2010年中科院811量子力学考研真题与解析
中科院量子力学考研真题及答案详解(19902010共40套真题)
1990年招收攻读硕士学位研究生入学试卷试题名称： 量子力学（理论型），00分。
、在，氢原子波函数为说明：共五道大题无选择题，计分在题尾标出，满分10t =100210211211一(,0)2r ψψψ=+⎣⎦ 其中右方函数下标表示量子数。
忽略自旋和辐射跃迁。
投影-⎡⎤(1) 此系统的平均能量是多少？nlm 0z L =(2) 这系统在任意时刻处于角动量的几率是多少？ 、利用坐标与动量算符之间的对易投影关系，证明二()2∞00n nE E n x -=∑常数这里是哈密顿量n E 2ˆˆ()2p H V m=+x 的本征能量，相应的本征态为n 。
求出该常数。
、设一质量为μ的粒子在球对称势()(0)V r kr k =>三中运动。
利用测不准关系估算其（束缚态）类似于氢原子，只是用一个正电子代替质子作为核，在非基态的能量。
四、电子偶素e e +-种接触型自旋交换作用相对论极限下，其能量和波函数与氢原子类似。
今设在电子偶素的基态里，存在一8e p ˆˆˆ3H M M π和ˆpM '=-⋅其中ˆe M 是电子和正电子的自旋磁矩ˆˆ(,q )MS q ==e mc±量差，决定哪一个能量更低。
对普通的氢原子，基态波函数： 。
利用一级微扰论，计算此基态中自旋单态与三重态之间的能221137e c 1002,,r a a me ψ-==一质量为= μ的粒子被势场00()(0)r aV r V e V a -=>>所散射，用一级玻恩近似计算微分散射截面。
五、1990年招收攻读硕士学位研究生入学试卷试题名称：量子力学（实验型）分。
光电效应实验指出：当光照射到金属上，说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分100一、(1) a) 只有当光频率大于一定值0ν时，才有光电子发射出；b) 光电子的能量只与光的频率有关，而与光的强度无关；c) 只要光的频率大于0ν，光子立即产生。
试述：a) 经典理论为何不能解释上述现象，或者说这些实验现象与经典理论矛盾何斯坦假说正确解释上述实验结果。
中科院量子力学题90-11
a 2
中国科学院研究生院 2010 年招收攻读硕士研究生学位研究生入学统一考试试题 811 ） 试题名称：量子力学（ 试题名称：量子力学（811 811）
ˆ、B ˆ 与泡利算符对易，证明： 一、 （1）设 A ˆ )(σ ˆ ⋅B ˆ ⋅B ˆ) = A ˆ + iσ ˆ) ˆ⋅A ˆ ⋅B ˆ(A (σ ˆ、σ ˆ 为单位算符。 ˆ x + iσ ˆ y ) 2 表示成 I ˆ x、σ ˆ y、σ ˆ z 的线性叠加， I （2）试将 ( Iˆ + σ
θ 2
θ 2
（4）求演化成 −ψ ( x, t ) 所需要的最短时间 tmin 。 三、设基态氢原子处于弱电场中，微扰哈密顿量是：
-2-
t ≤ 0; ⎧ 0, ˆ' =⎪ 其中 λ、T 为常数。 H t ⎨ − T ⎪ > λ ze , t 0. ⎩
（1） 求很长时间后 t ≫ T 电子跃迁到激发态的概率，已知基态中 a 为玻尔半 径，基态和激发态波函数为：
0 ⎤ ⎡1 λ ⎢ ˆ 三、 在 H = ⎢λ 3 0 ⎥ 中的粒子的本征值， 设 λ ≪ 1， 利用微扰求其本征值 （精 ⎥ ⎢0 0 λ − 2⎦ ⎥ ⎣ ⎧ 0, 0 < ϕ < ϕ0 ，求粒 other ⎩∞,
确到二级近似） ，并与精确求解相比较。
⎡ cos θ e −iωt ⎤ ⎡1 ⎤ ℏ 四、两个自旋为 的粒子，两个粒子分别为 X 1 = ⎢ ⎥ , X 2 = ⎢ ，求系统处 − iωt ⎥ 2 ⎣0 ⎦ ⎣ sin θ e ⎦
一、在一维无限深方势阱 ( 0 < x < a ) 中运动的粒子受到微扰
a 2a ⎧ < x<a 0, 0 < x < , ⎪ ⎪ 3 3 ' ˆ H ( x) = ⎨ 作用。试求基态能量的一级修正。 a 2a ⎪ −V , < x< 1 ⎪ 3 3 ⎩
811《量子力学》 - 中国科学院
811《量子力学》中科院研究生院硕士研究生入学考试《量子力学》考试大纲本《量子力学》考试大纲适用于中国科学院研究生院物理学相关各专业（包括理论与实验类）硕士研究生的入学考试。
本科目考试的重点是要求熟练掌握波函数的物理解释，薛定谔方程的建立、基本性质和精确的以及一些重要的近似求解方法，理解这些解的物理意义，熟悉其实际的应用。
