三次样条插值函数在调洪演算中的应用

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详细讲解三次样条插值法及其实现方法61页PPT

36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只在愚人的字典中找得到。--拿破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突破，不要嫉妒要欣赏，不要托延要积极，不要心动要行动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要素。(注意：传统观念认为勤奋和机会是成功的要素，但是经过统计学和成功人士的分析得出，乐观是成功的第三要素。
39、没有不老的誓言，没有不变的承诺，踏上旅途，义无反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识的人，决不会坚韧勤勉。
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德谟克利特 67、今天应做的事没有做，明天再早也是耽误了。——裴斯泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运的，只是一瞬之间。 ——歌德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭

三次NURBS曲线的插值与应用_陈绍平

a自从1975年美国锡拉丘兹syracuse大学的弗斯普尔versprille在他的博士论文中首先提出有理b样条方法以来经过皮格尔piegl和蒂勒tiller等人的工作该理论得到了很大的发展目前非均匀有理b样条nonuniformrationalbspline简称nurbs方法已成为曲线曲面设计系统中最重要的几何造型方法之一
第 20 卷第 5 期 2001 年 9 月
机械科学与技术 M ECHA N ICA L SCIEN CE A ND T ECHNO L OG Y
文章编号: 1003-8728( 2001) 05-0692-02
SVeop lt.e2m0b erNo2.0501
陈绍平
三次 NU RBS 曲线的插值与应用
陈绍平
( 武汉理工大学, 武汉 430063)
摘要: N U RBS 方法已经被广泛地使用在 CA D 中。本文将通过三次 N U RBS 曲线的矩阵表示给出三次 N U R BS 曲线插值方法, 即反求三次 NU RBS 曲线控制顶点的算法, 并给出数字算例和三次 N U RBS 曲线插值方法在船舶型线设计中的一个应用。
2
,
2
n32 = - ( 3n11 + n33) , n34 = 0
n41 = -
n11, n43 = -
(
1 3
n33
+
n44 +
( ¨i+ 3 ) 2 ¨i2+ 3 ¨3i+ 2
)
,
n42 =
n11 -
n43 -
n44, n44 =
( ¨i+ 3) 2 ¨i3+ 3 ¨2i+ 3

三次样条插值ppt

f [x, x0, xn1] f [x0, x1, xn ] f [x, x0, x1, xn ](x xn )
把以上各式由后向前代入,可得
Nn (x) f (x0) f [x0, x1](x x0) f [x0, x1, xn](x x0) (x xn1)
Rn (x) f (x) Nn (x) f [x, x0, x1, xn ](x x0) (x xn)
yi
n1 ( x) ( x xi )n' 1 ( xi )
（2）插值误差估计
定理2 设 f (n) (x) 在[a,b] 上连续，f (n1) (x)在 (a,b) 内存在, 节点 a x0 x1 xn b，Pn (x) 是拉格朗日插值多项式，则对任意 x [a,b] , 插值余项
x4 f ( x4 ) f [x3, x4 ] f [x2 , x3 , x4 ] f [x1, x2, x3, x4 ] f [x0, x1, x2, x3, x4 ]
(2) Newton插值公式
由差约定义 x [a,b]
f (x) f (x0 ) f [x, x0 ](x x0 )
f [x, x0 ] f [x0, x1] f [x, x0, x1](x x1)
xn1] f [x1, x2 , x0 xn
xn ] n 阶差商
差商表
xk
f
(xk )
一阶差商
二阶差商
三阶差商四阶差商
x0 f (x0 )
x1 f (x1) f [x0, x1]
x2 f (x2 ) f [x1, x2 ] f [x0 , x1, x2 ]
x3 f (x3 ) f [x2, x3] f [x1, x2 , x3 ] f [x0, x1, x2, x3]

三次样条插值方法的应用

CENTRAL SOUTH UNIVERSITY数值分析实验报告三次样条插值方法的应用一、问题背景分段低次插值函数往往具有很好的收敛性，计算过程简单，稳定性好，并且易于在在电子计算机上实现，但其光滑性较差，对于像高速飞机的机翼形线船体放样等型值线往往要求具有二阶光滑度，即有二阶连续导数，早期工程师制图时，把富有弹性的细长木条（即所谓的样条）用压铁固定在样点上，在其他地方让他自由弯曲，然后沿木条画下曲线，称为样条曲线。

