2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：第4章 第3节 平面向量的数量积与平面向量应用举例
[典题导入] (理)(2013· 湖南高考)已知 a，b 是单位向量，a· b＝0.若向量 c 满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是 ( A．[ 2－1， 2＋1] C．[1， 2＋1] B．[ 2－1， 2＋2] D．[1， 2＋2] )
[听课记录] 由 a，b 为单位向量且 a· b＝0， 可设 a＝(1，0)，b＝(0，1)， 又设 c＝(x，y)，代入|c－a－b|＝1 得 (x－1)2＋(y－1)2＝1，又|c|＝ x2＋y2， 故由几何性质得 12＋12－1≤|c|≤ 12＋12＋1， 即 2－1≤|c|≤ 2＋1.
第三节
平面向量的数量积与平 面向量应用举例
[主干知识梳理] 一、两个向量的夹角 1．定义 → → 已知两个非零向量 a 和 b，作OA＝a，OB＝b， 则∠AOB＝θ 叫做向量 a 与 b 的夹角．
2．范围
向量夹角θ的范围是
夹角θ＝ 3．向量垂直
2.0°≤θ≤180° ，a与b同向时， ．180°
[规律方法]
1．求两非零向量的夹角时要注意： (1)向量的数量积不满足结合律； (2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数 量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两
向量不能共线时两向量的夹角就是钝角．
2．当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求得a·b及|a|， |b|或得出它们的关系．
答案 A
(文)(2013· 湖南高考)已知 a，b 是单位向量，a· b＝0.若向量 c 满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为 ( A. 2－1 C. 2＋1 B. 2 D. 2＋2 )
[听课记录] 如图，建立平面直角坐标系， 令向量 a，b 的坐标 a＝(1，0)，b＝(0，1)， 令向量 c＝(x，y)，则有 （x－1）2＋（y－1）2＝1，|c|的最大值为 圆(x－1)2＋(y－1)2＝1 上的动点到原点的距离的最大值，即圆心 (1，1)到原点的距离加圆的半径，即 2＋1. 答案 C
→ → → D [因为PC＝AC－AP， → →2 → →2 →2 → → →2 所以|PA＋3PC| ＝|3AC－4AP| ＝9AC －24AP· AC＋16AP . → → →2 设|AP|＝x，则|PA＋3PC| ＝16× 9－48x＋16x2 ＝16(x2－3x＋9)．
两向量夹角的范围．
2．向量运算与数量运算的区别 (1)若a，b∈R，且a·b＝0，则有a＝0或b＝0，但a·b＝0却 不能得出a＝0或b＝0. (2)若a，b，c∈R，且a≠0，则由ab＝ac可得b＝c，但由a· b ＝a· c及a≠0却不能推出b＝c.
(3)若a，b，c∈R，则a(bc)＝(ab)c(结合律)成立，但对于向
5．已知|a|＝1，|b|＝6，a· (b－a)＝2，则向量 a 与 b 的夹角θ ＝ ________． 解析 ∵a· (b－a)＝a· b－a2＝2， ∴a· b＝2＋a2＝3. a· b 3 1 ∴cos θ＝ ＝ ＝ . |a|· |b| 1³6 2 π ∴向量 a 与 b 的夹角为 . 3 π 答案 3
→ → → → → B [由题意可知BQ＝AQ－AB＝(1－λ)AC－AB， → → → → → → → CP＝AP－AC＝λAB－AC，且AB·AC＝0， → → → → 故BQ·CP＝－(1－λ)AC2－λAB2＝－2. 2 → → 又|AB|＝1，|AC|＝2，代入上式解得 λ＝ .] 3
(2)(2013· 新课标全国Ⅱ高考)已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 → → CD 的中点，则AE²BD＝__________． → → → → → 解析 选向量的基底为AB，AD，则BD＝AD－AB， → → 1→ AE＝AD＋ AB， 2 → → → 1→ → → 那么AE·BD＝(AD＋ AB)· (AD－AB)＝2. 2 答案 2
(8a－b)· c＝30，则x＝ ( A．6 C．4 B．5 D．3 )
[听课记录]
8a－b＝8(1，1)－(2，5)＝(6，3)，
所以(8a－b)·c＝(6，3)·(3，x)＝30.
即18＋3x＝30，
解得x＝4. 答案 C
(2)(2012· 湖南高考)如图，在平行 四边形 ABCD 中，AP⊥BD，垂足 → → 为 P，且 AP＝3，则AP²AC＝________． → → → → → → → → [听课记录] 解法一：∵AC＝AP＋PC＝AP＋PD＋DC＝AP＋PD → → → → → → → → → ＋AB＝AP＋PD＋AP＋PB＝2AP＋PD＋PB，又由 AP⊥BD 得AP → → → ⊥PD且AP⊥PB，
0．
乘积．
三、向量数量积的性质 1．如果 e 是单位向量，则 a· e＝e· a.
b＝0 2．a⊥b⇔ a·
．
2 3．a· a＝ |a| ，|a|＝ a· a. a· b 4．cos θ ＝ ．(θ 为 a 与 b 的夹角) |a||b|
5．|a· b| ≤
|a||b|.