掌握量子力学中一些特殊的现象和问题的处理方法，包括力学量的算符表示、对易关系、不确定度关系、态和力学量的表象、电子的自旋、粒子的全同性、泡利原理、量子跃迁及光的发射与吸收的半经典处理方法等，并具有综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。
一．考试内容：（一）波函数和薛定谔方程波粒二象性，量子现象的实验证实。
波函数及其统计解释，薛定谔方程，连续性方程，波包的演化，薛定谔方程的定态解，态叠加原理。
（二）一维势场中的粒子一维势场中粒子能量本征态的一般性质，一维方势阱的束缚态，方势垒的穿透，方势阱中的反射、透射与共振，d--函数和d-势阱中的束缚态，一维简谐振子。
（三）力学量用算符表示坐标及坐标函数的平均值，动量算符及动量值的分布概率，算符的运算规则及其一般性质，厄米算符的本征值与本征函数，共同本征函数，不确定度关系，角动量算符。
连续本征函数的归一化，力学量的完全集。
力学量平均值随时间的演化，量子力学的守恒量。
（四）中心力场两体问题化为单体问题，球对称势和径向方程，自由粒子和球形方势阱，三维各向同性谐振子，氢原子及类氢离子。
（五）量子力学的矩阵表示与表象变换态和算符的矩阵表示，表象变换，狄拉克符号，谢振子的占有数表象。
（六）自旋电子自旋态与自旋算符，总角动量的本征态，碱金属原子光谱的双线结构与反常塞曼效应，电磁场中的薛定谔方程，自旋单态与三重态，光谱线的精细和超精细结构，自旋纠缠态。
（七）定态问题的近似方法定态非简并微扰轮，定态简并微扰轮，变分法。
（八）量子跃迁量子态随时间的演化，突发微扰与绝热微扰，周期微扰和有限时间内的常微扰，光的吸收与辐射的半经典理论。
中科院量子力学历年详解
1.10 2006 乙 A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.11 2006 乙 B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.12 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.13 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.14 2001 理论型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 详解 i 19
4 曾谨言《量子力学》卷 I 练习详解 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9
量子力学的诞生 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 波函数与 Schrödinger 方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 一维定态问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 力学量用算符表达 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 力学量随时间的演化与对称性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 中心力场 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 粒子在电磁场中的运动 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 表象变换与量子力学的矩阵形式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 自旋 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 ii 目录 返回
(NEW)中国科学技术大学《828量子力学》历年考研真题汇编(含部分答案)
（a）请考察A的厄米性；
（b）请写出A用 阵；
展开的表达式，其中
为著名的Pauli矩
（c）请求解A的本征方程，得出本征值和相应本征态。
5．（30分）假设自由空间中有两个质量为m、自旋为 /2的粒子，它们 按如下自旋相关势