样条曲线实际上是由分段三次曲线并接而成，在连接点即样点上要求二阶导数连续，从数学上加以概括就得到数学样条这一概念。

下面我们讨论最常用的三次样条函数及其应用。

二、数学模型样条函数可以给出光滑的插值曲线（面），因此在数值逼近、常微分方程和偏微分方程的数值解及科学和工程的计算中起着重要的作用。

设区间[]b ,a 上给定有关划分b x x n =<<<=Λ10x a ，S 为[]b ,a 上满足下面条件的函数。

● )(b a C S ,2∈；● S 在每个子区间[]1,+i i x x 上是三次多项式。

则称S 为关于划分的三次样条函数。

常用的三次样条函数的边界条件有三种类型：● Ⅰ型 ()()n n n f x S f x S ''0'',==。

● Ⅱ型 ()()n n n f x S f x S ''''0'''',==，其特殊情况为()()0''''==n n x S x S 。

● Ⅲ型 ()()Λ3,2,1,0,0==j x S x S n j j ，此条件称为周期样条函数。

鉴于Ⅱ型三次样条插值函数在实际应用中的重要地位，在此主要对它进行详细介绍。

三、算法及流程按照传统的编程方法，可将公式直接转换为MATLAB可是别的语言即可；另一种是运用矩阵运算，发挥MATLAB在矩阵运算上的优势。

样条函数及三次样条插值PPT课件

(x)
lim
x xk
Sk 1( x)
lim
x
x
k
Sk (x)
lim
x
x
k
Sk1( x)
k 1,2,,n 1
------(4)
lim
x
x
k
Sk( x)
lim
x
x
k
Sk1( x)
共4n 2个条件
5
Sk (x)是[xk , xk 1 ]上的三次样条插值多项式,应有4个待定的系数即要确定S(x)必须确定4n个待定的系数少两个条件并且我们不能只对插值函数在中间节点的状态进行限制也要对插值多项式在两端点的状态加以要求也就是所谓的边界条件:
例. 使用不同的插值方法于函数
y
1
1 x2
x [5,5]
最后，介绍一个有用的结论
定理 . 设f (x) C 2[a,b], S(x)是以xk (k 0,1,, n)
为节点, 满足任意边界条件的三次样条插值函数，
设hi
xi 1
xi
,
h
max
0in1
hi
,
min
0in1
hi
,
则当 h
c 时
S(x)和S(x)在[a,b]上一致收敛到f (x)和f (x)
------(6)
13
由(11)式,可知
S0( x0
)
6( x0
x1 h03
2 x0
) ( y1
y0 )
6 x0
2 x0 h02
4 x1
m0
6 x0
4 x0 h02
2 x1
m1
6 h02
(

MATLAB大作业给定一个时间序列,使用三次样条插值方法进行均匀内插

MATLAB作业给定一个时间序列，使用三次样条插值方法进行均匀内插（题目的相关说明：按题目要求编写一个MATLAB程序函数，并把自己编制程序所得的结果与MATLAB库函数分析结果进行对比。

）理论基础：时间序列的概念：时间序列是一种定量预测方法，又称简单外延法，时间序列分析是根据系统观测得到的时间序列数据，通过曲线拟合和参数估计来建立数学模型的理论与方法，时间序列分析可分为以下三种情况（1）把一个时间序列的值变动为N 个组成部分，通常可以分为四种 a、倾向变动，又称长期趋势变动 b、循环变动，又称周期变动 c、季节变动，即每年有规则的反复进行变动 d、不规则变动，即随机变动。

然后把这四个综合到一起得出预测的结果。

虽然分成这四部分，但这四部分之间的相互关系是怎么样的呢，目前一般采用相乘的关系，其实各个部分都是在其他部分作用的基础上进行作用的，所以采用相乘是有一定依据的，此种方法适合于短期预测和库存预测（2）把预测对象、预测目标和对预测的影响因素都看成为具有时序的，为时间的函数，而时间序列法就是研究预测对象自身变化过程及发展趋势，如果未来预测是线性的，其数学模型为YT+L=aT+bTL,YT+L为未来预测值，aT为截距，bT为斜率，L为由T到需要预测的单位时间数（如5年、10年等）（3）根据预测对象与影响因素之间的关系及影响程度来推算未来，与目标的相关因素很多，只能选择那些因果关系较强的为预测影响的因素，此时间序列法用于短期预测比较有效，若要用于长期预测，还需要结合其他方法才行。