四、数量积的运算律
a ． 1．交换律：a· b＝ b· 2．分配律：(a＋b)· c＝ 3．对λ∈R，λ(a· b)＝ a· c＋b· c (λa)· b ＝ ． a· (λb) ．
[互动探究] 若本例(1)条件变为非零向量 a，b，c 满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c， 试求 a 与 b 的夹角． 解析 设|a|＝m(m>0)，a，b 的夹角为 θ， 由题设知(a＋b)2＝c2， 即 2m2＋2m2cos θ＝m2， 1 得 cos θ＝－ . 2 又 0°≤θ≤180°，所以 θ＝120°， 即 a，b 的夹角为 120°.
[规律方法]
平面向量数量积问题的类型及求法
(1)已知向量a，b的模及夹角θ，利用公式a·b＝|a||b|·cos θ求 解； (2)已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解．
[跟踪训练] 1．(1)(2012· 天津高考)在△ABC 中，∠A＝90°，AB＝1，AC＝2. → → → → 设点 P，Q 满足AP＝λAB，AQ＝(1－λ )AC，λ∈R.若 → → BQ²CP＝－2，则 λ＝ ( 1 A. 3 4 C. 3 2 B. 3 D．2 )
；a 0与 °b反向时，夹角θ＝
如果向量a与b的夹角是 90° ，则a与b垂直，记作 a⊥b ．
Байду номын сангаас
二、平面向量数量积 1．已知两个非零向量a与b，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量
积，记作a·b，即a·b＝ |a||b|cosθ ，其中θ是a与b的夹角．
规定0·a＝0. 当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝ 2．a·b的几何意义： 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影 |b|cosθ 的
[关键要点点拨]
1．对两向量夹角的理解 (1)两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向 量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动， 使其起点相同，再观察夹角． (2)两向量夹角的范围为[0，π]，特别当两向量共线且同向 时，其夹角为0，共线且反向时，其夹角为π.
(3)在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意
2．已知|a|＝4，|b|＝3，a 与 b 的夹角为 120°，则 b 在 a 方向上 的投影为 ( A．2 C．－2 3 B. 2 3 D．－ 2 )
3 D [|b|cos θ＝3cos 120°＝－ .] 2
3．(2012· 重庆高考)设 x∈R，向量 a＝(x，1)，b＝(1，－2)， 且 a⊥b，则|a＋b|＝ ( A. 5 C．2 5 B. 10 D．10 )
[规律方法] 利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的 处理方法： (1)|a|2＝a2＝a· a； (2)|a± b|2＝(a± b)2＝a2±2a· b＋b2； (3)若 a＝(x，y)则|a|＝ x2＋y2.
[跟踪训练] 3．已知 P 为锐角三角形 ABC 的 AB 边上一点，A＝60°，AC＝4， → → 则|PA＋3PC|的最小值为 ( A．4 3 C．6 B．4 7 D．6 3 )
D [由图可知
3 d＝4a＋3b＝4a＋4b ，故
D 正确；
对于 A，由图知若向量 c 与向量 d 垂直，则有 λ<0； 对于 B，若λ>0，则由图观察得向量 c 与向量 d 夹角小于 60°； 对于 C，若 λ<0，则向量 c 与向量 d 夹角大于 30°.]
平面向量的模
→ → → → ∴AP· PD＝0，且AP· PB＝0 → → → → → → 于是AP· AC＝AP· (2AP＋PD＋PB) → ＝2AP2 → ＝2|AP|2 ＝18.
→ → → → → 解法二：AP· AC＝AP· (AB＋AD) → → → → ＝AP· (AB＋AB＋BD) → → → → ＝2AP· AB＋AP· BD → → → → ＝2|AP|· |AB|· cos AP，AB → → → |AP| ＝2× |AP|· |AB|· → |AB| →2 ＝2× |AP| ＝2× 32 ＝18. 答案 18
∴a与c的夹角为90°.
答案 B
(2)(2013·大纲版全国高考)已知向量m＝(λ＋1，1)，
n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝
( A．－4 C．－2 B．－3 D．－1 )
[听课记录]
∵(m＋n)⊥(m－n)，
∴(m＋n)·(m－n)＝0.
∴|m|2－|n|2＝0， 即(λ＋1)2＋1－[(λ＋2)2＋4]＝0. ∴λ＝－3.故选B. 答案 B
量a，b，c，而(a·b)·c与a·(b·c)一般是不相等的，向量的 数量积是不满足结合律的． (4)若a，b∈R，则|a·b|＝|a|·|b|，但对于向量a，b，却有 |a· b|≤|a||b|，等号当且仅当a∥b时成立．
平面向量数量积的运算 [典题导入]
[听课记录] 由 a，b 为单位向量且 a· b＝0， 可设 a＝(1，0)，b＝(0，1)， 又设 c＝(x，y)，代入|c－a－b|＝1 得 (x－1)2＋(y－1)2＝1，又|c|＝ x2＋y2， 故由几何性质得 12＋12－1≤|c|≤ 12＋12＋1， 即 2－1≤|c|≤ 2＋1.
