二阶倒立摆的稳定性控制
模糊神经网络的二级倒立摆稳定控制分析
倒 立摆 是一个 典 型 的非线 性 、 阶次 、 变 量 、 高 多
工神 经 网络具有 很强 的 自学 习能力 和大 规模 并行 处
强耦合 、 不稳 定 的动 态 系统 … 。早 期 二级 倒 立 摆 的 控制 大多采 用状态 反馈 ， 随着智 能控 制理论 的发 展 ， 有人逐 渐将模 糊控 制 算 法 、 经 网络 理论 用 于控 制 神 二级倒 立摆 ， 如参 变量 模糊 控 制 ， 于 Ｌａｐ ｎｖ稳 基 ｙｐｕ ｏ 定性定 理 的 连 续 时 间 模 糊 控 制 等 Ｊ 。模 糊 逻 辑 与 神经 网络 的结 合 ， 近年 来 计算 智 能 学科 的一 个 重 是
ｉｖ ｒｅ ｅ ｄ ｕ ｓ ｓｅ ，ａ ｎ ｗ ｎ ｅｌｇ ｎ ｏ ｔｏ ｔａｅ ｙ ｉ ｎ ｒｄｕ ｅ ．Ａ ｘ ｄ ａ ｔ ｍｅ ｉ ｆＢＰ ａ ｎ ｅ ｄ ｐ ｎ ｕｌｍ ｙ ｔｍ ｔ ｅ ｉ ｔｌｉｅ ｔｃ ｎ ｒ ｌｓｒｔ ｇ ｓｉ ｔｏ ｃ ｄ ｍｉｅ ｒ ｈ ｔｃｏ ｎｄ ｉ Ｌ Ｅ ｒｔｍｅｉ ｒ ｓ ｄ，ｉ ｒ ｅ ｏ ｏ ｔｍｉｅ ａ ｄ ａ ｎ ｈ ｒ ｎ — ａ ｔａ ｄ ｌ ｔｒｐ ｒ ａ ａ ｔｒｏ ｋ — Ｓ ａ ｈ ｔｃ ａ ｅ ｕ ｅ ｉ ｎ ｏ ｄ ｒｔ ｐ ｉ ｚ ｎ ｍｅ ｄ ｔ ｅｆｏ ｔｐ ｒ ｎ ａｅ — ａ ｐ ｒ ｍｅｅ ｆＴａ ａ ｔ
略， 该种 方 法采 用 Ｂ Ｐ算法 与最 小二 乘 （ Ｓ 算 法结合 的混合 算 法 对 Ｔ ｋｇ—ｕｅｏ 糊 模 型 中的 Ｌ Ｅ） ａａｉ ｇｎ 模 Ｓ
前件及后 件参 数进 行优化 修正 ， 已获得 的客 观 输入 、 出样 本 集的基 础上 ， 出一种基 于 自适应 在 输 提
神 经 网络 的模 糊推 理 系统 Ａ ＦＳ来对 倒 立摆 系统进 行 “ 立 ” 制 。 实时控 制 结 果表 明 ， ＮＩ 倒 控 所提 出
直线二级柔性倒立摆的滑模变结构控制仿真研究
【 Ｋ ｅ ｙ Ｗ Ｏ ｒ ｄ ｓ 】 Ｄ ｏ ｕ ｂ ｌ ｅ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｆ ｌ ｅ ｘ ｉ ｂ ｌ ｅ ｊ ｏ ｉ ｎ ｔ ｉ ｎ ｖ ｅ ｔ ｒ ｅ ｄ ｐ ｅ ｎ ｄ ｕ ｌ ｕ ｍ ； Ｖ ａ ｒ ｉ ａ ｂ ｌ ｅ Ｓ ｔ ｕｃ ｒ ｔ ｕ ｒ ｅ ｃ ０ ｎ ｔ ｒ ｏ ｌ ； ｓ ｉ ｍ ｕ ｌ ａ ｔ ｉ ０ ｎ
◇ 职业教育◇
科技 困向导
２ ０ １ ３ 年第０ ３ 期
直线＿ ▲ 级柔性倒立摆的滑模变结构控制仿真研究
姜 峰
（ 泰州职业技术学院
江苏
泰州
２ ２ ５ ３ ０ ０ ）
【 摘 要】 针 对直线二 级柔性倒 立摆 的稳定控 制问题 ， 提 出采用滑模 变结构控制方 法设 计控制 器， 通过 对二级摆 的系统分析 、 建模 ， 利用 ＭＡ Ｔ Ｌ Ａ Ｂ搭建仿 真控 制程序 测试控制 器的有 效性 。 经过仿真研 究发现使 用滑模 变结构控制方法可 以有效地 实现倒立摆 的稳定控制 ． 也 为进 一 步进行摆 的实物实验提供 了理论 支持
０ ． 引 言 直线柔性连接倒立摆 系统不 同于刚性摆 的结构 ． 它是在原倒立摆 的基础上引入 了新 的 自由振荡环节 ： 弹簧 。由于闭环 系统的响应频率 受到弹簧振荡频率 的限制 ， 增加 了对控制器设计 的限制及平衡控制和 起摆控制难度 目前 出现 的针对柔性连接倒立摆的有效控制方法主要 是： 利用线性 二次型 最优控 制策 略（ Ｌ Ｑ Ｙ ） 设 计 状态反馈 控 制器 、 利用