三次样条插值的实际应用：在制造船体和汽车外形等工艺中传统的设计方法是，首先由设计人员按外形要求，给出外形曲线的一组离散点值，施工人员准备好有弹性的样条（一般用竹条或有弹性的钢条）和压铁，将压铁放在点的位置上，调整竹条的形状，使其自然光滑，这时竹条表示一条插值曲线，我们称为样条函数。

从数学上看，这一条近似于分段的三次多项式，在节点处具有一阶和二阶连续微商。

三次样条插值函数在城区河道水面线计算中的应用

三次样条插值函数在城区河道水面线计算中的应用
随着我国城镇化的不断发展，河道曲线是居民社区的重要组成部分。

为确定城区河道的水面线，需要手动测量实测点之间的距离，并且根据测量结果拟合表达河道水面线的曲线。

然而，由于河道曲线的复杂性，传统拟合方法很难从误差数据中拟合出精确的曲线。

因此，已成为重要研究课题，如何从实测数据中准确拟合城区河道水面线，甚至以及如何提高城区河道水面线拟合的精度。

三次样条插值函数是一种经典的函数拟合方法，它按照实测点的位置，根据三次函数的性质，经过一些误差的最小化，用二次函数的系数来估计曲线的拐点。

它可以有效地表示给定的实测数据，并可以用于曲线拟合和数据拟合等应用中。

因此，三次样条插值函数在城区河道水面线计算中得到了广泛应用。

首先，三次样条插值函数可以有效地反映河道形状的复杂性。

这种插值函数可以最大程度地拟合河道水面线，从而得到更准确的曲线。

此外，由于曲线
拟合后求解出的拐点点是以矩阵形式存在的，可以更加容易的对曲线的起伏进行分析和改善。

这样可以有效提高河道水面线计算的准确度。

另外，三次样条插值函数还可以用于河道水面线设计。

研究者首先根据实际河道情况，利用三次样条插值函数拟合出一个基础曲线，然后增加实测点以改善曲线的拐点，或者增加实测点的数量，来对河道水面线进行修正，达到期望的设计要求。

综上所述，三次样条插值函数可以有效地表示河道的复杂性，可以拟合出更准确的曲线，同时也可以用于曲线设计，具有很强的实际意义。

因此，三次样条插值函数可以在城区河道水面线计算中得到有效应用，对于城区河道水面线计算和设计具有重要的意义。

数值计算方法三次样条插值

则法方程为其中平方误差为06277452对离散数据的曲线拟合最小二乘法曲线拟合问题对于fx插值问题要想提高精度就要增加节点因此多项式的次数也就太高计算量过大而节点少多项式的次数低但误差精度不能保证为了消除误差干扰取多一些节点利用最小二乘法确定低次多项式近似表示fx这就是曲线拟合问题
4.4 三次样条插值
令
A1

j1 (u )

(1
2
u
x hj
j 1
)(
u
xj hj
)2
A2

j (u )

(1
2
u
x hj
j
)(
u
x hj
j 1
)2
B1

j1 (u )

(u

u x j 1 )(
xj hj
)2
B2

j (u )

(u

x
j )(
u
x hj
j
)2
分段三次Hermite插值算法
I2(x)

I
n
(
x
)
x ( x0 , x1)
x ( x1, x2 ) ...... x ( xn1, xn )
其I中 j xxj1 xxj j yj1xxj xxjj 11yj yj1(xxj1)(yj yj1)/(xj xj1)
缺点：I(x)连续，但不光滑，精度较低,仅在 hm 1jan{xhj xj xj1}足够小才能较好。的逼近
ss((xxn0
) )

f f
( x0 ) (xn )