第三节
平面向量的数量积与平 面向量应用举例
[主干知识梳理] 一、两个向量的夹角 1．定义 → → 已知两个非零向量 a 和 b，作OA＝a，OB＝b， 则∠AOB＝θ 叫做向量 a 与 b 的夹角．
2．范围
向量夹角θ的范围是
夹角θ＝ 3．向量垂直
2.0°≤θ≤180° ，a与b同向时， ．180°
[规律方法]
1．求两非零向量的夹角时要注意： (1)向量的数量积不满足结合律； (2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数 量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两
向量不能共线时两向量的夹角就是钝角．
2．当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求得a·b及|a|， |b|或得出它们的关系．
答案 A
(文)(2013· 湖南高考)已知 a，b 是单位向量，a· b＝0.若向量 c 满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为 ( A. 2－1 C. 2＋1 B. 2 D. 2＋2 )
[听课记录] 如图，建立平面直角坐标系， 令向量 a，b 的坐标 a＝(1，0)，b＝(0，1)， 令向量 c＝(x，y)，则有 （x－1）2＋（y－1）2＝1，|c|的最大值为 圆(x－1)2＋(y－1)2＝1 上的动点到原点的距离的最大值，即圆心 (1，1)到原点的距离加圆的半径，即 2＋1. 答案 C
→ → → D [因为PC＝AC－AP， → →2 → →2 →2 → → →2 所以|PA＋3PC| ＝|3AC－4AP| ＝9AC －24AP· AC＋16AP . → → →2 设|AP|＝x，则|PA＋3PC| ＝16× 9－48x＋16x2 ＝16(x2－3x＋9)．
两向量夹角的范围．
2．向量运算与数量运算的区别 (1)若a，b∈R，且a·b＝0，则有a＝0或b＝0，但a·b＝0却 不能得出a＝0或b＝0. (2)若a，b，c∈R，且a≠0，则由ab＝ac可得b＝c，但由a· b ＝a· c及a≠0却不能推出b＝c.
(3)若a，b，c∈R，则a(bc)＝(ab)c(结合律)成立，但对于向
5．已知|a|＝1，|b|＝6，a· (b－a)＝2，则向量 a 与 b 的夹角θ ＝ ________． 解析 ∵a· (b－a)＝a· b－a2＝2， ∴a· b＝2＋a2＝3. a· b 3 1 ∴cos θ＝ ＝ ＝ . |a|· |b| 1³6 2 π ∴向量 a 与 b 的夹角为 . 3 π 答案 3
→ → → → → B [由题意可知BQ＝AQ－AB＝(1－λ)AC－AB， → → → → → → → CP＝AP－AC＝λAB－AC，且AB·AC＝0， → → → → 故BQ·CP＝－(1－λ)AC2－λAB2＝－2. 2 → → 又|AB|＝1，|AC|＝2，代入上式解得 λ＝ .] 3
(2)(2013· 新课标全国Ⅱ高考)已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 → → CD 的中点，则AE²BD＝__________． → → → → → 解析 选向量的基底为AB，AD，则BD＝AD－AB， → → 1→ AE＝AD＋ AB， 2 → → → 1→ → → 那么AE·BD＝(AD＋ AB)· (AD－AB)＝2. 2 答案 2
(8a－b)· c＝30，则x＝ ( A．6 C．4 B．5 D．3 )
[听课记录]
8a－b＝8(1，1)－(2，5)＝(6，3)，
所以(8a－b)·c＝(6，3)·(3，x)＝30.
即18＋3x＝30，
解得x＝4. 答案 C
(2)(2012· 湖南高考)如图，在平行 四边形 ABCD 中，AP⊥BD，垂足 → → 为 P，且 AP＝3，则AP²AC＝________． → → → → → → → → [听课记录] 解法一：∵AC＝AP＋PC＝AP＋PD＋DC＝AP＋PD → → → → → → → → → ＋AB＝AP＋PD＋AP＋PB＝2AP＋PD＋PB，又由 AP⊥BD 得AP → → → ⊥PD且AP⊥PB，
0．
乘积．
三、向量数量积的性质 1．如果 e 是单位向量，则 a· e＝e· a.
b＝0 2．a⊥b⇔ a·
．
2 3．a· a＝ |a| ，|a|＝ a· a. a· b 4．cos θ ＝ ．(θ 为 a 与 b 的夹角) |a||b|
5．|a· b| ≤
|a||b|.
四、数量积的运算律
a ． 1．交换律：a· b＝ b· 2．分配律：(a＋b)· c＝ 3．对λ∈R，λ(a· b)＝ a· c＋b· c (λa)· b ＝ ． a· (λb) ．
[互动探究] 若本例(1)条件变为非零向量 a，b，c 满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c， 试求 a 与 b 的夹角． 解析 设|a|＝m(m>0)，a，b 的夹角为 θ， 由题设知(a＋b)2＝c2， 即 2m2＋2m2cos θ＝m2， 1 得 cos θ＝－ . 2 又 0°≤θ≤180°，所以 θ＝120°， 即 a，b 的夹角为 120°.
[规律方法]
平面向量数量积问题的类型及求法
(1)已知向量a，b的模及夹角θ，利用公式a·b＝|a||b|·cos θ求 解； (2)已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解．
[跟踪训练] 1．(1)(2012· 天津高考)在△ABC 中，∠A＝90°，AB＝1，AC＝2. → → → → 设点 P，Q 满足AP＝λAB，AQ＝(1－λ )AC，λ∈R.若 → → BQ²CP＝－2，则 λ＝ ( 1 A. 3 4 C. 3 2 B. 3 D．2 )
；a 0与 °b反向时，夹角θ＝
如果向量a与b的夹角是 90° ，则a与b垂直，记作 a⊥b ．
Байду номын сангаас
二、平面向量数量积 1．已知两个非零向量a与b，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量
积，记作a·b，即a·b＝ |a||b|cosθ ，其中θ是a与b的夹角．
规定0·a＝0. 当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝ 2．a·b的几何意义： 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影 |b|cosθ 的
[关键要点点拨]
1．对两向量夹角的理解 (1)两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向 量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动， 使其起点相同，再观察夹角． (2)两向量夹角的范围为[0，π]，特别当两向量共线且同向 时，其夹角为0，共线且反向时，其夹角为π.