基于滑模控制的二级倒立摆稳定控制
基于滑模控制的二级倒立摆稳定控制
战江洋;侯立刚;苏成利;高红
【期刊名称】《青岛科技大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2009(030)004
【摘要】对二级倒立摆系统的稳定和鲁棒控制问题,采用极点配置方法设计了滑模变结构控制器.针对变结构控制器的抖振,提出了一种新型的变趋近律方法来改进控制器.仿真实验表明,该控制策略不仅能实现系统的稳定控制,而且具有较强的抗干扰能力和鲁棒性.
【总页数】4页(P365-368)
【作者】战江洋;侯立刚;苏成利;高红
【作者单位】辽宁石油化工大学,信息与控制工程学院,辽宁,抚顺,113001;辽宁石油化工大学,信息与控制工程学院,辽宁,抚顺,113001;辽宁石油化工大学,信息与控制工程学院,辽宁,抚顺,113001;辽宁石油化工大学,信息与控制工程学院,辽宁,抚
顺,113001
【正文语种】中文
【中图分类】TP273;TP13
【相关文献】
1.基于自适应模糊PID的二级倒立摆稳定控制研究 [J], 窦立环
2.基于差动制动的汽车拖车组合系统动态稳定性滑模控制 [J], 赵子乾;张宁;殷国栋;孙蓓蓓;吴建华
3.基于滑模控制的四轮驱动电动汽车稳定性控制 [J], 赵艳娥;张建武
4.基于滑模控制理论的车辆横向稳定性控制 [J], 赵树恩;李以农;郑玲;冀杰
5.基于最优滑模控制理论的船舶稳定性控制策略研究 [J], 赵静
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二级倒立摆文献综述毕业设计
文献综述二级倒立摆系统建模与仿真学生：学号：专业：自动化班级：2007.4指导教师：四川理工学院自动化与电子信息学院二O一一年三月第1部分前言1.1倒立摆的发展及背景早在 20世纪 60年代, 人们就开始了对倒立摆系统的研究。
1966年Schaefer和 Cannon应用 Bang2 Bang控制理论, 将一个曲轴稳定于倒置位置。
自从倒立摆系统成为[1]自动控制领域控制实验室的实验和教学工具以来，人们对倒立摆控制的研究既有理论研究又有实验研究。
通过计算机仿真的方法对控制理论和控制方法的进行可行性研究；实验研究主要是解决仿真结果和实时控制之间性能差异的物理不确定性。
早在 1972 年，Stugne 等人采用全维状态观测器来重构了状态，并使用线性控制模拟电路实现了二级倒立摆的控制，倒立摆的线性状态反馈采用极点配置的方法获得。
1978 年，K. furutat 等人成功地应用降维观测器重构了倒立摆系统的状态，使用计算机处理实现了对三级倒立摆的控制。
1984 年，K.furutat 等人又实现了三级倒立摆的稳定控制。
1986 年，Chung 等人对一级倒立摆系统进行了系统辨识，并设计了 PD 反馈控制器和自适应自整定反馈控制器实现了对倒立摆的稳定控制[1]。
1989 年，Anderson 等人运用函数最小化和 LyaPunov 稳定方法成功产生了一个优化反馈控制器。
1994 年，sinha等人，利用 Lyapunov—Floquet 变换得到了三级倒立摆系统的计算机仿真模型[2]。
1995 年，任章等人在一种镇定倒立摆系统的新方法中应用振荡控制理论，在倒立摆支撑点的竖直方向上加入一个零均值的高频振荡信号，改善了倒立摆系统的稳定性。