相互作用，其中r为两粒子之间的距离，g>0为常量，而 （i=l，2）为 分别作用于第1个粒子自旋的Pauli矩阵。
。算符 ， 与升降算符之间的关系为：
其中
。对于体系基态，相关的平均值为：
所以，
，
最终得到：
。 4．（20分〉设有2维空间中的如下矩阵
（a）请考察A的厄米性；
（b）请写出A用 阵；
展开的表达式，其中
为著名的Pauli矩
（c）请求解A的本征方程，得出本征值和相应本征态。
解：（a）矩阵A的转置共轭为：
因此，矩阵A为厄米矩阵。 （b）Pauli矩阵分别为：
令
，则 ， 与哈密顿量对易。对于 ，此结果是显然的。对
于，
体系的角动量 显然也与哈密顿量及自旋对易。因此力学量组 即为体系的一组可对易力学量完全集。
（b）为考虑体系的束缚态，需要在质心系中考查，哈密顿量可改写 为：
其中 为质心动量。由于质心的运动相当于一自由粒子，体系的波函数 首先可分离为空间部分和自旋部分，空间部分可以进一步分解为质心部 分和与体系内部结构相关的部分。略去质心部分，将波函数写成力学量 完全集的本征函数：
目 录
2014年中国科学技术大学828量子力学 考研真题
2013年中国科学技术大学828量子力学 考研真题
2012年中国科学技术大学828量子力学 考研真题
2011年中国科学技术大学809量子力学 考研真题
中科院量子力学题90-11
θ 2
θ 2
（4）求演化成 −ψ ( x, t ) 所需要的最短时间 tmin 。 三、设基态氢原子处于弱电场中，微扰哈密顿量是：
-2-
t ≤ 0; ⎧ 0, ˆ' =⎪ 其中 λ、T 为常数。 H t ⎨ − T ⎪ > λ ze , t 0. ⎩
（1） 求很长时间后 t ≫ T 电子跃迁到激发态的概率，已知基态中 a 为玻尔半 径，基态和激发态波函数为：
1 2 1 2
中国科学院研究生院 2007 年招收攻读硕士研究生学位研究生入学统一考试试题 试题名称：量子力学 B 卷
一、考虑一维阶梯势 V ( x) = ⎨
⎧V0 , ⎩ 0,
x > 0(V0 > 0) x<0
设粒子从右边向左边入射，试求反射系数和入射系数。 二、电子处于沿 + z 方向大小为 B 的均匀磁场中。设 t = 0 时刻电子自旋沿 + y 方 向。 （1）试求 t = 0 时电子自旋波函数； （2）试分别求出 t > 0 时电子自旋沿 + x, + y, + z 方向的概率。 三、粒子在 V ( 100 ( r ) = R10 ( r ) Y00 (θ , ϕ ) = e ; 3 4π 2 a 3 1 � cos θ ψ 210 ( r ) = R21 ( r ) Y10 (θ , ϕ ) = 3 4π (2a) 2
r − 2ra e . 3a
（2）基态电子跃迁到下列哪个激发态的概率等于零？简述理由。 （a）ψ 200 （b）ψ 211 （c）ψ 21−1 （d）ψ 210
一、在一维无限深方势阱 ( 0 < x < a ) 中运动的粒子受到微扰
a 2a ⎧ < x<a 0, 0 < x < , ⎪ ⎪ 3 3 ' ˆ H ( x) = ⎨ 作用。试求基态能量的一级修正。 a 2a ⎪ −V , < x< 1 ⎪ 3 3 ⎩
中科院量子力学2010真题
中国科学院研究生院
2010 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 科目名称：量子力学
ˆ ˆ 一． 1.设 A, B 与 pauli 算符对易，证明
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ (σ A)( σ B ) A B i σ(A B) 1/ 2 ˆ,σ ˆ ˆ ,σ ˆ ˆ ˆ y ,σ ˆ z 的线性叠加。 ( I , i σ ) 2.试将 表示成 I ,σ x y x
T ) 电子跃迁到激发态的概率。已 1.求很长时间后 (t 知，a 基态其中为玻耳半径。 2 1 r ( r ) R ( r ) Y ( , ) exp( ) 10 00 3/ 2 已知，基态 100 a 4 a
壹
2 1 r r exp( ) 3/ 2 2a 4 (2a ) a 2. 基态电子跃迁到下列哪个激发态的概率等于零？简述 理由。
210 (r ) R21 (r )Y10 ( , )
(a ) 200 ; (b) 211 ; (c) 211 ; (d ) 200 .