(3)在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意
2．已知|a|＝4，|b|＝3，a 与 b 的夹角为 120°，则 b 在 a 方向上 的投影为 ( A．2 C．－2 3 B. 2 3 D．－ 2 )
3 D [|b|cos θ＝3cos 120°＝－ .] 2
3．(2012· 重庆高考)设 x∈R，向量 a＝(x，1)，b＝(1，－2)， 且 a⊥b，则|a＋b|＝ ( A. 5 C．2 5 B. 10 D．10 )
[规律方法] 利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的 处理方法： (1)|a|2＝a2＝a· a； (2)|a± b|2＝(a± b)2＝a2±2a· b＋b2； (3)若 a＝(x，y)则|a|＝ x2＋y2.
[跟踪训练] 3．已知 P 为锐角三角形 ABC 的 AB 边上一点，A＝60°，AC＝4， → → 则|PA＋3PC|的最小值为 ( A．4 3 C．6 B．4 7 D．6 3 )
D [由图可知
3 d＝4a＋3b＝4a＋4b ，故
D 正确；
对于 A，由图知若向量 c 与向量 d 垂直，则有 λ<0； 对于 B，若λ>0，则由图观察得向量 c 与向量 d 夹角小于 60°； 对于 C，若 λ<0，则向量 c 与向量 d 夹角大于 30°.]
平面向量的模
→ → → → ∴AP· PD＝0，且AP· PB＝0 → → → → → → 于是AP· AC＝AP· (2AP＋PD＋PB) → ＝2AP2 → ＝2|AP|2 ＝18.
→ → → → → 解法二：AP· AC＝AP· (AB＋AD) → → → → ＝AP· (AB＋AB＋BD) → → → → ＝2AP· AB＋AP· BD → → → → ＝2|AP|· |AB|· cos AP，AB → → → |AP| ＝2× |AP|· |AB|· → |AB| →2 ＝2× |AP| ＝2× 32 ＝18. 答案 18
∴a与c的夹角为90°.
答案 B
(2)(2013·大纲版全国高考)已知向量m＝(λ＋1，1)，
n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝
( A．－4 C．－2 B．－3 D．－1 )
[听课记录]
∵(m＋n)⊥(m－n)，
∴(m＋n)·(m－n)＝0.
∴|m|2－|n|2＝0， 即(λ＋1)2＋1－[(λ＋2)2＋4]＝0. ∴λ＝－3.故选B. 答案 B
量a，b，c，而(a·b)·c与a·(b·c)一般是不相等的，向量的 数量积是不满足结合律的． (4)若a，b∈R，则|a·b|＝|a|·|b|，但对于向量a，b，却有 |a· b|≤|a||b|，等号当且仅当a∥b时成立．
平面向量数量积的运算 [典题导入]
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金榜e讲堂高三人教版数学理一轮复习直线的倾斜角与斜率直线的方程优质课赛课一等奖市公开课获奖课件
第27页
[跟踪训练] 3．(2014·江苏扬州一模)如图，射线 OA，OB 分别与 x 轴正半轴成
45°和 30°角，过点 P(1，0)作直线 AB 分别交 OA，OB 于 A， B 两点，当 AB 的中点 C 恰好落在直线 y＝12x 上时，求直线 AB 的方程．
第28页
解析 由题意可得 kOA＝tan 45°＝1，
都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率． 2．由斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角范围；二是要考虑
正切函数单调性． 3．用截距式写方程时，应先判断截距是否为0，若不确定，
则需要分类讨论．
第13页
直线倾斜角与斜率
[典题导入]
(1)(2014·岳阳模拟)经过两点 A(4，2y＋1)，B(2，－3)的直
线的倾斜角为34π，则 y＝
kOB＝tan(180°－30°)＝－ 33，
所以直线
lOA：y＝x，lOB：y＝－
3 3 x.
设 A(m，m)，B(－ 3n，n)，
所以 AB 的中点 Cm－2 3n，m＋2 n，
第29页
由点 C 在直线 y＝12x 上，且 A，P，B 三点共线得
mmm＋－ －2 n01＝＝12－·mn－－3n20－3n1，，解得 m＝ 3，所以 A( 3， 3)． 又 P(1，0)，所以 kAB＝kAP＝ 3－3 1＝3＋2 3， 所以 lAB：y＝3＋2 3(x－1)， 即直线 AB 的方程为(3＋ 3)x－2y－3－ 3＝0.
第44页
[体验高考] (·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中， 点A(0，3)，直线l：y＝2x－4.设圆C半径为1， 圆心在l上． (1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C 切线，求切线方程； (2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C 横坐标a取值范围．
[跟踪训练] 3．(2014·江苏扬州一模)如图，射线 OA，OB 分别与 x 轴正半轴成
45°和 30°角，过点 P(1，0)作直线 AB 分别交 OA，OB 于 A， B 两点，当 AB 的中点 C 恰好落在直线 y＝12x 上时，求直线 AB 的方程．
第28页
解析 由题意可得 kOA＝tan 45°＝1，
都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率． 2．由斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角范围；二是要考虑
正切函数单调性． 3．用截距式写方程时，应先判断截距是否为0，若不确定，
则需要分类讨论．
第13页
直线倾斜角与斜率
[典题导入]
(1)(2014·岳阳模拟)经过两点 A(4，2y＋1)，B(2，－3)的直
线的倾斜角为34π，则 y＝
kOB＝tan(180°－30°)＝－ 33，
所以直线
lOA：y＝x，lOB：y＝－
3 3 x.