1996 和 1997 年，翁正新等人利用带观测器的 Hao 状态反馈控制器对二级倒立摆系统在水平和倾斜导轨上进行了仿真控制。
1998年，蒋国飞等人将 BP 神经网络和 Q 学习算法有效结合，实现了倒立摆的无模型学习控制。
基于MPC的二阶倒立摆稳定控制
数值 0.4 0.2 0.2 0.5 0.5
假设摆的质心在连杆的几何中心，且为实心杆，
2
那么有
li
=
Li ２
，Ji
=
mLi ２
，（i=1，2）。
在理想（忽略所有
摩擦与干扰）的情况下，基于拉格朗日方程对系统
进行建模。 得拉格朗日方程为
"d #$ dt
La z觶 i
- La zi
=Fi，i=1，2，…，n
DOI：10.19557/ki.1001-9944.2022.09.004
控制系统与智能制造
基于 MPC 的二阶倒立摆稳定控制
石转转，郭开玺，张 品，张占东
（山西大同大学 机电工程学院，大同 037003）
摘要：倒立摆系统是一个典型的欠驱动、强耦合、非线性的机械系统，该文提出了利用模型
预测控制（MPC）方法来实现二阶倒立摆系统的稳定控制。 首先基于拉格朗日方程对二阶
θ2 m2
L2 l2
θ1
L 1 m 1 l1
x
F
m
图 1 机械式二阶倒立摆系统 Fig.1 Mechanical double inverted pendulum system
其中 F 是控制输入，表示水平拉力；θ1∈（-π，π） 表示摆杆 1（即下摆杆，链接在小车上）与竖直垂线 之 间 的 夹 角 ；θ2∈（-π，π）表 示 摆 杆 2（即 上 摆 杆 ，链 接在摆杆 1 的另一端）与竖直垂线之间的夹角。 此 外；m，m1 和 m2 分别代表小车、摆杆 1 和摆杆 2 的质 量；L1 和 L2 分别代表摆杆 1 和摆杆 2 的长度；l1 和 l2 分别表示摆杆 1 和摆杆 2 摆杆质心到低端的长 度 ；J1 和 J2 分 别表 示 摆 杆 1 和 摆 杆 2 的 转 动 惯 量 。 此外，二阶倒立摆系统的机械参数取值如表 1 所示， g 表示重力加速度，参数取自于文献[8]。
基于RBF神经网络二级倒立摆系统的PID控制
Ｉ ｖ ｒ ｅ ｌＰｅ ｄＵｌ Ｈ ｓ ｄ Ｏ ｌＲＢＦ Ｎｅ ｒ ＩＮｅ ｗｏ ｋ ｎ ｅ ｔｅ ｎ Ｕ １ Ｂａ ｅ ｉ ｕ ａ ｔ ｒ
其 中 ， 尼 为 是时刻 被 控 系 统 的输 出值 ； （ ） ｋ （ ） 忌为 根 据梯 度下 降法 ， 出权 值 、 输 节点 中心及节 点 基 带 宽参数 的迭代 算法 如 下 ：
源结 点组 成 ， 第二 层 为 隐含层 ， 三层 为输 出层 。从 第 输入 层 到隐含 层 的 变 换 函 数是 径 向基 函数 ， 隐含 从 层 到输 出层 的变 换是 线性 变换 。可通 过调 整权 系 数 来改 变 网络 的输 出 ， 而 加快 了学 习速 度 ， 从 避免 了局 （） ５
１， ｉ ０ — ０ ） 臼 — ０ ｃ ０ 兰 ｃ ｓ １ １， ｉ ０ 兰 ０ ｓ ｎ（ ２ １兰 ２ ｌ， ｏｓ ２ ｏＯ 兰 ｓｎ ２ ２，
部极 小值 的 问 题 。多 输 入 单 输 出 的 Ｒ Ｆ网络 结 构 Ｂ
如 图 ３所 示 。
ｓ ０兰 ， 此 条 件 下 ， 式 （ ） 行 线 性 化 处 理 ， ｉ ｎ 在 对 １进 并
收 稿 日 期 ：ｏ１ ０ ２ ２ ０— １ ｏ 作 者 简 介 ： 宏 楠 （ ８１ ） 男 。 宁 辽 阳 开 ． 士 王 １ ， 辽 ｃ ） 『硕
齿 条 小 车 电机 齿轮 图 １ 二 级倒 立摆 系统 结构
