•=--=====⎪⎭⎫ ⎝⎛→→→→⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛→→→→e x x x x x xx x x x e eex x x x x xx x x xx x xx x原题 第13次作业1、求下列函数的极值：()()11006''06''612''100')1(666',;321110223-====∴>=<-=-===⇒=-=-=+∞∞--=====x x x x yyx x y y x y x x y x x x x y x x y 处取得极小值处取得极大值在在或解：()()()()616150080804412110011444,;5221101"1"0"2'''3'24-=-=-==-==∴>=>=<-=-=-===⇒=-+=-=+∞∞---=-===-===x x x x x x yx y x y x y y y x y x x x y x x x x x y x x y 处取得极小值在处取得极小值在处取得极大值在或解：()()11""1''110101ln :,0.ln 3-=-=--==∴>===⇒=+=+∞=--e y e x e y xy e x y x y x x y e x e x 处取得极小值在解2、求下列函数在给定区间上的最大值和最小值()[]()()()()()()()()()()()41113225041113221,1,0011444;2,2,521'3'24=-===-∴==-===--===⇒=-+=-=-+-=f f f f f f f f f x x x y x x x x x y x x y 函数的最小值是函数的最大值是驻点为解：()[]()()()()006462440002114,0,2'21'==∴=+====+=+=-f f f f y x x y x x y 函数的最小值是函数的最大值是不存在时解：3、洞的截面上部是半圆，下部是矩形，周长是15cm ，问底宽x 为多少时，才能使截面积最大？解:()[]()[]15,0430021544115,0215481221522''22∈+=⇒=++-=∈++-=•--•+⎪⎭⎫ ⎝⎛=πππππx s x s x x x x x x x s4.求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间()()3501063103-5351""2'23=⇒=-=+-=∞+∞++-=x y x y x x y x x x y 令，解：函数的定义域是讨论：由表知，曲线53523++-=x x x y 在⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-35,内凸，在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,35内凹，拐点是⎪⎭⎫⎝⎛2720,35。