设 A(m，m)，B(－ 3n，n)，
所以 AB 的中点 Cm－2 3n，m＋2 n，
第29页
由点 C 在直线 y＝12x 上，且 A，P，B 三点共线得
mmm＋－ －2 n01＝＝12－·mn－－3n20－3n1，，解得 m＝ 3，所以 A( 3， 3)． 又 P(1，0)，所以 kAB＝kAP＝ 3－3 1＝3＋2 3， 所以 lAB：y＝3＋2 3(x－1)， 即直线 AB 的方程为(3＋ 3)x－2y－3－ 3＝0.
第44页
[体验高考] (·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中， 点A(0，3)，直线l：y＝2x－4.设圆C半径为1， 圆心在l上． (1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C 切线，求切线方程； (2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C 横坐标a取值范围．
2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：第6章-第2节-一元二次不等式及其解法
Δ＞0，
即 Δ＝4a2－4(2－a)≤0 或a＜－1， g（－1）≥0.
解得－3 ≤a≤1. 所求 a 的取值范围是[－3，1]．
第24页，共42页。
[互动探究] 本题中的“x∈[－1，＋∞)改为“x∈[－1，1)”，求 a 的取值范围．
解析 令 g(x)＝x2－2ax＋2－a，
由已知，得 x2－2ax＋2－a≥0 在[－1，1)上恒成立，
第38页，共42页。
[体验高考]
1．(2013·江西高考)下列选项中，使不等式 x＜1x＜x2 成立的 x 的取
值范围是
A．(－∞，－1)
B．(－1，0)
()
C．(0，1)
D．(1，＋∞)
A [原不等式等价于xx＞2＜01，＜x3，①或xx＜ 2＞01，＞x3， ② ①无解，解②得 x＜－1.故选 A.]
【思路导析】 利用新定义化简出f(x)，并作出图象分析．
第34页，共42页。
【解析】 根据新定义写出 f(x)的解析式，数形结合求出 m 的取 值，再根据函数的图象和方程的根等条件求解． 由定义可知， f(x)＝－（（2x－x－11））x，x，x≤x＞00，. 作出函数 f(x)的图象， 如图所示．
第17页，共42页。
2．解含参数的一元二次不等式可先考虑因式分解，再对根的 大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行 分类讨论，分类要不重不漏．
第18页，共42页。
1．解下列不等式：
[跟踪训练]
(1)－3x2－2x＋8≥0； (2)ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)． 解析 (1)原不等式可化为 3x2＋2x－8≤0， 即(3x－4)(x＋2)≤0.
第26页，共42页。
[跟踪训练] 2．若关于x的不等式x2－ax－a>0的解集为(－∞，＋∞)，则实
即 Δ＝4a2－4(2－a)≤0 或a＜－1， g（－1）≥0.
解得－3 ≤a≤1. 所求 a 的取值范围是[－3，1]．
第24页，共42页。
[互动探究] 本题中的“x∈[－1，＋∞)改为“x∈[－1，1)”，求 a 的取值范围．
解析 令 g(x)＝x2－2ax＋2－a，
由已知，得 x2－2ax＋2－a≥0 在[－1，1)上恒成立，
第38页，共42页。
[体验高考]
1．(2013·江西高考)下列选项中，使不等式 x＜1x＜x2 成立的 x 的取
值范围是
A．(－∞，－1)
B．(－1，0)
()
C．(0，1)
D．(1，＋∞)
A [原不等式等价于xx＞2＜01，＜x3，①或xx＜ 2＞01，＞x3， ② ①无解，解②得 x＜－1.故选 A.]
【思路导析】 利用新定义化简出f(x)，并作出图象分析．
第34页，共42页。
【解析】 根据新定义写出 f(x)的解析式，数形结合求出 m 的取 值，再根据函数的图象和方程的根等条件求解． 由定义可知， f(x)＝－（（2x－x－11））x，x，x≤x＞00，. 作出函数 f(x)的图象， 如图所示．
第17页，共42页。
2．解含参数的一元二次不等式可先考虑因式分解，再对根的 大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行 分类讨论，分类要不重不漏．
第18页，共42页。
1．解下列不等式：
[跟踪训练]
(1)－3x2－2x＋8≥0； (2)ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)． 解析 (1)原不等式可化为 3x2＋2x－8≤0， 即(3x－4)(x＋2)≤0.
第26页，共42页。
[跟踪训练] 2．若关于x的不等式x2－ax－a>0的解集为(－∞，＋∞)，则实
2015《金榜e讲堂》高三人教版数学理一轮复习课件：第7章第1节空间几何体的结构特征及三视图和直观图
解析 该几何体的左视图的面积等于 3×2＝2 3. 答案 2 3
几何体的直观图 [典题导入]
已知△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形，求 原△ABC的面积． [听课记录] 建立如图所示的坐标系xOy′， △A′B′C′的顶点C′在y′轴上，A′B′ 边在x轴上， 把y′轴绕原点逆时针旋转45°得y轴， 则点C′变为点C，且OC＝2OC′，A，B点 即为A′，B′点，长度不变．
2＋ 2 C. 2
D．1＋ 2
A [恢复后的原图形为一直角梯形
S＝12(1＋ 2＋1)×2＝2＋ 2.]