２
二级倒立摆系统的控制与仿真
二级倒立摆系统的控制与仿真一、引言在计算机参与的具有联系受控对象的控制系统中，有必要对联系控制系统设计数字控制器的必要，一般对于联系的控制对象设计数字控制器的方法有：第一种是应用联系系统理论得到的联系控制规律，再将控制规律离散化，用控制器实现，第二种是将联系的控制对象离散化，用离散控制理论设计控制器参数，数字再设计就是根据连续系统及相应的控制规律如何重新设计对应的离散系统与相应的离散控制规律。
我们采用的是最优等价准则、双线性变换法、平均增益法进行数字再设计。
二、LQR控制器设计(1) 二级倒立摆系统的状态空间模型设线性定常系统为x’=A*x（t）+B*u（t）,y=C*x（t）其初始条件为x（t）=x0;其中：A=[0,1,0,0;40,0,0,0;0,0,0,1;-6,0,0,0];B=[0;-2;0;0.8];C=[1,0,0,0;0,0,1,0](2) 系统的能控性判定n=size(A); Tc=ctrb(A,B); nc=rank(Tc)n=6 6 nc=6从运行结果可知，系统的阶次为6，能控性矩阵的秩也为6，因此系统是能控的。
(3) 系统的能观性判定To=obsv(A,C);no=rank(To)no=6从运行结果可知，能观性矩阵的秩为6，与系统的阶次相等，因此系统是能观测的。
(4) LQR控制设计基于一级倒立摆系统具有能控性和能观性，因此可采用LQR进行控制，经大量反复试验和仿真，选取R=0.2，Q=[1 0 0 0 0 0;0 64 0 0 0 0;0 0 256 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0];F=lqr(A,B,Q,R)得到：F =2.2361 106.6465 -155.4620 5.1719 4.9639 -24.5330三、仿真曲线采用LQR控制方式，设初始状态为x(0)=[1,-1,0,0]’，在相同采样周期T下应用数字再设计方法对一级倒立摆系统进行仿真，其中F(T)分别取为：1. F(T)=F1(T)=F2. F(T)=F2(T)=F[I+(A+BF)T/2]3. F(T)=F3(T)=F[I-(A+BF)/2]-1(1) T=0.013s，øc=e(A+BF)T时系统的极点、状态x1、x2、x3的离散仿真曲线A=[0,0,0,1,0,0;0,0,0,0,1,0;0,0,0,0,0,1;0,0,0,0,0,0;0,77.0642,-21.1927,0,0, 0;0,-38.5321,37.8186,0,0,0];B=[0;0;0;1;5.7012;-0.0728];C=[1,0,0,0,0,0;0,1,0,0,0,0;0,0,1,0,0,0];D=[0;0;0];Q=[1 0 0 0 0 0;0 64 0 0 0 0;0 0 256 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0];R=0.2;F=lqr(A,B,Q,R)T=0.013;[G,H]=c2d(A-B*F,B,T); %%离散一的函数p0=eig(G),x0=[1 -1 0.5 0 0 0]';[y,x t]=dinitial(G,B,C,D,x0);t=0:0.1:(t-1)/10;subplot(3,1,1),x1=[1 0 0 0 0 0]*x'; %%响应曲线plot(t,x1);grid;title('状态变量x1的响应曲线')subplot(3,1,2),x2=[0 