四．两个质量为 m 的粒子处于一个边长为 a b c 的，不可 穿透的长盒子中。 求下列条件该体系能量最低态的波函数（只写出空间部 分）及对应能量。 1.非全同离子； 2.零自旋全同离子； 3.自旋为 1/2 的全同离子。 五．粒子在一维无限深势阱中运动。设该体系受到
其中为单位算符
1 ( x) ， 二． 设一维谐振子的初态为 ( x, 0) cos φ0 ( x ) sin φ
θ 2
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中国科学院研究生院2011 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题试题名称：量子力学（811）考生须知：1. 本试卷满分为150 分，全部考试时间总计180 分钟。
2. 所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
一、（1）氢原子基态的能量为 −13.6V ，那么第一激发态的氢原子电离能为：（）A.13.6eVB.3.9eVC.7.8eVD.2.5eV（2）普朗克常数h 的数值为：（）A.1.05 ×10−34B.6.63 ×10−34C.1.05 ×10−34J ⋅SSD.6.63 ×10−34JJ ⋅SS（3）A 、B 为厄米算符，那么下列各选项为厄米算符的是：（）A. 12(BBBB −BBBB ) BB ⋅ii 2(BBBB −BBBB ) CC ⋅BBBB +ii BB BB DD ⋅ii2(BBBB +BBBB )（4）对于中心力场，下列各式正确的是:（）BB ⋅�μμ(rr )rr 2ddrr ∞0=1 BB .�μμ(rr )4ππrr 2ddrr ∞0=1CC ⋅�RR ll (rr )rr 2ddrr ∞0=1 DD ⋅�RR ll (rr )4ππrr 2ddrr ∞0=1其中μμrr =RR ll (rr )rr(5) 经典力学中有 LL →=rr →×pp →=−pp →×rr , 那么在量子力学中 LL →=rr →×pp →是否也成立，请说明理由。
(6) 在 (SS →2,SS zz ) 的共同的本征态中，写出 SS xx ,SS yy 的矩阵表示，并说明是否可以找到这样的一个表象, 使得 SS xx ,SS yy ,SS zz 在该表象中的矩阵表示均为实矩阵，说明理由。
(7) 写出氢原子、一维简谐振子、一维无限深势阴的能级，并用示意图表示。
(8) 两个非全同粒子处于态 ψψ(xx 1,xx 2), 求出一个粒子处于pp 1′,pp 1′′之间，另外两个粒子处于xx 2′,xx 2′′之间的几率。
二、已知 pp ^rr =12(rr →rr ⋅pp →+pp →⋅rr→rr)(1) pp ^rr 是否为厄米算符，为什么? (2) 写出 pp ^rr 的算符表示。
(3) 求出 [rr ^,pp ^rr ]=?三、（30分）有一质量为m 的粒子在半径为R 的圆周上运动，现加一微扰：HH ′=VV (φφ)=�VV 1,−αα<φφ<0VV 2,0<φφ<αα0, 其他其中 αα<ππ, 求对最低两能级的一级修正。
四、 (30′) 一粒子在一维无限深方势伴 (0<xx <aa ) 中运动, 时间 tt =0 时处在基态。
此时加入一个高为 VV 0, 宽为 bb (bb ≪aa ), 中心在 aa2的方势垒微扰。
求 tt 0(tt 0>0) 时撤去微扰, 体系处 于前三个激发态的概率。
五、在 (ll 2,ll zz ) 的共同表象中，粒子处于 YY 20 态，求 LL xx 的可能值及相应的几率。
中国科学院研究生院2011 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题试题名称：量子力学（811）考生须知：1. 本试卷满分为150 分，全部考试时间总计180 分钟。
2. 所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