【创新探究】 三视图识图不准致误 (2012·高考湖南卷)某几何体的
正视图和侧视图均如图所示，则该几何 体的俯视图不可能是
()
【思路导析】 根据几何体三视图之间的关系用排除法求解．
【解析】 由“正视图与俯视图等长，侧视图与俯视图等 宽”，知该几何体正视图与侧视图相同，而D项中正视图与 侧视图不同，可知选D. 【答案】 D
2．对三视图的认识及三视图画法 (1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平 面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧 面表示的图形． (2)在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线 和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线． (3)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的 正前方、正左方、正上方观察几何体用平行投影画出的 轮廓线．
课时作业
由图可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝21OC＝ 43a，
在图中作
C′D′⊥A′B′于
D′，则
C′D′＝
22O′C′＝
6 8 a.
∴S△A′B′C′＝21A′B′·C′D′＝12×a× 86a＝ 166a2.
2015《金榜e讲堂》高三人教版数学理一轮复习课件：第2章第4节函数的奇偶性及周期性学习资料
(2)设偶函数 f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且 f(2)＝0，则不等式
f（x）＋f（－x）
x
>0
的解集为
()
A．(－2，0)∪(2，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(0，2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D．(－2，0)∪(0，2)
[听课记录] ∵f(x)为偶函数， ∴f（x）＋xf（－x）＝2f（xx）>0. ∴xf(x)>0. ∴xf（>0x，）>0或xf（<0x，）<0. 又 f(－2)＝f(2)＝0，f(x)在(0，＋∞)上为减函数， 故 x∈(0，2)或 x∈(－∞，－2)． 答案 B
()
A．奇函数
B．偶函数
C．增函数
D．周期函数
D [当x∈[0，1)时，画出函数图象(图略)，再左右扩展知
f(x)为周期函数．故选D.]
2．(2013·湖南卷)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)
＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于
()
A．4
B．3
C．2
D．1
B [∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
答案 0
(2)(2014·晥南八校联考)已知定义在R上的奇函数满足f(x)＝x2 ＋ 2x(x≥0) ， 若 f(3 － a2)>f(2a) ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 ________． 解析 因为f(x)＝x2＋2x在[0，＋∞)上是增函数， 又因为f(x)是R上的奇函数， 所以函数f(x)是R上的增函数， 要使f(3－a2)>f(2a)，只需3－a2>2a，解得－3<a<1. 答案 (－3，1)
[规律方法] 函数奇偶性的应用 (1)已知函数的奇偶性求函数的解析式． 利用奇偶性构造关于f(x)的方程，从而可得f(x)的解析式． (2)已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数． 常常采用待定系数法：利用f(x)±f(－x)＝0产生关于字母的恒 等式，由系数的对等性可得知字母的值． (3)奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区 间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调 性相反．
2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：第5章-第4节-数列求和
1．设数列{(－1)n}的前 n 项和为 Sn，则对任意正整数 n，Sn＝
()
n[（－1）n－1]
A.
2
（－1）n－1＋1
B.
2
（－1）n＋1
C.
2
（－1）n－1
D.
2
D [因为数列{(－1)n}是首项与公比均为－1 的等比数列，所
以 Sn＝－1－（1－－（1）－n×1）（－1）＝（－12）n－1.]
第33页，共55页。
(2)证明：由(1)得bann＝n13n， ∴Tn＝ba11＋ba22＋…＋bann＝131＋2×132＋…＋(n－1)×13n－1＋n ×13n， ① ∴13Tn＝132＋2×133＋…＋(n－1)×13n＋n×13n＋1， ② 由①－②得
第34页，共55页。
23Tn＝131＋132＋133＋…＋13n－n×13n＋1＝31·1－1－31 31n－n× 1n＋1 3 ＝121－31n－n×13n＋1，
第3页，共55页。
二、非等差、等比数列求和的常用方法 1．倒序相加法
如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等 或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序 相加法，等差数列的前n项和即是用此法推导的． 2．分组转化求和法 若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列 或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别 求和而后相加减．
[听课记录] (1)对于数列{an}有 Sn＝32(an－1)， ① Sn－1＝23(an－1－1)(n≥2)， ② 由①－②得 an＝32(an－an－1)，即 an＝3an－1， n＝1 时，S1＝32(a1－1)得 a1＝3， 则 an＝a1·qn－1＝3·3n－1＝3n. 对于数列{bn}有 bn＋1＝41bn， 可得 bn＝4×14n－1＝42－n.
2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：选修4-4-第1节-坐标系
答案 2
第15页，共48页。
[关键要点点拨]
1 ． 平 面 直 角 坐 标 系 中 任 意 一 点 P(x ， y) 在 伸 缩 变 换
x′＝λ·x，λ>0 y′＝u·y，u>0
的作用下对应到点 P′(x′，y′)．
2．极坐标系中，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点，
特别地，极点 O 的坐标为(0，θ)(θ∈R)．
第36页，共48页。
[跟踪训练] 3．(2014·海口市调研)已知圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为
ρ＝2，ρ2－2 2ρcosθ－4π＝2. (1)把圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．
第37页，共48页。
解析 (1)ρ＝2⇒ρ2＝4， 所以 x2＋y2＝4. 因为 ρ2－2 2ρcosθ－π4＝2， 所以 ρ2－2 2ρcosθcosπ4＋sinθsinπ4＝2. 所以 x2＋y2－2x－2y－2＝0.
第13页，共48页。
解得xy＝＝－1，1， 故交点(－1,1)的极坐标为 2，34π.