1 0 0 0 0]*x';plot(t,x2);grid;title('状态变量x2的响应曲线')subplot(3,1,3),x3=[0 0 1 0 0 0]*x';plot(t,x3);grid;title('状态变量x3的响应曲线')p0 =0.8647 + 0.0473i0.8647 - 0.0473i0.9224 + 0.0618i0.9224 - 0.0618i0.9932 + 0.0066i0.9932 - 0.0066i图1 øc=e(A+BF)T(2) T=0.013s，øc=ø +ΓF1(T)时系统的极点、状态x1、x2、x3的离散仿真曲线A=[0,0,0,1,0,0;0,0,0,0,1,0;0,0,0,0,0,1;0,0,0,0,0,0;0,77.0642,-21.1927,0,0,0;0,-38.5321,37.8186,0,0,0];B=[0;0;0;1;5.7012;-0.0728];C=[1,0,0,0,0,0;0,1,0,0,0,0;0,0,1,0,0,0];D=[0;0;0];Q=[1 0 0 0 0 0;0 64 0 0 0 0;0 0 256 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0];R=0.2;F=lqr(A,B,Q,R)T=0.013;[Ad,B]=c2d(A,B,T); %%离散二的函数Ad=Ad-B*F;p1=eig(Ad)x0=[1 -1 0.5 0 0 0]';[y,x t]=dinitial(Ad,B,C,D,x0);t=0:0.1:(t-1)/10;subplot(3,1,1),x1=[1 0 0 0 0 0]*x'; %%显示程序plot(t,x1);grid;title('状态变量x1的响应曲线')subplot(3,1,2),x2=[0 1 0 0 0 0]*x';plot(t,x2);grid;title('状态变量x2的响应曲线')subplot(3,1,3),x3=[0 0 1 0 0 0]*x';plot(t,x3);grid;title('状态变量x3的响应曲线')p1 =0.8349 + 0.0388i0.8349 - 0.0388i0.9247 + 0.0561i0.9247 - 0.0561i0.9932 + 0.0066i0.9932 - 0.0066i图2 øc=ø +ΓF1(T)(3) T=0.013s，øc=ø+ΓF2(T)时系统的极点、F(T)值和状态x1、x2、x3的离散仿真曲线A=[0,0,0,1,0,0;0,0,0,0,1,0;0,0,0,0,0,1;0,0,0,0,0,0;0,77.0642,-21.1927,0,0, 0;0,-38.5321,37.8186,0,0,0];B=[0;0;0;1;5.7012;-0.0728];C=[1,0,0,0,0,0;0,1,0,0,0,0;0,0,1,0,0,0];D=[0;0;0];Q=[1 0 0 0 0 0;0 64 0 0 0 0;0 0 256 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0];R=0.2;F=lqr(A,B,Q,R)T=0.013;P2=(A-B*F)*T/2; %%离散3的函数F2=F*(eye(size(P2))+P2)[Add,B]=c2d(A,B,T);Ad=[Add-B*F2];p2=eig(Ad)x0=[1 -1 0.5 0 0 