一、（1）氢原子基态的能量为 −13.6V ，那么第一激发态的氢原子电离能为：（B ）A.13.6eVB.3.9eVC.7.8eVD.2.5eV分析：原子能级公式的形式 −1nn 常数，还是好记的，也就是说第一激发态为基态的 14,即选B ∘ 氢原子完整的能级公式为: EE nn =−ee 22aa 1nn 2, 其中 aa =ℏ2mmee 2（2）普朗克常数h 的数值为：（D ） A.1.05 ×10−34 B.6.63 ×10−34 C.1.05 ×10−34J ⋅SS D.6.63 ×10−34JJ ⋅SS（3）A 、B 为厄米算符，那么下列各选项为厄米算符的是：（B ）A. 1(BBBB −BBBB ) BB ⋅ii (BBBB −BBBB ) CC ⋅BBBB +ii BB BB DD ⋅ii(BBBB +BBBB )析: 各个选项分别取厄米† 看看就知道了。
BB †=12(BBBB −BBBB )BB †=−ii2(BBBB −BBBB )CC †=BBBB −ii BB BBDD †=ii2(BBBB +BBBB ), 选 B（4）对于中心力场，下列各式正确的是:（C ）BB ⋅�μμ(rr )rr 2ddrr ∞0=1 BB .�μμ(rr )4ππrr 2ddrr ∞0=1CC ⋅�RR ll (rr )rr 2ddrr ∞=1 DD ⋅�RR ll (rr )4ππrr 2ddrr ∞0=1其中μμrr =RR ll (rr )rr(5) 经典力学中有 LL →=rr →×pp →=−pp →×rr , 那么在量子力学中 LL →=rr →×pp →是否也成立，请说明理由。
答: 是。
LL →=rr →×pp →=�xx ii →+yy jj →+zzkk →�×�pp xx ii →+pp yy jj →+pp zz kk →�=(yypp zz −zzpp yy )ii →+(zzpp xx −xxpp zz )jj →+(xxpp yy −yypp xx )kk →=LL xx ii →+LL yy jj →+LL zz kk→pp →×rr →=(pp xx ii →+pp yy jj →+pp zz kk →)×(xx ii →+yyjj →+zzkk →)=pp xx yykk →−pp xx zzjj →−pp yy xxkk →+pp yy zzii →+pp zz xxjj →−pp zz yyii→=(pp yy zz −pp zz yy )ii →+(pp zz xx −pp xx zz )jj →+(pp xx yy −pp yy xx )kk →=−rr →×pp→(6) 在 (SS →2,SS zz ) 的共同的本征态中，写出 SS xx ,SS yy 的矩阵表示，并说明是否可以找到这样的一个表象, 使得 SS xx ,SS yy ,SS zz 在该表象中的矩阵表示均为实矩阵，说明理由。
1、在(S →2,S z )的共同本征态中,S x ,S y 的矩阵表示为:S x =ℏ2(0110),S y =ℏ2(0−ii) 2、 因为 σσxx σσyy σσzz =ii , 当 SS xx ,SS yy ,SS zz 均为实矩阵时, σσxx σσyy σσzz ≠ii 与 σσxx σσyy σσzz =ii 矛盾，故不存在一个表象使得 SS xx ,SS yy ,SS zz 在该表象中的矩阵表示均为实矩阵(7) 写出氢原子、一维简谐振子、一维无限深势阴的能级，并用示意图表示。
氢原子: EE nn =−ee 22aa 1nn 2(aa =ℏ22), 一维简谐振子: EE nn =(nn +1)ℏωω, 一维无限深势阻: EE nn =nn 2ππ2ℏ22mmaa 2, 图暂略 !(8) 两个非全同粒子处于态 ψψ(xx 1,xx 2), 求出一个粒子处于pp 1′,pp 1′′之间，另外两个粒子处于xx 2′,xx 2′′之间的几率。