答案
2，34π
第14页，共48页。
5．在极坐标系中，圆 ρ＝4cos θ 的圆心 C 到直线 ρsinθ＋π4＝2 2 的距离为________． 解析 注意到圆 ρ＝4cos θ 的直角坐标方程是 x2＋y2＝4x，圆 心 C 的坐标是(2,0)．直线 ρsinθ＋π4＝2 2的直角坐标方程是 x ＋y－4＝0，因此圆心(2,0)到该直线的距离等于|2＋02－4|＝ 2.
第19页，共48页。
∴y＝2μsin4λx＋π4.
与 y＝sin2x＋π4对比知，2μ4＝ λ＝12. ， ∴μ＝2，λ＝21. 所以所求伸缩变换为x′＝12x，
第15页，共48页。
[关键要点点拨]
1 ． 平 面 直 角 坐 标 系 中 任 意 一 点 P(x ， y) 在 伸 缩 变 换
x′＝λ·x，λ>0 y′＝u·y，u>0
的作用下对应到点 P′(x′，y′)．
2．极坐标系中，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点，
特别地，极点 O 的坐标为(0，θ)(θ∈R)．
第36页，共48页。
[跟踪训练] 3．(2014·海口市调研)已知圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为
ρ＝2，ρ2－2 2ρcosθ－4π＝2. (1)把圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．
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解析 (1)ρ＝2⇒ρ2＝4， 所以 x2＋y2＝4. 因为 ρ2－2 2ρcosθ－π4＝2， 所以 ρ2－2 2ρcosθcosπ4＋sinθsinπ4＝2. 所以 x2＋y2－2x－2y－2＝0.
第13页，共48页。
解得xy＝＝－1，1， 故交点(－1,1)的极坐标为 2，34π.
答案
2，34π
第14页，共48页。
5．在极坐标系中，圆 ρ＝4cos θ 的圆心 C 到直线 ρsinθ＋π4＝2 2 的距离为________． 解析 注意到圆 ρ＝4cos θ 的直角坐标方程是 x2＋y2＝4x，圆 心 C 的坐标是(2,0)．直线 ρsinθ＋π4＝2 2的直角坐标方程是 x ＋y－4＝0，因此圆心(2,0)到该直线的距离等于|2＋02－4|＝ 2.
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∴y＝2μsin4λx＋π4.
与 y＝sin2x＋π4对比知，2μ4＝ λ＝12. ， ∴μ＝2，λ＝21. 所以所求伸缩变换为x′＝12x，
2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：第2章 第12节 导数的应用(一)
17 得 x＝1.比较 f(0)＝－4，f(1)＝－ 3 ， 10 f(2)＝－ 3 . 17 可知最小值为－ 3 . 答案 17 － 3
5．已知a>0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函数， 则a的最大值是________．
解析 f′(x)＝3x2－a在x∈[1，＋∞)上f′(x)≥0，
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0， 即f(x)在(1，＋∞)上单调递增． 从而函数f(x)在x＝－2处取得极大值f(－2)＝21， 在x＝1处取得极小值f(1)＝－6.
运用导数解决函数的最值问题 [典题导入] 已知函数f(x)＝(x－k)ex.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在区间[0，1]上的最小值．
点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧 f′(x)＜0 ，右侧 f′(x)＞0 ，则点a叫做函数y＝f(x) 的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
2．函数的极大值：
函数y ＝f(x)在点 x ＝b的函数值f(b) 比它在点x ＝b附近的其
他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧 f′(x)＞0 ，右侧 f′(x)＜0 ，则点b叫做函数y＝
[规律方法]
求可导函数单调区间的一般步骤和方法 (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它在定义域内的一切实数根； (3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实 数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数 f(x)的定 义区间分成若干个小区间；
(2)若函数f(x)在R上单调递减，
则f′(x)≤0对x∈R都成立，
即[－x2＋(a－2)x＋a]ex≤0对x∈R都成立． ∵ex＞0，∴x2－(a－2)x－a≥0对x∈R都成立． ∴Δ＝(a－2)2＋4a≤0， 即a2＋4≤0，这是不可能的．
2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：第7章-第5节-直线、平面垂直的判定与性质
∠PDA＝45°⇒PA＝AD＝BC， 又 M 是 AB 的中点，
第23页，共57页。
第24页，共57页。
第25页，共57页。
证法二：如图，取 PD 的中点 F，连接 AF，NF. ∵F，N 分别为 PD，PC 的中点， ∴FN 綊21CD. 又∵CD 綊 AB， ∴FN 綊21AB，即 FN 綊 AM，
第32页，共57页。
[规律方法] 证明直线和平面垂直的常用方法有： (1)利用判定定理．
(2)利用判定定理的推论(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)．
(3)利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)．
第33页，共57页。
(4)利用面面垂直的性质． 当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于 另一个平面
D．A1C1
D [易知 A1C1⊥平面 BB1D1D.
又 B1O⊂平面 BB1D1D，∴A1C1⊥B1O.]
第9页，共57页。
3．(2014·陕西检测)若设平面α、平面β相交于直线m，直线a
在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是
“a⊥b”的
()
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
第12页，共57页。
5．(教材习题改编)如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是 正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB.则下列命题正确的有 ________． ①PA⊥AD； ②平面ABC⊥平面PBC； ③直线BC∥平面PAE；④直线PD与 平面ABC所成角为30°.