0]';[y,x,t]=dinitial(Ad,B,C,D,x0);t=0:0.1:(t-1)/10;subplot(3,1,1),x1=[1 0 0 0 0 0]*x'; %%显示程序plot(t,x1);grid;title('状态变量x1的响应曲线')subplot(3,1,2),x2=[0 1 0 0 0 0]*x';plot(t,x2);grid;title('状态变量x2的响应曲线')subplot(3,1,3),x3=[0 0 1 0 0 0]*x';plot(t,x3);grid;title('状态变量x3的响应曲线')F2 =1.7236 90.8365 -126.5481 4.0012 4.5195 -19.9211 p2 =0.8676 + 0.0465i0.8676 - 0.0465i0.9224 + 0.0627i0.9224 - 0.0627i0.9932 + 0.0066i0.9932 - 0.0066i图3 øc=ø+ΓF2(T)(4) T=0.013s，øc=ø+ΓF3(T)时系统的极点、F(T)值和状态x1、x2、x3的离散仿真曲线A=[0,0,0,1,0,0;0,0,0,0,1,0;0,0,0,0,0,1;0,0,0,0,0,0;0,77.0642,-21.1927,0,0, 0;0,-38.5321,37.8186,0,0,0];B=[0;0;0;1;5.7012;-0.0728];C=[1,0,0,0,0,0;0,1,0,0,0,0;0,0,1,0,0,0];D=[0;0;0];Q=[1 0 0 0 0 0;0 64 0 0 0 0;0 0 256 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0];R=0.2;F=lqr(A,B,Q,R)T=0.013;P3=(A-B*F)*T/2; %%离散4的函数F3=F*(eye(size(P3))-P3)^-1[Add,B]=c2d(A,B,T);Ad=[Add-B*F3];p3=eig(Ad),[y,x,t]=dinitial(Ad,B,C,D,x0);t=0:0.1:(t-1)/10;subplot(3,1,1),x1=[1 0 0 0 0 0]*x'; %%显示程序plot(t,x1);grid;title('状态变量x1的响应曲线')subplot(3,1,2),x2=[0 1 0 0 0 0]*x';plot(t,x2);grid;title('状态变量x2的响应曲线')subplot(3,1,3),x3=[0 0 1 0 0 0]*x';plot(t,x3);grid;title('状态变量x3的响应曲线')F3 =1.7779 92.1683 -129.2365 4.1238 4.5459 -20.3464 p3 =0.8655 + 0.0476i0.8655 - 0.0476i0.9222 + 0.0622i0.9222 - 0.0622i0.9932 + 0.0066i0.9932 - 0.0066i图4 øc=ø+ΓF3(T)由上面的1-4图我们可以知道：F(T)分别取F1(T)，F2(T)，F3(T)构成的闭环离散系统时仿真曲线基本一致，相应情况的闭环极点也基本相同，而取F(T)=F3(T)时，从系统的极点看，用øc=ø+ΓF3(T)代替øc=e(A+BF)T 构成闭环系统的精确度相当好。
二级直线型倒立摆系统的LQR控制探析
统 的控 制器 ， 并 进行 了数值 仿 真 ， 结 果表 明 了该 方法 的有效 性 。