m0 mn

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摘要：为了更好地拟合调洪演算当中的水位库容曲线、水位泄流能力曲线，提高调洪计算的精度，尝试采用三次
样条插值函数进行入库洪水的调洪演算。在分析三次样条插值函数与调洪演算结合的基础上，通过ｄｅｌｐｈｉ平台编写
２．ＧｕａｎｇｘｉＮａｎｎｉｎｇＤｅｓｉｇｎＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＷａｔｅｒＣｏｎｓｅｒｖａｎｃｙ＆Ｈｙｄｒｏｐｏｗｅｒ，Ｎａｎｎｉｎｇ５３０００４，Ｇｕａｎｇｘｉ．Ｃｈｉｎａ；
（１．ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＣｉｖｉｌＡｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒａｌＥｎｇｉｎｅｅｉｎｒｇ，ＧｕａｎｇｘｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｎａｎｎｉｎｇ５３０００４，Ｇｕａｎｇｘｉ，Ｃｈｉｎａ；
ＫｅｙＷｏｒｄｓ：ｃｕｂｉｃｓｐｌｉｎｅｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ；ｌｆｏｏｄｒｏｕｔｉｎｇ；ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｔｕｄｙ
水力发电
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第３９卷第１０期
２０１３年１０月
三－灭样条搐值函数在调洪，，演，篡甲的应用
莫崇勋，魏炜，夏秉龙，王大彬。，孙桂凯，刘俐，姜庆玲
（１．广西大学土木建筑工程学院，广西南宁５３０００４；２．广西南宁水利电力设计院，广西南宁５３０００４；３．山东垦利水利局，山东东营２５７０００）
３．ＫｅｎｌｉＡｄｍｉｎｉｓｔｒａｔｉｏｎｏｆＷａｔｅｒＲｅｓｏｕｒｃｅｓ，Ｄｏｎｇｙｉｎｇ２５７０００，Ｓｈａｎｄｏｎ，Ｃｈｇｉｎａ）
ＡｂｓｔｒａｃｔＩｎｏｒｄｅｒｔｏｂｅｔｔｅｒｉｆｔｔｈｅｃｕｖｅｒｓｏｆｗａｔｅｒｌｅｖｅｌ－ｓｔｏｒａｇｅａｎｄｗａｔｅｒｌｅｖｅｌ－ｄｉｓｃｈａｒｇｅｃａｐａｃｉｔｙｉｎｌｆｏｏｄｒｏｕｔｉｎｇ，ａｎｄｉｍｐｒｏｖｅｔｈｅａｃｃｕｒａｃｙｏｆｌｆｏｏｄｒｏｕｔｉｎｇ，ｔｈｅａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆｃｕｂｉｃｓｐｌｉｎｅｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎｆｕｎｃｔｉｏｎｉｎｌｆｏｏｄｒｏｕｔｉｎｇｏｆｉｎｌｆｏｗｌｏｆｏｄｉｓｓｔｕｄｉｅｄｈｅｒｅｉｎ．Ｂａｓｅｄｏｎｔｈｅａｎａｌｙｓｉｓｏｆｔｈｅｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎｏｆｃｕｂｉｃｓｐｌｉｎｅｉｎｔｅｐｏｒｌａｔｉｏｎｆｕｎｃｔｉｏｎａｎｄｌｆｏｏｄｒｏｕｔｉｎ，ｔｇｈｅｌｆｏｏｄｒｏｕｔｉｎｇｐｒｏｃｅｄｕｒｅｓａｒｅ
了调洪演算程序。实例计算结果证明，三次样条插值函数在调洪演算中是可行的。
关键词：三次样条插值；调洪演算；应用研究
ＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆＣｕｂｉｃＳｐｌｉｎｅＩｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎＦｕｎｃｔｉｏｎｉｎＦｌｏｏｄＲｏｕｉｔｎｇ
ｗｉｔｒｔｅｎｂｙＤｅｌｐｈｉｐｌａｆｔｏｒｍ．Ｔｈｅｃａｓｅｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓｈｏｗｓｔｈａｔｔｈｅｃｕｂｉｃｓｐｌｉｎｅｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎｆｕｎｃｔｉｏｎｃａｎｂｅｕｓｅｄｉｎｌｆｏｏｄｒｏｕｔｉｎｇ．
ＭＯＣｈｏｎｇｘｕｎ，ＷＥＩＷｅｉ，ＸＩＡＢｉｎｇｌｏｎｇ，ＷＡＮＧＤａｂｉｎ。，ＳＵＮＧｕｉｋａｉ，ＬＩＵＬｉ ‘ ，ＪＩＡＮＧＱｉｎｇｌｉｎｇ