高等数学下册复习题及答案

一、解答下列各题(本大题共3小题，总计15分) 1、( 本 大 题5分 )

设L 由y =x 2及y =1所围成的区域D 的正向边界， 求 ⎰+++L

dy y x x dx y x xy )()(24233

2、(本小题5分)

设f (x ,y )是连续函数，交换二次积分⎰⎰2

3),(1

0x x dy y x f dx 的积分次序。 3、(本小题5分)

设()f x 是以2π为周期的函数，当x ∈-⎛⎝ ⎤

⎦

⎥ππ232,时，()f x x =。又设()S x 是()f x 的

以2π为周期的Fourier 级数之和函数。试写出()S x 在

[]-ππ,内的表达式。

二、解答下列各题(本大题共7小题，总计42分) 1、(本小题6分)

设z=z(x,y)由方程x 2+y 2+z 2=ln(y z

)确定，求z z x y ,。

2、(本小题6分)

设z y xy x =++232

()，求z z x y ,。

3、(本小题6分)

设f x y (,)有连续偏导数，

u f e e x y

=(,)，求d u 。

利用极坐标计算二次积分

5、(本小题6分) 求微分方程''-'+=y y y x e

x

22的一个特解。

6、(本小题6分)

求幂级数n

n x n )32(11

-∑∞

=的收敛域。

7、(本小题6分)

求微分方程0)42()2(32=-+++dy y x

y x dx y y 的通解。

三、解答下列各题 (本大题共2小题，总计13分) 1、(本小题7分) 求曲面x xy xyz ++=9在点(,,)123处的切平面和法

线方程 。 2、(本小题6分)

试求由x 2+y 2+z 2≤4与x 2+y 2≤3z 所确定的立体的体积。

四、解答下列各题 (本大题共2小题，总计13分)

求函数2

2333322y x y x z --+=的极值。

2、(本小题6分)

判别级数n n

n n cos 2

1

32π=∞∑的敛散性。 五、证明题 1、(本大题5分)

设空间闭区域Ω由曲面z =a 2－x 2－y 2平面z =0所围成，∑为Ω的表面外侧，V 是Ω 的

体

积

，

a

为

正

数

。

试

证

明：

2、 ( 本 大 题5分 )

设p 是自然数，求证：

()()11

ln 21ln 2ln ln 122

p p p +=+++

21

211121881n n n p p -∞

=⎛⎫+ ⎪-++⎝⎭

∑

六、解答下列各题( 本 大 题7分 )

设Ω是由1≤x 2+y 2≤4，y ≥0，z ≤0以及2

2y x z +-≥所确

定的闭区域， 试计算⎰⎰⎰Ω

ydv

一、解答下列各题(本大题共3小题，总计15分) 1、解 0 2、(本小题5分) 原式=

f (x ,y )d x . 10

3、(本小题5分) 对()f x x x =-

<≤

,π

π

232

作周期为2π的延拓，()f x 在[]-ππ,内的表达式为

()f x x x x x x x =+-≤≤---<≤<≤⎧

⎨⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪⎪22200πππππ,,,,,,

(3分)

()f x 满足Fourier 级数收敛的充分条件。

(5分) 故

()S x x x x x x x x =+-≤<-=---

<≤<≤⎧

⎨

⎪⎪⎪⎩

⎪

⎪⎪22

2

2

00πππ

ππ

π

π,,

,,

,,

,,

(10分)

二、解答下列各题(本大题共7小题，总计42分) 1、(本小题6分)

解：y z y x z y x F ln ln z ),,(222+-++= 2分

z

z F y y F x F z y x 12,12,2-='+

='=' 6分

2

2222,212yz y z

z y y z z xz x z -+=∂∂-=∂∂ （10分）

2、(本小题6分)

z xy x x =+2222ln （5分）

z y x y y =+3222 （10分）

3、(本小题6分)

d d d u f

e x

f e y x y =+12

（10分）

4、(本小题6分)

5、(本小题6分)

特征方程r r 2

210-+=的根为

r r 121==

设特解为

y x Ax Bx C e p x =++22() （5分）

代入方程得

y x e p x

=112

4

（10分）

6、 (本小题6分)

由于31)1(33lim lim 11=+=+∞→+∞→n n a a n n n n

n n ， 所以收敛半径3=R ， 5分 且当1-=x 时，级数收敛， 8分

5=x ，级数发散， …….9分

故收敛域是[)5,1-。 10分 7、(本小题6分)

()d ()d ()()y y x x y x

y y y y y x x y x y y

+++-=+=+-=-2240

2241423233∂∂∂∂ 故为全微分方程 （4分）

令

u x y y y x x y x

y

y x y (,)()d ()d (,)

(,)

=

+++-⎰

2242013

=++

-xy y x

y

2221 （8

分） 故通解为 xy y x

y

C ++=2

22

（10

分）