关 键词 ： 倒 立摆 ； Ｌ ＱＲ ； 数值仿 真
０ 引 言
字母符号
表 １ 二 级 直 线 型 倒 立 摆 系统 的 结 构 参 数
对应参数 字母符 号 对应参数
倒立摆 系统是一种多变量 、 强耦 合 、 严 重非线性 、 自然不稳
现 了 四级 倒 立 摆 控 制 仿 真 实 验 。线 性 二 次 型 调 节 器 （ Ｌ Ｑ Ｒ） 的
０ ３ × １ ０ ３ ×１ ０３ × １
０ ０ ０
Ｌ× ３
０ １ ｘ ３
０ ３ ｘ １
１
最优控制＿ 】 是基 于现代控 制理论 发展 起来 的 ， 通过对 倒立 摆 系统 的分析建立其动力学模型 ， 应用 状态反馈 控制器使得 目标
１ ４ ３
２ ０ １ ３ 第 ９期 总第 ３ ６ ３期
ｓ ｎ ｅ Ｊ — ｕ Ｆ ｅ ｎ × 量 坌 堑 鍪
２ ． ３ 计算风 阻， 并 确 定 风 机 的 工 作点
根据风机形成 的实际风速 １ ３ ． ５ ｍ／ ｓ ， 则雷诺数为 ：
Ｒ 一ｌ ０ Ｖ ／ 一１ ． １ １ ×１ ３ ． ５ ×６ ． ６ ９ ×１ ０ ～／ （ １ ９ ． ４ ×１ ０ 一 ） 一５ １ ６ ７
ｓ ｎ ｅ ｊ — ｕ Ｆ ｅ ｎ × ！ 量 坌 羹
二 级直 线 型 倒 立 摆 系 统 的 Ｌ ＱＲ控 制 探 析
王春平
（ 杭州佐 帕斯 工 业有 限公 司 ， 浙 江 杭州 ３ １ ０ ０ １ ８ ）
摘
要： 以二级 直线 型倒立 摆 系统 为研究 对象 ， 基 于线 性二 次 型调 节 器 （ Ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ Ｑ ｕ ａ ｄ ｒ ａ ｔ ｉ ｃ Ｒ ｅ ｇ ｕ ｌ ａ ｔ ｏ ｒ ， Ｌ Ｑ Ｒ ） 理 论 设 计 了二 级倒 立 摆 系
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二阶倒立摆的稳定性控制
摘要:本文研究了二阶倒立摆系统的控制方法,采用极点配置、LQR最优控制设计了控制器,通过仿真,分析指出各种方法的优缺点。
在极点配置法中,通过仿真实验寻优,得到具有较好稳定性的初始值。
在LQR最优控制器的设计中,采用仿真结果表明:该控制策略能满足系统的控制要求,系统具有良好的动态性能。
关键词:二阶倒立摆极点配置LQR最优控制
倒立摆系统是应用于自动控制理论的经典实验装置,是一个复杂的多变量、高度非线性、强耦合和快速运动的绝对不稳定系统,对于倒立摆的稳定性控制,不仅有重要的理论意义,而且还有很重要的工程意义。
一方面倒立摆系统成本低廉,结构简单,物理参数和结构容易调整的优点,在实验条件下容易实现。
对于倒立摆的控制会涉及控制中的许多关键问题,如镇定问题、跟踪问题、随动问题、非线性问题、及鲁棒性问题。
另一方面,任何重心在上,支点在下的控制问题都可以近似于倒立摆系统,如机器人行走的平衡问题,火箭发射的垂直控制和卫星飞行中的姿态控制等。
1 二阶倒立摆系统
二阶倒立摆系统的机械部分主要由小车、摆杆1,2、导轨、皮带轮、传动皮带等组成,电气部分由电机、功率放大器、PWM、传感器、驱动电路以及保护电路组成。
1.1 二阶倒立摆的数学模型[1]
假设:摆杆及小车为刚体;皮带轮及皮带间无相对滑动,皮带无伸长;小车的驱动力与直流放大器的输入成正比,且无滞后;忽略电极电枢绕组中的电感、库仑摩擦、动摩擦。
系统各参数如下。