3在动量p 1′,p 1′′之间的几率，应在动量表象下考量,ψ(x 1,x 2)在p 1动量表象下的形式为:⟨p 1∣ψ(x 1,x 2)⟩=1√2πℏ�ψ(x 1,x 2)e −ix 1p h dx 1+∞−∞波函数的平方才是几率密度，而且是归一化的波函数，一个粒子处于p 1′,p 1′′之间，另一个粒子处于x 2′,x 2′′之间的几率为:∫dp 1p 1′′p 1′∫dx 2x 2′′x 2′|1√2πℏ�ψ(x 1,x 2)e −ix 1p h dx 1+∞−∞|2∫dx 2+∞−∞∫|ψ(x 1,x 2)|2dx 1+∞−∞二、已知 pp ^rr =12(rr →rr ⋅pp →+pp →⋅rr →rr)(1) pp ^rr 是否为厄米算符，为什么? (2) 写出 pp ^rr 的算符表示。
(3) 求出 [rr ^,pp ^rr ]=?答：1）pp ^rr†=12(rr→rr ⋅pp →+pp →⋅rr →rr)†=12(pp →†⋅rr→†rr+rr→†rr⋅pp →†)=12(rr →†rr ⋅pp →†+pp →†⋅rr→†rr)又 pp →†=pp →,rr →†=rr →, 所以 pp →rr†=pp →rr ,pp ^rr 是厄米算符。
2）rr→rr ⋅pp →ψψ=−ii ℏee →rr ⋅∇ψψ=−ii ℏ∂ψψ∂rr pp →⋅rr →rrψψ=−ii ℏ∇⋅�ψψrr rr →�=−ii ℏ�ψψrr ∇⋅rr →+rr →⋅∇ψψrr �=−ii ℏ�3ψψrr +rr →⋅rr∇ψψ−ψψ∇rr rr 2�=−ii ℏ�3ψψrr +rr →�∇ψψrr −rr →rr 3ψψ��=−ii ℏ�3ψψrr +∂ψψ∂rr −ψψrr �=−ii ℏ�2ψψrr +∂ψψ∂rr�pp ^rr =12�rr →rr ⋅pp →+pp →⋅rr→rr�=−ii ℏ�1rr +∂∂rr �3) [rr ,pp rr ]=rrpp rr −pp rr rrrrpp rr ψψ=−ii ℏrr (ψψrr +∂ψψ∂rr )=−ii ℏ(ψψ+rr ∂ψψ∂rr ),pp rr rrψψ=−ii ℏ(1rr +∂∂rr )(rrψψ)=−ii ℏ(ψψ+ψψ+rr ∂ψψrr )[rr ,pp rr ]=ii ℏ三、（30分）有一质量为m 的粒子在半径为R 的圆周上运动，现加一微扰：HH ′=VV (φφ)=�VV 1,−αα<φφ<0VV 2,0<φφ<αα0, 其他其中 αα<ππ, 求对最低两能级的一级修正。
答：(1) [−ℏ22mm Δ+VV ]ψψ(rr ⋅φφ⋅zz )=EEψψ(rr ⋅φφ⋅zz ) −ℏ22mm (∂2∂rr 2+1rr ∂∂rr +1rr 2∂2∂φφ2+∂2∂zz 2)ψψ(rr ⋅φφ⋅zz )=EEψψ(rr ⋅φφ⋅zz ) 令ψψ(rr ⋅φφ,zz )=RR (rr )Φ(φφ)ZZ (zz ) LL ^zz2=−ℏ2∂2∂φφ2⇒∂2∂φφ2=−LL ^zz 2ℏ2令 ∂2∂z 2ψψ=−kk 2ψψ∴∂2∂z =−kk2[−ℏ2(∂2∂rr 2+1rr ⋅∂∂rr )+LL zz 22mmrr 2−ℏ2mm ∂2∂zz 2]RR (rr )Φ(φφ)ZZ (zz )=EERR (rr )Φ(φφ)ZZ (zz ) −ℏ22mm �∂2∂rr 2+1rr ⋅∂∂rr �RR (rr )+mm 2ℏ22mmrr 2RR (rr )+ℏ2kk 22mm RR (rr )=EERR (rr ) �∂22+1⋅∂�RR (rr )−mm 2rr2RR (rr )−kk 2RR (rr )+2mE 2RR (rr )=0EE nn =ℏ2(ωωnn 2+kk 2)2mm ww nn 2=2mmEE ℏ2−kk 2ψψ(rr ⋅φφ⋅zz )=BBJJ mm (aaww nn )ee ii mm φφee ii ii zz（2）由归一化条件: <ψψnnmm |ψψnnmm >=1,<Φmm (φφ)|Φmm (φφ)>=1 可计算得�Φmm ′Φmm ddφφ0−αα=�Φmm ′Φmm ddφφ−αα0=�αα2ππ,mm =0sin2mmαα4mmππ,mm ≠0E nnmm （1）=HH nnmm ′=�αα2ππ(VV 1+VV 2),mm =0sin2mmαα4mmππ(VV 1+VV 2),mm ≠0 有上式不难得到最低的两个能级修正E 1（1）、E 2（1）。