第13页，共57页。
解析 由 PA⊥平面 ABC， ∴PA⊥AD， 故①正确； ②中两平面不垂直； ③中 AD 与平面 PAE 相交，BC∥AD，故不正确； ④中 PD 与平面 ABC 所成角为 45°. 答案 ①
第23页，共57页。
第24页，共57页。
第25页，共57页。
证法二：如图，取 PD 的中点 F，连接 AF，NF. ∵F，N 分别为 PD，PC 的中点， ∴FN 綊21CD. 又∵CD 綊 AB， ∴FN 綊21AB，即 FN 綊 AM，
第32页，共57页。
[规律方法] 证明直线和平面垂直的常用方法有： (1)利用判定定理．
(2)利用判定定理的推论(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)．
(3)利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)．
第33页，共57页。
(4)利用面面垂直的性质． 当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于 另一个平面
D．A1C1
D [易知 A1C1⊥平面 BB1D1D.
又 B1O⊂平面 BB1D1D，∴A1C1⊥B1O.]
第9页，共57页。
3．(2014·陕西检测)若设平面α、平面β相交于直线m，直线a
在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是
“a⊥b”的
()
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
第12页，共57页。
5．(教材习题改编)如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是 正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB.则下列命题正确的有 ________． ①PA⊥AD； ②平面ABC⊥平面PBC； ③直线BC∥平面PAE；④直线PD与 平面ABC所成角为30°.
第13页，共57页。
解析 由 PA⊥平面 ABC， ∴PA⊥AD， 故①正确； ②中两平面不垂直； ③中 AD 与平面 PAE 相交，BC∥AD，故不正确； ④中 PD 与平面 ABC 所成角为 45°. 答案 ①
2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：第2章第11节变化率与导数、导数的计算-文档资料
【高手支招】 求曲线的切线方程时要注意过某点的切线问 题中此点不一定是切点，此点也可能不在曲线上，所以要先 判断再去解决，切忌盲目地认为给出点就是切点．
[体验高考] (2012·安徽高考)设定义在(0，＋∞)上的函数 f(x)＝ax＋a1x＋ b(a＞0)． (1)求 f(x)的最小值； (2)若曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 y＝32x， 求 a，b 的值．
【错因】 上述解法中易认为P(－2，2)是曲线切线的切点， 从而导致解答中缺少一种解的可能性． 【解析】 ①当P(－2，－2)为切点时， 切线方程为y＝9x＋16； ②当P(－2，－2)不是切点时， 设切点为(a，b)，则b＝a3－3a，由于y′＝3x2－3， 所以切线的斜率k＝3a2－3，
故切线方程为 y－b＝(3a2－3)(x－a)， 又切线过点(－2，－2)， 所以－2－b＝(3a2－3)·(－2－a), 解得ab＝ ＝1－，2或ab＝ ＝－ －22， ，(舍去)，所以切线方程为 y＝－2. 综上，所求的切线方程为 y＝9x＋16 或 y＝－2. 【答案】 y＝9x＋16 或 y＝－2
导函数 f′(x)＝ 0 f′(x)＝ nxn－1 f′(x)＝ cos x f′(x)＝ －sin x f′(x)＝ axln a
f(x)＝ex f(x)＝logax f(x)＝ln x
f′(x)＝ ex
f′(x)＝
1 xln a
f′(x)＝
1 x
三、导数的运算法则
1．[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x) ；
5．(2014·湖北黄冈一模)已知函数f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3) (x－4)(x－5)，则f′(0)＝__________． 解析 f′(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)＋x[(x－1) (x－2)(x－3)(x－4)(x－5)]′， ∴f′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5)＝－120. 答案 －120
2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：第8章-第5节-椭圆
5－m＞0， C [由方程表示椭圆知m＋3＞0，
5－m≠m＋3，
解得－3＜m＜5 且 m≠1.]
第8页，共62页。
3．(2012·淮南五校联考)椭圆x92＋4＋y2 k＝1 的离心率为45，则 k 的值
为
A．－21
B．21
()
C．－1295或 21
D.1295或 21
第9页，共62页。
C [若 a2＝9，b2＝4＋k，则 c＝ 5－k， 由ac＝45，即 53－k＝54，得 k＝－1295； 若 a2＝4＋k，b2＝9，则 c＝ k－5， 由ac＝45，即 4k－＋5k＝54，解得 k＝21.]
第26页，共62页。
[跟踪训练]
2．(1)(2014·合肥一中最后冲刺)已知点 F1，F2 是椭圆 x2＋2y2＝2 的
两个焦点，点 P 是该椭圆上的一个动点，那么|P→F1＋P→F2|的最小 值是( )
A．0
B．1
C．2
D．2 2
C [由椭圆 x2＋2y2＝2，可得x22＋y2＝1，则 c＝1.
第33页，共62页。
因为 A(－ 3，0)，B( 3，0)， 所以A→C·D→B＋A→D·C→B＝(x1＋ 3，y1)·( 3－x2，－y2)＋(x2＋ 3， y2)·( 3－x1，－y1) ＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1) ＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2＝6＋22k＋2＋31k22. 由已知得 6＋22k＋2＋3k122＝8，解得 k＝± 2.
(ⅰ)求O→A·O→B的最值； (ⅱ)求证：四边形 ABCD 的面积为定值． 解析 (1)由题意 e＝ac＝ 22，a42＋b22＝1.又 a2＝b2＋c2，解得 a2＝8， b2＝4，椭圆的标准方程为x82＋y42＝1.