M(小车质量)为1.32kg;m1(摆杆1质量)为0.04kg;m2(摆杆2质量)为0.132kg;m3(质量快的质量)为0.208kg;l1(摆杆1转动中心到杆心的距离)为0.09m;l2(摆杆2转动中心到杆心的距离)为0.27m;(摆杆1与垂直方向的夹角);(摆杆2与垂直方向的夹角);F(作用在系统上的外力);g(重力加速度)为9.8。
2 控制设计及仿真
2.1 用极点配置设计伺服系统
设计要求:二阶倒立摆尽可能的保持倒立垂直()。
指标要求:在小车的阶跃响应中,有4～5s的调整时间和0.15～0.16的最大超调量。
通过Matlab计算得到的一对期望极点为和,其他极点为-7.5、-7.5、-7.5、-7.5、-7.5(远离主导闭环极点对的5倍),在实际仿真实验中若其他极点选择远离主导闭环极点对4倍或者8倍最后得到的响应曲线都不如5倍的更优。
由状态方程并通过Matlab软件进行仿真得到相应的响应曲线。
从上面的仿真结果所得到的图形,作用在小车上的输入为单位阶
跃信号,即=1m,且所有的初始条件为零。
的阶跃响应正如所希望的那样,在,最大超调量小于0.15,设计满足要求。
从x1的响应曲线可以看出,在大约2.5s后小车位置就开始趋于平衡状态。
从x2的响应曲线可以看出,在0～0.3s内,摆杆1向左摆动;在0.3～1s内,摆杆向右摆动;在1～2.5s内,摆杆1又向左摆动;在2.5～3.5s内,摆杆1向右有轻微的摆动;在大概3.5s左右,摆杆趋于平衡状态。
从x3的响应曲线,在开始0～0.3s基本保持平衡,后面的摆动情况x2的情况很接近(如图2）。
2.2 LQR控制器设计及仿真
设计要求:摆尽可能的保持倒立垂直(),且小车在某位置保持平衡状态。
通过Matlab软件求得二阶倒立摆系统的特征值分别为-9.5972、-4.7725、9.5972、4.7725、0、0。
由系统的特征值可以知道系统有两个正实根,因此开环系统是不稳定的。
系统的能控性矩阵和能观性矩阵的秩均为系统的阶数6,则系统能控、能观。
取对角矩阵,(Q矩阵通过实验法进行了改进)则得到相应的反馈向量K=[7.0711126.9919-227.601912.62264.1116-35.7904]。
通过SIMULINK仿真可以得到位置、小车速度、角度1,角度2、角度1的速度及角度2的速度响应曲线如图3所示。
从仿真曲线可得:小车的位置在开始0～6s会有左右的摆动,在大约6s左右小车开始处在平衡状态(离原点0.2m左右)。
小车的车速在0～5s左右有变化,在
5s左右开始变为0。
小车开始处于平衡状态。
摆杆1、2的角度在0～4s左右有波动,在大约4s左右开始为0,说明此时摆杆开始处于垂直的平衡状态。
以上的分析说明:通过LQR控制器来控制二阶倒立摆的效果达到满意程度,系统可控。
3 结论
采用极点配置设计伺服系统和LQR控制器来实现二阶倒立摆稳定性控制,利用MATLAB及SIMULINK进行仿真,最后实现了设计要求。
在极点配置设计伺服系统过程中,极点的配置采用经典的二阶系统极点配置公式,得到主导闭环极点对后,其他极点的位置远离主导闭环极点对的5倍。
在LQR控制器的设计过程中,对Q(对角阵)的选取基本上是依靠经验来选取,经过反复的仿真实验验证得知Q的选取符合要求,实现了二阶倒立摆控制。
参考文献
[1]王海英,袁丽英,吴勃.控制系统的MATLAB仿真与设计[M].高等教育出版社,2009,2.
[2]颜文俊,陈素琴,林峰.控制理论CAI教程[M].科学出版社,2011,7.
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